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1 PROOFMATH MAIS UM BLOG DE MATEMÁTICA FOLHA DE TRABALHO º ANO DE ESCOLARIDADE PREPARAR EXAME NACIONAL. Considere as seguintes sucessões a n, b n Sendo a lim an, b limbn e c lim cn, podemos afirmar que: n n n e cn n. a ; b e ; c a ; b ; c 0 a ; b e ; c e a ; b e ; c e. Os medicamentos em ensaio num laboratório são identificados por códigos que obedecem às seguintes regras: - têm 5 letras, seguidas de algarismos; - começam por vogal; - têm de ter vogal e consoante alternadamente; - o último algarismo é 0 ou. O número de códigos diferentes que não têm letras nem algarismos repetidos (considere letras e 0 algarismos) é: Lançam-se simultaneamente dados equilibrados com as faces numeradas de a 6 e multiplicam-se os dois números saídos. A probabilidade de o acontecimento o produto dos números saídos é é: Antes do começo de uma partida de basquetebol, é habitual os intervenientes (os 5 jogadores de cada equipa e os elementos da equipa de arbitragem) disporem-se uns ao lado dos outros para uma fotografia. De quantas maneiras diferentes se podem dispor os intervenientes, se os elementos da equipa de arbitragem ficarem no meio, e os jogadores de cada equipa ficarem todos juntos? 5! 5! 0! C 5! 5! 5! 5. Quatro pessoas dispõem de 5 carros para efectuar uma viagem. O número de maneiras como se podem distribuir pelos carros, quando em carro viaja apenas uma pessoa, é:

2 6. A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X é apresentada por: x i p i 0,08 0,4 a 0,4 a O valor de P ( X 6) é: 0, 86 0, 0, 88 0, 8 7. Seja S o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos contidos em S. Sabe-se que P ( A) 60%, P ( B) 50% e P ( A/ B) 0%. Qual o valor da probabilidade P( A B)? 00% 90% 80% 0%. 8. Lança-se, por três vezes, uma moeda bem equilibrada ao ar. A probabilidade de se obter pelo menos uma coroa é: Abre-se, ao acaso, um livro, ficando à vista duas páginas numeradas. A probabilidade de a soma dos números dessas páginas ser par é: 0 0. Sendo A e B acontecimentos de um mesmo espaço E. Se P = 0.4 e P = 0.5 então a que intervalo pertence P(A B)? 0;0,5 0;0,4 0,4;0,5 0,5;0,9. Seja f uma função de domínio IR, com derivada finita em todos os pontos do seu domínio. Na figura junta encontra-se parte do gráfico de f, função derivada de f. Sabe-se ainda que f 0 Qual pode ser o valor de f? 5 7 Exame Nacional, 004, ªFase

3 . De quantas maneiras distintas podem ficar sentados três rapazes e quatro raparigas num banco de sete lugares, sabendo que se sentam alternadamente por sexo, ou seja, cada rapaz fica sentado entre duas raparigas? Exame Nacional, 004, ªFase. Seja S o conjunto de resultados associado a uma experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos A S e B S. Sabe-se que: Qual o valor de P B? P A 0, P A B 0, P A B 0,8 0, 0, 0, 0,4 Exame Nacional, 004, ªFase 4. Os quatro vértices de um dos quadriláteros seguintes são as imagens geométricas, no plano complexo, das raízes quartas de um certo número complexo w. Qual poderá ser esse quadrilátero? Exame Nacional, 004, ªFase

4 5. Um grupo de cinco amigos decide ir ao cinema. Neste grupo temos o João e a Marta. De quantas maneiras se podem sentar os cinco numa fila, se a Marta não quer ficar junto do João?! 4! 5! 4! 5! 6. Ao lançar em simultâneo dois dados cúbicos, não viciados, com as faces numeradas de a 6, qual será o acontecimento mais provável? a soma das faces ser 5. as duas faces apresentarem o mesmo resultado. a soma das duas faces ser menor ou igual a 4 a soma das duas faces ser maior ou igual a 9 7. Num torneio de ténis, cada jogador jogou uma partida com cada um dos outros jogadores. Sabendo que participaram no torneio oito jogadores, o número de partidas disputadas foi: 8. Num dado viciado, com as faces numeradas de a 6, verificou-se que a probabilidade do acontecimento sair par é o dobro da probabilidade do acontecimento sair ímpar. Qual é a probabilidade do acontecimento sair par? 8 C 8 C 7 8 A 8! 4 9. Numa turma de º ano, há onze rapazes e oito raparigas. De quantas maneiras diferentes se pode organizar uma comissão formada por três elementos, tendo, quando muito, dois rapazes? 8 C C C C A 8 C C 8 0. O número 997 tem quatro algarismos, todos ímpares. Quantos números deste tipo existem?

