FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS CURSO DE DIREITO VESTIBULAR 2007 PROVA DE RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO. 1 a. fase

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1 FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS CURSO DE DIREITO VESTIBULAR 007 PROVA DE RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO 1 a. fase Maria Raquel Miotto Morelatti Monica Fürkotter Novembro 006

2 1 Sumário 1.. Introdução 0 A natureza da prova do Vestibular As questões 04.. Seus objetivos Justificativa quanto à escolha dos conteúdos Os diferentes níveis de dificuldade As questões e as respostas esperadas Questão A Questão B Questão C A grade de pontuação 14 Alguns modelos de resposta Questão A.a Questão A.b Questão A.b Questão A.b Questão B Questão C 0

3 1. Introdução O programa da prova de Raciocínio Lógico-matemático tem como pressupostos básicos que: - na sociedade complexa e tecnológica em que vivemos, é cada vez mais evidente a necessidade do saber matemático, uma vez que é difícil encontrar setores em que a Matemática não esteja presente. A compreensão e dimensionamento dos objetos e do espaço, os gráficos e a análise de dados estão presentes no cotidiano das pessoas, nos jornais, telejornais, revistas ou Internet e são considerados elementos essenciais para ler e interpretar a realidade, tomar decisões políticas, sociais, econômicas e até mesmo pessoais; - o conhecimento matemático é dependente de uma linguagem específica, de caráter formal, que difere de outras linguagens. Entretanto, saber Matemática não implica somente o domínio de códigos e nomenclaturas desta linguagem. É necessário associar tais símbolos a um significado referencial, ou seja, saber aplicálos em situações reais e resolver problemas, o que demanda análise da situação apresentada, estratégias de resolução e argumentação, relacionando conhecimentos de diferentes áreas; - o candidato ao Direito-GV deve ter uma sólida formação matemática, uma vez que o curso pretende formar bacharéis que, além de um profundo conhecimento do sistema jurídico brasileiro, possam interagir com pesquisas nas áreas de Economia, Ciência Política e Administração, entre outras. A partir desses pressupostos, foram selecionados conteúdos matemáticos do Ensino Fundamental e Médio que permitam avaliar o raciocínio lógico-matemático do candidato e que favoreçam interações com outras áreas do conhecimento. Nesse sentido, a partir dos resultados do Vestibular 006, o programa da prova de Raciocínio Lógico-matemático para o Vestibular 007 foi revisto de modo a englobar outros conteúdos da Matemática que permitam resolver problemas reais e que também sejam essenciais para um profissional de Direito que transite nas áreas de Economia e Administração. Tal programa foi estruturado em três itens, cada um deles subdividido em subitens. Os conteúdos selecionados foram os seguintes:

4 3 1. Álgebra: números e funções 1.1. Variação de grandezas: conjuntos numéricos (operações e propriedades); funções; representação e análise gráfica; equações e inequações. 1.. Trigonometria Seqüências numéricas: progressões aritméticas e geométricas Sistemas lineares.. Geometria e Medidas.1. Geometria Plana: elementos; semelhança e congruência; representação de figuras... Geometria Espacial: elementos dos poliedros, sua classificação e representação; sólidos redondos; propriedades relativas à posição (intersecção, paralelismo e perpendicularismo); inscrição e circunscrição de sólidos..3. Geometria métrica: áreas e volumes; estimativa, valor exato e aproximado..4. Geometria analítica: representações no plano cartesiano e equações; interseção e posições relativas de figuras. 3. Análise de Dados 3.1. Estatística: descrição de dados; representações gráficas; análise de dados (média, moda e mediana, variância e desvio padrão). 3.. Análise combinatória (princípio fundamental da contagem, permutações, arranjos e combinações) Probabilidade: possibilidades; cálculo de probabilidades Matemática financeira (porcentagem, juros simples e compostos). Tais conteúdos visam avaliar se o candidato é capaz de: - reconhecer e utilizar símbolos, códigos e nomenclatura da linguagem matemática; - ler e interpretar dados apresentados em diferentes representações (tabelas, gráficos, esquemas, diagramas, árvores de possibilidades, fórmulas, equações ou representações geométricas); - raciocinar, analisar, argumentar criticamente, posicionar-se e expressar-se com clareza, utilizando a linguagem matemática; - resolver problemas que exigem o uso do raciocínio lógico e do conhecimento matemático.

