Exercícios de Cálculo II - CM042

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1 Exercícios de Cálculo II - CM04 Prof. José Carlos Corrêa Eidam DMAT/UFPR Disponível no sítio people.ufpr.br/ eidam/index.htm o. semestre de 011

2 Parte 1 Curvas 1. Desenhe as imagens das seguintes curvas: (a) γ(t) = (1, t) (b) γ(t) = (cos t,sen t), 0 t π (c) γ(t) = (sen t,sen t) (d) γ(t) = ( + cos t,3 + 4sen t) (e) γ(t) = ( 1,1 t) (f) γ(t) = (et cos t,e t sen t), t 0 (g) γ(t) = (sec t,tan t), π < t < π (h) γ(t) = ( cos t,sen t) (i) γ(t) = (ln t, t), t 1 (j) γ(t) = (cosh t,sinh t), t R (k) γ(t) = (1 + cos t,cos t 1), 0 t π (l) γ(t) = (1 t,t 3 + 1), t R (m) γ(t) = (t(t 3),3(t 3)) (n) γ(t) = (t 3 3t, t 3 3t) (o) γ(t) = (t 4 t 3 t, t 3 3t) (p) γ(t) = (t 3 3t, t 3 1t). Associe as equações paramétricas aos gráficos I a VI. Justifique sua escolha. (a) x = t 3 t, y = t t (b) x = t 3 1, y = t (c) x = sen(3t), y = sen(4t) (d) x = t + sen(t), y = t + sen(3t) (e) x = sen(t + sen t), y = cos(t + cos t) (f) x = cos t, y = sen(t + sen(5t)) 3. Considere f (x) = ( 3 x ). A função f é derivável em x = 0? Determine uma curva γ : R R, derivável e cuja imagem seja igual ao gráfico de f. 4. Mostre que a curva γ(t) = (cos t,sen t cos t) admite duas retas tangentes em (0,0) e ache suas equações.

3 5. Sejam I um intervalo aberto de R e γ : I R uma curva diferenciável. Mostre que, se existe C R tal que γ(t) = C, para todo t I, então γ(t) é ortogonal a γ (t), para todo t I. Vale a recíproca? Interprete geometricamente. 6. Uma circunferência de raio r rola sem escorregar ao longo do eixo Ox. Encontre equações paramétricas para a curva descrita por um ponto da circunferência que se encontra inicialmente no origem (Esta curva é chamada de ciclóide). 7. Calcule o comprimento da curva γ: 1 γ 1 (t) = (t 1,4t + 3), t [ 4,4]; γ (t) = (cos t,sen t), t [0,π]; 3 γ 3 (t) = (cos t + t sen t,sen t t cos t), t [0,π]. 8. Encontre o comprimento de um arco da ciclóide x = r (θ senθ), y = r (1 cosθ) (Dica: Use a identidade 1 cosθ = sen (θ/)). 9. Mostre que o comprimento da elipse x = a cosθ, y = bsenθ, a > b > 0, 0 θ π é 4a π/ 0 1 ε sen θdθ, onde ε = c/a é a excentricidade da elipse e c = a b. 10. Esboce a astróide x = a cos 3 θ, y = bsen 3 θ, 0 θ π, a > 0, e calcule seu comprimento. 11. Encontre pelo menos três conjuntos distintos de equações paramétricas para representar a curva y = x 3, x R. 1. Encontre as equações das retas tangentes à curva paramétrica x(t) = 3t + 1, y(t) = t que passam pelo ponto (4, 3). 13. Seja γ : (a,b) R uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco s. O vetor normal a γ no ponto γ(t) é definido por n(s) = ( y (s), x (s)), a < s < b. 1 Mostre que os vetores γ (s) e γ (s) = (x (s), y (s)) são perpendiculares para qualquer s (a,b). Mostre que existe uma função κ : (a,b) R diferenciável tal que γ (s) = κ(s)n(s), para a < s < b. O valor κ(s) é chamado curvatura de γ em γ(s). Mostre que κ = x y x y, onde denota a derivada em relação a s. 3

4 3 Considere o ângulo θ(s) formado pelo eixo x e pela reta tangente a γ em γ(s), i.e., tanθ(s) = y (s)/x (s). Mostre que κ(s) = θ (s) para cada s (a,b) e interprete geometricamente o que significa o sinal da curvatura de γ. 4 Seja α : (a,b) R uma curva regular qualquer com α(t) = (p(t), q(t)), a < t < b, s o parâmetro de comprimento de arco e β(s) = α(t(s)), a reparametrização de α por comprimento de arco. Como β é parametrizada por comprimento de arco, a curvatura κ de β é bem-definida. Mostre que κ = p q p q (p + q ) 3/ O valor desta função em s = s(t) é chamado de curvatura de α em α(t). 5 Mantendo a notação do ítem anterior, admitindo que α seja o gráfico de uma função y = f (t), mostre que a curvatura é dada por κ = f (1+(f ) ) 3/. 6 Calcule a curvatura da espiral logarítmica α(t) = (e t cos t,e t sen t), t R. 14. Esboce as seguintes curvas dadas em coordenadas polares: 1 r = 1 θ = π/3 3 r = cosθ 4 r = cosθ 5 r = 1 + senθ 6 r = cos3θ 7 r = senθ 8 r = 1 cosθ 9 r = θ 10 r 3 4r + 5r = Encontre equações polares e faça um esboço das as curvas dadas abaixo em equações cartesianas: 1 x + y = a, a > 0 x + 3y = 1 3 x y = 1 4 x + y = 1 5 x + y = e y/x 6 x /3 + y /3 = 1 7 y x tan((x + y ) 1/ ) = 0 8 (x + y ) 3 = 4x y Curvas notáveis 16. Consideremos a circunferência C de centro (0,r ) e raio r > 0, a semi-reta s = {(x, y) : y 0} e um ponto P = (0,R), R > 0, nessa semi-reta. Uma trocóide é o lugar geométrico descrito pelo ponto P quando C rola sobre o eixo x sem deslizar. Note que a ciclóide é um caso particular de trocóide quando P C. Quando P é exterior a C, a trocóide é chamada de ciclóide longa; quando P é interior a C, a trocóide é chamada de ciclóide curta. Encontre equações paramétricas que descrevam a trocóide. 17. Consideremos dois círculos Γ e C de raios R > 0 e r > 0, respectivamente, os quais se tocam exteriormente apenas em um ponto P. Admitamos também que Γ seja centrado na origem e C tenha centro no ponto (R + r,0). Denominamos epiciclóide o lugar geométrico descrito pelo ponto P quando C rola (sem deslizar) sobre Γ. A primeira figura abaixo ilustra este processo; as duas figuras seguintes ilustram os casos r < R e r > R, respectivamente. 4

