Limites e Continuidade

GOVERNO FEDERAL MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO CAMPUS JUAZEIRO/BA COLEG. DE ENG. ELÉTRICA PROF. PEDRO MACÁRIO DE MOURA Discente CPF Limites e Continuidade A Importância do Estudo de Limite O estudo dos ites é fundamental para o entendimento das ideias de derivadas e integrais. Neste momento, trabalharemos apenas a ideia intuitiva e informal de ite, sem as definições rigorosas e as demonstrações formais de suas propriedades. A ideia intuitiva de ite é trabalhada geometricamente por meio de sequências e pela análise do gráfico de uma função. A noção de ite de uma função, e o uso do deste é de fundamental importância na compreensão e, consequentemente, no desenvolvimento de grande quantidade de tópicos no campo das ciências que lidam com a Matemática. O Cálculo Diferencial e Integral é uma um ramo da matemática, toda ela, fundamentada no conceito de ite. O conceito de ite de uma função é uma das ideias fundamentais que distinguem o Cálculo da Álgebra e da Trigonometria. Suponha que um físico deseje obter quanto vale determinada medida, quando a pressão do ar é zero. Na verdade é impossível obter o vácuo perfeito. Então um procedimento a ser adotado é eperimentalmente efetuar-se essas medidas com valores cada vez menores de pressão, se os valores desta medida tendem para um determinado número L, admite-se que no vácuo ela seria igual ao valor. Se representarmos por a pressão e à medida que quisermos for dada por, então podemos representar esse resultado por: Esta é uma situação em que se aplica o conceito matemático de ites. Tal conceito é de fundamental importância para o desenvolvimento teórico de derivadas e integrais que possuem várias aplicações na física, eletricidade, mecânica, economia, psicologia, biologia engenharia entre outras. No reino do espírito, busque clareza; no mundo material, busque utilidade. Leibniz

Breve Histórico Uma preocupação já presente, entre os gregos antigos consistia na busca de procedimentos para encontrar áreas de figuras com diferentes formas. Por meio de transformações geométricas, relacionando figuras com áreas equivalentes, os gregos dedicaram-se, principalmente, ao cálculo de áreas de figuras itadas por segmentos de reta ou arcos de círculo, pela redução a figuras conhecidas. Quando tratamos do cálculo de áreas de figuras por curvas, é inevitável recorrer a procedimentos que se utilizem, direta ou indiretamente, do conceito de ite. Os gregos resolveram o problema de calcular a área do círculo pela aproimação sucessiva (método de eaustão) de polígonos inscritos com número cada vez maior de lados, de acordo com a sequência de figuras apresentada a seguir.... Calculando a área de um polígono através de sua decomposição em triângulos isósceles com vértices no centro do círculo e bases coincidentes com seus lados, a figura convergia para o círculo circunscrito a todos os elementos da sequência em questão. Introdução Usamos a palavra ite no nosso cotidiano para indicar, genericamente, um ponto que pode ser eventualmente atingido, mas que jamais pode ser ultrapassado. Eemplos 0. Injetando ininterruptamente ar em um balão de borracha, haverá um momento em que ele estoura. Isso porque eiste o ite de elasticidade da borracha. 0. Um engenheiro ao construir um elevador, estabelece o ite de carga que este suporta. 0. No lançamento de um foguete, os cientistas devem conhecer o ite mínimo de combustível necessário para que a aeronave entre em órbita. No reino do espírito, busque clareza; no mundo material, busque utilidade. Leibniz

0. Como os avanços na tecnologia resultam na produção de calculadoras cada vez mais potentes e compactas, o preço das calculadoras atualmente no mercado diminui. Suponha que meses a partir de agora, o preço de certo modelo seja de unidade monetária a) Qual será o preço daqui a 5 meses? Resposta: b) De quanto cairá o preço durante o quinto mês? Resposta:. c) Quando o preço será de 9 u.m. Resposta: Daqui a meses. d) O que acontecerá com o preço ao longo prazo Resposta:. 05. Supõe-se que a população de uma certa comunidade sertaneja, daqui a anos, será de milhares. a) Daqui a 9 anos, qual será a população da comunidade? Resposta: milhares. b) De quanto à população crescerá durante o ano? Resposta habitantes. c) Ao longo desse tempo, o que acontecerá ao tamanho da população? Resp. Apro. 0 mil/ha. PS: É importante ter em mente que o ite pode ser um ponto que nunca é atingido, mas do qual se pode aproimar tanto quanto se desejar. PS. Deve-se a Cauchy (789 857), matemático francês, a formalização precisa de ite. Noção Intuitiva de Limite Problemas Resolvidos Problema 0 Inicialmente, vamos tomar a função, definida por e determinar o valor de, quando os valores de, encontram-se muito próimos de. Solução: Atribuindo a uma sequência de valores que se aproimam cada vez mais de pelo lado esquerdo, é possível determinar os valores de, conforme ilustra na Tabela. Percebe-se que conforme os valores de aproimam-se de, os valores de, aproimamse de 0. Por outro lado, atribuindo-se a uma sequência de valores que se aproimam cada vez mais de, pelo lado direito, é possível determinar os valores de, conforme ilustra na Tabela. Novamente, os valores de, aproimam-se de 0, à medida que os valores de aproimam-se de. No reino do espírito, busque clareza; no mundo material, busque utilidade. Leibniz

