9/5/5 UNIDADE III - Elemetos de probabilidades.. Itrodução à teoria das probabilidades...itrodução...coceitos fudametais...coceitos de probabilidade..4.teoremas para o cálculo de probabilidades..5.probabilidade codicioal e idepedêcia.. Variáveis aleatórias...itrodução e coceito...variáveis aleatórias discretas...variáveis aleatórias cotíuas.. Distribuições de probabilidade...distribuições de probabilidade de variáveis discretas...distribuições de probabilidade de variáveis cotíuas Profa. Clause Piaa Por que a variável é deomiada aleatória? Porque seus valores ocorrem de forma aleatória ou probabilística. Uma das mais importates maeiras pelas quais a aleatoriedade os afeta é por meio de sua ifluêcia as medições. Por eemplo, quado um professor avalia um trabalho de um aluo a ota ão é uma descrição do grau de qualidade do trabalho, mas uma medição dessa qualidade. Nesse caso, o istrumeto de medição é o professor, e a avaliação de tal profissioal, como qualquer medição, está sujeita a variações e erros aleatórios. A icerteza da medição é aida mais problemática quado a quatidade medida é subjetiva. Para eteder as medições é fudametal cohecer a forma como os dados estão distribuídos. As medidas descritivas são uma ferrameta essecial para obter essas iformações. Outro eemplo: supoha que 5 eólogos vão avaliar um viho. Situação. Os 5 eólogos cocordam que a ota do viho é 9. Situação. Os eólogos epressam as otas 8, 8, 8, 87, 89, 89, 9, 9, 9, 9, 9, 94, 97, 99 e. Uma das maeiras de gerar um úmero úico a partir de uma série de medições discordates é calcular a média. Assim, podemos resumir as opiiões utilizado a média das otas atribuídas ao viho. Mas essa iformação é suficiete? Os dois cojutos de dados tem a mesma média, mas diferem o quato variam a partir dessa média. O desvio padrão caracteriza o quato um cojuto de dados se aproima da média, o que também pode sigificar a icerteza dos dados. Na situação, o desvio padrão é 6 e o que podemos realmete dizer sobre o viho é que sua ota provavelmete se situe etre 84 e 96. Profa. Clause Piaa Notamos assim que a aleatoriedade (os erros aleatórios) gera variabilidade. A Estatística busca a regularidade presete a variabilidade Esta regularidade permite que as variáveis aleatórias sejam represetadas por modelos matemáticos, que são deomiados distribuições de probabilidade. As distribuições de probabilidade costituem a espiha dorsal da metodologia estatística, pois é com base esses modelos que a Estatística cria técicas que possibilitam tomar decisões válidas apesar da variabilidade e a preseça de icerteza. Na pesquisa cietífica o pesquisador precisa tomar decisões e obter coclusões a preseça de variabilidade. Profa. Clause Piaa 4 Distribuições de probabilidade O que é uma distribuição de probabilidade? Uma distribuição de probabilidade é essecialmete um modelo de descrição probabilística de uma população. População estatística é o cojuto de todos os valores de uma variável aleatória. População estatística Σ P(),,6, Distribuição de probabilidade As ideias de população e distribuição de probabilidade são idissociáveis e serão tratadas como siôimos. O termo distribuição se refere ao modo como as probabilidades se distribuem aos diferetes valores do espaço amostral. Distribuições de probabilidade: são modelos matemáticos para descrição probabilística da ocorrêcia de valores de uma variável aleatória Os modelos têm aplicações gerais e são idividualizados por meio dos parâmetros Parâmetros: caracterizações uméricas que permitem a idividualização de um modelo em determiado coteto Profa. Clause Piaa 6
9/5/5 Distribuições discretas No estudo de uma variável aleatória é importate saber:. O tipo de distribuição, que é determiado pela fução de probabilidade da variável. Os parâmetros da distribuição. As medidas descritivas da distribuição (média, variâcia, assimetria). Distribuição de Beroulli. Distribuição Biomial. Distribuição Hipergeométrica 4. Distribuição de Poisso 5. Distribuição Multiomial 6. Distribuição Geométrica 7. Distribuição Biomial Negativa 8. Distribuição Hipergeométrica Negativa 9. Distribuição Uiforme Profa. Clause Piaa 7 Profa. Clause Piaa 8 Distribuições cotíuas. Distribuição Uiforme. Distribuição Epoecial.Distribuição Normal * Distribuição Normal Padrão 4. Distribuição Gama 5. Distribuição Beta 6. Distribuição