UNIVERSIDADE FEDERAL DA FRONTEIRA SUL CAMPUS CHAPECÓ CURSO DE CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO MARINA GIROLIMETTO

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA FRONTEIRA SUL CAMPUS CHAPECÓ CURSO DE CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO MARINA GIROLIMETTO VARIÁVEIS DE MÉRITO DE TOPOLOGIAS DE REDES ÓPTICAS DE TRANSPORTE DE TELECOMUNICAÇÕES CHAPECÓ 2014

2 MARINA GIROLIMETTO VARIÁVEIS DE MÉRITO DE TOPOLOGIAS DE REDES ÓPTICAS DE TRANSPORTE DE TELECOMUNICAÇÕES Trabalho de conclusão de curso de graduação apresentado como requisito para obtenção do grau de Bacharel em Ciência da Computação da Universidade Federal da Fronteira Sul. Orientador: Prof. Dr. Claunir Pavan CHAPECÓ 2014

3 Girolimetto, Marina Variáveis de mérito de topologias de redes ópticas de transporte de telecomunicações / Marina Girolimetto f.: il. Orientador: Claunir Pavan Trabalho de conclusão de curso (graduação) - Universidade Federal da Fronteira Sul, Curso de Ciência da Computação, Chapecó, SC, Redes de telecomunicações. 2. Dimensionamento de redes. 3. Redes ópticas. I. Pavan, Claunir, orient. II. Universidade Federal da Fronteira Sul. III. Título. c 2014 Todos os direitos autorais reservados a Marina Girolimetto. A reprodução de partes ou do todo deste trabalho só poderá ser feita mediante a citação da fonte. marina.gtto@yahoo.com.br

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5 AGRADECIMENTOS Agradeço aos meus pais, principalmente minha mãe Lindamar Costa, que me deu apoio e incentivo nas horas difíceis. Ao meu orientador, pelo empenho dedicado à elaboração deste trabalho. A Universidade Federal da Fronteira Sul, pela oportunidade de fazer o curso. A todos que direta ou indiretamente fizeram parte da minha formação.

6 RESUMO Este trabalho de conclusão de curso identifica e propõe expressões para novas variáveis de mérito para topologias de redes ópticas de transporte de telecomunicações, de forma a avançar o estado da arte relativo à caracterização deste tipo de redes. Foram identificadas como variáveis de mérito: o grau nodal, o número de saltos, a conectividade por ligações disjuntas, a conectividade por nodos disjuntos, o coeficiente de agrupamento e a centralidade de intermediação. A fim de estender o estado da arte, são propostas duas novas variáveis: número médio de saltos do caminho de trabalho e número médio de saltos do caminho de backup, considerando um roteamento alternativo àquele considerado em expressões propostas na literatura. Ainda, são propostas duas expressões semi empíricas para estimar o valor destas variáveis, apenas considerando o número de nodos e o número de ligações das topologias. Os resultados mostram que as expressões apresentam em média erros menores que 12% quando comparadas aos valores exatos de redes reais de telecomunicações. Palavras-chave: Redes de telecomunicações. Dimensionamento de redes. Redes ópticas.

7 ABSTRACT This term paper identifies and proposes semi empirical expressions of new key variables for optical transport telecommunications topologies in order to advance the state of the art relating to the characterization of this type of networks. The following key variables were identified: the nodal degree, the number of hops, link-disjoint pairwise connectivity, node-disjoint pairwise connectivity, clustering coefficient and betweenness centrality. In order to extend the state of the art, two new variables are proposed: average number of hops for working path and average number of hops for backup path, considering an alternative routing strategy from that seen in previous proposed expressions in the literature. Additionally, two semi empirical expressions are proposed to estimate the value of these variables, which requires only the number of nodes and the number of links. Results show that the expressions estimate the values average error less than 12% when compared to the exact values obtained from telecommunication networks. Keywords: Telecommunication networks. Networks dimensioning. Optical networks.

8 LISTA DE FIGURAS Figura 2.1 (a) Exemplo de topologia; (b) Matriz de adjacência Figura 2.2 Matriz do número de saltos do caminho de trabalho Figura 2.3 Matriz do número de saltos do caminho de backup Figura 2.4 Exemplo do processo de obtenção de dois caminhos disjuntos Figura 2.5 Exemplo de topologia Figura 2.6 Caminho de trabalho com o algoritmo de Dijkstra Figura 2.7 Caminho de trabalho e de backup com o algoritmo de Suurballe Figura 2.8 (a) Exemplo de topologia; (b) Matriz da conectividade por ligações disjuntas. 24 Figura 2.9 Matriz da conectividade por nodos disjuntos Figura 3.1 Diagrama de fluxo do algoritmo Figura 3.2 Interface do software NTT Gen Figura 3.3 Exemplo de saída do NTT Gen Figura 4.1 Ajuste de curva do δ = 2,5: (a) h s w ; (b) h s b Figura 4.2 Ajuste de curva do δ = 3: (a) h s w ; (b) h s b Figura 4.3 Ajuste de curva do δ = 3,5: (a) h s w ; (b) h s b Figura 4.4 Ajuste de curva do δ = 4: (a) h s w ; (b) h s b Figura 4.5 (a) 1 o s parâmetros do ajuste de curva logarítmico do h s w ; (b) 2 o s parâmetros do ajuste de curva logarítmico do h s w Figura 4.6 (a) 1 o s parâmetros do ajuste de curva logarítmico do h s b ; (b) 2o s parâmetros do ajuste de curva logarítmico do h s b Figura 4.7 Comparativo h s w : Topologias simuladas Expressão Figura 4.8 Comparativo h s b : Topologias simuladas Expressão Figura 4.9 Comparativo h s w : Topologias reais Expressão Figura 4.10 Comparativo h s b : Topologias reais Expressão

9 LISTA DE TABELAS Tabela 3.1 Variáveis de entrada do NTT Gen Tabela 4.1 Modelos definidos do SP SS Tabela 4.2 Coeficiente de determinação (R 2 ) do h s w do δ = 2, Tabela 4.3 Coeficiente de determinação (R 2 ) do h s b do δ = 2, Tabela 4.4 Coeficiente de determinação (R 2 ) do h s w do δ = Tabela 4.5 Coeficiente de determinação (R 2 ) do h s b do δ = Tabela 4.6 Coeficiente de determinação (R 2 ) do h s w do δ = 3, Tabela 4.7 Coeficiente de determinação (R 2 ) do h s b do δ = 3, Tabela 4.8 Coeficiente de determinação (R 2 ) do h s w do δ = Tabela 4.9 Coeficiente de determinação (R 2 ) do h s b do δ = Tabela 4.10 Parâmetros do h s w e do h s b da função logarítmica Tabela o Coeficiente de determinação (R 2 ) do ajuste logarítmico do h s w Tabela o Coeficiente de determinação (R 2 ) do ajuste logarítmico do h s w Tabela o Coeficiente de determinação (R 2 ) do ajuste logarítmico do h s b Tabela o Coeficiente de determinação (R 2 ) do ajuste logarítmico do h s b Tabela 4.15 Topologias de redes reais

10 LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS NTT Gen SPSS Network Transport Topology Generator Statistical Package for the Social Sciences

11 LISTA DE SÍMBOLOS δ δ i δ min δ max h h ω i,j θ i,j c i δ Grau nodal Grau do nodo i Grau nodal mínimo Grau nodal máximo Número de saltos do caminho de trabalho Número de saltos do caminho de backup Conectividade por ligações disjuntas entre os nodos i e j Conectividade por nodos disjuntos entre os nodos i e j Coeficiente de agrupamento do nodo i Grau nodal médio δ min Grau nodal mínimo médio δ max Grau nodal máximo médio h Número médio de saltos do caminho de trabalho h Número médio de saltos do caminho de backup h s w Número médio de saltos do caminho de trabalho com o algoritmo de Suurballe h s b Número médio de saltos do caminho de backup com o algoritmo de Suurballe ω θ c n i t i N L T [g] [h] Conectividade média por ligações disjuntas Conectividade média por nodos disjuntos Coeficiente de agrupamento médio Conjunto de nodos que estão diretamente ligados ao nodo i Número de triângulos existentes envolvendo o nodo i Número de nodos Número de ligações Topologia Matriz de adjacências Matriz de número de saltos do caminho de trabalho [h ] Matriz de número de saltos do caminho de backup [ω] [θ] Matriz da conectividade por ligações disjuntas Matriz da conectividade por nodos disjuntos P (i, j)probabilidade de uma ligação existir entre os nodos i e j d(i, j) Distância Euclidiana entre os nodos i e j v Distância máxima entre um par de nodos

