Antenas e Propagação. Artur Andrade Moura.

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1 1 Antenas e Propagação Artur Andrade Moura amoura@fe.up.pt

2 2 Agrupamentos de antenas Em várias aplicações pretende-se obter diagramas de radiação mais directivos ou com máximos e/ou nulos em direcções pretendidas que não se conseguem recorrendo apenas a um elemento radiante. Usam-se então agrupamentos de antenas idênticas e o diagrama obtido para o agrupamento depende de: tipo de elemento radiante utilizado configuração geométrica do agrupamento (ex. linear, circular, planar, etc.) distância entre elementos do agrupamento amplitudes e fases das correntes de alimentação de cada elemento Aplicando a sobreposição podemos obter o campo distante do agrupamento, num dado ponto do espaço, somando os campos produzidos nesse ponto por cada elemento do agrupamento.

3 3 Agrupamentos de antenas Agrupamento de dois dipolos elementares horizontais Geometria e aproximações para obter o campo distante Nas fases Nas amplitudes

4 4 Supondo correntes de igual amplitude fases de valor ±β/2 podemos calcular o campo distante total recorrendo à sobreposição Aplicando as aproximações nas amplitudes e fases vem Factor do elemento EF(θ) Factor de agrupamento AF(θ)

5 5 Exemplos EF(θ) AF(θ) Cardioide

6 6 Agrupamento linear uniforme Os N elementos constitutivos são colocados na mesma direcção, igualmente espaçados entre si de d, alimentados por correntes de igual amplitude I 0 e cada elemento tem um avanço de fase constante de valor β sobre o seu precedente no agrupamento. A distância d e o desvio progressivo de fases β constituem as variáveis de controlo do factor de agrupamento. O campo distante total, num dado ponto do espaço, é obtido pela soma dos campos distantes devidos a cada elemento do agrupamento, usando-se as aproximações habituais nas amplitudes e nas fases.

7 7 Cálculo do factor de agrupamento Geometria para cálculo do campo distante Progressão geométrica com N termos e razão e jψ Soma fasorial

8 8 Cálculo do factor de agrupamento Escolhendo o centro do agrupamento para origem de fases vem Aproximação válida para pequenos valores de ψ Podemos ainda normalizar AF pelo seu valor máximo N

9 9 Propriedades da função AF(ψ) Periódica com período 2π AF(ψ) Máximos de valor N em ψ = ±2n π, n = 0, 1, 2, (um lóbulo principal em cada período) N 1 zeros em cada período N 2 lóbulos secundários em cada período Lóbulo principal fica mais estreito quando N aumenta Máximos dos lóbulos secundários diminuem com o crescimento do valor de N

10 10 Nulos de AF(ψ) Máximos deaf(ψ) Ponto 3 db abaixo do máximo Da tabela de sin(x)/x Máximo do primeiro lóbulo secundário Para s = 1 temos

11 11 Agrupamentos de antenas Para determinarmos os máximos θ m e nulos θ n no diagrama de radiação, devidos ao factor de agrupamento AF(ψ), temos de utilizar a relação entre ψ e θ, ψ = Kdcosθ + β Como θ varia entre 0º e 180º então a gama de valores possíveis para ψ é Kd + β ψ Kd + β que se denomina de janela ou região visível da função AF(ψ) A distância d controla a dimensão da região enquanto β controla a localização do centro da região Uma escolha adequada de d e β permite então posicionar a região visível para se ter o máximo principal de AF(ψ) segundo o ângulo θ pretendido no diagrama do factor de agrupamento

12 12 Cortina de radiação transversal (Broadside Array) Pretendemos que máximo de AF(ψ) corresponda a θ = 90º Em ψ = 0 estamos no máximo de AF(ψ) Para não aparecerem máximos principais também para os ângulos θ = 0º e θ = 180º devemos limitar a largura da região visível usando valores de d inferiores a λ Máximos não pretendidos Máximo em θ = 90º

13 13 Agrupamentos de antenas Cortina de radiação longitudinal (End-fire Array) Pretendemos que máximo de AF(ψ) corresponda só a θ = 0º, ou só a θ = 180º ou ambos Para θ = 0º Para θ = 180º Para não aparecerem máximos principais também para o ângulo θ = 90º devemos limitar a largura da região visível usando valores de d inferiores a λ Máximo em θ = 0º Máximo em θ = 180º

