O desenvolvimento em série e a deri gração das funções tan. x e cot. x.

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1 O desenvolviento e série e a deri gração das funções tan. e cot.. FREDERICO PIMENTEL GOMES Assistente e livre-docente da cadeira de Mateática ÍNDICE Introdução 84 O desenvolviento foral de tan. e cot e série de potências de 64 3 A desigualdade de Jordan O desenvolviento de cot. e tan. e série de trações parciais 58 5 Ua aplicação do cálculo dos resíduos Ua fórula iportante $8 7 A derigração de tan. e cot U pequeno apêndice fl 9 'Bibliografia citada T3

2 INTRODUÇÃO O fi deste nosso trabalho é discutir a derigraçâo das funções tan., e cot., que nao fora consideradas na nossa tese denoinada "Introdução ao Estudo dos Derigrais". O odo ais conveniente de realizar a derigraçâo dessas funções é, segundo nos parece, a partir do seu desenvolviento e série. Não é uito dificíl obter o desenvolviento foral de tan. e cot. e série, as a discussão da convergência dessas séries, que é indispensável, eige conhecientos ais aprofundados e pouco acessíveis. Por isso é que resolveos publicar u trabalho ais copleto e que, alé da parte relativa à derigraçâo, o desenvolviento e série das funções acia referidas é discutido co detalhes. Dai o fato de só sere originais neste artigo os capítulos 6 e 7. Procuraos escrever u trabalho tão siples quanto possível, evitando, poré, conseguir siplicidade à custa de perda de rigor. O capítulo 5 será interessante e de leitura fácil para os que conhece a teoria das funções analíticas. Os que ainda não se aprofundara nesse assunto poderão deiá-lo de lado, se que isso prejudique a copreensão do resto do trabalho. Os núeros entre colchetes se refere à bibliografia. O DESENVOLVIMENTO FORMAL DE TAN. E COT. EM SÉRIE DE POTÊNCIAS DE Para = s ( n -) -) TT, c o definição ta". X = n = 0, ±, ±,... teos por sen. cos. A função tan. é ua função ípar, pois tan. ( ) = =; tan.. Logo no seu desenvolviento e série de potências ao + ai* + *X + + a n n -fdeve ser nulos todos os coeficientes de potências pares de. Logo deveos ter

3 sen. (.) tan. = =a l X + a a COS. X Para calcular os coeficientes al, a, etc., substituios sen. e cos. pelo seu desenvolviento e série, que é, coo se sabe 3 5 sen. =... 3! 5! 4 COS. X =...! 4! Segue-se que deveos ter "^ = (n, + a 8 s 4-...) ( ) 3! ^ 5!! ^ 4! _ ^ + JL 5 _?!...= a i + X 3(a 3 - ^)+*(a 5 -^ + *)+ 3! ^ 5! 7!!! ^ 4! a 5 a 3 ai + X7 (a 7 + ) +...! 4! 6! Igualando-se os coeficientes de potências iguais de, obté-se fácilente os coeficientes da nova série. Teos então j ai _. i i ftl _ a 3 3 a 3 j 3 j _ ^ a a_a3_i_ai = l_. a = 3 _ a i _ j _ l _ 5! 4 5! ** 5! 4! 5! 5 a E e geral a?n - an 3.. / ai. ( )" n + l -! ' (n)l + (n-hl)! Assi obtenaos a série 7 (.) tan. = -] 3 _

