UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

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1 PR UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

2 FUNÇÃO QUADRÁTICA (ou polinomial do o grau) y a. b. c, com a 0 ) Se a ) Se a b c 0 e considerando b c a b c 0 temos : b a a c, temos : b ± a ) b c a ( ) ( ) a ) Vértice da parábola: V( v, y v ), onde: b e a V y V f ( v) a 5) Decomposição de polinômios: P() a ( r ) ( r ) ( r )... ( r ) n n n n n n n n 6) Fatorações especiais: a ( a) ( a a... a a ) MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO:, se, se 0 < 0 n SOMATÓRIO: n i... i n GEOMETRIA ESPACIAL Área Total Área Lateral Área da Base Prisma: Volume Área da Base Altura Cilindro: Área Base π r ; Área Lateral π r h Área Total Área Base Área Lateral; Volume π r h Cone: Área Base π r ; Área Lateral π r g Área Total Área Base Área Lateral; Volume π r h Esfera: Área π r Volume π r

3 FUNÇÃO EXPONENCIAL: y a, a > 0 e a Propriedades das potências: ) n... ) n termos m n m n m mn ) n ) n n 5) ( m ) n m n m n m n 6) 0 7) a ( a 0) FUNÇÃO LOGARÍTMICA: y loga, a > 0 e a e > 0 ln loge, onde : e, Propriedades logarítmicas: ) log ( A B) log ( A) log ( B) ) log log ( A) log ( B) a a n ) log ( A ) n log ( A) a a a A B log A a ) log A a (conhecida como mudança de base) B log B a a a log a 5) a e por consequência ln e GEOMETRIA ANALÍTICA: ) Duas retas não verticais r e s são paralelas se, e somente se os seus coeficientes angulares forem iguais, isto é: r // s m r m s ) Duas retas não verticais r e s são perpendiculares se, e somente se o produto de seus coeficientes angulares for igual a menos um, isto é: r s m r ms ou r s ms m A equação de uma circunferência de centro C( c, y c ) e raio r é dado por: ( ) ( y y ) r. c c r Considerando a circunferência com centro na origem, temos: ( 0) ( y 0) r y r. y r ) Equação fundamental da reta: y y p m ( - p ), em que: y m tg α.

4 (0) TRIGONOMETRIA - Definições, Relação Fundamental e Algumas Consequências cateto oposto co cateto adjacente sen θ (0) cos θ hipotenusa hip hipotenusa cateto oposto co sen θ cos θ (0) tg θ ou tg θ (0) cot g θ ou cateto adjacente ca cos θ sen θ ca hip cot g θ tg θ (05) sec θ (06) cossec θ cos θ sen θ (07) cos sen θ θ (08) tg θ sec θ (09) co tg θ cos sec θ sen ( a b) sen a cos b sen b cos a sen ( a b) sen a cos b sen b cos a (0) Soma de arcos: cos ( a b) cos a cos b sen a sen b cos ( a b) cos a cos b sen a sen b cos θ () Arcos duplos: sen θ cos θ sen θ sen θ cos θ sen θ cos θ () Relação fundamental trigonométrica e consequências: sen θ cos θ e cos θ sen θ cos θ cos θ () Consequência da relação fundamental trigonométrica e arcos duplos: sen θ cos θ p q p q sen p sen q sen cos p q p q sen p sen q sen cos () Transformação de soma em produto: p q p q cos p cos q cos cos p q p q cos p cos q sen sen a b c ) (5) Lei dos Senos e Lei do Cossenos: sen Aˆ sen B sen Cˆ a b c b c cos Aˆ Definição de ites: f () L ε > 0, δ δ( ε) / se p 0 < p < δ 0 < f () L < ε sen Limites especiais: ; e 0 CONTINUIDADE: f é contínua em p f ( ) f ( p). p e e ( ) e 0

5 CAPÍTULO I LIMITES O estudo dos ites é fundamental para o entendimento das ideias de derivadas e integrais. Neste momento, trabalharemos apenas a ideia intuitiva e informal de ite, sem as definições rigorosas e as demonstrações formais de suas propriedades. A ideia intuitiva de ite é trabalhada geometricamente por meio de seqüências e pela análise do gráfico de uma função. A noção de ite de uma função, e o uso do deste é de fundamental importância na compreensão e, conseqüentemente, no desenvolvimento de grande quantidade de tópicos no campo das ciências que lidam com a Matemática. O Cálculo Diferencial e Integral (CDI) é uma parte (um ramo) da matemática, toda ela, fundamentada no conceito de ite. O conceito de ite de uma função f é uma das ideias fundamentais que distinguem o Cálculo da Álgebra e da Trigonometria. Suponha que um físico deseje obter quanto vale determinada medida, quando a pressão do ar é zero. Na verdade é impossível obter o vácuo perfeito. Então um procedimento a ser adotado é eperimentalmente efetuar-se essas medidas com valores cada vez menores de pressão, se os valores desta medida tendem para um determinado número L, admite-se que no vácuo ela seria igual ao valor L. Se representarmos por a pressão e à medida que quisermos for dada por f(), então podemos representar esse resultado por: 0 f ( ) L Esta é uma situação em que se aplica o conceito matemático de ites. Tal conceito é de fundamental importância para o desenvolvimento teórico de derivadas e integrais que possuem várias aplicações na física, eletricidade, mecânica, etc. Limites: Breve histórico Uma preocupação já presente entre os gregos antigos consistia na busca de procedimentos para encontrar áreas de figuras com diferentes formas. Por meio de transformações geométricas, relacionando figuras com áreas equivalentes, os gregos dedicaram-se, principalmente, ao cálculo de áreas de figuras itadas por segmentos de reta ou arcos de círculo, pela redução a figuras conhecidas. Quando tratamos do cálculo de áreas de figuras por curvas, é inevitável recorrer a procedimentos que se utilizem, direta ou indiretamente, do conceito de ite. Os gregos resolveram o problema de calcular a área do círculo pela aproimação sucessiva (método de eaustão) de polígonos inscritos com número cada vez maior de lados, de acordo com a seqüência de figuras apresentada a seguir.... Calculando a área de um polígono através de sua decomposição em triângulos isósceles com vértices no centro do círculo e bases coincidentes com seus lados, a figura convergia para o círculo circunscrito a todos os elementos da seqüência em questão. Deve-se a Cauchy ( ), matemático francês, a formalização precisa de ite. 5

6 ) Tema: Limites ) Pré-requisitos: O acadêmico deverá apresentar domínio sobre: Reta numérica (reta real); Funções, compreendendo definição (conceito), domínio, imagem e representação gráfica; Polinômios, entendendo valor numérico e raízes (ou zeros) deste; Equações algébricas, fatorações; Conceito de velocidade e aceleração. ) Objetivos instrucionais: O acadêmico será capaz de perceber de forma intuitiva a teoria dos ites como objetivo para estudar o comportamento de uma função quando sua variável está na proimidade de um número real, podendo a função estar ou não definida. Inicialmente, trabalharemos com ite de funções tendendo para um valor fio ou para mais infinito. ) Desenvolvimento do tema:.. Introdução: Usamos a palavra ite no nosso cotidiano para indicar, genericamente, um ponto que pode ser eventualmente atingido, mas que jamais pode ser ultrapassado. Eemplos: ) Injetando ininterruptamente ar em um balão de borracha, haverá um momento em que ele estoura. Isso porque eiste o ite de elasticidade da borracha. ) Um engenheiro ao construir um elevador, estabelece o ite de carga que este suporta. ) No lançamento de um foguete, os cientistas devem conhecer o ite mínimo de combustível necessário para que a aeronave entre em órbita. ) Como os avanços na tecnologia resultam na produção de calculadoras cada vez mais potentes e compactas, o preço das calculadoras atualmente no mercado diminui. Suponha que meses a partir 0 de agora, o preço de certo modelo seja de P ( ) 0 unidades monetárias (u. m.). a) Qual será o preço daqui a 5 meses? Resposta: P(5) $ 5. b) De quanto cairá o preço durante o quinto mês? Resposta: P(5) - P() 5-6 $. c) Quando o preço será de $ u. m. Resposta: P() > Daqui a 9 meses. d) O que acontecerá com o preço a longo prazo ( )? Resposta: P() $ 0 quando. 5) Supõe-se que a população de uma certa comunidade suburbana, daqui a t anos, será de 6 P( t) 0 milhares. t a) Daqui a 9 anos, qual será a população da comunidade? b) De quanto a população crescerá durante o 9 0 ano? c) Ao longo desse tempo, o que acontecerá ao tamanho da população? Resposta: a) P(9) 9/0 9, milhares. b) P(9) P(8) 9/0-58/ (/5) milhares 67 habitantes. c) A população aproimar-se-á de 0 mil habitantes. Nota: É importante ter em mente que o ite pode ser um ponto que nunca é atingido, mas do qual pode-se aproimar tanto quanto se desejar. 6

7 .. Conceito de ite: Eemplos: ) Inicialmente, vamos tomar a função f: R R, definida por y f() e determinar o valor de f(), quando os valores de, encontram-se muito próimos de. Atribuindo a uma seqüência de valores que se aproimam cada vez mais de, sendo todos valores menores que, é possível determinar os valores de f(), conforme ilustra o quadro a seguir: f() -,5-0,5,8-0,,9-0,,99-0,0,999-0,00,9999-0,000, ,0000, ,00000 Percebe-se que conforme os valores de aproimam-se de (dois), os valores de f() aproimam-se de 0 (zero). Por outro lado, atribuindo-se a uma seqüência de valores que se aproimam cada vez mais de, sendo todos maiores que, é possível determinar os valores de f(), conforme observa-se no seguinte quadro: f(),5 0,5, 0,, 0,,0 0,0,00 0,00,000 0,000,0000 0,0000, ,00000 Novamente, os valores de f() aproimam-se de 0 (zero), à medida que os valores de aproimam-se de (dois). Graficamente, usando o software Maple, temos: > plot(-,-..,colorblue); Neste caso, escrevemos em linguagem matemática: f ( ) f ( ) f ( ) 0 Lê-se: Limites laterais de f() são iguais ao ite de f(), quando tende para e é igual a 0. 7

8 9 ) Tomemos a função f ( ). Suponha que estejamos interessados em saber de que valor se aproima f() quando se aproima de. Façamos uma tabela e atribuamos a valores menores que. f(),5 5,5,8 5,8,9 5,9,99 5,99,999 5,999,9999 5, Vemos que quanto mais se aproima de, mais o valor de f() se aproima de 6. Note que nos aproimamos de por valores menores do que. Matematicamente, representamos esta situação por: - f ( ) 6 Lê-se: ite de f() quando tende a três pela esquerda é igual a 6 (seis). Tomemos agora valores próimos de três, mas maiores que. f(), 6,, 6,, 6,,0 6,0,00 6,00,000 6, Note que quanto mais se aproima de por valores maiores do que, mais f() se aproima de 6. Matematicamente, representamos esta situação por f ( ) 6 Lê-se: ite de f() quando tende a três pela direita é igual a 6 (seis). Estes ites, são chamados ites laterais. O ite de uma função eiste se e somente se os ites laterais eistirem e forem iguais. Simbolicamente: a f ( ) L f ( ) a a f ( ) L Como os ites anteriores são iguais, podemos dizer que: f ( ) 6 pois, f ( ) 6 e f ( ) 6 8

