SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE ESCOAMENTOS COM SUPERFÍCIE LIVRE

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1 Revista Iberoameriana de Ingeniería Meánia. Vol. 11, N.º 3, pp , 2007 SIMULAÇÃO NUMÉRIA DE ESOAMENTOS OM SUPERFÍIE LIVRE E. DIDIER Departamento de Engenharia Meânia e Industrial Fauldade de iênias e Tenologia Universidade Nova de Lisboa aparia, Portugal (Reibido 17 de marzo de 2006, para publiaión 31 de julio de 2007) Resumo Neste artigo apresenta-se um método de simulação de esoamentos bidimensionais om superfíie livre, usando uma ténia de resolução totalmente aoplada das equações de Navier-Stokes, adaptada às malhas estruturadas e não estruturadas, e uma ténia de aptura de interfae de tipo "Volume of Fluid" (VOF). O método de resolução totalmente aoplado onsiste em resolver um só sistema linear em veloidade e pressão. Este método revela-se robusto e efiaz na simulação de esoamentos não estaionários. A ténia de aptura de interfae VOF revela-se adaptada na simulação de deformadas omplexas da superfíie livre entre dois fluidos.. Palabras lave Método de resolução totalmente aoplado, esoamentos om superfiie livre, Volume of Fluid, malha não estruturada. 1. INTRODUÇÃO A simulação dos esoamentos om superfíie livre é um domínio da Meânia dos Fluidos que se iniiou apenas há trinta anos. Foram desenvolvidos vários métodos durante este período. O primeiro método, em fluidos perfeitos, é baseado na teoria potenial. A superfíie livre representa uma fronteira do domínio de álulo onde as ondições de superfíie livre são impostas. O método é partiularmente interessante, mas limitado ao domínio oeânio, às apliações onde os efeitos visosos são desprezáveis e aos esoamentos sem rebentação. om o aumento do potenial omputaional e om o desenvolvimento das ténias numérias, foi entretanto possível simular os esoamentos visosos om superfíie livre. Dois métodos apareeram: o método "front apturing interfae" e o "front traking interfae". No método "front traking interfae", a superfíie livre é uma fronteira do domínio de álulo na qual são apliadas as ondições de superfíie livre. Geralmente, estes métodos permitem obter resultados preisos, e estão já muito desenvolvidos [1]. A limitação prinipal desta ténia está ligada à impossibilidade de representar o fenómeno de rebentação que aparee na maioria dos esoamentos reais. O método "front apturing interfae" tem omo objetivo resolver onfigurações de superfíie livre om topologias omplexas. Esta ténia permite simular o fenómeno da rebentação, de onexões de superfíie livre, e também dos esoamentos multi-fluidos. Neste método, a superfíie livre não é uma fronteira do domínio, sendo representada através dum marador ligado à própria superfíie livre, por exemplo o método MA [2], ou um indiador de presença variando no domínio de álulo. Nesta ultima ténia, as araterístias loais do fluido são determinadas através deste indiador, e a onveção desta variável permite loalizar a superfíie livre, ou a interfae, entre os fluidos. Este indiador é definido no domínio de álulo, sendo a posição da superfíie livre identifiada por um iso-valor deste indiador. Nos métodos "Level Set" [3] e "Volume of Fluid" [4], este indiador é definido usando respetivamente uma estimação da distânia à superfíie livre ou uma taxa de presença no domínio dos fluidos existentes. O presente trabalho onsiste simular esoamentos visosos om grandes deformações de superfíie livre, partiularmente asos envolvendo esoamento de agua. Usa-se em onjunto, um método de tipo "front apturing interfae", o método "Volume of Fluid" VOF, e um método de resolução das equações de

