LIMITES E CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO

LIMITES E CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO O que estudaremos em: Limites:. Deinição e Notações. Análise de um Limite graicamente. Cálculo de um Limite algebricamente 4. Encontrando Assíntotas através de Limites 5. Propriedades dos Limites 6. Limites Fundamentais Continuidade:. Deinição de Continuidade num ponto. Deinição de Continuidade em etremidades e num intervalo. Tipos de Descontinuidade 4. Aplicações Por que estudaremos Limites? Os valores de algumas unções variam continuamente: quanto menor a variação da variável independente [normalmente representada por ], menor a variação no valor [] da unção. Outras unções têm seus valores variando de orma imprevisível ou ainda, saltando de um valor para outro, quando variamos controladamente os valores da variável independente. A noção de Limite é uma erramenta matemática que permite analisar e identiicar tais comportamentos, permitindo com isso uma interpretação mais apurada da unção como um todo. A determinação das equações de assíntotas, presentes na representação gráica de algumas unções, também az parte dessa interpretação mais apurada. Durante muito tempo, o conceito de Limite oi erramenta essencial para a construção de gráicos de unções mais compleas. Atualmente, é muito simples encontrarmos em sites da internet, ou mesmo em celulares, sotwares que azem rapidamente o gráico de muitos tipos de unções. Entretanto, até os bons sotwares apresentam itações que podem conundir os menos avisados. Algumas dessas itações apresentadas pelos programas gráicos podem ser superadas, aplicando-se convenientemente algum conceito de Limite e Continuidade. Veremos isso no decorrer do nosso estudo. No cálculo superior, eistem o que chamamos de as sete indeterminações, que são operações matemáticas envolvendo os números [zero] e [um] e também o ininito [] e que não possuem um resultado determinado. O estudo dos Limites possibilitará um importante contato com essas entidades, embora não aremos um estudo especíico para isso. Finalmente, o conceito de Limite é uma das ideias essenciais para o entendimento de um importante conceito: a derivada [que será nosso próimo tópico de estudo] e também de vários outros conceitos subsequentes presentes no Cálculo Dierencial e Integral. NOTA: O estudo completo de Limites é amplo e rigoroso [você deve veriicar isso na bibliograia dada a seguir] e oge do objetivo do nosso curso. Por isso, trabalharemos com a deinição inormal de Limite e o estudo dos Limites algébricos abordará casos envolvendo apenas alguns tipos de indeterminações, até por que, com o conhecimento da Regra de L'Hopital [que será um tópico dentro do estudo das Derivadas], podemos dispensar vários artiícios que tradicionalmente são eplorados no estudo dos Limites. O que se espera que você saiba sobre Limites pode ser alcançado sem a necessidade de um estudo proundo, e sim da orma como abordaremos neste material. Será contemplado o que se julga necessário para desenvolver com desenvoltura, qualquer tema de Cálculo I e II do seu curso de Graduação, que envolva de alguma maneira o conceito de Limite. Além disso, você estará apto a interagir em situações que necessite do entendimento de Limites nas unidades curriculares técnicas do seu curso. Por que estudaremos Continuidade de uma unção? Muitas erramentas e conceitos que serão desenvolvidos no decorrer das unidades curriculares que envolvem o Cálculo Superior são aplicados [ou possíveis] para Funções Contínuas. Inúmeros enômenos ísicos são contínuos. Será comum você encontrar deinições do tipo:... considere uma unção contínua para todo o intervalo dado... Em casos como estes, podemos dizer que situações de descontinuidade são desavoráveis. Assim, o conceito de Continuidade será abordado de orma direta e objetiva, priorizando o entendimento amplo e o aspecto geométrico. Página de 4

