Grupo A 4. lterntiv A O denomindor d frção é D = 4 7 = ( 0 ) = 4. 46. ) O sistem ddo é determindo se, e somente se: m 0 m 9m 0 9 m b) Pr m, temos: x + y = x = y x + y z = 7 y z = x y + z = 4 4y + z = x = y y = + z 9z = 7 x = y = z = V = {(; ; )} x = y y = + z = 47. lterntiv A O sistem ddo dmite um únic solução se, e somente se, k 0 4 k 0 k e k. k 4 Pr k = o sistem ddo é equivlente x + y = x y + = x + 4y x + y que não dmite solução.
Pr k = o sistem ddo é equivlente x y = x y = x + 4y = 4 x y = que não dmite solução. Assim: I. Fls. Não existe k R pr o qul o sistem dmite mis de um solução. II. Fls. O sistem não dmite solução pr k = ou k =. III. Verddeir. O sistem dmite solução únic pr k R, k e k, o que inclui todos os números irrcionis. 48. lterntiv C O determinnte d mtriz incomplet do sistem é: A = 0 0 = + Como o discriminnte d equção + é Δ= ( ) 4 < 0, A 0pr todo rel. Assim, o sistem ddo dmite solução únic, qulquer que sej. 49. x y z = 8 x + y + z = x + y + z = 8 x y z = 8 x y = ( + x ) y = 4 x y z = 8 x y = 4 ( + x ) = Assim: ) Pr que o sistem sej impossível ou indetermindo, devemos ter + =. b) Pr =, o sistem é impossível. 0. lterntiv C A mtriz A não dmite invers se, e somente se, det A + k k k k + k = ou k =.
x y = 8. ) x + 4y x y = 8 4x = x y = 8 x + y = x = y = 4 7 8 Logo V = 7 ;. 4 8 b) Pr que o sistem sej possível e determindo devemos ter 4 0 m ( 4) 0 m. m. lterntiv A O sistem homogêneo ddo dmite solução não trivil se, e somente se: α + α + + + + α α =. lterntiv E O determinnte d mtriz incomplet do sistem é: A = = ( + ) = + Assim, o sistem dmite solução únic se, e somente se, A 0 0. Pr =, o sistem é equivlente x + y = 6 x y = 6 x = 6 y, ou sej, dmite infinits soluções. Logo o sistem dmite solução, qulquer que sej R. 4. lterntiv A det( ABCA) = det A t det A det B det C det A = det A t t det A det B det C det A = det A det A det B det C = det C = det A det B det C = det C = det( AB) det( AB) t
. lterntiv C X C X + X X( X + I) det X ou det( X + I) I. Fls, pois se det(x + I), então X + I não é inversível. II. Verddeir, pois se det(x + I) 0,então det X. Logo X não é inversível. III. Verddeir, pois se det X 0, temos que X é inversível. Logo: X( X + I) X X ( X + I) ( X + I) X! X = 0 0 Então, det X = 4 > 0. 6. lterntiv C Esclonemos mtriz complet do sistem: 4 0 8 0 8 0 ~ 0 0 4 0 + ~ 0 0 ~ + 8 0 0 6 0 8 0 0 0 0 0 ~ 8 0 0 0 0 0 0 0 Logo o sistem é equivlente : y + z z y z = x + 8y + z x + 8y 6y x = y, ou sej, = y V = {( y, y, y) R y R }, de onde segue que tl sistem é indetermindo com um incógnit rbitrári. 4
7. lterntiv E Pr que um sistem liner sej possível e determindo, o determinnte d mtriz dos coeficientes deve ser não nulo. Logo 9 + 9 + 0. + Fçmos = t 9 = ( ) = t, = = t e t = =. Assim, teremos t t t 9 t t 4 4 9t 4t + 0 t 8t + 0 m 8m + 0 m = t t = t t = m et 0 m = t t = e m ( ) e ( ) e log e log log e ( + log ). Grupo B 8. lterntiv C A mtriz A dmite invers se, e somente se: det( A) 0 x 0 ( ) x 4 Como o determinnte obtido cim é de Vndermonde, temos: () ( )( x)( x) 0 x e x
9. ) Pr m 0 m 0 m e m, o m sistem é possível e determindo (SPD). Pr m =, o sistem é equivlente x + y = 4, que é im- x + y = 6 possível (SI), e pr m =, temos x + y = 4, que tmbém x y = 6 é impossível. Logo pr m em, temos um SPD, e pr m = ou m =, um SI. b) A mtriz A é invers de B se, e somente se, B A = l. Assim: k 0 0 0 k 0 m 0 m = = 0 + 0 k = e m = 6 60. lterntiv B O sistem dmite solução únic se, e somente se, 0 4 0 0e e. y + z Pr, o sistem é equivlente x z = x + y = y + z y + z x + y = x + y = que é impossível. x + y = x + y = x + y + z Pr =, o sistem é equivlente x y z = x + y z = x y z x y z = que tmbém é impossível. x + y z = 6