2 4 Eri Didier Fluido 2 =0.5 =0 =1 Fluido 1 Fig. 1. Repartição da fração de volume. Navier-Stokes totalmente aoplado em veloidade e pressão, para malhas estruturadas e não estruturadas. A disretização das equações e a onstrução do modelo numério apoiam-se no método de volumes finitos [5, 6]. O método de resolução totalmente aoplado apresenta-se atrativo e original [7, 8], sendo também uma alternativa aos métodos padrões não aoplados, omo o método SIMPLE. A prinipal vantagem do método onsiste no aumento da robustez ligada ao tratamento implíito e global de aoplagem veloidade-pressão. Permite ainda uma onvergênia rápida dos resíduos não lineares tornando-se uma ténia atrativa nas simulações de esoamentos não estaionários. O método de resolução totalmente aoplado revela-se preiso e efiaz, omo foi demonstrado para os esoamentos em torno de ilindros irulares isolados [9, 10]. 2. MODELO FÍSIO As equações de Navier-Stokes, para um esoamento laminar, são esritas numa forma onservativa num espaço artesiano (O, x 1, x 2 ). As variáveis são as omponentes artesianas da veloidade (u 1, u 2 ), a pressão p, a densidade ρ e a visosidade dinâmia μ. As equações de quantidade de movimento na forma não dimensional esrevem-se, 2 ρu ρ uu i i j p μ ui 1 μ ui ρ gi + = (1) t x x Re x Re x x Fr g A equação da ontinuidade na hipótese de fluido inompressível esreve-se, j i u x j j j j j = 0 (2) Define-se a fração de fluido que representa a taxa de presença do fluido 1 no domínio de álulo (Fig. 1). O valor =1 arateriza um volume de ontrolo onde há uniamente o fluido 1, o valor =0 india que o elemento ontém apenas o fluido 2. O valor médio =0.5 permite identifiar a posição da superfíie livre. A equação de transporte da fração de volume esreve-se, uj + =0 (3) t x Se o fluido de referenia (ρ o, μ o ) é onsiderado omo o fluido o mais denso, e se (ρ 1, μ 1 ) e (ρ 2, μ 2 ) são as araterístias físias dos dois fluidos, define-se ρ e μ no domínio de álulo fluido usando as seguintes relações não dimensionais, j

3 Simulação numéria de esoamentos om superfíie livre 5 V Nb S M n Nb d Nb' ' d L ',' Fig. 2. Moléula de disretização e notações. ρ1+ ( 1 ) ρ2 μ1+ ( 1 ) μ2 ρ = μ = ρ μ O número de Reynolds e o número de Froude são definidos pelas relações, UoLo ρo U o Re = Fr = μ gl o o U o e L o representam uma veloidade e um omprimento araterístios, g a aeleração da gravidade, e (ρ o, μ o ) as araterístias do fluido de referênia. o o (4) (5) 3. DISRETIZAÇÃO E RESOLUÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES As equações (1), (2) e (3) são integradas em ada volume de ontrolo. As integrais de volume são transformadas em integrais nas superfiiais do volume de ontrolo. Assim é neessário de definir os fluxos onvetivos e visosos da equação de quantidade de movimento tal omo a pressão às interfaes entre elementos. Para a equação de ontinuidade e o termo de onveção da equação de onservação da fração de volume, os fluxos são alulados nas interfaes do volume de ontrolo. Os outros termos são diretamente integrados no volume do elemento Notações Equações disretas Utiliza-se para a disretização das equações o método dos volumes finitos em onjunto om uma loalização "olloated ell-entered" das inógnitas: as inógnitas são loalizadas no entro do volume de ontrolo. As prinipais notações envolvidas no proesso de disretização são apresentadas na Fig. 2. O volume de ontrolo entral e os vizinhos são indiados por e Nb. ada volume de ontrolo é definido pelo seu volume, V, e pelo número de interfaes de superfíie S. O entro da interfae é indiado por M. Para malha não ortogonal, este ponto pode ser diferente do ponto de interseção entre os entros das élulas e a interfae, induzindo uma perda de preisão no álulo do integral disreto. A preisão de segunda ordem é onservada se o integrante for estimado no entro da interfae. Neste aso, introduz-se uma estimação dos valores à direita e à esquerda da interfae, nos pontos ' e Nb', realizando assim a interpolação no entro da interfae Esquemas de disretização A implementação do método totalmente aoplado implia a resolução dum sistema linear omplexo. Assim é neessário onsiderar esquemas de disretização implíitos ompatos, envolvendo só os