Valores de tendendo a pela esquerda. Valores de tendendo a 0 pela esquerda -,5-0,5 Valores de,8-0, tendendo a pela,9-0, direita.,99-0,0,999-0,00 Valores de,9999-0,000 tendendo a 0 pela,99999-0,0000 direita.,999999-0,00000 Tabela,5 0,5, 0,, 0,,0 0,0,00 0,00,000 0,000,0000 0,0000,00000 0,00000 Graficamente, usando o software Graphmatica, temos: Neste caso, escrevemos em linguagem matemática: f ( ) f ( ) f ( ) 0 Lê-se: Limites laterais de são iguais ao ite de quando tende para e é igual a 0. Problema 0 Tomemos a função, suponha que estejamos interessados em saber de que valor se aproima quando se aproima de. Solução: Observe a Tabela, atribuamos a valores menores que. Vemos que quanto mais se aproima de, mais o valor de se aproima de 6. Matematicamente, representamos esta situação por Lê-se: ite de quando tende a três pela esquerda é igual a 6. No reino do espírito, busque clareza; no mundo material, busque utilidade. Leibniz

Tomemos agora valores próimos de três, mas maiores que. Note que quanto mais se aproima de por valores maiores do que, mais se aproima de 6. Matematicamente, representamos esta situação por Lê-se: ite de quando tende a três pela direita é igual a 6. Valores de Valores de tendendo a,5 5,5 tendendo a, 6, pela esquerda.,8 5,8,9 5,9 pela direita., 6,, 6, Valores de tendendo a 6 pela esquerda,99 5,99,999 5,999,9999 5,9999...... Valores de tendendo a 6 pela direita.,0 6,0,00 6,00,000 6,000...... Estes ites são chamados ites laterais. O ite de uma função eiste se, e somente se, os ites laterais eistirem e forem iguais Em linguagem matemática devemos ter Como os ites anteriores são iguais, podemos dizer que o ite eiste, eiste, ou seja, e, mas a função não é continua, já que não está definido. Observe o gráfico ao lado. No reino do espírito, busque clareza; no mundo material, busque utilidade. Leibniz 5

De acordo com os eemplos apresentados anteriormente, nota-se que a ideia de ite de uma função, quando tende para, depende somente dos valores de em valores próimos de, o valor de é irrelevante. Nota: Problema 0 O gráfico a seguir representa uma função de em. Determine: a) b) c) d) e) e) Solução: a) b) c) d) e) e) Problema 0 Um gás (vapor d água) é mantido à temperatura constante. À medida que o gás é comprimido, o volume decresce até que atinja uma certa pressão crítica. Além dessa pressão, o gás assume forma líquida. Observando a figura a seguir, determine: a) b) c) Solução: a) b) c) O ite não eiste, pois. No reino do espírito, busque clareza; no mundo material, busque utilidade. Leibniz 6

Continuidade em Aplicações Nas aplicações, as descontinuidades sinalizam, muitas vezes, a ocorrência de importantes fenômenos físicos. Por eemplo, a Figura é um gráfico da voltagem versus o tempo para um cabo subterrâneo que é acidentalmente cortado por uma equipe de trabalho no instante (A voltagem caiu para zero quando a linha foi cortada.) A Figura mostra o gráfico de unidades em estoque versus tempo para uma companhia que reabastece o estoque com unidades quando o estoque cai para unidades. As descontinuidades ocorrem nos momentos em que acontece o reabastecimento. Figura Figura Lista de Eercícios 0. Seja a função definida por. Esboce o gráfico de e calcule. 0. Dada a função definida por:. Esboce o gráfico de e calcule o seu ite quando tende a. 0. Um fazendeiro estabelece o preço da saca de café em função da quantidade de sacas adquiridas pelo comprador através da equação, em que é o preço em dólares por saca e é o número de sacas vendidas. a) Quanto deve pagar, por saca, um comprador que adquirir 00 (cem) sacas? b) Quanto deve pagar, por saca, um comprador que adquirir 00 (duzentas) sacas? c) Sabendo que um comprador pagou 5 dólares por saca, quantas sacas comprou? d) O que acontecerá com o preço de cada saca, em uma compra muito grande ( )? Respostas: a) 5 dólares b) 5 dólares c) 50 sacas d) P() $ 50 quando No reino do espírito, busque clareza; no mundo material, busque utilidade. Leibniz 7

