Diferenças Finitas na Valoração de Opções Europeias e Americanas. Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em Matemática e Aplicações

Transcrição

1 Diferenças Finitas na Valoração de Opções Europeias e Americanas Margarida Mirador Fernandes Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em Matemática e Aplicações Júri Presidente: Orientadores: Vogais: Prof Doutor Diogo Gomes Prof Doutor Carlos Alves Prof Doutora Ana Bela Cruzeiro Doutor José Gonçalves Prof Doutor Juan Acebron Novembro 2009

2

3 Agradecimentos O poder estar a escrever estas palavras significa que cheguei ao fim de um longo caminho Caminho esse que seria muito mais difícil de percorrer se não fosse a ajuda de algumas pessoas Começo então por agradecer aos meus pais a confiança que depositaram em mim ao longo da minha vida e por me terem ajudado a tornar a pessoa que sou hoje Muito obrigada! Agradeço também aos meus orientadores Professor Carlos Alves, Professora Ana Bela Cruzeiro e José Gonçalves pelas valiosas orientações ao longo deste trabalho, assim como a paciência e disponibilidade para ajudar Agradeço ainda à empresa Closer, nas pessoas de João Cruz, Fernando Matos e João Jarego por terem acreditado em mim e me terem dado a oportunidade de fazer um trabalho tão motivante como este Aos meus amigos, pela amizade que demonstraram ao longo de vários anos e pela tremenda paciência que tiveram comigo nesta recta final Com uma palavra de agradecimento especial a André Vasconcelos e Nuno Santos, pelas horas que perderam comigo não só ao longo desta dissertação, mas durante todo curso Dedicado a Piedade Augusta Fernandes, para quem desistir nunca foi alternativa i

4 ii

5 Resumo Com base no modelo de Black-Scholes e aplicando esquemas de diferenças finitas simulámos a determinação do preço de opções europeias e americanas Duas vias de resolução foram seguidas: a transformação da equação de Black-Scholes na equação do calor e a transformação logarítmica do valor do activo subjacente As duas abordagens aproximam bem a solução analítica da equação de Black-Scholes No entanto, não é possível adaptar a resolução via equação do calor a situações reais -pois o parâmetro volatilidade presente no modelo de Black-Scholes, é considerado constante ao longo do tempo e da variação do valor do activo, mas deve variar com o preço de exercício e a data de maturidade das opções Assim, a resolução pela segunda abordagem é mais geral a primeira É feita uma aplicação a dados reais, utilizando o modelo de volatilidade local para determinarmos uma superfície de volatilidade consistente com a equação de Black-Scholes Ao aplicar esta superfície de volatilidade local ao método de diferenças finitas, é possível fazer a calibração do modelo de Black-Scholes, obtendo uma aproximação razoável comparando com os verdadeiros preços do mercado Palavras-chave: Modelo de Black-Scholes, opções europeias, opções americanas, diferenças finitas, Modelo de Volatilidade Local iii

6 iv

7 Abstract Starting with the Black-Scholes model, we used finite differences schemes to value European and American options Two approaches will be considered: the transformation of the Black-Scholes equation in the heat equation and the logarithmic transformation of the asset value The two approaches provide a good approximation to the analytical solution of the Black- Scholes equation However, it is not possible to adapt the approach using the heat equation to the real world - as the volatility is assumed to be constant with time and asset value, in the standard Black-Scholes model In real world models but the truth is that it changes with strike price and maturity date of the options - thus, the second approach presents is more general An application to real data, using the Local Volatility Model to determine a volatility surface consistent with the Black-Scholes equation will be presented Applying this local volatility surface to the finite difference method, it is possible to calibrate the Black-Scholes model, obtaining a reasonable approximation of the real market values Keywords: Black-Scholes Model, European options, American options, finite difference schemes, Local Volatility Model v

8 vi

9 Conteúdo Agradecimentos Resumo Abstract i iii v 1 Introdução 1 2 Modelos financeiros em equações diferenciais estocásticas 3 21 Produtos Derivados 3 22 Processos estocásticos e valor de um activo 6 23 Modelo de Black-Scholes Contratos de Opções Tratamento da equação de Black-Scholes e a sua aplicação a opções 16 3 Diferenças finitas na valoração de opções Diferenças finitas - Generalidades Discretização da Equação de Black-Scholes - Opções Europeias Discretização da Equação de Black-Scholes - Opções Americanas Métodos aplicados a opções com barreiras 48 4 Calibração da volatilidade nos modelos Volatilidade implícita e volatilidade local Interpolação multidimensional com RBFs Aplicação a dados reais 55 5 Conclusões e Perspectivas 63 vii

10 viii

11 Lista de Figuras 31 Quebra da condição de estabilidade do método explícito via equação do calor (opção de compra) Quebra da condição de estabilidade do método explícito via equação do calor (opção de venda) Quebra da condição de estabilidade do método explícito via directa (opção de compra) Quebra da condição de estabilidade do método explícito via directa (opção de venda) Convergência dos esquemas explícito, implícito e de Crank-Nicolson para uma opção padrão europeia (via equação do calor) Convergência dos esquemas explícito, implícito e de Crank-Nicolson para uma opção padrão europeia (via directa) Comparação do erro obtido para os esquemas implícitos para uma opção europeia de compra (via equação do calor) Comparação do erro obtido para os esquemas implícitos para uma opção europeia de venda (via equação do calor) Solução analítica da equação de Black-Scholes para opções padrão Erros obtidos através do esquema explícito via equação do calor (opção de compra) Erros obtidos através do esquema implícito via equação do calor (opção de venda) Erros obtidos através do esquema Crank-Nicolson via equação do calor (opção de compra) Erros obtidos através do esquema explícito via tranformação z = Log(S) (opção de venda) Erros obtidos através do esquema implícito via tranformação z = Log(S) (opção de compra) Erros obtidos através do esquema de Crank-Nicolson via tranformação z = Log(S) (opção de venda) Convergência dos esquemas explícito, implícito e de Crank-Nicolson para opções padrão americanas de compra e venda (via equação do calor) Convergência dos esquemas explícito, implícito e de Crank-Nicolson para opções padrão americanas de compra e venda (via directa) 48 ix

12 318 Convergência dos esquemas explícito, implícito e de Crank-Nicolson para uma opção Knock-Out Europeia Convergência dos esquemas explícito, implícito e de Crank-Nicolson para uma opção Knock-In Europeia Volatilidades implícitas de opções europeias Interpolação da volatilidade implícita Volatilidade local 57 x

