ANÁLISE COMBINATÓRIA RUBÃO ANOTAÇÕES E CALCULOS 1. ENUMERAÇÃO POR RECURSO 1.1 PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA CONTAGEM 2. FATORIAL

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1 1. ENUMERAÇÃO POR RECURSO 1.1 PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA CONTAGEM 2. FATORIAL 3. ANÁLISE COMBINATÓRIA SIMPLES 4. ANÁLISE COMBINATÓRIA COMPLETA 1.1) PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA CONTAGEM Sejam E 1, E 2... E m, eventos que possam ocorrer de m, p... k maneiras diferentes ) PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO (ocorrência conjunta) A ocorrência de E 1 e E 2 e... E m, pode acontecer de m x n x... x k maneiras diferentes ) PRINCÍPIO DA UNIÃO Se E 1 pode ocorrer de m maneiras e E 2 pode ocorrer de n maneiras então a ocorrências de E 1 ou E 2 (disjunção), ocorrerá de m U n maneiras. Obs: Se E 1 e E 2 forem eventos disjuntos: Por tratar-se de assunto de caráter eminentemente prático será amplamente detalhado em sala. TREINAMENTO BÁSICO m U p = m + p Uma pessoa deseja pintar a frente de uma garagem que possui apenas uma porta. Sabendo-se que dispõe de cinco cores diferentes, de quantas maneiras poderá pintar a garagem em cada caso a seguir: 1) Porta e parede 2) A porta não pode ter a mesma cor de parede. 3) Porta ou parede 4) Ou porta ou parede Numa praça está situada uma igreja que possui 6 portas, estando as portas abertas e um cachorro do lado de fora. De quantas maneiras o cachorro pode: 5) Entrar e sair da igreja 6) Entrar por uma porta e sair por outra 7) Entrar ou sair da igreja 8) Ou entrar ou sair da igreja 1

2 Dispomos de 4 cores distintas e temos que colorir o mapa mostrado na figura com os países P, Q, R e S, de modo que, países cuja fronteira é uma linha não podem ser coloridos com a mesma cor. 12) De quantas maneiras diferentes podemos pintar o mapa em cada caso a seguir: a) Os países P e S forem com cores diferentes? b) Os países P e S forem coloridos com a mesma cor? P R Q S 13) (Cesgranrio) Mariana foi passar um fim de semana na casa de uma amiga e levou na bagagem cinco camisetas (branca, azul e preta) e três bermudas (marrom, azul e preta). De quantos modos Mariana poderá escolher uma camiseta e uma bermuda para se vestir se ela deseja que as peças escolhidas sejam sempre de cores diferentes? A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15 01) Em uma urna há 5 bolas verdes, numeradas de 1 a 5, e 6 bolas brancas numeradas de 1 a 6. Dessa urna retiram-se sucessivamente e sem reposição, duas bolas. Quantas são as extrações nas quais a primeira é verde e a segunda contem um número par? A) 15 B) 20 C) 23 D) 25 E) 27 02) No Nordeste Brasileiro é comum encontramos peças de artesanatos constituídas por garrafas preenchidas com areia de diferentes cores formando desenhos. Um artesão deseja fazer peças com areia de cores cinza, azul, verde e amarela, mantendo o mesmo desenho, mas variando as cores da paisagem (casa, palmeira e fundo) conforme a figura. O fundo pode ser nas cores azul ou cinza; a casa nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira cinza ou verde. Se o fundo não pode ter as cores em da casa e nem da palmeira, então o número de variações que podem ser obtidas é: A) 6 C) 8 E) 10 B) 7 D) 9 2

