Por que a variável é denominada aleatória? Porque seus valores ocorrem de forma aleatória ou probabilística.

Transcrição

1 9/5/5 UNIDADE III - Elementos de probabilidades.. Introdução à teoria das probabilidades...introdução...conceitos fundamentais...conceitos de probabilidade..4.teoremas para o cálculo de probabilidades..5.probabilidade condicional e independência.. Variáveis aleatórias...introdução e conceito...variáveis aleatórias discretas...variáveis aleatórias contínuas.. Distribuições de probabilidade...distribuições de probabilidade de variáveis discretas...distribuições de probabilidade de variáveis contínuas Profa. Clause Piana Por que a variável é denominada aleatória? Porque seus valores ocorrem de forma aleatória ou probabilística. Uma das mais importantes maneiras pelas quais a aleatoriedade nos afeta é por meio de sua influência nas medições. Por eemplo, quando um professor avalia um trabalho de um aluno a nota não é uma descrição do grau de qualidade do trabalho, mas uma medição dessa qualidade. Nesse caso, o instrumento de medição é o professor, e a avaliação de tal profissional, como qualquer medição, está sujeita a variações e erros aleatórios. A incerteza da medição é ainda mais problemática quando a quantidade medida é subjetiva. Para entender as medições é fundamental conhecer a forma como os dados estão distribuídos. As medidas descritivas são uma ferramenta essencial para obter essas informações.

2 9/5/5 Outro eemplo: suponha que 5 enólogos vão avaliar um vinho. Situação. Os 5 enólogos concordam que a nota do vinho é 9. Situação. Os enólogos epressam as notas 8, 8, 8, 87, 89, 89, 9, 9, 9, 9, 9, 94, 97, 99 e. Uma das maneiras de gerar um número único a partir de uma série de medições discordantes é calcular a média. Assim, podemos resumir as opiniões utilizando a média das notas atribuídas ao vinho. Mas essa informação é suficiente? Os dois conjuntos de dados tem a mesma média, mas diferem no quanto variam a partir dessa média. O desvio padrão caracteriza o quanto um conjunto de dados se aproima da média, o que também pode significar a incerteza dos dados. Na situação, o desvio padrão é 6 e o que podemos realmente dizer sobre o vinho é que sua nota provavelmente se situe entre 84 e 96. Profa. Clause Piana Notamos assim que a aleatoriedade (os erros aleatórios) gera variabilidade. A Estatística busca a regularidade presente na variabilidade Esta regularidade permite que as variáveis aleatórias sejam representadas por modelos matemáticos, que são denominados distribuições de probabilidade. As distribuições de probabilidade constituem a espinha dorsal da metodologia estatística, pois é com base nesses modelos que a Estatística cria técnicas que possibilitam tomar decisões válidas apesar da variabilidade e na presença de incerteza. Na pesquisa científica o pesquisador precisa tomar decisões e obter conclusões na presença de variabilidade. Profa. Clause Piana 4

3 9/5/5 Distribuições de probabilidade O que é uma distribuição de probabilidade? Uma distribuição de probabilidade é essencialmente um modelo de descrição probabilística de uma população. População estatística é o conjunto de todos os valores de uma variável aleatória. População estatística X Σ P(X),,6, Distribuição de probabilidade As ideias de população e distribuição de probabilidade são indissociáveis e serão tratadas como sinônimos. O termo distribuição se refere ao modo como as probabilidades se distribuem aos diferentes valores do espaço amostral. Distribuições de probabilidade: são modelos matemáticos para descrição probabilística da ocorrência de valores de uma variável aleatória Os modelos têm aplicações gerais e são individualizados por meio dos parâmetros Parâmetros: caracterizações numéricas que permitem a individualização de um modelo em determinado conteto Profa. Clause Piana 6

4 9/5/5 No estudo de uma variável aleatória é importante saber:. O tipo de distribuição, que é determinado pela função de probabilidade da variável. Os parâmetros da distribuição. As medidas descritivas da distribuição (média, variância, assimetria) Profa. Clause Piana 7 Distribuições discretas. Distribuição de Bernoulli. Distribuição Binomial. Distribuição Hipergeométrica 4. Distribuição de Poisson 5. Distribuição Multinomial 6. Distribuição Geométrica 7. Distribuição Binomial Negativa 8. Distribuição Hipergeométrica Negativa 9. Distribuição Uniforme Profa. Clause Piana 8 4

5 9/5/5 Distribuições contínuas. Distribuição Uniforme. Distribuição Eponencial. Distribuição Normal * Distribuição Normal Padrão 4. Distribuição Gama 5. Distribuição Beta 6. Distribuição Lognormal 7. Distribuição Seminormal 8. Distribuição Weibull 9. Distribuição Gumbel Profa. Clause Piana 9 Distribuições de probabilidade de variáveis discretas 5

6 9/5/5. Distribuição de Bernoulli Deduzida no final do século XVII pelo matemático suíço Jakob Bernoulli. Definição: Modelo que descreve probabilisticamente os resultados de um eperimento de Bernoulli. Jakob Bernoulli (654 75) O eperimento (ou ensaio) de Bernoulli é definido como o eperimento aleatório que possui apenas dois resultados possíveis. Profa. Clause Piana Eemplo: Uma semente é colocada para germinar S {germinar, não germinar} Consideramos um dos resultados como sucesso: sucesso germinar fracasso não germinar Definimos a variável X como número de sucessos em uma repetição do eperimento. X número de sucessos X, se não germinar, se germinar S X {,} 6