5 1 Sejam (x, y) as coordenadas do ponto P na primeira figura. Mostre que x = OB QB, y = OD DT, OB = (R + r )cosθ e OD = (R + r )senθ. Mostre que QB = r cos(θ + t) e DT = r sen(θ + t). 3 Mostre que t = Rθ/r e conclua que as equações paramétricas da epiciclóide são (( ) ) R + r x = (R + r )cosθ r cos θ r Quando R = r, a curva obtida é chamada de cardióide. (( ) ) R + r e y = (R + r )senθ r sen θ. r 18. Consideremos dois círculos Γ e C de raios R > 0 e r > 0, respectivamente, os quais se tocam interiormente apenas em um ponto P. Admitamos também que Γ seja centrado na origem e C tenha centro no ponto (R + r, 0). Denominamos hipociclóide o lugar geométrico descrito pelo ponto P quando C rola (sem deslizar) sobre Γ. A primeira figura abaixo ilustra este processo; as duas figuras seguintes ilustram hipociclóides. 5

6 Usando raciocínios semelhantes àqueles utilizados no problema anterior, mostre que a hipociclóide tem equações paramétricas (( ) ) (( ) ) R r R r x = (R r )cosθ + r cos θ e y = (R r )senθ r sen θ. r r A hipociclóide obtida com r = R/4 é chamada de astróide. 19. O fólium de Descartes é a curva γ descrita pelas equações paramétricas x(t) = 3at e y(t) = 3at 1+t 3 com t 1, onde a > 0 é fixado. 1 Mostre que γ satisfaz a equação cartesiana x 3 + y 3 = 3ax y. Em particular, γ é simétrica em relação à reta y = x. Mostre que a reta x + y + a = 0 é uma assíntota de γ. 3 Faça um esboço de γ. 0. A lemniscata de Bernoulli é a curva γ descrita pelas equações paramétricas x(t) = t 1+t 4 e y(t) = t 3 1+t 4, t R. 1 Mostre que γ satisfaz a equação cartesiana (x + y ) = x y. Em particular, γ é simétrica em relação à reta y = x. Faça um esboço de γ. 1. Seja C um círculo de raio r > 0 tangente ao eixo x e à reta y = r, onde r > 0 é fixado, conforme mostrado na primeira figura abaixo. Da origem, traçamos uma semi-reta em direção à reta s e denotemos por R e Q os pontos de intersecção desta semi-reta com C e s, respectivamente. O segmento QD é perpendicular a s 1 e a reta s é paralela a s 1. Consideremos também a reta s paralela ao eixo x passando por R e P o ponto de interseção da reta s com o segmento QD. Os pontos P = (x, y) obtidos traçando todas as semi-retas que partem de O e intersectam C, descrevem a curva denominada bruxa de Agnesi, descrita na segunda figura abaixo. 1+t 3, 1 Mostre que x = OQ cos t e y = OR sen t. Mostre que OQ = r /sen t e OR = r sen t. 3 Obtenha equações paramétricas para a bruxa de Agnesi.. Seja C o círculo de centro (r,0) e raio r > 0 e considere a reta x = r, conforme mostra a figura abaixo. Traçando uma semi-reta s qualquer partindo da origem, sejam K e N os seus pontos de intersecção com C e s, respectivamente. O ponto Q sobre s tem a propriedade que OQ = K N. Os pontos P = (x, y) obtidos quando traçamos todas as semi-retas que partem da origem e intersectam s formam uma curva γ chamada de cissóide de Diocles. O parâmetro que usaremos para parametrizar esta curva é o ângulo θ entre o segmento ON e o eixo x. 6

7 1 Mostre que OK = r cosθ e ON = r cosθ. Conclua que K N = r sen θ cosθ. Obtenha equações paramétricas para γ. 3 Mostre que a equação de γ em coordenadas polares é r = r senθ tanθ. 4 Mostre que γ tem equação cartesiana x 3 + (x r )y = Sejam a,b > 0 r a reta horizontal y = a. Tracemos uma reta s partindo da origem em direção à r e chamemos de P o ponto de intersecção de s e r. Os pontos Q e R tais que as medidas dos segmentos PQ e PR são constantes iguais a b formam uma curva chamada de conchóide de Nicomedes. Usando o ângulo θ entre a reta s e o eixo x como parâmetro, mostre que γ tem equações paramétricas x = acotgθ + b cosθ e y = a + bsenθ, 0 < θ < π. 4. A espiral de Arquimedes é a curva γ descrita em coordenadas polares pela equação r = aθ, θ 0, onde a > 0 é fixo. 1 Encontre equações paramétricas para as espirais de Arquimedes. 7

