Universidade Federal do Espírito Santo Centro de Ciências Exatas Departamento de Física

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1 Universidade Federal do Espírito Santo Centro de Ciências Exatas Departamento de Física FIS0635 Introdução ao Estudo dos Fenômenos Físicos Prof. Anderson Coser Gaudio NOTAS DE AULA PARTE I 1. O Curso de Física e a profissão de físico 1.1. O que é Física? 1.. O que é necessário para ser um bom físico? 1.3. O Curso de Física da UFES. Observação e medida em Física 3. O fenômeno natural e sua observação 4. Fenomenologia, modelos qualitativos e quantitativos PARTE II 1

2 5. Medidas físicas A obra do pintor holandês Vincent van Gogh exibida na Figura 5.1 é intitulada Meio-dia: Descanso do Trabalho. Trata-se de um quadro que mostra dois camponeses tirando uma deliciosa soneca sobre um monte de feno logo após o almoço. Observe-a atentamente e tente responder: qual é a medida da beleza deste quadro? Figura 5.1. Meio-dia: Descanso do Trabalho. Van Gogh, 1889 O link da Figura 5.a abaixo irá direcionar o leitor para uma apresentação orquestral da Ária na corda Sol da Suíte No. 3, do compositor alemão J.S. Bach. Ouça-a com atenção. (a) (b) Figura 5.. (a) Vídeo da apresentação da Ária da Suíte No. 3, do compositor alemão J.S. Bach, disponível no endereço (b) Johann Sebastian Bach ( ).

3 Agora tente responder: qual é a medida de sua beleza? Você deve estar pensando... É possível estabelecer uma unidade cuja escala possa traduzir em números algo como beleza? Note que não estamos falando de olhar o quadro ou ouvir a música e dar uma nota entre zero e dez. Se assim fosse, pessoas diferentes atribuiriam números diferentes para avaliar a beleza dessas obras e, portanto, não chegaríamos à conclusão alguma sobre o verdadeiro grau de sua beleza. A dificuldade para traduzir beleza em números decorre do fato de que beleza é um conceito puramente abstrato. Não podemos quantificar objetivamente e de forma reprodutível as sensações pessoais que surgem da observação de uma obra de arte. Esta é uma das razões que impede a arte de ser classificada como ciência. Entre outras coisas, para que uma área de conhecimento possa ser classificada como ciência, as observações resultantes das atividades nessa área devem poder ser traduzidas em números. E mais que isso, os números devem ser reprodutíveis em qualquer lugar e a qualquer tempo. A Física é uma dessas áreas, assim como são a Química, a Biologia, e muitas outras. A Física é uma ciência que progride sempre embasada em observações experimentais. E a parte mais importante de qualquer observação é a medida. É sabido que nem todo estudante se tornará cientista. Portanto, para quê temos que nos preocupar com medidas? Não devemos pular esta parte e ir direto para a Física propriamente dita? É claro que não. Acontece que a realização de medidas não é importante apenas no âmbito da ciência. Em nosso cotidiano sempre estamos fazendo medidas. Sempre que consultamos o relógio, fazemos a medida do tempo. Sempre que subimos numa balança, medimos nossa massa. Quando estamos com febre, não medimos a temperatura corporal? Quando fazemos um pão, há necessidade de medir a massa do trigo, o volume do leite e a temperatura do forno. As medidas estão presentes em nossa vida, independente de sermos cientistas ou não. Por este motivo, o estudante deve aprender os fundamentos envolvidos na medição. Este conhecimento irá ajudá-lo ao longo de toda sua vida. E não há lugar melhor para se aprender isso do que nas aulas de física Sistema de unidades O sistema de unidades físicas adotado no Brasil é o Sistema Internacional de Unidades, ou SI, que também é adotado pela maioria dos países do mundo. Uma exceção notável são os Estados Unidos, que usam o chamado Sistema Inglês. O SI define os padrões e as unidades de medição das grandezas físicas que compõe o sistema. Para nós neste momento, as grandezas físicas mais importantes são o tempo, a massa e o comprimento. A unidade do SI para o tempo é o segundo, cujo símbolo é s. O segundo é definido em função do período de uma radiação emitida pelo átomo de césio. Tecnicamente, o segundo é a duração de períodos da radiação correspondente à transição entre dois níveis hiperfinos do estado 3

4 fundamental do átomo de césio 133. Essa radiação é de natureza eletromagnética, tal como é a luz visível ou a radiação responsável pelo aquecimento dos alimentos no forno de microondas. Você deve lembrar que o período é o tempo que um sistema oscilante leva para completar um ciclo. Um exemplo notável de padrão de tempo é o NIST-F1, relógio atômico de césio capaz de trabalhar 60 milhões de anos sem adiantar ou atrasar um segundo sequer (Figura 5.3). O NIST-F1 é mantido pelo National Institute of Standards and Technology (NIST) e atualmente é o padrão primário de tempo nos Estados Unidos. Figura 5.3. NIST F-1. A unidade do SI para o comprimento é o metro, cujo símbolo é m. No passado, o metro era definido como sendo a distância entre dois riscos feitos sobre uma barra metálica (Figura 5.4a). Hoje, o padrão de comprimento é definido em função da velocidade da luz. O metro é a distância percorrida pela luz durante 1/ s, sendo que a velocidade da luz foi definida exatamente como o inverso desse valor. Na prática, o comprimento deixou de ser uma das grandezas fundamentais do SI, sendo substituído pela velocidade. 4

