MATEMÁTICA APLICADA À GESTÃO I

00 MATEMÁTICA APLICADA À GESTÃO I TEXTO DE APOIO MARIA ALICE FILIPE

ÍNDICE NOTAS PRÉVIAS ALGUNS CONCEITOS SOBRE SÉRIES6

NOTAS PRÉVIAS As otas seguites referem-se ao maual adoptado: Cálculo, Vol I James Stewart, Pioeira, Thomso Learig A maior parte dos assutos tratados o livro até ao capítulo (iclusivé), cosideram-se como sedo já dos cohecimetos dos aluos, costituido revisões Não são objecto de avaliação os seguites assutos tratados o maual: Fuções hiperbólicas (cap - 9, pag 6) O método de Newto (cap - 9, pag 5) Volumes (cap 6-6, pag 0) Cálculo de volumes por cascas cilídricas (cap 6-6, pag 5) 5 Trabalho (cap 6-6, pag 56) 6 Itegração usado tabelas e sistemas algébricos computacioais (cap 7-76, pag 505) 7 Itegração aproximada (cap 7-77, pag 5) Mais aplicações de itegração (cap, pag 50 até ao fim do capítulo) Nos exames ão é permitida a utilização de qualquer tipo de calculadora em de qualquer formulário Como o livro adoptado tem o fial de cada capítulo exercícios que utilizam calculadora e/ou programas iformáticos específicos da Matemática, o aluo pode ão os fazer

Como o maual está escrito em português do Brasil, covém ter em ateção que há termos e expressões que em português se dizem de outra forma Por exemplo, "sequêcia" correspode em português a "sucessão"; "itegral", em português, é uma palavra masculia, etc 5 Há também algumas otações e desigações que usaremos de forma diferete Por exemplo, para itervalo aberto, em vez de (a,b), usaremos ]a,b[ Em vez de "atiderivada" de uma fução f(x), falaremos em primitiva de f(x) e represetaremos por Pf(x) ou f(x) dx exemplo, arcsex, em vez de se - x, etc Represetaremos as fuções trigoométricas iversas por, por 6 Sugere-se o estudo cuidadoso das aplicações do Cálculo, pricipalmete à Ecoomia 7 O assuto das séries, abordado a pag 7 do maual, está mais desevolvido o Vol II do livro com os mesmos título e autor do maual idicado Como ão se cosidera ser de avaliação um estudo exaustivo das séries, mas apeas o que é idicado o programa, seguem em aexo us apotametos sobre o referido assuto Pré-requisitos básicos: Ter bom domíio de cálculo metal (lembra-se que ão é permitida a utilização da máquia de calcular os exames, em tabelas ou formulários); Saber resolver equações e iequações, em particular as que cotém o operador módulo; Ter cohecimetos de trigoometria (icluido o cohecimeto das fuções trigoométricas iversas: arcsex, arccosx, arctgx, arccotgx); Saber calcular limites de fuções reais de variável real (icluido sucessões); 5 Cohecer e aplicar bem as regras de derivação;

6 Cohecer as represetações gráficas de algumas fuções básicas, tais como, poliomiais (pelo meos até ao º grau), expoecial, logarítmica e trigoométricas Nota: Todos estes cohecimetos são cosiderados como já adquiridos a ível do esio secudário (º ao) No etato, para se iiciar o estudo desta cadeira, cosidera-se que previamete deve rever os assutos referidos A maior parte deles vai ser ovamete tratada, mas de uma forma mais um pouco mais aprofudada e alargada 5

Algus coceitos sobre SÉRIES Cosideremos uma sucessão de termos a, a,, a, O termo a é desigado por termo geral da sucessão Muitas vezes idetificamos a sucessão pelo seu termo geral, isto é, simplificamos a liguagem, dizedo que estamos a tratar de uma sucessão a, em vez de dizer que a sucessão referida tem por termo geral a Com os termos de uma sucessão a, podemos costruir outra sucessão, procededo da seguite forma: s a s a a s a a a a i i s a a a A esta sucessão, de termo geral s, daremos o ome de sucessão das somas parciais Se a sucessão tiver ifiitos termos, é chamada de série ifiita ou simplesmete série, podedo ser represetada por a ou por Diz-se que o termo geral da série a é a Os limites iferior e superior do símbolo somatório (Σ) são, respectivamete, e Sem perda de geeralidade, também se pode cosiderar que a série pode ão começar em, mas um outro valor iteiro, tal como 0 a 6

Como a sucessão das somas parcias, s, pode ter ou ão limite, diremos, respectivamete, que a série é covergete ou divergete Se a série for covergete, isto é, se existir lim s, diremos que lim s é a soma da série s Exemplos: ) Seja a série Esta série é divergete, porque é impossível ecotrar um limite fiito para s Notese que os termos da sucessão que é termo geral da série, a, estão em progressão aritmética de razão Numa progressão aritmética tem-se a a ( ) r A soma dos primeiros termos cosecutivos de uma progressão aritmética de razão r, cujo primeiro termo é a, é dada por s ( a ) a ( ) Como em relação à série dada se tem a, r, etão, s, é dada por Como, ( ) lim, cocluímos etão que a série é divergete ) Seja a série Vamos mostrar que esta série é covergete ( ) Comecemos por escrever s : s L ( ) Esta expressão pode ser simplificada se decompusermos duas fracções: ( ) a difereça de a b Desembaraçado de deomiadores vem a()-b, ou seja, ( ) (a-b)a Dode ab Assim, ( ) 7