3 ANÁLISE COMBINATÓRIA FORMAÇÃO DE NÚMEROS Com os dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, e 6, determinar: 1) Quantas centenas podem ser formadas? 2) Quantos milhares com algarismos distintos podem ser formados? 3) Quantas centenas ímpares? 4) Quantas centenas pares com algarismos distintos podem formar? 5) Quantos milhares com algarismos distintos são menores que 300? 6) Quantas centenas são maiores que 300? 7) Quantos milhares apresentam o 3 como algarismo das dezenas? TENTE AGORA!!! 01) Escrevendo-se todos os números de 1 a 300, quantas vezes escrevemos o algarismo 1? 02) Com os dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Quantos milhares com algarismos distintos e que não são múltiplos de 5 podem ser formados? TAREFA MÍNIMA (QUESTÕES CESGRANRIO) 01) A vitrinista de uma loja de roupas femininas dispõe de 9 vestidos de modelos diferentes e deverá escolher 3 para serem exibidos na vitrine. Quantas são as escolhas possíveis? A) 84 B) 96 C) 168 D) 243 E) ) Certa empresa identifica as diferentes peças que produz, utilizando códigos numéricos compostos de 5 dígitos, mantendo, sempre, o seguinte padrão: os dois últimos dígitos de cada código são iguais entre si, mas diferentes dos demais. Por exemplo, código é válido, já o código 34544, não. Quantos códigos diferentes podem ser criados? A) E) B) C) D)

4 03) Em uma pequena sala de projeção, há cinco cadeiras dispostas em linha, lado a lado, e numeradas de 1 a 5. Quatro pessoas vão ocupar quatro dessas cadeiras. As possíveis ocupações das cadeiras distinguem-se não só pela cadeira vazia, mas, também, pela disposição das pessoas nas cadeiras ocupadas. De quantos modos as cadeiras podem ser ocupadas pelas quatro pessoas? A) 5 B) 20 C) 24 D) 120 E) ) Se todos os números naturais formados por três algarismos distintos fossem dispostos em ordem crescente, o número 742 ocuparia que posição? A) 433ª B) 448ª C) 462ª D) 467ª E) 493ª EXTRA Uma lanchonete dispõe de 6 tipos de frutas diferentes, quantos sabores diferentes de sucos, ela pode oferecer, com 3 frutas diferentes em cada suco? A) 120 B) 60 C) 40 D) 20 E) 10 4

5 FATORIAL Dado um número natural qualquer n 2 n! = n (n -1) (n 2)... 1 Casos particulares 1! = 1 0! = 1 TREINAMENTO 01) (PUC/SP) Se (n 6)! = 720, então: A) n = 12 B) n = 11 C) n = 10 D) n = 13 E) n = 14 02) (CESGRANRIO) A expressão: (n+2)!+(n+1)(n-1)!, é igual a: (n+1)(n-1)! A) n 2 +2n B) n 2 +2n + 1 C) (n+2)! + 1 D) (n+2) n! + 1 E) n 3 +2n 3 + 2n 03) (CESGRANRIO) Se a n = n!(n 2 1), então a 1984 igual a: (n+1)! A) 1/1985 B) 1984 C) 1983 D) 1985/ E) TENTE EM CASA HOJE!!!! 01) (n+1)! n! é igual a: A) n! B) 1 C) (n-1)! D) n!. n E) n! + n 5

6 02) Qual o valor de: 10! + 9! + -8! A) 11! B) 8.98! C) 99.9! D) 98.8! 03) Qual o valor de: A) 1/12! B) 1/60! C) 2! + 2/5! D) 26/5! 04) Qual conjunto solução da equação: (n+2)! + (n+1)! = 24n! A) Ø B) N C) {-7; 3} D) {3} E) {3;5} 05) Qual solução da equação (n+2)! (n+1)! = 5 (n +1) n! A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 GABARITO 01) D 02) D 03) D 04) D 05) C 6