8 Mostre que γ satisfaz a equação x tan( x + y /a) = y. 3 Mostre que a distância entre dois pontos de intersecção consecutivos de γ com o eixo x é constante igual a aπ. 5. Seja γ uma curva diferenciável contida no primeiro quadrante, P um ponto de γ, r a reta tangente à γ em P. Admitindo que r não seja vertical, seja Q o ponto de intersecção entre r e o eixo y. Suponha que o segmento PQ tenha comprimento constante igual a a > 0. 1 Pondo γ(t) = (x(t), y(t)), mostre que γ satisfaz a equação diferencial d y dx = ± a x x. Resolva esta equação fazendo a substituição trigonométrica x = asen θ e usando a relação trigonométrica senθ = tan(θ/) sec (θ/). 3 Mostre que x(θ) = a cosθ, y(θ) = a cosθ + a ln(tan(θ/)), θ < π/, é uma parametrização da curva γ. Esta curva é chamada de tractriz e seu traço é a figura abaixo. Funções reais de duas e três variáveis 6. Ache e esboce o domínio das funções: (a) f (x, y) = x y 1 (c) f (x, y) = x +y 1 (b) f (x, y) = arctan y x (d) f (x, y) = x y x (e) f (x, y) = tan(x y) (f) f (x, y) = ln(x y x 3 ) (g) f (x, y) = ln(16 4x y ) 7. Esboce uma família de curvas de nível de: (a) f (x, y) = x+y x y (b) f (x, y) = x 1 y (c) f (x, y) = x x y 8. Esboce os gráficos de: (d) f (x, y) = x y x +y 4 (a) f (x, y) = 1 x y (b) f (x, y) = x (c) f (x, y) = x x y (d) f (x, y) = 4x + y (e) f (x, y) = y x (f) f (x, y) = y + 1 x +y (g) f (x, y) = y + x (h) f (x, y) = x y (i) f (x, y) = e 1 (j) f (x, y) = (k) f (x, y) = (x y) (l) f (x, y) = x + y + y + 3 4x +9y 1 (m) f (x, y) = (n) f (x, y) = ln(9x + y ) (o) f (x, y) = 4 x (x +y ) + 4y (p) f (x, y) = x + y 9 (q) f (x, y) = x + y Seja γ(t) = (e t + 1,e t ), para t R. 8

9 1 Desenhe a imagem de γ indicando o sentido de percurso. A imagem de γ está contida na curva de nível de f : R R dada por f (x, y) = x y y y + 4? Em caso afirmativo, em qual nível? 30. Em cada caso, esboce a superfície formada pelo conjunto dos pontos (x, y, z) R 3 tais que: (a) x + y + 3z = 1 (b) x + y + 3z = 1 (c) x + y z = 0 (d) x + y z = 1 (e) x + y z = 1 (f) x y = 1 (g) x y + z = 1 Alguma dessas superfícies é o gráfico de uma função f : D R R? 31. Verifique que a imagem da curva γ(t) = (cos t,cos t, sen t), t [0,π[, está contida numa esfera com centro em (0,0,0) e esboce a imagem de γ. 3. Seja γ(t) = ( t + 1cos t, t + 1sen t, t), t R. Verifique que a imagem de γ está contida na superfície x + y z = 1. Esboce a imagem de γ. 33. Desenhe as imagens das seguintes curvas: (a) γ(t) = (1, t,1) (b) γ(t) = (cos t,sen t,) (c) γ(t) = (e t cos t,e t sen t,e t ), t 0 (d) γ(t) = (t,cos t,sen t), t 0 (e)γ(t) = (sen t,sen t, cos t),0 t π (f) γ(t) = (1 + sen t,1 + sen t,cos t) 34. Seja f (x, y) = x + y + 4 e seja γ(t) = (t cos t, t sen t, t + 4), t 0. (a) Mostre que a imagem de γ está contida no gráfico de f. (b) Faça um esboço da imagem de γ. 35. Encontre uma parametrização para a curva de nível no nível k de f nos casos: 1 f (x, y) = x + y 3, k = ; f (x, y) = x 1 y, k = 5; 3 f (x, y) = 1 x y, k = 1. Encontre a reta tangente às curvas dos itens (a), (b) e (c) acima nos pontos ( 1, 1 4 ), (6,0) e (,1), respectivamente. 36. Encontre uma parametrização para as curvas C abaixo: 1 C é a intersecção do parabolóide hiperbólico z = y x com o cilindro x + y = 1. C é a intersecção da superfície x + y z = 1 com o plano y = z C é a intersecção do plano x = z com o parabolóide x + y = z. 4 C é a intersecção do cone z = 4x + y com o plano z = x C = {(x, y, z) R 3 x + y + z = 1 e z = x + 1}. 6 C = {(x, y, z) R 3 z = x + y e z = x + 1}. 7 C = {(x, y, z) R 3 x + y + z = 1 e (x 1) + y + (z 1) = 1}. 37. Seja f (x, y) = x +4y x +y +1. 9

