Complementos de Econometria. Licenciatura em Economia. ISCTE-IUL, Dep. de Economia MODELOS EM TIME SERIES (PARTE 2) Luís Filipe Martins

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1 Complementos de Econometria Licenciatura em Economia ISCTE-IUL, Dep. de Economia MODELOS EM TIME SERIES (PARTE 2) Luís Filipe Martins Departamento de Métodos Quantitativos, ISCTE-IUL, Escola de Gestão Lisboa, Outubro de 2009

2 Recapitulação (ver apontamentos) MRLM (incluindo o termo independente): y t = + 2 x t2 + ::: + k x tk + u t = x 0 t + u t ; t = ; :::; T () y = X + u x tk = (; x t2 ; :::; x tk ) 0 ; t = ; :::; T ; k = ( ; 2 ; :::; k ) 0 ; y T = y ::: y T A ; X T k = Sob hipoteses Gauss-Markov, b OLS = X 0 0 X X y = x 2 ::: x k ::: ::: ::: x T 2 ::: x T k A ; u T = 2 u ::: u T! TX TX x t x 0 t x t y t (2) é BLUE (inclui consistencia). Usar formulas de Econometria, nomeadamente, \ V bjx = b 2 u X X 0 : (3) MAS, admita-se que em modelos com time series os erros estão autocorrelacionados Cov(u t ; u s jx) = Cov(u t ; u s jx ; :::; x T ) 6= 0; t; s = ; :::; T; (4) para algum t 6= s: Então, OLS continua a ser consistente mas não é BLUE (há outro estimador - que não o OLS - que é mais t= t= A

3 \ eciente: FGLS) e a formula usual de V bjx para o OLS passa a ser b kk = V \ bjx = X 0 0 X X X b X X 0 ; (5) onde T T = E(uu 0 jx) 6= 2 ui T : Nestas circunstâncias, sugere-se MANTER o OLS (não usar o FGLS) mas usar uma matriz b kk robusta a autocorrelação. Essa formula deve-se a Newey and West (HAC). Pela simplicidade e boas propriedades, assumir que o modelo para o u t é um AR(): u t = u t + " t ; " t wn 0; 2 " ; t = ; :::; T: (6) Então, u t é estacionário e de memória que se dissipa para jj < e, neste caso, E (u t ) = 0; V (u t ) = 2 " ( 2 ) ; (l) = l V (u t ) ; Cor (u t ; u t+l ) = l : Testes à (ausência) de autocorrelação dos erros: Durbin-Watson (testa AR() em modelos estáticos) h Durbin e h alt (testa AR() em modelos dinâmicos) Breusch-Godfrey (testa AR(p), u t = u t + ::: + p u t p + " t ) 3 (7)

4 2 Variaveis Dummy, Tendência Deterministica e Sazonalidade Em time series também faz sentido usarem-se variaveis Dummy como regressores (ver Econometria ). Exemplo: C t = + 2 R t + 3 D t + 4 D t R t + u t ; (8) em que C t é o nivel de consumo em t; R t é o rendimento e D t é uma Dummy em que D t = para t em tempo de paz e D t = 0 para t em tempo de guerra. Qual é a interpretação de 3 e 4? Pode-se (e deve-se) aplicar os testes de Chow de Econometria. Outro exemplo é em modelos com sazonalidade (ver em baixo). Modelos com tendencia deterministica: (linear) y t = + 2 t + u t ; t = ; :::; T (9) (quadrática) y t = + 2 t + 3 t 2 + u t ; (exponencial) log y t = + 2 t + u t : Podem-se incluir regressores x t ; Estimação pode ser por OLS (ver hipoteses) MAS sem testes t porque a distribuição não é a standard; Usar o R 2 ;... Utilidade: Retirar tendência (deterministica) a y t ("detrending"). () Estimar por OLS o do modelo com tendencia - ; b (2) Subtrair by t = b + b 2 t a y t para obter a série sem tendencia (detrended) by t d = y t by t (que é igual a bu t quando 4

