Capítulo Formalização do conceito de limite

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1 Cálculo 2 - Capítulo Formalização do conceito de ite Capítulo Formalização do conceito de ite Limite de uma função de uma variável Limite de uma função de n variáveis Limite de uma função de duas variáveis Este capítulo é dedicado à formalização do conceito de ite, tanto daquele visto para funções de uma variável real quanto para funções de duas ou mais variáveis reais. É um capítulo de aprofundamento, com conceitos um pouco mais compleos do que normalmente é ensinado em alguns cursos de Cálculo Limite de uma função de uma variável Para definir de forma mais rigorosa o que é um ite de funções de duas ou mais variáveis é necessário aprofundar o conceito de ite visto até então. Antes de mostrar a definição formal do ite de uma função f = f() quando 0, é bom lembrar que, embora o Cálculo Diferencial e Integral tenha surgido com Isaac Newton ( ) e Gottfried Wilhelm von Leibniz (646-77) no século XVII, foi somente no século XIX que essa definição foi formalizada pelo francês Augustin-Louis Cauch ( ) e pelo alemão Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (85-897). Dado um ite f() = L, a definição formal baseia-se em construir dois intervalos abertos: um em 0 torno do ite L e outro em torno do ponto 0, como mostra a primeira figura a seguir. O intervalo em torno de 0 tem que ser pequeno o suficiente para que a sua imagem esteja contida no intervalo em torno do ite L (segunda figura a seguir). L L 0 Prova-se que o ite é verdadeiro se, para qualquer intervalo em torno de L, não importa o quão pequeno ele seja, for sempre possível encontrar um intervalo em torno de 0 de modo que a imagem desse intervalo esteja contida no intervalo em torno de L. A figura a seguir mostra um caso em que isto não é possível, mostrando que o ite é falso. g() g() 0 L L Determinando que o intervalo em torno de L é dado por (L ǫ,l + ǫ) e o intervalo em torno de 0 é dado por ( 0 δ, 0 + δ), onde ǫ (épsilon) e δ (delta) são ambos maiores que zero, podemos dizer que o ite está

2 Cálculo 2 - Capítulo Formalização do conceito de ite 2 correto se, para (L ǫ,l+ǫ), eistir sempre um δ > 0 tal que ( 0 δ, 0 +δ). Isto tem que ser verdade para qualquer valor de ǫ que escolhermos. Um eemplo mais específico é dado a seguir. Isaac Newton ( ): Newton foi um dos maiores gênios da humanidade. Nasceu na pequena cidade de Woolsthorpe, na Inglaterra, e estudou na Universidade de Cambridge, tornando-se depois professor nessa mesma universidade. Ele era físico, matemático, astrônomo e alquimista, tendo contribuído significativamente para todos esses campos. Ele foi o criador da mecânica racional e da lei da gravitação universal. Foi um dos criadores do Cálculo Diferencial e Integral, juntamente com Leibniz. Desenvolveu vários trabalhos em óptica, tendo revolucionado essa área da Física. Também foi dele a invenção do telescópio refletor, que é usado em observatórios do mundo inteiro e no espaço. Newton também eerceu importantes cargos públicos e foi sagrado sir (cavalheiro) pela rainha da Inglaterra na época. Morreu como uma celebridade em seu país, embora já mostrasse vários sinais de demência senil. Gottfried Wilhelm von Leibniz (646-77): matemático, filósofo, físico e estudioso das leis alemão. Nasceu em Leipzig e estudou na prestigiosa universidade de mesmo nome. Junto com Newton, foi o criador do Cálculo Diferencial e Integral. Também foi responsável por boa parte da notação matemática usada até hoje. Além disso, foi um grande filósofo, tendo tecido uma visão de um universo baseado em princípios fundamentais e racionais, sem rejeitar as concepções cristãs. Sua convicção de que tudo podia ser demonstrado racionalmente quando utilizada uma notação coveniente levou-o a organizar várias epressões matemáticas em termos de símbolos. Leibniz sofreu revezes com a rivalidade entre ele e Newton devida à controvérsia sobre quem teria sido o criador do Cálculo Diferencial e Integral. Eemplo : tentaremos mostrar que 2 = usando o novo critério que acaba de ser descrito. Tomando um intervalo que inclui todos os números que estão a distâncias menores que ǫ = do ponto =, temos que esse intervalo vai de = 0 até = 2. Este intervalo tem comprimento 2ǫ = 2 e pode ser escrito como (0, 2). Se considerarmos agora um intervalo centrado em = de comprimento 2δ = 0, 4, isto é, o intervalo ( 0, 2, + 0, 2) = (0, 8,, 2), este produzirá a seguinte imagem em : para = 0, 8 temos f(0, 8) = 0, 64; para =, 2, f(, 4) =, 44. Portanto, a imagem produzida pelo intervalo em centrado em = e de comprimento 2δ = 0, 4 produz uma imagem em dada pelo intervalo (0, 64,, 44), que está contido no intervalo (0, 2) ǫ = 2 2ǫ = δ = 0,4 Do mesmo modo como escolhemos 2δ = 0, 4 δ = 0, 2, poderíamos ter escolhido δ = 0, ou δ = 0, 4, que a imagem produzida pelo intervalo ( δ, +δ) ainda estaria contida no intervalo (0, 2). Na verdade, contanto que δ seja menor ou igual a 2 0, 44, o intervalo produzido em leva a uma imagem que está contida em (0, 2). Vamos mostar que também para valores menores de ǫ conseguimos encontrar valores de δ satisfazendo essas condições. Escolhendo ǫ = 0, 5, temos o intervalo ( 0, 5, + 0, 5) = (0, 5,, 5) em. O que temos que fazer agora é encontrar um valor de δ para o qual o intervalo ( δ, +δ) em produza uma imagem que esteja contida no intervalo em. Tomando δ = 0, 2, teremos o intervalo ( 0, 2, + 0, 2) = (0, 8,, 2) em que, como já vimos, produz a imagem (0, 64,, 44), que está contida no intervalo (0, 5,, 5).