Logormal 7. Distribuição Semiormal 8. Distribuição Weibull 9. Distribuição Gumbel Distribuições de probabilidade de variáveis discretas Profa. Clause Piaa 9. Distribuição de Beroulli Jakob Beroulli (654 75) Deduzida o fial do século VII pelo matemático suíço Jakob Beroulli. Defiição: Modelo que descreve probabilisticamete os resultados de um eperimeto de Beroulli. O eperimeto (ou esaio) de Beroulli é defiido como o eperimeto aleatório que possui apeas dois resultados possíveis. Eemplo: Uma semete é colocada para germiar S {germiar, ão germiar} Cosideramos um dos resultados como sucesso: sucesso germiar fracasso ão germiar Defiimos a variável como úmero de sucessos em uma repetição do eperimeto. úmero de sucessos Profa. Clause Piaa, se ão germiar, se germiar S {,}
9/5/5 π probabilidade de sucesso -π probabilidade de fracasso Fução de probabilidade De modo geral, se é uma variável que tem distribuição de Beroulli, sua fução de probabilidade será: Represetação aalítica π P( ).( ), para S {, } parâmetro Parâmetro π Σ P( ) -π π Represetação tabular A distribuição de Beroulli tem apeas um parâmetro: π probabilidade de sucesso ~ Ber (π) Profa. Clause Piaa tem distribuição de Beroulli com parâmetro π Média ou valor esperado Para S {, } E() µ p() S E() µ p() S Teorema: E()µπ Σ P( ) -π π ( π) + π π Profa. Clause Piaa 5 Variâcia Para S {, } V() σ E( ) µ E( ) p() ( π) + π π S Σ P( ) -π π V() σ E( ) µ π π π ( π) Teorema: V()σ π(-π) Profa. Clause Piaa 6 Coeficiete de assimetria µ E( µ ) E( ) µ µ E( µ ) E( ) µ E( ) + µ a µ µ µ ( π) π Teorema: a π( π) desvio padrão Profa. Clause Piaa 7 a µ µ µ µ E( ) µ π π π( π) µ E( ) µ E( ) + µ π π + π a π( π) π( π) π( π + π ) π( π) π( π) π ππ + π π π π + π ( π) π Teorema: a π( π) desvio padrão + π + π π ( π + π ) ( π)( π) ( π) ( π) ( π) π( π) ( π) π( π) π( π) π( π) π + π π π π
9/5/5. Distribuição biomial Defiição: Modelo que descreve probabilisticamete os resultados de uma seqüêcia de eperimetos de Beroulli idepedetes etre si, ou seja, ode a probabilidade de sucesso é costate em todas as repetições do eperimeto. Se Y + Y +... + Y ode: Y i ~ Ber (π); Y i s são idepedetes; etão, a variável tem distribuição biomial. Distribuição biomial processo fiito de Beroulli eperimetos de Beroulli idepedetes, com probabilidade de sucesso π costate para todos eles É importate o coteto de amostragem com reposição Eemplo: Em uma estâcia 6% dos bovios foram vaciados cotra uma determiada doeça. Se um bovio dessa estâcia é escolhido ao acaso e sua situação em relação a vaciação é registrada, temos um eperimeto de Beroulli. ode: p(vaciado),6 S {vaciado, ão vaciado} p(ão vaciado) -,6,4 Se três bovios são escolhidos, um a um, e o resultado é registrado, temos uma seqüêcia de três eperimetos de Beroulli idepedetes, pois, a cada escolha, a probabilidade de sucesso permaecerá ialterada. Profa. Clause Piaa #S 8 V vaciado N ão vaciado S {VVV, VVN, VNV, NVV, NNV, NVN, VNN, NNN} Sucesso vaciado A variável é defiida como o úmero de sucessos em eperimetos de Beroulli idepedetes, com probabilidade de sucesso igual a π. e π,6 S {,,, } Qual é a fução de probabilidade P() associada a variável? S {VVV, VVN, VNV, NVV, NNV, NVN, VNN, NNN} S {,,,} P()? P(),4 π ( π),64 P(),6,4 π ( π),88 P(),6,4 π ( π),4 P(),6 π ( π),6 Como podemos determiar de quatas maeiras diferetes teremos sucessos e - fracassos?, P Permutação com repetição Qual é a fução de probabilidade P() associada a variável? P() P() P() P(), P, P, P, P π ( π) π ( π) π ( π) π ( π) P( ) P P( ) P, π ( π) Geeralizado para repetições do esaio de Beroulli:, π ( π) P,!! ( )! Represetação tabular Σ P( ),64,88,4,6 Represetação aalítica P( ) P Número de casos,,6 (,6) Probabilidade de um caso, para S {,,, } Profa. Clause Piaa 4 4