5 4 A análise dos resultados da prova de 006 nos levou a propor, no Vestibular 007, questões com grau de dificuldade média, que permitam melhor discriminar os candidatos. Além disso, contemplar itens e subitens com diferentes graus de dificuldade, em uma mesma questão.. A natureza da prova de 007 A prova de raciocínio lógico-matemático procurou seguir os princípios específicos do vestibular Direito GV, na medida em que não priorizou a avaliação da capacidade de memorização de um grande número de fórmulas e resultados mas, a criatividade e a capacidade do candidato ler e interpretar dados, resolver problemas que exigem raciocínio lógico e utilizar adequadamente a linguagem matemática..1. As questões As três questões da prova se identificam com os pressupostos estabelecidos, uma vez que exigiram do candidato a análise de dados reais, considerados essenciais para interpretar a realidade da sociedade complexa e tecnológica em que vivemos. A primeira questão, Questão A, apresentava dois itens e o segundo deles, três subitens, envolvendo Análise de Dados e Porcentagem (item 3), conteúdos que compõem o programa da prova, e demandando leitura e interpretação de dados apresentados em um gráfico. A segunda questão, Questão B, abordou Matemática Financeira (subitem 3.4. do programa) e exigiu do candidato cálculos objetivando verificar sua capacidade de resolver um problema do cotidiano, utilizando conhecimentos matemáticos. Visando, ainda, avaliar a capacidade do candidato em resolver problemas, foi proposta a terceira questão, Questão C, que exigiu conhecimentos sobre Álgebra: números e funções (subitens 1.1 e 1.3), Geometria métrica: áreas (subitem.3) e Geometria Plana: representação de figuras (subitem.1). A tabela seguinte apresenta a síntese dos conteúdos, competências e habilidades, envolvidos em cada uma das questões que compuseram a prova de Raciocínio Lógico-matemático do Vestibular 007 para o curso de Direito GV.

6 5 Questões Conteúdos abordados Competências/Habilidades Questão 1 Análise de Dados Porcentagem - ler e interpretar dados apresentados em diferentes representações (gráficos); - raciocinar, analisar, argumentar criticamente; - resolver problemas que exigem raciocínio Questão Questão 3 Matemática Financeira (porcentagem, juros compostos) Álgebra: números e funções Trigonometria Geometria métrica: áreas Geometria Plana: representação de figuras. lógico e conhecimento matemático. - ler e interpretar dados; - raciocinar, analisar, argumentar criticamente; - resolver problemas que exigem raciocínio lógico e conhecimento matemático. - reconhecer e utilizar símbolos e nomenclatura da linguagem matemática; - ler e interpretar dados apresentados; - raciocinar, analisar, argumentar criticamente, posicionar-se e expressar-se com clareza, utilizando linguagem matemática; - resolver problemas que exigem raciocínio lógico e conhecimento matemático... Seus objetivos As questões que compuseram a prova tiveram os seguintes objetivos: Questão A Questão B Questão C - Avaliar a capacidade de leitura e interpretação de dados que circulam na mídia e em outras áreas do conhecimento na forma de informações de caráter estatístico. - Avaliar a capacidade de raciocínio lógico dedutivo, análise e argumentação crítica. - Avaliar a capacidade do candidato de resolver problemas que exigem raciocínio lógico e conhecimento matemático. - Avaliar a capacidade de leitura e interpretação de dados. - Avaliar a capacidade de raciocínio, análise, argumentação crítica, posicionamento e expressão com clareza, utilizando a linguagem matemática. - Avaliar a capacidade do candidato de resolver problemas que exigem raciocínio lógico e conhecimento matemático. - Avaliar a capacidade de leitura e interpretação de uma situação problema. - Identificar se o candidato é capaz de utilizar, com clareza, a linguagem matemática. - Avaliar a capacidade de raciocínio lógico dedutivo, análise e argumentação crítica. - Avaliar a capacidade do candidato de resolver problemas que exigem conhecimento matemático.