7 9/5/5 π probabilidade de sucesso -π probabilidade de fracasso Função de probabilidade De modo geral, se X é uma variável que tem distribuição de Bernoulli, sua função de probabilidade será: X Σ P(X ) -π π Representação tabular Profa. Clause Piana Representação analítica π P(X ).( ) π, para S X {, } parâmetro Parâmetro A distribuição de Bernoulli tem apenas um parâmetro: π probabilidade de sucesso X ~ Ber (π) X tem distribuição de Bernoulli com parâmetro π 7

8 9/5/5 Medidas descritivas Média ou valor esperado E(X) µ p() S X Para S X {, } X Σ P(X ) -π π E(X) µ p() S X ( π) + π π Teorema: E(X)µπ Profa. Clause Piana 5 Variância V(X) σ E(X ) µ Para S X {, } X Σ P(X ) -π π E(X ) p() S X ( π) + π π V(X) σ E(X ) µ π π π ( π) Teorema: V(X)σ π(-π) Profa. Clause Piana 6 8

9 9/5/5 Coeficiente de assimetria a µ µ µ µ µ E(X µ ) E(X µ ) E(X ) µ E(X ) µ E(X ) + µ Teorema: a ( π) π π( π) desvio padrão Profa. Clause Piana 7 µ E(X ) µ π π π( π) µ a µ µ µ E(X ) µ E(X ) + µ π ππ + π π π + π a π π + π π( π) π( π) π( π + π ) π( π) π( π) ( π + π ) ( π)( π) ( π) π( π) ( π) π( π) π + π + π π π + π π π π ( π) ( π) π( π) π( π) Teorema: a ( π) π π( π) desvio padrão 9

10 9/5/5. Distribuição binomial Definição: Modelo que descreve probabilisticamente os resultados de uma seqüência de eperimentos de Bernoulli independentes entre si, ou seja, onde a probabilidade de sucesso é constante em todas as repetições do eperimento. Se onde: X Y Y + Yn Y i ~ Ber (π); Y i s são independentes; então, a variável X tem distribuição binomial. Distribuição binomial processo finito de Bernoulli n eperimentos de Bernoulli independentes, com probabilidade de sucesso π constante para todos eles É importante no conteto de amostragem com reposição Eemplo: Em uma estância 6% dos bovinos foram vacinados contra uma determinada doença. Se um bovino dessa estância é escolhido ao acaso e sua situação em relação a vacinação é registrada, temos um eperimento de Bernoulli. onde: p(vacinado),6 S {vacinado, não vacinado} p(não vacinado) -,6,4 Se três bovinos são escolhidos, um a um, e o resultado é registrado, temos uma seqüência de três eperimentos de Bernoulli independentes, pois, a cada escolha, a probabilidade de sucesso permanecerá inalterada. Profa. Clause Piana

11 9/5/5 #S 8 V vacinado N não vacinado S {VVV, VVN, VNV, NVV, NNV, NVN, VNN, NNN} Sucesso vacinado A variável X é definida como o número de sucessos em n eperimentos de Bernoulli independentes, com probabilidade de sucesso igual a π. n e π,6 S X {,,, } Qual é a função de probabilidade P(X) associada a variável X? S {VVV, VVN, VNV, NVV, NNV, NVN, VNN, NNN} S X {,,,} P(X)? P(X),4 π ( π),64 P(X),6,4 π ( π),88 P(X),6,4 π ( π),4 P(X),6 π ( π),6 Como podemos determinar de quantas maneiras diferentes teremos sucessos e - fracassos?, P Permutação com repetição

12 9/5/5 Qual é a função de probabilidade P(X) associada a variável X? P(X) P(X) P(X) P(X), P, P, P, P π ( π) π ( π) π ( π) π ( π) P(X ) P P(X ) P, π ( π) Generalizando para n repetições do ensaio de Bernoulli:,n n n π ( π),n n P n!! ( n )! Representação tabular X Σ P(X ),64,88,4,6 Representação analítica P(X ) P,,6 (,6), para S X {,,, } Número de casos Probabilidade de um caso Profa. Clause Piana 4

13 9/5/5 Por que esta distribuição é denominada binomial? Fazendo: π p π q n repetições Temos: n (p + q) (p + q) (p + q) p p q q + p q p + q (p + q) p q + p q + p q p + pq + q Binômio de Newton (p + q) p q + p q + p q + p q P(X) π ( π) P(X) π ( π) P(X) π ( π) P(X) π ( π) n (p + q) (p + q) 4 4 (p + q) p q + 4p q + 6p q + 4p q + p 5 (p + q) p Binômio de Newton 5 q p q + p 4 q p + q (p + q) p q + p q + p q p + pq + q (p + q) p q + 5p q + p q + p q + 5p q + p (p + q) p q + p q + p q + p q p + p q + pq + q q 4 4 q 5 Coeficientes Número binomial n n!! ( n )!