0. Para estudar a velocidade na qual os animais aprendem, um estudante de psicologia eecutou um eperimento no qual um rato era enviado repetidamente através de um labirinto de laboratório. Suponha que o tempo requerido pelo rato para atravessar o labirinto na enésima tentativa era de aproimadamente minutos. a) Para que valores de a função tem significado no conteto do eperimento psicológico? Resposta: Todo inteiro positivo ( Z * ) b) Quanto tempo leva para que o rato atravesse o labirinto na terceira tentativa? Resposta: 7 minutos c) Em qual tentativa o rato atravessou pela primeira vez o labirinto em minutos ou menos? Resposta: a tentativa d) De acordo com a função f, o que acontecerá com o tempo requerido pelo rato para atravessar o labirinto à medida que o número de tentativas aumenta? Será o rato um dia capaz de atravessar o labirinto em menos de minutos? Resposta: O tempo necessário aproimar-se-á de, mas nunca será menor do que min. 05. O gráfico a seguir representa uma função de em. Determine: a) f () = b) f ( ) c) f ( ) Resposta: a) f ( ) 5 b) c) 5 06. Um paciente em um hospital recebe uma dose inicial de 00 miligramas de um medicamento. A cada horas recebe uma dose adicional de 00 mg. A quantidade f(t) do medicamento presente na corrente sanguínea após t horas é eibida na figura a seguir. Determine e interprete: a) f ( t) t8 b) f ( t) p8 Resposta: a) 50 b) 50 Interpretação: Não eiste ite. No reino do espírito, busque clareza; no mundo material, busque utilidade. Leibniz 8

07. O gráfico a seguir representa uma função de em. Determine: a) f () = b) f ( ) c) f ( ) Resposta: a) f ( ) b) - c) 08. Se a equação horária de uma partícula é s( t) 6t t, determine: a) A velocidade média no intervalo de tempo [;,]. b) A velocidade instantânea da partícula no instante t =. 09. Considerando que, em um eperimento de adubação, a resposta do crescimento de uma planta em pode ser dada por em que (em ) é a quantidade de fertilizante adicionada. O que acontece se crescer indefinidamente? Faça um comentário que justifique o resultado obtido. Resposta Interpretação: Se adicionarmos uma quantidade infinita de adubo a altura máima da planta tende a 0 cm. Não se faz, necessário uma quantidade. É perder dinheiro. Propriedades dos Limites A seguir introduziremos propriedades que podem ser usadas para achar muitos ites sem utilizar a pesquisa do número que aparece na definição de ite. (P0) Se f ( ) L a f ( ) L e a, então L L. (Teorema da Unicidade do ite). (P) Sejam a e c números reais quaisquer, então c c isto é o ite de uma constante a é a própria constante. (P) Se a, b, m são números reais, então: ( m b) ma b. a (P) Se f ( ) L e g( ) M, a a então: a) [ f ( ) g( )] L M a No reino do espírito, busque clareza; no mundo material, busque utilidade. Leibniz 9

b) [ f ( ) g( )] L M a f ( ) L c) = desdeque M 0 a g( ) M d) f ( ) a n L n ( p/ inteiro positivo n) e) n n f ( ) L, desde que L 0 p/ n par a f) ln f ( ) a g) cosf() a h) sen f() a i) a e e f ( ) L ln. L, desde que L 0 cos( L) sen ( L) Eemplo: Determine o seguinte ite: P ( ) P Vemos neste eemplo que o valor de f ( ) f ( a) a. Isto na verdade ocorre para todos os polinômios. Enunciando então, formalmente, temos: Teorema I: Se f é uma função polinomial, então: f ( ) f ( a). Eemplos: a ) Calcule ( 5 ) 5 5 ) Calcule, se f ( ) sendo, se >. Solução:Se f ( ) 6. Por outro lado, > f ( ). Portanto, não eiste o ite. + Além deste, temos ainda outros teoremas que nos fornecem resultados úteis para o cálculo de ites. Teorema II: Se f é uma função racional, e a pertence ao domínio, então: No reino do espírito, busque clareza; no mundo material, busque utilidade. Leibniz 0

a q( ) q( a) Eemplos: ) Calcule Solução: 5 6 7 5 5 6 7 6 7 0 7 ) Calcular Solução: 5 9 9 9 = 75-0 + 9 5 5 6 Em resumo: Sejam f e g funções tais que: f () L e f () L então: p p ) [ f ( ) g( )] L L f ( ) g( ), ou seja, o ite da soma é igual a soma p dos ites. p p ) k f ( ) k. L k f ( ) p p ) [f () g()] L L f () g() p p p ) [ f ( ) g( )] L L f ( ) g( ) p p p f () L f () p 5), desdeque L 0 p g() L g() p n n 6) [f ()] L f (), n N p p n 7) n f () n L n f (), desdeque L 0 (no casoem que n é par) p p No reino do espírito, busque clareza; no mundo material, busque utilidade. Leibniz

8) k k, k, ou seja, o ite de uma constante é a própria constante. p 9) p p 0) f () p g() L L f () p g() p Se f () L, f () L,..., f p p p n () L n, então ) [f() f ()... f n ()] L L... Ln p ) [f().f ()...f n ()] L.L...L n p, n N,n Eemplos: ) ( 8)... ) (a b c)... ap bp c, ( a,b,c) p )... )... 5 Lista de Eercícios ) ( 5 ) = ) ( ) = ) ( ) = ) 5) 6) 5 = 5 7 0 = = 7) 5 0 8) 5 = 9) 6 = 6 6 0) = 5 ) = = No reino do espírito, busque clareza; no mundo material, busque utilidade. Leibniz