9/5/5 Por que esta distribuição é deomiada biomial? Fazedo: π p π q repetições Temos: (p + q) (p + q) p q (p + q) p q + p q p + q (p + q) p q + p q + p q p + pq + q Biômio de Newto (p + q) p q + p q + p q + p q (p + q) 4 4 4 (p + q) p q + 4p q + 6p q + 4p q + p q 5 Biômio de Newto (p + q) p q (p + q) p q + p q p + q 5 4 (p + q) p q + p q + p q p + pq + q 4 5 (p + q) p q + 5p q + p q + p q + 5p q + p q (p + q) p q + p q + p q + p q p + p q + pq + q P() π ( π) P() π ( π) P() π ( π) P() π ( π) Coeficietes Número biomial!! ( )! (p + q) 4 4 4 (p + q) p q + 4p q + 6p q + 4p q + p q 5 Biômio de Newto (p + q) p q (p + q) p q + p q p + q 5 4 (p + q) p q + p q + p q p + pq + q 4 5 (p + q) p q + 5p q + p q + p q + 5p q + p q (p + q) p q + p q + p q + p q p + p q + pq + q Triâgulo de Pascal Outro método para obter os coeficietes: Triâgulo de Pascal Represetação tabular Σ P( ),64,88,4,6 Represetação aalítica P( ) P Fução de probabilidade,,6 (,6), para S {,,, } De modo geral, se é uma variável que tem distribuição biomial, sua fução de probabilidade será: P( ) P π ( π), para S {,,..., }, Parâmetros P( ) P π ( π), parâmetros A distribuição biomial tem dois parâmetros: úmero de repetições do eperimeto de Beroulli π probabilidade de sucesso ~ Bi (,π) tem distribuição biomial com parâmetros e π Profa. Clause Piaa 5
9/5/5 Média ou valor esperado E() µ p() S Y... + + Y + Y E() E(Y + Y +... + Y ) E() E(Y) + E(Y ) +... + E(Y ) E() π + π +... + π π Beroulli E(Y) π Variâcia V() σ E( ) µ Y... + + Y + Y V() V(Y + Y +... + Y ) V() V(Y) + V(Y ) +... + V(Y ) Beroulli E(Y) π V(Y) π(-π) V() π( π ) + π( π ) +... + π( π) π( π) Teorema: E()µπ Profa. Clause Piaa Teorema: V()σ π(-π) Coeficiete de assimetria a µ µ µ ( π) π Teorema: a π( π) Beroulli ( π) π a π( π) desvio padrão Coeficiete de curtose a µ µ 4 4 Se Se Se a 4 a 4 a 4 a 4 a4-6π - π Teorema: a 4 π - π <, a distribuição é platicúrtica, a distribuição é mesocúrtica >, a distribuição é leptocúrtica ( ) ( ) Iterpretação: Se π <(-π), a distribuição biomial é assimétrica positiva Se π (-π),5, a distribuição biomial é simétrica Se π >(-π), a distribuição biomial é assimétrica egativa Iterpretação: Se a 4 <, a distribuição biomial é platicúrtica Se a 4, a distribuição biomial é mesocúrtica Se a 4 >, a distribuição biomial é leptocúrtica Σ P( ),64,88,4,6 E() µ p() S E() µ,64 +,88 +,4 +,6,8 V() σ E( ) µ,4,8,7 E( ),64+,88+,4+,6,4 Profa. Clause Piaa 5 Utilizado os teoremas: ~ Bi (, π,6) E()π,6,8 bovios vaciados Sigificado: Se o eperimeto (escolher três bovios) for repetido um grade úmero de vezes, o úmero médio de sucessos (bovios vaciados) obtidos esses eperimetos será,8. V() π(- π),6,4,7 bovios vaciados σ V(),7,8485 bovios vaciados Sigificado: Se o eperimeto for repetido um grade úmero de vezes, a variação média do úmero de sucessos em toro do valor esperado será de,85. 6
9/5/5 Sigificado: As chaces para os valores maiores que a média (,8) são maiores que para os meores. p(),5,4,,, ( π) π a π( π),4,6,4,6,4 A distribuição é assimétrica egativa. π( π) ( π) -6 - a 4 π - 6,6,4,6, 4,6 A distribuição é platicúrtica.. Distribuição hipergeométrica Defiição: Modelo que descreve probabilisticamete os resultados de uma seqüêcia de eperimetos de Beroulli depedetes. Refere-se a eperimetos que se caracterizam por retiradas sem reposição, ode a probabilidade de sucesso se altera a cada retirada. A distribuição hipergeométrica ão cofigura um processo de Beroulli porque a probabilidade de sucesso muda de um eperimeto para o outro Essa distribuição é etremamete importate o coteto de amostragem sem reposição Eemplo: Uma badeja cotém ícaras de cafeziho, sete com açúcar e três com adoçate. Três pessoas se aproimam da badeja e se servem. Se a variável aleatória é defiida como o úmero de ícaras de café com açúcar, costrua a distribuição de probabilidade de. ícaras 7 Açúcar Adoçate ícaras () úmero de ícaras de café com açúcar S {A A A, A A A 4,, A A a,..., a a a } #S C A açúcar a adoçate S {A A A, A A A 4,, A A a,..., a a a } A açúcar a adoçate # S úmero de ícaras de café com açúcar S {,,, } C7 C P( ) C P( ),8 C7 C 7,75 C C7 C 6 P( ),55 C P( ) C7 C 5 5,97 C C Represetação tabular Σ P( ),8,75,55,97 Represetação aalítica C7 C P( ) C -, para S {,,, } Como geeralizar esta fução para qualquer variável que teha distribuição hipergeométrica? Covecioamos usar a seguite otação: população NN +N sub-populações N N (sucesso) (fracasso) elemetos (sem reposição) úmero de sucessos em retiradas Cada grupo de tamaho formado é deomiado amostra. Todas as amostras têm a mesma chace de ocorrêcia. Do poto de vista probabilístico ão faz difereça cosiderar retiradas idividuais sem reposição ou retirada cojuta de grupos 7
