Matemática Financeira

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1 Matemática Financeira Conceitos Básicos Regimes de Juro Taxas de Juro Equivalência de Capitais Rendas Reembolso de Empréstimos Exemplos 1

2 Matemática Financeira Conceitos Básicos Capital (Financeiro) Tempo (Prazo de aplicação) Juro ( Remuneração do Capital no Tempo) 2

3 Matemática Financeira Juro e taxa de juro Juro: -Preço de uso do Capital alheio (j) ou (J) Taxa de Juro: -Acréscimo gerado por uma unidade de capital durante uma unidade de tempo (i) : 1 1+i t t+1 3

4 CAPITALIZAÇÃO/ACTUALI ZAÇÃO DE CAPITAIS O valor do dinheiro no tempo - Capitalização: Valor acumulado no fim do prazo de capitalização - Valor futuro - Actualização Valor actual Valor descontado para o momento actual (presente) 4

5 Conceitos de capitalização e de actualização e Regimes de Juros Regime de juro simples: (o juro produzido é só função do tempo de aplicação do capital inicial) Regime de juro composto (o juro produzido é função do tempo, do capital inicial e dos juros vencidos em cada unidade de tempo, que passam também a vencer juros) 5

6 Conceito capitalização : Exemplo : Co=1.000 i = 10%/ Ano N = 1 ano C(1) = *(1+10%)= Juros (1) 1000*10%=100 6

7 Conceito capitalização : Regime de juro simples C(1) = *(1+10%)= C(2) = *(1+2*10%)= C(3)=1.000*(1+3*10%)= C(5) = 1.000*(1+5*10%) = Ano Montante início Juros ganhos Montante fim ,00 100, , ,00 200, , ,00 300, , ,00 400, , ,00 500, ,00 total dos Juros 500,00 7

8 Conceito capitalização : Regime de juro composto C(1) = *(1+10%)= C(2) = *1,1*1,1= 1.000*1,1^2=1.210 C(3)=1.000*1,1*1,1*1,1=1.000 *1,1^3= C(5) = 1.000*1,1^5 = 1.610,51 Ano Montante início Juros ganhos Montante fim ,00 100, , ,00 110, , ,00 121, , ,00 133, , ,10 146, ,51 total dos Juros 610,51 8

9 Juros simples e juros compostos , , Capital inicial Juros simples Juros de juros 9

10 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO Regime de juro composto Regime de juro simples 10

11 Valor futuro de 1 para diferentes períodos e para diferentes taxas de juro Regime de juro composto Valor futuro de 1,00 p/ diferentes períodos e diferentes taxas de juro - RJC Taxa de Juros i N.º Períodos 2% 4% 6% 8% 10% 12% 1 1,0200 1,0400 1,0600 1,0800 1,1000 1, ,0404 1,0816 1,1236 1,1664 1,2100 1, ,0612 1,1249 1,1910 1,2597 1,3310 1, ,0824 1,1699 1,2625 1,3605 1,4641 1, ,1041 1,2167 1,3382 1,4693 1,6105 1, ,2190 1,4802 1,7908 2,1589 2,5937 3, ,3459 1,8009 2,3966 3,1722 4,1772 5, ,4859 2,1911 3,2071 4,6610 6,7275 9,

12 Valor futuro de 1 para diferentes períodos e para diferentes taxas de juro Regime de juro composto 12,00 10,00 12% 8,00 10% 6,00 8% 4,00 6% 2,00 4% 2% 0,

13 Valor actual Desconto Regime Juro simples Desconto por fora Tendo uma dívida a pagar daqui um ano, no montante de 1000,00 e podendo pagá-la já hoje, podemos questionar: qual o desconto que nos farão se pagarmos hoje? Se nos fizerem um desconto de 10%... VA RJS Df=1.000*10%)= ,3 VF O valor do desconto D=1.000,00*, 1=100,00 Valor actual = 1.000,00-100,00=900,00 13