REFERÊNCIAS Este material oi produzido com base em parte da bibliograia abaio e também através da eperiência docente do autor, contando ainda com contribuições de colegas proessores. Normalmente, as Reerências Bibliográicas aparecem nas últimas páginas de um livro ou material. Apresento estas reerências aqui, objetivando sempre lembrá-lo que a busca por outras ontes de inormação é um ator essencial e de grande importância em qualquer tipo de estudo que se queira realizar. Os títulos apresentados a seguir são de ótima qualidade e podem ser encontrados em nossa biblioteca. Consulte-os! THOMAS, George B. et al. Cálculo v... ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 8. ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. v.. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 7. FLEMMING, Diva M.; GONÇALVES, Mirian B. Cálculo A: unções, ite, derivação, integração. 6. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 7. STEWART, James. Cálculo. v.. 6. ed. Cengage Learning, 9. HUGHES-HALLETT, Deborah et al. Cálculo de uma variável.. ed. Rio de Janeiro: LTC, 4. HIMONAS, A. Aleandrou; HOWARD, Alan. Cálculo: Conceitos e Aplicações.. ed. LTC, 5. Nota: Além de rever toda a teoria e resolver todos os eercícios deste material, você pode melhorar seus conhecimentos procurando por sites na internet e vídeos no youtube que tenham a teoria e/ou eercícios sobre o assunto. Eperimente! Não tenha medo de crescer lentamente. Apenas tenha medo de icar parado. [Provérbio chinês] Página de 4

Volume cm IFSC / Limites e Continuidade de uma Função LIMITES Conceitos Iniciais e Notações Básicas [Situação ] Sob temperatura constante, o volume de certa massa de um gás pereito é unção da pressão a que o k mesmo está submetido. O gráico abaio representa tal relação e sua lei de associação é: V, onde k é uma constante P que depende da massa e da temperatura do gás em questão e sendo nula ou negativa]. P [não tem sentido ísico considerar a pressão P como 5 4,5,5,5,5 Pressão atm a Com respeito à unção V k, o que se pode dizer de V quando P diminui, tendendo a zero? P b Para essa unção, o que acontece com V quando P cresce, tornando-se um valor muito grande, tão grande quanto se queira, isto é, quando P tende para o ininito positivo? Resolução: a Quando P diminui, tendendo a zero, escrevemos: P, ou seja, P tende a zero por valores maiores que zero [dizemos que P tende a zero pela direita]. Quando isto acontece, o valor de V se torna muito grande, tão grande quanto se queira, isto é, V tende para um valor ininitamente grande e escrevemos: ininito]. Para eprimir essa simultaneidade de tendências, utilizamos a notação de ite: V V P [dizemos que V tende para mais k / P P b Quando P aumenta, tornando-se muito grande, tão grande quanto se queira, isto é, quando P ; V tenderá a zero, ou seja, V. Isto não signiica que o volume será zero! Utilizando novamente a linguagem de ite, temos: V k / P. P P. [Situação ] Calcule a soma da série ininita:... 4 8 6 Resolução: A seqüência apresentada neste caso é uma progressão geométrica [PG] de ininitos termos em que q [razão]. Logo a soma solicitada pode ser calculada através da epressão já conhecida no ensino médio: a [º termo] e a / S e, portanto S. Podemos detalhar a notação: q / N S S n N. N N n Página de 4

uc IFSC / Limites e Continuidade de uma Função Para tornar mais visual o resultado que acabamos de obter, imaginemos um quadrado de lado unitário e assim, o número [um] representa a sua área. Vamos encaiar no espaço desse quadrado o retângulo, que será representado pelo número [que é sua área]. Em seguida encaiemos, no espaço restante do quadrado original, o quadrado de área 4. Em seguida encaiemos, no espaço restante no quadrado original, o retângulo que representará o número 8. Em seguida encaiemos, no espaço restante no quadrado original, o quadrado que representará o número 6. E assim sucessivamente vamos encaiando, no espaço restante do quadrado original, os retângulos e quadrados, que têm suas áreas representadas na seqüência ininita de números:,,,,... que ormam uma PG. 64 8 56 Dessa orma, parece-nos que ica intuitivo perceber que, com um número inito de encaies, o espaço do quadrado original nunca será totalmente preenchido o que mostra S n. Por outro lado, com um número convenientemente grande de retângulos e quadrados, podemos tornar o espaço restante no quadrado original tão pequeno quanto desejarmos o que mostra que S n ou, em outros símbolos, S. Observação: Com a aplicação conveniente do conceito de ites, em algumas situações, podemos encontrar inormações que inicialmente podem ser diíceis de identiicar. Página 4 de 4