9/5/5 Represetação tabular Σ P( ),8,75,55,97 Represetação aalítica C7 C P( ) C Fução de probabilidade -, para S {,,, } De modo geral, se é uma variável que tem distribuição hipergeométrica, sua fução de probabilidade será: C C P( - N N ), para S {ma(, -N ),..., mi(,n } CN Parâmetros C C P( ) parâmetros - N N CN A distribuição hipergeométrica tem três parâmetros: úmero de repetições do eperimeto de Beroulli N tamaho da população N tamaho da sub-população de iteresse ~ Hip (, N, N ) tem distribuição hipergeométrica com parâmetros, N e N Profa. Clause Piaa 44 Média ou valor esperado Variâcia E() µ p() Teorema: S V() σ E( ) µ Biomial E() π V() π(-π) N probabilidade E() µ N de sucesso probabilidade de fracasso População fiita é aquela que pode ser esgotada por processo de amostragem. Uma população será cosiderada fiita quado tiver um úmero fiito de elemetos e a amostragem for efetuada sem reposição. População ifiita é aquela que ão se esgota por processo de amostragem. Uma população será cosiderada ifiita quado tiver um úmero ifiito de elemetos ou quado amostragem for efetuada com reposição. N N N - Teorema: V() σ N N N - Fator de correção para populações fiitas Profa. Clause Piaa 46 Média ou valor esperado No eemplo: Σ P( ),8,75,55,97 Variâcia N Teorema: E() N A depedêcia ão altera a média, mas altera a variâcia E() µ p() S E() µ,8 +,75 +,55 +,97, Teorema: N N N - V() N N N - Fator de correção é irrelevate para N grade V() σ E( ) µ 4,9, E( ),8+,75+,55+,55 4,9,49 8
9/5/5 Utilizado os teoremas: ~ Hip (, N, N 7) N 7 E(), ícaras com açúcar N Sigificado: Se o eperimeto (escolher três ícaras) for repetido um grade úmero de vezes, o úmero médio de sucessos (ícaras de café com açúcar) obtidos será,. N N N- 7 - V(),49 N N N- - ícaras com açúcar σ V(),49,7 ícaras com açúcar Sigificado: Se o eperimeto for repetido um grade úmero de vezes, a variação média do úmero de sucessos em relação ao valor esperado será,7. 4. Distribuição de Poisso Siméo D. Poisso (78 84) A distribuição de Poisso foi assim desigada em homeagem ao matemático e físico fracês Siméo Deis Poisso. Modelo de descrição de acotecimetos de ocorrêcia rara Eemplo clássico da distribuição de Poisso: úmero de soldados do eército da Prússia mortos aualmete por coice de cavalo, etre 875 e 894. Profa. Clause Piaa 5 Siméo Deis Poisso (78 84) Matemático e físico fracês, ascido em Pithiviers, cosiderado o sucessor de Laplace o estudo da mecâica celeste e da atração de esferóides. Filho de um admiistrador público, etrou para a École Polytechique (798), em Palaiseau, ode se formou, estudado com professores como Joseph Louis Lagrage, Pierre Simo Laplace e Jea Baptiste Fourier, dos quais se torou amigo pessoal. Ocupou cargos acadêmicos a Ecole Polytechique e a Sorboe e cotribuiu para as teorias da eletricidade e do magetismo e estudou também o movimeto da lua. Desevolveu pesquisas sobre mecâica, eletricidade (a costate de Poisso), elasticidade (razão de Poisso), calor, som e estudos matemáticos (itegral de Poisso a teoria do potecial e o colchete de Poisso as equações difereciais), com aplicação a medicia e a astroomia. Produziu escritos sobre movimetos de odas em geral e coeficietes de cotração e a relação etre estes e a etesão. Publicou trabalhos (8) que ajudaram a eletricidade e o magetismo torarem-se um ramo da física matemática. Gahou o título de barão (85). Na hidrodiâmica seu mais otável trabalho foi Mémoire sur les équatios géérales de l'équilibre et du mouvemet des corps solides élastiques et des fluides (89), relacioado equilíbrio de sólidos elásticos e corretes de fluidos compressíveis. Publicou o importate tratado Traité de mécaique (8), em dois volumes, a termodiâmica a Teoria matemática do calor (85) e em Recherches sur la probabilité des jugemets (87) apareceu a famosa distribuição de Poisso, de itesa aplicação em estatística. Na teoria de probabilidades descobriu a forma limitada da distribuição biomial que posteriormete recebeu o seu ome e hoje cosiderada uma das mais importates distribuições a probabilidade, sedo o método de Poisso é um processo radômico de importâcia fudametal. Publicou cerca de quatrocetos trabalhos e morreu em Sceau, próimo a Paris, Fraça. (Só Biografias. Dispoível em http://www.dec.ufcg.edu.br/biografias/simeode.html) 4. Distribuição de Poisso Defiição: descreve probabilisticamete a seqüêcia de um grade úmero de feômeos idepedetes etre si, cada um com probabilidade de sucesso muito pequea. Ocorre aturalmete quado se deseja cotar o úmero de um tipo particular de evetos que ocorrem por uidade de tempo, de superfície ou de