Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO QUADRÁTICA PARTE 1

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1 DEFINIÇÃO... GRÁFICO... ZEROS ou RAÍZES... 4 DISCUSSÃO DAS RAÍZES... 5 RELAÇÕES ENTRE COEFICIENTES E RAÍZES... 8 VÉRTICE... CONCAVIDADE... 3 MÁXIMO OU MÍNIMO... 3 IMAGEM... 4 FORMA CANÔNICA... 9 CONSTRUÇÃO DA PARÁBOLA... RESPOSTAS REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA No inal das séries de eercícios podem aparecer sugestões de atividades complementares. Estas sugestões reerem-se a eercícios do livro Matemática de Manoel Paiva ornecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG Campus Ouro Preto durante o triênio Todos os eercícios sugeridos nesta apostila se reerem ao volume. MATEMÁTICA I FUNÇÃO QUADRÁTICA PARTE

2 DEFINIÇÃO Uma quadra poliesportiva de uma escola tem orma retangular com 40 metros de comprimento e 0 metros de largura. A direção da escola pretende amplia-la. Para isso vai construir em volta dela uma aia de largura constante. Eemplos de unções quadráticas: a) () = 3 + onde a =, = -3 e c =. ) () = onde a =, = e c =. c) () = onde a =, = e c =. d) () = 4 onde a =, = e c =. Suponhamos que seja a largura da aia, em metros. Os lados da nova quadra medem (40 + ) e (0 + ). Sua área é uma unção de. S S 40 0 S A órmula que deine essa unção é um polinômio de º grau na variável. Funções reais como esta são chamadas de unções quadráticas ou unções do º grau. FUNÇÃO QUADRÁTICA ou FUNÇÃO DO º GRAU é toda unção real do tipo y = () = a + + c sendo a, e c números reais com a 0. e) () = +5 onde a =, = e c =. ) () = -3 onde a =, = 0 e c =. GRÁFICO O gráico da unção quadrática é uma paráola. E: Veja, no eemplo aaio, o gráico da unção () =. y -3 (-3) 9 A = (-3; 9) - (-) 4 B = (-; 4) - (-) C = (-; ) D = (0; 0) E = (; ) 4 F = (; 4) G = (3; 9) Vamos agora localizar, no plano cartesiano, os pontos encontrados na taela. Paráola é uma das 4 curvas cônicas que você estudará, com mais detalhes, no terceiro ano. CASSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO

3 E.: Vamos, agora, construir o gráico da unção g() = - localizando alguns pontos e ligando-os em seguida. - y -3 -(-3) -9 A = (-3; -9) - -(-) -4 B = (-; -4) - -(-) - C = (-; -) D = (0; 0) - - E = (; -) - -4 F = (; -4) G = (3; -9) Ligando-se os pontos, ormaremos o gráico: D = Im = ]-; 0] D = Im = [0, [ Note que, quando multiplicamos a unção por - (g() = -()) otemos um gráico simétrico ao anterior em relação ao eio das ascissas. Oservação: Neste momento, não traalharemos com construção de gráicos. Faremos isto mais a rente. MATEMÁTICA I 3 FUNÇÃO QUADRÁTICA PARTE

4 ZEROS ou RAÍZES Chamam-se de raízes ou de zeros da unção do º grau os valores de que tornam nula a unção () = a + + c. Uma das técnicas utilizadas para encontrar as raízes de uma unção do º grau é a Fórmula de Báskara amplamente conhecida e relativamente ácil de ser aplicada. Aaio segue a demonstração da órmula: 0 c 0 a a a4 a 4a a TQP a a a a a a a c 4ac 0 4a c 0 c a 0 4ac 4a 4ac 4a 4ac a 4ac a c a 0 Chamando de a epressão 4ac, temos: a A seguir veremos alguns eemplos de aplicação da órmula de Báskara. E.: Quais os zeros da unção 5? 6 Resolução: Vamos dividir a resolução em três etapas: i) Destacar os coeicientes ii) Calcular o discriminante. iii) Calcular as raízes Etapa i) a =, = -5, c = 6 Etapa ii) 4ac Etapa iii) a Logo, as raízes da unção são e 3 E.: Quais os zeros da unção 9? 4 Resolução: Etapa i) a = 9, = -, c = 4 Etapa ii) 4ac Etapa iii) a Logo, as raízes da unção são 3 e 3. 3 CASSIO VIDIGAL 4 IFMG CAMPUS OURO PRETO