9 Limites laterais: São obtidos quando se considera os valores menores que (ite de f(), quando tende a pela esquerda) e quando considera-se os valores maiores que (ite de f(), quando tende a pela direita). Antes de formalizarmos o conceito, façamos mais um eemplo: Analisar a função f: R R, definida por y f ( ), quando tende (aproima-se) para. Atribuindo valores para, pode-se construir um quadro e em seguida, fazer um esboço de seu gráfico, ressaltando que Dom ( f ) { R / } (Dom domínio, ou seja, valores que são possíveis de serem atribuídos a variável independente ). y ,9999,9999 Não eiste,000,000 Graficamente, usando o software Maple, temos > plot((^-)/(-),-..,colorblue); Observe no gráfico, o que ocorre com as imagens das seqüências cujos valores se aproimam de. As imagens se aproimam de. Portanto, neste caso, escrevemos: f ( ) f ( ) f ( ) Perceba que o ite dessa função para tendendo a eiste, embora a função não esteja definida no ponto. De forma genérica, escrevemos: f ( ) L a De acordo com os eemplos apresentados anteriormente, nota-se que a ideia de ite de uma função f, quando tende para a, depende somente dos valores de f em valores próimos de a, o valor de f(a) é irrelevante. f ( ) L a Nota: f ( ) L, a f ( ) L a L R 9

10 Eemplos: ) O gráfico a seguir representa uma função f de [ 6, 9] em R. Determine: a) f () Solução: a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) 5 d) Não eiste o ite pedido, pois: f ( ) b) f ( ) c) f ( ) d) f ( ) e) f () f) f (7) f ( ) e) f ( ) 0 f) f ( 7) 0 Observe que - e 7 são as raízes (ou zeros) da função f. ) Um gás (vapor d água) é mantido à temperatura constante. A medida que o gás é comprimido, o volume V decresce até que atinja uma certa pressão (P) crítica. Além dessa pressão, o gás assume forma líquida. Observando a figura a seguir, determine: a) V b) V c) V p 00 p 00 p 00 Solução: a) V 0,8 p 00 b) V 0, p 00 c) Não eiste o ite pedido, pois: V V p 00 p 00 0

11 5) Metodologia: Eposição do conteúdo com utilização de quadros e gráficos. Tomar eemplos singulares, objetivando chegar a pluralidade do assunto, representando-o na linguagem matemática. 6) Recursos didáticos: Quadro-de-giz, giz, retroprojetor, transparências, computador, projetor multimídia, lista de eercícios, etc. 7) Verificação da aprendizagem: Participação do acadêmico no decorrer da aula, considerando sua curiosidade, e é claro que respeitando a sua individualidade; Interesse na resolução dos eercícios; Avaliação escrita e individual; Utilização de software matemático de manipulação algébrica (Maple, por eemplo). 8) Lista de Eercícios: 9) Referências Bibliográficas: Final da apostila ATIVIDADE: PESQUISAR APLICAÇÕES DE LIMITES: ) SOMA INFINITA DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG). ) APLICAÇÕES À ELETRICIDADE. ) APLICAÇÕES À ENGENHARIA. ) REGIME DE CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA.

12 Área de um círculo ALGUMAS APLICAÇÕES DE LIMITES Desde os tempos mais antigos os matemáticos se preocupam com o problema de determinar a área de uma figura plana. O procedimento mais usado foi o método da eaustão, que consiste em aproimar a figura dada por meio de outras, cujas áreas são conhecidas. Como eemplo, podemos citar o círculo. Para definir sua área, consideramos um polígono regular inscrito de n lados, que denotamos por P n, conforme ilustra a figura a seguir. Seja A n a área do polígono P n. Então, da figura a seguir. A n, onde n Tn n A T A é a área do triângulo de base l n e altura h n, Como AT n ln hn é o perímetro do polígono P n é dado por pn n ln, vem: ln hn pn hn An n Fazendo n crescer cada vez mais, isto é, n, o polígono P n torna-se uma aproimação do círculo. O perímetro p n aproima-se do comprimento do círculo π r e a altura h n aproima-se do raio r. Nesta condição, temos, A n n π r r π r que á a área do círculo.

13 Velocidade Média e Velocidade Instantânea Vamos utilizar uma historinha para ilustrar melhor os conceitos: O senhor Mário mora na cidade A e, nos fins de semana, vai visitar a irmã que mora na cidade B, distante 00 quilômetros de A, e nesse percurso ele leva duas horas e meia. Na última vez, o senhor Mário foi multado pela polícia rodoviária por ecesso de velocidade. Ele tentou argumentar que, como percorreu 00 km em duas horas e meia, a sua velocidade é de 80 km/h e portanto não poderia ser multado. Por que os guardas rodoviários não lhe deram ouvidos? A velocidade a que se refere o senhor Mário é a velocidade média: distância percorrida 00 v m 80 km / hora tempo decorrido,5 A velocidade a que se refere o guarda rodoviário é a velocidade instantânea, que provavelmente era maior do que 80 km/h no instante em que ele passava pelo local, pois é difícil manter uma velocidade constante num percurso tão longo. Lembremos o que é velocidade instantânea. Seja s s(t) a equação horária do movimento de um ponto material na reta numérica, isto é, s(t) indica a coordenada do ponto material no instante t. A velocidade média do ponto material no intervalo de tempo [ t, t t] é dada pela razão (divisão) entre o espaço percorrido e o tempo decorrido. v m s s( t t) s( t) t t A velocidade instantânea do ponto material no instante t é o ite da velocidade média t tende para 0: Eemplo: s s( t t) s( t) v v( t) t 0 t t 0 t s t quando ) Seja s( t) t 0t a equação horária de um ponto material que se move na reta numérica. Supomos que s seja medido em metros e t, em segundos. Calcule: a) A velocidade média do ponto material no intervalo de tempo [, ]. b) A velocidade instantânea no instante t. Solução: a) Velocidade média: s() s() ( 0 ) ( 0 ) v m 8 m / s b) A velocidade instantânea no instante t. s( s) s() ( t) 0( t) ( 0 ) v t 0 t t 0 t ( t) t 0 0 t 0 [ t ] m / s t 0 t t 0 No próimo tópico, diremos que a velocidade instantânea é a derivada do espaço em relação ao tempo: v ( t) ds dt

14 ) Suponha que uma partícula esteja sendo acelerada por uma força constante. As duas curvas v n(t) e v e(t) da figura abaio fornecem as curvas de velocidade instantânea versus tempo para a partícula conforme previstas, respectivamente, pela Física clássica e pela Teoria da Relatividade Especial. O parâmetro c representa a velocidade da luz. Usando a linguagem de ites, descreva as diferenças nas previsões a longo prazo das duas teorias. ) Seja T f(t) a temperatura de uma peça t minutos depois de retirada de um forno industrial. A figura abaio mostra a curva da temperatura versus tempo para a peça, onde r denota a temperatura ambiente. Pergunta-se: a) Qual é o significado físico de f ( t)? t 0 b) Qual é o significado físico de f ( t)? t CONTINUIDADE EM APLICAÇÕES (Adaptado de Anton, Cálculo, vol. I, 8 ed., 007) Nas aplicações, as descontinuidades sinalizam, muitas vezes, a ocorrência de importantes fenômenos físicos. Por eemplo, a Figura é um gráfico da voltagem versus o tempo para um cabo subterrâneo que é acidentalmente cortado por uma equipe de trabalho no instante t t 0 (A voltagem caiu para zero quando a linha foi cortada.) A Figura mostra o gráfico de unidades em estoque versus tempo para uma companhia que reabastece o estoque com y unidades quando o estoque cai para y 0 unidades. As descontinuidades ocorrem nos momentos em que acontece o reabastecimento. Figura Figura

15 LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS ) Seja a função f: R * R, definida por f ( ). Esboce o gráfico de f e calcule f ( ). 0 ( ) ( ) ) Seja f a função racional definida por f ( ). Esboce o gráfico de f e calcule ( ) f ( ). Dica: Inicialmente, eplicite o domínio de f. ) Dada a função f definida por: quando tende a. f ( ),, se < se. Esboce o gráfico de f e calcule o seu ite, se > ) Para estudar a velocidade na qual os animais aprendem, um estudante de psicologia eecutou um eperimento no qual um rato era enviado repetidamente através de um labirinto de laboratório. Suponha que o tempo requerido pelo rato para atravessar o labirinto na enésima tentativa era de aproimadamente f ( n) minutos. n a) Para que valores de n a função f ( n ) tem significado no conteto do eperimento psicológico? Resposta: Todo inteiro positivo ( Z * ) b) Quanto tempo leva para que o rato atravesse o labirinto na terceira tentativa? Resposta: 7 minutos c) Em qual tentativa o rato atravessou pela primeira vez o labirinto em minutos ou menos? Resposta: a tentativa d) De acordo com a função f, o que acontecerá com o tempo requerido pelo rato para atravessar o labirinto à medida que o número de tentativas aumenta? Será o rato um dia capaz de atravessar o labirinto em menos de minutos? Resposta: O tempo necessário aproimar-se-á de, mas nunca será menor do que minutos. 5) Um fazendeiro estabelece o preço da saca de café em função da quantidade de sacas adquiridas 00 pelo comprador por intermédio da equação P( ) 50, em que P() é o preço em dólares por saca e é o número de sacas vendidas. a) Quanto deve pagar, por saca, um comprador que adquirir 00 (cem) sacas? b) Quanto deve pagar, por saca, um comprador que adquirir 00 (duzentas) sacas? c) Sabendo que um comprador pagou 5 dólares por saca, quantas sacas comprou? d) O que acontecerá com o preço de cada saca, em uma compra muito grande ( )? Resposta: a) 5 dólares b) 5 dólares c) 50 sacas d) P() $ 50 quando 6) O gráfico a seguir representa uma função f de [, ] em R. Determine: a) f () b) f ( ) c) f ( ) Resposta: a) f ( ) 5 b) c) 5 5

16 7) Um paciente em um hospital recebe uma dose inicial de 00 miligramas de um medicamento. A cada horas recebe uma dose adicional de 00 mg. A quantidade f(t) do medicamento presente na corrente sangüínea após t horas é eibida na figura a seguir. Determine e interprete: a) f ( t) b) f ( t) t 8 p 8 Resposta: a) 50 b) 50 Interpretação: Não eiste ite. 8) O gráfico a seguir representa uma função f de [, [ em R. Determine: a) f () b) f ( ) c) f ( ) Resposta: a) f ( ) b) - c) 9) Se a equação horária de uma partícula é s ( t) 6t t, determine: a) A velocidade média no intervalo de tempo [;,]. b) A velocidade instantânea da partícula no instante t. 6

17 0) Complete os espaços indicados, analisando cada função dada pelo gráfico: Gráfico I (Maple : plot(*,-..,colorblack);) a) f ( )... b) f ( )... c) f ( )..., pois: f ( )... f ( ) Gráfico II (Maple : plot(-,-..,colorblack);) a) f ( )... b) f ( )... c) f ( )..., pois: f ( )... f ( ) Gráfico III (Maple : f:->piecewise(>,6,<,); plot(f(),-.. colorblack);) a) f ( )... b) f ( )... c) f ( )..., pois: f ( )... f ( ) Conclusão: O ite de f (), quando tende a p, eiste e é único se os ites laterais eistem e são... 7

18 RESPOSTAS, DICAS E SUGESTÕES ) > plot(/abs(),-..,colorblue); Resposta: Não eiste o ite pedido, ou seja, não eiste f ( ). 0 ) > plot((*)*(-)/(-),-..6,colorblue); Resposta: f ( ) 5. ) > f:->piecewise(<,-^,,,>,^); f : piecewise ( <,,,, <, ) < > f(); < > plot(f(),-..,colorblue); Resposta: f ( ). 8