volume. Pode ser cosiderada como uma biomial ode o úmero de eperimetos () é grade, π é pequeo (sucesso raro) e π (média de sucessos) é costate. Distribuição de Poisso processo ifiito de Beroulli Profa. Clause Piaa 5 Eemplos: úmero de peças defeituosas observadas em uma liha de produção um determiado período de tempo; úmero de acidetes de trabalho ocorridos uma grade empresa um determiado período de tempo; úmero de cicloes ocorridos em certa região um determiado período de tempo; úmero de formigueiros por uidade de área em uma região; úmero de bactérias por uidade de área em uma lâmia com etratos de uma plata; úmero de espermatozóides iviáveis de um touro por uidade de volume de sême. A distribuição de Poisso tem iúmeras aplicações a simulação de sistemas modelado o úmero de evetos ocorridos um itervalo de tempo, quado os evetos ocorrem a uma taa costate. Fução de probabilidade De modo geral, se é uma variável que tem distribuição de Poisso, sua fução de probabilidade será: P( ) e, para S {,,,...}! espaço amostral ifiito ode: : úmero de sucessos e,78 (base dos logaritmos eperiaos) : úmero médio de sucessos (sempre maior que zero) Profa. Clause Piaa 54 9
9/5/5 Demostra-se que p() e é uma fução de probabilidade,! provado que p(). Como S {,,,...}, temos: p() e! e! e + + + +...!!!! e + + + +...!! e e e + e Série de Taylor e + + + +...!! e + + + +...!! Parâmetros P( ) e A distribuição de Poisso tem apeas um parâmetro: úmero médio de sucessos ~ Poi () tem distribuição de Poisso com parâmetro! parâmetro Profa. Clause Piaa 56 Demostração Média ou valor esperado: E() µ p() Variâcia: Teorema: E() µ S V() σ E( ) µ, fazedo y, temos Teorema: V() σ Na Poisso média e variâcia são iguais!! Média ou valor esperado: E() µ p() y E() p() e S! e e! ( )! y y! e S y + e e e e e y y! e e ( )! ( )! Teorema: E() µ Demostração V() σ Variâcia: E( ) µ E( ) p() e S! e e! ( )! e, fazedo y, temos ( )! y y y y + + + y e (y ) e y e y y y! y y! y! y y! y y! e (e + e ) e e + e e e + e + V() E( ) µ + Teorema: V() σ e! y y y! e Coeficiete de assimetria Teorema: a A Poisso é assimétrica positiva, tededo para a simetria quado µ cresce. Coeficiete de curtose Teorema: a 4 A Poisso é platicúrtica, tededo para mesocúrtica quado µ cresce.
9/5/5 p() A Poisso tede para a simetria quado µ cresce.,4, ~ Poi (),, 4 p(), ~ Poi (,5),, 4 5 6 7 Eercício proposto: A taa média de chegada de clietes em um posto de serviços é de,5 por miuto. Calcular a probabilidade de, em um dado miuto, chegarem dois clietes. Resumo das distribuições discretas Profa. Clause Piaa 6 Profa. Clause Piaa 64 Distribuição de Beroulli Descreve probabilisticamete resultados de eperimetos que possuem apeas dois resultados possíveis. Fução de probabilidade P( ) π ( π), para S {, } Parâmetro: π probabilidade de sucesso E() µ π V() σ π (- π) ( π) π a π( π) Profa. Clause Piaa 65 Distribuição biomial Descrição probabilística de uma seqüêcia de eperimetos de Beroulli idepedetes. Importate o coteto de amostragem com reposição. Fução de probabilidade P( ) P π ( π), para S {,,..., }, Parâmetros: úmero de repetições o eperimeto π probabilidade de sucesso E() µ π V() σ π(-π) ( π) π a π( π) π( π) ( π) -6 - a 4 π - Profa. Clause Piaa 66
9/5/5 Distribuição hipergeométrica Descrição probabilística de uma seqüêcia de eperimetos de Beroulli depedetes. Importate o coteto de amostragem sem reposição. Fução de probabilidade - CN CN P( ), para S {,,..., } C Parâmetros: N úmero de repetições do eperimeto N tamaho da população N tamaho da sub-população de iteresse N N N N - E() µ V() σ N N N N - Distribuição de Poisso Descrição probabilística da seqüêcia de um grade úmero de feômeos idepedetes, todos com probabilidade de sucesso muito pequea, e média de sucessos costate. Fução de probabilidade P( ) e, para S {,,,...}! Parâmetro: úmero médio de sucessos E() µ V() σ a a 4 Em determiadas circustâcias, uma distribuição de probabilidade pode teder para outra. Os casos mais importates de aproimações etre distribuições são: Formas limites da distribuição biomial. Hipergeométrica Biomial. Biomial Poisso. Biomial Normal Profa. Clause Piaa 7. Hipergeométrica Biomial Quado N (tamaho da população) é muito grade (ou tede para + ), a distribuição hipergeométrica se aproima da distribuição biomial. Biomial V() π(- π) Hipergeométrica N N N - V() N N N - Quado N tede para ifiito, o fator de correção se aproima de. tede a zero N N N N N N N N tede a + fator de correção Esta aproimação é cosiderada satisfatória quado o úmero de elemetos retirados () ão ecede 5% da população (N), isto é,,5n. População N Amostra Quado o tamaho da amostra represeta meos de 5% do tamaho da população, a população é tão grade em relação a amostra que pode ser cosiderada ifiita.,5n