12 α β A R l S ϕ bc med bc min bc max bc(i) Parâmetro de probabilidade de ligação Waxman Parâmetro de probabilidade de ligação Waxman Raiz quadrada do plano Número de regiões Distância mínima entre nodos Distribuição dos nodos Número de simulações Centralidade de intermediação média Centralidade de intermediação mínima Centralidade de intermediação máxima Centralidade de intermediação do nodo i σ jk (i) Número de caminhos mais curtos do nodo origem (j) ao nodo destino (k), (σ jk ), que passam pelo nodo i M1 M2 R 2 i j Q z p Primeiro caminho encontrado pelo algoritmo de Dijkstra Segundo caminho encontrado pelo algoritmo de Dijkstra Coeficiente de Determinação Nodo origem Nodo destino Conjunto de nodos no algoritmo de Dijkstra Distância de um nodo no algoritmo de Dijkstra Nodo precedente de um nodo no algoritmo de Dijkstra w(i, j)peso da ligação entre os nodos i e j no algoritmo de Dijkstra V T, δ V δ ɛ T, δ Valor exato de uma variável de mérito para uma topologia com grau δ Valor estimado de uma variável de mérito para uma topologia com grau δ Erro relativo de uma expressão

13 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO CARACTERÍSTICAS DE REDES ÓPTICAS DE TRANSPORTE Grau nodal Número de saltos Conectividade por ligações disjuntas Conectividade por nodos disjuntos Coeficiente de agrupamento Centralidade de intermediação ESTUDOS RELACIONADOS EXPERIMENTOS E RESULTADOS Expressões de aproximações para o número de saltos Regressões - Parte Regressões Grau 2, Regressões Grau Regressões Grau 3, Regressões Grau Regressões - Parte Validação das expressões do número de saltos Comparativo: Topologias simuladas Expressão Comparativo: Topologias reais Expressão Considerações Finais REFERÊNCIAS

14 14 1 INTRODUÇÃO A busca por informações empíricas em sistemas que podem ser representados por grafos, como a Internet, redes de computadores e telecomunicações, redes sociais e biológicas têm despertado grande interesse devido à sua complexidade estrutural. Em geral, estes sistemas não possuem propriedades topológicas triviais. Em redes de telecomunicações, por exemplo, o projeto topológico deve garantir uma rede confiável, que seja tolerante a alguns tipos de falhas, como a ruptura de uma ligação ou falta de energia em um nodo [16, 21]. A interconexão entre os nodos deve obedecer restrições quanto a capacidade e distância física entre os elementos de rede e também deve ser estabelecida de modo a minimizar o custo de transmissão e consumo energético para a demanda de tráfego. O processo de dimensionamento de uma rede desta categoria requer conhecimentos sobre redes complexas e é uma tarefa que consome tempo e esforço computacional. Na prática, ao dimensionar uma rede de telecomunicações, as operadoras definem um conjunto de soluções alternativas a fim de escolher, com o auxílio de uma ferramenta de dimensionamento, aquela que apresente melhor desempenho com o menor custo de instalação. Contudo, esta tarefa depende de informações detalhadas sobre a rede, incluindo as topologias de rede, os volumes de tráfego a serem suportados, as arquiteturas dos nodos e ligações e as distâncias entre nodos. Além disso, a competitividade imposta pelas transformações da economia mundial também têm aumentado a relevância do estudo do problema do dimensionamento de redes. As operadoras buscando otimizar seus processos e acelerar as tomadas de decisão, principalmente durante a definição de novas redes e serviços, procuram desenvolver métodos inovadores. Neste sentido, este trabalho buscou produzir recursos para novos métodos de apoio ao dimensionamento de redes de telecomunicações que permitam prover, rapidamente, resultados aproximados sobre custos de capital e operação. O artigo de Pavan et al. [22] apresenta uma caracterização das topologias de redes ópticas de transporte de telecomunicações. Os autores identificaram cinco variáveis chave para estas redes: o grau nodal, o número de saltos (hops) necessários para interconexão dos nodos, a conectividade por ligações disjuntas, a conectividade por nodos disjuntos e o coeficiente de agrupamento. A falta de variáveis de mérito, como as citadas em Pavan et al. [22], pode resultar na geração de topologias que não apresentam as propriedades topológicas das redes ópticas de

15 15 transporte de telecomunicações e portanto, acarretar decisões incorretas, tal como subestimação do impacto de falhas nas ligações ou nodos e erros de análise de desempenho em algoritmos de engenharia de tráfego. Neste trabalho, duas invariantes foram estendidas, o número médio de saltos por caminho de trabalho e o número médio de saltos por caminho de backup, de modo a suportar métodos de roteamento para redes sobreviventes que consideram o menor ciclo entre cada par de nodos para o estabelecimento de caminhos, diferentemente dos estudos já publicados, que consideram o roteamento por geodésias.

16 16 2 CARACTERÍSTICAS DE REDES ÓPTICAS DE TRANSPORTE A caracterização de redes de telecomunicações é um processo importante para compreender as propriedades destas redes complexas. As variáveis caracterizadas podem ser empregadas em softwares que simulam topologias físicas de redes para diferentes funções: análise de algoritmos de roteamento, balanceamento de carga, recuperação de falhas, qualidade de serviços, eficiência energética, análise tecno-econômica e análise estatística do comportamento de serviços de rede. Uma propriedade das redes de telecomunicações, é a proteção a falhas de diferentes tipos, como falha em uma única ligação, múltiplas ligações ou de nodos, para evitar que se interrompa o serviço oferecido pela rede e a perda significativa de dados. Por estas razões, as topologias físicas devem ser sobreviventes. Isto significa que a topologia de rede deve ter estratégias que mantenham seu serviço disponível mesmo com falhas. Para as redes de telecomunicações deste trabalho, as topologias de redes são sobreviventes quando em cada par de nodos (nodo origem e nodo destino) existe pelo menos dois caminhos disjuntos por ligação. Ou seja, a topologia deve ser, pelo menos 2-ligação-conexa. Nas redes de telecomunicações, as variáveis de mérito são propriedades topológicas úteis para a sua caracterização. A partir do conhecimento destas variáveis é possível, por exemplo, realizar estudos para obter expressões exatas e aproximadas, mesmo com informações incompletas sobre novas topologias. Na caracterização de redes ópticas de transporte apresentada por Pavan [21] foram identificadas as seguintes características das topologias de redes reais: O número de nodos está entre 10 e 100; Os nodos são distribuídos de acordo com a demanda de tráfego esperado em cada área geográfica; Um conjunto de nodos forma um ciclo quando a região abriga um conjunto de pelo menos três nodos (ciclos permitem sobrevivência à quebra/falha de uma ligação); Quando um nodo é único dentro de uma região, a sobrevivência tende a ser fornecida através da ligação do nodo para, pelo menos, dois nodos em regiões vizinhas. No caso das regiões com dois nodos, os nodos tendem a ser diretamente ligados e também cada um tende a ser ligado a, pelo menos, um nodo de uma região vizinha. Desta forma uma