5 não há x t ): Assim, y t cresce/decresce com o tempo mas by d t ca mais ou menos constante com o tempo. Modelos com sazonalidade (por exemplo, y t é o volume de vendas de brinquedos e os dados são mensais). Sazonalidade reecte impactos motivados por factores de periodicidade inferior a um ano. Neste caso, y t = + 2 S 2t + ::: + 2 S 2;t + u t ; (0) em que S j;t é uma dummy onde S j;t = se t é uma observação do mês j e S j;t = 0 se t não é uma observação do mês j: Utilidade: Retirar sazonalidade a y t ("dessasonalização"). () Estimar por OLS o do modelo com S 0 ts - b ; (2) Subtrair by t a y t para obter by s t : 5

6 3 Modelos com desfasamentos e modelos dinâmicos Modelo DL(q) (distributed lag of order q = modelo com um numero nito q de desfasamentos): y t = x t + x t + ::: + q x t q + u t ; t = ; :::; T () Perda de q observações; Estimador OLS com propriedades standard (ver hipoteses do MRLM); Pode haver mais do que um regressor (não incluir a propria variavel dependente y) com desfasamentos;... Como E (y t jx t ; :::; x t q ) = x t + x t + ::: + q x t q ; (2) denem-se os multiplicadores de (i) impacto imediato 0 (y tjx t ; :::; x t q ) ; t (ii) impacto a s passos, s q (multiplicador de curto prazo a s periodos) e (iii) longo-prazo s (y tjx t ; :::; x t q t s ; s = ; :::; q; (4) = qx i = i=0 6 X i : (5) i=0

7 O multiplicador de LP tambem pode ser encontrado atraves do modelo em equilibrio onde qx y = x + x + ::: + q x = 0 + i x : (6) Modelo AR(p) - dinâmico - (já visto antes para os erros do modelo principal): y t = 0 + y t + ::: + p y t p + u t ; t = ; :::; T (7) Estimador OLS com propriedades standard (ver hipoteses do MRLM, nomeadamente erros u t não autocorrelacionados). Modelo ADL(p,q): y t = 0 + y t + ::: + p y t p + 0 x t + x t + ::: + q x t q + u t : (8) Estimador OLS com propriedades standard (ver hipoteses do MRLM, nomeadamente erros u t não autocorrelacionados); Pode haver mais do que um regressor (não incluir a propria variavel dependente y) com desfasamentos; Para calcular os multiplicadores de CP devemos ter em atenção que um "choque"de x em t faz variar y em t; t + (via y t ); t + 2; :::; Para os multiplicadores de LP recomenda-se o uso do modelo i=0 7

8 em equilibrio y = 0 + y + ::: + p y + 0 x + x + ::: + q x (9) px qx = 0 + i y + i x, (20) i= Modelo ADL(,): i=0! px i y = 0 + i= 8 qx i x (2) y t = 0 + y t + 0 x t + x t + u t ; t = ; :::; T (22) Para j j < ; tem-se que y t = i=0 ( L) 0 + ( 0 + L) ( L) x t + u t ; t = ; :::; T; (23) onde L é o operador desfasamento (Ly t = y t ; L 2 y t = y t 2 ): Para = 0; e como ( L) = + L + 2 L L 3 + :::; (24) os multiplicadores de CP podem ser obtidos através do DL() X y t = 0 ( ) + 0 i x t i + u t : (25) Este DL() tem desfasamentos geometricos (Koyck) porque i=0

9 os coecientes 0 i decaem geometricamente para zero quando i tende para innito. Muitas vezes, a autocorrelação dos erros resulta de uma "má especicação" (escolha) do modelo principal. Senão vejamos... Considere-se o modelo y t = x t + u t em que u t = u t + " t : Este modelo é "equivalente" a um ADL(,) com erros G.M. porque u t = ( L) " t: y t = y t + x t x t + " t (26) 9