4 Para cot., de sua definição cos. cot. X =, sen. válida para d n If co n= 0, ±, ±,..., resulta que não é possível seu desenvolviento e série de potências de. Pode-se superar essa dificuldade pela consideração da função H () = cot?,, para = r 0, H (0) =. Coo li cot. =, o à função H () é contínua e todo o intervalo Tf" Tf e pode ser desenvolvida e série de potências de. Coo essa função é par, isto é, coo H ( ) = H (), a série correspondente terá nulos todos os coeficientes de potências ípares de. E ve (.3) H () = b 0 + ba + b Para =j=0 tsos então (,4) cos. = sen. (b 0 -f b + b ). E coo essa igualdade vale tabé para = 0, ela é válida e todo o intervalo Tf Tf, e perite calcular facilente, à seelhança do que fizeos no caso anterior, os coeficientes bo, b, etc, para os quais se obté bo =, b =, b 4 =, b 6 =, e e geral bn- bn 4 bo ( )" b n= (-)"- + 3! 5! (n+l)l (n)l Portanto teos (.4) H () = X

5 Qual será, poré, o raio de convergência dessas séries? Para resolver essa questão buscareos, nos capítulos 4 e 5, u outro desenvolviento e série para as funções e questão. Pará a copreensão do quarto capítulo precisaos antes, por ré, deonstrar ua desigualdade de grande iportância, o que será feito a seguir. 3 A DESIGUALDADE DE JORDAN E' conhecida por esse noe a desigualdade (3.) sen. ^ ~ Tf Tf válida para ^ ^ 0- Para ela há nuerosas deonstra- çõies (), as entre todas preferios a seguinte, que nos foi indicada pelo Prof. Hélio Penteado de Castro. Se toaros t sen., (3,) se transfora e ou ainda t arc sen. t, (3.) arc sen. t zl Mas é be conhecido o desenvolviento e série t 3. 3 t t 7 (3.3) arc sen. t t -) f , (n ) t D +, n n -f Essa série converge, coo se prova facilente, para z t z. Dela concluíos para t = que + Ver, por eeplo, Whittaker e Watson [6, p. 5] ou Copson [, p. 36].

6 If (3.4) arc sen. = _ = i - _ - {-...-[ , (n ), n n -f- Ora, de (3,3) resulta que ~ t.3 t t 6 (3.5) arc sen. t = t i_ h (n ) t n n n + Então para 0 < t < teos, evidenteente, coo se vê pela coparação de (3,4) co (3,5), arc sent, t t. Dai resulta que V <C sen., ou sen. > T if para 0 <Z <C. E coo para = 0 e = teos sen =, If fica (3,) deonstrada. Entretanto, coo para -íl ^ 0 ^ " teos ainda sen., podeos escrever co toado nesse intervalo ^ sen. -^. -=r

7 4 O DESENVOLVIMENTO DE COT. E TAN.X EM SÉRIE DE FRAÇÕES PARCIAIS Sabeos da fórula de Moivre() que (cos. t -f- i sen. t) cos. t -f- i sen. t. Suporeos u núero inteiro e positivo. Igualando os coeficientes de i e abos os ebros depois de divididos por sen. t (o que eige t 4= k Tf, co k 0, ±, ±,...) ve sen. t () (4,) = () eos^t ( ) eos.»- t sen. t sen.t + (-l) n ( n +i) sen^t. sendo = n +, portanto u núero Ipar. Seja z = sen.t. Então o segundo ebro de (4,) será u polinoio e z de grau n. Mas o prieiro ebro se anula para _ ir _ T T ti, t%,.... t n. Logo as n raizes do segundo ebro são T T T r! = sen., r = sen.,..., r n = sen. n. Nessas condições o o. ebro poderá ser fatorado coo se segue sen. t z z z = (- -) ( )... ( ), sen. t r t r r n pois abos os ebros tê o eso liite quando t > 0. Esta deonstração foi adaptada de La Vallé* Poussin [3, o. vol., pp ] as aproveitaos tabé uitos detalhes dados porknopp [, pp ].