5 (a) (b) Figura 5.4. (a) Antigo padrão do metro. (b) Padrão moderno do metro, materializado com o uso de um laser de hélio-neon estabilizado por vapor de iodo. A unidade do SI para a massa é o quilograma, cujo símbolo é kg. O padrão de massa é um cilindro metálico que fica guardado na Agência Internacional de Pesos e Medidas, em Paris (Figura 5.5). Cópias desse padrão foram enviadas para o mundo inteiro. A cópia brasileira fica armazenada no Inmetro que, entre outras coisas, fornece os padrões que serão usados na calibração de instrumentos de medida em todo o Brasil. Figura 5.5. Padrão do quilograma. 5.. Prefixos do SI O Sistema Internacional de Unidades define prefixos-padrões que podem ser usados para designar múltiplos e submúltiplos das unidades do sistema. Os principais múltiplos e submúltiplos são mostrados na Tabela

6 Tabela 5.1. Prefixos do SI Fator Prefixo Símbolo Fator Prefixo Símbolo 10 1 deca da 10 1 deci d 10 hecto h 10 centi c 10 3 quilo k 10 3 mili m 10 6 mega M 10 6 micro 10 9 giga G 10 9 nano n 10 1 tera T 10 1 pico p peta P femto f Muitas grandezas que usam estes prefixos nos são familiares. Vejamos alguns exemplos: um quilograma é igual a mil gramas, ou 10 3 g; um mililitro é igual a um milésimo de litro, que é igual a 10 3 L; um megaton é igual a um milhão de toneladas, ou 10 6 toneladas, de alguma coisa como, por exemplo, do explosivo TNT; e um gigabyte é igual um bilhão de bytes, ou seja, 10 9 bytes. Os prefixos do SI também servem de inspiração para a criação de novos termos usados na área científica. Por exemplo, o termo nanotecnologia refere-se ao conjunto de conhecimentos e técnicas que possibilitam a construção de estruturas e novos materiais a partir dos átomos individuais. Nesse termo, o prefixo nano é usado para designar a ordem de grandeza das estruturas construídas, ou seja, 10 9 m Padrões de medidas Para medirmos alguma coisa, precisamos de um padrão de referência. Por exemplo, para medirmos a massa de um objeto, precisamos de um padrão de massa. O que é isto? Um padrão de massa nada mais é do que um objeto cuja massa será usada para comparação com a massa que queremos medir. O tipo, o tamanho e a forma desse objeto são escolhidos arbitrariamente. Suponha que o padrão de massa escolhido seja um pequeno cilindro de metal, que convencionamos ter exatamente uma unidade de massa (Figura 5.6a). (a) (b) Figura 5.6. (a) Cilindro metálico que poderia ser usado como padrão fictício para o quilograma. (b) A medida da massa é uma comparação entre a massa de um objeto e a massa de um padrão pré-definido. 6

7 Portanto, para medir a massa de uma melancia, por exemplo, devemos contar quantos desses cilindros de metal são necessários para equilibrar a melancia numa balança (Figura 5.6b). Se forem precisos quatro cilindros, a massa da melancia será igual a quatro unidades de massa. Podemos ainda dar um nome para a unidade de massa referente ao padrão escolhido, só para não termos de dizer toda hora que a melancia tem quatro unidades de massa. Vamos batizá-la de quilograma. Portanto, a tal melancia têm agora quatro quilogramas de massa. Agora vem a parte principal. Como você já deve suspeitar, ao medirmos a massa de um objeto, não é preciso saber do que ela é feita. Além disso, a medida da massa não nos fornece qualquer informação precisa sobre a natureza da massa presente no objeto. Muito menos podemos concluir algo sobre o motivo de o objeto ter massa, ou ainda sobre o que seja a própria massa. A ação de medir é basicamente uma comparação entre uma quantidade conhecida, que é o padrão, e uma desconhecida, que é o que desejamos medir Erros experimentais 5.5. Algarismos significativos e incertezas Quando efetuamos a medida da largura de uma folha de papel, estamos querendo descobrir qual é o valor real dessa grandeza. E que valor é esse? Ninguém sabe e ninguém nunca saberá exatamente. Mas vamos imaginar que um ser divino nos informasse que certa folha de papel A4 tivesse 1, cm de largura, com todas as casas decimais que desejássemos. Neste exemplo, vamos simplesmente ignorar a impossibilidade de obter medida exata e completa para qualquer grandeza física. Pois bem, agora vamos entregar essa folha a um físico para que ele efetue a medida de sua largura. Só que não mencionamos o fato de que já conhecemos seu valor exato por antecipação. O físico toma uma régua milimetrada de boa qualidade (Figura 5.7a), faz a medida e nos diz o resultado: 1,03 0,0 cm. O resultado causa-nos certa surpresa. O 1,03 cm já era esperado, mas que negócio é este de 0,0? Ele nos explica que a largura da folha não é exatamente 1,03 cm, mas sim um valor desconhecido (ao menos para ele) que está localizado entre 1,01 cm e 1,05 cm. O termo 0,0 é chamado de incerteza da medição. Aí você consulta o valor exato da largura fornecido pelo ser divino e constata que o físico tem razão: de fato a largura exata encontra-se nesse intervalo. O físico então resolve melhorar a exatidão da medida e usa um paquímetro para medir a largura da folha (Figura 5.7b). Desta vez, ele obtém 1,04 0,003 cm, sendo que agora o valor real da largura deve está entre 1,01 cm e 1,07 cm. Você conclui que o físico acertou novamente. 7