Noção Intuitiva Seja a unção. Vamos dar valores a que se aproimem de, pela direita valores maiores que e pela esquerda valores menores que, e calcular o valor correspondente a y: y = + y = +,5,5 4,7,4,,6,9,8,,,95,9,5,,98,96,,4,99,98,,,999,998,, Representação gráica: Notamos que, à medida que se aproima de [tanto pela direita quanto pela esquerda], y se aproima de, ou seja, quando tende para [ escrevemos ]. Para isso, escrevemos: ], y tende para [ escrevemos y ou Deinição INFORMAL: De orma geral, escrevemos: a L quando se aproima de a [ a ] e se aproima de L [ L ]. A deinição acima oi denominada inormal, pois a deinição mais precisa de ite requer um estudo mais proundo, que no momento não é de etrema necessidade. Destaca-se ainda que a epressão se aproima é relativamente imprecisa, pois a aproimação depende de um conteto [o que é aproimado para um caso pode não ser para outro pense a respeito!]. Teorema: Uma unção terá um ite quando se aproimar de a, se e somente se, eistir um ite lateral à direita e um à esquerda, e esses dois ites laterais orem iguais. Simbolicamente: L L a a a Página 5 de 4

Eemplos: Seja a unção racional 9 com D { }. Graicamente, temos: y Assim, determine o que se pede abaio: 6 6 6 6 [ não eiste para ] Nota: Veremos mais adiante que um ite também pode ser encontrado algebricamente. Importante: O valor do ite de uma unção quando k não depende de como a unção é deinida para k. Veja: g h g h Observe que os ites das unções, g e h quando são iguais, entretanto temos g h A unção h é dita contínua no ponto em que, enquanto as unções e g que [trataremos sobre a continuidade de uma unção, num estudo logo a seguir].. são descontínuas no ponto em É muito importante que você sempre considere que no cálculo de o que nos interessa é o a comportamento de quando se aproima de a e NÃO o que ocorre com quando a. Página 6 de 4

Dada a unção abaio, construa o seu gráico. 7, se 5, se, se Determine, se eistir: a e b 4 c g 6 h d 5 Calcule algebricamente os ites dados a seguir: a 7 7 4 / c t 8 t e 5 97 b n n a 4 d a 7 5 7 4 Dada a unção, esboce o seu gráico e determine: a b c A equação da assíntota horizontal: y Observação: e Pense a respeito e tire suas próprias conclusões! Deinição Assíntota Horizontal: A reta y n é uma assíntota horizontal do gráico da unção se: n ou n. Página 7 de 4

5 A população de uma determinada espécie animal em um zoológico varia através da seguinte lei: N t 95 t / 4, 5 4e onde N t é o número de animais e t é o tempo em semanas. Descreva o que acontece com a população no decorrer do tempo. Veriique a sua conclusão calculando: N t. t 6 Dada a unção racional o domínio dessa unção. y e o seu gráico [abaio], determine a equação da assíntota vertical e também Deinição Assíntota Vertical: A reta k é uma assíntota vertical do gráico da unção se: k e/ou k. Nota: As Sete Indeterminações do Cálculo:,,,,,,. Página 8 de 4

