ANÁLISE COMBINATÓRIA FATORIAL DE UM NÚMERO NATURAL. Se n é um número natural, define-se fatorial de n (símbolo: n!) da seguinte forma:

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1 ANÁLISE COMBINATÓRIA FATORIAL DE UM NÚMERO NATURAL Se n é um número natural, define-se fatorial de n (símbolo: n!) da seguinte forma: 2. Considere a equação (n 3)! = 6 (n 4)!. a) Encontre o domínio da variável n. b) Resolva a equação. Portanto, para n 2, n! é o produto de todos os naturais de 1 até n. 3. Resolva as equações 3! = = 6 7! = = !.. 3 0! 1! 1 1 Se n é natural positivo, vale a seguinte propriedade: Essa propriedade é muito útil na simplificação de expressões ou na resolução de equações envolvendo fatorial. 8! 12! 1) Simplificar as expressões e 6! 11! 10! 2) Resolver a equação n! = 72 (n 2)! QUESTÕES PROPOSTAS 1. Simplifique as expressões PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DE CONTAGEM Os elementos de um conjunto finito podem ser agrupados de várias formas, de acordo com os critérios utilizados na formação dos agrupamentos. O objetivo do cálculo combinatório é determinar de quantas maneiras diferentes podem ser formados os vários tipos de agrupamentos. Os processos de contagem se baseiam em dois princípios fundamentais, que passaremos a estudar agora. PRINCÍPIO ADITIVO DE CONTAGEM Suponhamos que, para se deslocar de casa até o trabalho, uma pessoa tenha as seguintes alternativas: um de seus dois automóveis (A 1 e A 2 ); uma das três linhas de ônibus que fazem o trajeto (O 1, O 2 ou O 3 ); o metrô (M). De quantas formas diferentes ela poderia escolher seu transporte? Temos três hipóteses quanto ao tipo de transporte. Para cada uma delas, há um certo número de opções. Veja: 1

2 Portanto, a pessoa pode ir de casa até o trabalho de = 6 formas diferentes (A 1, A 2, O 1, O 2, O 3, M). O problema anterior ilustra o princípio aditivo de contagem. PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO DE CONTAGEM Suponhamos que um estudante pretenda escolher um conjunto tênis-calça-camiseta para ir à escola e que ele tenha, como alternativas, dois pares de tênis (T 1 e T 2 ); quatro calças jeans (J 1, J 2, J 3 e J 4 ); três camisetas (C 1, C 2 e C 3 ). De quantas formas diferentes ele pode fazer sua escolha? Nesse caso, a escolha se compõe de três etapas. Para cada uma delas, há um certo número de opções, como mostra o esquema abaixo. Há uma diferença importante entre esse problema e o anterior. No primeiro, tínhamos três hipóteses, que se excluíam mutuamente. Ao escolher o metrô, por exemplo, ficavam excluídas as demais hipóteses (automóvel ou ônibus). No último problema, a escolha envolve três etapas: escolha do tênis, escolha do jeans e escolha da camiseta. Para cada tênis que o estudante possa vir a escolher, ele tem quatro opções para escolha do jeans; para cada conjunto tênis-jeans que tenha escolhido, ele tem três opções para a escolha da camiseta. O esquema abaixo, chamado árvore das possibilidades, mostra todos os resultados possíveis para o último problema. Obtivemos um total de 24 possíveis resultados, ou seja, há 24 maneiras diferentes de o estudante escolher um conjunto tênisjeans-camiseta. Note que esse resultado é justamente o produto obtido multiplicando-se, entre si, os valores relativos ao número de opções em cada uma das três etapas: = 24 Esse princípio é válido, também, para casos em que o evento contenha três ou mais etapas. Analisando comparativamente os dois problemas, podemos notar um detalhe muito simples que pode nos ajudar a diferenciar o princípio aditivo do multiplicativo. A conjunção ou liga duas hipóteses e está associada à operação adição. A conjunção e liga duas etapas e está associada à operação multiplicação. Muitos problemas práticos podem ser resolvidos utilizando-se esses dois princípios. 2

3 1) A cantina do meu colégio vende 4 tipos de salgados e 5 marcas de refrigerantes. De quantas formas distintas posso escolher meu lanche (um salgado e um refrigerante)? 2) A diretoria de uma empresa é constituída de 6 homens e 4 mulheres. Entre seus membros, pretende-se escolher um presidente e um vicepresidente, com a condição de que um deles deva ser necessariamente homem. De quantas formas diferentes essa escolha pode ser feita? 3) No atual sistema, as placas de automóveis são constituídas de 3 letras, escolhidas entre 26, e 4 algarismos, escolhidos entre 10. Uma cidade brasileira convencionou que as placas de seus veículos deveriam obedecer às seguintes condições: todas começariam por vogal; não haveria letra repetida; o primeiro algarismo deveria ser maior que 4. Nessas condições, quantos veículos podem ser emplacados nessa cidade? QUESTÕES PROPOSTAS 4. Uma fábrica produz 3 modelos de automóveis, com 5 opções de cores. Cada um deles está disponível em 2 versões: duas portas e quatro portas. Quantas opções diferentes têm um comprador para adquirir um automóvel, levando em conta essas três variáveis? 5. Normalmente, o uniforme de um clube de futebol é constituído por uma camisa, um calção e uma meia. Um determinado clube possui 3 opções de camisa, 2 opções de calção e 2 opções de meia. Quantas partidas ele pode jogar sem repetir o uniforme? 6. Uma lanchonete vende 5 tipos de salgados, 3 qualidades de sanduíches, 2 tipos de sucos e 4 marcas de refrigerante. De quantas formas diferentes um cliente da lanchonete pode escolher a) um comestível? b) uma bebida? c) um salgado e um refrigerante? d) um sanduíche e uma bebida? e) um comestível e uma bebida? 7. No atual sistema brasileiro de emplacamento de veículos usam-se letras e números. Um exemplo é a placa: Observe que cada placa é formada por 3 letras, escolhidas entre as 26 do alfabeto, seguidas de 4 algarismos, escolhidos entre os 10 disponíveis. Supondo que haja placas com quatro zeros (0000), pergunta-se: a) Quantas placas diferentes podem ser obtidas? b) Quantas têm as 3 letras diferentes e os 4 algarismos diferentes? c) Quantas só apresentam vogais e algarismos pares? d) Quantas contêm 3 vogais diferentes e o primeiro e o último algarismos iguais? 8. Uma igreja tem 4 portas de entrada. De quantas formas diferentes um fiel pode entrar e sair da igreja, usando portas diferentes? 9. Uma prova é constituída de 6 questões de múltipla escolha, com 4 opções cada uma. De quantas formas diferentes pode ser montado o gabarito dessa prova? 10. Utilizando apenas os algarismos 1, 2, 4, 6 e 8, formam-se todos os números de 4 algarismos. a) Qual o total de números obtidos? b) Quantos não têm algarismo repetido? c) Quantos são pares? d) Quantos são maiores que e não têm algarismo repetido? AGRUPAMENTOS ORDENADOS E AGRUPAMENTOS NÃO-ORDENADOS Quando agrupamos, segundo certos critérios, os elementos de um conjunto finito, pode ser importante ou não a ordem em que eles são agrupados. Agrupamentos em que é importante a ordem em que os elementos são dispostos são chamados agrupamentos ordenados ( arranjos ou Permutação). Agrupamentos em que não é importante a ordem em que os elementos são dispostos são chamados agrupamentos não-ordenados (c0mbinações simples) PERMUTAÇÕES SIMPLES Suponhamos que A seja um conjunto finito com n elementos distintos. Chama-se permutação simples dos n elementos cada um dos agrupamentos 3