19 LIMITE DE UMA FUNÇÃO A ideia precisa do ite foi formalizada pelo matemático francês Cauchy ( ). NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE Dizemos que a função f() têm por ite o número L quando tende para o número p, e escrevemos: f () L p Nota: Os valores de podem se aproimar do valor de p pela direita ou pela esquerda, estudaremos estes casos precisamente em ites laterais. Eemplos: ) Seja a função f(), calcule, utilizando a ideia intuitiva de ite, ( ). Solução: Queremos determinar o valor da função "f()" quando o valor de "" se aproima de, seja pela direita(valores superiores a ) ou pela esquerda (valores inferiores a ) Esquerda Direita.. 7,5.,5,5.,5 6,7.,7,,., 5,,8.,8,6,0.,0 5,0,9.,9,8,00.,00 5,00,95.,95,9,000.,000 5,000,99.,99,98,0000.,0000 5, Y X 6 eio das ordenadas, Y eio das abscissas, X Assim, substituindo estes valores no gráfico observamos que quando se aproima de a função f() se aproima de 5. Como o Domínio de f() é todos os Reais temos ( ) 5 ) ( ) -, pois o domínio de f() é todos os Reais 9

20 ( )( ) ) ( ), pois D(f ) R {} 8 ( ) ), pois D(f ) R {, } 5 6 ( )( ) 5) 9 ( 9)( ) ( 9)( ) ( 9 9 ( )( ) 9 ( 9) 9 ) 9 6 6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7) ( 5) ( 5) ( 5) ) Utilizando a ideia intuitiva de ite, calcule ( ) Solução: Esquerda Direita 0,5 0,5,5,5,5,5 0,9 0,9,9,,, 0,99 0,99,99,0,0,0 0,999 0,999,999,00,00,00 0,9999 0,9999, Y X eio das ordenadas, Y eio das abscissa, X 0

21 PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LIMITES A seguir introduziremos propriedades que podem ser usadas para achar muitos ites sem utilizar a pesquisa do número δ que aparece na definição de ite. (P0) Se f ( ) L a e f ( ) L a, então L L. (Teorema da Unicidade do ite) (P) Sejam a e c números reais quaisquer, então própria constante. (P) Se a, b, m são números reais, então: Eemplo: ( 5). 5 7 c c isto é o ite de uma constante é a a ( m b) ma b a (P) Se f ( ) L e g( ) M, a a então: a) [ f ( ) g( )] L M a b) [ f ( ) g( )] L M a f ( ) L c) desde que M 0 a g( ) M d) [ f ( ) ] a n L n ( p/ inteiro positivo n) e) n n f ( ) L, desde que L > 0 p/ n par a f) ln[ f ( ) ] ln. L, desde que L > 0 a g) cos [ f() ] a h) sen [ f() ] a f ) i) e e a ( L cos ( L) sen ( L) Eemplo: Determine o seguinte ite: ( ) P P. Vemos neste eemplo que o valor de f ( ) f ( a) a Isto na verdade ocorre para todos os polinômios. Enunciando então, formalmente, temos:

22 Teorema I: Se f é uma função polinomial, então: f ( ) f ( a). Eemplos: a ) Calcule ( 5 ) 5 5, se ) Calcule f ( ) sendo., se > Solução: Se f ( ) 6. Por outro lado, > f ( ). Portanto, não eiste o ite. < Além deste, temos ainda outros teoremas que nos fornecem resultados úteis para o cálculo de ites. Teorema II: Se f é uma função racional, e a pertence ao domínio, então: Eemplos: 5 ) Calcule 6 7 Solução: q( ) q( a) a ) Calcular Solução: Em resumo: Sejam f e g funções tais que: f () L e f () L então: p p ) [ f ( ) g( )] L L f ( ) g( ), ou seja, o ite da soma é igual a soma dos p ites. p ) k f ( ) k. L k f ( ) p p p ) [f () g()] L L f () g() p p p ) [ f ( ) g( )] L L f ( ) g( ) p p p f () L f () p 5), desde que L 0 p g() L g() p n n 6) [f ()] L f (), n N p p n

23 7) n f () n L n f (), desde que L > 0 (no caso em que n é par) p p 8) k k, k R, ou seja, o ite de uma constante é a própria constante. p 9) p p 0) f () p g() L L p g() p f () Se f () L, f () L,..., f () L p p p n n, então ) [f() f ()... f n ()] L L... L n p ) [f().f ()...f n ()] L.L...L n p, n N,n Eemplos: ) ( 8)... )... ) (a b c)... ap bp c, ( a,b, c R) ) p... 5 LIMITES INDETERMINADOS Em alguns casos não é possível calcular o valor do ite por simples substituição. Ao adotar tal 0 procedimento nos deparamos com resultados do tipo ou. 0 Eemplo: ) Calcular o ite abaio: Solução: Seja f() - e g() -. Então: f() e g() - 0 Assim, ao substituirmos direto teríamos uma indeterminação do tipo 0 0, logo tal procedimento não pode ser utilizado. 0 No caso de indeterminações do tipo ou há vários métodos que podem ser aplicados de acordo 0 com as funções envolvidas. Futuramente, utilizando-se de derivadas apresentaremos um método prático para resolver tais casos, método este conhecido como regra de L Hospital.

24 LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS A variável tende para um valor finito ) ( 5 ) ) ( ) ) ( ) ) 5 5 5) 7 0 6) 7) 5 0 8) 5 9) ) 5 ) ) ) ) 5) 0 6) 0 7) 8) 0 9) 0) 5 Respostas:

25 . Introdução: LIMITES NO INFINITO Consideremos a função f definida por f ( ) e analisemos, mediante uma tabela, o seu comportamento quando os valores de crescem iitadamente através de valores positivos. f () , 0,0 0,00 0,000 0,0000 Pela tabela constatamos que quando cresce iitadamente através de valores positivos, os valores da função se aproimam cada vez mais de 0 (zero). Simbolicamente, representamos tal fato por: f ( ) 0, que se lê: ite de f de, quando tende a mais infinito, é igual a zero. Observação: Quando uma variável independente está crescendo iitadamente através de valores positivos, escrevemos:. Devemos enfatizar que não é um número real. O símbolo indica, portanto, o comportamento da variável independente. Consideremos agora, para a mesma função, uma tabela onde os valores da variável decrescem iitadamente através de valores negativos f () , -0,0-0,00-0,000-0,0000 Observando a tabela anterior verificamos que à medida em que os valores de decrescem iitadamente através de valores negativos, os valores da função se aproimam cada vez mais de 0 (zero). Usando o simbolismo para indicar os valores de que estão decrescendo iitadamente, representamos simbolicamente o fato acima por um f ( ) 0, que se lê: ite de f de, quando tende a menos infinito, é igual a zero. Pelo gráfico da função f ( ) cujo esboço é indicado pela figura ao lado, notamos que quando cresce iitadamente através de valores positivos ( ), os valores da função f () aproimam-se cada vez mais de 0 (zero). E, portanto, simbolicamente podemos escrever f ( ) 0 ou 0. Analogamente, observando o comportamento da função através do seu gráfico (figura indicada acima), constatamos que quando decresce iitadamente através de valores negativos ( ), os valores da função f () aproimam-se cada vez mais de 0 (zero). Simbolicamente, escrevemos: f ( ) 0 ou 0. 5

26 Eemplos: ) Observe o gráfico da função f ( ) apresentado na Figura a seguir: Observando o gráfico e as tabelas, vemos que esta função tende para o valor, quando tende para o infinito. Isto é, y quando ±. Denotamos por ± ) A função a seguir. f ( ) tende para quando ± como podemos observar na Figura Assim, podemos escrever: ± 6

27 . Propriedades dos Limites no Infinito.. Limite de uma função Polinomial Consideremos a função polinomial P ( ) 6 7, podemos escrevê-la na seguinte forma: Portanto, Ora, é claro que: Temos, então: ± Assim, temos dois casos: 6 7 P ( ) P( ) ( ) ± ± ± P( ) ± 7 ( ± ) P( ) ( ) e P( ) ( ) n n Generalizando, sendo P( ) an an... a a a0, podemos sempre escrever: P( ) a ± ± n n.. Limite de uma função racional P( ) Dada a função racional f ( ), onde P e Q são funções polinomiais em com: Q( ) P( ) a a n n m m n an... a a 0 e Q( ) bm bm... b b b0 Sendo a 0 e b 0. Tem-se então que: n m f ( ) ± P( ) a n n P( ) n ± ± an an ± m m Q( ) Q( ) b m ± bm b ± m ± ± nm Dependendo do valor de n e m, três casos podem ser considerados: o ) n > m f ( ) ± ± o ) n < m f ( ) 0 o ) ± a n m f ( ) ± b n m 7

28 Eemplos: ) ) ) ± ± ± 7 5 ) Calcule Solução: Para calcularmos este ite, escrevemos ( > 0, numerador e o denominador, sob o sinal do radical, por. pois ) e então dividimos o 5) Calcule Solução: Multiplicando, numerador e denominador, por, temos: ( ) ( ) ( ) Procedendo de modo análogo ao eemplo anterior, vem: ( ) 8

29 LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS ) Calcule o ite das funções seguintes, quando e quando. a) f ( ) 8 6 Resposta: e b) f ( ) 7 5 Resposta: e - c) f ( ) Resposta: - e 7 5 d) f ( ) Resposta: - e 6 e) f ( ) 9 5 Resposta: - e - f) f ( ) 8 7 Resposta: e g) f ( ) (8 ) (5 ) Resposta: e h) f ( ) 9 Resposta: e ) Calcule os ites indicados: a) b) 5 c) 6 d) Resposta: / Resposta: 0 Resposta: 0 Resposta: e) Resposta: 0 f) Resposta: g) h) i) j) k) Resposta: 0 Resposta: Resposta: e Resposta: 0 Resposta: l) Resposta: m) e Resposta: ln Resposta: n) ( ) o) ln( ) p) Resposta: Resposta: 0 9

30 LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS A variável tende para um valor infinito ) (5 ) 5 ) ( ) ) ( ) ) ( 5 8) 5) ( 5 ) 6) ( ) 7) 8) 9) 5 0) ) ) 7 ) ( ) ( ) ) ( )( ) 5) 6) 5 7) 5 8) Resposta: Resposta: Resposta: Resposta: Resposta: Resposta: Resposta: Resposta: Resposta: 0 Resposta: / Resposta: 0 Resposta: Resposta:/ Resposta: 9/8 Resposta: Resposta:- Resposta: Resposta: 0

31 LIMITES LATERAIS Vimos que para determinar o ite de uma função quando tende para a, devemos verificar o comportamento da função para valores de muito próimos de a, maiores ou menores que a. O valor do qual f se aproima quando o valor de se aproima de a por valores menores do que a é denominado ite à esquerda de f. Analogamente, o valor do qual f se aproima quando tende para a através de valores maiores que a é o ite à direita de f. Estes ites, são chamados ites laterais. Limite à esquerda: f ( ), teremos < a logo a h, onde h > 0 é muito pequeno. a Limite à direita: f (), teremos > a logo a h, onde h > 0 é muito pequeno. a Quando temos o gráfico de uma função ou temos esta função definida por várias sentenças fica simples calcular os ites laterais. Eemplos: ) Seja a função definida pelo gráfico da Figura a seguir, calcule: a) f ( ) b) f ( ) Solução: Observando o gráfico, podemos concluir que: f ( ) 5 e f ( ) Logo não eiste o ite desta função quando tende a. ) Seja a função: ( a) ( b) (c) f ( ) f ( ) f ( ) Solução: Quando Quando, para < f ( ), para 9 -, para > significa > logo Calcule: f ( ) significa < logo ( ) Como os ites laterais são iguais, concluímos que f ( ) 5. 9 assim f assim 5