17 17 rede de transporte pode também ser vista como um conjunto de redes menores (uma para cada região). Além desta visão holística, o autor Pavan [21] encontrou algumas variáveis relevantes: o grau nodal, δ, o número de saltos, h, a conectividade por ligações disjuntas, ω i,j, a conectividade por nodos disjuntos, θ i,j, e o coeficiente de agrupamento, c i. Nas seções seguintes, estas variáveis e adicionalmente a centralidade de intermediação, bc(i), são descritas com mais detalhes. 2.1 Grau nodal O grau nodal, δ, representa o número de ligações, L, incidentes a um nodo de uma topologia de rede. Ou seja, sendo T uma topologia, o grau nodal i, δ i, é o número de ligações adjacentes a i. Os nodos podem ter dois graus diferentes se as ligações são consideradas unidirecionais (graus de entrada e de saída) [15]. Porém para este trabalho, considera-se que as ligações são bidirecionais. Nas topologias sobreviventes, o grau nodal mínimo deve ser dois, δ min = 2. Contudo, essa condição é necessária mas não suficiente, para fins de sobrevivência. Existem algoritmos que auxiliam a definição de topologias que suportam uma ou mais falhas em suas ligações ou nodos [18, 19]. As topologias de redes podem ser representadas como uma matriz N N adjacente [g] (onde N é o número de nodos), na qual os elementos g i,j possuem valor 1 ou 0 para indicar se os pares de nodos origem-destino (i, j) são adjacentes ou não. (a) (b) Figura 2.1: (a) Exemplo de topologia de rede 2-conexa N=6 e L=7; (b) Matriz de adjacência, [g], da topologia de rede da Figura 2.1(a). Na topologia da Figura 2.1(a) o grau nodal 1 é 2, pois existe uma ligação com o nodo 2 e uma com o nodo 3. O grau nodal 2 será 2 também, devido a ligação com os nodos 1 e 4. O grau nodal 3 será 3, porque ele se liga com os nodos 1, 4 e 5, e assim é determinado o grau nodal

18 18 de cada nodo da topologia de rede. Este número pode ser obtido através da equação do grau nodal i (equação 2.1) com a construção da matriz de adjacência [g] e soma dos valores da linha do número do nodo na matriz. A matriz de adjacência [g] da topologia de rede da Figura 2.1(a) pode ser visualizada na Figura 2.1(b). N δ i = g i,j (2.1) j=1 Para encontrar o grau nodal médio da rede, δ, deve-se seguir a equação 2.2, onde todos os graus nodais de T são somados e o resultado é dividido por N. O grau nodal médio da topologia de rede da Figura 2.1(a) é δ = 2, 33. δ = 1 N δ i (2.2) N i=1 O grau nodal se relaciona com a densidade da rede, pois ela é uma propriedade que define a fração de ligações que uma topologia possui ( o grau nodal médio é através da equação L N(N 1) ). Então, outra maneira de calcular δ = 2L N (2.3) A densidade da rede também se relaciona a outras variáveis de mérito, como o número de saltos do caminho de trabalho h e o número de saltos do caminho de backup h. Nas redes de transporte de telecomunicações a densidade é um fator de grande importância já que as redes dependem do nível de desenvolvimento econômico e social de uma região para definir limites de custos na implantação da rede, manutenções e modernizações futuras [34]. Na tese do autor Pavan [21], 29 redes reais foram identificadas e caracterizadas (Arnes, Arpanet, Austria, Bren, Canarie, Cesnet, Cox, Eon, Geant2, Germany, Internet 2, Italy, Lambdarail, Loni, Memorex, Metrona, Mzima, Newnet, NSFNET, Omnicom, Pionier, Portugal, Renater, RNP, Sanet, Spain, USA 100, vbns e Via Network). Para estas redes, o grau nodal, δ i, varia entre 2 e 10 e o grau nodal médio, δ, varia de δ = 2,18 a δ = 4,14, com desvio padrão entre 0,4 a 2. Considerando todas as redes, se tem δ * = 2, Número de saltos O número de saltos é a distância entre um par de nodos i, j. Neste trabalho, o valor da distância é a soma do número de ligações deste par de nodos. O conjunto de ligações que

19 19 interligam um par de nodos é chamado de caminho. Em redes reais, caminhos de trabalho carregam o tráfego normal e caminhos de backup providenciam uma rota alternativa para carregar o tráfego em caso de falhas (ou manutenção da rede). Para identificar o número médio de saltos de uma rede, h, se obtêm a matriz de número de saltos [h]. Para a construção dessa matriz, deve-se considerar um algoritmo de roteamento. A matriz de saltos da topologia de rede da Figura 2.1(a) é mostrada na Figura 2.2. Ela foi construída com o algoritmo de roteamento pelo caminho mais curto em número de ligações (geodésicas), o algoritmo de Dijkstra [2]. Como a topologia é bidirecional, é necessário apenas preencher a matriz triangular superior ou a inferior, pois os valores serão os mesmos. Figura 2.2: Matriz do número de saltos do caminho de trabalho, [h], da topologia de rede da Figura 2.1(a). Após obter a matriz de saltos [h], o número médio de saltos de uma topologia de rede, h, pode ser calculado através da equação 2.4. Onde todos os elementos da matriz triangular superior são somados e o resultado é dividido pelo número de elementos que fazem parte da matriz (o N(N 1) 2 retorna a quantidade de elementos da matriz triangular superior). A topologia da Figura 2.1(a) tem o número médio de saltos de h = 1,67. h = N 1 2 N(N 1) i=1 j=i+1 N h i,j (2.4) O número médio de saltos pode ser calculado (utilizando a mesma equação) para o caminho de trabalho e para o caminho de backup. O caminho de trabalho trará o resultado descrito anteriormente, em que o caminho mais curto em ligações é o escolhido. Já o caminho de backup, geralmente é o segundo caminho mais curto disjunto por ligação. O número de saltos do caminho de backup é conhecido como h e na tese de Pavan [21] procede da mesma maneira que o número de saltos do caminho de trabalho para encontrar o número médio de saltos do caminho de backup, o que muda é sua matriz de saltos que terá valores maiores ou iguais da matriz de saltos do caminho de trabalho. Na topologia da Figura 2.1(a) o h = 3,13. É possível visualizar a matriz do número de saltos do caminho de backup, [h ], na Figura 2.3.

20 20 Figura 2.3: Matriz do número de saltos do caminho de backup, [h ], da topologia de rede da Figura 2.1(a). A variável do número de saltos pode ser usada para descobrir o número de transponders e outras variáveis de mérito, como a excentricidade da rede. Nas redes reais do estudo do autor Pavan [21], o número de saltos do caminho de trabalho, h, varia entre 1 e 21 e o número médio de saltos, h, varia entre 2 a 8,5 com desvio padrão entre 0,7 e 4,6. Considerando todas as redes se tem h * = 3,4. O algoritmo de roteamento utilizado para encontrar o caminho mais curto do mesmo estudo foi o Dijkstra. O algoritmo de Dijkstra, criado por Edsger Dijkstra, tem o objetivo de encontrar o caminho mais curto por ligação de um nodo origem a um nodo destino em uma topologia. Por exemplo na topologia da Figura 2.1(a), o caminho mais curto saindo do nodo 2 para chegar no nodo 6, considerando que o peso das ligações é 1, é o caminho " ". Este algoritmo tem tempo computacional de O([L + N] ln N) e seu pseudocódigo pode ser visualizado no algoritmo abaixo. Algoritmo 1: Pseudocódigo do algoritmo de Dijkstra 1 enquanto Q φ faça 2 i extrair min(q); 3 para cada j adjacente a i faça 4 se z[j] > z[i] + w(i, j) então 5 z[j] z[i] + w(i, j); 6 p[j] i; 7 Q Q {j}; 8 fim 9 fim 10 fim Onde Q é o conjunto de nodos, z é a distância de um nodo, p identifica o nodo precedente do nodo analisado, w(i, j) é o peso (weight) da ligação entre os nodos i e j e em "extrair min(q)" se extrai o elemento i com menor valor z[i]. Além deste algoritmo de roteamento, existem outros que também podem ser utilizados