8 Indicando-se por L o logarito natural ou neperiano e supondo-se t = e ainda Tf «< << Tf > v e sen sen n L = L ( ) k=l rk sen Eige-se aí iplicitaente que tenhaos sen/ sen/ = <, rk o k If sen. isto é, que seja sen klf sen > 0. Ora, para ff < < Tf isso sepre é possível, desde que se toe suficienteente grande. E se pode até deterinar u núero N tal que para todo > N tenhaos ktf sen. sen. > sen. klf > 0. Suporeos sepre satisfeita esta últia condição. Seja < p < n e podereos escrever sen sen p L = S L ( ) + R p, k=l ktf sen _ sen _ e que R p indica a soa dos teros restantes.

9 Sabeos que para < ^ teos X 3 n L ( + ) = ( l ) n Logo concluios que I L ( + X) ) < X E para ^ < teos então L ( ) I = I L ( + ) I <. X X Podeos portanto escrever [ X sen^ 9 k tt sen - ^ - s e n Z k = L (- ) < a en ML sen -~ _^, z k < sen X_ sen l = i -M_ - _ML * sen _ s e n l_ k Mas para ^ ^ 0 teos pela desigualdade de Jordan ktf sen ^. klf = k. Tf Coo o aior valor de k é n = desigualdade é sepre aplicável., segue-se que esta

10 Portanto teos ainda Z k < X j ^ ^ 4k " = 4k < 4 (k r ) sendo r =. Para k suficienteente grande e relação r o leitor verifica que (k r) > (k r) > (k-r-) (k-r) Logo teos, nessas condições Z k < = ( ) 4 (k-r-) (k-r) 4 k-r- k-r E então ve I R P [ = n 7 Z k <. k = + 4 (p-r) E agora conclui-se logo que li R p =0. p > 0 Mas coo > p, se p tende para infinito o eso acontece co. E então sen li sen = li 7 oo > oo E fica portanto sen. oo L = L ( ) k = l k Tf oo..*. L sen. = L-f JJ L(l ). k = k Tf

11 Esta série nos dá por derivação X oo. (4.) cot, = :: k = l : k 8 Tf* X* Esta derivação é lícita para todo =J= k T]V 0 0 * = > ±, ±,..., pois a série derivada é então absoluta e uniforeente convergente «todo intervalo que não inclua u dos pontos ecluídos. Essa conclusão sobre a convergência da série resulta de que a relação entre seu tero geral para o tero geral da série. oo E -T te liite quando k De (4,) resulta k = * oo oo I (4.3) cot. = > k = l k Tf - ( ) ktf que vale para Tf <<Tf> desde que, considereos no I o. ebro a função continua f ()= cot para =4= O, f (0)=. Mas k X = l-f-x + _ _..._ _n -{-... para < <. Portanto para Tf < < Tf teos para k =,, 3,... (4.4) - = H (-_)! + (JL) ( ) ktf ktf ktf -( ) kar A convergência absoluta de (4,3) nos perite substituir lá o. ebro de (4,4) pelo segundo e odificar a orde dos teros até obter

12 (4.5) cot. = ( h.. ) ^ 3 4 ( )- - jj Seja n ( )-... ji;n n n 3n S n = n n 3n e a coparação de (4,5) co (,) nos ostra que bo =, b = S, b 4 = S 4,..., a a 4 b n = S n e portanto Jt n 4 n (4.6) cot. = S S 4... S n... Evidenteente li s n = - n y oo Logo a aplicação do teste de convergência de Cauchy nos dá logo n n lira l / b n = li /. S n n 00 X n 00 a y 3 de onde se conclui que o raio de convergência da série é # isto é, que (,3) converge para # < < jt. '

13 Sabeos que cos cos sen cot = = = cot - tan sen sen cos Logo tan. = cot. cot, e (4,5) nos dá, co < # } S 4 S 4 tan. = ( ) -\.(4 ) Jt Ji 4 4 (n ) +... Jt n S 3 S 4 (4,7) tan. = ( ) 4. (4 ) Jl Jt 4 X "- S n + (n _ ) _ _... A coparação de (4,6) co (,) nos ostra que Sgn a n _, = (n - ), Jt n de onde se conclui fácilente que a série (,) converge, coo já se podia prever, para Jt 3 < X < -. 5 UMA APLICAÇÃO DO CALCULO DOS RESÍDUOS Se o leitor estiver failiarizado co o Cálculo dos Resíduos, o desenvolviento de cot. e série de frações parciais se tornará uito ais siples e direto. Basta para isso considerar a função f (Z) = cot. Z para Z 4=0, f (o) = Z