4 6 Eri Didier volumes de ontrolo adjaentes ao volume de ontrolo entral, onservando ao mesmo tempo uma preisão de segunda ordem. Estima-se o termo de tempo usando um esquema implíito de segunda ordem a três níveis em tempo. Uma interpolação linear implíita, envolvendo os dois elementos adjaentes à interfae, permite determinar um valor Φ na interfae do volume de ontrolo. Quando a malha é não ortogonal, são adiionadas orreções para definir Φ no entro da interfae. Estas ontribuições explíitas são pequenas em omparação om as outras, se a não ortogonalidade da malha for também pequena. A interpolação linear esreve-se na forma seguinte, onde o supersript expl india uma ontribuição explíita: expl φ = λφ + λ φnb + λ φ d λ φnb d + ( 1 ). ( 1 ). (6) λ = ( ) expl M Nb' / L ', ' (7) Usa-se o esquema DS, "entral Differening Sheme", para estimar os gradientes nas interfaes. O esquema ompõe-se duma parte implíita, envolvendo os dois elementos adjaentes à interfae, adiionada a orreções explíitas se a malha for não ortogonal. Nb φ Nb φ φ. n = + φ. d φ. d L Nb Nb, O termo onvetivo é disretizado através do esquema "deferred orretion", Khosla & Rubin [11]. Esta ténia permite obter soluções preisas usando esquemas de ordem elevada, sem introduzir difiuldades na resolução do sistema linear. A ideia onsiste em dividir o termo onvetivo numa parte implíita, esrita através dum esquema de primeira ordem L 1, e numa parte explíita, igual a diferença entre um esquema de ordem elevada, L 2, e o esquema de primeira ordem, L 1. φ ( ) expl φ D φ φ = L + ω L L O método totalmente aoplado não neessita de introdução de difusão numéria, e onsequentemente ω d =1. Quando a onvergênia não linear é obtida, a estimação do termo onvetivo é da ordem do esquema L 2. No âmbito do método totalmente aoplado, usa-se o esquema de primeira ordem UDS, "Upwind Differening Sheme". O esquema de tereira ordem WAEB, "Weighted-Average oefiient Ensuring Boundedness", Song et al. [12], é utilizado para o operador L Equações disretas om os esquemas preedentes, a equação de quantidade de movimento integrada num volume de ontrolo esreve-se na forma disreta seguintes: 1 u 1 u, p u, p i ( ui) = u a ( ui) Nb u a p + a pnb + s i i a a expl i i i onde s u i é um termo fonte que reagrupa as ontribuições explíitas dos diferentes esquemas. A veloidade (u i ) pode ser onsiderada omo a soma duma pseudo-veloidade (u i *) e dum gradiente de pressão, Prakash & Patankar [13]. Assim, a equação disreta de quantidade de movimento esreve-se: * 1 ui, p ui, p ( ui) = ( ui ) u a p + a p i a Nb u (8) (9) (10) (11)

5 Simulação numéria de esoamentos om superfíie livre 7 A pseudo-veloidade reagrupa as ontribuições dos termos explíitos, do termo fonte e dos termos extra-diagonais dos esquemas onvetivos e difusivos. A partir da forma disreta da equação de ontinuidade, e substituindo a veloidade pela relação (11), a onservação da massa exprima-se através das pseudo-veloidades e da pressão. Obtém-se assim uma equação disreta de pressão. Usa-se uma ténia de reonstrução de Rhie & how [14] para estimar os fluxos de gradiente de pressão nas interfaes do volume de ontrolo. ( ui ) 1 a p + a pnb n i S = 0 (12) * ui, p ui, p u i a As diferentes equações disretas, de quantidade de movimento, de pseudo-veloidade e de pressão, são esritas sob a suas formas simbólias: * U U + GP = 0 (13) * U U = S U * (14) DU * DG P = S P (15) G é o operador gradiente, reagrupa os oefiientes dos esquemas de onveção- difusão fora da diagonal e D é o operador divergênia. S reagrupa os termos fontes e a parte explíita dos esquemas de disretização Método Volume of Fluid O método VOF é baseado na onveção duma fração de volume [4]. A prinipal vantagem é a failidade obter a posição da superfíie livre resolvendo apenas uma equação de transporte. No entanto é neessário estimar os fluxos onvetivos usando esquemas de disretização que permitem onservar as propriedades do ampo da fração de volume: valores limitados de, 0<<1, que onstitui o ritério "onvetion Boundedness riterion", B [15], zona de transição fina entre os fluidos para onservar o aráter não misível dos fluidos, minimizar a difusão numéria das não ontinuidades e onservar a estabilidade numéria. Usa-se para a disretização da equação (3) um esquema Euler expliito. t t V + ( ui. ni) S = 0 (16) Δ t t+ dt t O esquema de disretização para o termo de onveção é determinante neste tipo de método. Não se pode usar o esquema "entral Differening Sheme" pois o ritério de B não é verifiado. Os outros esquemas, omo o esquema "Upwind" de primeira ordem, são demasiadamente difusivos introduzindo uma mistura artifiial dos dois fluidos. A solução é adoptar os esquemas designados por "High Order Mixing Sheme", que permitem eliminar as osilações não físias, verifiando os ritérios indiados. Estes esquemas apoiam-se na ténia de "Normalized Variable Diagram", NVD: HRI de Peri [16], ISAM de Ubbink [17] ou Gama de Jasak [18]. São lassiamente esritos reorrendo a variáveis normalizadas que permitem representar num diagrama NVD a fração de volume normalizada ~ na interfae do elemento em função da fração de volume normalizada ~ do elemento entral. De maneira geral, é possível determinar a fração de volume normalizada no diagrama NVD através da relação seguinte [15], U ~ = (17) D U