13 Lista de Tabelas 31 Erros relativos da aproximação de v para várias opções padrão europeias Tabela de apoio à leitura do gráfico da figura Tabela de apoio à leitura do gráfico da figura Erros relativos da aproximação do valor de opções a partir de dados reais Dados recolhidos - parte I Dados recolhidos - parte II Dados recolhidos - parte III 61 xi

14 Capítulo 1 Introdução Os derivados são hoje produtos muito utilizados nos mercados financeiros e o seu contínuo crescimento deve-se à necessidade de evitar o risco por parte dos investidores Derivados, tal como o nome indica, são contratos que derivam/dependem de um qualquer activo financeiro, e podem ser utilizados para fazer cobertura de risco, especulação e arbitragem O valor de um activo financeiro é muito volátil e investir directamente neste é uma atitude de grande risco Os derivados surgem assim como uma forma de investir em activos de um modo menos arriscado, havendo uma grande variedade de contratos que se podem fazer mediante as ambições de cada um Apesar de existirem mercados de derivados, onde o preço destes é estabelecido e publicado todos os dias, não existe uma regra para prever qual o seu valor no futuro Na verdade, como estes dependem do valor do activo sobre o qual são realizados, também o seu valor tem uma grande imprevisibilidade, quase aleatória, e por isso difícil de quantificar Surge assim a necessidade de criar modelos matemáticos a partir dos quais se possa determinar o seu valor Os derivados que iremos tratar nesta dissertação são os contratos de opções Em 1973, F Black e M Scholes [3], propuseram um modelo para descrever o comportamento de opções europeias, a equação diferencial de Black-Scholes, dando ainda, num caso simplificado, a solução analítica para o preço de opções padrão europeias de compra e venda No entanto, para outros tipos de opções, como as opções de estilo americano e/ou exóticas, a solução não é válida e temos de recorrer a métodos numéricos (integração numérica em cálculo estocástico, Monte-Carlo, árvores binomiais ou diferenças finitas) Para algumas opções é possível definir o seu valor através do valor esperado do lucro a obter Esta definição vem na forma de integral e é possível resolver o problema através de integração numérica No entanto, esta solução só é válida para casos muito limitados - a opção tem de ser europeia e o lucro não pode, em geral, depender do percurso Devido a todas estas restrições, este método é raramente utilizado O método de Monte-Carlo foi aplicado pela primeira vez a opções europeias em 1977, por Boyle [5] e consiste na simulação de uma grande quantidade de caminhos possíveis efectuados pelos activos subjacentes, sendo o valor da opção em questão, a média do lucro obtido em cada um dos activos, para um determinado instante É um método muito adequado para opções que dependem de vários activos No entanto não será recomendado quando tratamos com opções 1

15 americanas, onde o lucro obtido tem de ser calculado em todos os pontos do domínio e não num único ponto Também em 1977, Schwartz [21], aplica o método de diferenças finitas ao cálculo do preço de opções Este é um método clássico para resolução de equações diferenciais através da aproximação das suas derivadas Fazendo uma discretização do domínio, é possível com as condições de fronteira adequadas, determinar todos os pontos que o compõem, aproximando assim a solução Para o caso das opções, a equação diferencial utilizada é a equação de Black-Scholes, e como este método calcula a solução em todos os pontos é, ao contrário do método de Monte-Carlo, bastante adequado para fazer a valoração de opções americanas Nesta dissertação pretendemos determinar o valor de opções padrão europeias e americanas e ainda opções barreira Para isso, e baseados no modelo simplificado de Black-Scholes, iremos encontrar a solução do problema através do método de diferenças finitas No entanto, o modelo de Black-Scholes tem o problema de utilizar um parâmetro que se supõe conhecido e constante, a volatilidade do mercado, o que não se adequa à realidade De facto, a volatilidade varia com o preço de exercício e a data de maturidade de cada opção, o que significa que varia ao longo do tempo e mediante o valor do activo Assim, e para adaptar o modelo de Black-Scholes à realidade iremos utilizar o modelo de volatilidade local ([9], [7]), que nos permite a partir dos preços do mercado determinar a volatilidade em função do valor do activo subjacente e do tempo Este trabalho divide-se em três capítulos principais: Começaremos no capítulo 2 por introduzir conceitos de matemática financeira e a sua ligação aos processos estocásticos Depois apresentaremos o modelo de Black-Scholes e conheceremos melhor os contratos de opções, objecto principal do nosso estudo Ainda neste capítulo são apresentadas duas vias de tratamento da equação de Black-Scholes de modo a aplicar os métodos de diferenças finitas, apresentados no capítulo 3 O capítulo 3, tem como objectivo a aplicação do método de diferenças finitas na resolução da equação de Black-Scholes, através das duas abordagens apresentadas no capítulo 2, para opções padrão europeias e americanas e opções com barreira No capítulo 4 iremos mostrar como o modelo de Black-Scholes, aliado ao modelo de volatilidade local, pode ser adaptado a situações reais Procedemos assim à calibração do modelo e apresentamos um exemplo com dados reais 2

16 Capítulo 2 Modelos financeiros em equações diferenciais estocásticas 21 Produtos Derivados Nos mercados financeiros, um derivado é um instrumento cujo valor depende de outros bens (variáveis subjacentes) Ou seja, são contratos entre duas entidades tendo em vista a troca de activos numa determinada data Estas variáveis podem ser quase tudo, desde os investimentos mais comuns em acções, índices, taxas de juro, matérias primas, etc, até coisas menos óbvias, como por exemplo futuras condições meteorológicas 1 Os tipos de derivados variam consoante as características do contrato em questão Futuros, contratos a termo, opções e permutas são exemplos de derivados hoje muito comercializados em várias instituições financeiras Os contratos a termo são realizados entre duas partes onde uma concorda em vender e outra em comprar um certo activo a um determinado preço, numa determinada data Estes contratos têm a vantagem de serem negociados em mercados onde as duas partes discutem entre si as suas cláusulas, o que tem a desvantagem de terem uma negociação demorada, o sistema de preços ser ineficiente e poder haver incumprimento nas transacções Por outro lado os futuros, são contratos onde as duas partes não precisam de se encontrar, pois são negociados em mercados organizados que protegem os investidores contra o incumprimento, apresentando contratos standardizados e transparentes, sendo a sua estrutura anunciada publicamente Ambos os contratos, a termo e futuros, implicam obrigação à compra/venda do activo, ao contrário das opções que nos dão esse direito Existem dois tipos principais de opções: opções de venda e opções de compra, que como o nome indica, dão ao detentor do contrato a opção de venda ou de compra de um certo activo Apesar de o detentor poder escolher se quer ou não exercer a opção, tem de pagar um certo valor pelo contrato Por fim, provavelmente o tipo de derivados mais utilizado, são as permutas que envolvem trocas 1 Os contratos de derivados sobre as condições meteorológicas são comercializados desde 1997, e já têm visibilidade no Chicago Mercantile Exchange Group 3