4 ordenados que podem ser formados contendo, sem repetição, os n elementos de A. Podemos afirmar, de forma equivalente, que as permutações simples de n elementos distintos são todas as possíveis ordenações desses n elementos. O número de permutações simples de n elementos é representado por P n CÁLCULO DO NÚMERO DE PERMUTAÇÕES SIMPLES A formação de todas as permutações simples de n elementos envolve n etapas, que representaremos e interpretaremos assim: Do princípio multiplicativo de contagem, concluímos que P n = n(n 1)(n 2) ou 1) Resolver a equação P n+1 = 8. P n 2) Suponha que 7 pessoas sejam dispostas em fila, de todas as formas possíveis. a) De quantas formas distintas isso pode ser feito? b) Em quantas dessas disposições os indivíduos A e B aparecem nas extremidades? 3) Chama-se anagrama de uma palavra toda ordenação possível de suas letras, ainda que a palavra obtida não tenha sentido. Considerando-se todos os anagramas da palavra VESTIBULAR, perguntase: a) Qual o total desses anagramas? b) Em quantos deles as letras E, S, T aparecem juntas, nesta ordem? c) Em quantos deles as letras E, S, T aparecem juntas, em qualquer ordem? QUESTÕES PROPOSTAS 11. Um automóvel tem 5 lugares, incluindo o do motorista. De quantas formas diferentes 5 pessoas podem ocupar os lugares do automóvel, a) se todas sabem dirigir? b) se apenas uma sabe dirigir? c) se apenas três sabem dirigir? 12. De quantas maneiras podemos dispor em uma prateleira, lado a lado, 5 livros de Matemática e 4 livros de Biologia, de modo que a) livros de mesma matéria fiquem juntos? b) livros de mesma matéria nunca fiquem juntos? c) o primeiro livro seja de Matemática e o último, de Biologia? d) os dois livros das extremidades sejam de matérias diferentes? 13. Considere todos os anagramas da palavra ALBERTO. a) Quantos são os anagramas? b) Quantos começam por B? c) Quantos terminam em consoante? d) Quantos começam por B, E e T, nesta ordem? e) Quantos terminam com as letras B, E e L, em qualquer ordem? f) Quantos têm as letras R e T juntas, em qualquer ordem? 14. Considere todos os números naturais obtidos permutando-se, entre si, os algarismos do número a) Qual é o total de números obtidos? b) Quantos são pares? c) Em quantos os algarismos 2 e 4 aparecem juntos? d) Em quantos os algarismos 2 e 4 não aparecem juntos? e) Quantos são maiores que ? f) Qual será a posição de , se todos os números forem colocados em ordem crescente? ARRANJOS SIMPLES Suponhamos que A seja um conjunto finito com n elementos distintos. Chama-se arranjo simples dos n elementos, tomados p a p (p n), cada um dos agrupamentos 4

5 ordenados que podem ser formados contendo, sem repetição, p elementos de A. A formação de cada arranjo simples dos n elementos de A, tomados p a p, se compõe de duas etapas: escolher p entre os n elementos de A; ordenar os p elementos escolhidos. O número de arranjos simples de n elementos, tomados p a p, é representado por A n, p. Essa relação pode ser útil, principalmente na resolução de equações em que a incógnita é a variável p. Exemplo 1) Resolver a equação A 7, m + 1 = 21. A 6, m 1 QUESTÕES PROPOSTAS 15. Calcule os seguintes números. CÁLCULO DO NÚMERO DE ARRANJOS SIMPLES A formação de todos os arranjos simples de n elementos, tomados p a p, envolve p etapas, que representaremos assim: 16. Resolva as equações abaixo. Pelo princípio multiplicativo de contagem, concluímos: No cálculo de A n, p, é importante perceber, concretamente, os significados de n e p. Observe: 1) Utilizando-se apenas os algarismos 1, 3, 4, 6, 7 e 9, formam-se todos os números possíveis de 4 algarismos distintos. a) Qual o total desses números? b) Quantos são ímpares? c) Quantos são menores que 6 740? O FATORIAL E O NÚMERO DE ARRANJOS SIMPLES O número de arranjos simples pode ser obtido utilizando- se o conceito de fatorial. Observe: De maneira geral, 17. Utilizando apenas os algarismos 1, 3, 4, 5, 7 e 8, sem repetição, quantos números diferentes podemos formar a) de 3 algarismos? b) de 6 algarismos? c) de 4 algarismos, sem que apareça o algarismo 7? d) de 4 algarismos, aparecendo, obrigatoriamente, o algarismo 8? e) de 3 algarismos, maiores que 400? f) de 4 algarismos, sendo os dois extremos algarismos pares? g) menores que 700? 18. Considere todos os números de 4 algarismos distintos que podem ser formados, utilizando apenas os algarismos 0, 1, 2, 4, 5, 7 e 9. a) Qual é o total desses números? b) Quantos não contêm o zero? c) Quantos contêm o zero? d) Quantos são múltiplos de 5? 19. Um concurso tem 8 candidatos. De quantas formas diferentes podem-se definir os 3 primeiros colocados? 20. Uma empresa tem 8 diretores. Entre eles, devem ser escolhidos um presidente, um 5