5 Parte II Desenvolvimento. Uma avaria numa central telefónica fez disparar o sistema de alarme. Os engenheiros activaram imediatamente os procedimentos de emergência. Suponha que a temperatura T da água (em sistema de refrigeração do núcleo da central evolui de acordo com o seguinte modelo matemático: C ) do T t t 7t 50, t 0 t, com t em minutos. Nota: Na resolução das alíneas seguintes, utilize apenas processos analíticos... Determine a temperatura da água de refrigeração quando o sistema de alarme disparou... Obtenha a expressão analítica da função T' t, função derivada da função T t. Calcule explique o seu significado no contexto da situação descrita... Determine a temperatura mínima atingida pela água de arrefecimento do núcleo da central atómica. T ' e.4. A sirene de alarme dispara e mantém-se ligada se a temperatura da água for superior a 60 C. Utilizando a calculadora gráfica, determine ao fim de quanto tempo a sirene parou de tocar, e quanto tempo se manteve em silêncio até voltar a disparar. Inclua na sua resposta os dados recolhidos na calculadora.. Mostre que se A e B são dois acontecimentos independentes de um espaço E, então: P(A B) = P( A ) x P( B ). Para o jantar de encerramento de um torneio de ténis inscreveram-se 40 raparigas e 80 rapazes. As alturas, em centímetros dos rapazes e das raparigas presentes no jantar geram distribuições normais de média igual a 70 e desvio-padrão, respectivamente, 5 e 0... Associe cada uma das distribuições referidas a cada uma das curvas I e II, representadas na figura. Justifique a sua escolha... Quantos rapazes se espera que tenham altura superior a 65 cm?

6 4. Num vôo de Tóquio para Lisboa a minha bagagem vai ser transferida vezes. Se a probabilidade de cada uma das transferências não ser feita a tempo for 0. e 0.4 respectivamente, por ordem de transferência, qual é a probabilidade de a minha bagagem chegar a tempo a Lisboa? Um avião aterra transportando 00 passageiros com a seguinte distribuição: Homens Crianças Mulheres TOTAL Portugueses Espanhóis Franceses Desce uma pessoa isolada do avião Qual é a probabilidade de ser mulher? 4... Qual é a probabilidade de ser francês ou mulher? 4... Sabendo que a pessoa que saiu do avião era criança, qual é a probabilidade de ser espanhola? 4.. Descem pessoas, em fila indiana, do avião Qual a probabilidade de as pessoas serem de nacionalidades iguais? 4... Qual a probabilidade de as pessoas serem todas crianças? 5. Uma pequena empresa tem funcionários: sete homens e cinco mulheres. Os funcionários reuniram-se para tratar de assuntos da empresa. 5.. Surgiu a necessidade de constituir uma comissão, ao acaso, formada por três pessoas. Qual a probabilidade de a referida comissão ser só formada por mulheres? Apresente o resultado sob a forma de uma fracção irredutível. 5.. Para assegurar o funcionamento mínimo da empresa num determinado feriado, foi necessário tirar à sorte os nomes de duas pessoas, uma para o turno da manhã e outra para o turno da tarde. Qual a probabilidade de saírem dois nomes de funcionários de sexo diferente? Apresente o resultado sob a forma de percentagem, arredondado às unidades. 6. A zona da pele inflamada pela picada de um insecto cresce em círculos de centro no ponto onde ocorreu a picada. Supõe que t segundos depois de ocorrer a picada, a área de pele inflamada pode ser dada, em cm 6, por: A( t) a log, sendo a e b números reais positivos. b t 6.. Determine a e b supondo que seis segundos depois da picada do insecto a zona inflamada tem cm de área.

7 6.. Os parâmetros a e b variam de acordo com o tipo de pele de criança e para uma certa espécie de insecto, tem-se a= e b=. ln( t) 6... Mostre que A( t), t 0 ln Nota: Nas questões seguintes, sempre que nos cálculos intermédios proceder a arredondamentos conserve, no mínimo, três casas decimais Quanto tempo depois da picada do insecto, a área inflamada atinge um sinal situado a cerca de, cm da picada do insecto? Apresente o resultado arredondado ao segundo A Eduarda, com esse tipo de pele, é alérgica ao tipo de mosquito referido na alínea anterior e quando é mordida, tem de ser administrado o antídoto. A função que modela a quantidade de antídoto a ser administrada à Eduarda é cm. r( x), e (0.4x), em mg, onde x é a área afectada, em Determine um valor, arredondado às mg, da quantidade de antídoto a ser ministrada, se já passaram 0 minutos desde que a Eduarda foi picada. x 7. A função h é definida por h ( x) 5 7 Nota: Nas questões seguintes, sempre que nos cálculos intermédios proceder a arredondamentos conserve, no mínimo, três casas decimais. x 7.. Resolva a condição h h( x ) 7.. Determine a abcissa do ponto do gráfico que tem por ordenada Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora determine um valor, aproximado às décimas, da área do triângulo [AOB] sendo: A o ponto de intersecção do gráfico de h com o eixo das ordenadas; B o ponto do gráfico de h cuja abcissa é igual à ordenada; O a origem do referencial. Numa pequena composição explique como procedeu apresentando um esboço do(s) gráfico(s) em que baseou a sua resposta. Soluções: Brevemente em

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