17 de fluxos de pagamentos entre duas entidades ao longo do período do contrato As mais utilizadas são as que envolvem taxas de juro Um exemplo de permuta é a situação em que uma das entidades tem mais vantagens se pagar uma taxa de juro variável, quando o activo em causa está indexado a uma taxa de juro fixa Esta entidade pode fazer uma permuta de taxas de juro com uma outra que esteja na posição oposta, saindo ambas beneficiadas com o contrato Aplicações dos derivados Os derivados são produtos muito versáteis, podendo por isso ser usados de várias formas pelos investidores Podemos destacar três estratégias de aplicação dos derivados: cobertura de risco, especulação e arbitragem Cobertura de risco é uma forma de utilizar os derivados para reduzir o risco dos movimentos desfavoráveis no mercado Com os futuros e contratos a termo podemos reduzir o risco fixando o preço a pagar pelo activo Neste caso, reduzimos o risco, mas também podemos perder muito (se os movimentos do mercado forem contrários) No caso das opções a situação é diferente pois estas reduzem o risco dando a segurança de que não perdemos mais que um certo valor, permitindo tirar benefício se as movimentações do mercado forem favoráveis (basta exercer a opção) Designa-se por especulação a utilização dos derivados para aumentar o lucro quando o valor da variável subjacente tende para a direcção esperada Se pensarmos que o preço de um activo vai subir, podemos entrar, por exemplo, num contrato de opção para venda desse activo Se o preço evoluir como esperado, sairemos a ganhar A arbitragem ocorre quando existem discrepâncias nos diferentes mercados e é possível obter lucro a partir de um contrato sem risco Se o preço do mesmo derivado é diferente em dois mercados, podemos comprar o derivado no mercado que apresenta um preço mais baixo e vendê-lo no outro, saindo seguramente a ganhar Valor de um derivado Com todas estas formas de aplicar os derivados, estes tornam-se muito mais atractivos de negociar do que as variáveis subjacentes No entanto, para que as instituições financeiras possam comprar/vender derivados é necessário saber o preço deles, e isso nem sempre é fácil O preço de um derivado deve ser tal que nenhuma das partes do contrato tenha lucros fáceis Isto é, o valor do derivado deve ser equilibrado de forma a que a entidade que quer comprar(vender) não possa, através de uma transacção oposta, tirar lucro Para encontrar o valor justo de um derivado, existem duas ideias que se devem ter em conta: o valor temporal do dinheiro e a não-arbitragem Antes de passarmos a um exemplo do valor de um derivado em concreto, são apresentados de seguida dois conceitos que nos irão acompanhar ao longo deste trabalho Valor temporal do dinheiro Uma certa quantia de dinheiro recebida hoje vale mais que a mesma quantia recebida daqui a um ano Isto deve-se ao valor temporal do dinheiro, que pressupõe que se possuirmos um certo 4

18 valor x hoje, podemos investi-lo sem risco e obter um valor superior daqui a um certo tempo Este investimento é feito mediante o pagamento de um juro sem risco Existem várias formas de fazer esse investimento, mas o juro de capitalização contínua será o que nos interessa Vejamos qual será o preço do valor M investido com um juro deste tipo Consideremos que a taxa de juro sem risco é representada pela letra r Suponhamos que investimos M a uma taxa de juro anual r, paga n vezes por ano, ou seja, ao fim de um ano, o valor investido valerá M(1 + r n )n Para encontrar a fórmula do juro de capitalização contínua anual basta pensarmos em n, donde sai que o valor de um investimento de M em tempo t (anos) é lim M(1 + r n n )nt = Me rt (21) De agora em diante, compreenda-se que um investimento sem risco a tempo t sobre um activo é o seu valor actual, S 0, acrescido pelo valor dos juros sem risco, r, ou seja, S 0 e rt Não arbitragem Um dos conceitos onde assenta a teoria da matemática finaceira é o de não poder haver hipóteses de arbitragem Como foi dito atrás, hipótese de arbitragem é a possibilidade de tirar partido das diferenças de preços dos mercados Ainda que, na prática, este tipo de hipóteses seja possível, estas não duram o tempo suficiente antes que os próprios mercados evoluam de modo a eliminálas 2, tornando-as desprezáveis quando modelamos os mercados Para não haver oportunidade de arbitragem dois produtos com iguais propriedades têm de ter o mesmo preço O calculo do valor de um derivado simples é apresentado de seguida para consolidar este conceito Exemplo 1 (Valor de um Futuro) Um futuro implica a obrigação da compra/venda de um activo numa determinada data T Suponhamos que este activo tem valor actual S 0 O valor deste derivado tem de ser igual ao valor de um investimento sem risco sobre S 0 durante um tempo T O valor temporal do dinheiro implica que esse valor seja S 0 e rt Se assim não for, existem hipóteses de arbitragem: Imaginemos que o valor do derivado, fixemos F, no mercado é acima desse valor Neste caso, qualquer entidade pode pedir um empréstimo no valor de S 0 a pagar no tempo T, comprar a acção e vender o derivado em causa No fim do tempo T deve ser pago S 0 e rt Por outro lado como é recebido o valor do derivado obtém-se um lucro de F S 0 e rt De modo análogo, se o valor x for abaixo deste valor, a entidade pode, comprando o derivado, vendendo a acção pelo valor S 0 e investindo o seu valor, ganhar S 0 e rt F Eliminando estas hipótese, o valor do futuro terá de ser F = S 0 e rt Este caso é simples, mas normalmente existe a necessidade de calcular o valor de derivados mais complexos Nas secções seguintes, são apresentados os modelos financeiros que seguiremos para encontrar o valor justo das opções 2 Se existirem dois derivados iguais com preços diferentes no mercado, há a tendência para comprar com o preço mais baixo e vendê-lo pelo preço mais alto No entanto, o aumento da procura do derivado com o valor mais baixo faz subir o preço deste e, o aumento da oferta do outro fá-lo descer Rapidamente ambos os valores se igualam 5