) 8 8 7 = 0 6 5 7 ) ) 5) 0 6) 0 Respostas: = = = = 7) = 8) 0 9) 0) = = = 5 0 0 0 0 05 06 07 08 09 0 8-5 - 6 5 - - - - 5 6 7 8 9 0 80 0 5 Limites no Infinito Introdução: Consideremos a função f definida por f ( ) e analisemos, mediante uma tabela, o seu comportamento quando os valores de crescem iitadamente através de valores positivos. f () 0 00.000 0.000 00.000 0, 0,0 0,00 0,000 0,0000 Pela tabela constatamos que quando cresce iitadamente através de valores positivos, os valores da função se aproimam cada vez mais de 0 (zero). Simbolicamente, representamos tal fato por: f ( ) 0, que se lê: ite de f de, quando tende a mais infinito, é igual a zero. No reino do espírito, busque clareza; no mundo material, busque utilidade. Leibniz

Observação: Quando uma variável independente está crescendo iitadamente através de valores positivos, escrevemos:. Devemos enfatizar que não é um número real. O símbolo indica, portanto, o comportamento da variável independente. Consideremos agora, para a mesma função, uma tabela onde os valores da variável decrescem iitadamente através de valores negativos. - - - - - - - -0-00 -.000-0.000-00.000 f () - - - - - - - -0, -0,0-0,00-0,000-0,0000 Observando a tabela anterior verificamos que à medida em que os valores de decrescem iitadamente através de valores negativos, os valores da função se aproimam cada vez mais de 0 (zero). Usando o simbolismo para indicar os valores de que estão decrescendo iitadamente, representamos simbolicamente o fato acima por um f ( ) 0, que se lê: ite de f de, quando tende a menos infinito, é igual a zero. Pelo gráfico da função f ( ) cujo esboço é indicado pela figura ao lado, notamos que quando cresce iitadamente através de valores positivos ( ), os valores da função f () aproimam-se cada vez mais de 0 (zero). E, portanto, simbolicamente podemos escrever f ( ) 0 ou 0. Analogamente, observando o comportamento da função através do seu gráfico (figura indicada acima), constatamos que quando decresce iitadamente através de valores negativos ( ), os valores da função f () aproimam-se cada vez mais de 0 (zero). Simbolicamente, escrevemos: f ( ) 0 ou 0. No reino do espírito, busque clareza; no mundo material, busque utilidade. Leibniz

Eemplos: ) Observe o gráfico da função apresentado na Figura a seguir: Observando o gráfico e as tabelas, vemos que esta função tende para o valor, quando tende para o infinito. Isto é, quando. Denotamos por A função tende para quando como podemos observar na Figura a seguir. Assim, podemos escrever: No reino do espírito, busque clareza; no mundo material, busque utilidade. Leibniz 5

Propriedades dos Limites no Infinito Limite de uma função Polinomial Consideremos a função polinomial P ( ) 6 7, podemos escrevê-la na seguinte forma: 6 7 P ( ) Portanto, P( ) ( Ora, é claro que: ) 6 7 Temos, então: P( ) ( Assim, temos dois casos: P( ) ( ) ) 6 7 e P( ) ( ) n n Generalizando, sendo P( ) an an... a a a0, podemos sempre escrever: P( ) a n n Limite de uma função racional Dada a função racional P( ) f ( ), onde P e Q são funções polinomiais em com: Q( ) n P( ) an a... a a a Q( ) b b... b b b n m m n 0 e m m 0 Sendo a 0 e b 0. Tem-se então que: n m No reino do espírito, busque clareza; no mundo material, busque utilidade. Leibniz 6

f ( ) P( ) Q( ) P( ) an Q( ) b m n m an b m n m a b n m nm Dependendo do valor de n e m, três casos podem ser considerados: o ) n m f ( ) o ) n m f ( ) 0 o ) n m a f ( ) b n m Eemplos: ) 0 8 5 0 0 9 0 9 9 ) 5 8 6 9 5 5 50 0 0 ) 7 8 7 5 8 5 5 7 5 7 5 ) Calcule Solução: Para calcularmos este ite, escrevemos ( 0, pois ) e então dividimos o numerador e o denominador, sob o sinal do radical, por. No reino do espírito, busque clareza; no mundo material, busque utilidade. Leibniz 7

5) Calcule Solução: Multiplicando, numerador e denominador, por, temos: Procedendo de modo análogo ao eemplo anterior, vem: Eercícios 0. Calcule os ites indicados: a) b) 5 Resposta: / Resposta: 0 c) 6 Resposta: 0 d) Resposta: e) Resposta: 0 f) Resposta: g) h) Resposta: 0 Resposta: i) Resposta: No reino do espírito, busque clareza; no mundo material, busque utilidade. Leibniz 8

j) e Resposta: 0 k) l) Resposta: Resposta: m) e Resposta: n) ln o) ln Resposta: Resposta: p) Resposta: 0 0. Usando as propriedades e os teoremas sobre ites, calcule os ites abaio: a) c) 6 7 6 8 7 b) d) 5 e) 6 5 7 (t 5t ) g) t (6t 5) 6s f) s s 9 h) 5 i) 9 j) f() sendo + se se < - k) f ( ), sendo f() = - se se > 0. Calcule os ites: a) 5 c) - 6 b) d) - 5-9 - No reino do espírito, busque clareza; no mundo material, busque utilidade. Leibniz 9

se 0. Considere a função definida por: f ( ) se, determine: se ( a) f ( ) ( b) f ( ) (c) f ( ) 05. Considerando as funções definidas nos item a, b e c, encontre os ites abaio, se eistirem: ( i) f ( ) ( ii) f ( ) se a) f ( ) se se b) f ( ) - se ( iii) f ( ) c) f ( ) - se se se 06. Para a função representada graficamente na Figura a seguir, determine, se eistir, cada item abaio. Caso não eista, justifique. a ) f() b) f() c) f() d) f() - 0 e) f() 07. Para a função representada graficamente na Figura a seguir, determine, se eistir, cada item abaio. Caso não eista, justifique. a ) f() b) f() c) f() d) f() e) f() f)f(-) g) f() h) f() - - No reino do espírito, busque clareza; no mundo material, busque utilidade. Leibniz 0