E pr =, temos: x + y + z x + y z = x + y + z = x + y + z z = z = que tmbém é impossível. Em resumo: O sistem é possível e determindo 0 e e. O sistem é impossível ou = ou =. 6. O sistem liner dmite solução não trivil se, e somente se: sen cos 0 cos 0 sen sen cos (cos + sen ) sen = π π = + kπ, k Z = + kπ, k Z. 4 6. ) Sej y = x + bx + c função qudrátic em questão. Como (; 0),( ;) e (; ) pertencem o gráfico dess função: = 0 + b 0 + c c = = = ( ) + b ( ) + c b + c = b = + b + c + b + c = c = Assim, função qudrátic cujo gráfico pss por esses três pontos é y = x +. b) Existe um únic função qudrátic y = x + bx + c cujo gráfico pss pelos pontos não linhdos A( x0; y0), B ( x; y) e C ( x ; y ) se, e somente se, o sistem liner em, b e c y = x + bx + c 0 0 0 y = x + bx + c y = x + bx + c x + x b + c = y 0 0 0 x + x b + c = y x + x b + c = y é possível e determindo e 0. Isso ocorre qundo os determinntes A, d mtriz incomplet, e A, d mtriz obtid de A substituindo-se ª colun de A pelos termos independentes, são mbos não nulos. () 7
Temos: A x0 x0 = x x = x x x x x 0 x0 x x = x x x x x x 0 0 = ( x x0)( x x0)( x x) 0 y0 x0 x0 y0 e A = y x = x y 0, pois os pontos A, B y x x y e C não estão linhdos. Logo, como A 0 e A 0, o sistem () é possível e determindo, com = 0. Portnto os A A vlores de, b e c são unicmente determindos e, desse modo, existe um únic função qudrátic cujo gráfico pss pelos pontos A, B e C. 6. A mtriz dos coeficientes do sistem presentdo é dd por A = k k e det( A) = k + k 4k det( A) = ( k )( k + 7 ). O sistem é possível e determindo se, e somente se, det( A) 0 k e k 7. O sistem é possível e indetermindo se, e somente se, det( A ) k = ou k = 7. Como o sistem é homogêneo, o terno (0; 0; 0) sempre é solução, pr todo k R.Portnto não existem vlores pr k que tornem o sistem impossível. 64. lterntiv A O determinnte d mtriz incomplet do sistem é n 0 0 n = n +. Assim, como o sistem não é determin- 0 n do, n + n =. 8
Substituindo n = no sistem, temos x + y = y + z = e, somndo s equções, obtemos x z = 0x + 0y + 0z =. Portnto, pr n =, o sistem não possui solução. 6. ) Pr m =, o sistem é equivlente : 4x + y x + ( ) y 4x + y x + y y = x, cujo conjunto verdde, supondo U = R, é V = {( t; t) R t R}. b) O sistem ddo, que é homogêneo, possui infinits soluções se, e se somente se, o determinnte de su mtriz incomplet for nulo, ou sej: 4 m m m = 4 ( m ) m m m m + m m ( m ) mm ( ) ( m ) mm ( + )( m ) ( m ) ( m )( m + m ) m ou m + m m = 0 ou m = ou m = + c) Se ( x; y ) = ( α; ) é solução do sistem homegêneo ddo, o sistem é indetermindo, de modo que, pelo item nterior, m = ou m = ou m = +. Além disso, o sistem é equivlente 4 x + m y, e ssim 4α+ m m α =. Como α é irrcionl, m = m = +.. ou 9
66. O determinnte d mtriz incomplet do sistem é: m + m = + m + m Como o discriminnte d equção m + m + é 4 < 0, m + m + 0pr todo m rel, logo o sistem é possível pr qulquer m pertencente os reis. Pel regr de Crmer, temos: m m x = = m + m + m + m + Assim, pr que x sej o mior possível, expressão m + m + deve ser menor possível. O menor vlor d expressão f( m) = m + m + é tingido n bsciss do vértice, que é dd por: b xv = = = Assim, pr x ser o mior possível devemos ter m =. Chiò 67. ) det M = = 0 0 b) Como det M = 0, o sistem é spd e, como é homogêneo, possui pens solução trivil (0, 0, 0, 0). 68. lterntiv C m m ma = n n nb = m m 0 n m n m + n ma + nb = m m + n Pr não ser inversível, mtriz (ma + nb) deve ter seu determinnte igul zero. Sendo ssim: m n m + n m m + n 0m + mn mn n m mn n 7m 6mn n m = n ou m = 7 n Ms m n m = 7. = 0
69. lterntiv E Se A e B são semelhntes, B = P AP PB = PP AP PB = AP PB = AP e sendo λ um rel qulquer, tem-se que Pλ PB = AP + λp P( λi B) = ( λi A) P ms como det P 0, det P det( λi B) = det( λi A) det P det( λi B ) = det( λi A). I 70. lterntiv C sen D = cos cos sen = sen + cos = Dx = tg cos = tg sen cos sen ( sen + cos ) = = cos cos sen tg Dy = = sen + tg cos = sen cos sen + cos = sen + sen cos x 0 = e y 0 x 0 y 0. cos