8 (a) (b) Figura 5.7. (a) Detalhe da escala uma régua milimetrada. (b) Paquímetro. Há pelo menos duas coisas que devemos concluir a respeito desse exemplo. Em primeiro lugar, toda medida física está associada a uma incerteza, sendo que muitos são os fatores responsáveis pela incerteza da medida. Os mais importantes são a limitação da escala do instrumento de medida, o nível de calibração do instrumento, as condições reinantes no ambiente da medição e a habilidade do medidor. Em segundo lugar, quando efetuamos a medida de uma grandeza estamos tentando descobrir um valor que é desconhecido. A medição é o meio utilizado para encontrar esse valor. Quanto melhor for o instrumento de medida utilizado, maior será a extensão do conhecimento do valor procurado. A expressão extensão do conhecimento do valor procurado está relacionada com o número de algarismos significativos da medida. As duas medidas efetuadas pelo físico diferem em relação à quantidade de algarismos significativos. Deixando-se de lado a incerteza, a primeira medida, 1,03 cm, tem quatro algarismos significativos, enquanto que a segunda, 1,04 cm, tem cinco. Podemos notar que o número de algarismos significativos de uma medida é determinado pelo tipo de instrumento usado na medição. Quanto melhor o instrumento, maior o numero de algarismos significativos da medida e, consequentemente, mais informação ela nos traz Análise estatística 6. Algumas ferramentas úteis em física 6.1. Análise dimensional 8

9 6.. Ordens de grandeza 6.3. Aproximações matemáticas PARTE III 7. Aplicação de conceitos e ideias - Mecânica 7.1. Pêndulo simples Introdução O pêndulo é um objeto suspenso a partir de um pivô de tal forma que possa oscilar livremente sob a ação da gravidade (Figura 7.1). A característica mais importante dos pêndulos é a regularidade de suas oscilações. Galileu foi o primeiro a observar a independência do período em relação à amplitude da oscilação (isocronismo) e a utilizar essa característica para a construção de um relógio de pêndulo. No entanto, a invenção do relógio de pêndulo foi creditada ao holandês Christiaan Huygens, que o patenteou em Figura 7.1. Exemplos de pêndulos Teoria Um pêndulo simples consiste num sistema idealizado em que uma massa pontual m está suspensa por um fio fino, leve e inextensível de comprimento L, o que faz com que toda a massa do pêndulo esteja concentrada em sua extremidade inferior (Figura 7.a). Ao ser deslocado de sua posição de equilíbrio de um ângulo m e solto, passa a oscilar de tal forma que não haja perda de energia devido ao atrito com o ar ou nos pontos de suspensão. 9

10 (a) (b) Figura 7.. Pêndulo simples. Nessas condições, a massa suspensa está sujeita a apenas duas forças: a da gravidade ( F g ), exercida pela Terra, e a de tração ( F T ), exercida pela corda (Figura 7.b). Como a direção da força de tração (linha de ação da força) passa pelo ponto de suspensão do pêndulo (ponto O), esta não é capaz de exercer torque sobre a massa suspensa. Assim, o movimento do pêndulo simples é governado apenas pela força gravitacional. Esta pode ser decomposta em seus componentes radial ( F r ) e tangencial ( F t ). O componente radial neutraliza a força de tração, mantendo assim constante o comprimento do fio (Figura 7.3a). (a) (b) Figura 7.3. Componentes da força gravitacional. O componente tangencial da força gravitacional vale, de acordo com a Figura 7.3b: F F sen mg sen t g (7.1) O sinal negativo na Eq. (7.1) decorre dos sentidos inversos do deslocamento angular do pêndulo, em relação à vertical, e do torque gerado por esse componente. Ou seja, sempre que o pêndulo se desloca para um lado, o componente tangencial da força gravitacional age no sentido de acelerar a massa no sentido oposto. 10

11 Para obter a equação de movimento do pêndulo, é preciso resolver a segunda lei de Newton em sua forma angular, Eq. (7.), onde t é o torque do componente tangencial (F t L), I é o momento de inércia do pêndulo simples (ml ) e é sua aceleração angular. I t Ft. L I sen. d mgl ml dt (7.) (7.3) (7.4) d g sen 0 (7.5) dt L A Eq. (7.5) é uma equação diferencial de segunda ordem não-linear, cuja solução exata envolve um tipo especial de integral, chamada integral elíptica completa do primeiro tipo, que é algo ainda um pouco avançado para alunos recém-ingressos na universidade. Sua solução é expressa na forma de uma expansão em série de potências, como vemos na Eq. (7.6). L 1 m m T 1 sen sen (7.6) g.4 No entanto, uma solução alternativa pode ser obtida rapidamente adotando-se a aproximação sen. Esta aproximação é tanto mais verdadeira quanto menor for o valor de, em radianos, como mostra a Tabela 7.1. Tabela 7.1. Comportamento da aproximação sen. (rad) sen Erro % 1 0, ,5 0,479455,1 0,1 0, ,017 0,05 0, ,001 0,01 0, , E qual é o valor de que valida esta aproximação? Esta é uma pergunta muito frequente que, na maioria das vezes, costuma ficar sem resposta satisfatória. Um critério interessante que pode ser usado é o limite de erro tolerado no valor calculado do período. Por exemplo, se adotarmos esse limite como sendo de 1%, o valor máximo aceitável de m é de aproximadamente 3. 11

12 Exercício 7.1. O desvio relativo entre o valor experimental do período de um pêndulo simples (T exp ) e seu valor calculado (T calc ) é dado por: T exp T T exp calc Se aproximarmos o valor de T exp pelos dois primeiros termos da expansão em série do período do pêndulo simples, de acordo com a Eq. (7.6), teremos: T exp T calc 1 m 1 sen 4. Mostre que o valor máximo de m que pode ser tolerado ao cometer um erro, é: m sen Assim, adotando-se a aproximação sen, a Eq. (7.5) será: d dt g L 0 (7.7) Representando g/l por t t cos m Nesta equação, o termo, uma das possíveis soluções para esta equação é (7.8) t é chamado de fase do movimento. É a fase que define a posição angular do pêndulo em qualquer instante de tempo t. O termo é a constante de fase do movimento pendular. Seu valor define a posição angular do pêndulo no instante t = 0. Ou seja: 0 cos m (7.9) O termo é interpretado como a frequência angular do movimento do pêndulo, o que equivale à velocidade angular escalar média do pêndulo (daí o uso da barra sobre o símbolo, o que evita confusão com a velocidade angular instantânea, ). Por exemplo, uma frequência angular de rad/s significa que o pêndulo descreve um ângulo de rad, ou seja, um ciclo completo, em 1 s. De posse da Eq. (7.8), podemos obter expressões para a velocidade angular ( ) e para a aceleração angular ( ), em função do tempo. t d t sen m t (7.10) dt t d t m cos t t dt (7.11) 1