3 Cálculo 2 - Capítulo Formalização do conceito de ite ǫ = 2ǫ = δ = 0,4 Tomemos agora um valor ainda menor para ǫ: 0,25. Para este valor, temos o intervalo ( 0, 25, + 0, 25) = = (0, 75,, 25) em. Escolhendo δ = 0,, temos o intervalo ( 0,, + 0, ) = (0, 9,, ) em, que tem como imagem o intervalo (0, 8,, 2), que está contido no intervalo (0, 75,, 25) ǫ = 0,5 2ǫ = 0, δ = 0,2 Assim, podemos intuir que, para qualquer valor de ǫ que escolhermos, será sempre possível escolher um valor de δ tal que o intervalo ( δ, + δ) em produzirá uma imagem em que estará contida no intervalo ( ǫ, + ǫ). Diremos que o ite eiste e está correto quando isto puder ser provado. Voltemos, agora, à definição formal de um ite. Podemos dizer que o ite de uma função f() quando tende a 0 é L, f() = L se, para qualquer ǫ > 0, eistir sempre um δ > 0 tal que ( 0 δ, 0 +δ) 0 f() (L ǫ,l + ǫ). Agora, podemos escrever 0 < δ no lugar de ( 0 δ, 0 + δ). Isto porque 0 < δ δ < 0 < δ 0 δ < < 0 + δ. De modo semelhante, podemos escrever f() L < ǫ no lugar de f() (L ǫ, L + ǫ). Isto porque f() L < ǫ ǫ < f() L < ǫ L ǫ < f() < L + ǫ. Portanto, a definição de ite fica dada a seguir. 0 f() = L se, para qualquer ǫ > 0, eistir sempre um δ > 0 tal que 0 < δ f() L < ǫ. Definição - Dada uma função f() definida em um intervalo I R e um ponto 0 de I, dizemos que o ite de f() quando tende a 0 eiste e é igual a L, o que pode ser escrito como 0 f() = L, quando, para qualquer ǫ > 0, eistir sempre um δ > 0 tal que 0 < δ f() L < ǫ.

4 Cálculo 2 - Capítulo Formalização do conceito de ite 4 Observação: uma definição mais formal de ite é feita na Leitura Complementar e necessita do conceito de ponto de acumulação, que é visto na Leitura Complementar A definição 2 é usada a seguir para provar dois ites. Eemplo 2: mostre que 3 ( + 2) = 5. Solução: temos que mostrar que eistem valores de δ > 0 tais que a < δ f() L < ǫ para qualquer valor de ǫ > 0. Temos a = 3, f() = + 2 e L = 5, de modo que a epressão fica 3 < δ < ǫ 3 < δ 3 < ǫ. Podemos ver da epressão acima que sempre que tivermos δ ǫ, essa relação será válida, pois se 3 < δ e δ ǫ, então 3 < ǫ. Portanto, o ite está provado. Eemplo 3: mostre que (2 ) =. Solução: temos que mostrar que eistem valores de δ > 0 tais que a < δ f() L < ǫ para qualquer valor de ǫ > 0. Temos a =, f() = 2 e L =, de modo que a epressão fica < δ 2 < ǫ < δ 2 2 < ǫ < δ 2 < ǫ < δ < ǫ 2. Podemos ver da epressão acima que sempre que tivermos δ ǫ 2, essa relação será válida, pois se < δ e δ ǫ 2, então < ǫ. Portanto, o ite está provado. A definição de ites que acabamos de desenvolver não é válida para ites infinitos ou ites envolvendo o infinito. Para esses ites e outros são necessárias novas definições. Na verdade, são necessárias nove delas (isto é feito na Leitura Complementar 2.3.3). Augustin-Louis Cauch ( ): matemático francês responsável pela formulação mais precisa do conceito de ites e por várias contribuições de fundamental importância na teoria de funções de variáveis compleas e em equações diferenciais. Cauch teve uma infância atribulada, tendo vivido na época da Revolução Francesa. Trabalhou como engenheiro para a marinha de Napoleão e teve várias tentativas de obter posições em universidades recusadas, muitas vezes por motivos políticos. Católico devoto, teve atritos com seus colegas partidários do ateísmo. Quando o rei da França voltou ao poder, recusou-se a jurar lealdade e perdeu seu emprego, retornando ao seu trabalho após o rei ter sido novamente deposto. Karl Theodor Wilhelm Weierstrass ( ): matemático nascido na Prússia (atual Alemanha). Embora fosse apaionado pela matemática, estudou finanças por desejo de seu pai. Desinteressado do assunto, levou uma vida despreocupada de estudante até que resolveu, contrariando seu pai, estudar matemática. Tendo abandonado a universidde, formou-se professor do segundo grau. Eerceu essa profissão até publicar um artigo sobre inversão de funções hiperelípticas, o que lhe valeu uma posição na universidade. É considerado o pai da análise matemática por ter introduzido o rigor atual no Cálculo e na teoria de funções de variáveis compleas. Fez muitas contribuições à matemática, sobretudo nesses dois últimos campos. Suas aulas eram muito apreciadas e ele tinha estudantes vindos de várias partes do mundo Limite de uma função de duas variáveis Podemos, agora, epandir o conceito de ite para o caso de uma função de duas variáveis reais. Relembrando, uma função f = f(,) leva elementos de R 2 a elementos de R (primeira figura a seguir).