14 e toar para contornos Cn os quadrados de vértices (n -[ ) (± ± i). Prova-se então que a essa função se pode aplicar a conhecida fórula (3) oc f (Z) = f (o) + b k ( + ), k=l ak Z - ak e que a k (k =,,...) indica os polos siples de f (Z) eb k > os respectivos resíduos. Verifica-se logo que a k = njr (n = ±. ±,...) b k = E ve oo f(z) = ( -r + + ) k=l kjt Z kjt kjt Z+kJT 00 = Z. k-=l k ^ -Z 00 :. Z cotz = Z -. k=l k Jt Z 6 UMA FÓRMULA IMPORTANTE Vios antes [, p. ] que (6,) \J ft)= \J f(t)-r a b f' h -0- J a Entretanto, coo essa fórula foi dada se deostração, não é deais por certo procurar prová-la agora. 3 Ver, por eeplo, Copson [, pp ] ou Phillips [5, pp. 3-33].

15 Seja f>^>b>a>d e seja ainda f (t) ua função definida e restrita e d M f. Por definição, o derigral de orde Q no ponto a partir de a da função f (t) é o liite da epressão -S N i Ñ k S (-) (pf[ + (<9-i) h ], i = o -a quando N s oo, sendo k = e h u infinitésio co N N equivalente a k. E escreveos então 6> - 0 N i Ñ \ \ f(t)= M k (-) (V)f[+(6>-ih] ai_y N oo i = o Seja Q u núero natural tal que tenhaos (6.) + ( <9-Q)h^b>+(6> Q D h. Podeos escrever que Q i (6.3) P) f(t)=li k E (-) (f) f[ + (0-i)h] + a YJ N->oo i =o + li k S (-)(V) f[ + (0-i)h] N oo i==q+l De (6,) obteos logo a h a h (6.4) + (<9-Q). ^ b > + (0-Q-). - N k N k Agora se N > oo, evidenteente Q tabé tende para infinito. Passando-se ao liite, (6,4) nos dá logo Q b (6,5) li =. N +00 N a

16 Logo b Q a e k - são infinitésios equivalentes. N Segue-se que ~ Q i Ñ (6,6) li k (-) (V) f [ + (@-i)h] = N-*oo i=o = li b ( ^ ) Q fi -) [ ) f [ + (<9-i)h ] Q^oo H i = o 0 - b D Resta discutir o segundo tero do segundo ebro de (6,3). Teos Y = li k ( )( V) f [ + (<9 i)h] N-*oo : i=q+l ~ N 0 N-Q 0, J 0 = li ( ) «(-) (gv,.) f[ -f«9 - Q - i)h] N oo -a i V-ri Mas coo sabeos [, p. 8] Logo teos = / M-a-l N oo N - * r(-a) Q (-a) N Q 0 0 Y = li 7 N (Q+i) f[ 4-(@-Q~i)h] n >oo n-e) i=i

17 0 (-a) N Q f[ + (0-Q i)h] = i. r{ 0) N^oo i=l. 0+ N v (- + -) N N 0 í*k = (-a) / f[b-(-a)y] d y f P{ 0) I -b 6>+l - / ft ( - + y) 0 J -a b a onde A. a b t Se aí fizeros y = tereos, a rb 0- Y = / ' ( t) f(t)dt. E assi fica (6,) deonstrada para o caso de > b> à. Mas para > a > b teríaos então 0 0. /*a = j j r, t ) '- n-0) / l - t y ( t ) d t - a J b D */ a