21 21 para definir o número de saltos, como o algoritmo de Suurballe [19]. Contudo, os valores poderão ser diferentes. O algoritmo de Suurballe, criado por J. W. Suurballe tem o objetivo de encontrar dois caminhos mais curtos e disjuntos por ligação, ou seja, sem nenhuma ligação compartilhada entre os dois caminhos. Este algoritmo segue os seguintes passos: 1. Utiliza o algoritmo de Dijkstra para encontrar o primeiro caminho mais curto; 2. O pesos das ligações do caminho mais curto encontrado são alterados e recebem um peso maior. Esta parte é conhecida como "transformação de custos". A troca de custos ocorre desta forma: c i,j = N e c j,i = 0, se (i, j) M 1 c i,j = c i,j = c i c j e c j,i = c i c j se (i, j) M 1 e (j, i) M 1 c i,j = 0 e c j,i = N se (j, i) M 1 Em que c i,j é o custo do nodo origem i e do nodo destino j, N é o número de nodos e M1 é o caminho encontrado pelo algoritmo de Dijkstra. 3. O algoritmo de Dijkstra é usado novamente. Como os pesos das ligações do caminho mais curto foram alterados, nessa nova busca outro caminho mais curto será encontrado; 4. Os dois caminhos encontrados passam por uma verificação para descobrir se compartilham alguma ligação. Se compartilham, os dois caminhos são redefinidos de forma a evitar a ligação compartilhada, conforme ilustra a Figura 2.4, em que as ligações iguais são as circuladas, M1 é o primeiro caminho do algoritmo de Dijkstra e M2 é o segundo caminho do algoritmo de Dijkstra. Ao realizar isto, a ligação em comum entre os dois caminhos é excluída. Se os caminhos não compartilham ligações, os caminhos encontrados anteriormente são sobreviventes e disjuntos por ligação e serão os utilizados para caminho de trabalho e de backup. Portanto, o algoritmo de Suurballe retorna dois caminhos disjuntos por ligações. Nas redes de telecomunicações, o primeiro caminho retornado é o caminho de trabalho e o segundo caminho é o caminho de backup. Caso o algoritmo de Suurballe não encontre dois caminhos disjuntos, então a topologia de rede não é sobrevivente a uma falha em uma ligação. Ou seja, a topologia não é 2-ligação-conexa.

22 22 Figura 2.4: Exemplo do processo de obtenção de dois caminhos disjuntos com o algoritmo de Suurballe. É possível notar com apenas a descrição dos algoritmos (Dijkstra e Suurballe) que poderá existir uma diferença no valor do número de saltos ao usar um algoritmo ou outro, pois o algoritmo de Dijkstra sempre procurará o caminho mais curto, enquanto o algoritmo de Suurballe procurará dois caminhos mais curtos que não compartilhem ligações entre um par de nodos. O número de saltos com o algoritmo de Suurballe sempre será igual ou maior para o caminho de trabalho e de backup do que o número de saltos com o algoritmo de Dijkstra. A diferença entre um algoritmo e outro pode ser melhor visualizada através da topologia de rede da Figura 2.5, 2-conexa com N=8 e L=9. Figura 2.5: Exemplo de topologia de rede 2-conexa com N=8 e L=9. Supondo que o nodo 3 seja o nodo origem e o nodo 7 seja o nodo destino, o algoritmo de Dijkstra retornará este caminho como de trabalho: " " e um caminho de backup não será encontrado (Figura 2.6). Já o algoritmo de Suurballe retornará estes caminhos: " " e " " (Figura 2.7, em tracejado o caminho de trabalho e em pontos o caminho de backup). Assim, percebe-se que enquanto o algoritmo de Dijkstra terá apenas um caminho, o algoritmo de Suurballe terá dois para esta topologia. Porém, os dois caminhos do algoritmo de Suurballe precisarão de quatro ligações entre os pares de nodos origem e destino, enquanto

23 23 Figura 2.6: Caminho de trabalho com o algoritmo de Dijkstra. Figura 2.7: Caminho de trabalho e de backup com o algoritmo de Suurballe. o caminho do algoritmo de Dijkstra precisará de três ligações. Contudo, com o algoritmo de Suurballe a topologia será sobrevivente e disjunta por ligação, diferentemente do que com o algoritmo de Dijkstra. 2.3 Conectividade por ligações disjuntas Uma vez que uma falha pode afetar vários recursos compartilhados, a conectividade deve ser suficiente para permitir a recuperação. Técnicas de recuperação geralmente contam com caminhos de nodos e/ou ligações disjuntas para garantir que os caminhos de trabalho e de backup não sejam afetados pela mesma falha única [31]. A conectividade é uma medida que depende do número de caminhos disjuntos. A conectividade por ligações disjuntas, ω i,j, é o número de caminhos que não compartilham as mesmas ligações entre os pares de nodos i, j. O valor de ω i,j 1 indica também o número máximo de falhas de ligação suportáveis. Por exemplo, em uma rede com ω i,j = 2, para todos os pares de nodos, é tolerada uma falha única de ligação [3, 9], para ω i,j = 3, no máximo duas falhas de ligação são toleradas e assim por diante. A conectividade média por ligações

24 24 disjuntas, ω, é calculada a partir da equação 2.5. ω = N 1 2 N(N 1) i=1 j=i+1 N ω i,j (2.5) A título de exemplo, apresenta-se uma topologia com N=8 e L=13 (Figura 2.8(a)) para o cálculo do ω, onde na matriz da conectividade por ligações disjuntas, [ω], (Figura 2.8(b)) o número de caminhos disjuntos de cada par de nodos são inseridos. O resultado para a conectividade média por ligações disjuntas da rede, ω, será a soma dos elementos da matriz triangular superior multiplicada por N(N 1) 2. A conectividade média por ligações disjuntas desta topologia é ω = 2, 46. (a) (b) Figura 2.8: (a) Exemplo de topologia de rede 2-ligação-conexa N=8 e L=13; (b) Matriz da conectividade por ligações disjuntas, [ω]. Nas redes reais do estudo de Pavan [21], a conectividade por ligações disjuntas é ω i,j 7. O desvio padrão varia entre 0 a 0,9. As médias de conectividade por ligações disjuntas, ω, aumentam com δ. Considerando todas as redes se tem ω * = 2, Conectividade por nodos disjuntos Diferente da conectividade por ligações disjuntas, a conectividade por nodos disjuntos, θ i,j, é o número de caminhos com nodos disjuntos entre os pares de nodos i, j. O valor de θ i,j também indica a tolerância de falha de nodos. Uma vez que se tem caminhos com nodos disjuntos implica em caminhos com ligações disjuntas, permitindo a sobrevivência contra as falhas de nodos e de ligações [23]. A equação da conectividade média por nodos disjuntos, θ,

25 25 é apresentada em 2.6. θ = N 1 2 N(N 1) i=1 j=i+1 N θ i,j (2.6) Considerando a topologia da Figura 2.8(a), onde na matriz da conectividade por nodos disjuntos, [θ], (Figura 2.9) o número de caminhos disjuntos de cada par de nodos são inseridos. O resultado para a conectividade média por nodos disjuntos da rede, θ, será a soma dos elementos da matriz triangular superior multiplicada por N(N 1) 2. A conectividade média por nodos disjuntos desta topologia é θ = 2, 18. Figura 2.9: Matriz da conectividade por nodos disjuntos, [θ], da topologia de rede da Figura 2.8(a). Para as redes de referência de Pavan [21], o valor da conectividade por nodos disjuntos está entre 1 θ i,j 7. A conectividade média por nodos disjuntos, θ, também tende a aumentar com δ e para topologias sobreviventes contra falhas únicas de nodo, a conectividade varia entre 2 e 3. Considerando todas as redes se tem θ * = 2, Coeficiente de agrupamento O coeficiente de agrupamento de um nodo, c i, representa a probabilidade de dois vizinhos de um nodo, n i, estarem conectados [32]. Isto ocorre quando há um nodo A conectado a um nodo B e o nodo B está conectado a um nodo C, então existem chances do nodo A se conectar ao nodo C, ou seja, formar um triângulo na rede (conjuntos de três nodos conectados uns aos outros) [15]. Os valores do coeficiente de agrupamento variam de c i = 0 a c i = 1, sendo que quanto mais próximo de 1, mais perto estará de uma topologia em malha completa [28]. Para topologias bidirecionais, o coeficiente de agrupamento de um nodo é definido como: c i = 2t i δ i (δ i 1) (2.7)