10 4 Testes de raíz unitária As propriedades do OLS são as standard desde que as variaveis do MRLM sejam "estacionarias em covariância". Essa hipotese tem sido assumido implicitamente no estudo. Uma serie é "estacionaria" se, dito de uma forma simplista, utua uniformemente ao longo do tempo em torno de um valor xo. Estas series não "explodem", não "divergem" no tempo. São variáveis em "equilibrio" (ver multiplicador de LP). Matemáticamente, () E (y t ) = ; constante, para todo t; (2) V (y t ) = 2 ; constante, para todo t; (3) Cov (y t ; y t l ) = l ; uma função do desfasamento l mas constante para todo t: Exemplos de modelos em que y t é estacionária: y t = + u t ou y t = y t + " t ; para jj < : MAS os seguintes modelos denem variaveis que não são estacionárias ("explodem";"divergem") 0 y t = + 2 t + u t (27) y t = y t + " t (passeio aleatório sem deriva) y t = + y t + " t (passeio aleatório com deriva) (28) Sabe-se que o estimador OLS no MRLM com variáveis não estacionárias não tem as propriedades standard. Nestas condições, o OLS é superconsistente, a distribuição não é a usual (testes t tendem a ser muito elevados) e o R 2 tende a ser próximo de.

11 Portanto, convém distinguir/testar a estacionaridade das series antes de proceder à estimação OLS do MRLM. Considere-se o modelo AR() y t = y t + " t : Se = o processo não é estacionário (passeio aleatório; I(); tem raíz unitária); Se jj < o processo é estacionário (I(0); não tem raíz unitária). Teste DF (Dickey-Fuller): O modelo y t = y t + " t é equivalente a 4y t = y t + " t ; (29) onde 4y t = y t y t e = ( ) : Fazer teste t ao parametro para testar H 0 : = (não estacionaridade) versus < (estacionaridade). A distribuição do teste não é a usual (ver tabela dos valores criticos). One sided (left). Pode ser feito para 4y t = + y t + " t ou 4y t = + t + y t + " t (30) mas as distribuições (valores criticos) são diferentes. Teste ADF assume que " t é autocorrelacionado: 4y t = y t + 4y t + ::: + p 4y t p + " t ; (3) e a distribuição é a mesma da do teste DF. Teste PP (Phillips-Perron) tem as mesmas hipoteses da do DF

12 mas a estatistica e a distribuição são diferentes Teste KPSS inverte as hipoteses (a hipotese nula é de estacionaridade) e a estatistica e distribuição são diferentes das do DF e do PP. 2

13 5 Cointegração e modelo com mecanismo de correcção de erros Regressão espuria (desprovida de qualquer sentido economico): y t = x t + u t em que y t e x t são passeios aleatórios (I()) INDEPENDENTES. Como explicado anteriormente, sabe-se que o OLS é superconsistente, a distribuição não é a usual (testes t tendem a ser muito elevados), o R 2 tende a ser próximo de e a DW tende a ser próxima de 0 (isto porque u t é igualmente tipo I()). Este resultado é espurio porque apesar de não haver qualquer relação entre y t e x t os testes t são (enganadoramente) signicativos! Mas há casos em que y t e x t são passeios aleatórios (I()) mas em que existe 6= 0 tal que y t x t = u t é estacionário (I(0)). Exemplo: Consumo e Produto; Taxas de juro com diferentes maturidades;... Nestas condições, diz-se que y t e x t estão cointegradas, u t é o erro de equilibrio e é o parametro/vector de cointegração. Plots: No caso de relação espuria, as duas series divergem individualmente e não aparentam mover-se par a par. No caso de cointegração, as series divergem individualmente mas há uma "força" que as faz caminhar lado a lado. Teste de cointegração de Engle e Granger (EG): Como o que distingue a regressão espuria da relação de cointegração é o processo " t (se é I() ou I(0)) o teste de cointegração 3