13 Exercício 7.. Mostre que a Eq. (7.9) é uma solução da Eq. (7.7). O período de qualquer sistema oscilante, cuja frequência angular é, é dado por: T (7.1) No caso do pêndulo simples, onde adotamos g/l por, teremos: T L g (7.13) angular m. Como esperado, a aproximação sen tornou o período independente da amplitude Aplicação Historicamente, a principal aplicação do conceito de pêndulo simples foi a invenção do relógio de pêndulo. Antes disso, o tempo era medido com o auxílio de ampulhetas, velas de parafina acesas, relógios de sol e relógios de água, também chamado de clepsidra (Figura 7.4). Nessa época, o modo mais acurado de medir o tempo acarretava numa imprecisão de até quinze minutos por dia. Após a introdução do relógio de pêndulo, essa medida foi reduzida para apenas cerca de quinze segundos por dia. E para quê isso era tão importante? (a) (b) (c) Figura 7.4. Instrumentos antigos para medição de tempo. (a) relógio de sol, (b) relógio de água (clepsidra) e (c) relógio de areia (ampulheta). No século XVII, época do desenvolvimento do relógio de pêndulo, a navegação representava o principal meio de expansão do domínio colonial das nações mais desenvolvidas e, 13

14 consequentemente, de ampliação de reserva de mercado para o comércio. Para aumentar esse domínio, era preciso navegar para cada vez mais longe de casa. Essa necessidade tornou urgente a melhoria da medição da latitude () e, principalmente, da longitude () (Figura 7.5). Figura 7.5. Ângulos que definem a latitude () e a longitude (). A determinação da latitude é relativamente fácil. No hemisfério norte, basta ler o ângulo entre o horizonte e a estrela Polar (Figura 7.6). No hemisfério sul, o ângulo a ser medido é entre o horizonte e a estrela Sigma Octana. Essas duas estrelas estão alinhadas ao eixo de rotação da Terra e, dessa forma, estão sempre fixas no céu noturno (Figura 7.7). Figura 7.6. Medida da latitude. Figura 7.7. Estrelas usadas como referência na medida da latitude. Se por um lado a medida da latitude é simples, o mesmo não é verdadeiro para a longitude. A medida da latitude é facilitada pelo fato de haver duas estrelas fixas no céu noturno, uma em cada 14

15 polo (Figura 7.7). Essas estrelas fornecem a referência ideal para a determinação da latitude. No caso da longitude, a situação é diferente. Na direção leste-oeste não há uma estrela sequer que esteja fixa em relação à Terra, pois a abóbada celeste gira continuamente no sentido leste-oeste. Isso impossibilita a determinação precisa da longitude por meio da medida de ângulos (embora isso possa ser feito de forma aproximada usando-se a Lua como referência). Portanto, antes do advento do GPS, a única maneira de medir a longitude era por meio do uso de relógios. A longitude A de um ponto A, localizado sobre a superfície da Terra, é um ângulo medido sobre o plano (ortogonal ao eixo de rotação e paralelo ao plano equatorial da Terra), que passa pelo ponto A (Figura 7.8). O ângulo é centrado no ponto onde o eixo de rotação cruza o plano (ponto O), sendo medido a partir do ponto R. O ponto de referência (R) é definido pela interseção de uma linha de referência, que vai do polo norte ao polo sul ao longo da superfície da Terra, com o plano. Por convenção internacional, a linha de referência, denominada Meridiano de Greenwich, passa pelo Observatório Real de Greenwich, na Inglaterra, e possui longitude igual a 0. Partindo-se daí para o leste, temos valores crescentes de longitude de 0 a +180 e, para o oeste, de 0 a 180. Como o Sol está (relativamente) fixo no espaço e a Terra gira em torno de seu eixo no sentido oeste-leste, ao viajarmos para o leste nosso relógio fica atrasado e, portanto, devemos adiantá-lo para que fique sincronizado com a hora local. O contrário ocorre quando viajamos para o oeste, quando devemos atrasar nosso relógio. Figura 7.8. Definição da longitude do ponto A, localizado sobre a superfície da Terra. 15

16 A Terra é uma (quase) esfera que leva 4 horas para dar uma volta completa em torno de seu eixo. Dividindo-se os 360 de sua circunferência por esse tempo, obtemos 15 por hora. Ao sair para o mar aberto, um navegador antigo levava consigo um relógio sincronizado com a hora local. Durante a viagem, ele determinava a hora do navio com base em observação astronômica, como por exemplo, a localização do Sol. Ao comparar a hora atual com a hora do relógio trazido de casa, a longitude era determinada com base na regra de 1 h = 15 de longitude. Por exemplo, se a hora astronômica estiver atrasada em relação à hora do relógio em,5 horas, a longitude será de 38 em relação ao ponto de partida. Portanto, como a determinação do posicionamento global dependia essencialmente da medição do tempo, houve grande incentivo financeiro para o desenvolvimento de relógios cada vez mais precisos. E o relógio de pêndulo reinou absoluto durante quase de três séculos Prática Como tarefa prática, os alunos deverão fazer a determinação experimental da aceleração da gravidade com o uso de um pêndulo simples. Essa determinação é baseada na Eq. (7.13), que pode ser representada da seguinte forma: T 4 L g Esta equação é comparável a (7.14) y ax b, (7.15) onde y T, 4 a, x L e b 0. A regressão linear de g T em função de L deverá fornecer o valor do coeficiente angular 4 g deverá ser usado para determinar a incerteza de g. e, por conseguinte, de g. O erro padrão do coeficiente angular Materiais (a) Uma carambola de pesca, feita de chumbo (ou algo similar); (b) Fio fino e resistente, preferencialmente fio urso ; (c) Transferidor circular; (d) Trena; (e) Cronômetro; (f) Computador com o software Mathematica instalado. 16