14 9/5/5 n (p + q) (p + q) 4 4 (p + q) p q + 4p q + 6p q + 4p q + p 5 (p + q) p Binômio de Newton 5 q p q + p 4 q p + q (p + q) p q + p q + p q p + pq + q (p + q) p q + 5p q + p q + p q + 5p q + p (p + q) p q + p q + p q + p q p + p q + pq + q Outro método para obter os coeficientes: q 4 4 q 5 Triângulo de Pascal Triângulo de Pascal 4

15 9/5/5 Representação tabular X Σ P(X ),64,88,4,6 Representação analítica P(X ) P,,6 (,6), para S X {,,, } Função de probabilidade De modo geral, se X é uma variável que tem distribuição binomial, sua função de probabilidade será: P(X ) P π ( π), para S X {,,..., n},n n n Parâmetros P(X ) P π ( π),n n n parâmetros A distribuição binomial tem dois parâmetros: n número de repetições do eperimento de Bernoulli π probabilidade de sucesso X ~ Bin (n,π) X tem distribuição binomial com parâmetros n e π Profa. Clause Piana 5

16 9/5/5 Medidas descritivas Média ou valor esperado E(X) µ p() S X Bernoulli E(Y) π X Y Y + Yn E(X) E(Y + Y Y n) E(X) E(Y) + E(Y ) E(Y n) E(X) π + π π nπ Teorema: E(X)µnπ Profa. Clause Piana Variância V(X) σ E(X ) µ Bernoulli E(Y) π V(Y) π(-π) X Y Y + Yn V(X) V(Y + Y Y n) V(X) V(Y) + V(Y ) V(Y n) V(X) π( π ) + π( π ) π( π) n π( π) Teorema: V(X)σ nπ(-π) 6

17 9/5/5 Coeficiente de assimetria a µ µ µ Bernoulli ( π) π a π( π) Teorema: a ( π) π n π( π) desvio padrão Interpretação: Se π <(-π), a distribuição binomial é assimétrica positiva Se π (-π),5, a distribuição binomial é simétrica Se π >(-π), a distribuição binomial é assimétrica negativa Coeficiente de curtose a µ µ 4 4 Se Se Se a 4 a 4 a 4 <, a distribuição é platicúrtica, a distribuição é mesocúrtica >, a distribuição é leptocúrtica a 4 a4 Teorema: Interpretação: π( π) ( π) -6 - a 4 nπ - Se Se Se a 4 <, a distribuição binomial é platicúrtica a 4, a distribuição binomial é mesocúrtica a 4 >, a distribuição binomial é leptocúrtica 7

18 9/5/5 X Σ P(X ),64,88,4,6 E(X) µ p() S X E(X) µ,64 +,88 +,4 +,6,8 V(X) σ E(X ) µ,4,8,7 E(X ),64+,88+,4+,6,4 Profa. Clause Piana 5 Utilizando os teoremas: X ~ Bin (n, π,6) E(X)nπ,6,8 bovinos vacinados Significado: Se o eperimento (escolher três bovinos) for repetido um grande número de vezes, o número médio de sucessos (bovinos vacinados) obtidos nesses eperimentos será,8. V(X) nπ(- π),6,4,7 bovinos vacinados σ V(X),7,8485 bovinos vacinados Significado: Se o eperimento for repetido um grande número de vezes, a variação média do número de sucessos em torno do valor esperado será de,85. 8

19 9/5/5 a ( π) π n π( π), 4,6,6,4,4 A distribuição é assimétrica negativa. Significado: As chances para os valores maiores que a média (,8) são maiores que para os menores. p(),5,4,,, π( π) ( π) -6 - a 4 nπ - 6,6, 4,6, 4,6 A distribuição é platicúrtica.. Distribuição hipergeométrica Definição: Modelo que descreve probabilisticamente os resultados de uma seqüência de eperimentos de Bernoulli dependentes. Refere-se a eperimentos que se caracterizam por retiradas sem reposição, onde a probabilidade de sucesso se altera a cada retirada. A distribuição hipergeométrica não configura um processo de Bernoulli porque a probabilidade de sucesso muda de um eperimento para o outro Essa distribuição é etremamente importante no conteto de amostragem sem reposição 9

20 9/5/5 Eemplo: Uma bandeja contém ícaras de cafezinho, sete com açúcar e três com adoçante. Três pessoas se aproimam da bandeja e se servem. Se a variável aleatória X é definida como o número de ícaras de café com açúcar, construa a distribuição de probabilidade de X. Xícaras 7 Açúcar Adoçante ícaras (n) X número de ícaras de café com açúcar S {A A A, A A A 4,, A A a,..., a a a } #S C A açúcar a adoçante S {A A A, A A A 4,, A A a,..., a a a } A açúcar a adoçante # S C X número de ícaras de café com açúcar S X {,,, } P(X ) P(X ) P(X ) P(X ) C C 7 C C C C 7 C C 7 C C C 7 C ,8,75,55,97

