Oficina - Álgebra 2. Oficina de Matemática EM / Álgebra 2 Material do monitor. Setor de Educação de Jovens e Adultos.

Transcrição

1 Caro monitor, Oficina - Álgebra 2 Esta atividade poderá ser aplicada para os alunos que já tiveram um primeiro contato com as equações do 2º grau ou, até mesmo, para aqueles que desconhecem essas equações. Sugerimos apenas que seja observado, antes da aplicação da oficina, se o aluno conhece e sabe aplicar os conceitos que envolvem a raiz quadrada, assim como também deve ser observado se o aluno tem conhecimento sobre as quatro operações envolvendo números inteiros (positivos e negativos). Demonstrando conhecimento sobre esses conteúdos o aluno terá condições para realizar a atividade de maneira que esta proporcione para ele um novo saber. Para o desenvolvimento desse trabalho, julga-se interessante que os alunos estejam divididos em grupos, para que assim possam realizar discussões e enriquecer a aprendizagem. No desenvolvimento de todo o material vamos refletir e sugerir quais são as intervenções pedagógicas que podem ser realizadas e que poderão contribuir para o processo de ensinoaprendizagem. Após os problemas 1 e 2, há a sugestão de dois desafios, não se faz necessário que esses desafios sejam trabalhados em aula/plantões, os alunos poderão resolver os desafios em casa e, em momento oportuno, as resoluções podem ser discutidas. É claro, que havendo tempo, após a realização dos problemas 1 e 2, os desafios poderão ser realizados ainda no mesmo dia de aplicação da atividade. Na resolução do último desafio, os alunos poderão utilizar a calculadora. Pois, esse apresenta cálculos com números compostos por dezenas de milhar (número que, às vezes, pelos alunos pode ser considerado muito grande ). Objetivos da oficina: Representar uma situação-problema por meio de uma equação do 2º grau. Reconhecer as equações completas e incompletas. Reconhecer os coeficientes de uma equação. Utilizar a fórmula de Bhaskara para resolver as equações do 2º grau. Habilidades a serem desenvolvidas: H20 Representar situações de diferentes contextos por meio de equações do 1º ou 2º grau. H21 -Resolver equações (1º grau, 2º grau e exponenciais).

2 Problema 1. No problema 1, deixe que, em grupo, os alunos façam a leitura e realizem o preenchimento da tabela. Caso o número de linhas não seja suficiente, oriente-os a utilizar uma folha para dar continuidade aos cálculos e assim encontrar as medidas procuradas. Veja o anúncio da venda de lotes Imperdível!!!!!!!!! Lotes à venda pelo valor de R$ 1.500,00 m² (o metro quadrado) Imagem da disposição dos lotes.

3 Imagem da vista superior dos lotes Ao ver o anúncio, Luís interessou-se pelos lotes, mas antes de agendar uma visita, decidiu verificar quais eram as medidas de largura e comprimento do lote 2, o qual despertou-lhe maior interesse. Entrando em contato com o corretor, Luís descobriu que esse lote tem o formato de um quadrado, portanto suas medidas de comprimento e largura são iguais. Sabendo a medida da área, Luís decidiu então descobrir quais eram as dimensões do lote. Como Luís não tinha ideia de quais eram essas dimensões, ele montou uma tabela e foi atribuindo valores para a largura e para o comprimento, tentando, com esses valores, chegar aos 225 m² de área. Observe: Medida de comprimento Medida de largura Cálculo da área Medida da área 2 m 2 m 2 m x 2 m m² m m m x m 16 m² 7 m 7 m 7 m x 7 m 9 m²