6 diretor-administrativo e um diretor-financeiro. De quantas formas diferentes podem ser definidos esses cargos, sabendo-se que um deles deve ser ocupado pelo Dr. Fernando? 21. Considere todos os números de 3 algarismos (distintos ou não) que podem ser formados, utilizando apenas os algarismos 2, 3, 5, 6 e 8. a) Qual é o total desses números? b) Quantos não têm nenhum algarismo repetido? c) Quantos têm pelo menos um algarismo repetido? 22. Utilizando apenas os algarismos 1 e 2, a) quantos números de 5 algarismos podemos formar? b) quantos números pares de 4 algarismos podemos formar? COMBINAÇÕES SIMPLES Suponhamos que A seja um conjunto finito com n elementos distintos. Chama-se combinação simples dos n elementos, tomados p a p (p n), cada um dos agrupamentos nãoordenados (subconjuntos) que podem ser formados contendo, sem repetição, p elementos de A. Para obter uma combinação simples de n elementos de A, tomados p a p, basta escolher p entre os n elementos de A. O número de combinações simples de n elementos, tomados p a p, é representado por C n, p. CÁLCULO DO NÚMERO DE COMBINAÇÕES SIMPLES O cálculo do número de combinações simples está relacionado ao cálculo do número de arranjos simples e de permutações simples. : 1) A partir de um grupo de 6 deputados e 4 senadores, de quantas formas distintas podese formar uma comissão a) de 4 pessoas? b) de 5 pessoas, sendo 3 deputados e 2 senadores? c) de 4 pessoas, com pelo menos um senador? d) de 3 pessoas, sendo um presidente, um vice-presidente e um relator? 2) Na figura, temos 7 pontos sobre uma reta r e 4 pontos sobre outra reta s, paralela a r. Quantos triângulos podem ser construídos com vértices nesses pontos? 3) De quantas formas diferentes 10 pessoas podem ser divididas em dois grupos, sendo um de 4 pessoas e o outro de 6 pessoas? 1) As combinações simples dos 5 elementos do conjunto A = {a, b, c, d, e}, tomados 2 a 2, são os seguintes subconjuntos de A: {a, b} {a, c} {a, d} {a, e} {b, c} {b, d} {b, e} {c, d} {c, e} {d, e} É importante insistir no fato de que, na formação de combinações simples (subconjuntos), o que importa é apenas quais foram os elementos escolhidos e não em que ordem foi feita a escolha. Observe que, escolhidas 4 pessoas entre as 10 disponíveis (combinações simples), ficam formados os dois grupos: um com as 4 pessoas escolhidas e o outro com as 6 pessoas que sobraram. Portanto, o número de maneiras distintas como os dois grupos podem ser formados é 210 É interessante observar que, se formássemos primeiro o grupo de 6 pessoas, o resultado final seria o mesmo. O número de maneiras distintas seria, no caso, 6

7 O último exemplo ilustra uma importante propriedade relativa às combinações simples. Se um conjunto possui n elementos, ao se formar uma combinação com p desses elementos, fica automaticamente formada uma combinação com os n p elementos restantes. Como conseqüência, Pode-se utilizar, também, outro critério interessante. Ao formar um agrupamento simples, costumam-se executar, basicamente, dois tipos de ações: escolher e ordenar. Temos, no caso, a seguinte lei geral: C 12, 4 = C 12, 12 4 = C 12, 8 C C 12,4 12, = 12 O FATORIAL E O NÚMERO DE COMBINAÇÕES SIMPLES Sabemos que n! An,p (n p)! e que An,p Cn,p p! Podemos concluir que Essa relação é útil, principalmente na resolução de equações em que a incógnita é a variável p. Exemplo 1) Resolver a equação 7C 6, p = 5C 7, p + 1. COMO DISTINGUIR PERMUTAÇÕES, ARRANJOS E COMBINAÇÕES SIMPLES A identificação do tipo de agrupamento simples é um dos aspectos importantes na resolução de problemas de cálculo combinatório. A partir das definições vistas neste capítulo, podemos estabelecer uma regra geral que facilita essa identificação. Suponhamos um conjunto A com n elementos distintos, a partir do qual se formam agrupamentos com p elementos (p n). Veja o esquema. QUESTÕES PROPOSTAS 23. De um grupo de 8 pessoas, de quantas formas diferentes pode-se formar uma comissão a) de 3 pessoas? b) de 4 pessoas, de forma que o indivíduo A seja um dos escolhidos? c) de 5 pessoas, de forma que não seja escolhido o indivíduo A? 24. Um hospital tem 4 médicos e 6 enfermeiros. De quantas formas pode-se formar uma comissão a) de 8 pessoas? b) de 5 pessoas, sendo 3 médicos? c) de 4 pessoas, com pelo menos 1 médico? d) de 5 pessoas, com no máximo 2 médicos? 25. Sobre uma circunferência, marcam-se oito pontos distintos. Usando esses pontos como vértices, determine a) o número de triângulos que podem ser construídos. b) o número de quadriláteros convexos que podem ser construídos. 26. Numa festa, há 15 pessoas. Se cada uma delas cumprimentar todas as demais, qual será o número total de cumprimentos? 7

8 27. Uma pessoa doou 6 brinquedos para uma creche, que acolhe 10 crianças. De quantas formas distintas podem ser distribuídos todos esses brinquedos (no máximo um para cada criança), a) se eles forem todos iguais? b) se eles forem todos diferentes? 28. Um partido político em formação tem apenas 12 filiados. A partir desse grupo, pretende-se constituir um diretório formado por 5 pessoas, das quais devem ser escolhidos um presidente e um vice-presidente. De quantas formas diferentes isso pode ser feito? 29. Quantos são os subconjuntos do conjunto A = {a, b, c, d, e}? 30. Qual é o número de diagonais de um polígono convexo de 8 lados? PERMUTAÇÕES COM ELEMENTOS REPETIDOS Suponhamos o seguinte problema: quantos são os anagramas da palavra ITATIAIA? Observe que a palavra tem 8 letras. Se elas fossem diferentes, haveria, no total, P 8 = 8! = anagramas. O fato de algumas letras serem repetidas reduzirá, é claro, o número de anagramas, porque a troca de posição de duas letras iguais não produz um novo anagrama. Para resolver o problema, podemos imaginar que temos 8 posições que devem ser ocupadas pelas 8 letras. Acompanhe uma possível seqüência de passos para se formar um anagrama da palavra ITATIAIA. Um dos anagramas é formado como exemplo. Escolher, entre as 8 posições disponíveis, 3 posições para as 3 letras I. Isso pode ser feito de C 8, 3 = 56 modos Escolher, entre as 5 posições restantes, 2 posições para as 2 letras T. Isso pode ser feito de C 5, 2 = 10 modos Observe que, agora, existe apenas uma opção para as 3 letras A: as três posições que sobraram. Portanto, de acordo com o princípio multiplicativo, o número total de anagramas da palavra ITATIAIA é A palavra ITATIAIA tem 8 letras, sendo que a letra I aparece 3 vezes; a letra T aparece 2 vezes; a letra A aparece 3 vezes. O número de anagramas é, no caso, o total de permutações de 8 elementos, sendo que um deles aparece 3 vezes, outro 2 vezes e o último, 3 vezes. Simbolicamente, o número de permutações é, no caso, 3,2,3 representado por P 8. Na resolução do problema, concluímos que o número de anagramas da palavra ITATIAIA é 3,2,3 8! P8 3!2!3! Esse resultado ilustra uma regra geral para o cálculo do número de permutações com elementos repetidos. Observe que, no numerador, temos o fatorial do número total de elementos a serem permutados. No denominador, temos, multiplicados, os fatoriais dos números que indicam quantas vezes cada elemento aparece. De maneira geral, Exemplo 1) Quantos são os anagramas da palavra MATEMÁTICA? 2) Permutando-se, entre si, os algarismos do número , quantos números pares são obtidos? QUESTÕES COMPLEMENTARES 31. (UFBA) Numa eleição para a diretoria de um clube concorrem 3 candidatos a diretor, 2 a vice-diretor, 3 a primeiro secretário e 4 a 8