21 9/5/5 Representação tabular X Σ P(X ),8,75,55,97 Representação analítica P(X ) C 7 C C -, para S X {,,, } Como generalizar esta função para qualquer variável X que tenha distribuição hipergeométrica? Convencionamos usar a seguinte notação: sub-populações população NN +N N N (sucesso) (fracasso) X número de sucessos em n retiradas n elementos (sem reposição) Cada grupo de tamanho n formado é denominado amostra. Todas as amostras têm a mesma chance de ocorrência. Do ponto de vista probabilístico não faz diferença considerar retiradas individuais sem reposição ou retirada conjunta de grupos

22 9/5/5 Representação tabular X Σ P(X ),8,75,55,97 Representação analítica P(X ) C 7 C C -, para S X {,,, } Função de probabilidade De modo geral, se X é uma variável que tem distribuição hipergeométrica, sua função de probabilidade será: CN C P(X ) C n N n- N, para S X {ma(, n-n ),..., min(n,n } Parâmetros P(X C ) N C C n N n- N parâmetros A distribuição hipergeométrica tem três parâmetros: n número de repetições do eperimento de Bernoulli N tamanho da população N tamanho da sub-população de interesse X ~ Hip (n, N, N ) X tem distribuição hipergeométrica com parâmetros n, N e N Profa. Clause Piana 44

23 9/5/5 Medidas descritivas Média ou valor esperado E(X) µ p() Teorema: S X Binomial E(X) nπ V(X) nπ(-π) N probabilidade E(X) µ n N de sucesso Variância V(X) σ E(X ) µ probabilidade de fracasso Teorema: N N N -n V(X) σ n N N N - Fator de correção para populações finitas População finita é aquela que pode ser esgotada por processo de amostragem. Uma população será considerada finita quando tiver um número finito de elementos e a amostragem for efetuada sem reposição. População infinita é aquela que não se esgota por processo de amostragem. Uma população será considerada infinita quando tiver um número infinito de elementos ou quando amostragem for efetuada com reposição. Profa. Clause Piana 46

24 9/5/5 Medidas descritivas Média ou valor esperado Variância N Teorema: E(X) n N A dependência não altera a média, mas altera a variância Teorema: N N N -n V(X) n N N N - Fator de correção é irrelevante para N grande No eemplo: X Σ P(X ),8,75,55,97 E(X) µ p() S X E(X) µ,8 +,75 +,55 +,97, V(X) σ E(X ) µ E(X ),8+ 4,9,,75+,49,55+,55 4,9 4

25 9/5/5 Utilizando os teoremas: X ~ Hip (n, N, N 7) N 7 E(X) n, ícaras com açúcar N Significado: Se o eperimento (escolher três ícaras) for repetido um grande número de vezes, o número médio de sucessos (ícaras de café com açúcar) obtidos será,. N N N-n 7 - V(X) n,49 N N N- - ícaras com açúcar σ V(X),49,7 ícaras com açúcar Significado: Se o eperimento for repetido um grande número de vezes, a variação média do número de sucessos em relação ao valor esperado será,7. 4. Distribuição de Poisson A distribuição de Poisson foi assim designada em homenagem ao matemático e físico francês Siméon Denis Poisson. Modelo de descrição de acontecimentos de ocorrência rara Siméon D. Poisson (78 84) Eemplo clássico da distribuição de Poisson: número de soldados do eército da Prússia mortos anualmente por coice de cavalo, entre 875 e 894. Profa. Clause Piana 5 5

26 9/5/5 Siméon Denis Poisson (78 84) Matemático e físico francês, nascido em Pithiviers, considerado o sucessor de Laplace no estudo da mecânica celeste e da atração de esferóides. Filho de um administrador público, entrou para a École Polytechnique (798), em Palaiseau, onde se formou, estudando com professores como Joseph Louis Lagrange, Pierre Simon Laplace e Jean Baptiste Fourier, dos quais se tornou amigo pessoal. Ocupou cargos acadêmicos na Ecole Polytechnique e na Sorbonne e contribuiu para as teorias da eletricidade e do magnetismo e estudou também o movimento da lua. Desenvolveu pesquisas sobre mecânica, eletricidade (a constante de Poisson), elasticidade (razão de Poisson), calor, som e estudos matemáticos (integral de Poisson na teoria do potencial e o colchete de Poisson nas equações diferenciais), com aplicação na medicina e na astronomia. Produziu escritos sobre movimentos de ondas em geral e coeficientes de contração e a relação entre estes e a etensão. Publicou trabalhos (8) que ajudaram a eletricidade e o magnetismo tornarem-se um ramo da física matemática. Ganhou o título de barão (85). Na hidrodinâmica seu mais notável trabalho foi Mémoire sur les équations générales de l'équilibre et du mouvement des corps solides élastiques et des fluides (89), relacionando equilíbrio de sólidos elásticos e correntes de fluidos compressíveis. Publicou o importante tratado Traité de mécanique (8), em dois volumes, na termodinâmica a Teoria matemática do calor (85) e em Recherches sur la probabilité des jugements (87) apareceu a famosa distribuição de Poisson, de intensa aplicação em estatística. Na teoria de probabilidades descobriu a forma limitada da distribuição binomial que posteriormente recebeu o seu nome e hoje considerada uma das mais importantes distribuições na probabilidade, sendo o método de Poisson é um processo randômico de importância fundamental. Publicou cerca de quatrocentos trabalhos e morreu em Sceau, próimo a Paris, França. (Só Biografias. Disponível em 4. Distribuição de Poisson Definição: descreve probabilisticamente a seqüência de um grande número de fenômenos independentes entre si, cada um com probabilidade de sucesso muito pequena. Ocorre naturalmente quando se deseja contar o número de um tipo particular de eventos que ocorrem por unidade de tempo, de superfície ou de volume. Pode ser considerada como uma binomial onde o número de eperimentos (n) é grande, π é pequeno (sucesso raro) e nπ (média de sucessos) é constante. Distribuição de Poisson processo infinito de Bernoulli Profa. Clause Piana 5 6