Etão tem-se ( ) Dode, s L Logo, s lim s lim Portato a série dada é covergete e ( ) Todas as séries a,cujo termo geral,a, se possa decompor a difereça de dois termos gerais, tais que a u -u p, p Ν, são chamadas séries telescópicas, redutíveis ou de Megoli Tem-se etão Mostra-se s u -p u p a ( ) u u p Assim, estas séries são covergetes se existir lim u p (ou seja, se existir lim u, pois o limite de uma sucessão, quado existe, é úico) Caso ão exista o limite, as séries são divergetes Assim, a soma da série é su -p lim u ) Seja a série L 6 6 L L Vamos mostrar que esta série é covergete e calcular a sua soma Comecemos por otar que o termo geral da série é uma progressão geométrica de razão / O termo geral de uma progressão geométrica de primeiro termo a, de razão r é a a r Mostra-se que a soma dos primeiros termos cosecutivos de uma progressão geométrica, de primeiro termo a e razão r é, s, dada por s r a r

Se aplicarmos esta fórmula para calcular o termo geral da sucessão das somas parciais da série dada, tem-se: s Atededo a que lim r 0 ± s lim lim s 0 se r < se r, tem-se se r se r > Fica desta forma provado que a série dada é covergete e pode escrever-se De um modo geral, uma série da forma p geométrica r, ( N 0 p, r R ) é chamada série Uma série geométrica é covergete se r < e a sua soma é s r p r Se r, a série é divergete Estas séries têm muitas aplicações, omeadamete em Ecoomia ) Seja a série L Vamos mostrar que esta série, cohecida como série harmóica, é divergete 9

0 Vamos escrever algus termos da sucessão das somas parciais: s s > s > 7 6 5 s 6 9 5 6 L L s > > 6 6 L L De modo aálogo, pode mostrar-se que 5 > s, 6 6 > s e em geral s > Logo, s lim Como s é o termo geral de uma subsucessão de s, etão s ão tem limite e a série harmóica é divergete As séries da forma R α,α são chamadas séries de Dirichlet A série harmóica é uma série de Dirichlet em que α Mostra-se que as séries de Dirichlet são covergetes para α> e divergetes para α Em resumo, até agora, estudámos tipos particulares de séries: As séries de Megoli (redutíveis ou telescópicas) As series geométricas As séries de Dirichlet Dada uma qualquer destas séries, sabemos dizer qual a sua atureza, isto é, se é covergete ou divergete Em relação às duas primeiras, caso sejam covergetes, sabemos calcular as suas somas

Vamos agora euciar três teoremas importates Teorema - Critério geral de covergêcia Se a série a for covergete, etão lim a 0 A recíproca deste teorema ão é verdadeira Por exemplo, lim 0 harmóica é divergete e a série Podemos utilizar este teorema para fazer o teste de divergêcia para várias séries Por exemplo, a série 5 é divergete, porque lim 0 5 5 Teorema - A atureza de uma série ão se altera se lhe modificarmos (suprimido ou acrescetado, por exemplo) um úmero fiito de parcelas Demos já algus exemplos de séries, cujo primeiro termo ão correspodia a Cosideremos aida o exemplo seguite: Pretede-se saber qual a atureza da série Comecemos por cosiderar a série de Dirichlet 7 6 Esta série é covergete (>) Assim, parcelas represetam um úmero real é covergete, pois as quatro primeiras Teorema - Se a e b forem séries covergetes, etão também são covergetes ca, em que c é uma costate real ( a b ) ( a b )

e tem-se ca c a ( a b ) ( a b ) a b a - b Também se pode mostrar, por exemplo, que a soma de duas séries divergetes é uma série divergete, que a soma de uma série covergete com uma divergeteé uma série divergete Exemplo: Calcular a soma da série ( ) Pelo teorema, tem-se ( ) ( ) ( ) Como já vimos em exemplos ateriores as duas séries em que se decompôs a série dada, ( ) e são covergetes, sedo a soma de cada uma delas Assim, a soma de ( ) é s

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Estude a atureza das seguites séries 0 Resolução: Vamos mostrar que a série 0 é uma série geométrica 0 0 0 À parte a costate, que ão afecta a atureza da série, trata-se de uma série geométrica de razão /> Logo, a série é divergete Escrever como um úmero fraccioário de termos iteiros o úmero,(7) Resolução: Este úmero é uma dízima ifiita periódica 7 7,(7),777, 0,07 0,0007 L L 5 0 0 0 7 7 L L 0 0 0000 0 0 0 000 0 0 7 000 000 0 Vamos calcular a soma da série 000 Como /00 <, a série é covergete e tem-se s 00 Dode,,(7) 0 00 0 7 000 00 99 00 99 7 95 Calcular, se possível, a soma da série