14 14 Tabela resumo

15 15 Orientação do máximo numa direcção desejada Para ter o máximo no ângulo θ max temos de impor um desvio de fase que origina para θ max estarmos no máximo da função AF(ψ) ψ = Kdcosθ max + β = 0 => β = Kdcosθ max Deve evitar-se lóbulos principais noutras direcções garantindo que os valores de θ = ±2nπ não são incluídos na região visível de AF(ψ). Uma variação contínua do desvio progressivo de fase β permite ir variando a direcção de máximo do diagrama de radiação, processo a que se dá o nome de phase scanning θ max

16 16 Agrupamentos de antenas Cortina longitudinal de Hansen-Woodyard Hansen e Woodyard mostraram que é possível optimizar a directividade na direcção de máximo se tomarmos um desvio progressivo de fases dado por Máximo em θ = 0º Máximo em θ = 180º e uma distância entre elementos dada por Maior Directividade Para N elevado

17 17 Tabela resumo Diagramas de radiação

18 18 Agrupamentos de antenas Directividades dos agrupamentos lineares uniformes Supomos radiadores isotrópicos calculando a directividade devida apenas ao factor de agrupamento Cortina transversal Intensidade é proporcional a AF n (ψ) 2

19 19 Fazendo a mudança de variáveis seguinte Obtém-se Finalmente temos π

20 20 Agrupamentos de antenas Cortina longitudinal Procedendo de forma análoga obtém-se neste caso O dobro da cortina transversal Cortina longitudinal de Hansen-Woodyard Neste caso temos 1.8 vezes maior que cortina longitudinal

21 21 Método gráfico para obter diagrama de radiação a partir de AF(ψ)

22 22 Método gráfico (exemplos) N = 4, d = 0.4λ e β = -kd N = 4, d = 0.4λ e β = 0

23 23 Agrupamentos lineares não uniformes Continuamos a considerar apenas o factor de agrupamento. De uma forma geral podemos variar quer a distância entre elementos do agrupamento, quer a amplitude e fase das correntes de alimentação de cada elemento. No entanto, na prática nem todos estes parâmetros são usados ao mesmo tempo como variáveis de controlo. Um caso importante ocorre quando o espaçamento é constante e as correntes de alimentação têm a mesma fase mas amplitudes distintas.

24 24 Agrupamentos de antenas Factor de agrupamento Espaçamento constante, correntes em fase mas com amplitudes a i diferentes e com simetria em torno da origem 2M elementos 2M + 1 elementos Com número ímpar de elementos o elemento central é alimentado pela corrente 2a 1

25 25 Se definirmos e normalizarmos o factor de agrupamento dividindo por 2 vem

26 26 Agrupamentos de antenas Cortina (de radiação transversal) binomial As amplitudes das correntes são proporcionais aos coeficientes do binómio de Newton, que se podem obter pelo triângulo de Pascal Se o número de elementos usados for elevado as correntes diferem muito, particularmente entre os elementos centrais e das pontas, o que origina problemas de implementação Triângulo de Pascal

27 27 Cortina (transversal) binomial No caso de d λ/2 não temos lóbulos secundários no factor de agrupamento. Para o caso de d = λ/2 obtém-se Diagramas do factor de agrupamento com 10 elementos

28 28 Agrupamentos de antenas Cortina (transversal) de Dolph-Tschebyscheff Como vimos, o factor de agrupamento é um somatório de termos do tipo cos(mu) em que o valor mais elevado de m é o número de elementos do agrupamento menos um. Para cos(mu) podemos escrever Onde T m (z) é um polinómio de Tschebyscheff de ordem m

29 29 Polinómios de Tschebyscheff Fórmula Recursiva Propriedades dos polinómios: 1. Todos passam no ponto (1,1); 2. Todos são limitados a ±1 para z 1; 3. Na região z 1todos os máximos valem 1 e os mínimos 1; 4. Todos os zeros ocorrem na região z 1; 5. Os polinómios de ordem par são funções pares e os de ordem ímpar são funções ímpares.