5 Cálculo 2 - Capítulo Formalização do conceito de ite 5 z 0 f f( 0, 0 ) R 2 0 R Para definirmos um ite f(,) = L, precisamo primeiro determinar uma região em torno do ponto ( 0, 0 ) ( 0, 0 ) e um outro intervalo aberto em torno do ite L. Podemos, por eemplo, desenhar um quadrado ou uma circunferência em torno de ( 0, 0 ) (duas figuras a seguir) e dizer que (,) tem que estar dentro do subconjunto de R 2 constituído pela região interna a esse quadrado ou a essa circunferência, ecluindo as suas bordas (isto é representado pelas linhas pontilhadas nas figuras a seguir). z z 0 f 0 f L L 0 0 Como é mais fácil determinar a equação da região circular em torno do ponto ( 0, 0 ), escolheremos esse tipo de região, que chamaremos de bola aberta em torno do ponto, pois ela não inclui a superfície do círculo. Podemos, então, dizer que a região itada pela bola aberta é dada pelo círculo ( 0 ) 2 + ( 0 ) 2 < δ 2 = ( 0 ) 2 + ( 0 ) 2 < δ, onde δ é o raio da bola aberta. Lembrando agora que ( 0 ) 2 + ( 0 ) 2 = ( 0, 0 ), podemos dizer que a bola aberta é definida por ( 0, 0 ) < δ. Podemos, então, utilizar a seguinte definição de ite. Definição 2 - Dada uma função f(,) definida em um intervalo I R 2 e um ponto ( 0, 0 ) I, dizemos que o ite de f(,) quando (,) tende a ( 0, 0 ) eiste e é igual a L, o que pode ser escrito como f(,) = L, quando, para qualquer ǫ > 0, eistir sempre um δ > 0 tal que (,) ( 0, 0 ) 0, 0 < δ f(,) L < ǫ. Vamos usar esta definição para provar um ite bem simples, a seguir. Eemplo : prove que = 0. (,) ( 0, 0 ) Solução: temos que mostrar que, para qualquer ǫ > 0, eiste um δ > 0 tal que 0, 0 < δ f(, ) L < ǫ ( 0 ) 2 + ( 0 ) 2 < δ 0 < ǫ. Sabemos que ( 0 ) 2 ( 0 ) 2 + ( 0 ) 2 0 ( 0 ) 2 + ( 0 ) 2. Portanto, escolhendo qualquer δ ǫ, temos que ( 0 ) 2 + ( 0 ) 2 < δ 0 < ǫ, o que prova o ite. Em geral, é muito difícil provar ites envolvendo funções de duas variáveis. Podemos, no entanto, calcular alguns ites utilizando nossos conhecimentos de ites de funções de uma variável, como mostra o eemplo a seguir.

6 Cálculo 2 - Capítulo Formalização do conceito de ite 6 Eemplo 2: calcule (,) (0,0) sen( ) Solução: usando a simetria do problema, podemos fazer a mudança de variável = r 2. Quando (, ) (0, 0), teremos r 0, também, de modo que podemos escrever sen( ) sen r 2 (,) (0,0) = r 0 r 2. Se aplicarmos r = 0, este ite fica da forma 0 0, de modo que podemos aplicar a ele a regra de L Hôpital: sen ( ) senr 2 (,) (0,0) = r 0 r 2 Vamos, agora, provar que um ite não eiste. Eemplo 3: calcule 2 2 (,) (0,0) = r 0 2r cosr 2 2r = r 0 cosr 2 = cos0 =. Solução: o procedimento que adotaremos é fazer o ite de uma das variáveis e depois o ite da outra. Começando pelo ite 0, temos 2 2 (,) (0,0) = = ( ) =. 0 Se fizermos primeiro o ite em e depois o ite em, obtemos sen( ) 2 (,) (0,0) = 0 2 = =. 0 Note que os dois ites não são iguais. Isto já basta para provar que não eiste esse ite. Na verdade, os eemplos 2 e 3 não estão formalizados da maneira correta. A Leitura Complementar mostra como fazê-lo Limite de uma função de n variáveis Vamos, agora, definir ites para o caso de uma função de três variáveis reais. A generalização para funções de n variáveis reais poderá ser feita facilmente a partir daí. Uma função f = f(,,z) leva elementos de R 3 a elementos de R (figura a seguir). Podemos considerar uma bola aberta em trono de R 3 dada por uma esfera de raio menor que δ levando a um interavalo f(,,z) L < ǫ na imagem (segunda figura a seguir). z w z w z 0 f f( 0, 0,z 0 ) z 0 f L 0 0 R 3 R 0 0 R 3 R Podemos escrever a região dentro dessa bola aberta pela equação ( 0 ) 2 + ( 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 < δ, que é a equação de uma esfera de raio δ com eceção de sua superfície. Novamente, podemos trocar a raiz por uma norma: ( 0, 0,z z 0 ) < δ. A definição de ite fica, então, como a dada a seguir.

7 Cálculo 2 - Capítulo Formalização do conceito de ite 7 Definição 3 - Dada uma função f(,,z) definida em um intervalo I R 3 e um ponto ( 0, 0,z 0 ) I, dizemos que o ite de f(,,z) quando (,,z) tende a ( 0, 0,z 0 ) eiste e é igual a L, o que pode ser escrito como f(,,z) = L, quando, para qualquer ǫ > 0, eistir sempre um δ > 0 (,,z) ( 0, 0,z 0 ) tal que ( 0, 0,z z 0 ) < δ f(,,z) L < ǫ. A generalização para o ite de uma função de n variáveis reais é direta. Definição 4 - Dada uma função f(,, n ) definida em um intervalo I R n e um ponto ( 0,, n0 ) I, dizemos que o ite de f(,, n ) quando (,, n ) tende a ( 0,, 0n ) eiste e é igual a L, o que pode ser escrito como f(,, n ) = L, quando, para qualquer ǫ > 0, eistir sempre um δ > 0 tal que ( 0,, n n0 ) < δ f(,, n ) L < (,, n) ( 0,, n0 ) ǫ. Resumo Limite de uma função f : R R. Dada uma função f() definida em um intervalo I R e um ponto 0 de I, dizemos que o ite de f() quando tende a 0 eiste e é igual a L, o que pode ser escrito como f() = L, quando, para qualquer ǫ > 0, eistir sempre um δ > 0 tal que 0 0 < δ f() L < ǫ. Limite de uma função f : R 2 R. Dada uma função f(,) definida em um intervalo I R 2 e um ponto ( 0, 0 ) I, dizemos que o ite de f(,) quando (,) tende a ( 0, 0 ) eiste e é igual a L, o que pode ser escrito como f(,) = L, quando, para qualquer ǫ > 0, eistir sempre (,) ( 0, 0 ) um δ > 0 tal que 0, 0 < δ f(,) L < ǫ. Limite de uma função f : R 3 R. Dada uma função f(,,z) definida em um intervalo I R 3 e um ponto ( 0, 0,z 0 ) I, dizemos que o ite de f(,,z) quando (,,z) tende a ( 0, 0,z 0 ) eiste e é igual a L, o que pode ser escrito como f(,,z) = L, quando, para qualquer ǫ > 0, (,,z) ( 0, 0,z 0 ) eistir sempre um δ > 0 tal que ( 0, 0,z z 0 ) < δ f(,,z) L < ǫ. Limite de uma função f : R n R. Dada uma função f(,, n ) definida em um intervalo I R n e um ponto ( 0,, n0 ) I, dizemos que o ite de f(,, n ) quando (,, n ) tende a ( 0,, 0n ) eiste e é igual a L, o que pode ser escrito como f(,, n ) = L, (,, n) ( 0,, n0 ) quando, para qualquer ǫ > 0, eistir sempre um δ > 0 tal que ( 0,, n n0 ) < δ f(,, n ) L < ǫ.