19 22 Processos estocásticos e valor de um activo São muitos os factores que influenciam o valor de um activo Seja uma variação esperada ou inesperada no valor do activo, depois de acontecer, é sempre possível determinar as suas causas, mas impossível quantificá-la a priori No entanto, é possível descrever as suas flutuações através de processos estocásticos 3 Em 1900, Bachelier [2], faz a primeira ligação entre o valor de um activo e as leis probabilísticas Descreve o valor de um activo como um processo estocástico, onde o preço de um activo segue uma distribuição gaussiana e não revela informação sobre variações futuras Apesar das suas ideias não terem sido bem aceites na altura, construiu os alicerces da matemática financeira moderna Meio século mais tarde, Markowitz começou a estudar o mercado de acções, concluindo que os investidores reais não avaliam as acções pelo seu lucro absoluto, mas sim pesando o quão arriscada é uma acção e qual a sua recompensa Risco e recompensa foram descritas por Markowitz [17], como a variância e o valor esperado da distribuição gaussiana descrita pelo valor das acções Ainda que muito importante para impulsionar o estudo dos mercados, o modelo de Bachelier tinha várias falhas Não considerava que o valor de um activo era influenciado pelo valor temporal do dinheiro e considerava que o processo seguia uma distribuição gaussiana, o que implicava que o valor de um activo podia atingir valores negativos o que é absurdo Para colmatar algumas destas falhas, Sprenkle [22], Boness [4] e Samuelson [20] desenvolveram melhorias do modelo, introduzindo o valor temporal do dinheiro como seu factor determinístico e considerando que o preço do activo segue uma distribuição log-normal Para podermos formalizar este modelo são necessárias algumas definições de processos estocásticos 221 Processos estocásticos Conceitos Básicos Definição 1 (σ-álgebra) Uma σ-álgebra F (num conjunto Ω) é uma colecção de subconjuntos de Ω que satisfaz as seguintes condições: 1 F e Ω F 2 Se A F então A c F 3 Se A 1, A 2, F então i=0 A i F e i=0 A i F Definição 2 (Medida de probabilidade) Uma função de conjuntos P na σ-álgebra F é uma medida de probabilidade se satisfaz as condições 1 0 P (A) 1, para todo o A F 2 P ( ) = 0 e P (Ω) = 1 3 Informalmente, trata-se de um processo seguido por qualquer variável que tenha um comportamento aleatório 6

20 3 Se A 1,, A n, é uma sequência de conjuntos disjuntos em F e k=0 A k então ( P k=1 A k ) = P (A k ) Definição 3 (Espaço de probabilidade) Um espaço de probabilidade é um tripleto (Ω, F, P ) onde F é a σ-álgebra associada a um conjunto Ω e P é uma medida de probabilidade associada a Ω e F Definição 4 (Variável aleatória contínua) Dado um espaço de probabilidade (Ω, F, P ), uma função X : Ω R é uma variável aleatória se k=1 {ω Ω : X(ω) x} F, x R Definição 5 (Função distribuição de probabilidade) Seja X uma variávela aleatória contínua em (Ω, F, P ); a sua função distribuição F X : R [0, 1], é definida por F X (x) = P (X x) Definição 6 (Função densidade de probabilidade) Seja X uma variávela aleatória contínua em (Ω, F, P ), a sua função densidade f X : R [0, + [, quando existe, é definida por F X (x) = x onde F X (x) é a respectiva função de distribuição, e f X (y)dy, x R + f X (y)dy = 1 Definição 7 (Valor esperado e variância) O valor esperado de uma variável aleatória X com função densidade de probabilidade f X é definida por µ X = E[X] = + xf X (x)dx A variância de X é definida por σ 2 X = var[x] = + (x E[X]) 2 f X (x)dx Definição 8 (Variável aleatória Normal ou Gaussiana) Uma variável aleatória X N (µ, σ 2 ) definida no espaço de probabilidades (R, B(R), P ) diz-se Gaussiana se tem função densidade de probabilidade dada por f(x) = 1 µ)2 exp( (x 2πσ 3 2σ 2 ) Se X N (µ, σ 2 ) então Z = X µ σ standard N (0, 1) e Z é denominada por variável aleatória normal 7

21 Processos Estocásticos Definição 9 (Processo estocástico) Um processo estocástico {X(t), t I} é uma família de variáveis aleatórias X(t) com t I, definidas no mesmo espaço de probabilidade (Ω, F, P ) O conjunto I é chamado o espaço dos parâmetros do processo Fixando ω Ω, à função t X ω (t) chamamos trajectória Se as trajectórias forem contínuas para qtp ω Ω então, o processo estocástico diz-se contínuo Apesar do valor de um activo não ser uma variável contínua, nem o tempo de observação desta ser contínuo 4, iremos considerar que o processo estocástico em causa o é Definição 10 (Processo de Wiener) Um processo estocástico W t = {W (t), t 0} definido num espaço de probabilidade (Ω, F, P ) é um processo de Wiener 5 se 1 para s 0 e t > 0, a variável aleatória W t+s W s tem distribuição normal N (0, t), 2 para n 1 e 0 t 0 t n, a variável aleatória W tr W tr 1 é independente, 3 W 0 = 0, 4 W t é contínuo para t 0 Note-se que o ponto 1 implica que W t t N (0, 1) Este facto sai da transformação da variável aleatória W t numa distribuição normal standard Wt 0 t t N (0, 1) Definição 11 (Movimento Browniano Geométrico) Se W t = {W (t), t 0} definido num espaço de probabilidade (Ω, F, P ), então Y t = {Y (t), t 0} é um movimento Browniano Geométrico se Y (t) = e W (t) Definição 12 (Filtração) Uma família de σ-álgebras (F t, t I) em Ω é uma filtração se F s F t para 0 s t Definição 13 (Processo adaptado a uma filtração) Seja (Ω, F, P ) um espaço de probabilidade; oprocesso estocástico {X(t), t 0} é adaptado a uma filtração (F t, t 0) se X(t) é ainda uma variável aleatória contínua para o espaço de probabilidade (Ω, F t, P ) Na próxima secção será necessário definir a variação infinitesimal do processo de Wiener W (t) No entanto, e porque este processo não possui uma variação limitada, temos que não é diferenciável qtp e por isso o integral dw (t) não pode ser definido da forma usual (Integral de Riemann, cf [18]) Assim, introduzimos o integral de Itô (ver, por exemplo, [18] ou [16]) Definição-Teorema 1 (Integral de Itô) Seja X(t) um processo adaptado à filtração do movimento Browniano W (t) em [0, T ] e considere-se que E[ T 0 X 2 (t)dt] < ; então o integral de Itô 4 Apenas podemos observar variações nos preços de um activo quando os mercados estão abertos 5 Também conhecido por movimento Browniano 8