14 Valor actual Desconto Regime Juro simples Desconto por dentro O Sr. A tem a receber o valor de daqui a um dois anos vencendo juros à taxa de juro anual 10%. Se acordar com o Sr. B o pagamento integral da dívida hoje qual o valor que deverá receber? RJS VF Dd=Ct-C0 Dd=Ct-C0/(1+i*t) C0=Ct/(1+i*t) C0=1.000/(1+10%*2)=833,333 Dd= ,333=166,667 VA Dd=1.000*10%*2/(1+10%*2)=166, ,3 14

15 Valor actual Desconto Regime Juro composto O Sr. A tem a receber o valor de daqui a um dois anos vencendo juros compostos à taxa de juro anual 10%. Se acordar com o Sr B o pagamento integral da dívida hoje qual o valor que deverá receber? RJC VF D=1.000*10%*2/(1+10%)^2=173,554 D=Ct-C0 D=Ct-C0/(1+i)^t C0=Ct/(1+i)^t C0=1.000/(1+10%)^2=826,446 D= ,446=173,554 VA 0 826,

16 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A EQUAÇÃO DO VALOR : SE: ΣC j,t j, (i) = ΣC j,t j, (i) (j = 1,2,...n) (j = 1,2,...m) ENTÃO, OS DOIS CONJUNTOS SÃO EQUIVALENTES -EM REGIME DE JURO SIMPLES -EM REGIME DE JURO COMPOSTO 16

17 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS EQUAÇÃO GERAL DO VALOR REGIME DE JURO SIMPLES: A = C1, C2, C3,...Cn; Venc. em t1, t2, t3,...tn B = C 1, C 2,C 3,...C m ; Venc. em t 1, t 2, t 3,...t m.desconto POR DENTRO: n m ΣC j / (1+i.tj) = ΣC j /( 1+i.t j) j = 1 j =1.DESCONTO POR FORA n n ΣC j -i.σc j tj m m = ΣC j -i.σc j t j j = 1 j=1 j =1 j=1 17

18 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS EQUAÇÃO GERAL DO VALOR REGIME DE JURO COMPOSTO: n m ΣC j. (1+i) -tj = ΣC j.( 1+i) -t j j = 1 j =1 18

19 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS CASOS PARTICULARES DA EQUAÇÃO DO VALOR.CAPITAL ÚNICO: C t,t,i = ΣC j,t,i ; incógnita C t ; t dado - Em Reg. Juro Simples - Em regime de juro composto.vencimento MÉDIO : ΣC j = ΣC j,t,i ; incógnita t ; C dado (C = soma aritmética dos capitais) - Em Reg. Juro Simples - Em regime de juro composto 19

20 EQUIVALÊNCIA DE TAXAS Taxas referidas a diferentes períodos, produzem o mesmo montante de juros num determinado prazo de tempo.em regime de juro simples: ( o período da taxa i cabe m vezes no período da taxa i) : 1+i = 1+m.i, então: i = i / m.em regime de juro composto: ( o período da taxa i cabe m vezes no período da taxa i) : 1+i = (1+i ) m ; então : i = (1+i) 1/m -1 20

21 EQUIVALÊNCIA DE TAXAS Noção de : -Taxas nominais (ou declaradas) -Taxas efectivas -Taxas equivalentes -Taxas proporcionais -TAEG = Taxa Anual Equivalente Geral 21

22 Taxas efectivas e frequência de capitalização Taxa anual efectiva para um empréstimo com taxa anual nominal (declarada)de 6% N.º Períodos m Taxa anual efectiva Anualidade % Semestralidade % Trimestral % Mensal % Semanal % Diária % m - n.º de capitalizações no ano 22

23 RENDAS SUCESSÃO DE CAPITAIS QUE SE VENCEM PERIÓDICAMENTE SENDO O INTERVALO DE TEMPO ENTRE PERÍODOS CONSTANTE -TERMO DA RENDA : T ( constante ou variável, certo ou incerto) -PERÍODO DA RENDA: p (constante) T 1 T 2... T n n p 23

24 RENDAS INTEIRAS TEMPORÁRIAS IMEDIATAS DE TERMOS: -NORMAIS (POST.) RENDAS CERTAS OU INCERTAS FRACCIONADAS PERPÉTUAS DIFERIDAS - ANTECIPADOS DE TERMOS: CONSTANTES OU VARIÁVEIS 24