7 6 Como podemos observar, alguns objetivos são comuns às três questões, o que é coerente com os princípios que orientam o processo seletivo ao Direito GV e o tipo das questões elaboradas, uma vez que era preciso que o candidato analisasse os dados apresentados sob diferentes formas, raciocinasse logicamente e tivesse capacidade de argumentar criticamente sobre eles..3. Justificativa quanto à escolha dos conteúdos Considerando os princípios que orientam o processo seletivo ao Direito GV, as questões não se limitaram a exercícios de aplicação de conceitos e técnicas matemáticas pois, nesse caso, estaríamos exigindo meramente a busca, na memória, de um exercício semelhante, o que não garante que o candidato seja capaz de utilizar seus conhecimentos em situações reais e complexas. Isso posto, procuramos, nas três questões, explorar a aplicabilidade da Matemática em problemas do cotidiano, esperando que, a partir da leitura e interpretação de dados e de cálculos efetuados, o aluno analisasse e argumentasse criticamente, mostrando sua capacidade de raciocinar logicamente e resolver problemas. Ressaltamos que, em cada uma das questões, os dados foram apresentados sob diferentes formas (gráfico, porcentagem, nomenclatura específica da linguagem matemática), de modo a avaliar se o candidato reconhece a natureza desses dados e consegue utilizar adequadamente as formas algébrica, numérica e geométrica. Na questão A priorizamos o cálculo de porcentagem por ser este um tema presente no cotidiano das pessoas, nos jornais, telejornais, revistas ou internet e essencial na análise e compreensão da realidade, permitindo quantificar e fazer previsões em situações aplicadas a diferentes áreas do conhecimento, tais como Economia e Administração, nas quais transitará o bacharel em Direito GV. A questão B envolveu Matemática Financeira, um dos quatro subitens que compõem o item 3 do programa da prova, a saber, Análise de Dados. Entre as inúmeras aplicações da Matemática está a de auxiliar na resolução de problemas de ordem financeira, como cálculo do valor de prestações, pagamento de impostos, rendimento de poupança e outros. No caso, a situação apresentada demandava a escolha do plano de pagamento mais vantajoso.

8 7 A Questão C focou dois subitens que compõem o item do programa da prova, a saber, Geometria Plana (semelhança de triângulos e representação de figuras) e Geometria Métrica (área), assim como o subitem 1 do item 1, Álgebra: números e funções, na medida em que envolveu a análise do sinal de uma função quadrática..4. Os diferentes níveis de dificuldade As questões apresentaram um grau de dificuldade crescente. A Questão A exigiu conhecimento da linguagem matemática (significado de não), e de porcentagem. No entanto, a ênfase da questão não estava no domínio conceitual, mas sim na interpretação dos dados, análise e argumentação crítica. A Questão B procurou explorar a aplicabilidade da Matemática no cotidiano. Demandou o domínio do conceito de juros composto para resolver um problema real, além de exigir o uso do raciocínio lógico. Já a Questão C exigiu um domínio maior de conteúdos matemáticos, mas abordou conceitos simples sobre semelhança de triângulos e área de retângulo. A dificuldade da questão residia na interpretação do problema e na organização dos dados. 3. As questões e as respostas esperadas 3.1. Questão A A Internet está cada vez mais presente na vida dos brasileiros, tanto em casa quanto no trabalho, escolas e locais públicos de acesso. O IBOPE/NetRatings tem pesquisado a quantidade de internautas, o tempo que eles ficam conectados e seu comportamento. A.a) Em relatório divulgado no dia 4/11/005, o IBOPE/NetRatings revelou que 3,1 milhões de brasileiros, de uma população de 180 milhões, acessam a internet em casa, no trabalho, em cibercafés ou telecentros. Qual porcentagem da população não acessava a internet na época em que foi desenvolvida a pesquisa?