9/5/5. Biomial Poisso Quado (úmero de repetições do eperimeto) é muito grade (ou tede para + ) e π (probabilidade de sucesso) é muito pequea (ou tede para ) a distribuição biomial se aproima da distribuição de Poisso. π< e. Biomial Normal Quado (úmero de repetições do eperimeto) é grade (ou tede para + ) e π (probabilidade de sucesso) se aproima de,5, a distribuição biomial se aproima da distribuição ormal. Se π(-π),5, a distribuição biomial será simétrica. E() Profa. Clause Piaa 7 p(),8 Eercícios propostos: ~ Bi (5,π,5),4,,6, 4 6 5 7 9 8 Um auditor foi cotratado para eamiar uma coleção de 6. faturas, das quais 8 cotêm erros. Se foi selecioada uma amostra de faturas, qual é a probabilidade de esta amostra coter eatamete duas faturas com erros? ~ Nor (µ7,5,σ,75) Sedo de % o percetual de cahotos uma população, qual é a probabilidade de haver apeas um cahoto uma classe de aluos? Profa. Clause Piaa 76 Distribuições de probabilidade de variáveis cotíuas Em geral é difícil idetificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável cotíua. Iicialmete, uma revisão bibliográfica pode útil para verificar se a variável de iteresse já foi estudada e seu modelo de descrição probabilística já é cohecido. A observação do campo de variação (espaço amostrar) da variável também pode ajudar esta idetificação. Eistem vários tipos de distribuições cotíuas. Por eemplo: Distribuição gama: descreve variáveis que só assumem valores positivos. Distribuição beta: descreve variáveis que assumem valores o itervalo [, ]. Distribuição ormal mais importate Profa. Clause Piaa 78
9/5/5 Distribuições cotíuas. Distribuição Epoecial.Distribuição Normal * Distribuição Normal Padrão. Distribuição Uiforme 4. Distribuição Gama 5. Distribuição Beta 6. Distribuição Logormal 7. Distribuição Semiormal 8. Distribuição Weibull evetos climáticos etremos 9. Distribuição Gumbel Profa. Clause Piaa 79. Distribuição epoecial A distribuição epoecial está relacioada com a distribuição de Poisso. Na distribuição de Poisso, a variável aleatória é defiida como o úmero de sucessos em determiado período de tempo t, sedo a média de sucessos o período defiida como. Na distribuição epoecial, a variável aleatória é defiida como o tempo etre dois sucessos. t y Processo de Poisso Y úmero de sucessos variável discreta tempo decorrido etre sucessos sucessivos variável cotíua y t E(Y) y t Eemplo: Se a média de atedimetos o caia de uma loja é de clietes por miuto, etão, o tempo decorrido etre atedimetos é uma variável com distribuição epoecial. Y úmero de atedimetos distribuição de Poisso t mi Y Y4 Y s S Y {,,,...} E(Y) t mi t mi 45 s 8 s 5 s s 55 s tempo etre atedimetos (em segudos) distribuição epoecial S (, ) A distribuição epoecial é etesivamete utilizada para modelar o tempo etre ocorrêcias de evetos um sistema, ode os evetos ocorrem a uma taa costate. Desse modo, tem grade aplicabilidade em estudos de sobrevivêcia, cofiabilidade, teoria das filas e simulação. Fução desidade de probabilidade. De modo geral, se é uma variável aleatória cotíua que tem distribuição epoecial, etão, sua fução desidade de probabilidade será: f() e -, para S [, ) ode: : tempo decorrido etre dois sucessos e,78 (base dos logaritmos eperiaos) : úmero médio de sucessos (sempre maior que zero) Podemos demostrar que f() é uma fução desidade de probabilidade provado que f() d S só assume valores reais ão egativos f() d e d e e e ( ) S Fução desidade de probabilidade Represetação gráfica: f() e - Eemplos: Fução de distribuição ou de probabilidade acumulada. -t F() P( ) e dt e Represetação gráfica: - f() e - e Profa. Clause Piaa 8 P( ) F() ( e > ) e 4