9 tesoureiro. Qual é o número de resultados possíveis da eleição? 32. (Fuvest-SP) Num programa transmitido diariamente, uma emissora de rádio toca sempre as mesmas 10 músicas, mas nunca na mesma ordem. Para esgotar todas as possíveis seqüências dessas músicas, serão necessários aproximadamente a) 100 dias. b) 10 anos. c) 100 anos. d) 10 séculos. e) 100 séculos. 33. (UFRGS) De um ponto A a um ponto B, existem 5 caminhos; de B a um terceiro ponto C, existem 6 caminhos e de C a um quarto ponto D, existem também 6 caminhos. Quantos caminhos existem para se ir do ponto A ao ponto D, passando por B e C? 34. (FGV-SP) Antes de 1990, as placas de automóveis eram constituídas de duas letras seguidas de quatro algarismos. Quantas placas diferentes podiam ser formadas, naquela época, com as vogais do alfabeto e algarismos pares? 35. (UFCE) Quantos números inteiros compreendidos entre e podemos formar, se utilizarmos somente os algarismos 2, 3, 4, 6 e 7, de modo que não figurem algarismos repetidos? 36. (UFSC) Quantos números pares de cinco algarismos podemos escrever apenas com os dígitos 1, 1, 2, 2 e 3, respeitadas as repetições apresentadas? 37. (FESP) Um vendedor de livros tem oito livros de assuntos distintos para distribuir a três professores A, B e C. De quantos modos poderá fazer a distribuição, dando três livros ao professor A, quatro livros ao professor B e um livro ao professor C? 38. (UFGO) De um grupo de dez professores, dos quais exatamente cinco são de Matemática, deve ser escolhida uma comissão de quatro professores para elaborarem uma determinada prova de seleção. De quantas formas isso pode ser feito, se na comissão deve haver pelo menos um professor de Matemática? 39. (FCChagas-BA) Considerem-se todos os anagramas da palavra MORENA. Quantos deles têm as vogais juntas? 40. (Sta. Casa-SP) Existem 4 estradas de rodagem e 3 estradas de ferro entre as cidade A e B. Quantos são os diferentes percursos para se fazer a viagem de ida e volta entre A e B, utilizando rodovia e trem, obrigatoriamente, em qualquer ordem? 41. (Cesesp-PE) Num acidente automobilístico, após se ouvirem várias testemunhas, concluiu-se que o motorista culpado do acidente dirigia um veículo cuja placa era constituída de duas vogais distintas e quatro algarismos diferentes, sendo que o algarismo das unidades era o dígito 2. Qual é o número de veículos suspeitos? 42. (IMS-SP) Numa reunião de congregação, em que cada professor cumprimentou todos os seus colegas, registraram-se 210 apertos de mão. Qual era o número de professores presentes à reunião? 43. (VUNESP-SP) Considere, num plano, 10 pontos distintos entre si. Suponha que 4 desses pontos pertençam a uma mesma reta e que dois quaisquer dos demais não estejam alinhados com nenhum dos pontos restantes. Calcule o número de retas determinadas por esses 10 pontos. 44. (U.F. Pelotas-RS) Em um campeonato de damas, houve disputa entre 11 jogadores. Cada participante jogou com os demais 2 partidas, uma em cada turno do campeonato. No final, 2 jogadores ficaram empatados. Houve o jogo de desempate. Quantas partidas foram disputadas? 45. (UNIFOR-CE) Uma agência de publicidade necessita de 2 rapazes e 3 moças para fazer um comercial para TV. Dispondo de 4 rapazes e 5 moças, quantas opções tem a agência para formar o grupo necessário? 46. (UNIFOR-CE) O segredo de um certo cofre é constituído de 2 letras distintas (escolhidas entre as 23 do alfabeto) e 3 algarismos distintos (escolhidos de 0 a 9). Sabe-se que a letra da esquerda é uma vogal e que o algarismo da direita é divisível por 5. Qual é o número máximo de tentativas que podem ser feitas para abrir esse cofre? 47. (Osec-SP) Uma faculdade mantém 8 cursos diferentes. No vestibular, os candidatos podem fazer opção por 3 cursos, determinando-os por ordem de preferência. Qual o número possível de formas para optar? 9

10 48. (UFMG) Numa cidade A, os números de telefones têm 7 algarismos, sendo que os três primeiros constituem o prefixo da cidade. Os telefones que terminam em 10 são reservados para as farmácias e os que têm os dois últimos algarismos iguais, para os médicos e hospitais. Qual é a quantidade dos demais telefones disponíveis na cidade A? 49. (UFBA) Num determinado país, todo radioamador possui um prefixo formado por 5 símbolos assim dispostos: um par de letras, um algarismo diferente de zero, outro par de letras; por exemplo PY-6-CF. O primeiro par de letras é sempre PY, PT ou PV; o segundo par só pode ser constituído das 10 primeiras letras do alfabeto, não havendo letras repetidas. Qual é o número de prefixos disponíveis nesse país? 50. (UNEB) Uma urna contém 10 bolas: 6 pretas iguais e 4 brancas iguais. Quantas são as maneiras diferentes de se extrair, uma a uma, as 10 bolas da urna? 51. (Consart) De quantas maneiras três casais podem ocupar 6 cadeiras dispostas em fila, de tal forma que as duas das extremidades sejam ocupadas por homens? 52. (FGV-SP) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6. De quantos modos podemos permutá-los de modo que os algarismos ímpares fiquem sempre em ordem crescente? 53. (UFRGS) Em uma classe de doze alunos, um grupo de cinco será selecionado para uma viagem. De quantas maneiras distintas esse grupo poderá ser formado, sabendo que, entre os doze alunos, dois são irmãos e só poderão viajar se estiverem juntos? 54. (Fuvest-SP) Calcule quantos números múltiplos de 3, de quatro algarismos distintos, podem ser formados com 2, 3, 4, 6 e Determine o número de quadras ordenadas (x, y, z, t) de números naturais que satisfazem a equação x + y + z + t = (UnB) Seis pessoas A, B, C, D, E e F ficam em pé, uma ao lado da outra, para uma fotografia. Se A e B se recusam a ficar lado a lado e C e D insistem em aparecer uma ao lado da outra, qual é o número de possibilidades distintas para as 6 pessoas se disporem? Gabarito 1. a) 11 b) 380 c)60 d)(n + 1)n e) 6 n 42 f) n a) n natural; n 4 b) n = 9 3. a) 0 ou 4 b) 5 c) a) 8 b) 6 c) 20 d) 18 e) a) b) c) d) a) 625 b) 120 c) 500 d) a) 120 b) 24 c) a) b) c) d) a) b) 720 c) d) 24 e) 144 f) a) 720 b) 240 c) 240 d) 480 e) 240 f) 432º 15. a) 210 b) a) 8 b) 5 c) a) 120 b) 720 c) 120 d) 240 e) 80 f) 24 g) a) 720 b) 360 c) 360 d) a) 125 b) 60 c) a) 32 b) a) 56 b) 35 c) a) 45 b) 60 c)