9 8 Apresente a resposta da questão acima utilizando duas casas decimais. A.b) O gráfico ao lado, publicado na edição 1964 de 1 de julho de 006 da Revista Veja, apresenta o número de pessoas com conexão de internet em casa, no período de janeiro de 005 a maio de 006. A.b.1) No período de janeiro de 005 a janeiro de 006, qual foi a variação percentual do número de brasileiros com conexão de internet em casa? A.b) Qual o percentual de brasileiros que tinham conexão de internet de banda estreita em casa em setembro de 005? A.b.3) O que tem ocorrido com o percentual de conexão de internet de banda larga e de banda estreita nos domicílios brasileiros no período de janeiro de 005 a maio de 006? Apresente as respostas das questões acima utilizando duas casas decimais. Solução: A.a) Como 3,1 milhões de brasileiros acessavam a internet, temos que 147,9 milhões não acessavam a Internet na época da pesquisa. Mas, 147,9 0,816 8,16% 180 = Assim, aproximadamente 8,16% da população brasileira não acessavam a internet na época da pesquisa. A.b) A.b.1) Em janeiro de 006 tínhamos 1 milhões de brasileiros com acesso a internet em casa e, em janeiro de 005, 10,6 milhões. Assim, no período de janeiro de 005 a janeiro de 006 houve um aumento de 1,4 milhões de brasileiros com acesso a internet em casa. Mas, 1,4 0,0077 0,77% 180 = Portanto, a variação percentual de brasileiros que passou a acessar a internet em casa nesse período foi 0,77%, ou seja, 1,4 milhões de brasileiros. Em relação a população de janeiro de 005, a variação percentual foi de:

10 9 1 10,6 1,4 = = 13,07 13, 1% 10,6 10,6 A.b.) Dos 13, milhões de brasileiros que acessavam a internet em casa em setembro de 006, 39% utilizavam banda estreita, o que significa: 39%(11,9 milhões) = 4,641milhões Logo, o percentual de brasileiros que tinham conexão de internet de banda estreita em casa em setembro de 006 é dado por: 4,641 0,0578,57% 180 = Ou seja,,57% da população brasileira acessavam a internet em casa por banda estreita, em setembro de 005. A.b.3). Em janeiro de 005, 50,9% de 10,6 milhões de brasileiros (5,39 milhões) acessavam a internet em casa, por banda larga, enquanto 49,1% de 10,6 milhões (5, milhões) acessavam por banda estreita. Em maio de 006, 68,% de 13, milhões de brasileiros (9 milhões) acessavam a internet em casa, por banda larga, enquanto 31,8% de 13, milhões (4, milhões) acessavam por banda estreita. Dessa forma, o gráfico mostra que o acesso a internet em casa, por banda larga, tem aumentado no período em questão, enquanto o acesso por banda estreita tem diminuído. 3.. Questão B João tem um capital aplicado em um fundo de renda fixa que rende 1% ao mês, com parte do qual pretende comprar uma televisão de plasma, no valor de R$ 8.100,00, e tem três opções de pagamento: a) à vista, com 1% de desconto; b) em duas prestações mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira um mês após a compra; c) em três prestações mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira no ato da compra. Do ponto de vista financeiro, qual plano de pagamento é mais vantajoso para João? Justifique sua resposta.

11 10 Solução 1: a) À vista, com desconto de 1% Como 1% de R$ 8.100,00 = R$ 81,00 temos que se João comprar a TV à vista pagará R$ 8.100,00 R$ 81,00 = R$ 8.019,00 Assim, sobraria R$ 81,00 para João, no momento da compra. Caso João aplicasse esse montante, ao término do primeiro mês teria: R$ 81,00 + 1% (R$ 81,00) = R$ 81,00 + R$ 0,81 = R$ 81,81 Ao término do segundo mês: R$ 81,81 + 1% (R$ 81,81) = R$81,81 + R$ 0,81 = R$ 8,6 b) Em duas prestações iguais, de R$ 4.050,00, sem entrada Como João tem um capital aplicado em um fundo que rende 1% ao mês, o fundo utiliza o sistema de juros compostos, e a primeira prestação vence um mês após a compra, ocorreria o seguinte: R$ 8.100,00 + 1% (R$ 8.100,00) = R$ 8.100,00 + R$ 81,00 = R$ 8.181,00 Saldo após a primeira prestação: R$ 8.181,00 R$ 4.050,00 = R$ 4.131,00 R$ 4.131,00 + 1% (R$ 4.131,00) = R$ 4.131,00 + R$ 41,31 = R$ 4.17,31 Saldo após a segunda prestação: R$ 4.17,31 R$ 4.050,00 = R$ 1,31 Nessas condições, sobraria R$ 1,31 para João. c) Em três prestações iguais, de R$.700,00, com entrada Raciocinando de forma análoga ao item b), mas considerando que a primeira prestação é no ato da compra João teria a seguinte situação: Saldo após a primeira prestação: R$ 8.100,00 - R$.700,00 = R$ 5.400,00 R$ 5.400,00+ 1% (R$ 5.400,00) = R$ 5.400,00+ R$ 54,00 = R$ 5.454,00 Saldo após a segunda prestação: R$ 5.454,00 - R$.700,00 = R$.754,00 R$.754,00 + 1% (R$.754,00) = R$.754,00 + R$ 7,54 = R$.781,54 Saldo após a terceira prestação: R$.781,54 - R$.700,00 = R$ 81,54. Nessas condições, sobraria R$ 81,54 para João. Tendo em vista as três situações acima, do ponto de vista financeiro, o plano mais vantajoso para João é aquele com duas prestações mensais iguais, sem entrada.