6 8 Eri Didier D Esquema Gama onveao 1 Esquema D U 1/2 Esquema UD U D β 0 1 m Fig. 3. Perfil típio de fração de volume. Fig. 4. Esquema Gama no diagrama NVD. Os índies U e D designam respetivamente o nó a montante e jusante do nó entral (Fig. 3). Assim o valor de na interfae está neessariamente ompreendido entre os valores de U e D, o que permite suprimir as osilações não físias. No diagrama NVD, este ondição exprima-se pela relação 0 ~ 1 que verifia o ritério B. O valor de é determinado em função. Adopta-se neste trabalho o esquema Gama proposto por Jasak [18], representado no diagrama NVD na Fig. 4. O esquema mais adaptado é seleionado em função do valor de ~ : para ~ < 0 e ~ > 1 o ritério B india que se deve usar o esquema UDS. ~ ~ = (18) se β m ~ 1, usa-se o esquema DS. Outros esquemas de ordem superior poderiam ser utilizados, mas para malhas não estruturadas este esquema revela-se sufiiente (Jasak [18]). ~ 1 1 ~ = + (19) 2 2 se ~ < β m, adopta-se uma ombinação entre o esquema UDS e DS usando o parâmetro de ponderação γ. Para γ = 0 (ou ~ = 0 ) usa-se o esquema UDS e para γ = 1 (ou ~ = β m ) o esquema DS. O fator de ponderação do esquema Gama é definido por, ~ γ =, 01. βm 05. (20) β ~ m ~ 2 1 = + 1+ ~ 2 β 2β m O valor reomendado por Jasak [18] é β m = 0.2. A resolução expliita da equação de transporte de fração de volume impõe determinar um ritério de limitação do passo de tempo através do número de ourant, N ( uj. nj ) SΔt = max 0, V s Para assegurar a onvergênia, N deve tomar um valor baixo inferior a aproximadamente 0.1. m (21) (22)