08. Para a função representada graficamente na Figura a seguir, determine, se eistir, cada item abaio. Caso não eista, justifique. a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) d) f ( ) f) f ( ) g) f() h)f() i) f(-) e) f ( ) j) f ( ) 09. Calcule os seguintes ites laterais: a) b) 6 d) e) 6 6 c) f ) 9 0. Calcule o f ( ) sendo: f ( ) 5 se se RESPOSTAS: ) a)- b) 5 c) d) 5 e) 0 f) g) 6 h) 5 i) 6 j) k ) não eiste ) a) b) c) d) ) a) 7/ b) /6 c) d) ) a) f ( ) ; f ( ) logo f ( ) No reino do espírito, busque clareza; no mundo material, busque utilidade. Leibniz

5) a) f ( ) 0; f ( ) logo não eiste f ( ) b) f ( ) ; f ( ) logo f ( ) c) f ( ) ; f ( ) logo f ( ) 6) a) b) c) d) não eiste e) 7) a) b) - c) não eiste d) e) f) - g) - g) - 08) a) + b) - c) não eiste d) - e) - f) não eiste g) não eiste h),5 i) 0 j) não eiste 09) a ) b) c)- d) e) f) 0) f ( ) FUNÇÕES CONTÍNUAS. Introdução: Sejam f e g funções de gráficos: Observe que f e g se comportam de maneira diferente no ponto p. Enquanto a função g apresenta um salto a outra não. Ao calcular o ite da função f, observamos que o valor deste ite, quando tende para p é igual ao valor da função quando é igual a p, isto é: No reino do espírito, busque clareza; no mundo material, busque utilidade. Leibniz

f ( ) p f ( p) Por eemplo, se f ( ) e p =, temos que: f ( ) p ( ) 0 f () f ( p) As funções que se comportam desta forma em um ponto qualquer de seu domínio são ditas contínuas nesse ponto.. Definição: Dizemos que uma função f é contínua em um ponto p se forem verificados as três condições abaio: (i) f ( p) (ii) f ( ), isto é : f ( ) f ( ) p p p (iii) p f ( ) f(p) Observação: quando pelo menos uma das três condições não for verificada dizemos que f é descontínua em p. Eemplos: ) Verifique se a função f ( ) 5 é contínua em. Solução: Analisaremos uma a uma as três condições: f ( ) 5 f ( ) ( 5 ) 5 p f ( ) f () Portanto, como f ( ) f () a função é contínua em. ) Verifique se a função f ( ) é contínua em. Solução: Primeiramente, lembramos que: No reino do espírito, busque clareza; no mundo material, busque utilidade. Leibniz

, se, se A seguir, analisaremos uma a uma as três condições: 0 f. ( ) 0 Para verificar a eistência do ite, devemos calcular os ites laterais: 0 f ( ) 0 e 0 f ( ) 0 Como f ( ) f ( ) f ( ) e f ( ) 0. f ( ) f (). Portanto, como f ( ) f () a função é contínua em., se ) Verifique se a função f ( ), se é contínua em., se Solução: Analisaremos uma a uma as três condições: ( ) f. Para verificar a eistência do ite, devemos calcular os ites laterais: f ( ) ( ) 9 8 e f ( ) ( ) 0 Como f ( ) f ( ) não eiste f ( ) em. e, portanto a função dada não é contínua, se ) Verifique se a função f ( ) é contínua em., se Solução: Analisaremos uma a uma as três condições: ( ) f. Para verificar a eistência do ite, devemos calcular os ites laterais: f ( ) () e f ( ) ( ) 6 No reino do espírito, busque clareza; no mundo material, busque utilidade. Leibniz

Como f ( ) f ( ) não eiste f ( ) em. Mostramos a seguir um esboço do gráfico de f e podemos constatar que o mesmo tem um salto em. e, portanto a função dada é descontínua 5) A função f ( ) não é contínua no ponto, pois a função dada não é definida no ponto especificado. Graficamente, temos: 6) A função g ( )., se g ( ) também não é contínua no ponto, pois:, se Limites laterais: ( ) ( ) ( ) g( ) ( ) ( ) e ( ) ( ) ( ) g( ) ( ) ( ) No reino do espírito, busque clareza; no mundo material, busque utilidade. Leibniz 5

Como g( ) g( ) g( ) e g( ). g( ) g() Portanto, como não foi satisfeita a terceira condição, a função dada não é contínua no ponto especificado, como confirma o gráfico a seguir: 7) Verificar os possíveis pontos de descontinuidade da função, se 0 f ( ), se 0. 9, se Solução: Da definição de f, os prováveis pontos de descontinuidade são 0 e. Pelo esboço do gráfico de f, verificamos as condições de continuidade para o ponto 0, assim: f (0) 0 0 0 0 0. Limites laterais: f ( ) 0 0 ( ) 0 e f ( ) ( ) 0 0 0 No reino do espírito, busque clareza; no mundo material, busque utilidade. Leibniz 6