8 Cálculo 2 - Capítulo Formalização do conceito de ite 8 Leitura Complementar Desigualdades e módulo Os símblos < (menor), > (maior), (menor ou igual) e (maior ou igual) estabelecem relações de ordem no conjunto dos números reais. Isto também vale para os subconjuntos N, Z e Q. Uma relação de ordem entre dois números reais também é chamada de desigualdade. Eemplos: 2 < 7, 4 > 8, 3,4 5, Eistem certas regras quando se opera com desigualdades. Para quaisquer números reais a e b, valem as seguintes propriedades: P) a < b a + c < b + c, c R; P2) a < b e c < d a + c < b + d, c R e d R; P3) a < b ac < bc, c R e c > 0; P4) a < b ac > bc, c R e c < 0; P5) a < b a > b, a 0 e b 0. Eemplos dessas regras são dados a seguir. Eemplo : 2 < < < 7 (por P). Eemplo 2: < < < 0 (por P2). Eemplo 3: 2 < < < 9 (por P3). Eemplo 4: 2 < 3 2 ( ) < 3 ( ) 2 > 3 (por P4). Eemplo 5: 2 < 4 2 > 4 (por P5). a) Módulo de um número real O módulo ou valor absoluto de um número real a, escrito a, é definido como a = a se a 0 ; a = a se a < 0. Outra definição é dada em termos da raiz quadrada de um número ao quadrado: a = a 2. Eemplos: 2 = 2, 4 = 4, 3 = ( 3) 2 = 9 = 3. O módulo de um número representa a distância deste ao ponto 0 no eio dos números reais.

9 Cálculo 2 - Capítulo Formalização do conceito de ite 9 0 a a b 0 b Usamos esta interpretação para estabelecer algumas relações para um número R com relação a um número a > 0. Primeiro, = a = ±a. Eemplo : calcule quando = 2. Solução: = 2 = ±2, ou seja, = 2 ou = 2. A segunda relação é a seguinte: < a a < < a. Isto pode ser visto da figura abaio. O módulo de será menor que a quando estiver dentro do intervalo aberto ( a,a) (outra notação usada para o intervalo aberto é ] a,a[ ). a 0 a Eemplo 2: calcule quando < 4. Solução: < 2 2 < < 2, ou seja, ( 2, 2). A terceira relação é: > a < a ou > a. Isto pode ser visto da figura abaio. O módulo de será maior que a quando estiver dentro do intervalo aberto (,a) ou no intervalo aberto (a, ). a 0 a a 0 a Eemplo 3: calcule quando > 3. Solução: > 3 < 3 ou > 3, ou seja, (, 3) (3, ). De modo semelhante, podemos escrever a a a, a a ou a. Eemplo 4: calcule quando 3. Solução: 3 3 3, ou seja, [ 3, 3]. O módulo de um número real apresenta as seguintes propriedades: P) ab = a b ; P2) a b = a b, b 0; P3) a + b a + b (desiguladade triangular).

10 Cálculo 2 - Capítulo Formalização do conceito de ite 0 Demonstração: P) podemos escrever ab = (ab) 2 = a 2 b 2 = a 2 b 2 = a b. P2) temos a ( b = a ) 2 b = a 2 b = a 2 2 = a b 2 b. P3) dados dois números reais, sabemos que a a a e b b b. Portanto, temos a b a + b a + b ( a + b ) a + b a + b a + b < a + b. Eemplo 5: 3 ( 2) = 6 = 6 = 3 2. Eemplo 6: 2 = 2 = 2 = 2. Eemplo 7: 3 + ( 2) = 3 2 = = e = = 5. Portanto, 3 + ( 2)

11 Cálculo 2 - Capítulo Formalização do conceito de ite Leitura Complementar Vizinhança e ponto de acumulação Nesta seção, veremos dois tópicos da topologia dos números reais: os conceitos de vizinhança e de ponto de acumulação. Dado um número real a qualquer pertencente a um subintervalo I R, definimos uma vizinhança desse ponto como sendo um conjunto de pontos pertencentes a I que estejam a uma distância menor que um número ǫ > 0 de a, isto é, uma vizinhança de a é o intervalo { I a ǫ < < a + ǫ} = { I a < ǫ}. a ǫ a a + ǫ Eemplo : dado o intervalo I = (0,6) da reta dos reais, uma vizinhança do ponto = 2 pode ser dada por todos os pontos pertencentes ao intervalo (2,2 + ) = (,3), ou seja, pelo conjunto { I < < 3} = { R 2 < } Eemplo 2: dado o intervalo I = (0,6) da reta dos reais, uma outra vizinhança do ponto = 2 pode ser dada por todos os pontos pertencentes ao intervalo (2 0,4, 2 + 0,4) = (,6, 2,4), ou seja, pelo conjunto { I,6 < < 2,4} = { R 2 < 0,4}. 0,6 2 2,4 6 Eemplo 3: dado o intervalo I = { R < 2 ou 4} da reta dos reais, uma vizinhança do ponto = 5 pode ser dada por todos os pontos pertencentes ao intervalo (5 0,5,5+0,5) = (4,5, 5,5), ou seja, pelo conjunto { I 4,5 < < 5,5} = { R 5 < 0,5} ,5 5 5,5 Eemplo 4: dado o intervalo I = { R < 2 ou 4} da reta dos reais, uma outra vizinhança do ponto = 5 pode ser dada escolhendo ǫ = 4, de modo que a vizinhança será composta por todos os pontos pertencentes ao intervalo { I < < 9} = (,2) [4,9)