11 d) a) 56 b) a) 210 b) e NOÇÕES DE PROBABILIDADE EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS Muitos experimentos, quando repetidos várias vezes nas mesmas condições, podem apresentar resultados diferentes, a princípio imprevisíveis. Eles são chamados experimentos aleatórios. O lançamento de uma moeda é um experimento aleatório. Isso significa que, ao se lançar uma moeda, não se pode prever, antecipadamente, se o resultado será cara ou coroa. O sorteio das seis dezenas da SENA também é um experimento aleatório. De fato, não se pode prever, a princípio, quais serão as seis dezenas sorteadas. A teoria das probabilidades desenvolve formas de se estabelecer a possibilidade (ou a chance) de ocorrência de possíveis resultados de um experimento aleatório. ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTO Num experimento aleatório, o conjunto de todos os resultados possíveis é chamado de espaço amostral. No nosso estudo, o espaço amostral de um experimento será representado por E. Conforme veremos adiante, será importante, no nosso estudo, o número de elementos do espaço amostral, que representaremos por n(e). No lançamento de uma moeda, o espaço amostral é o conjunto E = {cara, coroa}, logo n(e) = 2. No lançamento de um dado, o espaço amostral é o conjunto E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, logo n(e) = 6. 11

12 Em muitos casos, a determinação do número de elementos de um espaço amostral exigirá a aplicação dos conceitos da análise combinatória. No experimento escolher 3 pessoas de um conjunto de 8 pessoas, o espaço amostral é o número de combinações simples das 8 pessoas, tomadas 3 a 3, ou seja, No experimento escrever uma seqüência de três vogais, o espaço amostral é o conjunto de todas as formas de se formar tal sequência. Podemos utilizar o princípio multiplicativo de contagem. Como são cinco vogais, o número de elementos do espaço amostral é n(e) = = 125 Ao analisarmos certo experimento aleatório, podemos estar interessados em que ocorram determinados resultados. Ao conjunto dos resultados desejados em um experimento aleatório damos o nome de evento. Portanto, um evento é qualquer subconjunto do espaço amostral do experimento. Cada experimento aleatório tem um único espaço amostral. Podem-se definir nele, no entanto, vários eventos, dependendo dos resultados desejados. Será importante, principalmente, o número de elementos que compõem cada evento. Representaremos o número de elementos de um evento A por n(a). No lançamento de um dado, sabemos que o espaço amostral é E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(e) = 6 Nele, podemos considerar, por exemplo, os seguintes eventos: resultado par: A = {2, 4, 6} e, no caso, n(a) = 3; resultado maior que 4: B = {5, 6}, sendo n(b) = 2. No lançamento de uma moeda duas vezes, o espaço amostral é o conjunto de pares ordenados E = {(Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Ca), (Co, Co)}, em que Ca simboliza cara e Co indica coroa. Veja alguns possíveis eventos contidos nesse espaço amostral: cara no 1o lançamento: X = {(Ca, Ca), (Ca, Co)} e, portanto, n(x) = 2; resultados iguais nos dois lançamentos: Y = {(Ca, Ca), (Co, Co)}, sendo n(y) = 2 De um conjunto com 5 pessoas, considere o experimento formar uma comissão de 3 pessoas e o evento uma das três pessoas escolhidas ser o indivíduo A. Encontrar o número de elementos do espaço amostral e do evento. O número de elementos do espaço amostral é o total de combinações simples das 5 pessoas, tomadas três a três. Portanto, O número de elementos do evento considerado é o total de combinações simples das outras 4 pessoas, tomadas duas a duas, levando-se em conta que o indivíduo A já teria sido escolhido. Logo, chamando esse evento de A, QUESTÕES PROPOSTAS 1. Identifique, entre os experimentos abaixo, os que são aleatórios. a) Sorteio de um número em uma rifa. b) Resultado da adição de dois números dados. c) Retirada de três cartas de um baralho, com os olhos vendados. d) Retirada de 20 bolas num Bingo. e) Escolha dos três alunos mais altos em sua classe. 2. Considere o experimento aleatório sortear ao acaso um número natural de 1 a 15. Determine o número de elementos do a) espaço amostral; b) evento obter resultado ímpar ; c) evento obter resultado primo ; d) evento obter resultado múltiplo de 3 ; e) evento obter resultado menor que 20 ; f) evento obter resultado maior que Considere o experimento aleatório lançar um dado duas vezes. Determine o número de elementos do a) espaço amostral; b) evento obter 4 no primeiro lançamento ; c) evento obter números iguais nos dois lançamentos ; 12