26 26 em que t i é o número de triângulos existentes envolvendo o nodo i e seus n i vizinhos. A equação do coeficiente de agrupamento médio, c, pode ser visualizada em 2.8. c = 1 N N c i (2.8) i=1 Por exemplo, na topologia da Figura 2.8(a), verifica-se em quantos triângulos cada nodo faz parte. Nesta topologia, o nodo 1 faz parte de 1 triângulo, portanto o coeficiente de agrupamento para este nodo será, de acordo com a equação 2.7, c1 = 2 1 2(2 1) = 1. Para o nodo 2 será c2 = 2 4 5(5 1) = 0,4. E assim sucessivamente para os outros nodos. Após ser obtido todos os coeficientes de cada nodo da topologia, os valores dos coeficientes dos nodos são somados e divididos por N. O resultado para esta topologia de rede será c = 0,7. Em uma rede, quando o valor do grau médio aumenta, o valor do coeficiente de agrupamento também tende a aumentar [32]. O coeficiente de agrupamento médio, c, das redes do estudo de Pavan [21] varia de 0 a 0,69, com desvio padrão entre 0 e 0,4. Considerando todas as redes se tem c * = 0, Centralidade de intermediação A centralidade de intermediação mede quantos menores caminhos entre todos os pares de nodos de uma topologia de rede passam através de um determinado nodo. A intermediação de um nodo pode medir a influência deste sobre os outros nodos da topologia de rede [6]. A centralidade de intermediação de um nodo é calculado através da fórmula 2.9 bc(i) = j i kɛn σ jk (i) σ jk (2.9) onde σ jk é o número total de caminhos mais curtos do nodo origem (j) ao nodo destino (k) e σ jk (i) é o número de caminhos mais curtos (σ jk ) que passam por i (nodo a ser analisado). Portanto, primeiro se calcula os caminhos mais curtos entre os pares de nodos origem e destino. Em seguida, são obtidos os caminhos mais curtos (fração) que passam através do nodo que está sendo analisado. Este valor é somado e assim é obtida a centralidade de intermediação de um nodo. O nodo com o maior valor será o nodo central da topologia de rede.

27 27 3 ESTUDOS RELACIONADOS As variáveis de mérito de redes de telecomunicações podem ser utilizadas em ferramentas de geração automática de topologias de redes. Atualmente existem alguns geradores de topologias de redes disponíveis. Por exemplo, no artigo de Waxman [33], o autor apresenta um modelo para gerar topologias aleatórias, onde os nodos são distribuídos sobre um plano e ligações são adicionadas à topologia usando uma função de probabilidade baseada na distância Euclidiana entre os nodos. Nos geradores apresentados pelos autores Cheng et al. [1], Jin et al. [10], Magoni [12], Medina et al. [14], Palmer e Steffan [20] e Tomasik [29] a distribuição do grau nodal das redes geradas segue uma lei de potência (power-law). Contudo, esses esforços focaram em produzir topologias com as características da Internet, que é uma rede livre de escala (scale-free network) [4]. As topologias de redes livres de escala contêm poucos nodos com um grau alto enquanto a maioria dos nodos têm grau baixo (somente algumas ligações). Para este trabalho, o foco foi em redes ópticas de transporte de telecomunicações que possuem características invariantes diferentes das redes com topologias livres de escala. Assim, topologias que simulem a Internet ou baseadas em lei de potência não servem para análises em redes ópticas de transporte de telecomunicações [21]. Os autores Girolimetto et al. [8] desenvolveram a ferramenta NTT Gen (Network Transport Topology Generator). A fim de tornar este trabalho de conclusão de curso autocontido, apresenta-se a seguir o funcionamento da ferramenta, já que foi utilizada na geração de topologias para tratamento neste trabalho. O NTT Gen gera topologias físicas de redes ópticas de transporte de telecomunicações baseado no modelo de Waxman [33]. Topologias geradas através deste software apresentam uma distribuição do grau nodal que tende a Poisson, a mesma distribuição identificada para redes reais de telecomunicações [22]. A probabilidade, P (i, j), de uma ligação existir entre um par de nodos (i, j) segundo o modelo de Waxman, é dada por: P (i, j) = βe d(i,j)/vα (3.1) em que d(i, j) é a distância Euclidiana entre os nodos origem e destino (i, j), v é a distância máxima entre dois nodos e α e β são parâmetros para calibração que tem intervalo entre 0 e 1. Valores maiores em β resultam topologias com alta densidade de ligação, enquanto valores menores em α aumentam a densidade de ligações curtas em relação a outras mais longas.

28 28 O fluxograma do processo do NTT Gen pode ser visto na Figura 3.1. Figura 3.1: Diagrama de fluxo do algoritmo. Dado um conjunto de entradas (ver Tabela 3.1), o software simula um plano de lado A, onde as topologias serão instaladas. Este plano será dividido em R regiões de igual tamanho (indicação {1} na Figura 3.1). Variável A N R l α β δ min δ max S ϕ Descrição Lado do plano Número de nodos Número de regiões Distância mínima entre nodos Parâmetro de probabilidade de ligação Waxman Parâmetro de probabilidade de ligação Waxman Grau nodal mínimo médio Grau nodal máximo médio Posição dos nodos (variável ou uniforme) Número de simulações Tabela 3.1: Variáveis de entrada do NTT Gen Após a divisão do plano em regiões, um número de nodos é atribuído a cada região {2}. Este número de nodos é aleatório, contudo, considera as restrições de distância mínima entre os nodos e espaço dentro de cada região. A distribuição pode ser realizada de modo uniforme ou

29 29 de modo variável. No modo uniforme o número de nodos N é dividido pelo número de regiões R e, portanto, cada região recebe o mesmo número de nodos (exceto quando N for um número ímpar não divisível por R e quando R > N). No modo variável cada região pode receber uma quantidade diferente de nodos. Para isto acontecer, o algoritmo sorteia inicialmente um número entre 0 e o número de nodos que caberiam na primeira região (canto superior esquerdo da área), ou o total de nodos N (considera o que for menor) e insere os nodos. Se ainda restarem nodos para serem distribuídos nas regiões vizinhas, o algoritmo executa o mesmo passo até inserir todos. Caso os nodos não couberem na área, o software é finalizado. Depois da inserção dos nodos no plano, podem existir regiões sem nodos, com um nodo, com dois ou mais de dois nodos. Na sequência são feitas as ligações entre os nodos de uma mesma região {3}. Uma vez que os nodos no interior de cada região estão interconectados, é possível interligar os nodos entre as diferentes regiões {4}. A partir de então, é verificado se a topologia alcançou o grau nodal mínimo médio, δ min, esperado (valor definido pelo usuário). Se o grau nodal mínimo médio estipulado nos parâmetros de entrada for maior que o grau nodal médio, δ, atual {5}, então ligações são adicionadas {6} até o grau nodal mínimo médio ser atingido. Estas novas ligações também obedecem a probabilidade de Waxman. Enquanto o grau nodal médio estiver no intervalo estipulado na entrada do software, cada nova topologia gerada é armazenada {9}, desde que seja sobrevivente. A verificação da sobrevivência ocorre através do algoritmo de Suurballe [19] {8}. A validação no NTT Gen é executada repetidamente até se obter uma topologia sobrevivente e quando encontrar não é preciso nova validação (apenas numa nova simulação) quando novas ligações são adicionadas {6}, pois não se altera a característica de sobrevivência. Neste ponto, caso o número de simulações, ϕ, não tenha chegado ao máximo escolhido {10}, as variáveis serão zeradas {11} e novos posicionamentos para os nodos no plano serão definidos para criar novas topologias. A Figura 3.2 apresenta a interface da versão descrita anteriormente do software NTT Gen. O software cria dois arquivos de saída. Em um dos arquivos são registradas as posições dos nodos no plano em coordenadas (x, y), junto com a informação das ligações das topologias e o comprimento de cada ligação. No outro arquivo são armazenadas as medidas: número médio de saltos do caminho de trabalho, h, número médio de saltos do caminho de backup, h,

30 30 Figura 3.2: Interface do software NTT Gen. grau nodal mínimo médio, δ min, grau nodal médio, δ, grau nodal máximo médio, δ max, centralidade de intermediação mínima, bc min, centralidade de intermediação média, bc med, e centralidade de intermediação máxima, bc max, de cada topologia. O software está disponível para download [7] e outras medidas e alterações estão sendo implementadas em novas versões do software [30]. A validação das topologias geradas pelo método utilizado no NTT Gen foi estudada [22], sendo observado através de testes estatísticos paramétricos e não paramétricos de Kolmogorov-Smirnov [26, 27], que as medidas das variáveis das topologias resultantes deste método seguem as mesmas distribuições das variáveis das redes reais, ao nível de significância de 5%. A Figura 3.3 exibe um exemplo de saída do software para uma topologia de rede. Figura 3.3: Exemplo de saída do NTT Gen: a) medidas calculadas para cada topologia gerada; b) e c) ligações diretas entre os nodos e posição dos nodos no plano, respectivamente; d) visualização gráfica de uma topologia gerada.