Como f ( ) f ( ) f ( ) e f ( ) 0. 0 0 0 0 f ( ) f (0) 0 Logo, como f ( ) f (0) 0 a função é contínua em 0. Da mesma forma, pelo esboço do gráfico de f, verificamos as condições de continuidade para o ponto, assim: f () 6 9. Limites laterais: f ( ) e f ( ) ( ) 6 9 ( 9) 9 6 9 Como f ( ) f ( ) f ( ) e f ( ). f ( ) f () Logo, como f ( ) f () a função é contínua em. Portanto, uma vez que nos pontos de provável descontinuidade, verificamos que a função f é continua, concluímos que f é contínua para todo real, e vemos que seu gráfico não tem qualquer tipo de salto ou interrupção. LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS ) Verifique se as funções são contínuas nos pontos especificados: a) f () em 5 b) f () em No reino do espírito, busque clareza; no mundo material, busque utilidade. Leibniz 7

c) f () e em 0 d), f ( ),, se - se se - em - 7-6, se e) f ( ) em f) f ( ) em, se 0 se g) f ( ) em. h) f ( ) se em 0 - se ) Determine o valor de a para que as seguintes funções sejam contínuas no ponto indicado: 5 6, se, se a) f ( ) em b) f ( ) em a, se a, se, se 0 c) f ( ) em 0 a, se 0 Respostas: ) a b c d e f g h sim não não não sim sim não Sim ) a b c a = - 7 a a No reino do espírito, busque clareza; no mundo material, busque utilidade. Leibniz 8

) Verifique se as funções abaio são contínuas nos pontos indicados, e justifique sua resposta. a), se f ( ), se b), se, se f ( ), se c), se 0 f ( ) 5, se 0 d), se 0 f(),,, se se 5 se 5 6 ) A função Justifique., se f ( ), se possui algum ponto de descontinuidade? Quais?, se 5) Verifique se as seguintes funções possuem algum ponto de descontinuidade e justifique sua resposta. a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ), se, se 5 d) f ( ) e) f ( ) f), se, se 5 -, se f ( ) -, se 6) Indique onde cada uma das funções abaio é descontínua e justifique sua resposta. a) f ( ) b), se 0 f ( ) c), se 0 f ( ),, se se No reino do espírito, busque clareza; no mundo material, busque utilidade. Leibniz 9

7) Determine o valor de m para que cada função abaio seja contínua no ponto dado. 9, se, se 0 a) f ( ) em b) f ( ) em 0 m, se m, se 0 8) Verifique se as funções abaio são contínuas, justificando sua resposta. a), se f ( ) b), se, f ( ), se se 9) Eplique porque f() não é contínua em. 5, se a) f ( ) em b) f ( ) em 5, se, se 9 c) f ( ), se em d) f ( ) em, se 0) A figura a seguir mostra o gráfico de uma função f. Em quais valores de a função é descontínua? Por quê? LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS - CALCULE ) ) ) sen 0 sen 0 tg 0 ) ) tg sen 0 sen cos π cos sen No reino do espírito, busque clareza; no mundo material, busque utilidade. Leibniz 0

) 5) 6) 7) 8) 9) 0) sen 0 sen tg 0 tg5 cos 0 cos 0.sen sec 0 tg sen 0 sen cos π tg ) ) 5) 6) 7) 8) 9) 0) sen 0 sen sen 0 sen cos5 cos 0 sen sen sen 0 sen sen( a) sena 0 cos( a) cosa 0 sen π π 0 cos Respostas: 0 0 0 0 05 06 07 08 09 0 0 5 5 6 7 8 9 0 0 0 0 cos a sen a 0 ) Calcule os seguintes ites: a) b) 0 tg 0 sen c) sen d) 0 sen 5 h 0 sen h h -cos e) 0 f) - cos 0 g) sen 0 cos Resposta: a) b) c) /5 d) / e) f) g) No reino do espírito, busque clareza; no mundo material, busque utilidade. Leibniz

LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS ) Mostre que: a) ( 0 ) e b) ( ) 0 e c) 0 e e 7 d) e 0 7 e) ( ) 0 e e π f) e 0 π ) Calcule os seguintes ites: a) n n n b) n n n c) d) 5 e) sen Resposta: a) e b) e c) e - d) e 5 e) e sen ) Calcule os ites abaio: a) ln Fazer + = u + b) ln Fazer + = u + c) 0 d) 0 e sen sen e) 0 sen5 tg f) cos g) 0 ln h) ln i) cossec +sen ( Fazer sen = u) 0 j) 0 cos No reino do espírito, busque clareza; no mundo material, busque utilidade. Leibniz

k) 0 tg sen l) + 5 m) 0 0 5 (dividir por Num. e Den.) n) + Resposta: a) b) c) / log d) e) 5/ f) g) n) e e h) i) e j) / k) / l) 5 e m) / log 5 ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS (Teto adaptado de: Elaine Cristina Ferruzzi & Devanil Antonio Francisco). INTRODUÇÃO Em aplicações práticas, encontramos com muita freqüência gráficos que se aproimam de uma reta a medida que cresce ( + ) ou decresce ( ). Veja as Figuras a seguir: Essas retas são chamadas assíntotas. No reino do espírito, busque clareza; no mundo material, busque utilidade. Leibniz