32 Quando a função não está definida por várias sentenças, ou não temos o gráfico da função, teremos que usar um artifício que chamaremos de incremento (h) para encontrar os ites laterais. Isto é: Simplificando: Para calcular os ites laterais, basta fazer uma substituição: Quando f ( ) a Quando f ( ) a fazemos a h fazemos a h Onde h é positivo e muito pequeno. ) Calcule por mudança de variáveis os ites laterais à esquerda e à direita respectivamente, das funções abaio, nos pontos indicados: a) y em b) y c) y em em LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS ) Usando as propriedades e os teoremas sobre ites, calcule os ites abaio: a) 7 b) 6 c) e) 6 7 (t 5t ) g) t (6t 5) i) 9 j) f() sendo ) f ( ), k sendo f() d) 5 h) 6s f) s s 9 se se - ) Calcule os seguintes ites: ( )( ) 5 < - se se a) c) 7 > ( ) b)( 5 ) 0 d) 8 ) Calcule os ites: a) 5-6 c) b) d) ) Considere a função definida por: f ( ) ( a) f ( ) ( b) f ( ) (c) f ( ) ( ) 9 - se se se <, determine: >

33 5) Considerando as funções definidas nos item a, b e c, encontre os ites abaio, se eistirem: ( i) f ( ) ( ii) f ( ) ( iii) f ( ) a f ( ) ) se se b) f ( ) < - se se > c ) f ( ) - se se se < > 6) Para a função representada graficamente na Figura a seguir, determine, se eistir, cada item abaio. Caso não eista, justifique. a f() b) f() c) f() d) f() e) f() ) - 0 7) Para a função representada graficamente na Figura a seguir, determine, se eistir, cada item abaio. Caso não eista, justifique. a f() b) f() c) f() d) f() e) f() f)f(-) g) f() h) f() ) - - 8) Para a função representada graficamente na Figura a seguir, determine, se eistir, cada item abaio. Caso não eista, justifique. a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) d) f ( ) e) f ( ) f) f ( ) g) f() h)f() i) f(-) j) f ( )

34 9) Para a função representada graficamente na Figura a seguir, determine, se eistir, cada item abaio. Caso não eista, justifique. a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) d) f ( ) e) f ( ) 0 f) f ( ) g)f() h)f(0) i) f(-5) 0 0 j) f ( ) 5 0) Para a função representada graficamente na Figura a seguir, determine, se eistir, cada item abaio. Caso não eista, justifique. a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) d) f ( ) e) f ( ) 9 f) f ( ) g)f(-9) h)f(0) i) f(6) 9 9 j) f ( ) ) Calcule os seguintes ites laterais: a) b) 6 d) e) 6 6 c) f ) 9 ) Calcule o f ( ) sendo: f ( ) 5 se se

35 RESPOSTAS: ) a)- b) ( ) 5 c) d) 5 e) 0 f) g) 6 h) 5 i) 6 j) k ) não eiste ) a) b) c) d) ) a) 7/ b) /6 c) d) ) a) f ( ) ; f ( ) logo f ( ) 5) a) f ( ) 0; f ( ) logo não eiste f ( ) b) f ( ) ; f ( ) logo f ( ) c) f ( ) ; f ( ) logo f ( ) 6) a) b) c) d) não eiste e) 7) a) b) - c) não eiste d) e) f) - g) - g) - 8) a) b) c) d) e) f) não eiste g) h) i) não eiste j) - 9) a) b) - c) não eiste d) - e) - f) não eiste g) não eiste h) não eiste i) não eiste j) não eiste 0) a) b) - c) não eiste d) - e) - f) não eiste g) não eiste h),5 i) 0 j) não eiste ) a ) b) c) - d) e) f) ) f ( ) 5

36 Em Símbolos: Limite pela direita: f () Eemplo : se < Seja f () se > REVISÃO DE LIMITES LATERAIS p e Limite pela esquerda f () p f () e f () Definição: Dizemos que eiste o ite de uma função quando os ites laterais forem iguais, isto é: f () f () p p Eemplo Seja f () - se se > 0 < 0 - se se > 0 < não eiste ite, pois f() f () 0 0 Eemplo Seja f (), calcule a) b) 6

37 LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS LIMITES LATERAIS ). 7 ). 7 ) 7) 8) 0 0 9) 5 ) 0) 5 5) 0 6) 0 ) 6 ) 6 Determine, caso eista. -0 se > ) f ( ) sendo f() se 0 se < ) f ( ) sendo - f() - se se < 5) f ( ) sendo - 5 f() se < se < se 6) Determine o valor de a para que eista f ( ) sendo 5 f() a se < se Respostas não eiste 0 não eiste a - 7

38 FUNÇÕES CONTÍNUAS OU CONTINUIDADE DE FUNÇÕES (Teto adaptado de: Devanil Antonio Francisco & Elaine Cristina Ferruzzi). Introdução: Sejam f e g funções de gráficos: Observe que f e g se comportam de maneira diferente no ponto p. Enquanto a função g apresenta um salto a outra não. Ao calcular o ite da função f, observamos que o valor deste ite, quando tende para p é igual ao valor da função quando é igual a p, isto é: f ( ) p f ( p) Por eemplo, se f ( ) e p, temos que: f ( ) ( p ) 0 f () f ( p) As funções que se comportam desta forma em um ponto qualquer de seu domínio são ditas contínuas nesse ponto.. Definição: Dizemos que uma função f é contínua em um ponto p se forem verificados as três condições abaio: (i) f ( p) (ii) f ( ), isto é : f ( ) f ( ) p (iii) f ( ) f(p) p p p Observação: quando pelo menos uma das três condições não for verificada dizemos que f é descontínua em p. Eemplos: ) Verifique se a função f ( ) 5 é contínua em. Solução: Analisaremos uma a uma as três condições: f ( ) 5 f ( ) ( 5 ) 5 p f ( ) f () f ( ) Portanto, como f () a função é contínua em. 8

39 ) Verifique se a função f ( ) é contínua em. Solução: Primeiramente, lembramos que:, se <, se A seguir, analisaremos uma a uma as três condições: 0 f ( ) 0. Para verificar a eistência do ite, devemos calcular os ites laterais: 0 f ( ) 0 e 0 f ( ) 0 Como f ( ) f ( ) f ( ) e f ( ) 0. f ( ) f (). Portanto, como f ( ) f () a função é contínua em., se < ) Verifique se a função f ( ), se é contínua em., se > Solução: Analisaremos uma a uma as três condições: f ( ). Para verificar a eistência do ite, devemos calcular os ites laterais: f ( ) ( ) 9 8 e f ( ) ( ) 0 Como f ( ) f ( ) não eiste f ( ) e, portanto a função dada não é contínua em., se ) Verifique se a função f ( ) é contínua em., se > Solução: Analisaremos uma a uma as três condições: f ( ). Para verificar a eistência do ite, devemos calcular os ites laterais: f ( ) () e f ( ) ( ) 6 Como f ( ) f ( ) não eiste f ( ) e, portanto a função dada é descontínua em. Mostramos a seguir um esboço do gráfico de f e podemos constatar que o mesmo tem um salto em. 9

40 5) A função f ( ) não é contínua no ponto, pois a função dada não é definida no ponto especificado. Graficamente, temos: 6) A função g ( )., se g ( ) também não é contínua no ponto, pois:, se Limites laterais: ( ) ( ) ( ) g( ) ( ) ( ) e ( ) ( ) ( ) g( ) ( ) ( ) Como g( ) g( ) g( ) e g( ). g( ) g() Portanto, como não foi satisfeita a terceira condição, a função dada não é contínua no ponto especificado, como confirma o gráfico a seguir: 0

41

42 , se < 0 7) Verificar os possíveis pontos de descontinuidade da função f ( ), se 0. 9, se > Solução: Da definição de f, os prováveis pontos de descontinuidade são 0 e. Pelo esboço do gráfico de f, verificamos as condições de continuidade para o ponto 0, assim: f (0) Limites laterais: f ( ) 0 0 ( ) 0 e f ( ) ( ) 0 0 Como f ( ) f ( ) f ( ) e f ( ) f ( ) f (0) 0 0 Logo, como f ( ) f (0) 0 a função é contínua em 0. Da mesma forma, pelo esboço do gráfico de f, verificamos as condições de continuidade para o ponto, assim: f () 6 9. Limites laterais: e f ( ) f ( ) ( ) 6 9 ( 9) Como f ( ) f ( ) f ( ) e f ( ). f ( ) f () Logo, como f ( ) f () a função é contínua em. Portanto, uma vez que nos pontos de provável descontinuidade, verificamos que a função f é continua, concluímos que f é contínua para todo real, e vemos que seu gráfico não tem qualquer tipo de salto ou interrupção.

43 LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS ) Verifique se as funções são contínuas nos pontos especificados: a) f () em 5 b) f () em, se < - c) f () e em 0 d) f ( ), se em -, se > - 7-6, se < e) f ( ) em f) f ( ) em, se 0 se > g) f ( ) em. h) f ( ) se em 0 - se < ) Determine o valor de a para que as seguintes funções sejam contínuas no ponto indicado: 5 6, se a) f ( ) em a, se, se > b) f ( ) em a, se, se > 0 c) f ( ) em 0 a, se 0 Respostas: a b c d e f g h ) sim não não não sim sim não Sim ) a b c a - 7 a a

44 ) Verifique se as funções abaio são contínuas nos pontos indicados, e justifique sua resposta., se <, se a) f ( ), se b) f ( ), se >, se >, se < 0, se c) f ( ) 5, se 0 d) f(), se < < 5, se > 0, se 5 < 6 ) A função, se f ( ), se < < possui algum ponto de descontinuidade? Quais? Justifique., se 5) Verifique se as seguintes funções possuem algum ponto de descontinuidade e justifique sua resposta. a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ), se, se 5 -, se < d) f ( ) e) f ( ) f) f ( ), se, se 5 -, se 6) Indique onde cada uma das funções abaio é descontínua e justifique sua resposta., se 0, se a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ), se 0, se 7) Determine o valor de m para que cada função abaio seja contínua no ponto dado. 9, se, se 0 a) f ( ) em b) f ( ) em 0 m, se m, se 0 8) Verifique se as funções abaio são contínuas, justificando sua resposta., se, se a) f ( ) b) f ( ), se >, se > 9) Eplique porque f() não é contínua em. 5, se a) f ( ) em b) f ( ) em 5, se, se < 9 c) f ( ), se em d) f ( ) em, se >

45 0) A figura a seguir mostra o gráfico de uma função f. Em quais valores de a função é descontínua? Por quê? ) De acordo com a figura a seguir, verifique em quais pontos a função é descontínua e justifique sua resposta. ) Determine os intervalos de continuidade da função representada na figura a seguir: CONTINUIDADE EM APLICAÇÕES (Adaptado de Anton, Cálculo, vol. I, 8 ed., 007) Nas aplicações, as descontinuidades sinalizam, muitas vezes, a ocorrência de importantes fenômenos físicos. Por eemplo, a Figura é um gráfico da voltagem versus o tempo para um cabo subterrâneo que é acidentalmente cortado por uma equipe de trabalho no instante t t 0 (A voltagem caiu para zero quando a linha foi cortada.) A Figura mostra o gráfico de unidades em estoque versus tempo para uma companhia que reabastece o estoque com y unidades quando o estoque cai para y 0 unidades. As descontinuidades ocorrem nos momentos em que acontece o reabastecimento. Figura Figura 5