31 31 No âmbito das variáveis de mérito de redes de telecomunicações, existem estudos relacionados a este trabalho. Em um deles os autores Labourdette et al. [11] apresentaram expressões para uma rede óptica em malha com entradas limitadas para estimar o desempenho de restauração (mecanismo para sobrevivência da rede). Os operadores e pesquisadores usam expressões aproximadas para obter valores da rede quando não possuem toda a informação ou quando o esforço computacional é muito alto no processo de dimensionamento de redes. Em outro estudo, o autor Pavan [21] identificou as seguintes variáveis: o coeficiente de proteção, o coeficiente de restauração e o número de saltos do caminho de trabalho e do caminho de backup, e para os quais também apresentou expressões analíticas de aproximação. As expressões para h e h foram obtidas a partir de um conjunto significativo de redes realísticas e podem ser visualizadas nas equações 3.2 e 3.3. { h exp 0, 14 ln(n) 0, 22 + } 0, 75 ln(n) + 0, 2 δ { = exp 0, , 2 } (3.2) 0,75 0,14+( N δ ) δ { h exp 0, 09 ln(n) 0, 12 + { = exp 0, 12 + } 0, 76 ln(n) + 1, 72 δ } (3.3) 1, 72 0,76 0,09+( N δ ) δ Contudo, as expressões propostas por Pavan [21] para h e h consideram o menor caminho usando o algoritmo de Dijkstra. Neste caso, há diversas topologias que suportam caminhos de trabalho e backup simultaneamente mas não podem garantir sobrevivência por proteção de caminho, já que os caminhos podem não ser disjuntos. Novas expressões podem ser utilizadas para proteção de ligação com outra forma de roteamento onde os caminhos serão (garantidamente) disjuntos e portanto pode-se calcular a proteção por caminho. Neste trabalho, vamos estender o trabalho realizado por Pavan [21] propondo duas novas expressões de aproximação, considerando uma forma diferente de roteamento através do algoritmo de Suurballe.

32 32 4 EXPERIMENTOS E RESULTADOS As características de um conjunto significativo de redes ópticas de transporte reais [24] e também variáveis de grafos foram estudadas para identificar aquelas que poderiam ser importantes para a caracterização dessas redes reais. Este estudo ocorreu a partir de artigos publicados em conferências e em periódicos especializados e livros de grafos [17]. Algumas das variáveis identificadas foram implementadas na ferramenta NTT Gen [8] para em seguida, verificar através de regressões e ajustes de curvas [25] se possuem um bom coeficiente de determinação 1. Milhares de topologias com diversos dados das medidas das variáveis de mérito a serem estimadas foram necessárias para proceder com as regressões, portanto, várias simulações foram realizadas com o software NTT Gen. Ao obter estes dados, o software SPSS (Statistical Package for the Social Sciences) [5, 13] foi utilizado para desempenhar as regressões. Este capítulo mostra expressões estimadas de duas das variáveis de mérito estudadas e todos os passos para sua obtenção como também a sua validação. As variáveis de mérito que foram estimadas são o número médio de saltos pelo caminho de trabalho, h s w, e o número médio de saltos pelo caminho de backup, h s b, com roteamento pelo algoritmo de Suurballe. 4.1 Expressões de aproximações para o número de saltos Para estimar uma expressão de uma variável de rede, é importante ter muitos dados de topologias de redes com tamanhos diferentes. Para este trabalho, com o software NTT Gen foram realizadas execuções com 19 tamanhos de redes (de 10 a 100 nodos, aumentando de 5 em 5) e 4 tamanhos de grau mínimo e máximo para cada conjunto de nodos (2,5, 3,0, 3,5 e 4). Em cada execução buscava-se 1000 topologias para cada conjunto de nodos e em cada conjunto de nodos o grau foi alterado 4 vezes. Como resultado, foram obtidos 19,000 registros para cada grau, totalizando 76,000 registros de topologias de redes Regressões - Parte 1 A partir dos registros das simulações foi possível executar regressões através do software SPSS. A definição de cada modelo utilizado em todas as regressões está na Tabela Demonstra o quanto um modelo estatístico pode explicar os dados observados variando de 0 a 1, onde 0 quer dizer que não é possível explicar e 1 que a variável é 100% explicada pelo modelo.

33 33 Modelo Equação Linear y = b 0 + b 1 x Logarítmico y = b 0 + b 1 ln x Inversa y = b 0 + b 1 x Quadrática y = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 Potência y = b 0 x b 1 S (Sigmoidal) y = e b 0+ b 1 x Exponencial y = b 0 e b 1 x Tabela 4.1: Modelos definidos do SP SS. As regressões realizadas nesta parte, tinham como objetivo encontrar a função com o melhor ajuste de curva dependente do valor do número de nodos N. Portanto, em cada conjunto de nodos pertencente a um grau, foi realizado uma regressão. Então, uma regressão foi feita para o conjunto de redes com grau 2,5, uma regressão para as redes com grau 3, uma regressão para as redes com grau 3,5 e uma regressão para as redes com grau 4. O modelo de ajuste de curva que obtivesse o melhor coeficiente de determinação na maioria dos casos dos conjuntos de graus seria o determinado para o trabalho nesta etapa. Isso foi realizado para as duas variáveis. Nas regressões, para o h s w, a variável dependente foi o h s w e a variável independente foi o número de nodos N. Para o h s b, a regressão teve como variável dependente o hs b e como variável independente o número de nodos N Regressões Grau 2,5 Na regressão do conjunto de dados do grau 2,5 na variável h s w, a curva de potência teve o melhor coeficiente de determinação (0,963) (Tabela 4.2). Modelo Parâmetros estimados Equação R 2 b 0 b 1 b 2 Linear 0,901 2,417 0,045 Logarítmico 0,957-2,729 1,990 Inversa 0,825 6,348-52,673 Quadrática 0,953 1,401 0,094 0,000 Potência 0,963 0,741 0,481 S 0,925 1,914-13,444 Exponencial 0,825 2,645 0,010 Tabela 4.2: Coeficiente de determinação (R 2 ) do h s w do δ = 2,5. O número médio de saltos do caminho de trabalho, h s w, para o grau 2,5 variou de 1,93 a 8,35. Na Figura 4.1(a) é mostrado o gráfico do ajuste de curva dos dados do grau 2,5. Os

34 34 valores do eixo X representam o número de nodos das topologias de rede e o eixo Y representa o h s w. As topologias da imagem estão ordenadas por tamanho em número de nodos. (a) (b) Figura 4.1: Ajuste de curva do δ = 2,5: (a) h s w ; (b) h s b. Na regressão do conjunto de dados do grau 2,5 na variável h s b, a curva S teve o melhor coeficiente de determinação (0,918) (Tabela 4.3). Modelo Parâmetros estimados Equação R 2 b 0 b 1 b 2 Linear 0,820 4,604 0,062 Logarítmico 0,912-2,746 2,810 Inversa 0,830 10,129-76,413 Quadrática 0,900 2,782 0,151-0,001 Potência 0,916 1,600 0,412 S 0,918 2,372-11,748 Exponencial 0,757 4,796 0,009 Tabela 4.3: Coeficiente de determinação (R 2 ) do h s b do δ = 2,5. O número médio de saltos do caminho de backup, h s b, para o grau 2,5 variou de 3,4 a 14,79. Na Figura 4.1(b) é mostrado o gráfico do ajuste de curva dos dados do grau 2,5. Os valores do eixo X representam o número de nodos das topologias de rede e o eixo Y representa o h s b.