5 E3.: Quais os zeros da unção 6? 0 Resolução: Etapa i) a =, = -6, c = 0 Etapa ii) 4ac º Caso: < 0 Como quando < 0, a unção não apresentará raízes nesta situação. 0) Determinar as raízes reais das unções a seguir; 8 a) 5 Etapa iii) 6 a 4 Como -4 não possui raiz quadrada real, dizemos que a unção dada não possui raízes reais. DISCUSSÃO DAS RAÍZES A eistência das raízes de uma unção quadrática ica condicionada ao ato da. Assim, temos três casos a considerar, a saer: > 0, = 0 e < 0. ) 8 Vamos discutir os três casos: º Caso: > 0 Quando > 0, a unção apresentará duas raízes reais distintas: e a a 6 c) 9 º Caso: = 0 Neste caso, 0, assim temos que a MATEMÁTICA I 5 FUNÇÃO QUADRÁTICA PARTE

6 d) 4 g) 5 e) 3 0 h) 4 5 ) 3 i) 6 5 CASSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO

7 j) 5 9 0) Qual o valor de para que a unção 3tenha duas raízes iguais? k) ) Determinar as condições sore k na unção () = 3 + (k ) a im de que não admita raízes reais. MATEMÁTICA I 7 FUNÇÃO QUADRÁTICA PARTE

8 04) A unção () = (p ) (p + ) possui duas raízes reais iguais. Nestas condições, qual o valor de p? RELAÇÕES ENTRE COEFICIENTES E RAÍZES Sendo e as raízes de uma unção do segundo grau do tipo () = a + + c, podemos airmar que: a e c a Estas relações são chamadas de relações de Girard e podem ser acilmente demonstradas. Acompanhe: Fazendo e a temos que a a, a a a 05) Qual é o menor número inteiro m para o qual a unção real de variável real dada por () = (m + ) não admite raízes reais? a e a 4ac 4a 4a 4ac 4a c a E.: Encontrar a soma e o produto das raízes da unção ()= sem calcular as raízes. Resolução a = ; = 4 e c = a c 30 5 a Logo, a soma das raízes é - e o produto é -5. CASSIO VIDIGAL 8 IFMG CAMPUS OURO PRETO

9 E.: Escreva uma unção do segundo grau cujas raízes seja 4 e -. Resolução 4 a que = -3 c a que c = Fazendo a =, temos. Tomando a =, temos Assim, uma equação procurada é () = 3 4 Oservação: Se tivesse sido atriuído a outro valor qualquer (dierente de ), os valores de e c mudariam mas, ainda assim, seria encontrada uma unção cujas raízes são 4 e -. 07) Otenha uma unção do segundo grau cujos zeros sejam: a) 3 e 4 ) - e c) -5 e -4 d) 3 + e 3 06) Calcule a soma e o produto das raízes das unções aaio; a) () = e) 0 e 8 ) () = ) 3 e 3 c) () = - 7 d) () = 3 - g) 7 e 6 7 MATEMÁTICA I 9 FUNÇÃO QUADRÁTICA PARTE

10 08) Mostre que uma equação do º grau de raízes e pode ser escrita na orma () = S + P sendo S = + e P =. 09) Uma das raízes da equação + p + 7 = 0 é o quadrado da outra. Qual o valor de p? 0) As raízes da unção () = c são tais que uma é o inverso da outra. Qual é a maior das duas raízes? CASSIO VIDIGAL 0 IFMG CAMPUS OURO PRETO

11 ) Uma das raízes da equação 5 + p = 0 ecede a outra em 3 unidades. Encontre as raízes da equação e o valor de p. 3) Sendo m e n as raízes da equação = 0, qual o valor de: a) m + n ) m n c) m + n ) A dierença entre as raízes da equação + + p = 0 vale 5. Encontre as raízes e o valor de p. d) m + n MATEMÁTICA I FUNÇÃO QUADRÁTICA PARTE

