Renda é um conjunto (finito ou infinito de capitais (constantes ou variáveis) vencíveis em momentos equidistante.

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1 Rendas Renda é um conjunto (finito ou infinito de capitais (constantes ou variáveis) vencíveis em momentos equidistante. A cada um dos capitais da renda dá-se o nome de termo da renda. Ao espaço de tempo que decorre entre 2 períodos consecutivos chama-se período da renda. Se o período da renda é um ano, os termos designam-se por anuidades. Se for um semestre, semestralidades, um mês, mensalidades, etc. Como exemplo de rendas podemos citar os ordenados ou as mensalidades do Leasing. O estuda das rendas assenta fundamentalmente nas fórmulas de juro composto. Classificação das rendas As rendas podem ser certas ou aleatórias. Quanto aos termos, podem ser: Constantes todos os pagamentos são iguais. Variáveis os pagamentos não são iguais. Quanto aos períodos, podem ser: Anuidades, Semestralidades, Mensalidades,... Quanto ao vencimento, podem ser: Imediatas recebidas desde a origem. 1

2 Diferidas o primeiro serviço respeita a um período que é posterior àquele em que se situa o valor da venda. Postecipadas se os seus termos estiverem disponíveis no fim de cada período. Antecipadas Se os seus termos estiverem disponíveis no início de cada período. Prazo de carência prazo em que não há amortização de capital, mas há pagamento de juros. Prazo de diferimento não há pagamento de juros nem de capital. Rendas de termos constantes Rendas certas de termos constantes Nas demonstrações que vamos fazer admitiremos 2 caso essenciais: a) capitalizações no fim de cada período b) capitalizações em sub períodos de cada período inteiro. A diferença fundamental entre os 2 casos é a que resulta da distinção entre a taxa normal e a taxa efectiva. Rendas imediatas com n termos normais e unitários O estudo destas rendas é útil, pois: - constitui a situação mais simples; - todas as outras rendas podem ser convertidas nestas. Rendas imediatas com n termos normais e unitários e capitalizações no final de cada período 2

3 Em esquema, teremos: termos n-1 n períodos a) Cálculo do valor actual O valor actual costuma representar-se por a nךi ou a nך(i) em que n representa o número de termos e i é a taxa de juro. O número de termos coincide com o número de períodos. Mas nem sempre é assim. (1 + i) -1 valor actual do 1º termo. (1 + i) -2 valor actual do 2º termo. (1 + i) -n valor actual do enésimo termo. Então, num esquema único, vem: termos n-1 n períodos (1 + i) -1 (1 + i) -2 (1 + i) -(n-1) (1 + i) -n Então, atendendo ao conceito de valor actual de uma renda, concluímos que: 3

4 a nךi = (1 + i) -1 + (1 + i) (1 + i) -(n-1) + (1 + i) -n Progressão geométrica de razão (1 + i) -1. a nךi = (1+i) 1. [1- (1+i) n ] / [1- (1+i) 1 ] e, a nךi = 1/i. [1- (1+i) n ] No caso de os termos não serem unitários mas iguais a T, o valor actual seria: T x a nךi = T/i. [1- (1+i) n ] b) Cálculo do valor acumulado O valor acumulado destas rendas designa-se por: S n ך i ou S n ך ( i ) S n ך i = 1 + ( 1 + i) + ( 1 + i) ( 1 + i) n 1 S n ך i = 1/i [( 1 + i) n 1] Verificamos então que o valor acumulado é o valor actual capitalizado para o fim do período. 4

5 Exemplo Considere que é beneficiário de uma pensão, recebendo anualmente a quantia de 800 euros e que hoje, data em que recebeu um termo, faltando ainda 10 anos para o completamento da renda, pretende negociá-la, recebendo imediatamente o seu valor calculado a uma taxa de juro efectiva de 12,5 % ao ano. Uma entidade aceita estas condições e outra oferece-lhe a taxa nominal de 12 % ao ano com capitalizações trimestrais. Diga qual a opção que deverá tomar e calcule o valor que receberia de cada uma das alternativas. Resolução: A opção a tomar é a que proporciona o maior valor e identifica-se com a oferta da menor taxa de juro. Cálculo das taxas efectivas: 1ª hipótese 12,5 % / ano 2ª hipótese 4, ( 1+ ) = i + i = 12, 55088% / ano 4 Hipótese 1 ] 10 (1+0,125) [ /0,125 = 12,5% ך x a = 4.429,145 Hipótese 2 5

6 ] 10 (1+0,125) [ /0,125 = 12,5% ך x a em que i( 4) ( 1+ i) = 1+ 4 ( 1+ i) = ( , ) 4 4 Então, = 800/[(1+0,03) 4 1]. [1- (1+0,03) 10.4 ] = (800 / 0, ) x 0, = 4420,0432 Rendas fraccionadas Considere a aquisição de um artigo na s seguintes condições: - Preço euros - Entrada 50 % - O restante será pago em 12 prestações mensais e iguais, vencendo-se a primeira um mês após a data do contrato, incluindo juros à taxa de 30 % com todos os encargos. Pretende-se calcular o valor nominal de cada prestação. É uma renda fraccionada. O período da taxa é anual e o período da renda é mensal. O Objectivo é transformar a renda em inteira. 030, i = = 0, Então, 600 = T x a i12 ך 12 = 58,492 Exercício 12 6

7 Um empréstimo de euros será amortizado em 24 mensalidades iguais à taxa de juro nominal anual de 24 %. a) Qual o valor de cada mensalidade admitindo que a 1ª se vence no fim do primeiro mês? b) Qual o valor de cada mensalidade admitindo um prazo de diferimento de 6 meses? b1) Considere mensalidades postecipadas b2) Considere mensalidades antecipadas. c) Considere a situação prevista na alínea a). Qual o valor da dívida após o pagamento da 10ª mensalidade? Exercício 13 Queremos constituir um capital acumulado de euros através de 12 depósitos semestrais iguais, a efectuar no fim de cada semestre. A taxa de juro semestral praticada é de 8 %. a) Qual o valor de cada colocação? Exercício 14 Em 10 de Janeiro de 1991, A contraiu uma dívida para com B, no montante de 500 euros, nas seguintes condições: - reembolso em 20 anuidades, incluindo juros, tendo-se vencido a primeira em 10/1/92 - taxa de juro anual em regime composto. Se neste momento (Mar / 2001), A propusesse a B a substituição das prestações em dívida por um pagamento único a efectuar em 10/7/2006, qual seria a quantia a pagar? Exercício 15 Uma pessoa adquire um electrodoméstico por 400 euros, nas seguintes condições: - pagamento de 50 % no acto da compra. - Pagamento do restante em 12 prestações iguais, incluindo juros, à taxa nominal de 27 %. Calcule o valor de cada prestação se a primeira se vencer 1 mês após o acto de compra. 7

8 Exercício 16 Para constituir um capital acumulado de euros ao fim de 5 anos, com depósitos mensais, qual o valor de cada colocação, considerando uma taxa de juro anual nominal de 18 %? 8