Macroeconometria 2. Mestrado em Economia Monetária e Financeira Mestrado em Economia. ISCTE-IUL, Dep. de Economia

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1 1 Macroeconometria 2 Mestrado em Economia Monetária e Financeira Mestrado em Economia ISCTE-IUL, Dep. de Economia MODELOS DE HETEROCEDASTICIDADE CONDICIONADA Luís Filipe Martins Departamento de Métodos Quantitativos, ISCTE - Escola de Gestão Lisboa, Fevereiro de 2010

2 1 Motivação Evidência Empirica (stylized fact): A maior parte das variáveis de natureza nanceira apresentam periodos de pouca utuação seguidas por periodos de grande volatilidade. Exemplo: Returns. Example 1 Brenner, Harjes, and Kroner (1996) short-term nominal interest rate y t with GARCH efects on interest rate volatility: y t+1 y t = +y t +" t+1 onde E t (" t+1 ) = 0 e E t " 2 t+1 = 2 t y 2 t onde 2 t =! + " 2 t + 2 t 1: Finding: 6= 0; 6= 0 e = 0:5: 2 Example 2 Regressão para obtenção dos betas do asset i com o mercado com a variância condicional do return do mercado como GARCH. Conditional CAPM. Example 3 GARCH-M. Mercados Financeiros: Investidores esperam maiores returns como compensação por deter uma carteira de maior risco! Alterações na variância (volatilidade) nos mercados nanceiros (juros; inação; returns;...). Por exemplo, ret t = t + u t ; onde t é o return antecipado e u t o return que não é antecipado, e onde t está relacionado com a variância de ret t : Example 4 ARCH M (ARCH-in-mean): y t = x 0 t + h t + " t ;

3 onde dá a intensidade entre o nível e a volatilidade h t de y t pois y t = t + " t ; t = x 0 t + h t : 3 Example 5 Volatilidade com regressores: Por exemplo, h t =!+ 1 " 2 t 1+D t em que D t é uma Dummy para Sept 11, Testar = 0:

4 2 Introdução Análise standard MRLM: Amostra de dimensão T; f(x 0 t; y t ) : t = 1; :::; T g e incluir o termo independente, x t1 = 1; t = 1; :::; T : y t = x t2 + ::: + k x tk + u t = x 0 t + u t ; t = 1; :::; T (1) 4 Example 6 Regressão em torno da média, k = 1 : y t = 1 + u t ; t = 1; :::; T: Example 7 AR(1); onde x t y t 1 : y t = y t 1 + u t : Hipótese standard do MRLM de interesse: Homo. (homocedasticidade não condicional nos erros) V (u t jx t ) = E(u 2 tjx t ) = 2 que implica, pela LIE, V (u t ) = E(u 2 t) = 2 ; constante, t = 1; :::; T: (2) MAS pode simultaneamente existir variância condicional de u t ; 2 t = V (u t ju t 1 ; u t 2 ; :::) = E(u 2 tju t 1 ; u t 2 ; :::); que varie com t ) OBJECTIVO: Especicar e prever a variância de y t em time series, via 2 t: Testar erros ARCH? Ver teste de Engle (Arch effects). Simplicação: u t = " t wn 0; 2 " : Se "t white noise

5 gaussiano, " t i:i:d:n 0; 2 " : Ao assumir a normalidade de " t ; aplicar técnica e resultados da estimação (conditional) MLE. 5

6 3 Modelos ARCH Engle (1982) y t = x 0 t + " t ; t = 1; :::; T: " t ARCH(m); processo autoregressive conditional heteroskedastic de ordem m : Porque, 2 t =! + 1 " 2 t 1 + ::: + m " 2 t m; t = 1; :::; T;! > 0; j 0; j = 1; :::; m: " 2 t =!+ 1 " 2 t 1+:::+ m " 2 t m+w t ; w t wn 0; 2 w ; t = 1; :::; T: ou, alternativamente, " t = p h t v t ; h t =!+ 1 " 2 t 1+:::+ m " 2 t m; v t je t 1 i:i:d: (0; 1) : Estacionaridade (raízes do polinómio autoregressivo de " 2 t fora do circulo unitário): 1 + ::: + m < 1: Implica variância nãocondicional V (u t ) = E(u 2 t) = 2 =!= (1 1 ::: m ) : Intuição: " 2 t (proxy para variância) tende a ser grande de acordo com " 2 t j ; j pequeno (passado recente). MLE para " t gaussiano (porque v t je t 6 1 i:i:d:n (0; 1)): Com