27 9/5/5 Eemplos: número de peças defeituosas observadas em uma linha de produção num determinado período de tempo; número de acidentes de trabalho ocorridos numa grande empresa num determinado período de tempo; número de ciclones ocorridos em certa região num determinado período de tempo; número de formigueiros por unidade de área em uma região; número de bactérias por unidade de área em uma lâmina com etratos de uma planta; número de espermatozóides inviáveis de um touro por unidade de volume de sêmen. A distribuição de Poisson tem inúmeras aplicações na simulação de sistemas modelando o número de eventos ocorridos num intervalo de tempo, quando os eventos ocorrem a uma taa constante. Função de probabilidade De modo geral, se X é uma variável que tem distribuição de Poisson, sua função de probabilidade será: P(X ) e!, para S X {,,,...} espaço amostral infinito onde: X: número de sucessos e,78 (base dos logaritmos neperianos) : número médio de sucessos (sempre maior que zero) Profa. Clause Piana 54 7

28 9/5/5 Demonstra-se que p() e é uma função de probabilidade,! provando que p(). Como S X {,,,...}, temos: p() e! e! e e e e !!!! !! e + e e e Série de Taylor !! !! Parâmetros P(X ) e! parâmetro A distribuição de Poisson tem apenas um parâmetro: número médio de sucessos X ~ Poi () X tem distribuição de Poisson com parâmetro Profa. Clause Piana 56 8

29 9/5/5 Medidas descritivas Média ou valor esperado: E(X) µ p() S X Teorema: E(X) µ Variância: V(X) σ E(X ) µ Teorema: V(X) σ Na Poisson média e variância são iguais!! Demonstração Média ou valor esperado: E(X) p() e S! X e e e! e ( )! E(X) µ p() ( )! S X y + e e e e e y y!, fazendo y, temos ( )! y y y! e Teorema: E(X) µ 9

30 9/5/ y y y y y y y y y y! y! y e y! y! y e y! ) (y e, fazendo, temos e e e e e e ) e (e e e! y S! e p() ) E(X X )! ( e! e )! ( e V(X) σ µ E(X ) y y e y! µ ) E(X V(X) + Variância: Teorema: V(X) σ Demonstração a Teorema: a 4 Teorema: Coeficiente de assimetria Coeficiente de curtose A Poisson é assimétrica positiva, tendendo para a simetria quando µ cresce. A Poisson é platicúrtica, tendendo para mesocúrtica quando µ cresce.

31 9/5/5 p(),4, X ~ Poi (),, 4 p(), X ~ Poi (,5),, A Poisson tende para a simetria quando µ cresce.

32 9/5/5 Eercício proposto: A taa média de chegada de clientes em um posto de serviços é de,5 por minuto. Calcular a probabilidade de, em um dado minuto, chegarem dois clientes. Profa. Clause Piana 6 Resumo das distribuições discretas Profa. Clause Piana 64

33 9/5/5 Distribuição de Bernoulli Descreve probabilisticamente resultados de eperimentos que possuem apenas dois resultados possíveis. Função de probabilidade P(X ) π ( π), para S X {, } Parâmetro: π probabilidade de sucesso Medidas descritivas E(X) µ π V(X) σ π (- π) a ( π) π π( π) Profa. Clause Piana 65 Distribuição binomial Descrição probabilística de uma seqüência de eperimentos de Bernoulli independentes. Importante no conteto de amostragem com reposição. Função de probabilidade P(X ) P π ( π), para S X {,,..., n},n n n Parâmetros: n número de repetições no eperimento π probabilidade de sucesso Medidas descritivas E(X) µ n π V(X) σ n π(-π) a ( π) π n π( π) π( π) ( π) -6 - a 4 nπ - Profa. Clause Piana 66

34 9/5/5 Distribuição hipergeométrica Descrição probabilística de uma seqüência de eperimentos de Bernoulli dependentes. Importante no conteto de amostragem sem reposição. Função de probabilidade Parâmetros: Medidas descritivas CN C P(X ) C n N n- N, para S X {,,..., n} n número de repetições do eperimento N tamanho da população N tamanho da sub-população de interesse N N N N -n E(X) µ n V(X) σ n N N N N - Distribuição de Poisson Descrição probabilística da seqüência de um grande número de fenômenos independentes, todos com probabilidade de sucesso muito pequena, e média de sucessos constante. Função de probabilidade Parâmetro: P(X ) e Medidas descritivas número médio de sucessos E(X) µ V(X) σ!, para S X {,,,...} a a 4 4