7 Simulação numéria de esoamentos om superfíie livre Método de resolução totalmente aoplado das equações de Navier-Stokes O únio sistema linear totalmente aoplado em veloidade e pressão esreve-se reagrupando as equações (13), (14) e (15): I I G U I U D DG = * 0 0 P 0 S * U (23) S P sendo I a matriz identidade. A matriz deste sistema linear é muito esparsa, não simétria, om grande dimensão e o seu ondiionamento é elevado, partiularmente para o bloo de pressão DG. É assim neessário usar um algoritmo iterativo de resolução. O algoritmo BiGSTAB-ω, Sleijpen and Van Der Vorst [19], assoiado a um pré-onditionamento LU apresente-se omo a melhor estratégia de resolução. A utilização do algoritmo preedente permite obter um método de resolução totalmente aoplado robusto. Em oposição aos métodos segregados, omo SIMPLE, Issa [20], ou PISO, Patankar [21], onde as equações disretas são resolvidas sequenialmente, o método totalmente aoplado resolve um únio sistema linear, permitindo obter a solução do ampo de veloidade e de pressão simultaneamente. ontrariamente aos métodos segregados, a ténia de aoplagem total entre veloidade e pressão não requer etapa de orreções, parâmetros de relaxação ou outros tipos de tratamentos para garantir a onvergênia. A aoplagem entre a veloidade e a pressão permite simular om efiiênia os fenómenos não-lineares, partiularmente importantes na simulação de esoamentos não estaionários. A ténia de resolução induz igualmente uma aeleração da onvergênia dos resíduos não-lineares. Uma redução dos resíduos de 5-6 ordens é obtida em 4-6 iterações não-lineares. Em omparação, os métodos segregados, no mesmo número de iterações, permitem uma redução de apenas uma a duas ordens. A onvergênia do método totalmente aoplado é analisada no aso da simulação do esoamento em torno dum ilindro irular, para um número de Reynolds, Re=300. Usa-se uma malha de tipo "O" que tem as araterístias seguintes: 200 e 165 nós nas direções angular e radial respetivamente, o primeiro nó situado a 10-3 D da parede. O passo de tempo é dt=10-2. As Fig. 5, Fig. 6a e Fig. 6b representam a evolução da onvergênia relativa ao tempo não dimensional t=150. A Fig.5 monstra a onvergênia do resíduo normalizado na resolução do sistema linear totalmente aoplado durante o proesso não-linear, para um ritério de onvergênia tol =10-3 (indiado pela linha desontinua). Este resíduo é definido pela relação seguinte: r R = tol (24) R O r india o resíduo normalizado, R o resíduo e R O o resíduo iniial. Nas Fig. 6a e Fig. 6b, representam-se o número de iterações neessárias para a resolução do sistema linear e o omportamento dos resíduos não-lineares. Os resíduos não lineares de veloidade e pressão são definidos, usando uma notação igual à preedente: r u u R u = tol u, e r R O p p R p = tol p (25) R No iníio do proesso não linear, são neessárias 27 iterações para resolver o sistema linear, omo se pode ver nas Fig. 5 e Fig. 6a. Observa-se igualmente, durante esta primeira iteração, uma redução muito forte dos resíduos (Fig. 6b). om efeito, esta etapa orresponde à prinipal fase de resolução das não linearidades, onde os resíduos são reduzidos da ordem de grandeza 0 para a ordem 3-4. Depois, na segunda iteração não linear, o sistema linear é resolvido em dez iterações. É apenas neessária uma iteração após a quinta iteração não linear, omo é observável na Fig. 6a. O resíduo normalizado do

8 10 Eri Didier Residuo normalizado Iteraao Fig. 5. onvergênia do resíduo do sistema linear totalmente aoplado, Re=300, t=150., Numero de iteraao, (a), Iteraao nao lineares Residuo normalizado (b) Residuo Residuo Residuo u 1 u 2 p Iteraoes, nao lineares Fig. 6. onvergênia para Re=300, t=150; (a) número de iterações neessário na resolução do sistema linear para ada iteração não-linear; (b) onvergênia dos resíduos não-lineares. sistema linear fia inferior ao ritério de onvergênia desde a primeira, e únia, iteração (Fig. 5). Este omportamento orresponde a uma estagnação dos resíduos não lineares, ilustrado na Fig. 6b. Assim, nota-se que em só duas iterações não lineares, os resíduos normalizados de veloidade e de pressão são já da ordem de Os métodos segregados neessitam, para alançar esta preisão, de um número substanialmente superior de iterações. Este análise onfirma a robustez e rapidez do método totalmente aoplado. 4. APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS RESULTADOS OBTIDOS Apresentam-se esoamentos onde a deformação da interfae entre os dois fluidos é omplexa. A primeira simulação numéria, modelando as instabilidade de Rayleigh Taylor, permite verifiar o omportamento do modelo desenvolvido. As apliações seguintes, ada vez mais extremas, demonstram a validade e a efiáia do presente modelo Instabilidades de Rayleigh Taylor Foram Rayleigh e Taylor que iniiaram o estudo deste fenómeno. Este esoamento desenvolve-se quando o equilibro instável de dois fluidos sobrepostos de densidade diferente rompe-se, estando o fluido mais denso por ima do fluido mais leve. Observam-se araterístias diferentes no esoamento em função da diferença de visosidade inemátia e de densidade. As araterístias físias da simulação são: o fluido mais denso oupa a metade superior da uba e tem densidade kg/m 3, o outro fluido tem densidade kg/m 3. A visosidade dinâmia é igual a kg.m -1.s -1. O esoamento desenvolve-se dentro dum tubo retangular vertial, 1 por 4 m.