10 1 Esboce as curvas de nível de f dos níveis c = 1, c = e c = 3. Encontre uma curva diferenciável γ cuja imagem seja a curva de nível de f do nível c = 1. 3 Determine o vetor tangente à curva γ do item anterior no ponto ( 1,0). 4 Seja γ : [0,π] R 3 dada por γ(t) = (sen t,cos t, z(t)). Sabendo que a imagem da curva está contida no gráfico de f, encontre o vetor tangente a γ em γ( π 3 ). 38. Combine as equações com os esboços das imagens. Justifique a sua escolha: (a) γ(t) = (cos4t, t,sen4t) (b) γ(t) = (t, t 3, t 4 + 1) 1 (c) γ(t) = (t,, t ) (d) γ(t) = (sen3t cos t,sen3t sen t, t) 1+t (e)γ(t) = (cos t,sen t,ln t) (f) γ(t) = (cos t,sen t,sen5t) Limites e continuidade 39. Calcule os seguintes limites, caso existam. Se não existirem, explique por quê: x y x (a) (b) lim y cos(x +y ) x +y x +y (c) (e) (g) (i) (k) (m) (o) lim (x,y) (0,0) lim (x,y) (0,0) lim (x,y) (0,0) x y lim (x,y) (0,0) x 3 y (x+y) lim 3 (x,y) (0,0) lim (x,y) (0,0) lim (x,y) (0,0) lim (x,y) (0,0) x 3 +y 3 x +y (d) lim x +3x y+4y 3x +5y (f) lim (h) x +y (j) lim (x,y) (0,0) x y (x,y) (0,0) x 4 +x y+y x y (x,y) (0,0) x 4 +y x lim 4 sen(x +y ) (x,y) (0,0) x 4 +y (x,y) (0,0) x 3 y+y 4 +x 4 x 3 y x y 3 (l) lim (x,y) (0,0) sen(x +y ) x +y (n) lim x y 4 x +y 8 (p) lim (x,y) (0,0) x x +y sen x 3 +sen(x +y ) y 4 +sen(x +y ) ( ) x y x +y (x,y) (0,0) (x + y )ln(x + y ) x sen y x +y 10

11 40. Determine o conjunto dos pontos de continuidade das funções abaixo: sen(x y) x y 3 (a) f (x, y) = (b) f (x, y) = e x y 1 x y (c) f (x, y) = arctan(x + 1/y) (d) f (x, y) = arcsin(x + y ) (e) f (x, y) = { (f) f (x, y) = { x y 3, se (x, y) (0,0) x +y 3 1, se (x, y) = (0,0) (x y )(x 1) (x +y )((x 1) +(y 1) ), se (x, y) (0,0) e (x, y) (1,1) 1, se (x, y) = (0,0) ou (x, y) = (1,1) 41. O domínio de uma função f é o conjunto {(x, y) R (x, y) (1,0)}. A figura abaixo mostra as curvas de nível de f nos níveis k = 0, k = 0,3, k = 0,5, k = 0,7 e k = 1. Existe f (x, y)? Justifique. lim (x,y) (1,0) Respostas () (a)-iv, (b)-vi, (c)-v, (d)-iii, (e)-i, (f)-ii; (3) Não; γ(t) = (t 3, t ); (4) (x, y) = (0,0) + t(±1,0); (6) x(θ) = r (θ senθ) e y(θ) = r (1 cosθ); (7) ,, 3 π /; (8) 8r ; (10) 6a( + ln(1 + )); (11) x(θ) = r θ + (R r )senθ e y(θ) = r θ + (R r )cosθ; (1) t = 1: x y 1 = 0 e t = : x + y 11 = 0; (15) 1 r = a; r = 1/(cosθ + 3senθ); 3 r = 1/ cos(θ); 4 r = 1/ cos θ + sen θ; 5 r = e θ ; 6 r = (cos /3 θ + sen /3 θ) 3/ ; 7 r = 1/θ; 8 r = sen(θ) ; (16) x = r t Rsen t e y = r R cos t; (1) 3 x = r cotgθ e y = r sen θ; ( () x = r sen θ e y = r tanθ sen(θ) ) ; (4) x = aθ cosθ e y = aθsenθ; (6) (a) D = {(x, y) R y x}; (b) D = {(x, y) R x 0}; (c) D = {(x, y) R x + y > 1}; (d) D = {(x, y) R y > 0}; (e) D = {(x, y) R y x + 1+k π, k Z}; (f) D = {(x, y) R x(y x)(y + x) > 0}; (g) D = {(x, y) R 4x + y < 16}; (35) 1 x = 1 t, y = t; x = t e y = t; 3 x = cosh t, y = sinh t; (36) 1 γ(t) = (cos t,sen t,cost); γ(t) = ( 1/ cos t,sen t, 1/ + (1/)sen t); 3 γ(t) = 1 (1 + cos t,sen t,1 + cos t); 4 γ(t) = (t,4t + 1, 0t + 8t + 1), t 1/; 5 γ(t) = ( 1 (1 + cos t), 1/ sen t, 1 (3 + cos t); 6 γ(t) = ( t 1, t, t +1 ); 7 γ(t) = ( 1 (1 + cos t), 1/ sen t, 1 (1 cos t)); (38) a-v, b-vi, c-i,d-iii, e-ii, f-iv; (39) Os limites (a), (d), (f), (g), (k), (o) não existem; (b), (c), (h), (i), (j), (n), (p) existem e valem zero; (l), (m) existem e valem 1; (40) (a) {(x, y) : y e x/ }; (b) {(x, y) : x y 3 e x + y 1}; (c) {(x, y) : y 0}; (d) {(x, y) : x + y 1}; (e) R ; (f) {(x, y) : (x, y) (0,0) e (x, y) (1,1)}; (41) Não. 11