12 VÉRTICE O ponto V na igura acima é chamado de vértice da paráola e está localizado sore o eio de simetria da paráola. Segue, aaio, a demonstração da órmula que nos permite encontrar as coordenadas de V. Considere o gráico aaio da unção () = a + + c. A paráola corta o eio vertical no ponto P, podemos então dizer que (0) = c. Sendo PQ um segmento de reta paralelo ao eio horizontal, temos, para o ponto Q, a coordenadas (k, c). Desta orma podemos oter a ascissa de Q: (k) c e ak k 0 ak k c c k ak ou a k 0 0 ak 0 ak k a c Oservando o gráico vemos que k = 0 é a ascissa do ponto P, logo a ascissa de Q é a Devido à simetria da paráola, podemos determinar a ascissa de V como sendo a média aritmética entre as ascissas de P e Q, assim:. 0 a v v a Para determinar a ordenada do vértice, asta sustituir determinar (v). v a v a 4ac a a v c a 4a a a a 4a 4a a 4a c v 4a v 4a 4ac v 4a a c c CASSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO

13 como v 4a 4ac Se a < 0, a paráola tem a concavidade voltada para aio. Assim, temos que as coordenadas do vértice da paráola, são: Determinar as coordenadas do vértice da paráola que representa graicamente a unção () = y v V ; a v a 4ac 4a Logo, V = (, -) 4 4a CONCAVIDADE A paráola que representa graicamente a unção quadrática y = a + + c pode ter a concavidade voltada para cima ou para aio de acordo com o sinal do coeiciente a. Se a > 0, a paráola tem a concavidade voltada para cima. MÁXIMO OU MÍNIMO Seja uma unção real de variável real. A unção admite máimo se, e somente se eiste m, m D() tal que:,, D m O número (m) é chamado de valor máimo de. Uma unção quadrática admite ponto de máimo no vértice quando a < 0. Seja uma unção real de variável real. A unção admite mínimo se, e somente se eiste m, m D() tal que:,, D m O número (m) é chamado de valor mínimo de. Uma unção quadrática admite ponto de mínimo no vértice quando a > 0. MATEMÁTICA I 3 FUNÇÃO QUADRÁTICA PARTE

14 IMAGEM ) y = + 4 A partir do esoço do gráico de uma unção quadrática do tipo () = a + + c, podemos notar que a ordenada do vértice limita sua imagem, assim, se a > 0, y yv e se a < 0, y yv, logo: Para a > 0, Im={y } ou Im= Para a < 0, Im={y } ou Im= c) () = ) Em cada uma das unções quadráticas a seguir, determine o vértice da paráola da representação gráica e aponte a direção da concavidade da paráola. Determine tamém a imagem da unção. a) () = + d) CASSIO VIDIGAL 4 IFMG CAMPUS OURO PRETO

15 3 6 e) 5) Para que valores de m o gráico da a unção () = (m 5) + m tem a concavidade voltada para cima? ) 4 6) O vértice da paráola da unção y = + + c é o ponto V(-3; ). Calcule e c. 0, g) 4 MATEMÁTICA I 5 FUNÇÃO QUADRÁTICA PARTE

16 7) Sae-se que a paráola que descreve a unção y = + k + k passa pelo ponto (: 7). a) Determine k. 9) Determine a unção quadrática () = a + + c tal que (0) =, () = 6 e (-) = 0. (Você deve determinar a, e c) ) Quanto vale (0)? E (3)? 8) Calcule e c saendo que a paráola de y = + + c passa pelos pontos (; ) e (; 6). 0) O arco de paráola da igura ao lado é o gráico de uma unção em que y é proporcional ao quadrado de. a) Qual o domínio e imagem da unção? CASSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO

17 ) Encontre a órmula de y em unção de. (dica: se y é proporcional quadrado de, então y é igual a multiplicado por uma constante, ou seja, a unção é do tipo y = a ) ) O preço de uma pizza é diretamente proporcional à sua área. Por isso, a órmula que dá o preço (em reais) de uma pizza em unção de seu raio R (em cm) é do tipo P = kr. No caso, k é uma constante real não nula. Uma pizzaria vende uma pizza de raio igual a 0cm por R$,00. a) Qual o valor de k neste caso? c) Otenha y para = 3? ) Por quanto deve ser vendida uma pizza de 30cm de raio? MATEMÁTICA I 7 FUNÇÃO QUADRÁTICA PARTE