9 Simulação numéria de esoamentos om superfíie livre H(m) X DES1 DES2 ST1 ST2 Expe. Pukett X X X t (s) Fig. 7. Posição de frente da bolha do fluido mais denso. onvergênia da malha Fig. 8. Instabilidade de Rayleigh Taylor. Evolução do esoamento no tempo: da esquerda à direita, t=0.5s; t=0.7s; t=0.9s, t=1.1s; t=1.3s; t=1.5s. Esta simulação revela-se relativamente fáil não obstante as importantes deformações da interfae entre os dois fluidos, pois a diferença de densidade é apenas de uma ordem de grandeza induzindo assim uma variação pequena nos gradientes de pressão na zona de transição dos fluidos. Foram utilizadas duas malhas estruturadas, ST1 e ST2, om (32x128) e (64x256) elementos, e duas malhas não estruturadas DES1 e DES2, om 6840 e elementos. ompara-se na Fig. 7 a posição do ponto mais abaixo de fluido pesado em relação à sua posição iniial, ou seja a frente da bolha do fluido mais pesado (ver Fig. 8), om os resultados de Pukett [22], para as quatro malhas. Observa-se a onvergênia dos resultados om o refinamento da malha e um bom aordo entre os resultados obtidos om as malhas ST2 e DES2. Uma pequena diferença aparee nestes resultados, nomeadamente após 0.9s.

10 12 Eri Didier b/(2a) Expe. Malha grosseira Malha fina t*(g/a) 1/2 Fig. 9. Posição da superfíie livre na parede esquerda. l/a Expe. Malha grosseira Malha fina t*(2g/a) 1/2 Fig. 10. Posição da frente da superfíie livre no hão. No entanto, os resultados para as duas malhas finas, ST2 e DES2, fiam oerentes e em bom aordo om os resultados de Pukett. Na Fig. 8, apresenta-se o esoamento, para à malha ST2, em 6 tempos diferentes, entre o tempo 0.5s e 1.5s. Observa-se a reduzida dimensão da zona de transição, omposta por apenas 5 a 6 elementos, o que é muito satisfatório para um método sem reonstrução de interfae Queda duma oluna de água numa uba aberta A queda duma oluna de água apresenta grandes e omplexas deformações da superfíie livre e é um simulação lássia na validação dum ódigo numério. Três onfigurações são apresentadas, apresentando ada vez um esoamento mais omplexo: a queda simples duma oluna de água numa uba aberta, nesta seção, a queda duma oluna de água numa uba vazia, na seção seguinte, 4.4, a queda duma oluna de água numa uba om um obstáulo no hão, na seção 4.5. A uba tem um omprimento grande, a oluna de água tem as seguintes dimensões, 2a=0.292m de altura e a=0.146m de omprimento. São utilizadas duas malhas não estruturadas onstituídas por 8200 e elementos respetivamente a malha grosseira e fina. Nas Fig. 9 e Fig. 10 observa-se a evolução da posição da superfíie livre na parede esquerda da uba, b, e a posição da frente da superfíie livre no hão da uba, l. Observa-se uma muito boa onordânia entre os resultados numérios e experimentais de Martin and Moye [23], partiularmente para a elevação de superfíie livre na parede. Paree que om malhas mais finas a posição da frente do esoamento é estimada om menor preisão. No entanto os autores indiam a difiuldade em obter experimentalmente a posição da frente do esoamento, de mais difíil identifiação que a altura de água na parede esquerda Queda duma oluna de água numa uba fehada A uba tem um omprimento de 4a=0.584m, a oluna de água no lado esquerdo tem 2a=0.292m de altura e a=0.146m de omprimento. As duas malhas não estruturadas são onstituídas por 3700 e 7500 elementos, respetivamente para a malha grosseira e fina. As Fig. 11.a até Fig. 11.f permitem omparar os resultados numérios da deformação da superfíie livre om os obtidos experimentalmente por Koshizuka [24] para 6 tempos, 0.0s, 0.2s, 0.4s, 0.6s, 0.8s e 1.0s. Na generalidade pode onstatar-se uma boa onordânia entre as fotografias e as simulações. Na Fig. 11.b, para o tempo t=0.2s, a água oupa 75% do hão e aparee uma língua fina na parte frontal do esoamento. Para o tempo t=0.6s, a água atingiu a parede direita tendo iniiado o seu movimento vertial nesta parede. Junto ao hão observa-se uma boa onordânia relativamente à posição horizontal da superfíie livre e à amada fina de fluido. A amada de fluido na parede direita é também oerente om os resultados experimentais.