12 Cálculo 2 - Capítulo Formalização do conceito de ite 2 Eemplo 5: dado o intervalo I = {2} da reta dos reais, o ponto = 2 tem {2} como sua única vizinhança. 2 Dado um intervalo I R e um ponto a R, dizemos que a é um ponto de acumulação do conjunto I quando todo intervalo aberto (a ǫ,a + ǫ), de centro a, contém algum ponto I diferente de a. Em termos de simbologia matemática, a é um ponto de acumulação de um conjunto I R quando, para qualquer ǫ > 0, eistir um I tal que 0 < a < ǫ. a ǫ a a + ǫ Eemplo 6: dado um intervalo I = (,5), o ponto = 3 é um ponto de acumulação desse intervalo, pois para qualquer ǫ > 0 eistem pontos (3 ǫ,3+ǫ) (,5) que pertencem a I e que não são o ponto = 3. 3 ǫ ǫ 5 Eemplo 7: dado um intervalo I = (,5), o ponto = é um ponto de acumulação desse intervalo, pois para qualquer ǫ > 0 eistem pontos (3 ǫ,3+ǫ) (,5) que pertencem a I e que não são o ponto =. + ǫ 4 5 Eemplo 8: dado um intervalo I = (,5), o ponto = 0 não é um ponto de acumulação desse intervalo, pois podemos escolher ǫ = 0, 5 tal que no intervalo (0 0, 5, 0 + 0, 5) = ( 0, 5, 0, 5) centrado em 0 não eistem pontos I Eemplo 9: dado um intervalo I = {3}, o ponto = 3 não é um ponto de acumulação desse intervalo, pois podemos escolher ǫ = 0,5 tal que no intervalo (3 0,5, 3+0,5) = ( 2,5, 3,5) centrado em 3 não eistem pontos I diferentes de Eemplo 0: dado um intervalo I = { R 3}, o ponto = 3 é um ponto de acumulação desse intervalo, pois para qualquer ǫ > 0 eistem pontos (3 ǫ,3 + ǫ) que pertencem a I e que não são o ponto = 3. 3 ǫ ǫ Portanto, se = a é um ponto de acumulação de um intervalo I, então é possível escolher uma seqüência de números pertencentes a esse intervalo que se aproimem cada vez mais desse ponto sem nunca alcançá-lo. De posse desses conceitos, podemos agora partir para a definição formal de ite, dada na próima leitura complementar.

13 Cálculo 2 - Capítulo Formalização do conceito de ite 3 Leitura Complementar Definição formal de ite A definição formal de ite é dada logo a seguir. É uma das definições mais difíceis do Cálculo e pesadelo da maioria dos estudantes, mas fica mais fácil depois do que vimos nas leituras complementares anteriores. Definição 5 - Dada uma função f() definida em um intervalo I R e um ponto de acumulação a de I, dizemos que o ite de f() quando tende a a eiste e é igual a L, o que pode ser escrito como f() = L, quando, para qualquer número ǫ > 0, eistir sempre um número δ > 0 tal que, se a a < δ, então f() L < ǫ. Usando os eemplos da Leitura Complementar 2.3., pudemos mostrar o porque da necessidade de uma definição tão precisa, por ela ter que funcionar para diversos casos de ites. Note que na definição é eplicitado o fato de o número a do ite f() não estar necessariamente dentro do intervalo em que se analisa o ite. a Este é o caso do ite da função f() = 0 quando 0, pois = 0 não pertence ao domínio desta função (isto levando em conta a convenção por nós adotada). Podemos usar essa definição na demonstração de diversos ites, o que será feito a seguir. Eemplo : mostre que =. Solução: temos que mostrar que eistem valores de δ > 0 tais que a < δ f() L < ǫ para qualquer valor de ǫ > 0. No nosso caso, temos a =, f() = e L =, de modo que a epressão fica < δ < ǫ. δ + δ Podemos ver da epressão acima que sempre que tivermos δ ǫ, essa relação será válida, pois se < δ e δ ǫ, então < ǫ. A figura ao lado ajuda a ilustrar esta situação. ǫ + ǫ Então, se tomarmos, por eemplo, ǫ =, podemos escolher qualquer 0 < δ < que a relação será satisfeita. Se escolhermos ǫ = 0,, qualquer 0 < δ < 0, tornará a relação verdadeira. Portanto, para qualquer valor de ǫ > 0, podemos encontrar valores de δ > 0 para os quais a relação é verdadeira. Assim, o ite está provado. Eemplo 2: mostre que 2 ( + 3) = 5. Solução: temos que mostrar que eistem valores de δ > 0 tais que a < δ f() L < ǫ para qualquer valor de ǫ > 0. Temos a = 2, f() = + 3 e L = 5, de modo que a epressão fica 2 < δ < ǫ 2 < δ 2 < ǫ. 2 δ δ Podemos ver da epressão acima que sempre que tivermos δ ǫ, essa relação será válida, pois se 2 < δ e δ ǫ, então 2 < ǫ. Portanto, o ite está provado. 2 ǫ ǫ Os dois próimos eemplos ilustram ites de funções do tipo f() = a + b, onde a.