7 ANÁLISE COMBINATÓRIA ANÁLISE COMBINATÓRIA SIMPLES GRUPO COMBINATÓRIO SIMPLES ARRANJO COMBINAÇÃO ARRANJO SIMPLES São agrupamentos onde a ordem com que os elementos participam é considerada e não existe repetição de elementos. CÁLCULO DO NÚMERO DE ARRANJOS Demonstraremos em sala que: Ou TREINAMENTO 01) Entre os 18 membros de um clube, devem ser escolhidos 3 para preencher os cargos de: Presidente, Vice-Presidente e Secretário. De quantos modos distintos podem ser feita a escolha? 02) uma pessoa deseja pintar as paredes de sua casa de uma cor e as portas, de outra. Dispondo de 7 cores diferentes o número de escolhas possíveis é: A) 49 B) 42 C) 14 D) 7 E) 6 03) (Cesgranrio) Juliana nasceu no dia 25 de maio de Ela deseja fazer uma senha de seis dígitos para acesso a um site usando apenas vogais e algarismos que aparecem em seu nome e em sua data de nascimento. Juliana decidiu que sua senha terá todos os dígitos distintos e que a quantidade de letras e de algarismo será a mesma. De quantos modos distintos Juliana poderá escrever sua senha, se as letras devem, obrigatoriamente, ficar juntas (seguidas)? A) B)8.064 C) D) E)

8 PERMUTAÇÃO Permutação é o grupo (arranjo) em que todos os elementos do universo participam ao mesmo tempo, (m = p). Isto é: TREINAMENTO Quantos aos anagramas que podemos formar com as letras da palavra CAPITULO, determinar: A) O total. B) Quantos começam por C. C) Quantos terminam por O. D) Quantos começam por C e terminam com O. E) Quantos começam, com a sílaba CA. F) Quantos começam com a sílaba CA. G) Quantos apresentam a sílaba CA. H) Quantos apresentam a palavra PITU. I) Quantos terminam com as letras C, A, P, I juntas. EXTRA Tenho 3 coleções de livros, a de Cálculo tem 4 volumes ( I. II, III, IV) a de Português 3 volumes ( I, II e III) a de direito 2 volumes ( I e II) De quantos modos posso arruma-los numa prateleira, em cada caso a seguir: 1) Simplesmente dispô-los lado a lado. 2) Os livros de uma mesma matéria fiquem juntos. 3) Os livros de uma mesma matéria fiquem juntos e por ordem crescente de volumes. TREINE MAIS UM POUCO (CESGRANRIO) 01) X homens e X mulheres podem se sentar em 2X cadeiras de 72 maneiras distintas. Sabendo-se que homens e mulheres não se sentam em cadeiras vizinhas, o valor de X é: A) 2 B) 4 C) 3 D) 5 E) 6 P m = A m, m P m = m! 02) Para montar a senha de segurança de sua conta bancária que deve ser formada por seis dígitos, João escolheu 1, 2, 5, 5, 7 e 8. Os dígitos escolhidos não serão dispostos na ordem apresentada, pois para João, é importante que a senha seja um número maior do que Com os dígitos escolhidos por João, quantas senhas maiores do que podem ser formadas? A) 720 B) 600 C) 360 D) 240 E) 120 8

9 03) Qual é o número de anagrama da palavra TRANSPETRO em que as letras PETRO ficam juntas e nessa ordem? A) 6! B) 6! C) 6!.5! D) 10! E)10! 2!.2! 2!.2! PERMUTAÇÃO CIRCULARES São permutações que estudam grupos fechados, grupos em anel, grupos em círculos e etc. Veremos em sala que: P c m = (m 1)! Ex. De quantas maneiras distintas 6 pessoas podem se arrumar wm seis cadeiras em torno de uma mesa circular? PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS Veremos em aula que o número de permutações que podem formar com M objetos em que existem α, β, γ, elementos iguais é: 01) Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra ARARA? 02) Numa sequência de seis partidas perdi três e ganhe três. Quantas sequências de resultados podem ter ocorrido? 03) Uma prova è constituída por 20 questões tipo A, B, C, D e E. De quantas maneiras diferentes um estudante pode preencher um gabarito marcando quatro questões A, quatro questões B e assim sucessivamente? COMBINAÇÕES SIMPLES São agrupamentos onde não importa a ordem de participação dos elementos. O número total de combinações simples é dado por: Demonstraremos em sala de aula que: 9