4 Lembre-se: para calcular a área de um quadrado realizamos a multiplicação lado x lado. Inicialmente, Luís atribuiu o valor de 2 metros para o comprimento e para a largura. Ao realizar o cálculo da área, ele observou que o valor obtido era muito inferior aos 225 m², após esta observação passou a aumentar as medidas de comprimento e largura, aleatoriamente, até encontrar os valores que multiplicados resultassem em 225 m². Monitor, Lembre-se: para o preenchimento da tabela poderão ser utilizados valores aleatórios, até encontrarem as medidas comprimento e largura que resultaram em uma área de 225 m². Deixe que eles percebam que o aumento das medidas de largura e comprimento, implicará no aumento da medida da área. Após encontrar as medidas solicitadas, respondas as seguintes questões: a) Qual foi o valor encontrado para o comprimento e para a largura? Resp.: 15 metros é a medida encontrada para o comprimento e para a largura. b) Seria possível encontrar o valor das dimensões (comprimento e largura) sem utilizar a tabela? De que maneira? Para responder esse item é possível que os alunos tragam os seguintes posicionamentos: Eles podem dizer que não há outra maneira de encontrar as medidas. Eles podem dizer que acreditam que há outras maneiras de calcular as medidas, mas desconhecem-nas. Eles podem dizer que há outra maneira de calcular as medidas. Basta verificar qual é o número que elevado ao quadrado resulte em 225. Caso, esta resposta seja apresentada por algum aluno, você poderá dizer que ela está correta e que a seguir, eles poderão realizar essa verificação. Se os alunos apresentarem as duas primeiras respostas, discuta com eles que há sim outra possibilidade e que eles poderão realizar essa verificação no próximo item. Neste próximo momento, deixe que eles façam a leitura e realizem a extração da raiz. Caso eles apresentem dificuldades em extrair a raiz, retome com eles os conceitos que envolvem as raízes, você poderá consultar o livro didático de Matemática Ensino Fundamental aula 53. Esta aula trabalha com raízes e potências. No Temas de Estudo do Ensino Fundamental de Matemática, nas páginas 366 a 376, você também encontrará o conteúdo sobre raízes.

5 Veja outra possibilidade de calcular essas dimensões: O lote tem o formato de um quadrado e inicialmente não se sabe suas dimensões. Vamos então verificar se há outra possibilidade de calcular essas dimensões sem utilizar a tabela. Como não se conhece as medidas de largura e comprimento, pode-se identificá-las utilizando uma incógnita qualquer, como por exemplo, L. L Identifica-se agora o comprimento e a largura como L. Sabe-se que a área desse lote tem 225 m² e como se verificou, nessa mesma atividade, o cálculo da área de um quadrado é realizado multiplicando-se o comprimento pela largura (lado x lado), realiza-se esse cálculo, representando agora as medidas do quadrado como L. Observa-se então: L L x L = 225 m² L² = 225 m² Fazendo a leitura dessa expressão nota-se que, um número de valor desconhecido chamado aqui de L elevado ao quadrado é igual a 225. Para realizar esse cálculo faça a extração da raiz de 225. Quando realiza-se a multiplicação de duas variáveis iguais, pode-se simplificar a expressão aplicando a seguinte propriedade de potência: a m.a n = a m+n Em uma linguagem menos técnica pode-se dizer: na multiplicação de bases iguais mantem-se a base e soma-se os expoentes. Agora é com você, caro aluno, realize a extração da raiz de 225 e encontrará as medidas de largura e comprimento do terreno, neste caso, sem utilizar uma tabela. Resp.: L² = 225 L = 225 L = 15 Portanto, a medida da largura e do comprimento é de 15 m.