14 Cálculo 2 - Capítulo Formalização do conceito de ite 4 Eemplo 3: mostre que (2 ) =. Solução: temos que mostrar que eistem valores de δ > 0 tais que a < δ f() L < ǫ para qualquer valor de ǫ > 0. Temos a =, f() = 2 e L =, de modo que a epressão fica < δ 2 < ǫ < δ 2 2 < ǫ < δ 2 < ǫ < δ < ǫ 2. Podemos ver da epressão acima que sempre que tivermos δ ǫ 2, essa relação será válida, pois se < δ e δ ǫ 2, então < ǫ. Portanto, o ite está provado. δ + δ ǫ/2 + ǫ/2 Eemplo 4: mostre que 2 (5 4) = 6. Solução: temos que mostrar que eistem valores de δ > 0 tais que a < δ f() L < ǫ para qualquer valor de ǫ > 0. Temos a = 2, f() = 5 4 e L = 6, de modo que a epressão fica 2 < δ < ǫ 2 < δ 5 0 < ǫ 2 < δ 5 2 < ǫ 2 < δ 2 < ǫ 5. Podemos ver da epressão acima que sempre que tivermos δ ǫ 5, essa relação será válida, pois se 2 < δ e δ ǫ 5, então < ǫ. Portanto, o ite está provado. 2 δ δ 2 ǫ/ ǫ/5 Eemplo 5: mostre que (2 ) = 4. Solução: para tentarmos provar esse resultado (que está errado), temos que mostrar que eistem valores de δ > 0 tais que a < δ f() L < ǫ para qualquer valor de ǫ > 0. Temos a =, f() = 2 e L = 4, de modo que a epressão fica < δ 2 4 < ǫ < δ 2 3 < ǫ < δ 2, 5 < ǫ < δ, 5 < ǫ 2. Isto significa que para qualquer valor de ǫ > 0, eiste sempre um δ > 0 tal que, se estiver dentro do intervalo aberto no eio dado por ( δ, + δ), então f() estará sempre dentro do intervalo aberto (, 5 ǫ 2,, 5 + 2) ǫ no eio. Para mostrar que isto não está correto, basta achar um contra-eemplo. A figura ao lado facilita isto. δ + δ, 5, 5 ǫ/2, 5 + ǫ/2 Da figura, podemos ver que escolhendo ǫ/2 < 0, 5, isto é, ǫ <, não há forma de escolher um intervalo ( δ, +δ) de modo a garantir que, se está dentro desse intervalo, então f() estará dentro do intervalo (, 5 ǫ/2,, 5+ǫ/2). Portanto, o ite está incorreto. Há ainda a possibilidade de demonstrar alguns ites mais complicados, como os que envolvem funções quadrática,s mas isso foge da intenção desta leitura complementar. A definição de ite feita aqui é apenas aquela que é adequada a ites finitos quando se tende a números finitos. A seguir, veremos algumas definições de ites envolvendo o infinito. a) Limites no infinito Quando tomamos os ites, a definição 5 de ite torna-se inapropriada, pois não podemos tomar um intervalo a < δ quando a ±. Substituindo a por nessa desigualdade, temos a < δ < δ < δ < δ,

15 Cálculo 2 - Capítulo Formalização do conceito de ite 5 pois = para qualquer R. De forma semelhante, substituindo a por, temos a < δ ( ) < δ + < δ < δ < δ, pois + = para qualquer R. Como não eiste um número real δ tal que δ >, temos que usar uma outra definição para esse tipo de ite. Pensemos o seguinte: o ite f() = L eiste quando, fazendo tender a infinito, o intervalo f() ǫ tender a zero. Isto pode ser escrito da seguinte forma: para qualquer ǫ > 0, eiste um número N tal que, toda vez que > N, automaticamente, f() L < ǫ. Esta idéia é formalizada na definição a seguir. Definição 6 - Dada uma função f() definida em um intervalo I R aberto no, dizemos que o ite de f() quando tende a eiste e é igual a L, o que pode ser escrito como f() = L, quando, para qualquer número ǫ > 0, eistir sempre um número N > 0 tal que, se > N, então f() L < ǫ. De modo semelhante, podemos dizer que o ite f() = L eiste quando, fazendo tender a menos infinito, o intervalo f() ǫ tender a zero, isto é, que dado um ǫ > 0, eiste um número N < 0 tal que < N f() L < ǫ. A definição seguinte formaliza esta idéia. Definição 7 - Dada uma função f() definida em um intervalo I R aberto em, dizemos que o ite de f() quando tende a eiste e é igual a L, o que pode ser escrito como f() = L, quando, para qualquer número ǫ > 0, eistir sempre um número N < 0 tal que, se < N, então f() L < ǫ. b) Limites infinitos Primeiro, veremos os caso de ites que vão para infinito ou menos infinito quando tende a um valor finito: f() = ou f() =. a a O motivo de não termos definido esses ites no teto principal foi porque ainda não vimos funções que apresentam esse comportamento. No entanto, para que as definições fiquem completas, faremos aqui as duas que restam. Definição 8 - Dada uma função f() definida em um intervalo I R e um ponto de acumulação a de I, dizemos que o ite de f() quando tende a a é igual a, o que pode ser escrito como f() =, quando, para qualquer M > 0, eistir sempre um δ > 0 tal que, se a < δ, então a f() > M. Definição 9 - Dada uma função f() definida em um intervalo I R e um ponto de acumulação a de I, dizemos que o ite de f() quando tende a a é igual a, o que pode ser escrito como f() =, quando, para qualquer M < 0, eistir sempre um δ > 0 tal que, se a < δ, então a f() < M. c) Limites infinitos no infinito Resta agora definir os ites no infinito das funções de potências naturais f() = n com n > 0. Esses ites são infinitos, de modo que as definições 2 e 3 não são mais apropriadas, pois quando o ite for, teremos f() L < ǫ f() < ǫ < ǫ < ǫ