18 c) Qual a taa de variação média do preço da pizza por centímetro de raio quando este muda de 0cm para 30cm? E quando muda de 30cm para 40 cm? ) o instante em que ela atingiu a temperatura máima. c) a temperatura máima atingida. ) Um sustância soreu mudanças de temperatura durante 8 minutos. Sua temperatura T em graus Celsius, t minutos após o início do eperimento, é dada pela órmula T = -t + 6t + 0. Encontre: a) a temperatura inicial da sustância. d) os instantes em que a temperatura atingiu 4ºC. ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 80 Eercícios 07 a 4 CASSIO VIDIGAL 8 IFMG CAMPUS OURO PRETO

19 FORMA CANÔNICA A construção do gráico da unção quadrática com o auílio de uma taela como está apresentado no início desta apostila torna-se as vezes um traalho impreciso. Não era o caso daqueles eemplos e de outros que você vez nos eercícios, mas isto pode acontecer quando, por eemplo, a paráola intercepta o eio horizontal ou vertical em pontos de ascissa ou ordenada não inteiros. A im de podermos azer um estudo analítico mais detalhado da unção quadrática, vamos, em princípio, transorma-la em outra orma chamada de FORMA CANÔNICA. Vamos transormar a unção na orma polinomial () = a + + c para a orma canônica, veja: a a a a a a c a 4a a 4a c a 4a 4a c c 4ac 4a Esta orma é a chamada orma canônica. Representando 4ac por, tamém chamado de discriminante do trinômio do º grau temos a orma canônica como a conhecemos: a a 4a E.: Vamos passar a unção () = para a orma canônica: E.: Passar a unção quadrática 3 7 para a orma canônica e em seguida determinar suas raízes caso eistam. Resolução: O primeiro passo está eito. Vamos agora encontrar as raízes. MATEMÁTICA I 9 FUNÇÃO QUADRÁTICA PARTE

20 ) ou Assim, as raízes são e. 3 3) Passe as unções quadráticas a seguir para a orma canônica e, em seguida, encontre as raízes, caso eistam. 3 a) 7 c) CASSIO VIDIGAL 0 IFMG CAMPUS OURO PRETO

21 3 7 d) 3 ) e) g) MATEMÁTICA I FUNÇÃO QUADRÁTICA PARTE

22 h) Vamos agora localizar, no plano cartesiano, os pontos encontrados na taela. CONSTRUÇÃO DA PARÁBOLA Nos eemplos a seguir, construiremos gráicos de unções do segundo grau (paráolas) a partir de sua orma canônica mas antes vamos entender algumas translações que podemos realizar nos gráicos de unções do segundo grau. Ligando-se os pontos, ormaremos o gráico: Nas páginas e 3 desta apostila, construímos o gráico da unção () =. Para tal partimos de uma taela, localizamos os pontos no plano e ligamos construindo o gráico. Relemre: y -3 (-3) 9 A = (-3; 9) - (-) 4 B = (-; 4) - (-) C = (-; ) D = (0; 0) E = (; ) 4 F = (; 4) G = (3; 9) CASSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO

23 DESLOCAMENTO VERTICAL Agora, vamos construir o gráico da unção g() =. Este gráico pode ser otido a partir do gráico anterior deslocando todos os seus pontos em uma unidade para aio já que para cada valor de em () =, a imagem relativa a g() = estará uma unidade aaio. Veja como icará o gráico: Veja, na sequência aaio, diversos gráicos ilustrando esta situação: p() = + 5 k() = + () = Continuando nesta linha, vamos construir o gráico de h()= 4. g() = h() = 4 Agora, a partir de () =, vamos descer todos os seus pontos em 4 unidades MATEMÁTICA I 3 FUNÇÃO QUADRÁTICA PARTE