12 Parte Derivadas parciais, gradiente e diferenciabilidade 1. Ache as derivadas parciais de primeira ordem das funções: (a) f (x, y) = arctan(y/x) (b) f (x, y) = ln(1 + cos (x y 3 )) (c) f (x, y) = 1 x y 1+x +y. Seja f : R R uma função diferenciável. Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de: ( ) x (a) u(x, y) = f (b) u(x, y) = f (ax + by), onde a e b são constantes. y (c) u(x, y) = f (x y x) (d) u(x, y) = f (e x +y ) 3. Dada a função f (x, y) = x(x + y ) 3 e sen(xy), ache f x (1,0). (Neste caso, usar a definição de derivada parcial é menos trabalhoso do que aplicar as regras de derivação.) 4. Verifique que a função u(x, y) = ln x + y é solução da equação de Laplace bidimensional u + u = 0. x y 5. Sejam f, g : R R, deriváveis até a. ordem. (a) Mostre que u(x, t) = f (x + ct) + g (x ct) satisfaz a equação u t = c u x. (b) Mostre que u(x, y) = x f (x + y) + yg (x + y) é solução da equação u x u x y + u y = Sejam f (x, y) = (x + y ) 3 e g (x, y) = x y 5 4. Mostre que f e g são de classe C 1 em R. 7. Calcule w t e w pela regra da cadeia e confira os resultados por meio de substituição seguida u de aplicação das regras de derivação parcial. (a) w = x + y ; x = t + u, y = tu. x (b) w = x ; x = t cosu, y = tsenu. + y (c) w = x + y + z; x = tu, y = t + u, z = t + u. 8. Seja f : R R uma função de classe C. Calcule g u, g v, em função de f x, f y nos seguintes casos: (a) g (u, v) = f (u, v 3 ) (b) g (u, v) = senu f (u 3v,u cos v) (c) g (u, v) = f (sen(u + v),cos(u v)) (d) g (u, v) = f (e u,ln(u + v)) 9. Uma função f : R \ {(0,0)} R é homogênea de grau λ se satisfaz f (t x, t y) = t λ f (x, y) para todos t > 0 e (x, y) (0,0), para um certo λ R fixo. Supondo que f é uma função de classe C homogênea de grau λ, verifique que: (a) x f x + y f y = λf ; (Relação de Euler) 1

13 (b) As funções f x e f y são homogêneas de grau λ Verifique que as funções abaixo são homogêneas e determine o grau: (a) f (x, y) = 5x + x y y (b) f (x, y) = xe x y (b) f (x, y) = 1 x 3 + y 3 x + y (c) f (x, y) = x ysen(y/x) x 4 +y Seja f (x, y) = x y x + sen(x + 3y) + y4 se (x, y) (0,0), 0 se (x, y) = (0,0). (a) Mostre que as derivadas parciais f x e f y (b) f é contínua em (0,0)? (c) f é diferenciável em (0, 0)? x 3 1. Seja f (x, y) = x + y se (x, y) (0,0), 0 se (x, y) = (0,0). (a) Mostre que f é contínua em (0,0). (b) Calcule f f (0,0) e x y (0,0). (c) f é diferenciável em (0, 0)? existem em todos os pontos. (d) São f x e f contínuas em (0,0)? y ( ) (x + y 1 )sen se (x, y) (0,0), 13. Considere f (x, y) = x + y 0 se (x, y) = (0,0). (a) Mostre que f é diferenciável em (0,0). (b) As derivadas parciais f x e f y x sen ( (x + y ) ) 14. Seja f (x, y) = são contínuas em (0,0)? x + y se (x, y) (0,0), 0 se (x, y) = (0,0). (a) Verifique que f é contínua em (0,0). (b) Determine f y (x, y),(x, y) R. (c) A função f y é contínua em (0,0)? Justifique sua resposta. (d) A função f é diferenciável em (0, 0)? Justifique sua resposta. 13

14 15. Seja f (x, y) = x y x y x, + y se (x, y) (0,0), 0 se (x, y) = (0,0). (a) Verifique que f f (0, y) = y para todo y, e que (x,0) = x, para todo x. x y (b) Verifique que f x y (0,0) = 1 e que f (0,0) = 1. y x 16. Determine o conjunto de pontos de R onde f não é diferenciável, sendo: (a) f (x, y) = 3 x 3 + y 3 (b) f (x, y) = x y (c) f (x, y) = e x 4 +y 4 (d) f (x, y) = cos( x + y ) 17. Mostre que não existe nenhuma função diferenciável f : R R tal que f (x, y) = (x y, y ) para todo (x, y) R. 18. O raio de um cilindro circular está decrescendo à taxa de 1,cm/s enquanto sua altura está crescendo à taxa de 3cm/s. A que taxa o volume do cilindro está variando quando o raio vale 80 cm e a altura vale 150 cm? 19. Sejam f : R R, diferenciável em R, com f (, ) = (a, 4) e g (t) = f (t 3 4t, t 4 3t). Determine a para que a reta tangente ao gráfico de g no ponto de abscissa 1 seja paralela à reta y = x Seja u = u(x, y) função de classe C em R e defina v(r,θ) = u(r cosθ,r senθ). Verifique que v r (r,θ) + 1 r onde, por definição, u = u xx + u y y. v r (r,θ) + 1 v r (r,θ) = u(r cosθ,r senθ), θ 1. Seja f = f (x, y) uma função de classe C e seja g : R R dada por g (u, v) = u f (u v,u + v). (a) Determine g u v em função das derivadas parciais de f. (b) Sabendo que 3x +5y = z +6 é o plano tangente ao gráfico de f, e f y (1,4) = 1, calcule g u v (,3).. Seja F (r, s) = G(e r s,r 3 cos(s)), onde G = G(x, y) é uma função de classe C em R. (a) Calcule F (r, s) em função das derivadas parciais de G. r (b) Determine F G (1,0) sabendo que r y (t + 1, t + 1) = t t + 3. f x y (1,4) = f x (1,4) = 1 14