EXERCÍCIOS Limites Os cientistas P. F. Verhulst, R. Pearl e L. J. Reed, contrariando a teoria de Malthus de que as populações crescem em progressão geométrica, propuseram uma lei de crescimento populacional cujo gráico tem o seguinte aspecto: Para Pearl e Reed as condições ísicas determinavam um ite superior L para a população de uma região ou país e, utilizando os censos norteamericanos de 79 a 9, obtiveram a lei eperimental: P t 97,74 67,., onde P é a população norte-americana, em milhões de habitantes, t anos após 79. Assim, calcule o ite da unção P, quando t. Considere uma lente delgada convergente de distância ocal nas lentes convergentes,. E seja e o eio principal dessa lente: Seja P um objeto situado em e, e P a imagem correspondente. As abscissas p de P e p de P, tomadas em relação ao centro óptico O da lente, se relacionam através da equação de Gauss: p p Dessa equação tiramos que: p p. p E se construirmos o gráico de p em unção de p, obteremos: Observando o gráico dado, calcule: d p a p P b p P P e p c p P P p P A população de uma colônia de bactérias varia segundo a unção deinida por: 6 P t, onde P t é dada em t 5 7e bilhões e t em dias. Descreva o que acontece com a população no decorrer do tempo. Veriique a sua conclusão achando o valor do P t. t 4 Seja a unção deinida por, se 7, se. Calcule os ites: a b c d 5 e Página 9 de 4

5 Considere a unção modular 4. Determine os ites indicados e construa o gráico de. a 4 b 4 c 4 6 Dada a unção: /, se, se /, se, se, construa seu gráico e calcule os ites indicados, se eistirem. a b c d e g h 7 Determine os ites dados a seguir, caso eistam. a b c / d / 5 7 / e / 5 7 / / 8 Discuta o comportamento da unção / próimo de e também quando e. 9 Discuta o comportamento da unção / próimo de e também quando e. Seja a unção deinida em cada gráico apresentado a seguir. Intuitivamente, encontre se eistir: a b Página de 4

c d e y 4 Relita se puder... O homem é uma ração, cujo numerador corresponde ao que ele é, enquanto o denominador, é o que acredita ser. [Tolstoi] Página de 4

Página de 4 g h i j,5

k l Seja,,, se se se a unção representada pelo gráico abaio: y Determine, se eistir: a b c d e 5 g 4 h Para descontrair [se puder...] Nota: a piadinha matemática ao lado, apesar de bem bolada, apresenta um erro sutil. Você é capaz de dizer qual é? Para reletir: Nós somos o que azemos repetidas vezes. Portanto, a ecelência não é um ato, mas um hábito. [Aristóteles] Página de 4

RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS L = 97,74 milhões de habitantes a b c d e Com o decorrer do tempo, a população se aproima de bilhões de bactérias 4a 4b 4c 4d 8 4e 4 5a 5b 5c Gráico logo abaio! 6a 6b 6c 6d 6e não eiste 6 6g 6h Gráico abaio! [Gráico Questão 5] [Gráico Questão 6] 7a 7b 7c / 7d / 7e 5/ 7 5/ 8. Isso implica que a unção tem assíntota vertical com equação:.. Isso implica que a unção tem assíntota horizontal com equação: y. Nota: Veja o gráico da questão 8 na página seguinte! 9 e. Isso implica que a unção tem assíntota vertical com equação:.. Isso implica que a unção tem assíntota horizontal com equação: y. Nota: Veja o gráico da questão 9 na página seguinte! Para reletir: É azendo que se aprende a azer aquilo que se deve aprender a azer. [Aristóteles] Página 4 de 4

Gráico de / [Questão 8] Gráico de / [Questão 9] As respostas estão abaio! a 4 4 4 b c 5 5 5 d e 4 4 g 6 h 4 i j,5,5 k l a b c Não eiste d e g h Página 5 de 4

A Deinição Formal de Limite Seja uma unção deinida em um intervalo aberto em torno de, eceto talvez em. Dizemos que ite L quando tende a e escrevemos: L, se para cada número eistir um número correspondente tal que, para todos os valores de, L. tem Ao lado, temos uma ilustração que destaca a relação entre e na deinição de ite. Propriedades dos Limites Considere, para este estudo, que a notação representa uma das notações: Assim, se eistirem L e g L, então:,,,,. a a a k k, sendo k uma constante. Eemplos: 5 5 e 4 4 [ k ] k [ ] k L, onde k é uma constante. Eemplo: 5 5 [5. ] 5 5 5 [ g ] [ ] [ g ] L L Eemplo: 4 6 8 [ g ] [ ] [ g ] 4 Eemplo: 5 5. 5. 6 6 Página 6 de 4 L L