13 d) evento obter, nos dois lançamentos, números cujo produto é 6 ; e) evento obter, nos dois lançamentos, números cuja soma é menor que 13 ; f) evento obter, nos dois lançamentos, números cuja diferença é Com os algarismos 2, 3, 4, 5 e 7, considere o experimento aleatório formar, ao acaso, um número de 5 algarismos distintos. Determine o número de elementos do a) espaço amostral; b) evento formar um número par ; c) evento formar um número começando por 4 e terminando em 5 ; d) evento formar um número divisível por 3 ; e) evento formar um número maior que São dados 5 pontos não-alinhados 3 a 3 e situados num mesmo plano, como na figura. Considere o experimento aleatório traçar uma reta ligando dois desses pontos. Determine o número de elementos do a) espaço amostral; b) evento a reta passar por B ; c) evento a reta não passar nem por A nem por E ; d) evento a reta passar por três desses pontos. 6. Cinco atletas A, B, C, D e E, igualmente competentes, vão disputar a prova dos cem metros rasos. Considere o experimento apostar quem serão, ordenadamente, o primeiro, o segundo e o terceiro colocado na prova. Determine o número de elementos do a) espaço amostral; b) evento apostar em C como primeiro colocado ; c) evento apostar que as três primeiras posições serão ocupadas por B, C e D, não necessariamente nesta ordem. PROBABILIDADE DE UM EVENTO Vamos nos ocupar, nesse nosso estudo, de experimentos cujo espaço amostral é equiprovável. Dizemos que o espaço amostral de um experimento aleatório é equiprovável quando todos os seus elementos (resultados possíveis) têm a mesma chance de ocorrer. Em um espaço amostral equiprovável, a probabilidade de ocorrer um evento é, por definição, a razão entre o número de elementos do evento e o número de elementos do espaço amostral. A probabilidade de ocorrer um evento A é indicada por p(a). Portanto, se E é o espaço amostral de um experimento aleatório e A é um evento contido em E, a probabilidade de ocorrer A é dada por A probabilidade pode ser expressa por uma fração ou por uma taxa percentual. 1) No lançamento de um dado, determinar a probabilidade de se obter um número ímpar. 2) (UFSC Adaptação) Uma urna tem 10 bolas idênticas, numeradas de 1 a 10. Se retirarmos uma bola da urna, qual é a probabilidade de não obtermos a bola número 7? 3) No lançamento de um dado, determinar a probabilidade de se obter a) o número 3; b) um número primo; c) um número menor que 7; d) um número maior que 8. OBSERVAÇÃO Quando um evento é igual ao espaço amostral, como nesse caso (item c), dizemos que ele é um evento certo. A probabilidade de ocorrer um evento certo é sempre igual a 1 ou 100%. Quando um evento é vazio, como nesse último caso (item d), dizemos que ele é um evento impossível. A probabilidade de ocorrer um evento impossível é sempre igual a 0. 4) Escrevem-se todos os números de seis algarismos distintos, utilizando-se os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 9. Escolhendo-se um desses números ao acaso, determinar a probabilidade de ele ser 13

14 a) menor que 2 000; b) ímpar; c) múltiplo de 3. INTERVALO DE VARIAÇÃO DA PROBABILIDADE Pode-se observar, a partir da definição, que a probabilidade de ocorrer um evento varia de um mínimo igual a zero (evento impossível) até um máximo igual a 1 (evento certo). Portanto, qualquer que seja o evento A contido num espaço amostral E, EVENTO COMPLEMENTAR Se A é um evento contido num espaço amostral E, chama-se evento complementar de A, e se indica por A, o evento definido por A. A = E A Exemplo Se a probabilidade de ocorrer um evento A é 35%, então a probabilidade de não ocorrer o evento A é 100% 35% = 65%. QUESTÕES PROPOSTAS 7. Numa rifa, foram vendidos bilhetes numerados de 1 a 50. Qual é a probabilidade de o número sorteado ser a) par? b) múltiplo de 6? c) maior que 30? 8. Retirando-se aleatoriamente uma carta de um baralho com 52 cartas, qual é a probabilidade de a carta retirada ser a) de espadas? b) um rei? c) uma dama de ouros? 9. Retirou-se uma carta de um baralho de 52 cartas e obteve-se uma dama. Tirando-se em seguida uma segunda carta, qual é a probabilidade de ela a) ser outra dama? b) não ser outra dama? Relacione os resultados dos itens a e b. Na figura 1, o retângulo representa o espaço amostral E e o círculo, um evento A, contido em E. A região sombreada representa A, o evento complementar de A. Exemplo No lançamento de um dado, E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. O evento obter resultado par é A = {2, 4, 6}. O evento complementar é obter resultado ímpar : A = E A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} {2, 4, 6} = {1, 3, 5} É fácil observar que o evento A é a negação do evento A. No nosso exemplo, o evento A é obter resultado par e o evento A é não obter resultado par. A soma das probabilidades de um evento A e do evento A complementar é igual a 1. Em símbolos: p(a) + p( A ) = 1= 100% ou p( A ) = 1 p(a) 10. Lança-se um dado honesto duas vezes. Qual é a probabilidade de a soma dos pontos obtidos nos dois lançamentos ser menor que 6? 11. Numa brincadeira, seu colega vai jogar um dado não-viciado duas vezes e quer que você acerte a soma dos pontos nos dois lançamentos. Qual é o melhor palpite? 13. Num cassino, uma roleta tem apenas os números naturais de 0 a 7. Quando a roleta cai no zero, a aposta é da casa. O proprietário do cassino criou um mecanismo que faz com que o zero tenha três vezes mais chances de ser sorteado que cada um dos demais números. Ao se girar a roleta, qual é a probabilidade de se obter zero? 14. Considere todos os números de 5 algarismos distintos que podem ser formados, utilizando-se os algarismos 1, 2, 4, 5 e 9. Sorteando-se aleatoriamente um desses números, qual é a probabilidade de ele ser a) par? b) múltiplo de 3? c) múltiplo de 5? d) múltiplo de 9? 14

15 15. De um grupo de 3 professores de matemática, 2 de física e 4 de química, escolhem-se aleatoriamente 5 para participarem de uma reunião. Qual é a probabilidade de, entre os professores escolhidos, a) não haver nenhum de física? b) figurarem todos os de matemática? c) todos serem da mesma matéria? 16. Suponha que 5 pessoas de alturas diferentes se coloquem aleatoriamente em fila. Qual é a probabilidade de a) a mais alta ser a primeira e a mais baixa ser a última da fila? b) a mais alta e a mais baixa ficarem juntas? c) as pessoas ficarem em ordem crescente ou decrescente de altura? PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS Da teoria de conjuntos, sabemos que, quanto ao número de elementos dos conjuntos A, B, A B e A B, vale a seguinte relação: n(a B) = n(a) + n(b) n(a B) Considerando-se que A e B sejam dois eventos contidos num espaço amostral E, vamos dividir cada termo daquela igualdade por n(e). Obtemos 2) Sorteia-se, ao acaso, um número natural de 1 a 25. Qual é a probabilidade de o número sorteado terminar em 8 ou ser maior que 20? QUESTÕES PROPOSTAS 17. No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de se obter resultado a) menor que 3 ou maior que 4? b) ímpar ou primo? 18. Retirando-se, ao acaso, uma carta de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de que ela seja: a) uma carta de paus? b) um ás? c) uma carta de paus ou um ás? d) uma carta de ouros ou de copas? 19. Sorteia-se, ao acaso, um número natural de 1 a 20. Qual é a probabilidade de o número sorteado: a) ser maior que 10? b) ser primo? c) não ser primo? d) ser primo ou maior que 10? e) ser maior que 15 ou múltiplo de 7? 20. Numa caixa, há 40 bolas. Algumas são brancas; as outras pretas. Algumas são leves; as outras pesadas. Esses atributos obedecem ao quadro abaixo: Podemos concluir, então, que Retirando-se, ao acaso, uma bola dessa caixa, qual é a probabilidade de ela ser: OBSERVAÇÂO: Se dois eventos A e B não têm nenhum elemento comum, ou seja, A B =, dizemos que eles são eventos mutuamente exclusivos. No caso, é claro que: 1) Jogando-se um dado, qual é a probabilidade de se obter número par ou número maior que 2? a) branca? b) pesada? c) branca e pesada? d) preta ou leve? 21. Numa festa, há 10 homens e 15 mulheres. Dos 13 fumantes que estão na festa, 8 são homens. Escolhendo-se aleatoriamente uma das pessoas da festa para fazer um discurso, qual é a probabilidade de ela ser: a) fumante? b) não-fumante? c) mulher? d) homem fumante? e) mulher ou fumante? 15