6 Vamos pensar um pouco sobre o processo que acabamos de realizar! Ao escrever a expressão L² = 225, representa-se uma equação do 2º grau. As equações do 2º grau são aquelas em que sua incógnita x se apresenta com expoente 2. Nesta equação, foi encontrado, como valor de L, o número 15, esse valor está correto, mas cabe apenas uma simples observação: Quando resolve-se uma equação como essa, deseja-se encontrar qual é o número que foi elevado ao quadrado e resultou em 225, verifica-se que além do 15 (quinze positivo) o número 15 (quinze negativo), elevado ao quadrado, também resultará em 225. Verifica-se esse cálculo: 15 x 15 = 225 (-15) x ( - 15) = 225 Portanto essa equação do 2º grau possui dois valores e esses valores são chamados de raízes da equação. No cálculo da medida do lado do lote, utilizaremos apenas o valor 15 (positivo), pois este representa uma medida e, não há medida negativa. Problema 2. No problema 2, novamente deixe que, em grupo, os alunos façam a leitura e realizem o preenchimento da tabela. Caso o número de linhas não seja suficiente, oriente-os a utilizar uma folha para dar continuidade aos cálculos e assim encontrar as medidas procuradas. Inicialmente tem-se um terreno que apresenta o formato de um quadrado, de medida de lado desconhecida. Deseja-se aumentar o comprimento desse terreno em m, de maneira que sua área tenha 10 m².

7 x x x m x Medida que foi acrescentada A partir do momento que é realizado o aumento do comprimento em m, obtém-se uma figura em que seus lados apresentam medidas diferentes, logo a figura que antes era um quadrado transforma-se em um retângulo. Lembre-se: para calcular a área de um retângulo realiza-se a multiplicação: comprimento x largura. a) Assim como realizado no problema 1, monta-se uma tabela na tentativa de se atribuir valores para a medida chamada de x, e, assim encontra-se o exato valor que possibilitará que a área tenha 10 m².

8 Medida do comprimento inicial (chamada de x) Medida a ser acrescentada Medida do comprimento após o acréscimo dos m Medida da largura (chamada de x) Cálculo da área = x 6 = 12 Monitor, oriente os alunos a preencher a tabela, atribuindo a incógnita x, os valores que desejarem e, a partir desses valores, eles deverão calcular a área do terreno. Oriente-os a observar que o primeiro valor atribuído para x resultou em uma área de apenas 12 m², valor um pouco distante dos 10 m² desejados. b) Seria possível encontrar os valores de comprimento e largura, sem utilizar a tabela? De qual maneira? Para responder esse item é possível que os alunos tragam os seguintes posicionamentos: Eles podem dizer que não há outra maneira de encontrar as medidas. Eles podem dizer que acreditam que há outras maneiras de calcular as medidas, mas desconhecem-nas. Eles podem dizer que há outra maneira de calcular as medidas. Basta realizar a multiplicação do comprimento pela largura, descrevendo assim uma equação. Caso, esta resposta seja apresentada por algum aluno, você poderá dizer que ela está correta e que adiante eles poderão realizar essa verificação. Se os alunos apresentarem as duas primeiras respostas, discuta com eles que há sim outra possibilidade e que adiante eles poderão realizar essa verificação. Monitor, deixe, neste momento, que os alunos realizem a leitura e discutam acerca do processo que será apresentado para realizar o cálculo da medida desconhecida do terreno. Caso, você deseje saber um pouco mais sobre as discussões que serão feitas a seguir, consulte o livro didático - Novo Telecurso, do Ensino Fundamental, aulas 73, 7 e 75.

9 Busca-se agora outra possibilidade de encontrar o valor da incógnita x, sem utilização da tabela. O terreno inicial tinha o formato de um quadrado de medida de lado desconhecida, que está sendo representada pela incógnita x. A área desse terreno inicial pode ser calculada multiplicando lado x lado. Logo: Área = x. x x x Área = x² Caro monitor, discuta com os alunos que quando se está trabalhando com o uso da linguagem algébrica para representar determinadas situações, pode-se fazer a troca da simbologia x, que representa a multiplicação, pelo. (ponto), evitando assim que haja confusões entre a representação da multiplicação e o uso das variáveis. Quando é acrescentado os m no comprimento do terreno, obtém-se um retângulo que apresenta m de comprimento e x de largura. A área dessa parte do terreno pode ser calculada realizando a multiplicação do comprimento x largura. Área =. x Área =.x x m x Agora sabe-se que a área inicial representada por x² somada a área obtida após o acréscimo dos m, representada por.x, deverá proporcionar uma área de 10 m². Observa-se como ficará esta expressão: x² +.x = 10 Retângulo obtido ao acrescentar os metros no comprimento