46 LIMITES DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS (Teto adaptado de: Devanil Antonio Francisco & Elaine Cristina Ferruzzi) sen Teorema: Limite Trigonométrico Fundamental: 0 Uma demonstração: No círculo trigonométrico (o raio é a unidade), seja  M um arco de radianos, π com 0 < <. Na figura a seguir: AM ˆ, sen PM e tg AT. Lembre-se: A Base Altura A Setor ( Raio) Arco Observe que o triângulo oam está contido no setor circular oam, o qual por sua vez está contido no triângulo oat. Assim, podemos afirmar que: área oam < área setor oam < área oat isto é: oa PM < ( oa) < oa AT Mas, oa Logo: PM < < AT ou, sen < < tg Dividindo termo a termo por sen, temos: sen sen < sen < tg < < sen sen cos Tomando os inversos e invertendo a desigualdade, ficamos com: sen sen > > cos cos < < Sabemos que, quando 0, cos. sen Então, para tendendo a zero, permanece entre E, portanto: sen 0 cos e (c.q.d) 6

47 A seguir, construímos um quadro para confirmar o que acabamos de demonstrar: (em radianos) sen f ( ) ±,0 0,56 ±,0 0,8 ± 0,5 0,9588 ± 0, 0,99 ± 0, 0,998 ± 0,00 0, f() sen Assim, quando 0 (em radianos), temos que: f(), ou seja,. 0 Eemplos: ) Calcule. 0 sen Solução: 0 sen 0 sen sen 0 tg ) Calcule. 0 Solução: sen tg cos sen sen sen cos 0 cos 0 sen sen u ). 0 u 0 u Nota: u, 0 u 0 ) senk sen u *, k R. 0 k u 0 u Nota: u k, 0 u 0 0 cos sen sen sen 5). 0 0 cos 6) Calcule. 0 Solução: cos ( cos ) ( cos ) ( cos ) sen 0 ( cos ) 0 ( cos ) 0 ( cos 0 sen sen 0 cos 0 sen sen 7) Calcule. 0 5 sen sen Solução: sen 0 cos sen 5 sen cos0 5 ) 7

48 LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS - CALCULE sen ) 0 sen ) 0 tg ) 0 sen ) 0 sen tg 5) 0 tg5 cos 6) 0 cos 7) 0.sen sec 8) 0 tg sen 9) 0 sen cos 0) π tg tg sen ) 0 sen cos ) π cos sen sen ) 0 sen sen ) 0 sen cos5 cos 5) 0 sen sen sen 6) 0 sen sen( a) sen a 7) 0 cos( a) cosa 8) 0 sen 9) π π cos 0) 0 Respostas: cos a sen a 0 ) Calcule os seguintes ites: sen a) b) 0 tg 0 c) sen d) 0 sen 5 h 0 sen h h - cos e) 0 f) - cos 0 g) sen 0 cos Resposta: a) b) c) /5 d) / e) f) g) 8

49 O Número e. LIMITES DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS (Teto adaptado de: Devanil Antonio Francisco & Elaine Cristina Ferruzzi) No estudo dos logaritmos (ensino médio ou antigo segundo grau) já nos referimos ao número e. Esse número é a base do sistema de logaritmos naturais ou neperianos. O número e pode ser obtido por meio de uma sucessão notável (sucessão de Euler), cujo termo geral é: a n n n Tomando alguns valores naturais, para eemplificar, temos: n a n a, 5 n a, n 5 a 5, 88 5 n 0 a 0, n 00 a 00, n.000 a.000, n a 0.000, n a n a n e, ou seja: , , e assim por diante (and so on...). Notamos que aumentando o valor de n, infinitamente, a n tende ao valor aproimado de,788..., ou ainda: Limite Eponencial Fundamental Teorema: e, e, Lembre-se: O número e é irracional. 9

50 Dois ites podem ser obtidos como conseqüência do ite eponencial fundamental. Primeira Conseqüência: ( ) e 0 De fato, fazendo u u, e observando que quando 0 u, ficamos com: 0 u ( ) e u u que é o próprio ite eponencial fundamental. e Segunda Conseqüência: 0 Fazendo e u e u ln( u ), e é evidente que quando 0, u 0. Daí, e 0 0 u u ln(u ) u 0 u u 0 ln( u ) ln( u ) u Eemplos: u 0 ln( u) u ln u 0 ( u) u lne * ) Calcule ( k), k R. 0 Solução: Podemos escrever: k k k k ( k) ( k) ( k) Fazendo k u, resulta que se 0 u 0 portanto, ficamos com: 0 ln ) Calcule. Solução: Façamos u u. Quando u 0, logo: u k ( k) ( u) e u 0 ln ln( u ) ln( u ) ln( ) u u u u u u k u ln u 0 ( u ) u ln e. 50

51 LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS ) Mostre que: a) ( 0 ) e 7 d) e 0 7 b) e) 0 ( ) e ( ) 0 e e c) e 0 π f) e 0 π e ) Calcule os seguintes ites: a) n n n b) n n n c) 5 sen d) e) ( sen ) π Resposta: a) e b) e c) e - d) e 5 e) e ) Calcule os ites abaio: a) ln ( ) ( Fazer u) b) c) 0 d) e) sen5 0 tg f) g) ln ( ) 0 h) i) ( sen ) cossec ( Fazer sen u) 0 j) k) tg sen 0 l) m) (dividir por Num. e Den.) n) ( ) ln Fazer u e sen 0 sen cos π π ln cos 0 5 ( ) Resposta: a) b) c) ln d) e) 5/ f) g) h) i) e j) / k) / l) 5 e m) ln 0 / ln5 n) e 5

52 . INTRODUÇÃO ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS (Teto adaptado de: Elaine Cristina Ferruzzi & Devanil Antonio Francisco) Em aplicações práticas, encontramos com muita freqüência gráficos que se aproimam de uma reta a medida que cresce ( ) ou decresce ( ). Veja as Figuras a seguir: Essas retas são chamadas assíntotas. Traçaremos com facilidade um esboço do gráfico de uma função se conhecermos as assíntotas horizontais e verticais do gráfico, caso elas eistam.. Assíntota Vertical Dizemos que a reta a é uma assíntota vertical do gráfico de f, se pelo menos uma das afirmações seguintes for verdadeira: ( i) f ( ) ( ii) f ( ) ( iii) f ( ) ( iv) f ( ) a. Assíntota Horizontal a a a Dizemos que a reta y b é uma assíntota horizontal do gráfico de f, se pelo menos uma das afirmações seguintes for verdadeira: ( i) f ( ) b ( ii) f ( ) b Eemplos: 5 Seja a função f ( ). Encontre a equação das assíntotas horizontais e verticais, se elas eistirem. Solução: Primeiramente devemos observar o domínio da função. 5 Verificamos, facilmente que D( f ) R {}. Sendo assim, vamos calcular:. ( ) Para calcular o ite da função quando tende a devemos calcular os ites laterais, assim: Para calcular ( 5, fazemos h, com h 0, assim temos: ) ( ) h 0 ( h ) h 0 ( h) h 0 h 5

53 Por outro lado, para calcular ( 5, fazemos h, com h 0, assim temos: ) ( ) h 0 ( h ) h 0 h h 0 h 5 Desta forma, temos: f ( ) e f ( ) Logo, é uma Assíntota Vertical da função dada, pois são válidas as afirmações (i) e (iv). Agora, vamos determinar a assíntota horizontal, se esta eistir. Para determinar a assíntota horizontal, basta fazer: Logo, y 0 é a assíntota horizontal. 5 5 f ( ) 0 O gráfico da função em estudo está apresentado na figura a seguir: Considere a função f ( ). Encontre a equação das assíntotas horizontais e/ou verticais, ( ) se elas eistirem. Solução: Primeiramente devemos observar o domínio da função. Verificamos facilmente que D ( f ) R {}. Sendo assim, vamos calcular ) (. Para calcular o ite da função quando tende a (dois) devemos calcular os ites laterais, assim: Para calcular ), fazemos h, com h 0, vamos a: ( ( ) 0 ( ) 0 ( ) h h h h h h h h h 5

54 Agora para calcular ) (, fazemos h, com h 0, vamos a: ( ) 0 ( ) h h h h h h h Assim, temos: f ( ) e f ( ) Logo é uma Assíntota Vertical da função dada. Agora vamos encontrar a assíntota horizontal, se esta eistir: Para encontrar a assíntota horizontal, basta calcular ± ( ), ou seja: 0 ± ( ) ± ± Logo, y é a assíntota horizontal. O gráfico da função em estudo está apresentado na figura a seguir: LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS ) Escreva a equação das assíntotas das funções abaio e faça um esboço do gráfico da função dada. 5 a) y b) y c) y d) y e) y - - ( -) - ) Encontre as assíntotas horizontais e verticais das funções abaio e construa um esboço de cada gráfico. 5 a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) d) f ( ) e) f ( ) f) f ( ) g) f ( ) h) f ( ). ( ) ( )( ) 5

55 ) Sabe-se que sob temperatura constante, o volume de certa massa de um gás perfeito é função da pressão a que o mesmo está submetido. E a lei dessa função é dada pelo gráfico da figura a seguir; K Representada por V, onde K é uma constante que depende da massa e da temperatura do gás. P K a) Com respeito à função V, P > 0 (não tem sentido físico considerar a pressão P nula ou P negativa), o que se pode dizer de V quando P diminuir, tendendo para zero? Resposta: Aumenta, tendendo a mais infinito. b) Para a mesma função, o que acontece com o volume V quando a pressão P cresce, tornando-se muito grande, isto é, quando P tende para infinito? Resposta: Diminui, tendendo a zero. ) Considere uma lente delgada convergente de distância focal f (nas lentes convergentes, f > 0 ). Seja e o eio principal dessa lente. Seja P um objeto situado em e e P a imagem correspondente. As abscissas p e p de P e P respectivamente, tomadas em relação ao centro ótico o da lente, se f p relacionam através da equação de Gauss:, dessa equação tiramos que: p', p p' f p f onde f é uma constante que depende da lente. Construa o gráfico de p em função de p. 5) Seja i a corrente variando em função do tempo t, num circuito elétrico onde temos a descarga de um capacitor C e uma resistência R. C R Sabe-se que: i I e. 0 t a) Determine a corrente inicial para t 0. b) Estude a variação da corrente quando t cresce indefinidamente. c) Faça um esboço da corrente em função do tempo. 55

56 Solução: Solução: Usando o software de manipulação algébrica Maple, temos: t C R > restart: > i:t->i0*ep(-t/(c*r)); i : t I0 e > ii(0); i I0 > C:00;R:/0; # SEM VALOR NUMÉRICO, NÃO CALCULA C : 00 R : 0 > Limit(I0*ep(-t/(C*R)),tinfinity)it(I0*ep(-t/(C*R)),tinfinity); I0 e ( / 0 t ) 0 t, se > 0 6) Faça o esboço do gráfico da função f definida por f ( ). A seguir determine:, se 0 a) O domínio da função. Resposta: Dom(f) R b) A imagem da função. Resposta: Im(f) [0, [ {y R / y 0} c) A função é crescente ou decrescente? Resposta: A função é decrescente d) A função dada possui ponto de mínimo? Qual é esse ponto? Apresente as suas coordenadas? Resposta: Sim, a função possui (um) ponto de mínimo global em (0, 0) Solução: Usando o software de manipulação algébrica Maple, temos: > restart: > f:->piecewise(>0,/, <0, abs()); f : piecewise 0,, < 0, > plot(f,-0..0,-0..0,colorblue); 56