30 30 Agrupamentos de antenas A utilização dos polinómios de Tschebyscheff com uma escolha adequada da região visível, vai permitir obter um factor de agrupamento com todos os máximos secundários de igual valor e R db abaixo do máximo do lóbulo principal. As amplitudes das correntes de alimentação dos N elementos do agrupamento são obtidas forçando o factor de agrupamento a ser representado pelo polinómio de Tschebyscheff de grau N 1. A relação de passagem da variável u = (πd/λ)cosθ para a variável z do polinómio é dada por sendo z 0 obtido por forma a que Relação objectivo entre o máximo do lóbulo principal e os máximos dos lóbulos secundários

31 31 Agrupamentos de antenas Exemplo: considerar 10 elementos igualmente espaçados e uma relação objectivo de R = 26 db 1. O polinómio a usar será o de ordem N 1 = 9 2. O factor de agrupamento é 3. Expande-se a expressão anterior e substituem-se os termos cos(mu) pelo seu desenvolvimento em termos com apenas potências de cos(u) 4. A partir de R = 26 db = 20 obtemos o valor de z 0

32 32 Agrupamentos de antenas 5. Faz-se a mudança de variável cos(u) = z/z 0 na expressão obtida em Igualamos a expressão anterior ao polinómio T 9 (z) e calculamos os coeficientes para serem iguais aos do polinómio, obtendo assim os valores das amplitudes das correntes dos elementos. Normalizando por a 1

33 33 Note-se que não foi ainda escolhido o valor de d pelo que poderão ocorrer máximos para direcções diferentes da desejada de θ = 90º. Temos de controlar a região visível usando valores de d inferiores a λ. d = λ θ = 0º ou 180º z = z 0 Máximo em θ = 0º ou 180º θ = 90º z= z 0 Máximo transversal não depende de d z 1 lóbulos secundários Região visível para d = λ Região visível para d = λ/2 Nota: este tipo de agrupamento conduz ao nível mais baixo de lóbulos secundários relativamente ao principal, para uma dada largura de feixe.

34 34 Diagrama do factor de agrupamento e directividade HPBW Note-se os máximos dos lóbulos secundários todos iguais e R db abaixo do máximo do lóbulo principal

35 35 Agrupamentos de antenas Cortina de Dolph-Tschebyscheff O estudo anterior foi feito para o caso mais usado na prática de radiação transversal (θ max = 90º e β = 0). Podemos estender este estudo para outras direcções de máximo se incluirmos um desvio progressivo de fase não nulo. Para o factor de agrupamento teremos Os cálculos são feitos da mesma forma mas usa-se a variável ψ/2 em vez de u, sendo a mudança de variáveis para z dada por

36 36 Exemplo: retomando o caso de 10 elementos igualmente espaçados e uma relação objectivo de R = 26 db. Usemos agora β = kd = π ψ/2 = π/2cosθ π/2 π ψ/2 0 z = z 0 cos(ψ/2) z 0 z z 0 Região visível Obtemos uma cortina de radiação longitudinal com máximos em 0º e 180º 180º 90º 0º θ

37 37 Resumo comparativo Agrupamento Menor HPBW Nível mais baixo dos lóbulos secundários Nível mais baixo dos lób. sec. para uma dada HPBW Uniforme Binomial Dolph-Tschebyscheff 2 2 1

38 38 Agrupamentos de antenas Agrupamentos planares uniformes O factor do agrupamento normalizado é dado pelo produto dos factores de agrupamento normalizados nas direcções x e y Para evitar a ocorrência de máximos em direcções não desejadas devemos usar d x e d y menores que λ/2. Agrupamento planar uniforme

39 39 Como β x e β y são independentes podemos ter máximos em AF x e AF y em direcções diferentes. No entanto, normalmente pretendemos uma única direcção de máximo (θ 0, φ 0 ) pelo que devemos ter simultaneamente Directividade Para um número elevado de elementos e com o máximo próximo da radiação transversal, obtém-se onde D x e D y são, respectivamente, as directividades das cortinas transversais segundo xx e yy.

40 40 Exemplos de factores de agrupamentos planares uniformes Nota: também podemos ter agrupamentos tridimensionais onde o factor total é o produto de três factores, em x, y e z.