24 Oservando as construções anteriores, podemos concluir que, somando-se ou sutraindo-se uma constante de uma unção do segundo grau, deslocamos o seu gráico verticalmente. DESLOCAMENTO HORIZONTAL Vamos, agora, provocar deslocamentos horizontais no gráico. Mais uma vez, partiremos do gráico da unção () =. Agora construiremos o gráico de g()=( 3). -3 (+) y (, y) 0-3 (-3) 9 A = (0; 9) - (-) 4 B = (; 4) - (-) C = (; ) D = (3; 0) 4 E = (4; ) 5 4 F = (5; 4) G = (6; 9) Localizando no plano e construindo o gráico, temos: Vamos agora construir a taela e, em seguida, o gráico de h() = ( + ). + (+) y (, y) -5-3 (-3) 9 A = (-5; 9) -4 - (-) 4 B = (-4; 4) -3 - (-) C = (-3; ) D = (-; 0) - E = (-; ) 0 4 F = (0; 4) G = (; 9) Oserve, em verde, no plano a seguir, os pontos encontrados a partir da taela e o gráico da unção h. CASSIO VIDIGAL 4 IFMG CAMPUS OURO PRETO

25 Neste caso, oi possível oservar que somando ou sutraindo uma constante ao, o gráico da unção sore um deslocamento lateral. Veja no conjunto de gráicos a seguir: Mais uma vez, começaremos com o gráico da unção () = mas agora destacaremos uma nova situação em termos de deslocamento. Oserve o gráico. k() = ( + 3) h() = ( + ) () = g() = ( - 3) p() = ( -4) De maneira inormal, mas que proporciona um om entendimento, podemos dizer que somando-se uma unidade ao argumento, o gráico é deslocado uma unidade para a esquerda e sutraindo uma unidade do argumento, o gráico é deslocado uma unidade para a direita. ABERTURA Em termos de aertura, as paráolas podem ter a concavidade mais aerta ou mais echada ou ainda a concavidade voltada para aio. Na igura, além do gráico, oram destacadas linhas em três cores de duas tonalidades cada. Ressaltando que em () = os valores de y variam com o quadrado de e tomando como reerência o vértice da paráola, podemos oservar que: Em azul: quando varia uma unidade, y varia, ou seja, e quando varia em uma unidade para a esquerda, y varia em (-), ou seja,. Em vermelho: quando varia duas unidades, y varia, ou seja, 4 e quando varia em duas unidades para a esquerda, y varia em (-), ou seja, 4. Em verde, quando varia três unidades, y varia 3, ou seja, 9 e quando varia em três unidades para a esquerda, y varia em (-3), ou seja, 9. Tente oservar o mesmo padrão para variando 4 unidades. MATEMÁTICA I 5 FUNÇÃO QUADRÁTICA PARTE

26 No entanto, se tivermos uma constante multiplicando o, Esta constante inluenciará diretamente na taa de variação de y em relação a. Veja no eemplo aaio com a unção g() =. Veja que, neste caso, as variações em y são o doro dos quadrados das variações em. Isso se deve ao ator multiplicando o. Veja este outro eemplo com a unção h() =. A Agora pode-se perceer que as variações em y são equivalentes à metade dos quadrados das variações em. Isso se deve ao ator multiplicando o. Vejamos, agora, o papel de uma constante negativa multiplicando o. No gráico a seguir, utilizaremos o ator - e o resultado oservado vale, tamém para quaisquer outros atores negativos. CASSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO

27 Na página 9, vimos que a orma canônica da unção () = a + + c é a a 4a Na página 3, vimos que as coordenadas do vértice da paráola são: V ; a 4a Assim, podemos reescrever a orma canônica como: () = a[( v ) + y v ] Oserve que, nesta notação, podemos notar de orma clara, os três elementos que acaamos de estudar: É possível oservar que, para cada deslocamento horizontal a partir do vértice, o deslocamento vertical varia com o quadrado de porém para aio, Desta orma, a paráola tem a concavidade voltada para aio. Assim, em termos da inluência da constante a no gráico de () = a, podemos concluir que se a > 0, a paráola tem a concavidade voltada para cima e se a < 0, a paráola tem a concavidade voltada para aio (isso já oi alado na página 3). Além disso, podemos dizer que quanto maior o valor de a (em módulo), mais echada estará a paráola e quanto mais próimo de zero or o valor de, mais aerta estará a paráola. Agora vamos ocar noutro ponto. A partir do que oi visto, detalhadamente, nas últimas 6 páginas, vamos, agora construir gráicos de unções do º grau sem a necessidade de partir de uma taelinha. O nosso procedimento será encontrar a orma canônica das unções e, a partir dela localizarmos o vértice e azermos os deslocamentos sore o plano para encontrar pontos de reerência para a construção do gráico. Acompanhe os eemplos a seguir: MATEMÁTICA I 7 FUNÇÃO QUADRÁTICA PARTE