57 LIMITES DE FUNÇÕES Adaptado de: MUÑOZ RIVERA, Jaime E. Cálculo Diferencial e Integral I. Petrópolis: Universidade Federal do Rio de Janeiro. Laboratório Nacional de Computação Científica, 00. p.06.. Introdução O conceito de ite de uma função é um conceito utilizado em todos os tópicos do cálculo diferencial e integral. Utilizando ites de funções definimos derivadas e integrais e podemos encontrar valores de epressões indeterminadas. Neste tópico estudaremos as principais propriedades de ites de funções definidas sobre os números reais. Como ponto de partida analisemos a função: f ( ) Rapidamente percebemos que f está definida em toda a reta, eceto no ponto. Podemos epressar esta função da seguinte forma: f ( ) se Por outro lado, geometricamente, temos: No ponto ela não está definida. Mas, para cada ponto bem próimo dele todos os valores estão definidos. Quando se aproima a sem chegar a tomar o valor de, a função f se aproima para sem ser igual a. Para entender melhor o conceito de ite façamos uma comparação com o conceito de aproimação. Isto é, a epressão: ite de uma função quando 0, quer dizer: o valor ao qual a função se aproima quando está próimo de zero. No eemplo anterior, a função não está definida no ponto mas isto não nos impede saber a que valor ela se aproima quando se aproima para dois. Quando estudamos o ite de uma função f, por eemplo no ponto, na verdade não interessa saber quanto será o valor de f(), nem mesmo se a função está definida nesse ponto. Interessa apenas saber a que valor aproima f() quando está próimo de. Em geral, diremos que L é o ite da função f quando se aproima de 0, se tomando valores de próimos de 0, os valores de f() estão próimos de L. Em símbolos podemos epressar: 0 f() L Usando o software de manipulação algébrica Maple, temos: > Limit((^-)/(-),)it((^-)/(-),); Nos seguintes eemplos, aplicaremos o conceito de ite para determinar o valor de epressões indeterminadas. 57

58 Eemplos: ) Calcular o ite da função f ( ), quando. Solução: A função f() não está definida no ponto. Como o numerador e o denominador se anulam, eiste um fator comum que se anula quando. Fazendo uma inspeção mais cuidadosa concluímos que f pode ser escrita como ( ) ( ) Einando o fator que se anula em, podemos analisar o valor da função quando. Agora vemos que De onde concluímos que o ite de f, quando é /. Usando o software de manipulação algébrica Maple, temos: > Limit((sqrt()-)/(-),)it((sqrt()-)/(-),); ) Calcular o seguinte ite. Solução: Assim como no eemplo anterior, temos uma fração onde o numerador e denominador são iguais a zero, o que cria uma indeterminação. Note que Substituindo estes valores na fração obtemos ( ) ( ) e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),. Desta forma, tomando o ite quando, isto é, tomando valores de arbitrariamente próimos de sem ser iguais a, obtemos Portanto, podemos afirmar que quando está arbitrariamente próimo de, então f() ( )/( ) está arbitrariamente próimo de /. Usando o software de manipulação algébrica Maple, temos: > Limit((^-)/(^-),)it((^-)/(^-),); 58

59 Seja f() definida em um intervalo aberto I, contendo a, eceto possivelmente no próprio a. Dizemos que o ite de f() quando aproima-se de a é L, e escrevemos: f ( ) L se para todo ε > 0, eiste um δ > 0, tal que f ( ) L < ε sempre que 0 < a < δ. Dando a definição acima de uma forma que não contenha o símbolo de valor absoluto: a (i) (ii) 0 < a < δ equivale a a δ < < a δ e a. f ( ) L < ε equivale a L ε < f ( ) < L ε. A figura a seguir representa graficamente as desigualdades (i) e (ii) em uma reta real. Reformulando a definição de ites, teremos: a f ( ) L significa que, para todo ε > 0, eiste um δ > 0 tal que se está no intervalo aberto ( a δ, a δ ) e a, então f() está no intervalo aberto ( L ε, L ε ). Veja a figura a seguir. 59

60 . A definição formal de Limite A definição formal de ite é dado a seguir. Definição: Diremos que L é o ite de uma função f, quando 0 se, para todo ε > 0 eiste δ > 0 tal que 0 < - 0 < δ f() - L < ε Observação: Tomamos 0 < - 0 < δ ( - 0 0) para fazer ênfase que na análise do ite o ponto 0 não interessa. Para entender a definição de Limite, façamos a seguinte interpretação: Por ε estamos denotando um número pequeno qualquer, portanto f() L < ε quer dizer que f() está próimo de L. Nestas condições, o ite de f quando o é igual a L se eiste um intervalo que contenha a o, que faça que a imagem de todo ponto deste intervalo continue estando próimo de L, isto é que faça que f() L < ε. Dai o fato que deve eistir um número δ > 0, pois o intervalo em questão será ] o δ, o δ[. Eemplos: ) Mostre que o ite da função f() é igual a L quando. Solução: Neste caso é simples conferir que f ( ). Provaremos que para todo ε > 0, é possível encontrar δ > 0, satisfazendo 0 < - < δ f() < ε Para mostrar que eiste δ > 0, satisfazendo a propriedade acima, consideramos primeiro a desigualdade f() < ε Por uma simples inspeção, concluímos que podemos tomar δ ε/, portanto ) Usando a definição de ite, prove que: 0 < - < ε/ f() < ε ( ) Para esta prova devemos mostrar que, ε > 0, δ > 0, tal que: ( ) < ε sempre que 0 < < δ O eame da desigualdade envolvendo ε proporciona uma chave para escolha de δ. As seguintes desigualdades são equivalentes: ( ) ε < ε ( < ε ( ) < ε < ε < ε A última desigualdade nos sugere a escolha do δ. Fazendo δ, vem que: Portanto, ( ) < ε sempre que 0 < < δ ( ). 60

61 ) Usando a definição de ite, prove que: Mostre que, dado ε > 0, δ > 0, tal que: 6 Da desigualdade envolvendo ε, temos. 6 < ε sempre que 0 < < δ 6 < ε. < ε Necessitamos agora substituir por um valor constante. Neste caso, vamos supor: 0 < δ, e então, de 0 < < δ, seguem as seguintes desigualdades equivalentes: Logo, < < < < < 5 7 < < 9 < 9 ε Escolhendo δ min,, temos que se < δ então: 9 Portanto, 6. 6 ε < δ 9 9 ε 9 ) Mostre que. Solução: Pela definição, temos que provar que para todo ε > 0, é possível encontrar δ > 0, satisfazendo 0 < - < δ f() < ε De acordo com a definição, dado ε > 0 devemos encontrar δ > 0 que verifique a desigualdade acima. Portanto nosso ponto de partida será a desigualdade Note que para próimo de, a epressão acima está próimo de zero. Para descrever isto em termos de desigualdades, necessitamos estimar o termo. Para isto suporemos que <, desta forma teremos que < - < < < < Desta forma, Finalmente, tomando δ ε/, encontramos < 0 < - < ε/ f() < ε Como é simples verificar. Note que a igualdade acima é válida se δ min {ε/, }. 6

62 LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS ) Prove o ite ( 7) 0. Utilize: ε 0,5 ) Prove o ite. Utilize: ε 0,75 ) Prove o ite 5 -. Utilize: ε 0,75 6

63 ANEXO - LIMITE E CONTINUIDADE USANDO O MAPLE Objetivo: Apresentar o conceito de ite de uma função dada, o conceito de ites laterais e as propriedades de ites. Estender esse conceito para continuidade e evidenciar eemplos quando as funções dadas são contínuas ou descontínuas. Limite Nesta seção apresentamos o conceito de ite de uma função. Este conceito é muito importante no ensino do Cálculo Diferencial e Integral (CDI). Evidenciamos este conceito através de alguns eemplos, esclarecendo-o através do gráfico da função. Definição: Seja uma função f definida em um intervalo aberto I que contém o ponto p, eceto possivelmente no próprio ponto p. O ite de f() quando se aproima de p é L. A afirmação: f ( ) L p significa que, para todo ε > 0 eiste um δ > 0 tal que f ( ) L < ε sempre que 0 < p < δ. Observe que se f() tem ite quando tende para p, então tal ite é único. A seguir, tem-se alguns eemplos de cálculo de ite utilizando os comandos Limit e it do software Maple. O comando Limit representa a epressão em forma da epressão do ite a ser calculado. O comando it calcula o valor do ite desejado. O comando Limitit representa a epressão e calcula o ite. Eemplos: 0 ) Calcular o seguinte ite:. Solução: Para resolver este ite damos o seguinte comandos na tela do Maple: > Limit((^-0)/(-),)it((^-0)/(-),); 0 Vamos visualizar o ite obtido anteriormente traçando o gráfico da função dada no intervalo contendo o ponto analisado. Observe que no gráfico dado anteriormente o valor no eio y correspondente a é. 0 Portanto, concluímos que:. 6

64 0 ) Calcular o seguinte ite:. ( ) Solução: Para resolver este ite e construir o gráfico damos os seguintes comandos na tela do Maple: > Limit((^-0)/(-)^,)it((^-0)/(-)^,); 0 undefined ( ) > plot((^-0)/(-)^,0..,colorblack); > # MELHORANDO A VISUALIZAÇÃO GRÁFICA, EM TORNO DO PONTO ANALISADO: > plot((^-0)/(-)^,0..,y ,colorblack); Vemos no gráfico anterior que quando tende pela direita ou pela esquerda a a função tende a dois lados diferentes, isto é, não eiste o valor do ite desejado. 0 Portanto, concluímos que: ( ) não eiste. Nos dois eemplos anteriores calculamos o valor do ite quando se aproima de um valor finito. A seguir apresentamos eemplos quando tende para infinito. 6

65 Eemplos: 7 ) Calcular o seguinte ite:. 5 Solução: > Limit((7*^*-)/(*^-5),infinity) it((7*^*-)/(*^-5),infinity); > plot((7*^*-)/(*^-5),..0,y0..0,colorblack); > plot((7*^*-)/(*^-5),..00,y..0,colorblack); > plot((7*^*-)/(*^-5), ,y..0,colorblack); Nos três gráficos anteriores vemos que à medida que o valor de aumenta o valor de f() tende a uma constante, o que se confirma calculando-se algebricamente o valor do seu ite que é 7/. Portanto, concluímos que:

66 ) Calcular o seguinte ite: 5. Solução: > Limit(sqrt(^5)/(*-),-infinity)it(sqrt(^5)/(*-),-infinity); 5 ( ) > plot(sqrt(^5)/(*-),-5..5,y-5..5,colorblack); - > plot(sqrt(^5)/(*-),-0..5,y-..,colorblack); > plot(sqrt(^5)/(*-), ,y-..,colorblack); Nos três gráficos anteriores vemos que à medida que o valor de aumenta o valor de f() tende a uma constante, o que se confirma calculando-se algebricamente o valor do seu ite que é -/. Também observamos pelo gráfico que o ite da função dada no ponto não eiste. Portanto, concluímos que: 5. 66