16 22. Formam-se todos os anagramas da palavra ALUNO. Escolhendo-se um deles ao acaso, qual é a probabilidade de o anagrama escolhido: a) começar por vogal? b) terminar em consoante? c) começar por vogal e terminar em consoante? d) começar por vogal ou terminar em consoante? 23. De um grupo de 5 corintianos, 4 flamenguistas e 3 gremistas, forma-se ao acaso uma comissão de 4 pessoas. Qual é a probabilidade de haver, na comissão formada, a) exatamente 2 corintianos? b) exatamente 2 flamenguistas? c) exatamente 2 corintianos e 2 flamenguistas? d) exatamente 2 corintianos ou 2 flamenguistas? PROBABILIDADE DE EVENTOS SUCESSIVOS Muitas vezes, estamos interessados em analisar a probabilidade de ocorrerem, sucessivamente, dois ou mais eventos. Se os possíveis resultados de um deles têm influência sobre os possíveis resultados dos demais, dizemos que eles são eventos dependentes. Se essa influência não ocorre, dizemos que eles são eventos independentes. Se dois eventos A e B são independentes, a probabilidade de que eles ocorram sucessivamente é o produto das probabilidades de cada um. PROBABILIDADE CONDICIONAL: Antes da realização de um experimento, é necessário que já tenha alguma informação sobre o evento que se deseja observar. Nesse caso, o espaço amostral se modifica e o evento tem a sua probabilidade de ocorrência alterada. Chama-se probabilidade condicional de um evento B a probabilidade de esse evento ocorrer considerando-se que já ocorreu o evento A. Que indicaremos como: P (B/A) Lê-se: probabilidade de B dado que ocorreu A 1) No lançamento de dois dados, sabe-se que obteve nas faces voltadas para cima a soma dos pontos igual a 6. Qual a probabilidade de que essas faces apresentem o mesmo número de pontos? 2) No lançamento de dois dados, sabe-se que o produto dos números de pontos obtidos nas faces voltadas para cima é ímpar. Qual a probabilidade de que pelo menos um desses números seja o 5? Note que o fato de sabermos que ocorreu um número par faz com que o espaço amostral fique reduzido a esse evento, ou seja: ocorrer um número par. Assim podemos definir a probabilidade condicional como: P B n(b) A n(a) P(A B) P A P(A) ou B 1) Joga-se um dado e lança-se uma moeda. Qual é a probabilidade de se obter número par no dado e coroa na moeda? 2) Uma urna contém 3 bolas pretas e 9 bolas brancas. Retira-se da urna, aleatoriamente, uma bola e anota-se sua cor. Recoloca-se essa bola na urna e, em seguida, retira-se novamente uma bola e anota-se sua cor. Qual é a probabilidade de a primeira bola ser preta e a segunda ser branca? 3) Numa urna, há 3 bolas pretas, 2 bolas brancas e 5 bolas vermelhas. Retiram-se da urna, sucessivamente, duas bolas, sem reposição. Qual é a probabilidade de que a primeira seja preta e a segunda vermelha? RESUMINDO: A probabilidade de ocorrer o evento B, sabendo que já ocorreu o evento A é a razão entre o que queremos que aconteça pelo que já aconteceu. QUESTÕES PROPOSTAS 24. Um concurso consiste em sortear-se uma letra e, em seguida, um algarismo de 0 a 9. Sabendo-se que o alfabeto tem 23 letras, qual é a probabilidade de serem sorteados uma vogal e um algarismo par? 25. (Mauá SP) Lançando-se simultaneamente um dado e uma moeda, determine a probabilidade de se obter 3 ou 5 no dado e cara na moeda. 16

17 26. Dez indivíduos, formando cinco casais, participam de um sorteio de dois prêmios. O primeiro prêmio é sorteado entre os homens; o segundo, entre as mulheres. Qual é a probabilidade de os dois contemplados serem o casal André e Marina? 27. Estatísticas mostram que um determinado jogador tem 70% de probabilidade de marcar gol, ao bater um pênalti. Se ele bater três pênaltis seguidos, qual é a probabilidade de ele marcar gol em todos eles? 28. Sabe-se que a probabilidade de que um filho de um determinado casal nasça com olhos verdes é 1/3. Suponha que o casal tenha dois filhos. Qual é a probabilidade de a) os dois terem olhos verdes? b) nenhum deles ter olhos verdes? 29. Um baralho incompleto tem 20 cartas, das quais 4 são ases. Retira-se uma carta do baralho. Em seguida, essa carta é reposta e retira-se novamente uma carta. Qual é a probabilidade de a) ambas as cartas serem ases? b) apenas a primeira carta ser um ás? c) nenhuma das duas cartas ser um ás? 30. Resolva o problema anterior, supondo que a primeira carta retirada não seja reposta, antes da retirada da segunda. 31. São sorteados três números naturais distintos de 1 a 10. Qual é a probabilidade de o primeiro ser par, o segundo ímpar e o terceiro ímpar? 32. Um teste de múltipla escolha tem quatro alternativas, sendo apenas uma delas verdadeira. O professor pergunta ao aluno qual é ela. Como ele não sabe, começa a responder ao acaso, até descobrir a correta. Qual é a probabilidade de que o aluno acerte a) na primeira tentativa? b) na segunda tentativa? c) na terceira tentativa? QUESTÕES COMPLEMENTARES 33. (UEL PR) No lançamento simultâneo de dois dados distintos e não-viciados, qual é a probabilidade de se obter a soma de pontos igual a 7? a) 1/6 b) 5/36 c) 1/12 d) 1/18 e) 1/ (Mauá SP) Uma urna contém 10 bolas brancas, 8 vermelhas e 6 pretas, todas iguais e indistinguíveis ao tato. Retirando-se uma bola ao acaso, qual é a probabilidade de ela não ser preta? 35. (Fuvest SP) Escolhem-se ao acaso dois números distintos de 1 a 20. Qual é a probabilidade de que o produto dos números escolhidos seja ímpar? a) 9/38 b) 1/2 c) 9/20 d) 1/4 e) 8/2 36. Você faz parte de um grupo de 10 pessoas, sendo que 3 dessas pessoas receberão um mesmo prêmio. Calcule a probabilidade de que você seja um dos premiados. 37. (Faap SP) Qual é a probabilidade de se obter um número divisível por 5, na escolha ao acaso de uma das permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5? a) 5 b) 1/5 c) 1 d) 4 e) ¼ 38. (Cesgranrio) A probabilidade de um número inteiro n, 1 n 999, ser um múltiplo de 9 é a) 1/999 b) 1/10 c) 2/9 d) 1/3 e) 1/9 39. (Osec SP) Se certo casal tem três filhos, então a probabilidade de os três filhos serem do mesmo sexo, dado que o primeiro é homem, vale a) 1/3 b) 1/2 c) 1/5 d) 1/4 e) 1/6 40. (Fasp SP) Com os dígitos 1, 4, 7, 8, 9, são formados números de três algarismos distintos. Um deles é escolhido ao acaso. Qual é a probabilidade de ele ser ímpar? a) 2/5 b) 1/2 c) 10/6 d) 3/5 e) n. d. a. 17