35 Regressões Grau 3 Na regressão do conjunto de dados do grau 3 na variável h s w, a curva logarítmica obteve o melhor coeficiente de determinação (0,977) (Tabela 4.4). Modelo Parâmetros estimados Equação R 2 b 0 b 1 b 2 Linear 0,898 2,201 0,028 Logarítmico 0,977-1,050 1,249 Inversa 0,867 4,663-33,549 Quadrática 0,968 1,470 0,063 0,000 Potência 0,969 0,835 0,384 S 0,938 1,586-10,763 Exponencial 0,824 2,307 0,008 Tabela 4.4: Coeficiente de determinação (R 2 ) do h s w do δ = 3. O número médio de saltos do caminho de trabalho, h s w, para o grau 3 variou de 1,73 a 5,34. Na Figura 4.2(a) é mostrado o gráfico do ajuste de curva dos dados do grau 3. (a) (b) Figura 4.2: Ajuste de curva do δ = 3: (a) h s w ; (b) h s b. Na regressão do conjunto de dados do grau 3 na variável h s b, a curva logarítmica também teve o melhor coeficiente de determinação (0,950) (Tabela 4.5). O número médio de saltos do caminho de backup, h s b, para o grau 3 variou de 2,78 a 8,41. Na Figura 4.2(b) é mostrado o gráfico do ajuste de curva dos dados do grau 3.

36 36 Modelo Parâmetros estimados Equação R 2 b 0 b 1 b 2 Linear 0,846 3,638 0,035 Logarítmico 0,950-0,488 1,574 Inversa 0,874 6,729-43,016 Quadrática 0,937 2,573 0,086 0,000 Potência 0,940 1,586 0,321 S 0,930 1,943-9,110 Exponencial 0,784 3,726 0,007 Tabela 4.5: Coeficiente de determinação (R 2 ) do h s b do δ = Regressões Grau 3,5 Na regressão do conjunto de dados do grau 3,5 na variável h s w, a curva logarítmica obteve o melhor coeficiente de determinação (0,981) (Tabela 4.6). O número médio de saltos do caminho de trabalho, h s w, para o grau 3,5 variou de 1,6 a 4,52. Na Figura 4.3(a) é mostrado o gráfico do ajuste de curva dos dados do grau 3,5. (a) (b) Figura 4.3: Ajuste de curva do δ = 3,5: (a) h s w ; (b) h s b. Na regressão do conjunto de dados do grau 3,5 na variável h s b, a curva logarítmica também teve o melhor coeficiente de determinação (0,966) (Tabela 4.7). O número médio de saltos do caminho de backup, h s b, para o grau 3,5 variou de 2,38 a 6,6. Na Figura 4.3(b) é mostrado o gráfico do ajuste de curva dos dados do grau 3,5.

37 37 Modelo Parâmetros estimados Equação R 2 b 0 b 1 b 2 Linear 0,898 2,025 0,022 Logarítmico 0,981-0,575 0,998 Inversa 0,876 3,992-26,883 Quadrática 0,970 1,433 0,051 0,000 Potência 0,971 0,838 0,348 S 0,940 1,424-9,750 Exponencial 0,828 2,103 0,008 Tabela 4.6: Coeficiente de determinação (R 2 ) do h s w do δ = 3,5. Modelo Parâmetros estimados Equação R 2 b 0 b 1 b 2 Linear 0,860 3,066 0,027 Logarítmico 0,966-0,148 1,226 Inversa 0,889 5,475-33,539 Quadrática 0,951 2,242 0,067 0,000 Potência 0,951 1,403 0,302 S 0,941 1,733-8,570 Exponencial 0,796 3,134 0,006 Tabela 4.7: Coeficiente de determinação (R 2 ) do h s b do δ = 3, Regressões Grau 4 Na regressão do conjunto de dados do grau 4 na variável h s w, a curva logarítmica mais uma vez obteve o melhor coeficiente de determinação (0,985) (Tabela 4.8). Modelo Parâmetros estimados Equação R 2 b 0 b 1 b 2 Linear 0,895 1,905 0,019 Logarítmico 0,985-0,322 0,854 Inversa 0,889 3,588-23,126 Quadrática 0,971 1,386 0,044 0,000 Potência 0,971 0,829 0,326 S 0,948 1,314-9,175 Exponencial 0,825 1,966 0,007 Tabela 4.8: Coeficiente de determinação (R 2 ) do h s w do δ = 4. O número médio de saltos do caminho de trabalho, h s w, para o grau 4 variou de 1,56 a 3,96. Na Figura 4.4(a) é mostrado o gráfico do ajuste de curva dos dados do grau 4. Na regressão do conjunto de dados do grau 4 na variável h s b, a curva logarítmica também obteve o melhor coeficiente de determinação (Tabela 4.9).

38 38 Modelo Parâmetros estimados Equação R 2 b 0 b 1 b 2 Linear 0,872 2,767 0,022 Logarítmico 0,975 0,120 1,011 Inversa 0,896 4,754-27,612 Quadrática 0,961 2,099 0,055 0,000 Potência 0,961 1,339 0,281 S 0,945 1,588-7,940 Exponencial 0,810 2,823 0,006 Tabela 4.9: Coeficiente de determinação (R 2 ) do h s b do δ = 4. O número médio de saltos do caminho de backup, h s b, para o grau 4 variou de 2,22 a 5,43. Na Figura 4.4(b) é mostrado o gráfico do ajuste de curva dos dados do grau 4. (a) (b) Figura 4.4: Ajuste de curva do δ = 4: (a) h s w ; (b) h s b. Como o ajuste logarítmico obteve o melhor coeficiente de determinação em três casos dos conjuntos de graus em ambas as variáveis, foi o escolhido para definir a expressão dependente do N para o h s w e o h s b Regressões - Parte 2 A função logarítmica determinada nas regressões realizadas na parte 1, é definida pela equação 4.1 em que b 0 e b 1 são parâmetros e o x é a variável dependente. y = b 0 + b 1 ln(x) (4.1)

39 39 Em cada regressão anterior, o ajuste retornava os valores dos parâmetros. Estes parâmetros podem ser visualizados na Tabela Desta forma a expressão resultante dependeria apenas de N. Para tornar a expressão dependente de N e L novas regressões foram necessárias. Grau 1 o s h s w 2 o s h s w 1 o s h s b 2o s h s b 2,5-2,729 1,990-2,746 2, ,050 1,249-0,488 1,574 3,5-0,575 0,998-0,148 1, ,322 0,854 0,120 1,011 Tabela 4.10: Parâmetros do h s w e do h s b da função logarítmica. Nas novas regressões, uma regressão teria como variável dependente os primeiros parâmetros do grau e como variável independente o grau nodal médio, δ. E uma outra regressão para os segundos parâmetros do grau como variável dependente e o grau nodal médio, δ, como variável independente. Verificando assim, qual seria a melhor função do ajuste de curva de cada parâmetro. Para as regressões do h s w, nos primeiros parâmetros, o resultado obtido foi a função quadrática com o melhor coeficiente de determinação (Tabela 4.11). A função quadrática é definida pela equação 4.2 em que b 0, b 1 e b 2 são parâmetros e o x é a variável dependente. y = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 (4.2) Modelo Parâmetros estimados Equação R 2 b 0 b 1 b 2 Linear 0,842-6,171 1,539 Logarítmico 0,888-7,034 5,041 Inversa 0,927 3,930-16,071 Quadrática 0,986-20,788 10,808-1,426 Tabela 4.11: Coeficiente de determinação (R 2 ) da regressão dos primeiros parâmetros do h s w. Considerando os parâmetros das Tabelas 4.2, 4.4, 4.6 e 4.8. Os parâmetros desta função obtidas com o software SPSS são: -20,788 (b 0 ), 10,808 (b 1 ), -1,426 (b 2 ). Na Figura 4.5(a) é possível ver o gráfico dos primeiros parâmetros. O eixo X representa o grau nodal, δ, e o eixo Y representa os primeiros parâmetros. Ainda nas regressões do h s w, nos segundos parâmetros, o resultado obtido também foi a função quadrática com o melhor coeficiente de determinação (Tabela 4.12). Os parâmetros desta função são: 9,770 (b 0 ), -4,612 (b 1 ), 0,597 (b 2 ). Na Figura 4.5(b) é possível ver o gráfico