67 Os eemplos a seguir apresentam o ite de algumas funções especiais quando tende a 0 ou quando tende a menos ou mais infinito. Limites Especiais Eemplos: sen ) Calcule o seguinte ite:. A seguir construa o gráfico para visualizar o resultado. 0 Solução: > Limit(sin()/,0)it(sin()/,0); 0 sin( ) > plot(sin()/,-0..0,colorblack); ) Calcule o seguinte ite: sen A seguir construa o gráfico para visualizar o resultado. 0 Solução: > Limit(*sin(/),0)it(*sin(/),0); sin 0 0 > plot(*sin(/),-..,colorblack); ) Calcule o seguinte ite:. A seguir construa o gráfico para visualizar o resultado. 0 Solução: > Limit(/abs(),0)it(/abs(),0); 0 > plot(/abs(),-..,y0..0,colorblack); 67

68 ) Calcule o seguinte ite: ( ). A seguir construa o gráfico para visualizar o resultado. 0 Solução: > Limit(()^(/),0)it(()^(/),0); 0 ( ) e > plot(()^(/),-..,y0..,colorblack); 5) Calcule o seguinte ite:. A seguir construa o gráfico para visualizar o resultado. Solução: > Limit((/)^,infinity)it((/)^,infinity); > plot((/)^,0..0,y0..,colorblack); > plot((/)^,0..000,y0..,colorblack); e 6) Calcule o seguinte ite:. A seguir construa o gráfico para visualizar o resultado. Solução: > Limit((/)^,-infinity)it((/)^,-infinity); ( ) > plot((/)^,-00..0,y0..,colorblack); > plot((/)^, ,y0..,colorblack); e Os eemplos a seguir calculam os ites laterais. 68

69 Limites laterais 9 ) Calcule os seguintes ites laterais (à esquerda e à direita) e construa o gráfico:. Solução: > Limit((9-^)/(-),,left)it((9-^)/(-),,left); > Limit((9-^)/(-),,right)it((9-^)/(-),,right); 9 6 > plot((9-^)/(-),-..6,colorblack); Portanto, concluímos que: 6, pois: 6 e 6. ) Calcule os seguintes ites laterais (à esquerda e à direita) e construa o gráfico: Solução:. > Limit(abs(-)/(-),,left)it(abs(-)/(-),,left); - - > Limit(abs(-)/(-),,right)it(abs(-)/(-),,right); > plot(abs(-)/(-),-..,colorblack); Portanto, concluímos que: não eiste, pois: e. 69

70 ) Calcule os seguintes ites laterais (à esquerda e à direita) e construa o gráfico: Solução: > Limit(/,0,left)it(/,0,left); 0- > Limit(/,0,right)it(/,0,right); 0 > plot(/,-5..5,y-8..8,colorblack); 0. Portanto, concluímos que: não eiste, pois: e ) Calcule os seguintes ites laterais (à esquerda e à direita) e construa o gráfico: 0 Solução: > Limit(/^,0,left)it(/^,0,left); 0- > Limit(/^,0,right)it(/^,0,right); 0 > plot(/^,-5..5,y-8..8,colorblack);. Portanto, concluímos que:, pois: e. Nota: Na realidade este ite, também não eiste, pois não eiste um número L, eigido pela definição. 70

71 Propriedades de ites Use o Maple e suas funções: Limit e epand para verificar as seguintes propriedades de ites: Nota: É importante lembrar que para verificar as propriedades devemos carregar antes o pacote with(student), dando o seguinte comando: >with(student): P) [ f ( ) g( )] f ( ) g( ) p p p P) [ f ( ) g( )] f ( ) g( ) p p P) [ c f ( )] c f ( ) p p p P) [ f ( ) g( )] f ( ) g( ) P5) P6) p p p f ( ) f ( ) p p g( ), g ( ) 0 g( ) f ( ) p g ( ) p f ( ) p P7) f ( ) f ( ) p p g ( ) p Solução: Para facilitar, vamos combinar as duas funções: >Limitepand > with(student): P) > Limit(f()g(),p)epand(Limit(f()g(),p)); p f( ) g( ) ( f( )) ( g( ) ) p p P) > Limit(f()-g(),p)epand(Limit(f()-g(),p)); p f( ) g( ) ( f( )) ( g( ) ) p p P) > Limit(c*f(),p)epand(Limit(c*f(),p)); p c f( ) c ( f( ) ) p P) > Limit(f()*g(),p)epand(Limit(f()*g(),p)); p f( ) g( ) ( f( ) ) ( g( ) ) p p P5) > Limit(f()/g(),p)epand(Limit(f()/g(),p)); f( ) f( ) p g( ) g( ) p p P6) > Limit(f()^(g()),p)epand(Limit(f()^(g()),p)); f( ) g( ) ( f( ) ) p p ( g( ) ) p P7) > Limit(sqrt(f()),p)epand(Limit(sqrt(f()),p)); f( ) f( ) p p 7

72 Continuidade A seguir estudaremos o conceito de continuidade de uma função num certo ponto, utilizando os recursos do software Maple. Inicialmente definimos este conceito matematicamente. Definição: Uma função f é contínua em um valor p se satisfaz as seguintes condições: (i) f(p) é definido, ou seja: eiste f(p). (ii) f ( ) eiste, ou seja: f ( ) f ( ) p (iii) f ( ) f ( p) p p p Se uma ou mais destas três condições não forem verificadas em p dizemos que a função f é descontínua em p. Agora consideraremos alguns eemplos de funções contínuas e descontínuas. Em cada eemplo traçamos um esboço do gráfico, determinando os pontos onde eiste um salto no gráfico, e mostramos qual das três condições da definição dada anteriormente não é válida em cada descontinuidade. Nota: Analisaremos a continuidade das funções esboçando os seus respectivos gráficos. Escolhemos as variações de e y conforme a necessidade de cada função. Eemplo:, se ) Analisar a continuidade da função: f ( )., se > Solução: Neste caso, dividimos a função dada em duas partes designando a primeira f e a segunda f. Observe os comando a seguir: > f:()->if < then else undefined fi: > f:()->if > then - else undefined fi: > plot({f,f}, ,-..,colorblack); Pelo gráfico anterior concluímos que a função dada não é contínua em. 7

73 ) Analisar a continuidade da função:, se f ( )., se Solução: Neste caso, dividimos a função dada em três partes designando a primeira f, a segunda f e a terceira de f. Observe os comando a seguir: > restart: # COMANDO USADO PARA REINICIAR AS VARIÁVEIS > f:()->if < then (^-)/(-) else undefined fi: > f:()->if then else undefined fi: > f:()->if > then (^-)/(-) else undefined fi: > plot({f,f,f},-5..5,-5..5,colorblack); Observe que no ponto seu valor não aparece na tela, mas esse ponto fornece um valor vazio conforme f e f. Assim, concluímos que a função dada não é contínua em. 7

74 ) Analisar a continuidade da função: sen, se 0 f ( ). 0, se 0 Solução: Neste caso, dividimos a função dada em três partes designando a primeira f, a segunda f e a terceira de f. Observe os comandos a seguir: > restart: # COMANDO USADO PARA REINICIAR AS VARIÁVEIS > f:()->if <0 then sin()/ else undefined fi: > f:()->if 0 then 0 else undefined fi: > f:()->if >0 then sin()/ else undefined fi: > plot({f,f,f},-5..5,-..,colorblack); Observe que no ponto 0 seu valor 0 não aparece na tela, mas esse ponto fornece um valor vazio conforme f e f. Assim, concluímos que a função dada não é contínua em 0. 7

75 ) Analisar a continuidade da função: 5 6, se < ou > f ( )., se Solução: Neste caso dividimos a primeira parte da função dada em duas partes considerando f e f, enquanto a segunda parte fica como f. Observe os comandos a seguir: > restart: # COMANDO USADO PARA REINICIAR AS VARIÁVEIS > f:()->if <- then sqrt(^5*6) else undefined fi: > f:()->if >- and <- then - else undefined fi: > f:()->if >- then sqrt(^5*6) else undefined fi: > plot({f,f,f},-5..5,-5..5,colorblack); Pelo gráfico anterior concluímos que a função dada não é contínua nem em - e nem em -. Nesse caso temos dois pontos de descontinuidades. 75

76 LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS Sugestão: Use o software de manipulação algébrica Maple, para construir o gabarito! ) Calcule os ites finitos: 5 a) ( 8) - b) c) ) Calcule os ites laterais: a) b) - - ) Calcule os ites infinitos: a) ( 5 ) b) c) ) Calcule os ites trigonométricos: cos a) 0 b) tg 0 tg 5) Calcule os ites eponenciais: a) e 6) Calcule os ites logarítmicos: a) log - b) b) ( ) 0 log 7) Encontre o ite, das seguintes funções: 5 a) b) c) 0 d) 5 7 8) A variável tende para um valor finito: a) b) 5 6 d) e) c) 6 8 9) A variável tende para um valor infinito: 5 5 a) 8 b) d) 9 e) ( 5 ) c) 5 76

77 0) Calcule os seguintes ites: 6 a) b) c) 8 d) 9 9 e) 9 8 f) 0 ) Calcule os seguintes ites: 5 a) 5 5 b) 9 c) 8 d) ) calcule os seguintes ites: 6 a) b) c) 9 d) e) ) Calcule os seguintes ites: sen 5 a) 0 0 sen b) 0 sen tg c) 0 tg5 cos d) 0 sen g) 6 7 h) 7 8 i) 0 j) ( ) 9 7 k) 5 6 l) 6 5 e) 0 5 f) 5 6 g) 6 h) 6 7 f) 7 8 g) 8 h) i) 5 5 j) ( ) e) cos π cos sen sen 5 sen f) 0 sen 8 sec g) 0 tg sen h) 0 77

78 ) Calcule os seguintes ites: sen a) 0 5 tg b) 0 tg5 c) 0 tg tg sen d) 0 sen tg sen e) 0 sec f) 0 senπ g) 0 π sen h) π π sen 5 i) 0 sen j) 0 5 cos k) 0 tg l) 0 78

79 REVISÃO DE LIMITES Como apreender os movimentos que ocorrem em um universo infinitamente pequeno? Quem venceria numa corrida: um atleta olímpico ou uma tartaruga? A resposta a esta pergunta, aparentemente ridícula, abre o caminho para um importante conceito matemático, o conceito de Limite. Imagine a corrida. Para compensar a desvantagem da tartaruga, vamos colocá-la um pouco à frente do campeão, cerca de 0 metros ou.000 centímetros. Enquanto a tartaruga anda centímetro em segundo, o atleta percorre os 0 metros que o separam do vagaroso animal, e também completa o centímetro que ele caminhou. Assim, eatamente segundo após o início da corrida, a.00 centímetros do ponto de partida do atleta, este ultrapassa a tartaruga. O filósofo grego Zenão, que viveu no século VI a.c., pensou esta corrida de forma diferente. Segundo ele, assim que a competição se inicia, por maior que seja a velocidade do corredor e a lerdeza da tartaruga, o animal estará sempre um pouco à frente, pois quando o atleta chegar à posição inicial da tartaruga, esta terá avançado um pouquinho mais. Repetindo infinitas vezes este raciocínio chega-se à conclusão de que o corredor jamais ultrapassará a tartaruga. Sabemos, porém, que ao contrário do que sugeria Zenão, segundo após o início da corrida o atleta ultrapassa a tartaruga. Como resolver essa contradição? A solução encontrada pelos matemáticos foi a seguinte: no instante segundo temos a posição.00 centímetros, na qual os dois competidores se encontram no mesmo ponto. Esta posição é o ite-ultrapassagem para onde os dois movimentos ocorrem. Antes desse ite temos a sua vizinhança, na qual os movimentos acontecem em intervalos de tempo infinitamente pequenos e em que são percorridos espaços também infinitamente pequenos infinitesimais. É no interior desta vizinhança que as conclusões de Zenão se revelam verdadeiras.. Estudo dos ites de uma função O estudo dos ites de uma função, seja ela contínua ou descontínua, permite ampliar nosso conhecimento sobre seu comportamento. Para um bom aproveitamento é necessário conhecermos bem as funções e sua representação gráfica. Freqüentemente, a correta interpretação do gráfico de uma função pode nos revelar quais serão os ites dessa função. A seguir, vamos conhecer os diversos tipos de ites, que dependem das características das funções, e aprender como calcular e efetuar operações com alguns desses ites.. Limites finitos: quando tende para um número real Investigando um caso concreto, consideremos uma função definida para todos os números reais, eceto para, no qual ela apresentará um ponto de descontinuidade (ponto em que o valor a de para a função não está definida e, portanto, no qual ela deia de ser contínua). Seja a função: f ( ) A representação gráfica dessa função é mostrada na figura a seguir: 79