16 Cálculo 2 - Capítulo Formalização do conceito de ite 6 e, quando o ite for, f() L < ǫ f() ( ) < ǫ < ǫ < ǫ. Como não eiste ǫ real tal que ǫ >, não podemos aplicar essas definições aos casos em que o ite tende a infinito. Podemos dizer, no entanto, que o ite quando de uma função tende a quando, quanto maior for o valor de, maior será o valor de f(). Podemos também dizer isto da seguinte forma: para todo valor M > 0, eiste sempre um valor N > 0 tal que > N f() > M. Como eistem diversas situações dependendo do ite que tomamos, é necessário fazer as quatro definições a seguir. Definição 0 - Dada uma função f() definida em um intervalo I R aberto em, dizemos que o ite de f() quando tende a é igual a, o que pode ser escrito como f() =, quando, para qualquer número M > 0, eistir sempre um número N > 0 tal que, se > N, então f() > M. Definição - Dada uma função f() definida em um intervalo I R aberto em, dizemos que o ite de f() quando tende a é igual a, o que pode ser escrito como f() =, quando, para qualquer número M < 0, eistir sempre um número N > 0 tal que, se > N, então f() < M. Definição 2 - Dada uma função f() definida em um intervalo I R aberto em, dizemos que o ite de f() quando tende a é igual a, o que pode ser escrito como f() =, quando, para qualquer número M > 0, eistir sempre um número N < 0 tal que, se < N, então f() > M. Definição 3 - Dada uma função f() definida em um intervalo I R aberto em, dizemos que o ite de f() quando tende a é igual a, o que pode ser escrito como f() =, quando, para qualquer número M < 0, eistir sempre um número N < 0 tal que, se < N, então f() < M. Essas são, na verdade, todas as definições de ites para funções de uma variável real a valores reais.

17 Cálculo 2 - Capítulo Formalização do conceito de ite 7 Leitura Complementar Alguns teoremas para ites A presentaremos nesta leitura complementar dois teoremas que facilitam o cálculo de alguns ites importante envolvendo funções de duas ou mais variáveis. Esse teoremas são seguidos de eemplos que os utilizam, entre eles formas mais corretas dos eemplos 2 e 3 da seção deste capítulo. O primeiro teorema, enunciado a seguir, diz que um ite eiste se, seguindo qualquer caminho possível até ele, o resultado for sempre o mesmo. Tais caminhos podem ser parametrizados por curvas que são imagens de funções vetoriais de um parâmetro real. Teorema - Considere que f(,, n ) = L. Dada uma função vetorial F(t) de (,, n) ( 0,, n0 ) R em R n, contínua em t = t 0 e tal que F(t 0 ) = ( 0,, n0 ) e F(t) ( 0,, n0 ) se t t 0, e tal que F(t) D(f), então, f (F(t)) = L. t t0 Eemplo : mostre que (,) (0,0) sen ( ) =. Solução: este é o mesmo eemplo 3 da seção deste capítulo, só que formulado de maneira mais rigorosa usando o teorema. Consideremos uma curva que é a imagem da função vetorial F(t) = (t cosθ, t sen θ), onde t é um parâmetro real positivo e θ é um ângulo qualquer. Tal curva parametriza caminhos radiais em direção à origem vindos de ângulos θ distintos e é tal que F(0) = (0, 0) para todo o valor de θ e tal que F(t) (0, 0) para t 0. Portanto, pelo teorema, podemos considerar (t) = t cosθ e (t) = tsent, que nada mais são que coordenadas polares (Leitura Complementar..4). Como = t 2 cos 2 t + t 2 sen 2 t = t 2 (cos 2 t + sen 2 t) = t 2, podemos escrever o ite da seguinte forma: Tal ite pode ser resolvido usando L Hôpital: f(, ) = (,) (0,0) t 0 sen t 2 t 2. cost 2 2t f(, ) = = cost 2 = cos0 2 =. (,) (0,0) t 0 2t t 0 Como esse resultado é válido para qualquer ângulo θ, então por qualquer caminho que possamos usar, o ite é o mesmo, o que prova que o ite está correto. Este mesmo raciocínio pode ser utilizado para outros problemas que eibam simetria radial, como o do eemplo a seguir. Eemplo 2: mostre que (,) (, 2) e 2 =. Solução: completando quadrados, podemos escrever = ( 2 2) ( 2 + 4) 5 = [ ( ) 2 ] [ ( + 2) 2 4 ] 5 = = ( ) 2 + ( + 2) = ( ) 2 ( + 2) 2. Escolhendo a função F(t) = ( + t cosθ, 2 + t sen θ) para qualquer valor de θ, teremos ( ) 2 + ( + 2) 2 = (+t costheta ) 2 +( 2+tsent+2) 2 = t 2, um resultado que independe de θ. Essa função é tal que F(0) = (, 2) e F(t) (, 2) para t 0. Do teorema, (+2) = 2 = e (,) (, 2) e 2 (,) (, 2) e ( )2 t2 = e 0 =. t 0 Esse resultado é válido para qualquer ângulo θ, o que prova que o ite está correto.

18 Cálculo 2 - Capítulo Formalização do conceito de ite 8 A seguir, utilizamos o teorema para provar que um dado ite não eiste. Eemplo 3: mostre que (,) (0,0) não eiste. + 2 Solução: nossa estratégia será mostrar que podemos obter resultados diferentes através de duas curvas distintas. Começamos pela curva associada à função vetorial F(t) = (t, 0), que é tal que F(0) = (0, 0) e F(t) (0, 0) para t 0. Então, o ite pode ser escrito trocando = t e = 0, de modo que 2 2 (,) (0,0) = t 2 0 t 0 t = =. t 0 Considerando agora uma curva associada à função vetorial F(t) = (0, t), que é tal que F(0) = (0, 0) e F(t) (0, 0) para t 0, então o ite pode ser escrito trocando = 0 e = t, de modo que 2 2 (,) (0,0) = 0 t 2 t t 2 = ( ) =. t 0 Como os dois ites não coincidem, podemos afirmar que o ite dado não eiste. O teorema a seguir afirma que, quando podemos quebrar uma função em duas outras, onde o ite da primeira é zero e a segunda função é itada, então o ite da função original é zero. Teorema 2 - Dado um ite tal que f(,, n ) = g(,, n )h(,, n ), (,, n) ( 0,, n0 ) (,, n) ( 0,, n0 ) onde g(,, n ) = 0 e h(,, n ) M, M R e M > 0, dentro do intervalo (,, n) ( 0,, n0 ) (,, n ) ( 0,, n0 ) < r, r R e r > 0, então f(,, n ) = 0. (,, n) ( 0,, n0 ) Eemplo 4: prove que Solução: podemos escrever (,) (0,0) = 0. (,) (0,0) = 2 (,) (0,0) Temos que = 0 e 2 (,) (0,0) 2 + 2, pois um número positivo (quadrado) dividido por ele mais outro número 3 positivo sempre será menor ou igual a. Então, pelo teorema 2, (,) (0,0) = 0. Eemplo 5: prove que Solução: podemos escrever Uma vez que (,) (, ) (,) (, ) sen( ) = 0. sen ( ) (,) (, ) = (,) (, ) sen (2 + 2 ) = 0 e sen( ), então, pelo teorema 2, sen ( ) (,) (, ) = 0.