10 ANÁLISE COMBINATÓRIA OBSERVAÇÕES IMPORTANTES RELAÇÃO DE STIFFEL TREINAMENTO 01) Quantas comissões de 3 pessoas pode ser formada com 8 pessoas? 02) Sobre uma circunferência, marcam-se 7 pontos, 2 a 2 distintos. O número de triângulos que podemos formar com vértices nos pontos marcados é: 03)(UFBA) Considerando-se 16 pontos coplanares dos quais três nunca estão alinhados, exceto nove que pertence à mesma reta. Sabendo-se que o número de triângulos que podem ser formados, tendo vértices nestes 16 pontos, é x, calcule : 04) Para a manutenção de seus equipamentos, uma fabrica conta com sete fornecedores de peças dos tipos P e Q. Por instrução da direção, o responsável pelas compras nunca deve adquirir mais do que 01 lote de peças para cada fornecedor. Precisando adquirir 04 lotes de peças do tipo P e 3 lotes de peças do tipo Q, o responsável pelas compras pode escolher os fornecedores de quantos lotes diferentes? Compras pode escolher os fornecedores de quantos modos diferentes? A) 7 B) 12 C) 35 D) 70 E) 24 05) Certa pizzaria oferece aos clientes cinco tipos de cobertura (presunto, calabresa, frango, cebola e azeitona) para serem acrescentados ao queijo. Os clientes podem escolher uma, duas ou três coberturas. João quer cebola em sua pizza, mas ainda não decidiu se colocará, ou não, outras coberturas. Considerando-se essas informações, de quantos modos distintos João poderá montar sua pizza? A) 10 B) 11 C) 15 D) 16 E) 24 06) Em uma loja, trabalham 8 funcionárias, dentre as quais Diana e Sandra. O gerente da loja precisa escolher duas funcionárias para trabalharem no próximo feriado. Sandra e Diana trabalham no último feriado e, por isso, não podem ser escolhidas. Sendo assim, de quantos modos distintos esse gerente poderá fazer a escolha? A) 15 B) 28 C) 32 D) 45 E) 56 07) Um treinador de futebol dispõe de 3 goleiros, 5 atacantes, 6 jogadores de meio de campo e 4 zagueiros para compor um time de 11 jogadores. Se o time será composto por 1 goleiro, 3 atacantes, 5 jogadores de meio de campo e 2 zagueiros, de quantos modos diferentes esse time poderá ser montado? A) 25 B) 120 C) 360 D) 745 E)

11 EXTRA!!!! ANÁLISE COMBINATÓRIA COMPLETA Grupamento Completo É o grupo em que é permitida a repetição de elementos. Arranjo Completos Combinações Completas TREINAMENTO 01) Um vendedor de sucos dispõe de laranja, limão, acerola e abacaxi. Quantos tipos de sucos poderão ser preparados com três frutas em cada um? 02) Uma agência dispõe de 3 marcas de veículos, de quantas maneiras diferentes osso montar uma frota de 6 carros? TREINAMENTO DE CASA ( IMEDIATO) 01) Uma loja vende barras de chocolate de diversos sabores. Em uma proporção, era possível comprar três barras de chocolate com desconto, desde que estas fossem dos sabores ao leite, amargo, branco ou com amêndoas, repetidos ou não. Assim, um cliente que comprar as três barras na promoção poderá escolher os sabores de n modos distintos, sendo n igual a: A) 4 B) 10 C) 12 D) 16 E) 20 02) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão participar de um desfile de moda. A promotora do desfile determinou que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamente quatro modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise não poderá ser a primeira da fila. Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a: A) 420 B) 480 C) 360 D) 240 E) 60 11