80 A fração que define essa função pode ser simplificada sempre que. Assim: ( ) ( ) f ( ) Isto significa que se o valor de estiver muito próimo de, sem chegar a se igualar a, o valor de f() também ficará muito próimo de. Assim, diremos que o ite de f() quando tende para é. De forma abreviada, escreveremos: f ( ) Observando a figura anterior, percebemos que podemos redefinir a função f() de maneira que para f() teremos a imagem. Deste modo, no gráfico da função desaparecerá o ponto de descontinuidade. Chamamos a isto de descontinuidade evitável (quando num ponto de descontinuidade, para um valor a de podemos atribuir para a função o valor do ite da mesma função quando tende para a). Isto implica que a eistência de um ite (L) de uma função descontínua num ponto significa uma quase continuidade da função nesse ponto. Portanto, a definição de ite coincide quase plenamente com a de continuidade. Assim, dizemos que o número L é o ite da função f() quando tende para 0, e o designamos como: L f ( ) Para lembrar: Sempre que tomarmos valores de muito próimos de 0, mas diferentes de 0, os valores de f() também serão muito próimos de L, com a distância f() L sendo tão pequena quanto quisermos, com a condição de que a distância 0 também seja igualmente pequena.. Limites laterais: quando tende para um número real Vamos analisar, agora, um novo conceito: o de ites laterais. Com base em um segundo caso prático, observamos que continuamos tendo uma função f definida para todos os números reais, menos para, que sofre uma mudança brusca. A epressão que define essa função é:, se f ( ) 8, se > Sua representação gráfica é indicada na próima figura. 0 Observando o gráfico anterior, percebemos que não eiste o f ( ) porque, quando o valor de se aproima de, a função f() não se aproima de um valor único. 80

81 O fato é que o ite se aproima de dois valores diferentes dependendo de ser maior ou menor que. Em geral, diremos que o número L é o ite lateral da função f, quando tende para 0 pela esquerda. Seu número é definido na epressão: L f ( ) ou equivalentemente L f ( ) 0 < 0 Tomando-se valores de muito próimos de 0, mas menores que 0, os valores de f() também ficam muito próimos de L. De tal modo que a distância f() L possa ser tão pequena quanto se queira, sempre que a diferença 0 for suficientemente pequena. Assim, para definir o ite lateral pela direita de uma função, procedemos da mesma maneira. Portanto, a mesma definição com algumas adequações pode ser usada. 0 Retomando nosso eemplo, vejamos quais são os ites laterais para f(): O ite lateral da função f, quando tende para pela esquerda, é. Em forma abreviada: f ( ) < ou equivalentemente f ( ) O ite lateral da função f, quando tende para pela direita, é 6. Isto é: f ( ) 6 > ou equivalentemente f ( ) 6. Limites infinitos: quando tende para um número real Vamos observar, nos gráficos da figura a seguir, o que ocorre com algumas funções quando se aproima de 0. Nas funções que estudamos até agora, nos interessa os seus comportamentos nas proimidades de 0. Lembramos que nenhuma das três funções é definida para 0, pois a divisão por 0 também não o é. Assim, todas as funções são descontínuas neste ponto. Para lembrar: À medida que vai tomando valores cada vez mais próimos de 0 (figura anterior, as funções f(), g() e h() adquirem valores cada vez maiores (valores absolutos, independentemente se o seu sinal é positivo ou negativo). Além disso, o valor da função pode chegar a ser tão grande, em valor absoluto, quanto queiramos, com condição de escolhermos um valor de suficientemente próimo de 0. 8

82 É por este motivo que o eio das ordenadas funciona como uma assíntota vertical. Qual é o ite de todas essas funções? O ite da função f quando tende a 0 é mais infinito: 0 f ( ) O ite da função g quando tende a 0 é menos infinito: g( ) 0 A função h tem ites laterais distintos: - h( ) 0 < 0 ou equivalentemente h( ) 0 - h( ) 0 > 0 ou equivalentemente h( ) 0 Para lembrar: Concluímos que o ite da função f quando tende a 0 é mais infinito. Esse ite é epresso assim: 0 f ( ) Tomando valores de muito próimos de 0, os valores de f() são muito grandes e positivos. Assim, f() pode ser maior que qualquer outro número M pré-fiado, sempre que a distância 0 for suficientemente pequena. 5. Limites finitos: quando tende para o infinito Neste tipo de ites, os valores que adquire são, em valores absolutos, muito elevados. Por isso, falamos de ites onde tende para o infinito ou dizemos, de outra forma, que L é o ite da função f quando tende para mais infinito. Sua notação é: f ( ) L quando (em razão do valor de ser muito grande) o valor de f() se aproima de L, de modo que a distância f() L pode tornar-se tão pequena quanto se queira, sempre e quando tomarmos um valor de suficientemente grande. No eemplo da figura a seguir, comprovamos o que foi eplicado até agora. 8

83 Na representação gráfica da função g, também indicada na figura anterior, parece que, à medida que cresce o valor de, g() se aproima cada vez mais de 0. Para lembrar: De fato, o eio O é o que se conhece como assíntota horizontal. Este comportamento da função g é previsível se considerarmos a fração que a define. Como o numerador é um valor constante, se for muito grande, o denominador também o será e, assim, o valor da fração se aproimará muito de 0. Dessa maneira, podemos afirmar que: Sendo que, neste caso, L 0. g( ) L 6. Limites infinitos: quando tende para o infinito Também neste tipo de ites, os valores de são muito elevados, sempre em valor absoluto. Por isso, falamos de ites quando tende ao infinito. Veja a função f() graficamente no gráfico da figura a seguir. representada 8

84 Se observarmos atentamente este gráfico, temos a impressão de que, quando aumenta, f() assume rapidamente valores muito altos. De fato, este comportamento da função é previsível se analisarmos a epressão que define f. Se for muito grande, o quadrado de também será muito grande. Será ainda maior se o multiplicarmos por. Podemos escrever que, neste caso: f ( ) Em geral, desdobramos essa epressão, escrevendo que o ite da função f é quando tende para. Isso quando, ao crescer muito a variável, a f() torna-se tão grande quanto queiramos, com a condição de tomarmos um valor de suficientemente grande. LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 9 ) Seja a função f ( ). a) Ela tem alguma descontinuidade? Resposta: Sim, em -. b) Calcule o f ( ). Resposta: -6 5, < ) Calcular o h( ) e o h( ). Eiste o h( ), sendo h ( )., Resposta: (i) (ii) 7 (iii) Não eiste o ite, pois os ites laterais são diferentes. ( ) ( ) ) Seja f ( ). 8 ( ) ( ) a) Quantos pontos de descontinuidade têm esta função? Resposta: Tem pontos de descontinuidade. b) Quais são esses pontos? Resposta: - e. f f. Resposta: (i) 5/6 (ii) /5 c) Calcular o ( ) e o ( ) ) Se o f ( ), qual será f ( )? Resposta: Dado que para valores muito grandes de, a função f() tem que ser positiva, porque seu ite é, resulta que f () é definida. Assim, é evidente que também f ( ).. 5) Calcular os seguintes ites: b) 5 Resposta: 0 b) 5 Resposta: - c) Resposta: -/ d) Resposta: ) Calcular o ite da função h() quando tende a e a 0. A função é definida pela epressão polinômica seguinte: h ( ). Resposta: (i) -9 (ii) 7) Seja a função racional f ( ). Determinar os valores de para os quais a função é descontínua. Calcular o f ( ) e o f ( ). Resposta: (i) e (ii) 5/ (iii) -/ 8) Calcular o ite para e para - nas seguintes funções: a) f ( ) Resposta: (i) (ii) b) f ( ) 5 Resposta: (i) - (ii) - 5 c) h ( ) 9 Resposta: (i) (ii) - 8

85 O número e, por quê? Adaptado do artigo de Elon Lages Lima A noção de logaritmo quase sempre nos é apresentada, pela primeira vez, do seguinte modo: o logaritmo de um número y na base a é o epoente tal que a y. Segue-se a observação: os números mais freqüentemente usados como base de um sistema de logaritmos são 0, e o número o que nos deia intrigados. e, ; De saída, uma pergunta ingênua: esta regularidade na seqüência dos algarismos decimais desse número e persiste? Não. Apenas uma coincidência no começo. Um valor mais preciso seria e, Não se trata de uma fração decimal periódica. O número e é irracional, isto é, não pode ser obtido como quociente e p/q de dois inteiros. Mais ainda: é um irracional transcendente. Isto significa que não eiste um polinômio P() com coeficientes inteiros, que se anule para e, ou seja, que tenha e como raiz. Por que então a escolha de um número tão estranho como base de logaritmos? O que faz esse número tão importante? Talvez a resposta mais concisa seja que o número e é importante porque é inevitável. Surge espontaneamente em várias questões básicas. Uma das razões pelas quais a Matemática é útil às Ciências em geral está no Cálculo (Diferencial e Integral), que estuda a variação das grandezas. Um tipo de variação dos mais simples e comumente encontrados é aquele em que o crescimento (ou decrescimento) da grandeza em cada instante é proporcional ao valor da grandeza naquele instante. Este tipo de variação ocorre, por eemplo, em questões de juros, crescimento populacional (de pessoas ou bactérias), desintegração radioativa, etc. Em todos os fenômenos dessa natureza, o número e aparece de modo natural e insubstituível. Vejamos um eemplo simples. Suponhamos que eu empreste a alguém a quantia de real a juros de 00% ao ano. No final do ano, essa pessoa viria pagar-me e traria reais: que tomara emprestado e dos juros. Isto seria justo? Não. O justo seria que eu recebesse e reais. Vejamos por que. Há um entendimento tácito nessas transações, de que os juros são proporcionais ao capital emprestado e ao tempo decorrido entre o empréstimo e o pagamento. 85

86 Assim, se meu cliente viesse me pagar seis meses depois do empréstimo, eu receberia apenas l ½ reais. Mas isto quer dizer que, naquela ocasião, ele estava com / real meu e ficou com esse dinheiro mais seis meses, à taa de 00% ao ano; logo deveria pagar-me ½ ½ ( ½ ) ½ ( ½) ( ½) reais no fim do ano. Isto me daria,5 reais, mas, mesmo assim, eu não acharia justo. Eu poderia dividir o ano num número arbitrário N, de partes iguais. Transcorrido o primeiro período de ano do segundo período de, eu estaria n n ano, meu capital emprestado estaria valendo reais. No fim n n n reais, e assim por diante. No fim do ano eu deveria receber n reais. Mas, como posso fazer esse raciocínio para todo n, segue-se que o justo e eato valor que eu deveria receber pelo meu real emprestado seria n n n, que aprendemos nos cursos de Cálculo ser igual ao número e. Um outro eemplo no qual o número e aparece. 86