17 Procedimento experimental (a) Ajuste inicialmente o comprimento do pêndulo para 40,0 cm. Esta medida que deve ser feita entre o ponto de suspensão do fio e o centro de massa do pêndulo. (b) Desloque o pêndulo de cerca de 10 em relação a sua posição de equilíbrio e solte-o. Ao completar seu primeiro ciclo, dispare o cronômetro e meça o tempo para dez oscilações completas. Anote o resultado na coluna t da tabela de dados (ver abaixo). Repita este 10 procedimento duas vezes para concluir a medição em triplicata de t 10. (c) Repita as etapas (a) e (b) para os demais valores de L da tabela de dados. (d) Preencha as demais colunas da tabela de dados. Tabela de dados L (m) a t (s) 10 b t (s) 10 c T (s) d T (s) d 0,40 0,60 0,80 1,00 1,0 a Comprimento do pêndulo; b Tempo para dez oscilações completas, medido em triplicata; c Média aritmética dos tempos para dez oscilações completas; d Período do pêndulo, que é igual a t 10 /10. 17

18 Cálculos Utilize o software Mathematica nas etapas a seguir. (a) Crie uma lista com os dados experimentais obtidos: dados = {{0.40,T 1},{0.60,T },... }; (b) Use a função LinearModelFit do Mathematica para fazer uma regressão linear de T em função de L, determinar o coeficiente angular da reta e, com isso, obter o valor da aceleração da gravidade. (c) Use o parâmetro ParameterErrors para obter o erro padrão do coeficiente angular com 70% de confiança. (Use o Help do Mathematica para auxiliá-lo nessa tarefa clique F1.) (d) Construa um gráfico de T em função de L, para visualizar os pontos. Para isso, use a função ListPlot. Sobreponha aos pontos a reta média que corresponde ao resultado da regressão linear obtida no item (b). Visite o Help para essa função e melhore a aparência do gráfico o quanto for possível. Resultado Valor obtido para a aceleração da gravidade: g = ( ) m/s Modelagem Como exercício final, os alunos deverão utilizar o Mathematica para construir um modelo funcional de pêndulo, cujos parâmetros L, m e g possam ser escolhidos pelo usuário Problemas Problema 1. Um pêndulo simples de comprimento L, está solidário com um carrinho que desliza sem atrito por um plano inclinado de. Calcular o período de oscilação do pêndulo no carrinho deslizando plano abaixo. Problema. Um pêndulo simples de comprimento L, é solto 18

19 em repouso fazendo um ângulo 0 com a vertical. (a) Admitindo que o movimento seja harmônico simples, calcular a velocidade do pêndulo ao passar por = 0. (b) Calcular, com a conservação da energia, a velocidade mencionada no item anterior. (c) Mostrar que os resultados de (a) e (b) coincidem quando o afastamento angular 0 for pequeno. (d) Calcular a diferença nos dois resultados para = 0,0 rad e L = 1,0 m. 7.. Queda livre Introdução Quem nunca desejou ser um super-herói? Quem, em alguma fase da vida, nunca desejou possuir alguma habilidade extraordinária, algo que o tornasse especial e que o diferenciasse das outras pessoas. Ou seja, quem nunca desejou ter superpoderes? O sonho de possuir superpoderes permeia a imaginação de todas as crianças e até de alguns adultos. Entre os meninos talvez haja uma preferência toda especial pelo Super-Homem. Por que motivo? Por causa de seus incríveis poderes. O Super-Homem é indestrutível, possui força ilimitada, visão de raios-x e...pode voar. E não é voar simplesmente. É voar em supervelocidade. Graças ao poder de voar do Super-Homem, muitos meninos costumam amarrar uma capa em torno do pescoço para brincar de voar. Muitos chegam a saltar de cadeiras e mesas na esperança de conseguir voar, mesmo que só por alguns instantes. Desnecessário dizer que essas brincadeiras acabam invariavelmente no chão. Talvez seja numa dessas brincadeiras que, pela primeira vez, muitas crianças tomem consciência de que há algo na natureza que não nos permite flutuar livremente acima do solo. Por que motivo isso ocorre? A explicação mais simples para isso é que o nosso planeta, a Terra, age como um poderoso imã sobre todos os corpos a sua volta. É o que chamamos de gravidade. A atração da Terra sobre os corpos gera nestes uma aceleração que os mantém grudados ao solo. É a aceleração da gravidade, cujo símbolo é g. A aceleração da gravidade faz-se presente em qualquer ponto em volta da Terra e até em seu interior. A direção da aceleração é radial e o sentido é para o centro do planeta. Sempre que deixamos cair um objeto ou o lançamos para cima, a aceleração da gravidade acelera-o em direção ao solo. Nas proximidades da superfície da Terra, o módulo da aceleração da gravidade tem o valor aproximadamente constante de 9,8 m/s. Talvez a coisa mais importante sobre a aceleração da gravidade é que ela é a mesma para todos os corpos, independente de suas massas. Isso significa que se deixarmos cair de uma mesma altura dois objetos quaisquer, de massas diferentes, ele deveriam chegar ao solo exatamente no mesmo instante de tempo. Mas é isso o que observamos na prática? É claro que não. Experimente 19