22 T 0 X(t)dW (t) com 0 = t 0 < < t n = T, existe (qtp) e pode ser definido por T 0 X(t)dW (t) = n 1 lim n qtp i=0 ( ) X(t i ) W (t i+1 ) W (t i ) Nas próximas secções, usaremos dx(t) = a(x, t)dt + b(x, t)dw (t) para representar a equação diferencial estocástica do processo X(t) X(t 0 ) = t t a(x, s)ds + b(x, s)dw (s) t 0 t 0 Um resultado necessário à derivação da equação de Black-Scholes é o lema de Itô, definido de seguida (cf [18]) Lema 1 (Lema de Itô) Suponhamos que X(t) segue um processo estocástico da forma dx(t) = a(x, t)dt + b(x, t)dw (t) para 0 t T Se f(x(t)) é uma função em C 2, então o diferencial estocástico do processo Y (t) = f(x(t)) existe e é dado por ( f f df(x(t)) = a(x, t) + X(t) t f ) 2 b2 (X, t) X(t) 2 dt + f b(x, t)dw (t) X(t) 222 Valor de um activo Suponhamos que um activo A vale 10e e um activo B vale 100e e que ambos crescem 1e por ano Ao fim de um ano o activo A vale 11e (teve uma subida de 10%) e B vale 101e (subida de 1%) Será mais vantajoso comprar 10 activos do tipo A e por isso quando se trata de modelar o valor de um activo onde nos devemos focar é no seu retorno, que é a variação relativa do valor do activo Considerando que o valor dos activos varia continuamente, temos que esta quantidade é ds S, onde S é o valor do activo Esta quantidade tem uma componente determinística, equivalente ao valor de um investimento sem risco, e uma aleatória, provocada por factores externos e que representa o risco deste investimento Consideremos primeiro que não existe risco num investimento sobre um activo, e que o crescimento do valor deste tem uma contribuição, µ, constante ao longo do tempo Desta forma temos e resolvendo esta equação diferencial obtemos ds S = µdt S(t) = S(0)e µt 9

23 Como se observa, este valor é igual ao de um investimento sem risco de S(0) Para expressar a componente aleatória baseamo-nos nos processos estocásticos apresentados em 221 O risco do investimento é traduzido por um processo de Wiener W t multiplicado por uma constante σ que representa a volatilidade do mercado, assim, adicionando estas duas componentes chegamos à equação diferencial estocástica que modela a variação do valor de um activo ds S = µdt + σdw t (22) Temos então que o valor de um activo é descrito por um movimento Browniano Geométrico Na verdade, processos estocásticos deste tipo adequam-se muito bem ao comportamento do valor de um activo Possui a propriedade de Markov: o preço actual de um activo, comporta toda a sua informação É uma variável sem memória cujo histórico não serve para prever o seu valor futuro Permite um crescimento exponencial: imposto pelo valor temporal do dinheiro Não admite valores negativos: se se tratasse de um movimento Browniano Aritmético, poderiam ser atingidos valores negativos, o que seria errado 23 Modelo de Black-Scholes O modelo de Black-Scholes descreve o comportamento de opções sobre activos que seguem o modelo apresentado na secção anterior Em 1973, Black e Scholes [3], definem os pressupostos do modelo, os quais se encontram de seguida: 1 A taxa de juro sem risco, r, é conhecida e constante ao longo do tempo 2 O preço do activo segue um caminho aleatório contínuo no tempo com taxa de variância proporcional ao quadrado do preço do activo O preço dos activos seguem uma distribuição lognormal A taxa de variância do retorno é constante 3 O activo não paga dividendos 4 A opção em causa só pode ser exercida no tempo de maturidade 5 Não há custos de transacção aquando da compra ou venda de um activo ou derivado 6 É possível investir qualquer fracção de activos ou derivados a uma taxa de juro sem risco 7 Não existem penalizações quando se faz short-selling A partir dos pressupostos e considerando não-arbitragem, é possível eliminar a aleatoriedade imposta pelo processo de Wiener no valor de um activo (equação 22) Como veremos, o valor de uma opção irá depender apenas do valor actual do activo, do tempo de maturidade e das constantes r e σ, conhecidas a priori 10

24 Para iniciar a derivação da equação de Black-Scholes, devemos encontrar a equação estocástica que traduz a variação do valor de uma opção Uma opção é um contrato que depende do valor da variável subjacente, S, ao longo de um certo tempo, t Considerando que V é o valor de uma opção, temos que V é função de S e t Como proposto na secção 222, S é descrito pela seguinte equação diferencial estocástica ds S = µdt + σdw t (23) e aplicando o Lema de Itô (1), temos que o valor de uma opção é descrito por dv (S, t) = ( V V µs + S t σ2 S 2 2 V ) S 2 dt + V σsdw (t) (24) S A equação acima também descreve um movimento Browniano geométrico, com a mesma componente W t presente na equação 22 O que se pretende agora é eliminar o parâmetro dw t Para isso construimos um portfolio, Π, composto pela venda de um derivado e a compra de uma quantidade V (S,t) S do activo subjacente Π = V (S, t) V (S, t) S, (25) S A variação deste valor num espaço de tempo infinitesimal será traduzido em dπ = dv (S, t) V (S, t) ds S Substituindo ds e dv (S, t) pelas equações 23 e 24, respectivamente, obtemos dπ = ( V t σ2 S 2 2 V S 2 ) dt (26) Eliminado o parâmetro em W t, obtemos um portfolio sem risco Considerando que não há hipóteses de arbitragem, o valor obtido através da utilização deste portfolio é igual ao valor de um investimento sem risco do mesmo valor, num mesmo intervalo de tempo Assim, podemos igualar rπdt a dπ Substituindo rπdt na equação 26 e reorganizando os termos, obtemos equação diferencial parcial de Black-Scholes, que descreve o comportamento de uma opção europeia 6 V t Consideremos o operador diferencial linear L B S dado por V + rs S σ2 S 2 2 V rv = 0 (27) S2 L BS = t σ2 S 2 2 S 2 + rs S r (28) Este operador diferencial representa então a diferença entre o retorno obtido pelo portfolio (primeiros dois termos) e um investimento sem risco do mesmo valor (restantes termos) Como vimos, de modo a não haver arbitragem, este operador aplicado ao valor de uma opção europeia 6 Apesar da derivação da equação estar direccionada para a valoração de opções europeias, o valor de qualquer derivado que seja apenas dependente do valor actual do activo subjacente e do tempo deve satisfazer esta equação 11