19 Cálculo 2 - Capítulo Formalização do conceito de ite 9 Eercícios - Capítulo 2.3 Nível Limites de funções de uma variável Eemplo : escreva o domínio e a imagem da função f(,) = e 2 2. Solução: o domínio dessa função é D(f) = R 2, enquanto sua imagem é Im(f) = [0, ], pois a função eponencial só pode assumir valores positivos ou nulos e a função chega a um valor máimo em f(0, 0) =. E) Escreva os domínios e as imagens das funções dadas a seguir. a) f(,) = , b) f(,) = , c) f(,) = 9 2 2, d) f(,) = 2 2, e) f(,) = , f) f(,) = 4 + 4, g) f(,) = ln( ), h) f(,) = ln( 2 3 ). Limites Eemplo 2: calcule Solução: (3 (,) (,0) 3 ). (3 (,) (,0) 3 ) = = 0. E2) Calcule os seguintes ites: a) (,) (2,) (2 2 ), b) d) (,,z) (0,0,0) ln( z 2 ). (,) (,0) sen, c) (,,z) (,0,0) (z2 + ln ), Nível 2 E) Verifique se f(,) = sen (2 + 2 ) é contínua em (0,0). sen ( ) E2) Verifique se f(,) = 2 + 2, (,) (0,0), é contínua em (0,0)., (,) = (0,0) Nível 3 E) Prove que (4 2) = 2. E2) Prove que (,) (0,0) (2 + 2 ) = 0. E3) Prove que (,) ( 0, 0 ) k = k para quaisquer ( 0, 0 ) R 2 e k R.

20 Cálculo 2 - Capítulo Formalização do conceito de ite 20 E4) Considere a função CES (Constant Elasticit of Substitution - Elasticidade de Substituição Constante) P(K,L) = A[αK ρ + ( α)l ρ ] /ρ. a) Calcule o ite de z = ln P quando ρ 0. (Dica: use a regra de L Hôpital.) b) Mostre que o ite da função CES quando ρ 0 é a função de Cobb-Douglas. E5) (Leitura Complementar 2.3.4) Prove que (,) (, ) = 0. E6) (Leitura Complementar 2.3.4) Prove que (,) (0,0) sen ( 2 2 ) 2 2 =. E7) (Leitura Complementar 2.3.4) Prove que (,) (0,0) = 0. E8) (Leitura Complementar 2.3.4) Prove que (,) (0,0) 2 + = E9) (Leitura Complementar 2.3.4) Prove que (,) (0,0) não eiste. Respostas Nível E) a) D(f) = R 2, Im(f) = R + = { R 0}. b) D(f) = R 2, Im(f) = R +. c) D(f) = { (, ) R }, Im(f) = [0, 3]. d) D(f) = { (, ) R < }, Im(f) = R + = { R > 0}. e) D(f) = R 2, Im(f) = R. f) D(f) = R 2, Im(f) = R +. g) D(f) = { (, ) R 2 (, ) (0, 0) }, Im(f) = R. h) D(f) = { (, ) R > 0 }, Im(f) = R. E2) a) 0, b), c) 0, d). Nível 2 E) Não é contínua em (0, 0), pois f(0, 0) não eiste. E2) Nível 3 É contínua em (0, 0), pois f(, ) = f(0, 0) =. (,) (0,0) E) Como f() L < ǫ < ǫ 4 4 < ǫ < ǫ, então para qualquer ǫ > 0, sempre eiste um 4 0 < δ ǫ 4 tal que < δ f() 2 < ǫ. E2) Como f(, ) L < ǫ < ǫ e ( 0 ), ( 0 ) = ( 0 ) 2 + ( 0 ) 2 = 2 + 2, então para qualquer 0 < δ ǫ teremos < δ < ǫ ǫ < < ǫ. Como 0 < < δ, então < δ 2. Com isto, podemos dizer que < δ ǫ < < ǫ δ 2 ǫ e δ > 0, de modo que devemos ter δ < ǫ. Portanto, sempre que δ < ǫ, teremos 0, 0 < δ f() L < ǫ, o que prova o ite. E3) Temos que mostrar que, para qualquer ǫ > 0, eiste um δ > 0 tal que 0, 0 < δ f(, ) L < ǫ ( 0 ) 2 + ( 0 ) 2 < δ k k < ǫ 0 < ǫ. Como, por hipótese, ǫ > 0 sempre, então para qualquer δ > 0 a afirmação acima é verdadeira, o que prova o ite. E4) a) z = ln ( AK α L α) ρ 0 [ ( )] b) P = ep(ln P) = ep ln P = ep [ ln ( AK α L α)] = AK α L α. O ite pode ser deslocado para ρ 0 ρ 0 ρ 0 dentro das funções eponencial e logaritmo natural porque elas são contínuas.

21 Cálculo 2 - Capítulo Formalização do conceito de ite 2 E5) Escolhendo F(t) = (t cosθ, tsenθ), temos (,) (, ) ite = t = 0 para qualquer valor de θ, o que prova o t2 sen ( 2 2 ) sen t 2 cost 2 2t E6) Escolhendo F(t) = (t coshθ, t senh θ), temos (,) (0,0) 2 2 = t 0 t 2 = = cos0 = para t 0 2t qualquer valor de θ, o que prova o ite. E7) (,) (0,0) = 0 e E8) (,) (0,0) = 0 e <, de modo que <, de modo que E9) Escolhendo F(t) = (t, 0), então + (,) (0,0) (,) (0,0) (,) (0,0) = t = 0. + (,) (0,0) = 0 + t =. Portanto, o ite não eiste. t 0 0 t = 0. t + 0 =. Escolhendo F(t) = (0, t), então t 0