28 E.:Construir o gráico da unção 4. 3 Forma canônica: Assim, temos que: a = e V =, A partir daí, localizamos o Vértice no plano e em seguida alguns outros pontos da paráola de acordo com o que estudamos a partir da página 5. Os demais eemplos, nas próimas páginas, construiremos juntos em orma de eercícios. O passo seguinte será ligar estes pontos em orma de paráola ormando, assim, o gráico procurado. CASSIO VIDIGAL 8 IFMG CAMPUS OURO PRETO

29 4) Construir o gráico da unção () = - 3 5) Construir o gráico da unção () = 4 +4 MATEMÁTICA I 9 FUNÇÃO QUADRÁTICA PARTE

30 6) Construir o gráico da unção () = 7) Construir o gráico da unção () = 4 CASSIO VIDIGAL 30 IFMG CAMPUS OURO PRETO

31 8) Construir o gráico da unção 9) Construir o gráico da unção MATEMÁTICA I 3 FUNÇÃO QUADRÁTICA PARTE

32 30) Construir o gráico da unção 4 3 3) Construir o gráico da unção 0 6 ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 76 Eercício 0 CASSIO VIDIGAL 3 IFMG CAMPUS OURO PRETO

33 RESPOSTAS 0) a) 3 e 5 ) - e 4 c) 3 e 3 d) 0 e 4 e) -5 e 0) 03) 04) ) -3 e g) 3 e 5 7 h) - e i) -5 e - j) Não possui raízes reais k) 05) k 3 e p ) a) S e 3 ) S = 6 e P = 5 5 P 3 7 c) S = 0 e P d) S = 3 e P = - 07) a) () = 7 + ) () = c) () = d) () = + 3+ e) () = 8 ) () = g) () = ) - Demonstração - 09) P = - 0) 3 ) P = 77 ) As raízes são -3 e -8 e p vale 4 3) a) 0 ) c) a) 70 4) a) vértice (; ); Im = [; ); concavidade para cima. ) vértice (; 4); Im = (-; 4] concavidade para aio. c) vértice 5 3 ; 4 9 ; Im = (-; 3 4 ]; concavidade para aio. 3 3 d) vértice ; ; Im =(-; ]; concavidade para cima. e) vértice (; -5); Im = [-5; ); concavidade para cima 3 3 ) vértice ; ; Im = [ ; ); concavidade para cima g) vértice 9 ; ; 0 9 Im = [ ; ); 0 concavidade para cima 5) m > 5 6) = 6 e c= 0 7) a) k = ) (0) = 4; (3) = 9 8) = e c = - 9) () = MATEMÁTICA I 33 FUNÇÃO QUADRÁTICA PARTE

34 0) a) D = [0, ) e Im = [0, ) ) y 4 c) 9 y 4 4) ) a) 0,03 ) R$7,00 c) 0 30:,50 / cm 30 40:,0 / cm ) a) 0ºC ) 4 min c) 4ºC d) min e 7 min 3) 3 a) 4 raízes: e 7 ) 4 raízes: 3 e c) raízes: e 3 d) Não possui raízes reais. e) raiz: - ) raízes: e 3 4 g) 5 6 raízes: e h) raízes: 0 e 5) 6) 7) 8) 9) 30 3) CASSIO VIDIGAL 34 IFMG CAMPUS OURO PRETO

35 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA MACHADO, Antônio dos Santos; Matemática, Temas e Metas. São Paulo, Atual, 988. IEZZI, Gelson e outros; Fundamentos da Matemática Elementar, Volume. São Paulo, Atual, 5ª edição, 977. RUBIÓ, Angel Pandés; Matemática e suas tecnologias; Volume. São Paulo, IBEP, 005. PAIVA, Manoel; Matemática; Volume. São Paulo, Moderna, 995. MATEMÁTICA I 35 FUNÇÃO QUADRÁTICA PARTE