35 9/5/5 Formas limites da distribuição binomial Em determinadas circunstâncias, uma distribuição de probabilidade pode tender para outra. Os casos mais importantes de aproimações entre distribuições são:. Hipergeométrica Binomial. Binomial Poisson. Binomial Normal Profa. Clause Piana 7 5

36 9/5/5. Hipergeométrica Binomial Quando N (tamanho da população) é muito grande (ou tende para + ), a distribuição hipergeométrica se aproima da distribuição binomial. Binomial V(X) n π(- π) Hipergeométrica N N N -n V(X) n N N N - Quando N tende para infinito, o fator de correção se aproima de. tende a zero N n N n N n n N N N N N tende a + fator de correção Esta aproimação é considerada satisfatória quando o número de elementos retirados (n) não ecede 5% da população (N), isto é, n,5n. População N Amostra Quando o tamanho da amostra representa menos de 5% do tamanho da população, a população é tão grande em relação a amostra que pode ser considerada infinita. n n,5n 6

37 9/5/5. Binomial Poisson Quando n (número de repetições do eperimento) é muito grande (ou tende para + ) e π (probabilidade de sucesso) é muito pequena (ou tende para ) a distribuição binomial se aproima da distribuição de Poisson. nπ< e n E(X) Profa. Clause Piana 7. Binomial Normal Quando n (número de repetições do eperimento) é grande (ou tende para + ) e π (probabilidade de sucesso) se aproima de,5, a distribuição binomial se aproima da distribuição normal. Se π(-π),5, a distribuição binomial será simétrica. 7

38 9/5/5 p(),8 X ~ Bin (n5,π,5),4,,6, X ~ Nor (µ7,5,σ,75) Eercícios propostos: Um auditor foi contratado para eaminar uma coleção de 6. faturas, das quais 8 contêm erros. Se foi selecionada uma amostra de faturas, qual é a probabilidade de esta amostra conter eatamente duas faturas com erros? Sendo de % o percentual de canhotos numa população, qual é a probabilidade de haver apenas um canhoto numa classe de alunos? Profa. Clause Piana 76 8

39 9/5/5 Distribuições de probabilidade de variáveis contínuas Em geral é difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua. Inicialmente, uma revisão bibliográfica pode útil para verificar se a variável de interesse já foi estudada e seu modelo de descrição probabilística já é conhecido. A observação do campo de variação (espaço amostrar) da variável também pode ajudar nesta identificação. Eistem vários tipos de distribuições contínuas. Por eemplo: Distribuição gama: descreve variáveis que só assumem valores positivos. Distribuição beta: descreve variáveis que assumem valores no intervalo [, ]. Distribuição normal mais importante Profa. Clause Piana 78 9

40 9/5/5 Distribuições contínuas. Distribuição Eponencial. Distribuição Normal * Distribuição Normal Padrão. Distribuição Uniforme 4. Distribuição Gama 5. Distribuição Beta 6. Distribuição Lognormal 7. Distribuição Seminormal 8. Distribuição Weibull eventos climáticos etremos 9. Distribuição Gumbel Profa. Clause Piana 79. Distribuição eponencial A distribuição eponencial está relacionada com a distribuição de Poisson. Na distribuição de Poisson, a variável aleatória é definida como o número de sucessos em determinado período de tempo t, sendo a média de sucessos no período definida como. Na distribuição eponencial, a variável aleatória é definida como o tempo entre dois sucessos. Processo de Poisson E(Y) y y y t t t Y número de sucessos variável discreta X tempo decorrido entre sucessos sucessivos variável contínua 4

41 9/5/5 Eemplo: Se a média de atendimentos no caia de uma loja é de clientes por minuto, então, o tempo decorrido entre atendimentos é uma variável com distribuição eponencial. Y número de atendimentos distribuição de Poisson S Y {,,,...} E(Y) t min t min t min Y Y4 Y s 45 s 8 s 5 s s 55 s X tempo entre atendimentos (em segundos) distribuição eponencial S X (, ) A distribuição eponencial é etensivamente utilizada para modelar o tempo entre ocorrências de eventos num sistema, onde os eventos ocorrem a uma taa constante. Desse modo, tem grande aplicabilidade em estudos de sobrevivência, confiabilidade, teoria das filas e simulação. Função densidade de probabilidade De. modo geral, se X é uma variável aleatória contínua que tem distribuição eponencial, então, sua função densidade de probabilidade será: f() e -, para S X [, ) X só assume valores reais não negativos onde: X: tempo decorrido entre dois sucessos e,78 (base dos logaritmos neperianos) : número médio de sucessos (sempre maior que zero) Podemos demonstrar que f() é uma função densidade de probabilidade provando que f() d f() d e d e e e ( ) S S 4

42 9/5/5 Função densidade de probabilidade Representação gráfica: f() e - Eemplos: f() e - e Profa. Clause Piana 8 Função de distribuição ou de probabilidade acumulada. F() P(X ) e -t dt e - Representação gráfica: P(X ) F() ( e > ) e 4