5 g Eemplo: g L L, desde que L.. 4 6 n n n L, desde que L quando n or par. 4 4 Eemplo: 4 4 6 8 9 7 n n n n [ ] [ ] [ L ], desde que [ L ] seja um número real. Eemplo: [ ] [ ] [] 9 8 ln ] ln[ [ ] ln[ L ], desde que L, sendo a propriedade análoga para log [ ] Eemplo: log log[ ] log a 9 sen ] sen [ ] sen[ L ] [ ou [ cos ] cos[ ] cos[ L ] Eemplo: cos cos[ ] cos Casos Especiais: Limite de Polinômios quando n O polinômio p c c... c n, comporta-se eatamente como o seu termo de maior grau quando. O sinal varia conorme o esquema a seguir:, para n,,,... Nota: Quando se multiplica o termo multiplica n n, para n, 4, 6,... n, para n,, 5..., n por um número real positivo, não se aeta o valor do ite, entretanto quando se por um número real negativo, inverte-se o sinal do respectivo ite. Observe os eemplos a seguir: Eemplos: 7 4 9 7 5 5 6 5 8 6 5 5 6 4 6 4 8 7 8 7 Observe: 9 4 6 4 6. 9 4 4 6 9 4 4 9 4 9 Portanto: 9 4 6 9 4 Página 7 de 4

Limite de Funções Racionais quando Lembre-se que uma unção racional é uma razão entre polinômios. Simbolicamente: Após a einação dos termos de menor grau, aplicamos: Eemplos: a b m n a b p com q. q se m n se m n se m n propriedade simpliicação 4 9 9 9 pois m n 7 5 4 5 5 4 4 propriedade simpliicação pois m n 4 4 7 8 6 8 propriedade simpliicação pois m n Dada a unção racional y também o conjunto imagem dessa unção. 8 e o seu gráico [abaio], determine a equação da assíntota horizontal e Limite de Funções Racionais quando ocorre indeterminação [do tipo /] Quando calculamos algebricamente um ite, eistem situações em que, quando substituímos a no ite, encontramos uma das sete indeterminações do Cálculo:,,,,,,. Como eistem muitos tipos de unções para cada uma das indeterminações, também eistem diversos artiícios algébricos para resolvê-los. Neste momento, abordaremos apenas uma situação. Veja: a Eemplos: Calcule o valor de: Resolução: 4 4 Fazendo a substituição de no ite dado, temos: Indeterminação! Página 8 de 4

Quando a substituição do valor de resulta em uma indeterminação [como neste caso], não signiica que o ite não eista, até porque estamos interessados no comportamento da unção quando e não quando. Assim, devemos azer uso de artiícios matemáticos para einar a indeterminação para então chegarmos ao verdadeiro valor do ite. 4 Sabendo disso, podemos observar que a unção racional em questão tem atores do º grau comuns no numerador e no denominador. Logo, simpliicando a unção, damos origem a uma nova: 4 4 s. 4 Finalmente, podemos escrever o valor do ite procurado: 4 4 Nota: Vale destacar que as unções temos que:. 4 e s 4 são dierentes em s, entretanto Calcule: 4 4 Resolução: Fazendo a substituição de 4 no ite dado, temos: 4 4 Indeterminação! Neste tipo de ite, se o numerador e o denominador se aproimam de zero quando a, então o numerador e o denominador terão um ator comum a e o ite pode [requentemente] ser obtido cancelando-se os atores comuns. Veja: 4 4 4. 4. 4. 4. 4 4 4 4 Nota: O denominador da unção racional [no ite em questão] é representado por uma unção quadrática. Eis que tal epressão pode ser atorada em termos do primeiro grau. Formalmente, podemos escrever: a bc a sendo que e são as raízes da equação a bc. Resolvendo a equação do º grau 4 [pela órmula de Bhaskara ou por qualquer outro método adequado] encontramos as raízes 4 e. Nota: Assim, neste caso temos: 4. [ 4]. Simpliicando a epressão: 4. 4. A epressão quadrática 6 9 pode ser escrita de duas maneiras: 69 ou Observação: Vale relembrar que, neste estudo, consideramos, R. 69 Página 9 de 4