25 RENDAS RENDA CERTA, INTEIRA, TEMPORÁRIA, IMEDIATA, DE TERMOS CONSTANTES E NORMAIS ( OU POSTECIPADOS) T 1 T 2 T n n a n i s n i 1- (1+i) -n (1+i) n -1 a n i = s n i = i i 25

26 Rendas RENDA CERTA, INTEIRA, TEMPORÁRIA, IMEDIATA, DE TERMOS CONSTANTES E ANTECIPADOS T 1 T 2 T n n-1 n a n i (1+i) s n i (1+i) 1- (1+i) -n (1+i) n -1 a n i = (1+i) s n i = (1+i) i i 26

27 Rendas RENDA CERTA, INTEIRA, TEMPORÁRIA, DIFERIDA, DE TERMOS CONSTANTES E NORMAIS (POSTECIPADOS) T 1 T 2 T n t t+1... n... n+t a n i (1+i) -t s n i 1- (1+i) -n (1+i) n -1 t a n i = (1+i) -t s n i = i i 27

28 Rendas RENDA CERTA, INTEIRA, PERPÉTUA, IMEDIATA, DE TERMOS CONSTANTES E NORMAIS ( OU POSTECIPADOS) T 1 T 2 T n n oo a n i s n i 1 a n i =? i 28

29 RENDAS RENDA CERTA, FRACCIONADA, TEMPORÁRIA, IMEDIATA, DE TERMOS CONSTANTES E NORMAIS ( OU POSTECIPADOS) T 1 T m T n.m 1/m n (m) (m) a n i s n i (m) 1- (1+i) -n i (m) (1+i) n 1 i a n i =. ; s n i =. i i i i 29

30 RENDAS RENDA CERTA, FRACCIONADA, TEMPORÁRIA, IMEDIATA, DE TERMOS CONSTANTES E NORMAIS ( OU POSTECIPADOS). CONVERSÃO EM RENDA INTEIRA: (m) 1- (1+i) n i 1- (1+i ) n.m a n i = a n.m i»»»». = i i i ( I = (1+i) 1/m 1 ; período da taxa e período da renda coincidentes) (m) (1+i) n 1 i (1+i ) n.m 1 s n i = s n.m i»»». = i i i 30

31 REEMBOLSO DE EMPRÉSTIMOS Da combinação de cada par de hipoteses ( reembolso do capital/pagamento dos juros) obtemos seis hipóteses de base, as quais iremos designar por modalidades de reembolso, conforme a seguir se descreve: Amortização do capital Pagamento do juro NO FIM DO PRAZO NO FIM DO PRAZO Modalidades A1 B1 1ª. ( A1; B1) NO INICIO DO PRAZO B2 2ª. (A1; B2) ESCALONADO B3 3ª. (A1 ; B3) ESCALONADO DURANTE NO FIM DO PRAZO O PRAZO B1 4ª. (A2 ; B1) A2 NO INICIO DO PRAZO B2 5ª. (A2 ; B2 ) ESCALONADO B3 6ª. (A2 ; B3 ) 31

32 REEMBOLSO DE EMPRÉSTIMOS EM REGIME DE JURO SIMPLES : (A 1,B 1 ) : + Co - Co -Jn 0 n Co = Co / (1+n.i) + Jn / (1+ n.i) Jn = Co.n.i 32

33 REEMBOLSO DE EMPRÉSTIMOS EM REGIME DE JURO SIMPLES : (A 1,B 2 ) : + Co - Co -Jo 0 n Co = Jo + Co / (1+n.i) Jo = Co.n.i / ( 1+n.i) = Jn / ( 1+n.i) 33

34 REEMBOLSO DE EMPRÉSTIMOS EM REGIME DE JURO SIMPLES : (A 1,B 3 ) : + Co - Co -J 1 -J 2 -J 3 -J n n Co = Jn/ (1 +n.i) + Co / (1+n.i) Jn = Co.n.i = j.n»»»»»»»j = Co. i Obs- Como os juros não produzem juros, não se pode aplicar um algoritmo de actualização aos juros vencidos no fim de cada período. 34

35 REEMBOLSO DE EMPRÉSTIMOS EM REGIME DE JURO COMPOSTO : (A 1,B 1 ) : + Co - Co -Jn 0 n Co = Co / (1+i) n + Jn / (1+ i) n Jn = Co [ ( 1+i) n 1] 35