43 9/5/5 Parâmetros f() e - parâmetro A distribuição eponencial tem apenas um parâmetro: número médio de sucessos X ~ Ep () X tem distribuição eponencial com parâmetro Profa. Clause Piana 85 Medidas descritivas Média ou valor esperado: E(X) µ f()d S X E(X) µ S e d f() d Teorema: E(X) µ Profa. Clause Piana 86 4

44 9/5/5 Medidas descritivas Variância: V(X) σ E(X ) µ V(X) σ f()d µ S ( ) e d Teorema: V(X) σ Profa. Clause Piana 87 Eercícios propostos:. Os tempos até a falha de um dispositivo eletrônico seguem o modelo eponencial, com uma taa de falha, falhas/hora. Indique qual a probabilidade de um dispositivo escolhido ao acaso sobreviver a 5 horas? E a horas? Qual o tempo esperado até que ocorra falha?. Suponha que um componente eletrônico tenha um tempo de vida X (em unidades de horas) que segue uma distribuição eponencial de parâmetro. Suponha que o custo de fabricação do item seja reais e que o preço de venda seja 5 reais. O fabricante garante devolução total se X <,9. Qual o lucro esperado por item? 44

45 9/5/5 Resolução: Suponha que um componente eletrônico tenha um tempo de vida X (em unidades de horas) que segue uma distribuição eponencial de parâmetro. Suponha também que o custo de fabricação do item seja reais e que o preço de venda seja 5 reais. O fabricante garante devolução total se X<,9. Qual o lucro esperado por item? X tempo de vida ( h) Y lucro por item (reais) Sendo F(), P(X ) X <,9 >,9 Y y - Σ P(Y y),594,466 Se X <,9, então Y - reais Se X >,9, então Y reais - e F(,9) P(X,9) e -,9 E(Y) -,594 +,466, reais,594. Distribuição normal Síntese histórica A distribuição normal foi primeiramente obtida por Abraham De Moivre, num artigo de 74, no conteto de aproimação da distribuição binomial quando o número n de eperimentos de Bernoulli cresce. De Moivre se deparou com a curva normal ao buscar uma aproimação para os números que habitam regiões do triângulo de Pascal. Os gráficos abaio representam as magnitudes de algumas linhas do triângulo de Pascal. Linha Linha Linha 5 n n n 5 Abraham De Moivre ( ) Linha n 45

46 9/5/5 Triângulo de Pascal n n n n n 4 n 5 n 6 n 7 n 8 n 9 n Carl Friedrich Gauss ( ) Em 89, Gauss assumiu que os erros de medida poderiam ser modelados pela distribuição normal. Ele teve essa percepção ao realizar medições astronômicas, enquanto trabalhava no problema dos movimentos planetários. Em 8, em seu livro Theórie Analytique des Probabilités, Laplace melhorou o resultado encontrado por De Moivre para o que hoje é denominado Teorema de De Moivre-Laplace. Também foi Laplace quem tirou a distribuição normal da obscuridade e criou um argumento melhor do que o de Gauss para sustentar a noção de que a distribuição normal é, de fato, a lei dos erros. Pierre-Simon Laplace (749 87) 46

47 9/5/5 Sobre os erros de medida Isaac Newton (64-77) medições discordantes,,,..., i n valor mais razoável para a medida n Newton foi o primeiro a empregar a média para obter um único valor a partir de uma série de medições discordantes. Mas a maior parte dos cientistas daquela época e no século seguinte não calculava a média, em vez disso, escolhia dentre suas medições um único número áureo considerado, essencialmente por palpite, o mais confiável dos resultados obtidos. Isso porque não consideravam a variação como um subproduto inevitável do processo de mensuração, e sim como uma evidência de fracasso. desvio erro de medida ( i ) média dos erros ( i ) n Distribuição dos erros de medida µ Atualmente, a distribuição normal é importante tanto do ponto de vista teórico como nas aplicações. Essa importância se deve a um conjunto de aspectos: Suas propriedades matemáticas É útil para descrever uma grande quantidade de fenômenos naturais físicos, ambientais, psicométricos etc, além dos erros de medida Distribuições de um grande número de variáveis aleatórias convergem para a distribuição normal Muitas variáveis não normais podem ser tratadas como normais após transformações simples Uma grande quantidade de métodos e procedimentos de inferência estatística são derivados tendo-a como pressuposição básica O conjunto de métodos desenvolvidos para tratar variáveis que têm distribuição normal forma a chamada Estatística Clássica ou Estatística Paramétrica. 47

48 9/5/5. Distribuição normal Definição: É uma distribuição teórica de frequências, onde a maioria das observações se situa em torno da média (centro) e diminui gradual e simetricamente no sentido dos etremos. A distribuição normal é representada graficamente pela curva normal (curva de Gauss) que tem a forma de sino e é simétrica em relação ao centro, onde se localiza a média µ. Profa. Clause Piana 95 Função densidade de probabilidade De modo geral, se X é uma variável contínua que tem distribuição normal, sua função densidade de probabilidade será: Parâmetros ( µ) σ f() e, para S σ π X (-,+ ) A distribuição normal tem dois parâmetros: µ média (determina o centro da distribuição) σ variância (determina a dispersão da distribuição) X ~ N (µ, σ ) parâmetros A distribuição normal é um membro da família eponencial. X tem distribuição normal com parâmetros µ e σ 48