11 Simulação numéria de esoamentos om superfíie livre 13 (a) (b) () (d)

12 14 Eri Didier (e) (f) Fig. 11. Queda duma oluna de água numa uba: omparação da deformação da superfíie livre entre a simulação numéria e a experiênia: (a) t=0.0s; (b) t=0.2s; () t=0.4s; (d) t=0.6s; (e) t=0.8s; (f) t=1.0s Após à ação da força dinâmia responsável da subida da água, iniia-se o fenómeno de rebentação devido ao efeito da força da gravidade. No instante t=0.8s, Fig. 11e, aparee a primeira rebentação. No instante t=1.0s, Fig. 11f, uma língua de água é impelida para parede esquerda fiando uma bolha de ar aprisionada pela água. Pode-se onstatar que o método numério revela-se satisfatório na simulação deste tipo de esoamento, pois embora a transição apresenta-se fina, não há exesso de difusão Queda duma oluna de água numa uba om um obstáulo As dimensões da uba e da oluna de água são iguais às do aso preedente. O obstáulo está situado à distânia de 2a da parede direita, a=0.146m, tem 2d de altura e d=0.024m de omprimento. omparam-se para seis instantes, na Fig. 12, as deformações da superfíie livre aluladas numeriamente om fotografias do esoamento da oluna de água, únios resultados experimentais disponíveis [24]. Observa-se uma boa onordânia entre as simulações e os dados apesar da omplexidade do esoamento e das grandes deformações da superfíie livre: nas Fig. 12b e Fig. 12, orrespondente ao tempo 0.1s e 0.2s, observa-se uma boa onordânia entre os resultados numérios e as fotografias na forma da superfíie livre, antes e logo depois o impato om o obstáulo, na língua de água impelida após o impato no obstáulo em direção da parede direita e na forma araterístia da superfíie livre à esquerda do obstáulo, para o tempo t=0.3s (Fig. 12d), no impato na parede direita e na forma horizontal típia da superfíie livre à esquerda do obstáulo para o instante t=0.5s, Fig. 12e.

13 Simulação numéria de esoamentos om superfíie livre 15 (a) (b) () (d)

14 16 Eri Didier (e) (f) Figura 12. Queda duma oluna de água numa uba om um obstáulo: omparação da superfíie livre: (a) t=0.0s; (b) t=0.1s; () t=0.2s; (d) t=0.3; (e) t=0.5s; (f) t=0.6s. Efeitos dinâmios importantes estão assoiados ao esoamento apresentado. Assim, mesmo para uma grande diferença entre a densidade dos fluidos que induz gradientes de pressão fortes, a zona de transição fia fina ao longo da simulação. 5. ONLUSÕES O método de resolução numéria totalmente aoplado assoiado ao método de "interfae apturing" VOF, aqui desen volvido para malhas estruturadas ou não estruturadas, revela-se adaptado para simular esoamentos que apresentam deformações importantes da superfíie livre e uma dinâmia rápida. A zona de transição é omposta apenas por 5 ou 6 elementos, assegurando assim uma boa representação da evolução da superfíie livre. Foi modelado esoamentos omplexos que permitem onsiderar, a urto prazo, apliações para problemas omplexos de interesse prátios e de engenharia. 6. REFERÊNIAS [1] Alessandrini, B., Delhommeau, G., "A fully oupled Navier Stokes solver for alulation of turbulent inompresible free surfae flow past a ship hull", International Journal for Numerial Methods In Fluids, 29(2), (1999) [2] Harlow, F.H., Welsh, J.E., "Numerial alulation of time dependent visous inompressible flow with free surfae", Physis of Fluids, 8, (1965)