25 deve ter o valor zero Note-se ainda que o parâmetro µ, que representa o crescimento do valor S, já não está presente na equação de Black-Scholes, o que significa que a volatilidade é a única contribuição do activo no preço da opção 24 Contratos de Opções Sendo este trabalho sobre a valoração de opções, convém aprofundar um pouco este tipo de contratos e dar alguns termos técnicos que serão usados mais à frente Notação 1 As opções dão-nos o direito para comprar/vender um activo por um determinado preço Este é chamado preço de exercício e usualmente é representado pela letra K Existe também uma data final do contrato, chamada data de maturidade, representada por T O preço actual do activo será representado por S 0 e em tempo t, este preço virá representado por S t r será a taxa de juro utilizada aquando de um investimento sem risco e σ representa a volatilidade do mercado Ainda designaremos por payoff o lucro obtido pelo detentor da opção quando esta é exercida ou atinge a data de maturidade Assim como cada derivado é classificado consoante o tipo de contrato, também dentro dos contratos de opções temos várias classificações Sabendo que existem opções de compra e de venda, a outra grande divisão que se pode fazer é entre opções Europeias e Americanas Esta divisão nada tem a ver com a localização geográfica onde são transaccionadas, mas sim com a data em que se pode exercer o direito de compra/venda do activo Se estivermos na posse de uma opção europeia, apenas poderemos exercer a opção na data de maturidade acordada no contrato; se ao invés, estivermos na posse de uma opção americana temos o direito de a exercer em qualquer altura até à data de maturidade A primeira conclusão que podemos tirar desta divisão é que as opções americanas devem ter um valor igual ou superior ao das opções europeias 7, pois oferecem mais regalias (podemos exercer o direito de compra/venda na data de maturidade ou antes se assim quisermos) Independentemente desta divisão (estilo europeu ou americano), temos uma infinidade de tipos de opções consoante as condições do contrato Neste trabalho apenas analisaremos opções padrão e opções com barreiras As opções padrão (ou Vanilla) são a base de todas as opções Dão-nos o direito de negociar um activo numa determinada altura, sem qualquer tipo de restrição Dentro das opções barreira temos dois grandes grupos: Knock-In e Knock-Out O que acontece com as opções de barreira é que quando o activo atinge um certo valor, B, a opção é activada (no caso de uma Knock-In) ou deixa de existir (se for uma Knock-Out) Isto significa, que se o valor de um activo nunca atingir B dentro do tempo de maturidade, uma Knock-In vale sempre zero e uma Knock-Out comporta-se como uma Vanilla De modo análogo, se o valor B alguma vez coincidir com o valor actual do activo S 0, uma Knock-In comporta-se como uma Vanilla e uma Knock-Out tem sempre valor zero 7 Ambas com as mesmas características 12

26 241 Opções europeias A equação de Black-Scholes descreve o comportamento do valor de uma opção europeia No entanto, para que o problema de valoração de opções europeias seja bem posto, são necessárias condições de fronteira O valor de uma opção é conhecido na data de maturidade T (data onde é decidido se a opção é exercida ou não) e quando o valor do activo é zero ou quando é tão grande que pode ser considerado infinito É nestes pontos que iremos definir as fronteiras do problema Note-se que tipos de opções diferentes têm valores diferentes e por isso irão também ter condições de fronteira diferentes De seguida são apresentadas as condições de fronteira para opções padrão de compra e de venda Condições de fronteira para uma opção europeia de compra Para não haver oportunidade de arbitragem o valor de uma opção na data de maturidade deve igualar o seu payoff Recordando que uma opção de compra dá o direito de comprar um activo de valor S por um valor K, temos que o payoff de uma opção deste tipo será S K se esta for exercida e 0 caso contrário Como a opção só será exercida se S K > 0, o payoff será max ( S K, 0 ) Quando o activo tem valor zero, esta opção também valerá zero, pois será sempre preferível comprar directamente o activo do que exercer a opção de compra por um valor K Quando consideramos que o valor do activo é tão elevado que pode ser encarado como infinito, o valor K pelo qual compramos o activo pode ser desprezado e lucraremos tanto como o preço do activo, S Resumindo, V (S, T ) = max{s K, 0} V (0, t) = 0 (29) lim S + V (S, t) = S Condições de fronteira para uma opção europeia de venda Para as opções de venda o raciocínio é idêntico, mas neste caso, a opção dá o direito de vender o activo S por um valor K Se exercermos a opção na data de maturidade obteremos o valor K S e por isso o seu payoff será max ( K S, 0 ) Quando o activo tem valor zero na data de maturidade, o valor da opção é K, que é o preço que obtemos da venda do activo Para um tempo t e salvaguardando hipóteses de arbitragem, a opção deverá valer Ke r(t t) Quando o valor do activo é equiparado ao infinito, é preferível não exercer a opção, e vender o activo directamente, por isso a opção valerá zero para estes valores Esquematicamente temos, V (S, T ) = max{k S, 0} r(t t) V (0, t) = Ke (210) lim S + V (S, t) = 0 13