20 soltar uma pena e um martelo simultaneamente de uma mesma altura que você não terá dúvidas de que o martelo chegará primeiro ao solo. Observações como essa tiveram profunda influência sobre o pensamento dos filósofos da antiguidade. No século IV a.c., o filósofo grego Aristóteles defendeu a ideia de que os corpos mais pesados cairiam mais rapidamente do que os corpos mais leves. Ao afirmar isso, Aristóteles apenas formalizou uma conclusão que certamente já era de conhecimento público. Ou será que antes de Aristóteles nunca alguém havia percebido que uma pedra caía mais rápido do que uma pena de ganso? O mérito de Aristóteles foi usar esse postulado, em conjunto com muitos outros, para sistematizar as leis da natureza. A simplicidade dos argumentos utilizados, sempre coerentes com o senso comum, somada ao imenso prestígio de Aristóteles, fez com que suas ideias ganhassem força de dogma e reinassem absolutas por quase.000 anos. Até que um dia existiu um homem chamado Galileu Galilei ( ). Com seus estudos sobre o rolamento de esferas sobre planos inclinados, que é uma forma lenta de queda livre, Galileu provou que todos os corpos caem com a mesma aceleração. O fato de não observarmos isso no dia a dia, concluiu Galileu, é consequência da resistência do ar que tem maior influência sobre o movimento de corpos mais leves. Galileu também teve seu nome ligado a um dos experimentos mais famosos da história da física: o da Torre de Pisa. Conta-se que Galileu reuniu uma pequena multidão em torno da torre inclinada da cidade de Pisa, Itália, para provar que esferas de chumbo de massas diferentes, soltas simultaneamente do alto da torre, tocariam o solo ao mesmo tempo. Apesar de os registros históricos, ou a ausência deles, indicarem que essa experiência de fato nunca ocorreu, a lenda tomou corpo e ganhou força de verdade com o passar dos séculos. E quanto à queda do martelo e da pena? Ainda hoje muita gente não acredita que esses objetos possam cair com a mesma aceleração. Pois bem, se você também não acredita, então veja o seguinte experimento realizado pelo astronauta David Scott em agosto de 1971, durante a missão Apolo 15. O experimento foi conduzido na Lua, lugar onde não há atmosfera e, portanto, a queda dos corpos não pode ser afetada pela resistência do ar Teoria O tipo mais comum de movimento retilíneo com aceleração constante é o de um corpo que cai a partir do repouso apenas sob a ação da aceleração da gravidade. Esse movimento é chamado queda livre. Nas proximidades da superfície da Terra, um corpo sujeito à queda livre acelera continuamente em direção ao solo a uma taxa aproximada de 9,8 m/s. Na superfície da Lua, a queda livre ocorre com aceleração de apenas 1,6 m/s. 0

21 Uma observação importante sobre a queda livre refere-se à resistência do ar. Na forma em que é definido, o movimento de queda livre não pode sofrer influência da resistência do ar. Quando o ar exerce resistência à queda do corpo, gera neste uma aceleração no sentido contrário ao seu movimento. O módulo dessa aceleração aumenta com a velocidade do corpo e, portanto, a aceleração devida à resistência do ar é variável. Por definição, apenas as quedas que ocorrem no vácuo podem ser de fato consideradas como queda livre. Na prática, apenas corpos massivos, como uma bola de chumbo caindo de alturas não muito grandes, desenvolvem movimento de queda livre. No entanto, por motivos didáticos, é comum desprezarmos a resistência do ar mesmo em situações em que ela é essencial, como no caso do salto livre de um paraquedista. Na descrição matemática do movimento de queda livre, normalmente utilizamos como sistema de coordenadas o eixo cartesiano y posicionado na vertical, com os valores crescentes de y para cima. Também é usual atribuirmos ao solo o valor y = 0. Isso implica em que todos os pontos acima do solo receberão valores de y positivos. Com o eixo y nessa configuração, a aceleração da gravidade, com sentido contrário aos valores crescentes de y, possui sinal negativo. Ou seja, a = g = 9,8 m/s. A equação a = g é a equação diferencial do movimento de queda livre vertical. Para resolvê-la, precisamos integrá-la. dv g dt dv v gdt dv g dt v0 t0 v v g t t 0 0 Considerando-se t 0 = 0, teremos: t 0 t v v gt (7.16) A Eq. (7.16) costuma ser chamada de função horária da velocidade da queda livre. Como é também uma equação diferencial, vamos integrá-la para obter y(t): dy v0 dt gt dy v gt dt v dt gtdt 0 0 Integrando-se, teremos: y t t dy v dt g tdt y 0 0 t0 t0 1

22 t t0 y y0 v0 t t0 g Considerando-se t 0 = 0, teremos: t y y t 0 v0t g (7.17) A Eq. (7.17) é a função horária da posição para a queda livre. Devemos notar que o sinal negativo da aceleração da gravidade nesta e na Eq. (7.16) gera consequências nos gráficos de y t e de v t (Figura 7.9). Na função horária da posição, que é uma equação do segundo grau, a parábola possui a concavidade voltada para baixo, enquanto que na função horária da velocidade, que é uma equação do primeiro grau, a reta apresenta declividade negativa. A curva do gráfico de a t, por sua vez, é uma constante. Figura 7.9. Gráficos de y t, v t e a t da queda-livre de um corpo que cai a partir do repouso de uma altura h = 30 m. Uma terceira equação de movimento para a queda livre pode ser obtida ao eliminarmos o tempo entre as Eqs. (7.16) e (7.17). O resultado será: 0 0 v v g y y (7.18) A Eq. (7.18) é conhecida como equação de Torricelli, graças aos experimentos do italiano Evangelista Torricelli ( ) sobre o movimento de jatos de líquidos que vazam a partir de furos em seus recipientes. O exemplo mais simples de movimento de queda livre é o de um corpo que cai a partir do repouso de uma altura h acima do solo. Para estudá-lo, vamos utilizar como sistema de coordenadas o eixo cartesiano y orientado na vertical com origem no solo (Figura 7.10). A coordenada inicial do corpo, que corresponde ao ponto de partida do movimento, será y 0 = h, enquanto que a coordenada final, o solo, será y = 0. Como o corpo parte do repouso, sua velocidade inicial será nula, ou seja, v 0 = 0.