Eemplo: Revisitando o eemplo [página 6] Encontrando o ite algebricamente! Seja a unção racional 9 com D { }. Determine algebricamente. Resolução: Como queremos encontrar o 9 algebricamente, podemos substituir o valor de no mesmo para tentarmos encontrar o seu valor correspondente [lembre-se que no ite ocorre que Fazendo isso, encontramos: e não que ]. 9 9 [?] o que já era esperado, pois D { }. A epressão é uma INDETERMINAÇÃO do Cálculo [uma das sete eistentes] o que impossibilita determinar o ite diretamente. Para isto, utilizaremos um artiício matemático para transormar a unção em outra unção que tenha o mesmo ite para. Assim, aremos aqui o uso do produto notável: a b. a b a b. Veja a seguir: 9 9 6 6 Note que o gráico da unção 9 com { } D diere do gráico da unção simpliicada s com D apenas no ponto, 6, pois:,6 s e,6. Entretanto: s 6 Graicamente, temos: y 9 y s 6 6 D { } D Página de 4

IFSC / Limites e Continuidade de uma Função Alguns Lembretes Úteis! Fatoração de Polinômios: a b c a a b c d a sendo que e são as raízes da equação a b c sendo que, e são as raízes da equação a b c d Produtos Notáveis: a b a b a ab b a b a b a ab b a b a a b ab b a b a a b ab b a b a b. a b a b. a b a b a b a ab b No nível de estudo que nos encontramos, você já deve ter memorizado a órmula que resolve uma equação quadrática do tipo: a b c, conhecida como órmula de Bhaskara: b sendo que: b 4ac a a b a b a ab b Limites em que ocorrem outras Indeterminações Vimos anteriormente como resolver ites de unções racionais quando ocorre a indeterminação. Para resolvermos algebricamente ites em que ocorrem outras indeterminações procedimentos especíicos para cada caso. Veja dois deles:,,,,,, aplicamos Eemplos: 5 Indeterminação! 5 5 Substituindo temos: 5 Indeterminação! Substituindo temos: Nota: Pesquise outros artiícios eistentes que possibilitem resolver ites em que ocorrem as outras indeterminações! Para reletir: Ouvi dizer que o governo iria cobrar impostos mais caros dos ignorantes em Matemática. Engraçado! Eu pensei que a loteria já era justamente isso! [Gallagher] Página de 4

4 Limites Fundamentais São três os chamados ites undamentais: sen a Lembre-se que: e =,7888... [Número de Euler] b e c ln a a [com a > e a ] Abaio, a representação gráica da unção assíntota horizontal de equação: y e., onde o ite undamental indica a eistência de uma e Eercícios Resolvidos Determine o valor de sen. Podemos encontrar o ite em questão através de duas maneiras: Resolução [I]: Lembre-se que: sen Multiplicando a unção presente no ite por temos: sen sen sen sen [] Resolução [II]: Fazemos u. Assim quando segue que u / u. Substituindo no ite, temos: sen u sen u u u/ sen u u u sen u u u [] Página de 4

Determinar / t [ ln t ]. t Resolução: Fazemos [ ln t t. Assim, quando t / t ] / t t segue que ln. Substituindo no ite, temos: ln ln e Calcule a b, com a, b e a, b. Resolução: a b b a b b a b b a b [ ] ln a b ln a b Eercícios Propriedades dos Limites Calcule os ites aplicando as propriedades: a 7 5 4 d 4t g t t 4 j 5t 6 5 b 7 e h k t t t 6 8 4 c [ 4. ] i l 4 6 t t 7t Obtenha os ites das unções racionais algebricamente, einando a indeterminação: a d g j 9 4 4 7 4 49 b 7 7 e h 8 k c 5 5 5 i l 4 7 5 6 m 4 n o t t 5t 6 t p q 4 r 48 4 Página de 4