36 REEMBOLSO DE EMPRÉSTIMOS EM REGIME DE JURO COMPOSTO : (A 1,B 2 ) : + Co - Co -Jo 0 n Co = Jo + Co / (1+i) n Jo = Co[ (1+ i) n 1 ] / ( 1+i ) n = Jn / ( 1+i ) n 36

37 REEMBOLSO DE EMPRÉSTIMOS EM REGIME DE JURO COMPOSTO : (A 1,B 3 ) : + Co - Co -J 1 -J 2 -J 3 -J n n Co = j.a ni + Co / (1+i) n j = [Co Co. (1+i) -n ] / a ni = Co. i 37

38 REEMBOLSO DE EMPRÉSTIMOS EM REGIME DE JURO COMPOSTO : (A 2,B 1 ) : + Co - Co/n - Co/n - Co/n - J n n Co = Co/n.a ni + Jn / (1+i) n Jn = Co(n a n i ) / [n.(1+i)-n ] 38

39 REEMBOLSO DE EMPRÉSTIMOS EM REGIME DE JURO COMPOSTO : (A 2,B 2 ) : + Co -Co/n -Co/n - Co/n -Jo n Co = Jo + Co/n.a ni Jo = Co[(n a n i ) / n] = Jn / (1+i)n 39

40 REEMBOLSO DE EMPRÉSTIMOS EM REGIME DE JURO COMPOSTO : (A 2,B 3 ) : +Co -P -P -P n P = Prestação constante de Capital e Juro(renda imediata, de termos constantes e normais) Co = P. a n i»»»»»»»»»»» P = Co / a n i P = m + j ; m ; j j = 1 Co. i Co = m 1 +m m n»»»»»»»»» m 1 = Co/ s n i 40

41 REEMBOLSO DE EMPRÉSTIMOS Prestação constante de Capital e Juro(renda imediata, de termos constantes e normais) : m k = m 1 (1+i) k-1 M k = m 1. S k i C k = P. a n-k i ; C k = Co M k Co M k 0 k-1 k k+1 n-1 n k períodos n- k períodos C k 41

42 REEMBOLSO DE EMPRÉSTIMOS EM REGIME DE JURO COMPOSTO : +Co (A 2,B 3 ) : -P -P -P -P n-1 n P = Prestação constante de Capital e Juro(renda imediata, de termos constantes e antecipados) Co = P. a n i. (1+i)»»»»»»»»»»» P = Co / [ a n i. ( 1+i) ] P = m + j ; m ; j j = 1 (Co-m 1 ). i / (1+i) Co = m 1 +m m n»»»»»»»»» m 1 = Co/ S n i 42

43 REEMBOLSO DE EMPRÉSTIMOS P = Prestação constante de Capital e Juro(renda imediata, de termos constantes e antecipados) Co = P. a n i. (1+i)»»»»»»»»»»» P = Co / [ a n i. ( 1+i) ] FORMULAÇÃO EMPÍRICA OU FINANCEIRA P 1 = m ; P 2 = m 1 + j 1 ;...P n = m n-1 + j n-1 m 1 = (Co- m ) / S n-1 i J 1 = ( Co- m ). i ; OBS.- O juro incluído em cada prestação-da 2ª. á nª. ésima - será o montante vencido no fim de cada período, ou seja: - j k = C k-1. i ; Calculam-se as parcelas de juro e de capital como se fossem prestações normais com; Capital = Co- m e nº. de termos = n-1 43

44 REEMBOLSO DE EMPRÉSTIMOS P = Prestação constante de Capital e Juro(renda diferida (de t períodos), de termos constantes e normais) Co = P. a n i. (1+i) -t»»»»»»»»»»» P = Co / [ a n i. ( 1+i) t ] P 1 = m 1 + j t+1 +j (t+1) r m 1 = Co / S n i j t+1 = { Co + Co[ (1+i) t 1] }. i = Co(1+i) t. i j = P (t+1) r 1 m 1 j t+1 = m 1 [( 1+ i) t 1] j (t+1) = C (t ). i + m 1 [( 1+ i) t 1] ( C ( t ) = Co (1+i) t ) 44