12 11 Solução : (a) À vista, com desconto de 1% , , ,00.700,00.700,00.700,00 Comparando os valores na época 0, obtemos: V = 8.019,00 V V = + = 4.009, ,58 = 7.980,48 1,01 (1,01) = =.700, , ,05 = 8.00,31 1,01 (1,01) 3 (consideramos, para simplificar os cálculos, que (1,01) = 1,001 1,0 ) A melhor alternativa para João é a compra em dois pagamentos sem entrada, e a pior é a compra em três prestações Questão C Um vidraceiro tem um pedaço de espelho, na forma de um triângulo retângulo cujos lados medem 60 cm, 80 cm e 1 m e quer recortar um espelho retangular cujo tamanho seja o maior possível. Para ganhar tempo ele quer que dois dos lados do retângulo estejam sobre os lados do triângulo. Determine a medida dos lados do retângulo e a sua área. Soluções: 60 cm 80 cm 100 cm α 60-y y x α 100 cm α 80-x

13 1 Solução1: Temos pelas figuras acima que Assim, Mas, 60 3 tgα = =. Por outro lado, y 3 = 3(80 x) = 4 y y = (80 x) 4 80 x Aret x y x x x x x y 4 4 tgα = y 80 x. =. =. (80 ) = 60,0 < < 80,0 < < 60 e devemos ter essa área máxima. Logo, devemos analisar o sinal dessa função quadrática. Como o coeficiente do termo em x é negativo temos concavidade voltada para baixo e o valor máximo ocorre no vértice da parábola, cuja abcissa é o ponto médio do segmento definido pelas raízes, que no caso são x = 0 e x = 80. Então, x = 40 e 3 3 y = (80 x) = (80 40) = 30 tornam a área máxima. 4 4 Portanto, os lados do retângulo medem cm. x =, y = 30 e a sua área é igual a Solução : Temos pelas figuras acima que Assim, Mas, tgα 60 y x =. Por outro lado, tgα = 60 y y = (60 y)(80 x) = xy x 80y + xy = xy x 80 x 40 3x x 80y = = 60x + 80y y = 4 y 80 x. 40 3x 40x 3x Aret = x. y = x. =,0 < x < 80,0 < y < 60 e devemos ter 4 4 essa área máxima. Logo, devemos analisar o sinal dessa função quadrática. Como o coeficiente do termo em x é negativo temos concavidade voltada para baixo e o valor máximo ocorre no vértice da parábola, cuja abcissa é o ponto médio do segmento definido pelas raízes, que no caso são x = 0 e x = 80.

14 13 Então, x = 40 e 3 3 y = (80 x) = (80 40) = 30 tornam a área máxima. 4 4 Portanto, os lados do retângulo medem x = 40, y = 30 e a sua área é igual a 100cm. Solução 3: Temos pelas figuras acima que Assim, Mas, 60 3 tgα = =. Por outro lado, y 40 4 = 3x = 4(60 y) x = y 4 x Aret x y y y y y x y y tgα =. x =. = ( ). = 80,0 < < 80,0 < < 60 e devemos ter essa área máxima. Logo, devemos analisar o sinal dessa função quadrática. Como o coeficiente do termo em y é negativo temos concavidade voltada para baixo e o valor máximo ocorre no vértice da parábola, cuja abcissa é o ponto médio do segmento definido pelas raízes, que no caso são y = 0 e y = 60. Então, y = 30 e máxima x = y = (30) = = 40 tornam a área Portanto, os lados do retângulo medem x = 40, y = 30 e a sua área é igual a 100cm. Solução 4: Considerando que 60 cm = 0,6 m e 80 cm = 0,8 m temos, pelo Teorema de Pitágoras, que: x + (0,6 y) + y + (0,8 x) = 1 x + (0,6 y) + x + (0,6 y) y + (0,8 x) + y + (0,8 x) = 1 Calculando os quadrados perfeitos acima e simplificando, obtemos x( x 0,8) + y( y 0,6) = x + (0,6 y) y + (0,8 x)