10 Ela representa uma equação do 2º grau, que nesse caso chama-se de equação completa. As equações do 2º grau podem ser classificadas como completas ou incompletas. Equações completas têm a seguinte representação: ax² + bx + c = 0 (forma reduzida) Nessas equações, a, b e c são números reais, conhecidos como coeficientes da equação. As incógnitas x e x², são os valores desconhecidos. Equações incompletas têm as seguintes representações: 1ª : x² + b.x = 0 Nessas equações, b representa um número real qualquer, conhecido como coeficiente da equação. As incógnitas x e x², são os valores desconhecidos. Essas equações são classificadas como incompletas por não possuírem o coeficiente c. 2ª: x² + c = 0 Nessas equações, c representa um número real qualquer, conhecido como coeficiente da equação. A incógnita x², é o valor desconhecido. Essas equações são classificadas como incompletas por não possuírem o coeficiente b.. Veja que a equação que representa a área do retângulo, obtido após o acréscimo dos m em seu comprimento, é uma equação completa. Pode-se visualizá-la: x² +.x = 10 É muito provável que você esteja pensando que esta equação não é do 2º grau, pois ela não está igualada a zero, mas engana-se pensando assim. Esta equação é do 2º grau, e para representá-la na forma reduzida de uma equação, realiza-se o seguinte processo: x² + x 10 = 0 O valor que está após o sinal de igual segundo membro da equação é deslocado para o primeiro membro. E, assim, obtémse a equação do tipo ax² + bx + c = 0. c) Agora, identifique, na equação x² + x 10 = 0, quais são os valores que representam os coeficientes a, b e c. Resp.: O coeficiente a terá o valor 1, o coeficiente b terá o valor e o coeficiente c terá o valor 10.

11 Monitor, neste momento, você poderá abordar os seguintes aspectos quanto aos coeficientes de uma equação do 2º grau: O coeficiente a é representado pelo número real que está acompanhado da incógnita que tem o expoente 2. O coeficiente b é representado pelo número real que está acompanhado da incógnita que tem expoente 1. O coeficiente c, que também é chamado de termo independente, é representado pelo número real que não acompanha incógnita. Quando uma incógnita está acompanhada de um valor real igual a 1, costuma-se não representá-lo, como acontece neste caso com a incógnita x². Caro monitor, realize a correção dos itens a, b e c do problema 2 e, somente após essa leitura, deixe que os alunos desenvolvam o próximo item. Para resolver as equações do 2º grau, sejam elas completas ou não, pode-se utilizar a fórmula de Bhaskara, a qual tem a seguinte representação: ² Nessa fórmula, x é o valor desconhecido, a incógnita. Os valores a, b e c são os coeficientes, já identificados no item c. d) Agora, utilizando a fórmula de Bhaskara, resolva a equação x² + x 10 = 0. Para tanto, siga os seguintes passos: 1º: Calcule separadamente o valor da raiz b².a.c, substituindo os valores dos coeficientes. Resp.: Como, no item anterior, já foram identificados os coeficientes, basta, agora, substituir esse valores na raiz. b².a.c ()².1.(-10) 16.1.(-10) 16.(-10) = 2

12 2º: Após calcular e extrair a raiz, substitua o valor encontrado na fórmula x b (valor da raiz) 2.a. Neste momento, substitua também os coeficientes a e b por seus respectivos valores. Resp.: º: Agora que você já tem todos os valores substituídos na fórmula, realize dois cálculos. O primeiro será realizado da seguinte maneira: b (valor da raiz) 2. a O segundo será realizado da seguinte maneira: b (valor da raiz) 2. a Resp.: No primeiro cálculo, o coeficiente b foi somado ao valor da raiz, já no segundo cálculo, subtraiuse do coeficiente b o valor da raiz. Após realizar todos esses passos, o aluno chegará aos valores que representam as raízes da equação. Neste caso específico, uma das raízes representa a medida do comprimento inicial do terreno, esta raiz é representada pelo valor 10, pois trata-se de uma medida e, não existe medida negativa.