18 Portanto a fórula continua válida, as co a condição não já apenas da eistência do derigral a partir de a. as tabé da integrabilidade de f (t) e b I-H a. Esta fórula nova é de aplicação constante na derigração. 7 A DERIGRAÇÃO DE TAN. e COT X Já sabeos qua tan = ai + a a^ + "-]- +..., COt.X = -^ + b X + b 4 X b n X "- +..., sabeos calcular os coeficientes dessas séries e conheceos seus intervalos de convergência. Podeos então derigrá-las e obteos (4): Y) tan. t = a, [ ^ ] "" 6 +a 3 [ ] 3-6 " para < <. Portanto podeos aplicar (6,) e ve ^J^)tan. t = aj +a 3 J 3 - _ < f, pn+ll n+l-6>,, n + l L S J X + ' + a f -0 H / ( t) tan t. dt, + n-6>) J a 4 Ver [4, pp , 04-07].

19 Jt Jt onde teos < a <. A periodicidade de tan. nos poupa o trabalho de discutir o derigral noutros intervalos. Para a co-tangente, se nos lebraros de que b 0 =, podereos escrever COt. X = + b -f- b 4 X b n X " X Portanto para o < a <, teos -r-^0 0 ft ) (cot. t ) = ) (cot t ) + O ro e i i _}_ / ( t) ( c o t * ) dt. J a Segue-se que ^ 0 L-La g(0 + l,) ) cot. t = + M H l n - «) (-a) 0 +, rin i-0,. r3i 3-0,, + b 0 + b 4 \ ,, rn-l"] n-l-0,, H! To -0- / (-t) f(t) dt, co f(t) = cot. t, para t 4= 0, f(0) 0. t

20 8 UM PEQUENO APÊNDICE Não podeos deiar de observar ao leitor que os desenvolvientos de tan. e cot. estão estreitaente relacionados co os chaados núeros de Bernoulli, sobre os quais não falaos antes por ser a sua introdução ua coplicação inútil no que acabaos de epor. (5) A coparação de (4,5) co (,4) nos ostra que í tf =» k 6 a* =. 4 4 k4 90 e tfe u'a aneira geral Jt n b n Sn =. Isto nos perite obter facilente as soas das séries do tipo h +... < P P 3 D np conhecidas por séries harônicas, no caso de p ser u núero par. Mas quando p > é ipar, nada se sabe ainda sobre a sua soa. Para as funções sec. e esc., que ainda falta discutir, as fórulas esc. = cot. -}- tan. 5 O leitor interessado poderá consultar as obras de La Vallée Poussin [3, o. vol. pp. 68-7] e Knopp [, pp. 75, 95-00, 30-34].

21 sec. = csc. ( ) nos perite a redução aos casos já conhecidos. O desenvolviento de cot. e frações parciais pode tabé ser obtido de odo siples e elegante por eio das séries de Fourier. O leitor interessado encontrará no livro de COURANT [7,. vol., p. 444] a deonstração correspondente. 9 BIBLIOGRAFIA CITADA [] COPSON, E. T. An Introduction to the Theory of Fun ctions of a Cople Variable. Oford University Press. Londres [] KNOPP, K. Theorie und Anwendung der Reihen. Julius Springer. Berli. 9. Unendlichen [3] LA VALLÉE POUSSIN, Ch. de Cours d'analyse Infinité siale. Lib. Universitaire. Louvain [4] PIMENTEL GOMES, Frederico Introdução ao Estudo dos Derigrais. Piracicaba [5] PHILLIPS, E. G. Functions of a Cople Variable. Oliver and Boyd Ltd. Edinburgo e Londres [6] WHITTAKER, E. T. e WATSON, G. N. - A Course of Modern Analysis. The Macillan Co. Nova York [7] COURANT, R. Differential and Integral Calculus. vols. Blackie and Son Liited. Londres e Glasgow. 943.

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