15 14 Elevando ao quadrado e simplificando vem que Mas, [( x 0,8)( y 0,6) xy] = 0 ( x 0,8)( y 0,6) xy = 0 0,8y = 0,6x 0, 48 0,6 0, 48 y = x + 0,8 0,8 3 y = x + 0, Aret = x. y = x( x + ). E, 4 10 valor de x que torna a área máxima é dado por y correspondente é 3 6 x( x + ) = 0 x = 0 ou x = 0,8. Assim, o ,8 x = = 0,4 e o valor de 3 y = x + 0,6 = 0,3 + 0,6 = 0,3. Portanto, a área é 4 0,1m. 4. A grade de pontuação Questão A.a Categoria de Padrão utilizado para correção acerto 0 Em branco ou questão totalmente errada Cálculo do percentual dos que acessavam a internet ou 5 Obtenção da regra de três e erro nos cálculos ou Erro no cálculo da diferença entre 180 milhões e 3,1 milhões 50 Erro na aproximação, 147, 9 0,80 ao invés de 0, Erro na aproximação, de 8,17% para 8,1% ou 8% Cálculo correto da diferença entre 180 milhões e 3,1 milhões e do percentual de 147,9 milhões em 180 milhões, apresentando a resposta com casas decimais

16 15 A.b Cálculo da variação percentual sobre os 1 milhões, e não sobre os 10,6 milhões. Cálculo considerando o período de janeiro de 005 a maio de 006. Erro na divisão para encontrar o percentual, levando a erro no resultado. Arredondamento em relação as casas decimais levando a resultado aproximado Variação percentual em relação a população brasileira: 1, 4 0, , 77%, 180 correspondente a 1,4 milhões de brasileiros ou Variação percentual em relação aos 10,6 milhões de usuários em janeiro de 005, 1 10, 6 1, 4 = = 13, %. 10, 6 10, 6 A.b. A.b.3 0 Em branco ou questão totalmente errada Erro no cálculo de 39% de 11,9 milhões 5 ou Cálculo de 39% de 11,9 milhões obtendo 4,641% 50 Aproximação dos valores 75 Erro nos cálculos, raciocínio correto , 641 Cálculo correto de = 0, 0578, 578% Em branco ou questão totalmente errada 5 Cálculos corretos sem análise. 50 Parte dos cálculos e análise de uma banda, não relacionando as duas. 75 Cálculos corretos sem análise 100 Cálculos corretos com análise do aumento de uma banda e diminuição da outra

17 16 B C 0 Em branco questão totalmente errada Cálculo do valor da 1ª. opção (a vista), com desconto ou Cálculo do valor da prestação nas 3 opções de pagamento 5 ou Resposta correta alternativa b, sem cálculos ou Resposta correta alternativa b, com cálculos equivocados Cálculo dos valores das prestações e resposta correta, justificativa 50 equivocada Cálculo da prestação correta, a vista e em duas prestações, erro 75 no cálculo da terceira opção Cálculo correto nos três planos de pagamento constatando que a 100 melhor opção é aquela apresentada no item b. Todos os cálculos corretos e análise correta 0 Em branco ou questão totalmente errada Obtenção dos valores corretos sem apresentar os cálculos ou 5 Representação geométrica do triângulo (compreensão do problema) Obtenção de um lado em função do outro. ou 50 Identificação dos triângulos semelhantes, mas erro no cálculo da medida dos lados 75 Valores corretos para os lados sem cálculo da área Valores corretos para as medidas dos lados, cálculo da área e 100 análise da função quadrática, de modo a maximizar a área. 5. Alguns modelos de resposta 5.1. Questão A.a Desempenho 50%