27 Put-Call Parity Opções europeias de compra e venda sobre um mesmo activo e com as mesmas características podem ser relacionadas através da propriedade Put-Call Parity Este resultado vem do facto das opções europeias apenas poderem ser exercidas na data de maturidade, T Suponhamos que temos um portfolio composto pela compra de um activo (S) e de uma opção de venda desse activo (P) e a venda de uma opção de compra sobre o mesmo activo (C), Π = S+P C Na data de maturidade iremos obter S + max ( K S, 0 ) max ( S K, 0 ) = K Para não haver hipóteses de arbitragem, temos que em tempo t o portfolio vale Ke r(t t) Assim, temos a relação S + P C = Ke r(t t) (211) Soluções da equação de Black-Scholes Para além da formulação do modelo e equação de Black-Scholes, Black e Scholes ainda apresentaram uma derivação para a solução exacta da equação em causa, num caso simplificado A Fórmula de Black-Scholes, nome por que é conhecida a solução exacta, para uma opção europeia de compra com os pressupostos definidos na secção 23, é dada por C(S, t) = SN(d 1 ) Ke r(t t) N(d 2 ) (212) onde C(S,t) é o valor de uma opção de compra sobre um activo S, no tempo t E, x N(x) = 1 2π e 1 2 y2 dy d 1 = log(s/k)+(r+ 1 2 σ2 )(T t) σ T t (213) d 2 = d 1 σ T t A fórmula de Black-Scholes para opções europeias de venda é facilmente deduzida a partir da fórmula anterior através da propriedade de put-call parity Considerando que P (S, t) é o valor de uma opção de venda sobre um activo S em tempo t, tem-se P (S, t) = Ke r(t t) N( d 2 ) SN( d 1 ) (214) 242 Opções americanas Enquanto as opções europeias só podem ser exercidas na data de maturidade, as opções americanas podem ser exercidas em qualquer instante de tempo durante a vida da opção Consideremos que o payoff de uma opção é representado por g(s, t) De modo a não haver hipóteses de arbitragem o seu valor V (S, t) deverá ser 8 maior ou igual a g(s, t) Assim, a primeira condição geral para opções americanas é g(s, t) V (S, t) 0 (215) 8 Caso contrário, poder-se-ia comprar essa opção e vendê-la antecipadamente, lucrando só com isso 14

28 Para este estilo de opções devemos decidir a cada instante qual das duas acções é mais vantajosa: exercer antecipadamente a opção ou aguardar pela data de maturidade Como podemos exercer as opções em qualquer instante o argumento de não arbitragem usado para igualar o valor do portfolio a um investimento sem risco sobre o mesmo valor, já não é válido Apenas podemos dizer que o valor do portfolio não pode ser maior que o valor do investimento sem risco A equação de Black-Scholes só pode ser usada na forma de desigualdade: V t V + rs S σ2 S 2 2 V rv 0 (216) S2 Suponhamos, sem perda de generalidade, que para uma opção de venda americana existe um valor S f tal que para S < S f é mais rentável exercer a opção e para S > S f é melhor aguardar Neste caso, teríamos condições diferentes para regiões diferentes Se S < S f vale a desigualdade (<) em 216 e a igualdade em 215 Se S > S f vale a igualdade em 216 e a desigualdade (>) em 215 No entanto, não é possível decidir a priori onde se situa S f Por isso, temos um problema de fronteira livre Não sabendo onde se situa esta fronteira, o que se propõe para ultrapassar esta falha é reformular o problema de modo a que a solução não dependa directamente da fronteira livre Wilmott et al (cf [8]) propõem uma reformulação do problema através do problema de complementaridade linear Definição 14 (Problema de complementaridade) Sejam A e B formas lineares Quando AB = 0 com A 0 e B 0 dizemos que temos um problema de complementaridade linear Observando as equações 215, 216 e definição 14 reparamos que estamos perante um problema de complementaridade, onde ( )( ) L BS V (S, t) g(s, t) V (S, t) = 0 L BS V (S, t) 0 e g(s, t) V (S, t) 0 (217) As condições de fronteira para este problema são muito semelhantes às do problema da valoração de opções europeias Apenas diferem no valor do desconto da taxa de juro sem risco ao valor K para uma opção de venda quando o valor do activo é zero Isto deve-se ao facto da opção poder ser exercida em qualquer tempo t, com payoff ( K S ), a opção deve tomar o valor de K, de modo a que não haja hipóteses de arbitragem 15

29 Condições de fronteira para uma opção americana de compra V (S, T ) = max{s K, 0} V (0, t) = 0 (218) lim S + V (S, t) = S Condições de fronteira para uma opção americana de venda V (S, T ) = max{k S, 0} V (0, t) = K (219) lim S + V (S, t) = 0 25 Tratamento da equação de Black-Scholes e a sua aplicação a opções 251 Redução da equação de Black-Scholes para a equação do calor Uma das abordagens mais utilizadas para a resolução da equação de Black-Scholes é através da sua transformação numa equação de calor ( t u = xu) 2 Os esquemas de diferenças finitas utilizados no próximo capítulo para este tipo de equações estão bem estudados e são facilmente aplicáveis A transformação utilizada por Wilmott et al em [8] é apresentada de seguida S = Ke x α = 1 2 (c 1) t = T τ σ 2 /2 onde β = 1 4 (c + 1)2 V (S, t) = Ke αx+βτ u(x, τ) c = r σ 2 /2 Opções europeias Através desta mudança de variáveis obtém-se a equação pretendida u τ = 2 u x 2 (220) Note-se que o sentido do tempo foi invertido e que esta equação fica definida em < x < + e 0 < τ T σ 2 /2, onde T é o tempo de maturidade da opção As condições de fronteira para este problema determinam-se aplicando a transformação acima às condições de fronteira obtidas para a equação de Black-Scholes Assim, tem-se: 16

30 Condições de fronteira para uma opção europeia de compra u(x, 0) = max{e 1 2 (c+1)x e 1 2 (c 1)x, 0} lim u(x, τ) = 0 x lim u(x, τ) e 1 2 (c+1)x+ 1 4 (c+1)2τ = 0 x + (221) Condições de fronteira para uma opção europeia de venda u(x, 0) = max{e 1 2 (c 1)x e 1 2 (c+1)x, 0} lim u(x, τ) e 1 2 (c 1)x+ 1 4 (c 1)2τ = 0 x u(x, τ) = 0 lim x + (222) Opções americanas Aplicando a mesma mudança de variáveis usada para as opções europeias transforma-se a desigualdade 216 na desigualdade: Condições gerais para opções americanas u τ 2 u x 2 u(x, 0) = g(x, 0) u(x, τ) = g(x, τ) u(x +, τ) = g(x +, τ) (223) Condições de fronteira para uma opção americana de compra g(x, τ) = e βτ max{e 1 2 (c+1)x e 1 2 (c 1)x, 0} lim u(x, τ) = 0 x lim u(x, τ) e 1 2 (c+1)x+ 1 4 (c+1)2τ = 0 x + (224) Condições de fronteira para uma opção americana de venda g(x, τ) = e βτ max{e 1 2 (c 1)x e 1 2 ( (c+1)x, 0} )τ lim u(x, τ) e 1 2 (c 1)x+ 1 4 (c+1)2 = 0 x u(x, τ) = 0 lim x + (225) Colocando este problema na forma de complementaridade linear, temos ( u τ 2 u x ) 0 2 (u(x, τ) g(x, τ)) 0 ( u τ 2 u x 2 )(u(x, τ) g(x, τ)) = 0 (i) (ii) (iii) (226) A primeira condição sai da desigualdade obtida a partir da inequação de Black-Scholes A segunda vem da hipótese de não arbitragem E por fim a terceira vem porque só existem duas 17