15 3. Ache a equação do plano tangente e a equação da reta normal a cada superfície no ponto indicado: (a) z = e x +y, no ponto (0,0,1) (b) z = ln(x + y), no ponto ( 1,3,0) (c) z = x y, no ponto ( 3,,5). (d) z = e x ln y, no ponto (3,1,0). 4. Determine a equação do plano que passa pelos pontos (0,1,5) e (0,0,6) e é tangente ao gráfico de g (x, y) = x 3 y. 5. Determine k R para que o plano tangente ao gráfico de f (x, y) = ln(x +k y ) no ponto (,1, f (,1)) seja perpendicular ao plano 3x + z = Seja( f ): R R uma função derivável. Mostre que todos os planos tangentes à superfície z = x x f passam pela origem. y 7. Seja f : R R, f com derivadas parciais contínuas em R e tal que x + y + z = 7 é o plano tangente ao gráfico de f no ponto ( 0,, f (0,) ). Seja g (u, v) = u f ( sen(u v 3 ),u v ). Determine a R para que o plano tangente ao gráfico de g no ponto ( 1,1, g (1,1) ) seja paralelo ao vetor (4,, a). 8. Seja f : R R uma função diferenciável tal que as imagens das curvas γ(t) = (, t,t ) e µ(t) = (t, t,t 4 ) estejam contidas no gráfico de f. Determine o gradiente de f no ponto (,1). 9. O gradiente de f (x, y) = x + y 4 é tangente à imagem da curva γ(t) = (t, t), t > 0 em um ponto P. Encontre a equação da reta tangente à curva de nível de f que contém P, no ponto P. 30. Ache a derivada direcional máxima de f no ponto dado e dê a direção em que ela ocorre. (a) f (x, y) = xe y + 3y, (1,0); (b) f (x, y) = ln(x + y ), (1,); 31. Mostre que f (x, y) = 3 x y é contínua em (0,0) e tem todas as derivadas direcionais em (0,0). É f diferenciável em (0, 0)? 3. Seja f uma função diferenciável em R tal que γ(t) = (t + 1, t ), t R, é uma curva de nível de f. Sabendo que f x ( 1, 4) =, determine a derivada direcional de f no ponto ( 1, 4) e na direção e sentido do vetor u = (3,4). x 3 + y Seja f (x, y) = x, se (x, y) (0,0), + y 0 se (x, y) = (0,0). (a) Calcule o gradiente de f no ponto (0,0). (b) Mostre que d dt f ( γ(t) ) f ( γ(t) ) γ (t) em t = 0, onde γ(t) = ( t, t). (c) Seja u = (a,b) um vetor unitário (isto é, a +b = 1). Use a definição de derivada direcional para calcular f u (0,0). (d) f é diferenciável em (0, 0)? Justifique. 15

16 34. Seja a > 0 e considere o plano tangente à superfície x yz = a num ponto do primeiro octante. Mostre que o tetraedro formado por este plano e os planos coordenados tem volume independente do ponto de tangência. 35. Ache os pontos do hiperbolóide x y +z = 1 onde a reta normal é paralela à reta que une os pontos (3, 1,0) e (5,3,6). Máximos e mínimos 36. Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os: (a) z = x + x y + 3y + 10x 9y + 11 (b) z = 3x y + y 3x 6y + 7 (c) z = x y (d) z = x 3 y 3 (e) z = y x y x + 6y (f) z = y cos x (g) z = (x x )(y y ) (h) z = y 4 + 4x y 4x 8y (i) z = x ye x y (j) z = ln(3x + 4y x + 7) (k) z = (x 1) 3 + (y ) 3 3x 3y 37. Encontre uma parametrização para C e use esta parametrização para encontrar, caso existam, os valores máximo e mínimo de f em C, bem como os pontos onde estes valores são assumidos, onde: (a) C = {(x, y) R : x + y = 1} e f (x, y) = x 3 y. (b) C = {(x, y, z) R 3 : x + y = z e z = y} e f (x, y, z) = x z. (c) C = {(x, y, z) R 3 : x + y + z = 1e(x 1) + y + (z 1) = 1} e f (x, y, z) = xz + y. (d) C = {(x, y, z) R 3 : x + y + z = 1e x y + 3z = 3} e f (x, y, z) = x + y + z. 38. Ache a derivada direcional máxima de f no ponto dado e dê a direção em que ela ocorre. (a) f (x, y, z) = xe z + sen(y), P = (,0,0) (b) f (x, y, z) = 4 + z ln(x), P = (1,, 1) y 39. Suponha que sobre uma certa região do espaço o potencial elétrico V é dado por V (x, y, z) = 5x 3x y + x yz. (a) Ache a taxa de variação do potencial em P(3,4,5) na direção do vetor v = i + j k. (b) Em que direção V muda mais rapidamente em P? (c) Qual é a maior taxa de variação em P? 40. Ache o máximo e o mínimo absolutos da função na região D indicada. (a) f (x, y) = 5 3x + 4y; D é o triângulo (com interior e bordas) cujos vértices são (0,0), (4,0) e (4,5) (b) f (x, y) = x ye x y ; D = {(x, y) R : x + y, x 0, y 0} (c) f (x, y) = x 3 + y 4 ; D = {(x, y) R : x + y 1} (d) f (x, y) = x x y + y + 7x; D = {(x, y) R / 3 x 3, 3 y 3}. (e) f (x, y) = (4x x )cos y; D = {(x, y) R : 1 x 3, π 4 y π 4 } 41. Determine o valor máximo e o valor mínimo da função f sujeita às restrições explicitadas: 16