41 41 Agrupamentos de antenas Síntese de Schelkunoff Neste método sintetiza-se um agrupamento de tal forma a que o factor de agrupamento apresente nulos segundo direcções desejadas. Consideremos um agrupamento linear com N elementos igualmente espaçados e com um desvio progressivo de fase β; o factor de agrupamento é dado por onde a n representa a corrente de alimentação do elemento n. Se fizermos a mudança de variável o factor de agrupamento fica um polinómio em z de grau N 1

42 42 Agrupamentos de antenas O polinómio tem N 1 raízes z i e pode ser expresso de forma factorizada O seu módulo é dado por Uma escolha adequada do posicionamento das raízes deste polinómio determina os nulos de AF(ψ), o que por sua vez determina também os nulos em de AF(θ), quando tomamos em AF(ψ) a sua região visível (depende dos valores de d e de β) A relação entre as variáveis z, ψ e θ é

43 43 Agrupamentos de antenas A variável z tem módulo unitário e fase ψ que depende de d, de θ e de β; a região visível de ψ determina a região visível do círculo unitário onde z reside. Exemplos: Região invisível Região visível

44 44 A expressão permite afirmar que, para cada valor de z, o módulo do factor de agrupamento normalizado por a n é dado pelo produto das distâncias de z às raízes no círculo unitário, como se mostra na figura para três raízes Note-se que só podemos tomar os valores de z que estão na região visível. Isto também implica que só os nulos na região visível originam nulos em direcções θ no factor de agrupamento.

45 45 Agrupamentos de antenas Exemplo: pretende-se nulos nas direcções 0º, 90º e 180º, utilizar um espaçamento de λ/4 e β = 0. 3 nulos polinómio de grau N 1 = 3 nº elementos N = 4 θ 1 = 0º ψ 1 = (2π/ λ)dcosθ 1 + β = π/2 z 1 = e jπ/2 = j θ 2 = 90º ψ 2 = 0 z 2 = e j0 = 1 θ 3 = 180º ψ 3 = π/2 z 3 = e jπ/2 = j Diagrama Correntes Nulos nas direcções desejadas

46 46 Agrupamentos de antenas Exemplo: AF norm (z) = z(z 4 1), β = 0. Determinar: a) Número de elementos, sua posição ao longo do eixo do agrupamento e amplitudes e fases das correntes de cada elemento; b) Direcções dos nulos do factor de agrupamento se o comprimento total for 2λ. Não confundir com variável z = e jψ

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48 48 Síntese de Fourier Consideremos um agrupamento linear de N = 2M + 1 elementos uniformemente espaçados de d e com uma variação progressiva de fase de valor β. O factor de agrupamento é AF( ψ) = M m= M A e m jmψ, ψ = kdcosθ + β Se nesta expressão considerarmos que as correntes de alimentação satisfazem A * m = A m A m = A m e arg( A ) = arg( A então o somatório corresponde ao desenvolvimento em Série Exponencial de Fourier de AF(ψ), mas truncada pois não temos um número infinito de termos. m m )

49 49 Se tivermos uma função periódica AF(ψ), com período 2π, podemos aproximá-la pela série exponencial de Fourier truncada, sendo os coeficientes da série as correntes de alimentação dos elementos do agrupamento. Os coeficientes da série são dados por A m = 1 2 π 2 π AF( ψ ) e jm ψ d No caso do resultado do integral anterior ser indeterminado para o termo de ordem 0, o valor de A 0 deve ser calculado por A 1 AF( ψ dψ 0 = ) 2π 2 π ψ (Análogo ao cálculo do termo DC)

50 50 A função AF(ψ) a aproximar é obtida a partir do diagrama do factor de agrupamento que se pretende sintetizar, definido em função de θ, usando-se a mudança de variável habitual ψ = kd cosθ + β Quanto mais termos usarmos mais elementos teremos no agrupamento e também melhor será aproximação do diagrama pretendido Nota: Se d = λ/2 temos a função AF(ψ) completamente definida no seu período 2π. Se d < λ/2 temos AF(ψ) definida apenas numa parte do seu período; devemos usar então uma função de preenchimento para completar a definição de AF(ψ) no seu período e teremos resultados diferentes conforme a função de preenchimento escolhida; esta deve ser tal que a série seja convergente, isto é, a função AF(ψ) depois de preenchida deve satisfazer as condições de Dirichlet. Se d > λ/2 só em casos particulares se pode usar este método.

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