18 41. (Fasp SP) Um colégio tem 400 alunos. Destes,100 estudam matemática, 80 estudam física, 100 estudam química, 20 estudam matemática, física e química, 30 estudam matemática e física, 30 estudam química e física e 50 estudam somente química. A probabilidade de um aluno escolhido ao acaso estudar matemática e química é a) 1/10 b) 1/8 c) 2/5 d) 5/3 42. (Sta. Casa SP) Num grupo de 60 pessoas, 10 são torcedoras do São Paulo, 5 são torcedoras do Palmeiras e as demais são torcedoras do Corinthians. Escolhido ao acaso um elemento do grupo, a probabilidade de ele ser torcedor do São Paulo ou do Palmeiras é a) 0,4 b) 0,25 c) 0,5 d) 0,3 e) n.d.a. 43. (UFMS) Atendendo a um anúncio, algumas pessoas candidataram-se a uma única vaga para um emprego. Sabendo que, dessas pessoas, 25 são mulheres, 17 usam óculos e, ainda, há 14 homens que não usam óculos e 4 mulheres que usam óculos, a probabilidade de ser escolhido um homem que usa óculos é a) 1/13 b) 1/4 c) 13/51 d) 1/2 e) ¾ 44. Sorteiam-se, consecutivamente, dois números distintos de 1 a 15. Qual é a probabilidade de: a) o primeiro número sorteado ser ímpar ou múltiplo de 3? b) os dois números sorteados serem ímpares? 45. (Unesp-SP) Numa gaiola, estão 9 camundongos rotulados 1, 2, 3,...,9. Selecionando-se conjuntamente 2 camundongos ao acaso (todos têm igual possibilidade de serem escolhidos), a probabilidade de que a seleção de ambos os camundongos tenha rótulo ímpar é a) 0, b) 0,47 c) 0,17 d) 0, e) 0, (Fuvest SP) Escolhido ao acaso um elemento do conjunto de divisores positivos de 60, a probabilidade de que ele seja primo é a) ½ b) 1/3 c) ¼ d) 1/5 e) 1/6 47. (Fuvest SP) Uma urna contém três bolas: uma verde, uma azul e uma branca. Tira-se uma bola ao acaso, registra-se sua cor e coloca-se a bola de novo na urna. Repetese essa experiência mais duas vezes. Qual é a probabilidade de serem registradas três cores distintas? 48. Suponha que você vai retirar 4 cartas consecutivas de um baralho de 52 cartas. Qual é a probabilidade de que todas sejam de copas? 49. (FGV SP) Um grupo de 6 amigos, A, B, C, D, E e F, pretende realizar um passeio em um barco onde só há três lugares. É feito, então, um sorteio, para serem escolhidos os três amigos que ocuparão o barco. Qual é a probabilidade de que A seja escolhido e B não o seja? 50. (PUCC SP) Três crianças do sexo masculino e três do sexo feminino são chamadas ao acaso para submeterem-se a um exame biométrico. Qual é a probabilidade de serem chamadas, alternadamente, crianças de sexos diferentes? 51. (Unicamp SP - Adaptação) Uma moeda é viciada, de modo que a probabilidade de ocorrer cara numa jogada é 30% a mais do que a de ocorrer coroa. Se essa moeda for jogada duas vezes, consecutivamente, a probabilidade de ocorrência de cara nas duas jogadas é a) 49% b) 42,25% c) 64% d) 64,25% e) 15% Gabarito Questões de múltipla escolha a) 33, 35, 41 b) 37, 42, 43, 51 c) 46 d) 39, 40, 45 e) 38 Questões discursivas 1. a, c, d 2. a) 15 b) 8 c) 7 d) 5 e) 15 f) 0 3. a) 36 b) 6 c) 6 d) 4 e) 36 g) 0 18

19 4. a) 120 b) 48 c) 6 d) 120 e) 0 5. a) 10 b) 6 c) 3 d) 0 6. a) 60 b) 12 c) a) 1/2 ou 50% b) 4/25 ou 16% c) 2/5 ou 40% 8. a) 1/4 b) 1/13 c) 1/52 9. a) 1/17 b) 16/17 (São eventos complementares) 10. 5/ a) 1/4 b) 1/4 c) 1/ % % 44. a) 2/3 b) 4/ / / % % 12. a) 25% b) 75% % 14. a) 40% b) 100% c) 20% d) a) 16,67% b) 11,9% c) a) 5% b) 40% c) 1,67% 17. a) 2/3 b) 2/3 18. a) 1/4 b) 1/13 c) 4/13 d) 1/2 19. a) 50% b) 40% c) 60% d) 70% e) 35% 20. a) 50% b) 75% c) 42,5% d) 57,5% 21. a) 13/25 b) 12/25 c) 3/5 d) 8/25 e) 23/ a) 3/5 b) 2/5 c) 3/10 d) 7/ a) 14/33 b) 56/165 c) 4/33 d) 106/ / / % ,3% 28. a) 1/9 b) 4/9 29. a) 1/25 b) 4/25 c) 16/ a) 3/95 b) 16/95 c) 12/ /36 19

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