45 REEMBOLSO DE EMPRÉSTIMOS P = Prestação constante de Capital e Juro(renda diferida (de t períodos), de termos constantes e normais). Capital residual: C k : M k-t 0 1 t k n n+t dif. t per. k-t per. n-k+t per. C k -t C k-t = P. a n-k+t i = C k t + J r (k-t) C k-t = P. a n-k+t i. (1+i) t ; C k-t = C k-t (1+i) t 45

46 REEMBOLSO DE EMPRÉSTIMOS P = Prestação constante de Capital e Juro(renda diferida (de t períodos), de termos constantes e normais). Capital residual: C k-t : C k-t =C k t + J r (k-t), e C k-t = C k-t (1+i) t, pelo que : C k-t = C k-t + C k-t [ 1+i) t -1 ] J r (k-t) = C k-t [ 1+i) t -1 ] 46

47 REEMBOLSO DE EMPRÉSTIMOS Determinação da prestação de capital com diferentes taxas de juro: 1-Imediata (de termos normais): Co = P a t. i + P a k-t. i ( 1 + i ) t + P a n-k i ( 1 + i ) (k-t).(1+i) t 0 1 t k n As amortizações de Capital terão de ser calculadas cada vez que varia a taxa de juro: Co = m 1.S t i + P a k-t. i + P a n-k i ( 1 + i ) (k-t) m 1 = Co (Pa k-t. i + Pa n-k i ( 1 + i ) (k-t) ) ) / ( S t m t+1 =... m k+1 = i

48 REEMBOLSO DE EMPRÉSTIMOS Determinação da prestação de capital com diferentes taxas de juro: 2-Diferida de y períodos (de termos normais): Co = P a t -y. i (1+i) y +P a k-t. i ( 1 + i ) t + P a n-k +y i ( 1 + i ) (k-t).(1+i) t 0 1 y t k n n+y As amortizações de Capital terão de ser calculadas cada vez que varia a taxa de juro e terão de ter em conta os juros diferidos: Co = m 1.S t -y i + P a k -t. i (1+i) -y + P a n-k +y i ( 1 + i ) (k-t).(1+i) y m 1 =(Co- P...) / (...) 48

49 Reembolso de empréstimos Modalidade: Prestações constantes de capital Modalidade de reembolso: Prestações constantes de capital Taxa de Juro anual do empréstimo 8% Capital ,00 Prazo de reemboso 5 Período Cap. Dívida Juros Amortização Prestação ,00 800, , , ,00 640, , , ,00 480, , , ,00 320, , , ,00 160, , ,00 49

50 Reembolso de empréstimos Modalidade: Prestações constantes de capital Reembolso de empréstimos: Capital constante Capital em Dívida e Juros pagos Amortização de capital e Valor da Prestação N.º de anos de reembolso 0 Cap. Dívida Juros Amortização Prestação 50

51 Reembolso de empréstimos Modalidade: Prestações constantes de capital Amortização de empréstimos: Capital Constante 3.000, , , , ,00 500,00 0, Período de amortização 51 Amortização Juros

52 Reembolso de empréstimos Modalidade: Prestações constantes de capital e juro Modalidade de reembolso: Prestações constantes de capital Taxa de Juro anual do empréstimo 8% Capital ,00 Prazo de reembolso 5 Período Cap. Dívida Juros Amortização Prestação ,00 800, , , ,44 663, , , ,51 516, , , ,30 357, , , ,04 185, , ,56 52

53 Reembolso de empréstimos Modalidade: Prestações constantes de capital e juro Amortização de Empréstimo: Capital Constante , , , ,00 Capital em Dívida e Juros pagos 8.000, , , , , ,00 Amortização do empréstimo e Prestação 2.000,00 500,00 0, Prazo do empréstimo 0,00 53 Cap. Dívida Juros Amortização Prestação

54 Reembolso de empréstimos Modalidade: Prestações constantes de capital e juro Amortização de Empréstimos - Prestações constantes de capital e juro 3.000, , , , ,00 500,00 0, Período de amortização Juros Amortização 54

55 Reembolso de Empréstimos Empréstimos por Obrigações 55