23 Figura Esquema da queda-livre de um corpo que cai no solo, a partir do repouso, de uma altura h. Nessas condições, a equação de Torricelli resultará em: v 0 g 0 h v gh v gh Este resultado corresponde ao valor da velocidade com que o corpo tocará o solo, quando liberado a partir do repouso de uma altura h. O estudante deve prestar muita atenção a este resultado, pois há diversas situações físicas importantes, semelhantes a esta, em que este resultado poderá ser aplicado. Uma dessas situações é o de um líquido contido num tanque onde há um furo, por onde o líquido escapa. O centro do furo está localizado a uma distância vertical h da superfície do líquido. Torricelli demonstrou que a velocidade com que o jato escapa do tanque é igual a gh, ou seja, a mesma velocidade atingida por uma gota d água em queda livre ao longo da mesma distância h. Este resultado ficou conhecido como o teorema de Torricelli Aplicação Em 14/10/01, o paraquedista austríaco Felix Baumgartner quebrou o recorde mundial de altitude, ao saltar em queda livre de um balão de hélio a m (Figura 7.11). A aventura foi patrocinada pela empresa austríaca Red Bull, no projeto denominado Red Bull Stratos. O nome do 3

24 projeto lembra o termo estratosfera, a região da atmosfera situada entre 15 e 50 km de altitude, de onde o salto foi executado. O recorde anterior pertencia ao Cel. Joseph Kittinger, da força aérea norte-americana, que saltou de m em 16/08/1960. Ao pular do balão, Baumgartner acelerou praticamente sem a resistência do ar. Pouco depois de iniciar o salto, o corpo do paraquedista começou a girar sem controle por cerca de 80 segundos, o que por pouco não fez com que a missão fosse abortada. Foi nesse período crítico, aos 4 s, que Baumgartner quebrou o recorde mundial de velocidade em queda livre, atingindo a velocidade supersônica de 1.34 km/h, o segundo recorde do salto a. Assim, tornou-se o primeiro e, até o momento, único homem a quebrar a velocidade do som sem o auxílio de propulsão artificial. Seu paraquedas foi acionado após 4 min 16 s de deixar o balão. Com isso, Baumgartner quebrou o terceiro e último recorde mundial da aventura, o de maior distância percorrida em queda livre, que foi de m. Figura Salto recordista de Felix Baumgartner (Wikipedia) Prática A atividade prática proposta para esta seção é, novamente, a medida da aceleração da gravidade. Só que agora a medida será por meio da medida direta do tempo de queda (t = t q ) de uma pequena esfera metálica a partir de uma altura y 0 = h m. Como o tempo de queda livre de uma a A velocidade do som ao nível do mar é de 1.5 km/h. 4

25 altura dessas é de cerca de 1 s, não poderemos simplesmente usar um cronômetro manual para medilo. Também não precisaremos usar aparato mais sofisticado, como fotocélulas. Para a medida do tempo de queda da esfera, usaremos um software editor de som instalado num notebook. A ideia consiste em que o microfone do computador capte o som emitido pela esfera no início da queda (t 0 ) e o emitido ao chegar ao solo (t). Como todo editor de som tem uma linha do tempo, é possível medir os instantes de tempo em que ocorreram os picos correspondentes a t 0 e t (Figura 7.1). O tempo de queda será obtido por diferença. Nesta atividade, sugerimos o software WavePad Sound Editor, produzido por NCH Software. a Ao fazer o download do programa, o aluno deverá escolher a versão livre, exclusivamente para uso doméstico. Figura 7.1. Medida dos instantes de tempo do início (t 0 = 3,19 s) e do final (t = 4,596 s) de um evento. Neste caso, o intervalo de tempo é de 1,404 s. Para determinar a aceleração da gravidade, utilizaremos a Eq. (7.17), onde a posição inicial é h (y 0 = h), a posição final é zero, pois a coordenada y tem a origem no solo (y = 0), a velocidade vertical inicial é nula (v 0 = 0). O tempo t corresponde ao intervalo de tempo medido no editor de som. t y y t 0 v0t g t 0 h 0t g t g h a 5

26 h g (7.19) t O estudante deve notar que o valor de g é fortemente influenciado pelo tempo de queda que, por coincidência, é a medida mais difícil a ser realizada. Por esse motivo, esta atividade prática tem caráter meramente acadêmico. Determinações de g por meio de queda livre só fazem sentido com medidas ótico-eletrônicas do tempo de queda, utilizando sensores adequados para detectar o início e fim do movimento. Por esse motivo, não nos preocuparemos em fazer medidas do tempo de queda a partir de variadas alturas para obter g por meio de regressão linear. Para os objetivos desta atividade, a realização de cinco medidas diretas será suficiente para calcularmos g por média aritmética. Materiais: (a) Esfera de rolimã, com cerca de 1 cm de diâmetro; (b) Haste metálica; (c) Notebook com microfone e editor de som instalado; (d) Trena; (e) Calculadora. Procedimento experimental (a) Posicione a esfera na borda de uma superfície localizada a cerca de m de altura, como o topo de uma porta aberta. (b) Com o auxílio de uma trena de boa qualidade, meça cinco vezes a altura dessa superfície em relação ao chão. (c) Com o software WavePad carregado e o microfone conectado (é preferível o uso de um microfone com fio ao invés do embutido no notebook), dê início à gravação. (d) Suba numa escada doméstica ou num banco (tome cuidado) e use a haste metálica para dar um golpe horizontal na esfera. Esse golpe será registrado no editor sonoro, assim como também será registrado o som do choque da esfera contra o solo (cerâmico PI-5, de preferência). CUIDADO: Não faça isso utilizando esferas maiores do que a recomendada e nem em pisos de porcelanato. Há risco de fratura do piso. (e) Determine o intervalo de tempo de queda no editor. (f) Faça esta medida cinco vezes. Tabelas de dados 6