49 9/5/5 Populações normais com médias diferentes e mesma variância Populações normais com variâncias diferentes e mesma média Profa. Clause Piana 97 Eiste um número infinito de curvas normais 49

50 9/5/5 Propriedades da distribuição normal. O máimo da função densidade de probabilidade se dá no ponto µ. máimo µ Profa. Clause Piana 99. A distribuição é simétrica em relação ao centro onde coincidem a média, a moda e a mediana. MdµMo Profa. Clause Piana 5

51 9/5/5. Os pontos de infleão são eatamente µ-σ e µ+σ. µ - σ µ µ + σ Ponto de infleão: ponto onde a concavidade à direita tem sinal diferente ao da concavidade à esquerda Profa. Clause Piana 4. Verifica-se na distribuição normal que: P(µ-σ < X < µ+σ),685 P(µ-σ < X < µ+σ),9544 P(µ-σ < X < µ+σ),9974 5

52 9/5/5 Se X é uma variável que tem distribuição normal com µ 5 e σ 4, calcule: a) P( < X < 7) b) P(5 < X < 9) c) P(4 < X < ) Profa. Clause Piana Cálculo de áreas Para cada valor de µ e de σ, eiste uma distribuição normal diferente Eistem infinitas distribuições (e curvas) normais, pois basta que mude um dos parâmetros para termos uma distribuição diferente O cálculo de áreas sob a curva normal, deverá ser feito sempre em função dos valores particulares de µ e σ Para evitar a trabalhosa tarefa de calcular as áreas foi determinada uma distribuição normal padrão ou reduzida As áreas sob a curva normal padrão foram calculadas e apresentadas numa tabela 5

53 9/5/5 Distribuição normal padrão Definição: é a distribuição normal de uma variável Z que tem média igual a zero (µ) e desvio padrão igual a um (σ). Função densidade de probabilidade de uma variável X que tem distribuição normal f() e σ π ( µ ) σ Função densidade de probabilidade da variável Z que tem normal padrão f(z) e π z, para S X (-,+ ), para S Z (-,+ ) Profa. Clause Piana 5 A curva normal padrão foi dividida em pequenas tiras, cujas áreas foram calculadas e apresentadas numa tabela. Na tabela da distribuição normal padrão, podemos encontrar as áreas correspondentes aos intervalos de a z. Profa. Clause Piana 6 5

54 9/5/5 Tabela - Área sob a curva normal padrão de a z, P( Z z). Profa. Clause Piana 7 Os valores negativos não são apresentados na tabela porque a curva é simétrica; assim, as áreas correspondentes a esses valores são eatamente iguais às dos seus simétricos positivos, por eemplo P(-<Z<)P(<Z<). Na tabela da distribuição normal padrão, os valores de Z vão de a,9. Este limite é estabelecido com base na quarta propriedade da distribuição normal. Profa. Clause Piana 8 54

55 9/5/5 Eercício proposto: Seja Z uma variável aleatória com distribuição normal padrão. Determine as seguintes probabilidades: a) P( < Z <,7) b) P(,8 < Z < + ) c) P(-,5 Z -,6) Profa. Clause Piana 9 Através da distribuição normal padrão é possível estudar qualquer variável X que tenha distribuição normal, com quaisquer valores para µ e σ. Para utilizarmos os valores da tabela, devemos padronizar a variável X, ou seja, transformar X em Z. X ~ N (µ, σ ) transformar Z ~ N (, ) Z X µ σ Após a transformação, procuramos na tabela a área compreendida entre e z, que corresponderá a área entre µ e. Profa. Clause Piana 55

56 9/5/5 A transformação muda as variáveis, mas não altera a área sob a curva. X ~ N (µ, σ ) Z ~ N (, ) P( < X < ) P(z < Z < z ) Profa. Clause Piana Eercício proposto: A resistência à compressão de amostras de cimento pode ser modelada por uma distribuição normal, com µ 4kg e σ 8 kg/cm. Determine: a) a probabilidade de que a resistência da amostra seja menor que 45 kg/cm ; b) a probabilidade de que a resistência da amostra esteja entre 95 e 4 kg/cm ; c) o número de amostras com resistência inferior à µ+σ kg/cm, das amostras avaliadas no período de um mês. Profa. Clause Piana 56

57 9/5/5 Bibliografia BUSSAB, W.O.; MORETTIN, P.A. Estatística Básica. São Paulo: Saraiva p. FERREIRA, D.F. Estatística Básica. Lavras: Editora UFLA, 5, 664p. FREUND, J.E., SIMON, G.A. Estatística Aplicada. Economia, Administração e Contabilidade. 9.ed., Porto Alegre: Bookman,. 44p. MEYER, P. L. Probabilidade: aplicações à estatística. Rio de Janeiro: LTC, 976. MLODINOW, L. O andar do bêbado. Como o acaso determina nossas vidas. Rio de Janeiro: Editora Zahar, 9, 64p. SILVEIRA JÚNIOR, P., MACHADO, A.A., ZONTA, E.P., SILVA, J.B. da Curso de Estatística. v., Pelotas: Universidade Federal de Pelotas, 99. 4p. Sistema Galileu de Educação Estatística. Disponível em: 57