Resolução: ( )( ) Vamos mostrar que a ( )( ) ( )( ) b ( ) é uma série de Megoli ( )( ) Desembaraçado de deomiadores, vem sucessivamete: a()-b() (a-b)a-b a-b0 e a-b Dode, ab/ Assim, Fazedo ( )( ) u / /, vem u A soma de A soma da série dada é é ( )( ) s lim

Estudar a atureza da série l 5 Resolução: Vamos começar por calcular o limite do termo geral lim l llim 5 5 l 0 Como o limite do termo geral é diferete de 0, etão a série é divergete Ache os valores de x para os quais covergem as seguites séries Se possível, para esses valores de x calcule a soma de cada uma das séries 0 ( ) x ( x ) 0 tg x 0 x Resolução: Todas as séries dadas são geométricas Vamos escrevê-las a forma r e determiar a razão r de cada uma, determiado os valores de x para os quais o módulo de r é meor que, para que as séries sejam covergetes Estas séries, cuja soma, quado existe, é fução de x, são desigadas por séries de potêcias e desempeham um papel muito importate o Cálculo 5

0 ( x ) A razão desta série é x- Dode para a série ser covergete tem que sucessivamete verificar-se x < < x < < x < 5 Para os valores de x o itervalo ],5[, a soma da série é s ( x ) 0 x 5 x 0 tg x ( tgx ) 0 A razão desta série é tgx Para a série ser covergete tem que ter-se tgx < ou -<tgx< Tedo em ateção a fução tgx, as codições verificam-se para π π k π < x < kπ, k Ζ Para estes valores de x, a soma da série é s ( tgx) 0 tgx tgx ( x ) x A razão desta série é x < Sucessivamete vem x Para que a série seja covergete tem que ter-se x < < x < 5 < x < Para os valores de x de ]-5,-[, a soma da série é x s x x x 6

0 x 0 x A razão desta série é /x Para a série ser covergete tem que ter-se < x ou x > Ou aida x<- ou x> Para estes valores de x a soma da série é 0 x s x x x As reservas mudiais de certo miério estimam-se em 000 milhões de toeladas No ao de 00, são cosumidos 9 milhões de toeladas do miério em causa Supodo que o ível de cosumo se matém costate, quatos aos durará a reserva? Quatos aos durará a reserva, se o cosumo aumetar 5% em cada ao? Quatos aos durará a reserva, se o cosumo dimiuir % em cada ao? Resolução: Se as reservas de miério são 000 milhões de toeladas e se o cosumo for de 9 milhões em cada ao, etão o úmero de aos que a reserva deverá durar, 000 obtém-se calculado Assim, a reserva durará cerca de aos 9 Vejamos o seguite quadro em que se registam os aos de cosumo e os respectivos cosumos (em milhões de toeladas) º ao 9 º ao 9 0,05 9 9, 05 º ao ( ) 9,05 0,05 9,05 9,05 º ao ( ) 9,05 0,05 9,05 9,05 -ésimo ao 9,05 7

A reserva esgotar-se-á quado o cosumo total for igual a 000 milhões de toeladas, isto é, ao fim de aos em que 9,05 000 Por tetativas, chegase a (aproximadamete) Vamos fazer um quadro idêtico ao aterior, mas tedo em cota a dimiuição do cosum em % em cada ao º ao 9 º ao 9 0,0 9 9 0, 99 º ao 9 0,99 0,0 9 0,99 9 0,99 º ao 9 0,99 -ésimo ao 9 0,99 Para que a reserva se esgotasse teria que acotecer 9 0,99 000 Ou seja, 99 00 0, o que é impossível Assim, a reserva uca se esgota Determiada autarquia costrói aualmete 00 casas e, também em cada ao, cosegue veder / delas, ficado as restates dispoíveis Supodo que os ritmos de costrução e de veda se matêm costates, qual será a tedêcia do mercado imobiliário, a logo prazo? Resolução: À semelhaça do problema aterior vamos costruir um quadro em que idicamos o úmero de aos de costrução e o úmero de casas costruídas em cada um desses aos

º ao 00 º ao º ao -ésimo ao 00 00 00 00 00 00 00 L 00 i i Como se pretede calcular a tedêcia do mercado a logo prazo, vamos supor que tede para ifiito Ou seja, vamos estudar a série 00 Como se vê facilmete a série é uma série geométrica e tem-se 00 00 00 66 A logo prazo a autarquia deverá ter para veder cerca de 66 casas EXERCÍCIOS PROPOSTOS Seja a Verifique: se a é covergete; se a é covergete 9

Estude a covergêcia das seguites séries e, se possível, calcule as suas somas: 5 ( ) 5 5 ( ) 7 l ( ) 6 ( 0,) ( 0,) 6 Calcule os valores de x para os quais as séries seguites são covergetes Calcule a soma de cada série para esses valores de x: x x x 0

RESPOSTAS: Abreviaturas Ddivergete; Ccovergete; ssoma C D C; s5 C; s/7 D D 5 C; s/ 6 C; s7/6 7 D C; s/ -<x<; sx/(-x) -/<x</; s/(-x) x >; sx/(x-)