7 " t = y t x 0 t; TX l () = log f (y t jx t ; w t 1 ; ) = = w t 1 = t=1 T 2 log (2) 1 TX log (h t ) 2 t=1 0 0 ;!; 1 ; :::; m 1 2 TX t=1 y t x 0 t 2 h t ; y t 1 ; y t 2 ; :::; y 1 ; y 0 ; :::; y m+1 ; x 0 t 1; :::; x 0 0; :::; x 0 0 m+1 ARCH(1) : ::: Estacionaridade e não-degenerada:! > 0; 0 1 < 1: 7 Example 8 Engle (1982), " t ARCH(4) : taxa de inação, t ; e indice salários reais, r t ; para UK 1958:II :II, b t = 0: :162 t 1 + 0:264 t 4 0:325 t 5 + 0:071r t 1 ; h t = 1:4E 5 + 0:955 0:4" 2 t 1 + 0:3" 2 t 2 + 0:2" 2 t 3 + 0:1" 2 t 4 :

8 8 4 Modelos GARCH Bollerslev (1986) y t = x 0 t + " t ; t = 1; :::; T: " t GARCH(r; m); processo generalized autoregressive conditional heteroskedastic de ordem r; m : " t = p h t v t ; t = 1; :::; T ; v t je t 1 i:i:d: (0; 1) h t = + 1 " 2 t 1 + ::: + m " 2 t m + 1 h t 1 + ::: + r h t r ; > 0; j 0; j = 1; :::; m; j 0; j = 1; :::; r: Intuição: ARCH (1) porque (por exemplo) no GARCH(1; 1); X 1 h t = + 1 " 2 t h t 1 = + 1 j 1 "2 t j 1: j=0 GARCH(1; 1)::: Estacionaridade < 1: Example 9 Bollerslev (1986), " t GARCH(1; 1) : taxa de in- ação, t ; para USA 1948:II :IV, b t = 0: :433 t 1 + 0:229 t 2 + 0:349 t 3 0:162 t 4 ; h t = 0: :135" 2 t 1 + 0:829h t 1 :

9 5 Modelo de Volatilidade Assimétrica Especicar a variância em distintas respostas consoante a inovação (erro) é negativa (bad news) ou positiva (good news). Empirical - Efeito alavancagem: tendência para a volatilidade diminuir quando os retornos aumentam e para subir quando os retornos caem (movimentos de queda no mercado bolsista provocam maiores níveis de volatilidade do que movimentos de subida, para a mesma amplitude). Glosten, Jaganathan, and Runkle (1989), " t T ARCH(r; m); processo threshold autoregressive conditional heteroskedastic de ordem r; m : " t = p h t v t ; t = 1; :::; T ; v t je t 1 i:i:d: (0; 1) : h t = + 1 " 2 t 1 + ::: + m " 2 t m + 1 h t 1 + ::: + r h t r 1; +" 2 "t t 1I t 1 ; I t 1 = 1 0 0; " t 1 < 0 Efeito assimétrico para 6= 0 e efeito alavancagem existe se < 0: T ARCH(1; 1)::: 9

10 6 Modelos Alternativos Nelson (1991), " t = p h t v t EGARCH(r; m); v t je t 1 i:i:d: (0; 1) ; processo exponential generalized autoregressive conditional heteroskedastic de ordem r; m : " t 1 " log h t =! + 1 p t ::: + m " t m " ht 1 h t 1 p t m + m ht m h t m + 1 log h t 1 + ::: + r log h t r : ARCH M (ARCH-in-mean): y t = x 0 t + h t + " t ; onde dá a intensidade entre o nível e a volatilidade de y t pois y t = t + " t ; t = x 0 t + h t : IGARCH (integrated GARCH): GARCH com P r j=1 j + P m j=1 j = 1 Multivariate GARCH : E " t " 0 tje t 1 kk = H t: Especi- cação para H t? Numero de parametros a estimar (!) e garantir que H t é positiva semi-denida (PSD) (!) justica H t = A 0 + A 1 " t 1 " 0 t 1A B 1 H t 1 B 0 1 onde A 0 é PD (BEKK model) ou h ijt = ij p hiit h jjt ; onde ii = 1 e h iit ; i = 1; :::; k são GARCH (VECH model). (ver Engle and Kroner (1995)). Volatilidade com regressores: Por exemplo, h t =! + 1 " 2 t 1 + D t em que D t é uma Dummy para Sept 11, Testar = 0: Absolute value GARCH(1; 1) : h t =! + h t 1 + h t 1 j" t j :... 10

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