31 hipóteses: ou a opção é exercida antecipadamente e então (u(x, τ) g(x, τ)) = 0, ou a opção é apenas exercida na maturidade e então é tratada como se fosse uma opção europeia: ( u τ 2 u x 2 ) = Transformação z = log(s) Como vimos na secção anterior, existe uma relação exponencial/logarítmica entre as variáveis S e x Esta relação indica que, provavelmente, aplicar directamente os métodos de diferenças finitas na equação de Black-Scholes poderá originar problemas Assim, é apresentada uma forma de resolução do problema que não é tão radical como transformar a equação de Black-Scholes numa equação de calor, mas que evita problemas que surjam devido à forma como o espaçamento é feito, através da simples transformação de variável z = log(s) Opções europeias Substituindo z = log(s) na equação de Black-Scholes, tem-se: V t σ2 + (r 2 ) V z σ2 2 V rv = 0 (227) z2 Condições de fronteira para uma opção europeia de compra V (z, t) = max{e z K, 0} lim V (z, t) = 0 z V (z, t) = ez lim z + (228) Condições de fronteira para uma opção europeia de venda V (z, t) = max{k e z, 0} t) lim V (z, t) = Ke r(t z V (z, t) = 0 lim z + (229) Opções americanas Substituindo z = log(s) na equação de Black-Scholes, tem-se para opções americanas, a desigualdade: V t Condições gerais para opções americanas σ2 + (r 2 ) V z σ2 2 V rv (230) z2 V (z, T ) = g(z, T ) lim z + V (z, t) = g(z, t) lim z + V (z, t) = g(z, t) (231) 18

32 Condições de fronteira para uma opção americana de compra V (z, T ) = max{e z K, 0} lim z V (z, t) = 0 (232) lim z + V (z, t) = e z Condições de fronteira para uma opção americana de venda V (z, T ) = max{k e z, 0} lim z V (z, t) = K lim z + V (z, t) = 0 (233) finitas No capítulo seguinte iremos tratar a discretização destes problemas pelo método de diferenças 19

33 20

34 Capítulo 3 Diferenças finitas na valoração de opções Até agora vimos como a equação de Black-Scholes descreve a variação do preço de derivados financeiros, em particular de opções Um método de resolução de equações diferenciais parciais, tais como a equação de Black- Scholes e respectivas transformações (secções 251 e 252), é o método de diferenças finitas Este baseia-se localmente em expansões de Taylor e consiste na discretização do domínio num número limitado de pontos Conhecendo pontos na sua fronteira é possível recuperar o valor nos pontos internos Serão apresentadas duas vias para resolução do problema, uma a partir da transformação da equação de Black-Scholes à equação do calor e uma outra via mais directa, que apenas tem a transformação de z = log(s), usada por comodidade aquando da discretização do domínio Esta última via, traz vantagens por permitir que a volatilidade e a taxa de juro possam ser variáveis ao longo do domínio, o que não acontece na outra devido à transformação utilizada Existem vários esquemas de diferenças finitas, aqui serão apresentados três: Explícito, Implícito Puro e de Crank-Nicolson 31 Diferenças finitas - Generalidades Os problemas apresentados nos próximos capítulos serão todos problemas de Dirichlet, isto é, pretendem determinar o valor de uma função u(x, t) numa região Ω que é solução de uma equação diferencial parcial do tipo Du(x, t) = t u(x, t) + D x u(x, t) (31) 21

35 em que D x representa um operador diferencial na variável espacial e cujo valor da função u(x, t) é conhecido na fronteira da região Ω = [x a, x b ] [t 0, t f ]: Du(x, t) = 0, (x, t) (x a, x b ) (t 0, t f ) (i) u(x, 0) = u 0 (x), x (x a, x b ) (ii) (32) u(x a, t) = u a (t), t (t 0, t f ) (iii) u(x b, t) = u b (t), t (t 0, t f ) (iv) Para a resolução deste problema, procede-se à discretização da região Ω em espaçamentos iguais entre pontos sucessivos (x, t) Considerando h x = x b x a N e h t = t f t 0 M os espaçamentos em x e os espaçamentos em t, respectivamente, temos que os pontos são definidos por x n = x a + nh x, t m = t 0 + mh t, n = 0, 1,, 0,, N 1, N m = 0, 1,, M 1, M de forma a que x 0 = x a, x N = x b e t M = t f Daqui para a frente, usaremos u n,m para denotar a aproximação de u(x n, t m ) 311 Consistência, estabilidade e convergência Para problemas de evolução, como o que estamos a tratar, é possível definir os valores de um tempo posterior a partir dos do anterior Consideremos o vector u m = (u 0,m,, u N,m ) e suponhamos que é possível determinar u m+1 a partir de u m por um esquema linear u m+1 = Mu m Se conhecermos u 0 é possível determinar u m através da aplicação sucessiva da matriz M, pois u m = M m u 0 Para evitar a propagação dos erros efectuados localmente devemos verificar se um esquema é estável, isto é, se os erros de aproximação de um certo valor não implicam um acréscimo no erro de outros Definição 15 (Estabilidade) Um esquema é estável se a aplicação sucessiva de M, ou seja M m, é limitada Mu Condição para essa limitação é exigir que a norma de M, M = sup u 0 u, para um vector arbitrário u, não seja superior a 1, pois se M 1, temos um = M m u 0 M m u0 < Para verificar a limitação da norma recorremos ao critério de von Neumann: Começamos por assumir que os valores iniciais são da forma (u 0 ) n = u 0 (x n ) = e iµxn, para qualquer µ Z Quando a equação é simples (e g coeficientes constantes), é possível 22