12 03) Uma artesã de bijuteria fabrica um colar de contas no qual utiliza 16 contas pequenas e duas contas grandes, cujo modelo é apresentado abaixo. 06) Para cadastrar-se em um site de compras coletivas, Guilherme precisará criar uma senha numérica com, no mínimo, 4 e, no máximo, 6 dígitos. Ele utilizará apenas algarismos de sua data de nascimento: 26/03/1980. Quantas senhas diferentes Guilherme poderá criar se optar por uma senha sem algarismo repetidos? Os critérios que ela utiliza para montar cada colar são os seguintes: As contas pequenas são todas de mesma cor; Contas grandes devem ter cores diferentes; Se as contas pequenas forem da cor X, nenhuma conta grande pode ser da cor X. Sabendo-se que a artesã dispõe de contas pequenas brancas, pretas, azuis e laranja, de contas grandes brancas, vermelhas, verdes, azuis e rosas, de quantos modos distintos ela pode escolher as cores das contas que irão compor um colar? A) 5040 B) 8400 C) D) E) ) O número de cadeias distintas de 13 caracteres que podem ser formadas apenas com as letras da palavra papiloscopista é inferior a ) Um par e uma trinca consistem, respectivamente, de duas e três cartas do mesmo número ou letra. Um full hand é uma combinação de 5 cartas formadas por um par e uma trinca. A) 28 B) 30 C) 32 D) 40 E) 42 04) Não bem conhecido os códigos de barra que aparecem, por exemplo, nos produtos à venda em supermercados. Os códigos habituais são sequências de barras pretas ou brancas. Imagine, no entanto, um código incomum em que cada barra possa ser preta, branca ou cinza. Nesse caso, se o código é composto por 5 barras, quantas sequências distintas existirão? A) 2089 B) 729 C) 720 D) 243 E) 125 Considerando essas informações, calcule: a) De quantas maneiras distintas se pode formar um full hand com um par de reais e trinca de dois? b) De quantas maneiras distintas se pode dormar um full hand com um par de reais? c) De quantas maneiras distintas se pode formar um full hand? 05) Se todos os anagramas da palavra BRASIL forem dispostos em ordem alfabética, o primeiro anagrama cuja a última letra é B ocupará que posição? A) 5ª B) 25ª C) 34ª D) 49ª E) 121ª GABARITO: 01) E 02) A 03) C 04) D 05) C 06) B 07) E 08 a-) b-) c-)

13 TREINAMENTO LIGHT TREINE MAIS 01) Para eleição do corpo dirigente de uma empresa candidatam-se oito pessoas. O números de maneiras que poderão ser escolhidos presidente e vice-presidente é ) Uma pesquisa deseja saber a ordem de preferência dos três maiores ídolos do esporte no Brasil. O número de respostas diferentes que são possíveis, se a cada entrevistado é representada uma lista com o nome de 20 esportistas é ) Uma classe 10 alunos, entre eles Júlia e Alberto, será submetida a uma prova oral em que todos os alunos serão avaliados. De quantas maneiras o professor pode escolher a sequência dos alunos se Júlia deve ser sempre a primeira a ser chamada e Alberto sempre o último a ser chamado? A) B) C) D) ) Um professor dispõe de oito questões de Álgebra e duas de Lógicas para elaborar uma prova de 10 questões. De quantas maneiras ele poderá escolher a ordem delas, sabendo que as de Lógica não podem aparecer em uma seguida da outra? A) 5.6! B) 6.7! C) 7.8! D) 8.9! 03) Uma emissora de tevê dispõe, ao todo, de 10 programas distintos. Quantas são as possíveis sequências de seis programas distintos a serem exibidos em um dia? A) A 10,4 B) P 6 C) A 10,6 D) 10! 04) Uma prova de atletismo reúne 15 atletas. Quantos são os resultados possíveis para que sejam distribuídas as medalhas de ouro, prata e bronze? A) B) C) D) ) Dez enxadristas participam de um campeonato onde todos jogam contra todos. Se um deles vence todas as partidas, quantas são as classificações possíveis para os três primeiros colocados? A) 24 B) 36 C) 48 D) 72 08) Um comício reúnem oito políticos de um partido, entre eles o presidente e seu vice. Supondo que todos os políticos presentes irão discursar, de quantas maneiras pode ser estabelecida a sequência de discursos se presidente e vice, nesta ordem, devem discursar consecutivamente? A) B) C) D) ) Uma empresa distribuí a seus funcionários um questionário constituído de duas partes,. Na 1ª, o funcionário deve colocar a ordem de preferência de turno de trabalho: diurno, vespertino e noturno. Na 2ª, o funcionário deve escolher, em ordem de preferência, dois dos sete dias da semana para folgar. De quantas maneiras um funcionário poderá preencher esse questionário? A) 128 B) 240 C) 252 D)