13 Desafios! Caro monitor, conforme já mencionado, os alunos poderão realizar os desafios em casa e, no momento oportuno, vocês poderão em aula/plantão, discutir as resoluções e, caso haja tempo, os desafios poderão ser trabalhados no mesmo dia de aplicação da atividade. Desafio 1. A idade de Carlos, elevada ao quadrado resulta em 900. Qual é a idade de Carlos? Para resolver esse desafio, os alunos poderão utilizar o mesmo processo de extração da raiz apresentado na resolução do problema 1. Primeiramente é imprescindível que o desafio seja representado por meio de uma equação. Para tanto, denomina-se a idade de Carlos de x, logo temos: x² = 900 x = 900 x = 30 ou x = - 30 Ou seja, Carlos tem 30 anos, pois não existe idade negativa. Desafio 2. Um campo de futebol tem m² de área, deseja-se reduzir as medidas desse campo de maneira que sua área passe a ter m². Acompanhe a ilustração que representa essa situação: 90 metros de largura 120 metros de comprimento Veja que, na largura, haverá a redução de uma medida x (desconhecida) no canto superior e no canto inferior (orientando-se de acordo com a imagem). E, no comprimento, haverá a redução de uma medida 2x (desconhecida) no canto esquerdo e no canto direito (orientando-se de acordo com a imagem) Descubra qual é o valor dessa medida x!

14 Monitor, este desafio apresenta certo grau de complexidade, é possível que alguns alunos façam a leitura deste e não consigam representá-lo por meio de uma equação. Caso isso ocorra, realize com eles a equacionalização (representar por meio de uma equação) do problema e, após esse primeiro momento, deixe que eles resolvam a equação utilizando a fórmula de Bhaskara. Entende-se o problema. O campo inicial tem 90 m de largura e 120 metros de comprimento, calculando sua área obtémse: 90 x 120 = m² Após as reduções, a largura ficará com a seguinte medida 90 2x e o comprimento ficará com a medida 120 x. Para calcular a área do campo, com essas novas dimensões, faz-se: ( 90 2x). ( 120 x) Sabe-se que após diminuir as dimensões, o campo deverá ficar com área igual a m², logo obtém-se a seguinte equação: (90 2x). ( 120 x) = Para se chegar a uma equação do 2º grau, aplica-se a propriedade distributiva. Caro monitor, você poderá relembrar essa propriedade retomando a aula 9, do livro didático Novo Telecurso, Ensino Fundamental. (90 2.x). ( 120.x) = = ( - x) = x (90 2x). ( 120 x) = x. 120 = - 20.x - 2x. ( -.x) = + 8.x² Após a distributiva, volta-se à equação x 20.x + 8.x² = 8.000

15 Observa-se que há dois valores que estão acompanhados da incógnita que apresenta expoente 1, soma-se esses valores, reduzindo-os a somente um único valor x x x² = x 20.x = x Volta-se à equação, agora representando o valor obtido após a soma dos dois valores que estão acompanhados da incógnita de expoente 1 (x) x + 8x² = x + 8x² = 0 (representa-se a equação em sua forma reduzida) Observe, que agora, fica-se com dois termos que são denominados termos independentes, soma-se esses termos x + 8x² = ( ) = Retorna-se à equação, agora representando o valor obtido após a soma dos dois valores independentes. 600.x + 8x² = 0 Agora, há uma equação do 2º grau e, para resolvê-la, basta utilizar a fórmula da Bhaskara. Monitor, no início deste desafio, foi discutido que os alunos poderão sentir dificuldades em equacionar a situação de aprendizagem proposta, caso isso ocorra, desenvolva juntamente com eles o desafio até este ponto, e deixe que eles realizem os próximos passos. É claro, que poderá acontecer de alguns alunos sentirem dificuldades no desenvolvimento dos cálculos, neste caso, realize com eles o passo a passo. Resolvendo a equação: Primeiramente, identifica-se os coeficientes. 600.x + 8x² = 0 a = 8 b = c = 2.800