40 40 (a) (b) Figura 4.5: (a) 1 o s parâmetros do ajuste de curva logarítmico do h s w ; (b) 2 o s parâmetros do ajuste de curva logarítmico do h s w. Modelo Parâmetros estimados Equação R 2 b 0 b 1 b 2 Linear 0,874 3,651-0,732 Logarítmico 0,916 4,052-2,388 Inversa 0,949-1,135 7,589 Quadrática 0,990 9,770-4,612 0,597 Potência 0,966 9,667-1,789 S 0,986-1,601 5,639 Exponencial 0,937 7,265-0,552 Tabela 4.12: Coeficiente de determinação (R 2 ) da regressão dos segundos parâmetros do h s w. Considerando os parâmetros das Tabelas 4.2, 4.4, 4.6 e 4.8. dos segundos parâmetros. O eixo X representa o grau nodal, δ, e o eixo Y representa os segundos parâmetros. Com isso, foi obtido a expressão para o número de saltos do caminho do trabalho com o algoritmo de Suurballe (equação 4.3), onde N e L são os valores requisitados. { ( ) } 2 h s 2L 2L w 20, , ( 1, 426) + N N { ( ) } 2 2L 2L 9, 77 + ( 4, 612) + 0, 579 ln(n) N N (4.3) Para tornar a expressão mais simples, os ln(n) foram distribuídos:

41 41 h s w { 20, , 808 2L N 9, 77 ln(n) + ( 4, 612) ln(n) + ( 1, 426) 2L N ( ) } 2 2L N + + 0, 579 ln(n) ( ) (4.4) 2 2L N E o 2L N e ( 2L N )2 foram fatorados de modo que os termos comuns foram juntados. Por fim se obteve a expressão da equação 4.5 para o número de saltos do caminho de trabalho h s w. h s w ( 20, , 77 ln(n) ) 2L +(10, 808 4, 612 ln(n)) N (4.5) ( ) 2 2L +( 1, , 597 ln(n)) N Para as regressões do h s b, nos primeiros parâmetros, o resultado obtido foi a função quadrática com o melhor coeficiente de determinação (Tabela 4.13). Os parâmetros desta função são: -27,023 (b 0 ), 14,723 (b 1 ), -1,990 (b 2 ). Na Figura 4.6(a) é possível ver o gráfico dos primeiros parâmetros. (a) (b) Figura 4.6: (a) 1 o s parâmetros do ajuste de curva logarítmico do h s b ; (b) 2o s parâmetros do ajuste de curva logarítmico do h s b. Na regressão dos segundos parâmetros do h s b, o resultado obtido também foi a função quadrática com o melhor coeficiente de determinação (Tabela 4.14). Os parâmetros desta função são: 15,855 (b 0 ), -7,786 (b 1 ), 1,021 (b 2 ). Na Figura 4.6(b) é possível ver o gráfico dos segundos parâmetros.

42 42 Modelo Parâmetros estimados Equação R 2 b 0 b 1 b 2 Linear 0,775-6,625 1,778 Logarítmico 0,827-7,668 5,890 Inversa 0,874 5,177-18,889 Quadrática 0,967-27,023 14,723-1,990 Tabela 4.13: Coeficiente de determinação (R 2 ) da regressão dos primeiros parâmetros do h s b. Considerando os parâmetros das Tabelas 4.3, 4.5, 4.7 e 4.9. Modelo Parâmetros estimados Equação R 2 b 0 b 1 b 2 Linear 0,851 5,390-1,149 Logarítmico 0,895 6,028-3,759 Inversa 0,933-2,143 11,971 Quadrática 0,985 15,855-7,786 1,021 Potência 0,961 18,653-2,149 S 0,982-1,726 6,782 Exponencial 0,930 13,213-0,663 Tabela 4.14: Coeficiente de determinação (R 2 ) da regressão dos segundos parâmetros do h s b. Considerando os parâmetros das Tabelas 4.3, 4.5, 4.7 e 4.9. Com isso, foi obtido a expressão para o número de saltos do caminho de backup com o algoritmo de Suurballe (equação 4.6), onde N e L são os valores requisitados. h s b { { 27, , , ( 7, 786) 2L N ( ) } 2 2L + ( 1, 99) + N ( ) } 2 2L + 1, 021 ln(n) N 2L N (4.6) Para tornar a expressão mais simples, os ln(n) foram distribuídos: h s b { 27, , 723 2L N + ( 1, 99) 15, 855 ln(n) + ( 7, 786) ln(n) 2L N ( ) } 2 2L N + + 1, 021 ln(n) ( ) (4.7) 2 2L N E o 2L N e ( 2L N )2 foram fatorados de modo que os termos comuns foram juntados. Por fim

43 43 se obteve a expressão da equação 4.8 para o número de saltos do caminho de backup h s b. h s b ( 27, , 855 ln(n) ) 2L +(14, 723 7, 786 ln(n)) N (4.8) ( ) 2 2L +( 1, , 021 ln(n)) N As expressões: 4.5 e 4.8 podem ser utilizadas para estimar valores que extrapolam o intervalo definido (por exemplo para um N=110). 4.2 Validação das expressões do número de saltos Para validar as expressões propostas em 4.5 e 4.8, foi calculado o erro das variáveis de mérito. O cálculo foi realizado através da equação 4.9 comparando os valores do número de saltos das topologias simuladas com os das topologias das expressões aproximadas e também o número de saltos das topologias das redes reais com os das topologias das expressões aproximadas. ɛ T, δ = V T, δ V δ V T, δ 100 (4.9) Onde V T, δ é o valor exato para uma topologia com grau δ e V δ é a estimativa obtida com as expressões Comparativo: Topologias simuladas Expressão Para comparar o valor do número de saltos das topologias simuladas com o valor do número de saltos da expressão foi verificado o erro em cada conjunto de grau δ. Para obter o valor do número de saltos a partir da expressão, foi dado o N e o L de acordo com o N e L das topologias simuladas. Então, 19,000 valores do número de saltos foram obtidos com a expressão para um determinado grau. Isso foi realizado para cada conjunto de grau, ou seja, ao final, obteve-se 76,000 valores do número de saltos com a expressão: 76,000 para o h s w e 76,000 para o h s b. Em seguida, o erro foi calculado com a equação 4.9 para cada conjunto de grau. Com isso, foi alcançado 19,000 medidas de erros em cada conjunto. Para encontrar o erro médio, estes valores foram somados e o resultado foi dividido por 19,000. Então, haviam 4 erros médio (um para cada conjunto de grau) para o h s w e 4 para o h s b. O erro relativo para o grau 2,5 da variável h s w foi: 4,22%, para o 3: 3,05%, para o 3,5: 2,96% e para o 4: 2,05%. Ao visualizar estes valores é possível perceber que o erro diminuía

44 44 à medida que o grau aumentava, isso também se relaciona ao coeficiente de determinação que, aumentando o número de ligações se aproximava cada vez mais de 1 (valor ideal). A média do erro total do h s w foi: 3,07%. Na Figura 4.7 é possível visualizar os gráficos que comparam os valores do h s w das topologias de rede simuladas e das topologias de rede da expressão de todos os conjuntos de graus. As topologias das imagens estão ordenadas por tamanho em número de nodos. (a) (b) (c) (d) Figura 4.7: Comparação dos valores do h s w das topologias de redes simuladas com o h s w estimado para topologias com (a) δ = 2,5, (b) δ = 3, (c) δ = 3,5 e (d) δ = 4. O erro relativo para o grau 2,5 da variável h s b foi: 4,76%, para o 3: 3,92%, para o 3,5: 4,31% e para o 4: 2,39%. Nestes valores, o erro também diminuiu a medida que o grau aumentou, porém com excessão do grau 3,5, que obteve a maioria do número de saltos das topologias simuladas maiores que o número de saltos estimado da expressão, por isso o erro ficou maior. A média do erro total do h s w foi: 3,85%. Na Figura 4.8 é possível visualizar os gráficos que comparam os valores do h s b das topologias de rede simuladas e das topologias de rede da expressão de todos os conjuntos de