15 Simulação numéria de esoamentos om superfíie livre 17 [3] Sussman, M., Smereka P., Osher, S., "A levet set approah for omputing solutions to inompressible twophase flow", J. omp. Phys., 114, (1994) [4] Hirt.W., Nihols, B.D., "Volume of fluid VOF method for the dynamis of free boundaries", J. omp. Phys., 39, (1981) [5] Didier E., Alessandrini, B., "Simulation d éoulements visqueux à surfae libre pour des géométries omplexes à l aide de maillages destruturés", Proeedings, 8ième Journées de l Hydrodynamique, Nantes (2001) [6] Didier, E., "Simulation d'éoulements à surfae libre sur des maillages destruturés", Tesis Dotoral, Eole entrale de Nantes, Nantes (2001) [7] Deng, G.B., Piquet, J., Vasseur X., Visonneau, M., "A new fully oupled method for omputing turbulent flows", omputers & Fluids, 30, (2001) [8] Ammara, I., Masson,., "Development of a fully oupled ontrol-volume finite element method for the inompressible Navier-Stokes equations", International Journal for Numerial Methods In Fluids, 44, (2004) [9] Didier E., Borges, A.R.J., "Unsteady Navier-Stokes equations: a fully oupled method for unstrutured mesh", Proeedings of 12th Int. onf. on Modelling Fluid Flow, eds. T. Lajos & J. Vad: Budapest, (2003) [10] Didier, E. Borges A.R.J., Gil, L., "Simulação numéria de esoamentos laminares e turbulentos em torno de orpos ilíndrios", Proeedings of VII ongresso de Meânia Apliada e omputaional, Évora, Portugal (2003) [11] Khosla P.K., Rubin, S.G., "A diagonally dominant seond-order aurate impliit sheme", omputers fluids, 2, (1974) [12] Song, B., Liu, G.R., Lam, K.Y., Amano, R.S., "On a higher-order bounded disretization sheme", International Journal of Numerial Methods in Fluids, 32, (2000) [13] Prakash,., Patankar, S.V., "A ontrol-volume-based-finite-elemet method for solving the Navier-Stokes equations using equal-order veloity-pressure interpolation", Num. Heat Transfer, 8, (1985) [14] Rhie.M., how, W.L., "A numerial study of turbulent flow past an isolated airfoil with trailing edge separation", AIAA Journal, 21, (1983) [15] Leonard, B.P., "Simple high-auray resolution program for onvetive modeling of dison-tinuities", International Journal for Numerial Methods In Fluids, 8, (1988) [16] Peri, M., "Basis of visous flow FD, FD for Ship and Offshore Design", 31st Wegemt Shool (1999) [17] Ubbink, O., "Numerial predition of two fluid system with sharp interfae", Tesis Dotoral, Imperial ollege (1997) [18] Jasak H., Weller, H.., "High resolution NVD differening sheme for arbitrary unstrutured meshes", pagina internet: (1996) [19] Sleijpen G.L.G., Van Der Vorst, H.A., "Maintaining onvergene properties of BiGSTAB methods in finite preision arithmeti", Numerial algorithms, 10, (1995) [20] Issa, R.I., "Solution of the impliit disretized fluid flow equations by operator-splitting", J. omp. Physis, (1985) [21] Patankar, S.V., Numerial Heat Transfer and Fluid Flow, MGraw Hill (1980) [22] Pukett, E.G., Almgren A.S., Bell, J.B., "A high order projetion method for traking fluid interfaes in variable density inompressible flows", J. omp. Phys., 100, (1997) [23] Martin J.., Moye, W.J., "An experimental study of the ollapse of liquid olumns on a rigid horizontal plane", Phil. Trans. So. London, A244, (1952) [24] Koshizuka, S., Tamako H., Oka, Y., "A partile method for inompressible visous flow with fluid fragmentation", J. omp. Fluid Dynamis, 4(1), (1995)

16 18 Eri Didier BREAKING FREE-SURFAE FLOW NUMERIAL SIMULATIONS Abstrat Simulations of omplex free-surfae flow are presented using a solver based on the following methods. A fully oupled resolution method is developed to resolve the Navier-Stokes equations. A finite-volume approah, adapted to strutured and unstrutured meshes, is used. With this method, only one linear system in veloity-pressure is solved. The free surfae is simulated by the "Volume-Of-Fluid" interfae apturing method. This global approah allows the simulation of omplex flows, like breaking waves. Keywords Fully oupled resolution method, free surfae flow, Volume of Fluid, unstrutured mesh

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