17 (a) f (x, y) = x y; 5x + 5y + 6x y 64 = 0 (b) f (x, y, z) = x yz; x + y + 3z = 6 (c) f (x, y, z) = x y z ; x + y + z = 1 (d) f (x, y, z) = x + y + z ; x 4 + y 4 + z 4 = 1 4. Determine o valor máximo e o valor mínimo de f em R sendo (a) f (x, y, z) = x x + y 4y + z 6z e R = {(x, y, z) : x + y + z 56} (b) f (x, y, z) = x + y + z 4x y 4z + 3x e R = {(x, y, z) : x 0, y 0, z 0, x + y + z 4} 43. Encontre o máximo e o mínimo absolutos de f (x, y) em D sendo: (a) f (x, y) = x y; D = { (x, y) : x y = 1, x [1,] } (b) f (x, y) = x 3 + y 4 ; D = { (x, y) : x + y = 1, x [0,1/4], y 0 } 44. Encontre os pontos da elipse x + x y + y = 3 mais próximos de (0,0). 45. Qual o ponto do plano x + y z + 4 = 0 que está mais próximo do ponto (1,1,1)? 46. Determine o maior produto de 3 números reais positivos cuja soma é 100. Exiba tais números. 47. Determine a distância entre as retas de equação X = (,3, 1) + α(4,1,5), α R e X = ( 1,0,3) + µ(,3,1), µ R. 48. Qual é o ponto da superfície z = x y + 1 que está mais próximo da origem? 49. Seja b 0 e f (x, y) = y4 4 + bx y bx y. (a) Determine, em função de b, o número de pontos críticos de f e classifique-os. (b) Faça b = 3 e ache os extremos de f no triângulo (fronteira e interior) de vértices (0,0), (3,3) e ( 3,3). 50. Seja f (x, y) = a(x + y ) x y, onde a é uma constante. (a) Verifique que, para todo a R, o par (0,0) é um ponto crítico de f. (b) Para cada valor de a, classifique o ponto crítico (0,0) com relação a máximos e mínimos locais e sela. Existem valores de a para os quais podemos afirmar que (0,0) é extremo global (absoluto) de f? 51. A temperatura num ponto (x, y, z) do espaço é dada por T (x, y, z) = x y + yz. Determine os pontos da esfera x + y + z = 1 onde a temperatura é mais alta e onde é mais baixa. Justifique. 5. Determine as dimensões de um paralelepípedo de volume máximo, com faces paralelas aos planos coordenados, de modo que uma das faces está contida no plano z = 0 e a correspondente face oposta tem os seus vértices no parabolóide z = 4 x y, z > Um pentágono de 1 cm de perímetro é construído colocando-se um triângulo isósceles sobre um retângulo. Dentre esses pentágonos, determine as medidas dos lados daquele que tem área máxima. 17

18 54. Determine a equação do plano que passa por (,,1) e que delimita no primeiro octante o tetraedro de menor volume. 55. Dentre todos os planos que são tangentes à superfície x y z = 1 encontre aqueles mais distantes da origem. 56. Dê as dimensões da caixa retangular sem tampa de maior volume que pode ser construída com 7cm de papelão. Respostas (1) (a) f (x, y) = y ; x x +y (c) f x (x, y) = x y y 3 y x (1+x +y ) f (x, y) = x y ; (b) f x +y x (x, y) = y3 sen(x y 3 ) 1+cos (x y 3 ), f, f y (x, y) = x y x 3 x y (1+x +y ) ; y (x, y) = 3x y sen(x y 3 ) ; 1+cos (x y 3 ) ( ) ( ) () (a) u x (x, y) = 1 y f x ; u y y (x, y) = x f x ; (b) u y y x (x, y) = a f (ax + by); u y (x, y) = b f (ax + by); (c) u x (x, y) = (y )f (x y x); u y (x, y) = x f (x y x); (d) u x (x, y) = x f (ex +y ); u (x, y) = y y f (e x +y ); (3) ; (8) (a) g u = u f x (u, v 3 ); g v = 3v f y (u, v 3 ); (b) g u = cosu f x (u 3v,u cos v) f y (u 3v,u cos v); g v = 6v f x (u 3v,u cos v) + sen v f y (u 3v,u cos v); (c) g u = cos(u + v)f x (sen(u + v),cos(u v)) sen(u v)f y (sen(u + v),cos(u v)); g v = cos(u + v)f x (sen(u + v),cos(u v)) + sen(u v)f y (sen(u + v),cos(u v)); (d) g u = ue u f x (e u,ln(u + v)) + f y (e u,ln(u+v)) u+v ; g v = f y (e u,ln(u+v)) u+v ; (10) (a) λ = ; (b) λ = 1; (c) λ = 1/3; (d) λ = ; (11) (b) Não é contínua em (0,0); (c) Não é diferenciável em (0,0); (1) (b) f x (0,0). f (0,0) = 1 e y (0,0) = 0.; (c) Não; (d)nenhuma das derivadas parciais é contínua em (13) (b) Não; (14) (b) f y (x, y) = (c) Sim; (d) Sim. { 4x y(x +y ) cos((x +y ) ) x ysen((x +y ) ) (x +y ) se (x, y) (0,0), 0 se (x, y) = (0,0). (16) (a) f não é diferenciável em nenhum ponto da reta y = x; (b) f não é diferenciável nos pontos da forma (a,0) com a 0; (c) f é diferenciável em R pois é de classe C 1 ; (d) Idem ao item (c). (18) 9600π cm 3 /s; (18) a = 3; (1) (b) 1. () (a) F = s e r s G + 6r e r s s cos s G r x x y + 9r 4 cos s G + s e r s G G y x + 6r cos s y ; (b)0; (3) (a) z = 1; X = (0,0,1) + λ(0,0,1), λ R; (b)x + y z 1 = 0; X = ( 1,3,0) + λ(,1, 1), λ R; (c) 6x 4y+z+5 = 0; X = ( 3,,5)+λ(6, 4,1), λ R; (d) e 3 y z e 3 = 0; X = (3,1,0)+λ(0,e 3, 1), λ R; (4) 6x y z + 6 = 0; (5) k = 8; (7) a = 4; (8) (1,4); (9) X = ( 1 4, 1 ) + λ( 1,1), λ R; (30) (a) 5, (1,) ; (b) 5, ( 1 5, 5) ; 18