9/5/5 Parâmetros f() e - parâmetro A distribuição epoecial tem apeas um parâmetro: úmero médio de sucessos ~ Ep () tem distribuição epoecial com parâmetro Profa. Clause Piaa 85 Média ou valor esperado: E() µ S e d f() d Teorema: E() µ E() µ f()d S Profa. Clause Piaa 86 Variâcia: V() σ E( ) µ V() σ f()d µ S ( ) e d Teorema: V() σ Profa. Clause Piaa 87 Eercícios propostos:. Os tempos até a falha de um dispositivo eletrôico seguem o modelo epoecial, com uma taa de falha, falhas/hora. Idique qual a probabilidade de um dispositivo escolhido ao acaso sobreviver a 5 horas? E a horas? Qual o tempo esperado até que ocorra falha?. Supoha que um compoete eletrôico teha um tempo de vida (em uidades de horas) que segue uma distribuição epoecial de parâmetro. Supoha que o custo de fabricação do item seja reais e que o preço de veda seja 5 reais. O fabricate garate devolução total se <,9. Qual o lucro esperado por item? Resolução: Supoha que um compoete eletrôico teha um tempo de vida (em uidades de horas) que segue uma distribuição epoecial de parâmetro. Supoha também que o custo de fabricação do item seja reais e que o preço de veda seja 5 reais. O fabricate garate devolução total se <,9. Qual o lucro esperado por item? tempo de vida ( h) Y lucro por item (reais) Sedo, F() P( ) e F(,9) Se <,9, etão Y - reais Se >,9, etão Y reais - P(,9) e -,9,594. Distribuição ormal Sítese histórica A distribuição ormal foi primeiramete obtida por Abraham De Moivre, um artigo de 74, o coteto de aproimação da distribuição biomial quado o úmero de eperimetos de Beroulli cresce. De Moivre se deparou com a curva ormal ao buscar uma aproimação para os úmeros que habitam regiões do triâgulo de Pascal. Os gráficos abaio represetam as magitudes de algumas lihas do triâgulo de Pascal. Liha Liha Liha 5 5 Abraham De Moivre (667-754) Liha <,9 >,9 Y y - Σ P(Y y),594,466 E(Y) -,594 +,466, reais 5
9/5/5 Triâgulo de Pascal 4 5 6 7 8 9 Carl Friedrich Gauss (777 855) Em 89, Gauss assumiu que os erros de medida poderiam ser modelados pela distribuição ormal. Ele teve essa percepção ao realizar medições astroômicas, equato trabalhava o problema dos movimetos plaetários. Em 8, em seu livro Theórie Aalytique des Probabilités, Laplace melhorou o resultado ecotrado por De Moivre para o que hoje é deomiado Teorema de De Moivre-Laplace. Também foi Laplace quem tirou a distribuição ormal da obscuridade e criou um argumeto melhor do que o de Gauss para sustetar a oção de que a distribuição ormal é, de fato, a lei dos erros. Pierre-Simo Laplace (749 87) i Sobre os erros de medida Isaac Newto (64-77) medições discordates,,,..., valor mais razoável para a medida Newto foi o primeiro a empregar a média para obter um úico valor a partir de uma série de medições discordates. Mas a maior parte dos cietistas daquela época e o século seguite ão calculava a média, em vez disso, escolhia detre suas medições um úico úmero áureo cosiderado, essecialmete por palpite, o mais cofiável dos resultados obtidos. Isso porque ão cosideravam a variação como um subproduto ievitável do processo de mesuração, e sim como uma evidêcia de fracasso. desvio erro de medida ( i ) média dos erros ( i ) Distribuição dos erros de medida µ Atualmete, a distribuição ormal é importate tato do poto de vista teórico como as aplicações. Essa importâcia se deve a um cojuto de aspectos: Suas propriedades matemáticas É útil para descrever uma grade quatidade de feômeos aturais físicos, ambietais, psicométricos etc, além dos erros de medida Distribuições de um grade úmero de variáveis aleatórias covergem para a distribuição ormal Muitas variáveis ão ormais podem ser tratadas como ormais após trasformações simples Uma grade quatidade de métodos e procedimetos de iferêcia estatística são derivados tedo-a como pressuposição básica O cojuto de métodos desevolvidos para tratar variáveis que têm distribuição ormal forma a chamada Estatística Clássica ou Estatística Paramétrica.. Distribuição ormal Fução desidade de probabilidade Defiição: É uma distribuição teórica de frequêcias, ode a maioria das observações se situa em toro da média (cetro) e dimiui gradual e simetricamete o setido dos etremos. A distribuição ormal é represetada graficamete pela curva ormal (curva de Gauss) que tem a forma de sio e é simétrica em relação ao cetro, ode se localiza a média µ. Profa. Clause Piaa 95 De modo geral, se é uma variável cotíua que tem distribuição ormal, sua fução desidade de probabilidade será: ( µ) σ parâmetros f() e, para S σ π (-,+ ) A distribuição ormal é um membro da família epoecial. Parâmetros A distribuição ormal tem dois parâmetros: µ média (determia o cetro da distribuição) σ variâcia (determia a dispersão da distribuição) ~ N (µ, σ ) tem distribuição ormal com parâmetros µ e σ 6