14 é equivalente a um teste de raiz unitária (DF) aos residuos OLS y t xt b = bu t : Sob H 0 não há cointegração; Sob H há cointegração. A distribuição do teste não é igual à do DF. Se há cointegração, então um modelo a considerar é o ECM (modelo com mecanismo de correção de erros): 4 4y t = + (y t x t ) + 4x t + " t ; (32) onde todas as variaveis são estacionarias (4y t ; 4x t e y t x t ): Como não é conhecido, estimação a dois passos OLS: () Estimar em y t = x t + u t ; (2) Estimar 4y t = + y t xt b + 4x t + " t : (33) Neste modelo, a dinâmica de curto prazo está em 4x t e a de longo prazo (equilibrio) está em y t xt b : Porque é que "convêm" que seja negativo e não nulo ( < 0)? Qual é a interpretação para? Resumindo: Se y t e x t são I(0), usar modelo em niveis: y t = x t + u t : Se y t e x t são I() não cointegradas, usar modelo em primeiras diferenças (variações): 4y t = 4x t + u t : Se y t e x t são I() cointegradas, usar modelo ECM: 4y t = + (y t x t ) + 4x t + " t :

15 6 Previsão Prever uma (ou mais) serie é construir um valor (ou intervalo de conança) plausivel para o futuro (ainda não observado) com base num modelo e no histórico da mesma. Previsão out of-sample: Do total de observações T; separar em R e T R = m periodos. As R observações (in-sample) servem para estimar o modelo que será usado e avaliado para efeitos de previsão; As m observações são usadas para calcular os erros de previsão. Com base num modelo prever by t+h (h-passos). Normalmente, -passo: by t+ : Por exemplo, para y t = + 2 t + u t temos que by t+ = b + b 2 (t + ) : Por exemplo, para y t = y t + " t temos que by t+ = y t : Erro de previsão: e t+ = y t+ by t+ : Medida de erro: Como há m previsões e erros de previsão, e R+k ; k = ; :::; m; construir RMSE q(raiz quadrada do P erro quadratico médio): RM SE = m m k= e2 R+k : Entre modelos alternativos para previsão, escolher o que tem um menor RMSE. Outras medidas: Mean absolute error; Mean relative error. Previsão por extrapolação: Com base num dado modelo, prever by T +h : Como T + h ainda não foi observado não há erro de previsão até esse momento ocorrer. 5

16 7 O Modelo ARCH O modelo ARCH() de Engle, 982, (autoregressive conditional heteroskedasticity of order one) é útil para modelar a VARIÂNCIA CONDICIONAL (não o valor esperado condicional) quando esta não é constante ao longo do tempo como é, por exemplo, o caso dos retornos de activos (bolsa em geral). Modelo em níveis y t = + 2 x t2 + ::: + k x tk + u t = x 0 t + u t ; t = ; :::; T (34) que, sob E (u t jx t ) = 0; e com erros homocedasticos 6 E (y t jx t ) = x 0 t (35) V (u t jx t ) = 2 (36) mas que tem erros heterocedasticos CONDICIONADO no seu passado: V (u t ju t ) = E u 2 tju t = 0 + u 2 t ; (37) onde 0 > 0; 0 para que V (u t ju t ) > 0: Para "estabilidade" < : Distinguir Heterocedasticidade, V (u t jx t ) = h (x t ) (não é o interesse deste modelo), de Heterocedasticidade Condicional - V (u t ju t ; x t ) = V (u t ju t ) = f (u t ) : Para que V (u t ju t ) = E u 2 tju t temos de assumir que

17 E (u t ju t ) = 0; ou seja, os erros não estão autocorrelacionados (não podem ser AR()). Podendo escrever o modelo como 7 u 2 t = 0 + u 2 t + v t ; (38) onde E (v t ju t ) = 0; notamos que y t = x 0 t + u t não é linear nos parametros e por isso não se deve usar OLS. Alternativas: OLS não linear ou Máxima verosimilhança. Teste a efeitos ARCH: Teste t a no modelo com residuos OLS. bu 2 t = 0 + bu 2 t + v t ; (39) Plot de variâncias condicionais (estimadas) no tempo: \ V (u t ju t ) = b 0 + b bu 2 t : (40)