14 10) Dispondo dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar? A) 840 B) 820 C) 640 D) ) Um torneio de futebol será disputado em duas sedes a serem escolhidas entre seis cidades. De quantas maneiras poderá ser feita a escolha das duas cidades? A) 10 B) 15 C) 20 D) 35 12) Quinze alunos de uma classe participam de uma prova classificatória para a olimpíada de Matemática. Se há três vagas para Olimpíada, de quantas formas poderão ser escolhidos os alunos participantes? A) 360 B) 420 C) 455 D) )Uma junta médica deverá ser formada por quatro médicos e dois enfermeiros. De quantas maneiras ela poderá ser formada se estão disponíveis dez médicos e seis enfermeiros? A) B) C) D) ) Uma classe tem 10 meninos e 12 meninas. De quantas maneiras poderá ser escolhida uma comissão de três meninos e quatro meninas, incluindo, obrigatoriamente, o melhor aluno e a melhor aluna? A) B) C) D) ) Dispõe-se de oito tipos de frutas para fazer uma salada. Se cada salada é composta de cinco frutas diferentes, então o número de saladas diferentes que se pode preparar é: A) 8 B) 10 C) 56 D) 120 GABARITO 01) C 02) E 03) C 04) A 05) D 06) A 07) D 08) A 09) C 10) A 11) B 12) C 13) B 14) D 15) C QUESTÕES DE COMBINATÓRIA (POR ASSUNTO) TENTE RESOLVER ESTAS QUESTÕES TANTO POR CONTAGEM COM POR COMBINATÓRIA CLÁSSICA. COMPARE OS TEMPOS GASTOS E VÊJA O QUE É MAIS CONVINIENTE PARTE I - ARRANJOS 01) Ágata é decoradora e precisa atender o pedido de um excêntrico cliente. Ele o clienteexige que uma das paredes do quarto de sua filha seja dividida em uma sequência de 5 listras horizontais pintadas de cores diferentes, ou seja, uma de cada cor. Sabendo-se que Ágata possui apenas 8 cores disponíveis, então o número de diferentes maneiras que a parede pode ser pintada é igual a: A) 56 B) C) D) E) 4,320 02) Em um campeonato de tênis participam 30 duplas, com a mesma probabilidade de vencer. O número de diferentes maneiras para classificação dos 3 primeiros lugares é igual a: A) B) C) D) E)