Traçaremos com facilidade um esboço do gráfico de uma função se conhecermos as assíntotas horizontais e verticais do gráfico, caso elas eistam.. Assíntota Vertical Dizemos que a reta afirmações seguintes for verdadeira: a é uma assíntota vertical do gráfico de f, se pelo menos uma das ( i) f ( ) ( ii) f ( ) ( iii) f ( ) ( iv) f ( ) a a a a. Assíntota Horizontal Dizemos que a reta y b é uma assíntota horizontal do gráfico de f, se pelo menos uma das afirmações seguintes for verdadeira: ( i) f ( ) b ( ii) f ( ) b Eemplos: 5 ) Seja a função f ( ). Encontre a equação das assíntotas horizontais e verticais, se elas eistirem. Solução: Primeiramente devemos observar o domínio da função. Verificamos, facilmente que D( f ) {}. Sendo assim, vamos calcular: ( 5. ) Para calcular o ite da função quando tende a devemos calcular os ites laterais, assim: Para calcular 5, fazemos h, com h 0, assim temos: ( ) 5 5 5 5 5 ( ) h0 ( h ) h0 ( h) h0 h No reino do espírito, busque clareza; no mundo material, busque utilidade. Leibniz

Por outro lado, para calcular 5, fazemos h, com h 0, assim temos: ( ) 5 5 5 5 5 ( ) h0 ( h ) h0 h h0 h Desta forma, temos: f ( ) e f ( ) Logo, é uma Assíntota Vertical da função dada, pois são válidas as afirmações (i) e (iv). Agora, vamos determinar a assíntota horizontal, se esta eistir. Para determinar a assíntota horizontal, basta fazer: 5 5 f ( ) 0 Logo, y 0 é a assíntota horizontal. O gráfico da função em estudo está apresentado na figura a seguir: ) ) Considere a função f ( ) ( ). Encontre a equação das assíntotas horizontais e/ou verticais, se elas eistirem. No reino do espírito, busque clareza; no mundo material, busque utilidade. Leibniz 5

Solução: Primeiramente devemos observar o domínio da função. Verificamos facilmente que D ( f ) {}. Sendo assim, vamos calcular ) (. Para calcular o ite da função quando tende a (dois) devemos calcular os ites laterais, assim: Para calcular ), fazemos h, com h 0, vamos a: ( ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 0 0 h h h h h h h h h Agora para calcular ) (, fazemos h, com h 0, vamos a: ( ) 0 ( ) 0 0 0 h h h h h h h Assim, temos: f ( ) e f ( ) Logo é uma Assíntota Vertical da função dada. Agora vamos encontrar a assíntota horizontal, se esta eistir: Para encontrar a assíntota horizontal, basta calcular, ou seja: ( ) No reino do espírito, busque clareza; no mundo material, busque utilidade. Leibniz 6

0 ( ) Logo, y é a assíntota horizontal. O gráfico da função em estudo está apresentado na figura a seguir: LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS ) Escreva a equação das assíntotas das funções abaio e faça um esboço do gráfico da a) função dada. 5 y b) y - - y c) - y d) e) ( -) y ) Encontre as assíntotas horizontais e verticais das funções abaio e construa um esboço de cada gráfico. a) f ( ) b) f f ( ) e) f ( ) f) f ( ). ) c) ( 5 f ( ) d) f ( ) g) f ( ) h) No reino do espírito, busque clareza; no mundo material, busque utilidade. Leibniz 7

) Sabe-se que sob temperatura constante, o volume de certa massa de um gás perfeito é função da pressão a que o mesmo está submetido. E a lei dessa função é dada pelo gráfico da figura a seguir; K Representada por V, onde K é uma constante que depende da massa e da temperatura P do gás. K a) Com respeito à função V, P 0 (não tem sentido físico considerar a pressão P nula P ou negativa), o que se pode dizer de V quando P diminuir, tendendo para zero? Resposta: Aumenta, tendendo a mais infinito. b) Para a mesma função, o que acontece com o volume V quando a pressão P cresce, tornando-se muito grande, isto é, quando P tende para infinito? Resposta: Diminui, tendendo a zero. ) Considere uma lente delgada convergente de distância focal f (nas lentes convergentes, f 0 ). Seja e o eio principal dessa lente. Seja P um objeto situado em e e P a imagem correspondente. As abscissas p e p de P e P respectivamente, tomadas em relação ao centro ótico o da lente, se relacionam através da equação de Gauss: f p, dessa equação tiramos que: p', onde f é uma constante que depende p p' f p f da lente. Construa o gráfico de p em função de p. No reino do espírito, busque clareza; no mundo material, busque utilidade. Leibniz 8