16 Fórmula de Bhaskara: b b².a.c 2.a Para facilitar, calcula-se a raiz separadamente. b².a.c (-600)² = 520 Voltando a fórmula: b b².a.c 2.a (-600) ou Encontra-se as raízes da equação, agora identifica-se qual delas representa a medida x. Para se identificar a medida exata, descreve-se quais deverão ser as novas medidas de comprimento e largura. Comprimento: 120.x ( substitui-se a incógnita x pela raiz 70) = = Largura

17 90 2.x ( substitui-se a incógnita x pela raiz 70). = = = - 50 Observe que tanto para o comprimento, quanto para a largura, as novas medidas obtidas são negativas. Logo, esta raiz não poderá representar a medida x a ser retirada, pois os cálculos remetem a novas medidas de comprimento e de largura negativas. Faz-se novamente esses mesmos cálculos, agora utilizando a raiz 5. Comprimento: 120.x ( substitui-se a incógnita x pela raiz 5). = = = 100 Largura: 90 2.x ( substitui-se a incógnita x pela raiz 5). = = = 80 Essa raiz proporciona, a partir dos cálculos, medidas de comprimento e de largura positivas, portanto, pode-se concluir que a medida x é de 5 metros. Caro monitor, antes de terminar essa atividade, deve-se atentar a um mero detalhe que, talvez um aluno possa te questionar. Em alguns momentos, utiliza-se a palavra incógnita, em outros utiliza-se a palavra variável, será que há diferença entre essas? Há sim, essas palavras são utilizadas em diferentes situações. Caracteriza-se como variável, quando se faz o uso da simbologia (letras) para representar ou generalizar uma determinada situação, como exemplo, representa-se - utilizando variáveis a seguinte frase: A soma de dois números. Pode-se representar, algebricamente, essa frase utilizando a expressão x + y, ou seja, a soma de dois números. Neste caso, as letras assumem o papel de variáveis, pois não é possível identificar que números são estes números, apenas descreveu-se a soma dois números. Agora, utiliza-se outra frase para se identificar uma incógnita. Veja:

18 Um número somado a 1 é igual a 8. Pode-se representar, algebricamente, essa frase utilizando a expressão x + 1 = 8. Neste caso, ao se resolver a equação encontra-se o número exato que somado com 1 resulta em 8, a letra, aqui, assume o papel de incógnita, porque esse não pode ser um valor qualquer, há um exato número que somado com 1 resulta em 8. Caro Monitor, Espera-se que essa oficina proporcione, para os alunos, a compreensão sobre as equações do 2º grau, suas características e o processo de resolução por meio da fórmula de Bhaskara. Objetiva-se que, as situações problemas apresentadas, tenham possibilitado a visualização e compreensão de que a resolução de um problema pode ser desenvolvida por meio de uma equação, sem a necessidade da utilização de processos que possibilitem o acesso a resposta correta por meio de tentativas de acertos e erros, assim como fez-se nas tabelas preenchidas nos problemas 1 e 2. Para explorar o conteúdo apresentado nesta atividade, você poderá consultar os seguintes materiais: Vídeo aulas Novo Telecurso: 73,7 e 75 (Ensino Fundamental) Livro didático Novo Telecurso Matemática Ensino Fundamental aula 73,7 e 75. Consultando o Portal EJ@ e acessando o Mapa Curricular, você encontrará indicações de outros materiais que estão relacionado ao conteúdo trabalhado nessa oficina. Você poderá acessar o Mapa Curricular pelo seguinte endereço: Portal EJ@> Área do aluno> Mapa Curricular >Ensino Fundamental>Matemática>Conteúdo curricular>equações do 2º grau.