27 Altura da superfície de onde partirá a esfera a Medida h i (m) h i b h 5 hi h c h hi 5 h d a Tempo de queda da i-ésima medida da altura. Refaça medidas que difiram em mais de dois desvios-padrão em relação à média. Use sua calculadora para isso; b Média aritmética das alturas; c Desvios absolutos entre a i-ésima altura e média aritmética; d Média aritmética dos desvios absolutos; Tempo de queda livre: a Medida t i (s) t i b t 5 ti t c t ti t 5 d a Tempo de queda da i-ésima medida. Refaça medidas que difiram em mais de dois desvios-padrão em relação à média. Use sua calculadora para isso; b Média aritmética dos tempos de queda; c Desvios absolutos entre o i-ésimo tempo de queda e média aritmética; d Média aritmética dos desvios absolutos; Cálculos Utilize uma calculadora nas etapas a seguir. (a) Utilize as tabelas acima para compor os valores de h e t, com suas respectivas incertezas; h h h e t t t 7

28 (b) Para determinar o valor de g faça a operação a seguir considerando as incertezas envolvidas. h g t Resultado Valor obtido para a aceleração da gravidade: g = ( ) m/s Modelagem Na prática, as equações de queda-livre têm aplicação limitada. Isso se deve à interferência da atmosfera no movimento dos corpos. Um corpo que se move num meio fluido, como o ar, sofre ação de uma força de arrasto (F d ) contrária ao seu movimento, cuja origem é a interação entre as moléculas do fluido e do corpo. Sabemos que o módulo da força de arrasto aumenta com a velocidade relativa entre o corpo e o fluido. Entretanto, o comportamento exato da relação forçavelocidade não é trivial. A experiência acumulada mostra que essa dependência pode ser representada pela Eq. (7.0). Fd n bv (7.0) Nesta equação, b e n são constantes e v é a velocidade instantânea do corpo. A constante b depende da forma do corpo e das propriedades do fluido. O número n é igual a 1 para velocidades pequenas do corpo em relação ao fluido e igual a para velocidades elevadas. A definição do que sejam pequenas e grandes velocidades pode variar bastante. Uma referência útil pode ser n = 1 para velocidades de módulos menores do que m/s no ar e menores do que 0,03 m/s na água; e n = para velocidades de módulos entre 10 m/s e 00 m/s no ar e entre 0,05 m/s e m/s na água. A Eq. (7.0) é uma forma simplificada de duas equações mais detalhadas para definir a força de arrasto. A primeira é a lei de Stokes, Eq. (7.1), onde é o coeficiente de viscosidade dinâmica do fluido e R o raio do corpo, considerado esférico. F 6Rv (7.1) A segunda é a equação de Rayleigh, Eq. (7.), onde C é o coeficiente de arrasto do corpo em relação ao meio, é a densidade do fluido e A é a área da seção transversal do corpo. 1 F C Av (7.) 8

29 A inclusão da força de arrasto na ª lei de Newton para um corpo em queda livre em alta velocidade (n = ) resulta em: FR mg bv ma (7.3) Vamos tentar simular o movimento de um objeto sujeito à força descrita na Eq. (7.3), usando o algoritmo de integração de Euler. A simulação por este algoritmo, como em todos os demais, parte de uma configuração do sistema no instante de tempo t = 0, que é definida pelos valores iniciais de algumas grandezas físicas, como posição, velocidade e aceleração. Para iniciar a simulação, faz-se o tempo correr não de forma contínua, mas em pequenos passos t. A ideia é que se o passo da simulação for suficientemente pequeno, cada mudança na configuração do sistema ocorrerá com velocidade aproximadamente constante. Assim, pelo método de Euler, teremos as seguintes equações que nortearão a evolução do sistema. x1 x0 v0 t (7.4) v1 v0 a0 t (7.5) a mg bv (7.6) 1 0 Para fazer a simulação, sugiro usar uma planilha Excel. A Figura 7.13 mostra o arcabouço da planilha com a simulação pretendida, onde aparecem as fórmulas que controlam os cálculos. Na Figura 7.14 podemos ver os valores numéricos gerados na simulação. Figura Simulação de queda livre numa planilha Excel, com exibição das fórmulas. 9

30 Figura Simulação de queda livre numa planilha Excel, com exibição dos valores numéricos. A Figura 7.15(a) mostra o resultado numérico da simulação em que a resistência do ar foi considerada. Observe o comportamento dos valores da aceleração, que diminui à medida que a velocidade aumenta. Esta por sua vez tende a um valor constante enquanto a aceleração tende a zero. Na Figura 7.15(b) podemos ver o gráfico comparativo de y t, para as simulações da queda livre com e sem resistência do ar. 30

31 Queda livre y (m) Sem resist. ar Com resist. ar Tempo (s) (a) (b) Figura (a) Resultado numérico da queda livre com resistência do ar. (b) Gráfico comparativo das duas simulações Problemas Problema 1. Uma pedra é solta a partir do repouso na borda de um poço. (a) Se o som do choque da pedra com a água é ouvido,67 s depois, qual a distância entre a borda e a superfície da água? A velocidade do som no ar (à temperatura ambiente) é de 337 m/s. (b) Se o tempo de viagem do som for desprezado, que erro percentual é introduzido no cálculo da profundidade do poço? Problema. Um canhão com velocidade de disparo de m/s é usado para iniciar uma avalanche na encosta de uma montanha. O alvo está a.000 m do canhão na horizontal e 800 m acima do canhão. A que ângulo, acima da horizontal, o canhão deve ser disparado? 31

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