19 ( (31) f não é diferenciável em (0,0); (3) 4/5; (33) (d) Não; (35) ± 3, 3, (36) (a) ( 3,) mínimo; (b) (/3,1), ( 4/3, 1) selas; (c) (0,λ) e (λ,0) com λ R mínimos; (d) (0,λ) e (λ,0) com λ R selas; (e) (4,4) máximo; (f) (π/ + kπ,0) com k Z selas; (g) (1,1) máximo, (0,0),(,0),(0,),(,) selas; (h) (0,0) máximo, (0,) mínimo, (0, ),( 3,1),( 3,1) selas; (i) (0,0) sela, ±(1/,1/ ) máximos, ±( 1/,1/ ) mínimos; (j) (1/3,0) mínimo; (k) (,1) e (0,3) sela; (,3) mínimo e (0,1) máximo; (37) (a) pontos de máximo: ( 3, 1 ) e ( 3, 1 ); pontos de mínimo: ( 3, 1 ) e ( 3, 1 ). (b) ponto de máximo: ( 1,1, 4 ); ponto de mínimo: ( 1,1 +, + 4 ). (c) ponto de máximo: ( 1, 1, 1 ); ponto de mínimo: ( 1, 1, 1 ). (d) ponto de mínimo: ( 1 3, 1 6, 5 6 ); não tem ponto de máximo. (38) a) 6 ; (1,1,); (b) ; ( 1,1,0); (39) (a) 3 3 ; (b) (38,6,1); (c) 406; (40) (a) máximo: f (4,5) = 13, mínimo: f (4,0) = 7; (b) máximo: f (0,0) = 0, mínimo: f ( 1/,1/ ) = 1 e ; (c) máximo: f (1,0) =, mínimo: f ( 1,0) = ; (d) máximo: f (,0) = 4, mínimo: f (3, π 4 ) = f (3, π 4 ) = f (1, π 4 ) = f (1, π 4 ) = 3. (41) (a) max f (,) = f (, ) = 4; min f (4, 4) = f ( 4,4) = 16; (b) max / 3, min / 3; (c) max 1/7, min 0; (d) max 3, min 1. (43) (a) mínimo: 3 e máximo 3; (b) mínimo: ( 15 16) e máximo 1. (44) (a) (1,1) e ( 1, 1); (45) (0, 1,); (46) n 1 = n = n 3 = ; (47) 1; (48) (0,0,1) ou (0,0, 1); ( ) 3 (49) (a) Se b > 0, temos 5 pontos críticos: + b,1 e (0, ) pontos de sela; (0, ) máximo local e (0,) mínimo local; e se b < 0, temos 3 pontos críticos: (0,0) e (0,) pontos de sela; (0, ) mínimo local; (b) Pontos de máximo: ( 3,3) e (3,3); ponto de mínimo. (0,); (50) (b) a > 1: mínimo local; 1 < a < 1: sela; a < 1: máximo local; a 1: (0,0) é ponto de mínimo global; a 1: (0,0) é ponto de máximo global; ( ) ( ) ( ) ( (51) Mais quentes: 1,, 1, 1,, 1 ; Mais frios : 1,, 1 ), 1,, 1 ; (5) O paralelepípedo tem vértices em (±1,±1,0) e (±1,±1,); (53) (53) 1( 3), (3 3), 4( 3 3); (54) x + y + z 6 = 0; (55) /5 x + 9/10 y + 9/10 z = 5; /5 x 9/10 y + 9/10 z = 5; (56) base 3cm 3cm e altura 1,5cm. 3 3 ) 19

20 Parte 3 Integrais múltiplas 1. Calcule as seguintes integrais duplas: (a) R (y 3x y 3 )dxd y, onde R = {(x, y) : 1 x,0 y 3}. (b) R xsen y dxd y, onde R = {(x, y) : 1 x 4,0 y π 6 }. (c) R 1 x+y dxd y, onde R = [1,] [0,1].. Determine o volume do sólido limitado pela superfície z = x x + y e os planos x = 0, x = 1, y = 0, y = 1 e z = Determine o volume do sólido contido no primeiro octante limitado pelo cilindro z = 9 y e pelo plano x =. 4. Calcule as integrais iteradas 1 1 x y 0 0 d ydx e 1 1 x y (x+y) dxd y. As respostas contradizem o (x+y) 3 Teorema de Fubini? Explique. 5. Calcule as seguintes integrais duplas: (a) D x y dxd y, onde D = {(x, y) : 0 x 1, x y x}. (b) D (x x y)dxd y, onde D = {(x, y) : 0 x 1, x y x}. (c) D ex/y dxd y, onde D = {(x, y) : 1 y, y x y 3 }. (d) D x cos y dxd y, onde D é a região limitada por y = 0, y = x, x = 1. (e) D 4y3 dxd y, onde D é a região limitada por y = x 6 e y = x. (f) D x y dxd y, onde D é a região do primeiro quadrante limitada pela circunferência de centro (0,0) e raio 1. (g) D (x tg x + y 3 + 4)dxd y, onde D = {(x, y) : x + y }. 6. Determine o volume do sólido S em cada um dos seguintes casos: (a) S é limitado superiormente pelo parabolóide z = x +y e sua projeção no plano x y é a região limitada por y = x e x = y. (b) S é limitado superiormente por z = x y e sua projeção no plano x y é o triângulo de vértices (1,1), (4,1) e (1,). (c) S é a região do primeiro octante limitada pelo cilindro x + z = 9 e pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e x + y =. (d) S é limitado pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e x + y + z = 1. (e) S é a região do primeiro octante limitada pelo cilindro x + y = 1 e pelos planos y = z, x = 0 e z = 0. (f) S é limitado pelos cilindros x + y = r e y + z = r. 7. Escreva as duas integrais iteradas correspondentes à integral dupla f (x, y)dx d y, onde D é a região do plano limitada pelas curvas y = x + x + e x y + 1 = 0. D 0