5) Seja i a corrente variando em função do tempo t, num circuito elétrico onde temos a descarga de um capacitor C e uma resistência R. CR Sabe-se que: i I e. 0 t a) Determine a corrente inicial para t = 0. b) Estude a variação da corrente quando t cresce indefinidamente. c) Faça um esboço da corrente em função do tempo., se 0 d) 6) Faça o esboço do gráfico da função f definida por f ( ). A seguir, se 0 determine: a) O domínio da função. Resposta: Dom(f) = b) A imagem da função. Resposta: Im(f) = [0, +[ = {y / y 0} c) A função é crescente ou decrescente? Resposta: A função é decrescente d) A função dada possui ponto de mínimo? Qual é esse ponto? Apresente as suas coordenadas? Resposta: Sim, a função possui (um) ponto de mínimo global em (0, 0) Solução: Usando o software de manipulação algébrica Maple, temos: No reino do espírito, busque clareza; no mundo material, busque utilidade. Leibniz 9

Definição de Limite Formal de Limite Seja f() definida em um intervalo aberto I, contendo a, eceto possivelmente no próprio a. Dizemos que o ite de f() quando aproima-se de a é L, e escrevemos: a f ( ) L se para todo 0, eiste um 0, tal que f ( ) L sempre que 0 a. Dando a definição acima de uma forma que não contenha o símbolo de valor absoluto: (i) 0 a equivale a a a e a. (ii) f ( ) L equivale a L f ( ) L. A figura a seguir representa graficamente as desigualdades (i) e (ii) em uma reta real. Reformulando a definição de ites, teremos: a f ( ) L significa que, para todo 0, eiste um 0 tal que se está no intervalo aberto ( a, a ) e a, então f() está no intervalo aberto ( L, L ). Veja a figura a seguir. No reino do espírito, busque clareza; no mundo material, busque utilidade. Leibniz 0

. A definição formal de Limite A definição formal de ite é dado a seguir. Definição: Diremos que L é o ite de uma função f, quando 0 se, para todo > 0 eiste > 0 tal que 0 < - 0 < f() - L < Observação: Tomamos 0 < - 0 < ( - 0 0) para fazer ênfase que na análise do ite o ponto = 0 não interessa. Para entender a definição de Limite, façamos a seguinte interpretação: Por estamos denotando um número pequeno qualquer, portanto f() L < quer dizer que f() está próimo de L. Nestas condições, o ite de f quando o é igual a L se eiste um intervalo que contenha a o, que faça que a imagem de todo ponto deste intervalo continue estando próimo de L, isto é que faça que f() L <. Dai o fato que deve eistir um número > 0, pois o intervalo em questão será ] o, o + [. Eemplos: ) Mostre que o ite da função f() = é igual a L = quando. Solução: Neste caso é simples conferir que f ( ). No reino do espírito, busque clareza; no mundo material, busque utilidade. Leibniz

Provaremos que para todo > 0, é possível encontrar > 0, satisfazendo 0 < - < f() < Para mostrar que eiste > 0, satisfazendo a propriedade acima, consideramos primeiro a desigualdade f() = = = < Por uma simples inspeção, concluímos que podemos tomar = /, portanto 0 < - < / f() < ) Usando a definição de ite, prove que: Para esta prova devemos mostrar que, > 0, > 0, tal que: ( ) sempre que 0 O eame da desigualdade envolvendo proporciona uma chave para escolha de. As seguintes desigualdades são equivalentes: ( ) ( ( ) A última desigualdade nos sugere a escolha do. Fazendo, vem que: ( ) sempre que 0 Portanto,. ) Usando a definição de ite, prove que: No reino do espírito, busque clareza; no mundo material, busque utilidade. Leibniz

6 Mostre que, dado > 0, > 0, tal que: 6 sempre que 0 Da desigualdade envolvendo, temos. 6. Necessitamos agora substituir por um valor constante. Neste caso, vamos supor: 0 <, e então, de 0, seguem as seguintes desigualdades equivalentes: 5 7 9 Logo, 9 Escolhendo min,, temos que se então: 9 6. 9 9 9 Portanto, 6 ) Mostre que. Solução: Pela definição, temos que provar que para todo > 0, é possível encontrar > 0, satisfazendo 0 < - < f() < De acordo com a definição, dado > 0 devemos encontrar > 0 que verifique a desigualdade acima. Portanto nosso ponto de partida será a desigualdade No reino do espírito, busque clareza; no mundo material, busque utilidade. Leibniz

Note que para próimo de, a epressão acima está próimo de zero. Para descrever isto em termos de desigualdades, necessitamos estimar o termo +. Para isto suporemos que <, desta forma teremos que < - < < < + < Desta forma, Finalmente, tomando = /, encontramos 0 < - < / f() < Como é simples verificar. Note que a igualdade acima é válida se = min {/, }. LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS ) Prove o ite 7 0. Utilize: = 0,5 ) Prove o ite. Utilize: = 0,75 ) Prove o ite BIBLIOGRAFIA 5 -. Utilize: = 0,75 HUGHES-HALLET, Débora [et al]. Cálculo e Aplicações. São Paulo: Edgar Blucher, 999. LEITHOULD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica. Vol., ª ed. São Paulo: Harbra, 99. THOMAS, George B. [et al]. Cálculo, Vol.. ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 0. TAN, Soo Tang. Matemática Aplicada à Administração e Economia. São Paulo: Cengage, 05. No reino do espírito, busque clareza; no mundo material, busque utilidade. Leibniz