9/5/5 Populações ormais com médias diferetes e mesma variâcia Populações ormais com variâcias diferetes e mesma média Eiste um úmero ifiito de curvas ormais Profa. Clause Piaa 97 Propriedades da distribuição ormal. O máimo da fução desidade de probabilidade se dá o poto µ.. A distribuição é simétrica em relação ao cetro ode coicidem a média, a moda e a mediaa. máimo µ MdµMo Profa. Clause Piaa 99 Profa. Clause Piaa. Os potos de ifleão são eatamete µ-σ e µ+σ. 4. Verifica-se a distribuição ormal que: P(µ-σ < < µ+σ),685 P(µ-σ < < µ+σ),9544 µ-σ µ µ+σ Poto de ifleão: poto ode a cocavidade à direita tem sial diferete ao da cocavidade à esquerda P(µ-σ < < µ+σ),9974 Profa. Clause Piaa 7
9/5/5 Se é uma variável que tem distribuição ormal com µ 5 e σ 4, calcule: a) P( < < 7) b) P(5 < < 9) c) P(4 < < ) Profa. Clause Piaa Cálculo de áreas Para cada valor de µ e de σ, eiste uma distribuição ormal diferete Eistem ifiitas distribuições (e curvas) ormais, pois basta que mude um dos parâmetros para termos uma distribuição diferete O cálculo de áreas sob a curva ormal, deverá ser feito sempre em fução dos valores particulares de µ e σ Para evitar a trabalhosa tarefa de calcular as áreas foi determiada uma distribuição ormal padrão ou reduzida As áreas sob a curva ormal padrão foram calculadas e apresetadas uma tabela Distribuição ormal padrão Defiição: é a distribuição ormal de uma variável Z que tem média igual a zero (µ) e desvio padrão igual a um (σ). Fução desidade de probabilidade de uma variável que tem distribuição ormal f() e σ π ( µ ) σ, para S (-,+ ) Fução desidade de probabilidade da variável Z que tem ormal padrão z f(z) e, para S Z (-,+ ) π Profa. Clause Piaa 5 A curva ormal padrão foi dividida em pequeas tiras, cujas áreas foram calculadas e apresetadas uma tabela. Na tabela da distribuição ormal padrão, podemos ecotrar as áreas correspodetes aos itervalos de a z. Profa. Clause Piaa 6 Tabela - Área sob a curva ormal padrão de a z, P( Z z). Os valores egativos ão são apresetados a tabela porque a curva é simétrica; assim, as áreas correspodetes a esses valores são eatamete iguais às dos seus simétricos positivos, por eemplo P(-<Z<)P(<Z<). Na tabela da distribuição ormal padrão, os valores de Z vão de a,9. Este limite é estabelecido com base a quarta propriedade da distribuição ormal. Profa. Clause Piaa 7 Profa. Clause Piaa 8 8
9/5/5 Eercício proposto: Seja Z uma variável aleatória com distribuição ormal padrão. Determie as seguites probabilidades: a) P( < Z <,7) b) P(,8 < Z < + ) c) P(-,5 Z -,6) Profa. Clause Piaa 9 Através da distribuição ormal padrão é possível estudar qualquer variável que teha distribuição ormal, com quaisquer valores para µ e σ. Para utilizarmos os valores da tabela, devemos padroizar a variável, ou seja, trasformar em Z. ~ N (µ, σ ) trasformar Z ~ N (, ) Z µ σ Após a trasformação, procuramos a tabela a área compreedida etre e z, que correspoderá a área etre µ e. Profa. Clause Piaa A trasformação muda as variáveis, mas ão altera a área sob a curva. ~ N (µ, σ ) Z ~ N (, ) P( < < ) P(z < Z < z ) Profa. Clause Piaa Eercício proposto: A resistêcia à compressão de amostras de cimeto pode ser modelada por uma distribuição ormal, com µ 4kg e σ 8 kg/cm. Determie: a) a probabilidade de que a resistêcia da amostra seja meor que 45 kg/cm ; b) a probabilidade de que a resistêcia da amostra esteja etre 95 e 4 kg/cm ; c) o úmero de amostras com resistêcia iferior à µ+σ kg/cm, das amostras avaliadas o período de um mês. Profa. Clause Piaa Bibliografia BUSSAB, W.O.; MORETTIN, P.A. Estatística Básica. São Paulo: Saraiva. 6. 56p. FERREIRA, D.F. Estatística Básica. Lavras: Editora UFLA, 5, 664p. FREUND, J.E., SIMON, G.A. Estatística Aplicada. Ecoomia, Admiistração e Cotabilidade. 9.ed., Porto Alegre: Bookma,. 44p. MEYER, P. L. Probabilidade: aplicações à estatística. Rio de Jaeiro: LTC, 976. MLODINOW, L. O adar do bêbado. Como o acaso determia ossas vidas. Rio de Jaeiro: Editora Zahar, 9, 64p. SILVEIRA JÚNIOR, P., MACHADO, A.A., ZONTA, E.P., SILVA, J.B. da Curso de Estatística. v., Pelotas: Uiversidade Federal de Pelotas, 99. 4p. Sistema Galileu de Educação Estatística. Dispoível em: http://www.galileu.esalq.usp.br/topico.html 9