15 03) Ana possui em seu closet 90 pares de sapatos, todos devidamente acondicionados em caixas numeradas de 1 a 90. Beatriz pede emprestada à Ana quatro pares de sapatos. Atendendo ao pedido da amiga, Ana retira do closet quatro caixas de sapatos. O número de retiradas possíveis que Ana pode realizar de modo que a terceira caixa retirada seja a de número 20 é igual à: A) B) C) D) E) ) Pedro e Paulo estão em uma sala que possui 10 cadeiras dispostas em uma fila, O número de diferentes formas pelas quais Pedro e Paulo podem escolher seus lugares para sentar, de modo que fique ao menos uma cadeira vazia entre eles, é igual a: A) 80 B) 72 C) 90 D) 18 E) 56 05) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão participar de um desfile de modas. A promotora do desfile determinou que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamente quatro das modelos. Além disso, a última fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla, ou Denise. Finalmente, Denise não poderá ser a primeira da fila. Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a: A) 420 B) 480 C) 360 D) 240 E) 60 PARTE II - PERMUTAÇÕES 06) Quais casais compram ingressos para oito lugares contíguos em uma mesma fila no teatro. O número de diferentes maneiras em que podem senta-se de modo que a) homens e mulheres sentem-se em lugares alternados; e que b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas são, respectivamente: A) e B) e C) e D) 384 e E) 112 e ) Dez amigos, entre eles Mário e José, devem formar uma fila para comprar as entradas para um jogo de futebol. O número de diferentes formas que está na fila de amigos pode ser formada, de modo que Mário e José fiquem sempre juntos é igual: A) 2! 8! D) 1! 9! B) 0! 8! E) 1! 8! C) 2! 9! 08) Chico, Caio e Caco vão ao teatro com suas amigas Biba e Beti, e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que Chico e Beti fiquem sempre juntos, um ao lado do outro, é igual a: A) 16 B) 24 C) 32 D) 46 E) 48 09) O número de maneiras diferentes que 3 rapazes e 2 moças podem sentar-se em uma mesma fila de modo que somente as moças fiquem juntas é igual a: A) 6 B) 12 C) 24 D) 36 E) 48 10) O número de anagramas da palavra FAZENDA que começam com FA e nessa ordem é igual a: A) 130 B) 124 C) 120 D) 115 E)

16 PARTE III COMBINAÇÕES 11) Marcela e Mario fazem parte de uma turma de quinze formados, onde dez são rapazes e cinco são moças. A turma reúne-se para formar uma comissão de formatura composta por seis formandos. O número de diferentes comissões que podem ser formadas de modo que Marcela participe e que Mario não participe é igual a: A) B) 252 C) 284 D) 90 E) 84 12) E m um plano sçao marcados 25 pontos, dos quais 10 e somente 10 desses pontos são marcados em linha reta. O número de diferentes triângulos que podem ser formados com vértices em quaisquer dos 25 pontos é igual a: 13) Na Mega-Sena, são sorteadas seis dezenas de um conjunto de sessenta possíveis (as dezenas sorteáveis são 01, 02,..., 60). Uma aposta simples (ou aposta mínima), na Mega- Sena, consiste em escolher seis dezenas. Pedro sonhou que as seis dezenas que serão sorteadas no próximo concurso da Mega-Sena estarão entre as seguintes: 01, 02, 05, 10, 18, 32, 35, 45. O número mínimo de apostas simples para o próximo concurso da Mega-Sena que Pedro deve fazer para ter certeza matemática de que será um dos ganhadores, caso o seu sonho esteja correto é: A) 8 B) 28 C) 40 D) 60 E) 84 14) Uma empresa possui vinte funcionários, dos quais dez são homens e dez são mulheres. Desse modo, o número de comissões de cinco pessoas que se pode formar com três homens e duas mulheres é: 15) Em uma circunferência são escolhidos 12 pontos distintos. Ligam-se quatro quaisquer desses pontos, de modo a formar um quadrilátero. O número total de diferentes quadriláteros que podem se formar é: A) 128 B) 495 C) 545 D) 1,485 E) ) Um grupo de estudantes encontram-se reunidos em uma sala para escolher aleatoriamente, por sorteio, quem dele irá ao Simpósio de Matemática no próximo ano. O grupo é composto de 15 rapazes e de certo número de moças cumprimentaram-se, todas e apenas entre si, uma única vez. Há um total de 150 cumprimentos. O número de moças é, portanto, igual a: A) 10 B) 14 C) 20 D) 25 E) 45 18) O departamento de vendas de uma empresa possui 10 funcionários, sendo 4 homens e 6 mulheres. Quantas opções possíveis existem para se formar uma equipe de vendas de 3 funcionários, havendo na equipe pelo menos um homem e pelo menos uma mulher? A) 192 B) 36 C) 96 D) 48 E) 60 GABARITO 01) C 02) A 03) A 04) B 05) A 06) C 07) C 08) E 09) C 10) C 11) A 12) ) B 14) D 15) B 16) A 17) D 18) C A) B) 165 C) D) E)