Calcule os ites dados abaio: a 6 9 b 4 c 4 4 d e g 4 h i 4 Calcule os ites dados a seguir, azendo uso dos ites undamentais: a sen b sen sen 4 c tg d 4 e g 4 h cos [Dica: aplique a relação undamental da trigonometria] RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS a b 8 c 7 d 6/5 e 5/4 g h i j k l /7 a 6 b 4 c / d / e g h i j /4 k l 7 m / n o p q /4 r / a b c /4 d e / g 4 h i Não eiste! 4a 4 4b /4 4c 4d e 4e e 4 e 4g e 4h / Love Moment at Limits... Página 4 de 4

TÓPICO EXTRA: Resolvendo ites através da DIVISÃO DE POLINÔMIOS P Podemos resolver algebricamente ites de Funções Racionais através da divisão do polinômio D polinômio D. Isso pode ser eito quando o polinômio P tem grau maior ou igual ao polinômio simbolicamente escrevemos: gr P gr D. P pelo D, Então vamos calcular o ite: 7 Note que neste caso ocorre a indeterminação do tipo Resolução : Através da aplicação de produtos notáveis [como vimos anteriormente] temos: 7 9 9 9 7 Resolução : Agora, vamos aplicar a DIVISÃO DE POLINÔMIOS pelo Método da Chave. Assim temos: 7 9 9 7 9 7 9 Note que se: P R D Q ocorre que: P D Q R Onde: P Polinômio que será dividido [dividendo] D Polinômio que dividirá [divisor] Q Polinômio resultante [quociente] R Polinômio que sobra [resto] P ou Q R D Então: P D Q R 7. 9 7 ou 9 Assim: 7 9 9 7 Observação: Quando a divisão de polinômios or do tipo P a processo de divisão. Interessou? Pesquise e procure saber mais! podemos aplicar o Método de Briot-Ruini, simpliicando muito o Página 5 de 4

CONTINUIDADE DE FUNÇÕES Quando colocamos em um sistema de coordenadas alguns pontos do gráico de uma unção cujos valores oram gerados em eperimentos laboratoriais ou coletados em campo, geralmente unimos esses pontos por uma curva não interrompida para mostrar quais seriam os prováveis valores da unção em todos os instantes em que não medimos [veja Figura A]. Fazendo isso, supomos que estamos trabalhando com uma unção contínua, então os valores variam continuamente e não saltam de um valor para o outro sem assumir todos os valores entre eles [valores esses do domínio da unção]. Figura A: Unindo os pontos por uma curva não interrompida a partir dos dados eperimentais Q, Q, Q, Q 4 e P de um objeto em queda. Figura B: A unção apresentada acima é contínua no intervalo [, 4], eceto nos pontos em que =, = e = 4. Qualquer unção y = cujo gráico possa ser esboçado, sobre seu domínio, em um único movimento contínuo, sem levantar o lápis do papel, é um eemplo de unção contínua, o que não ocorre na unção representada na Figura B [veja acima]. Fonte: THOMAS, George B. Cálculo. v.. Pearson, 9. Uma unção é contínua em um intervalo, se e somente se, or contínua em cada ponto desse intervalo. Assim, podemos analisar a continuidade em um ponto através de um teste de continuidade, ou seja, através da deinição: Deinição Continuidade em um Ponto: Uma unção é contínua num ponto com c i c eiste [ c está no domínio de, se e somente se, obedecer às três condições: ] ii c eiste [ tem um ite quando c ] iii c c [ o ite é igual ao valor da unção / o resultado obtido em i é igual ao obtido em ii ] Eemplo : Veriique se a unção é contínua no ponto em que. Resolução: i 4 [Eiste!] ii 4 iii [Eiste!] [OK! O resultado obtido em i é igual ao resultado obtido em ii] Logo, como as três condições da deinição oram veriicadas, a unção é contínua em. Página 6 de 4

Eemplo : Considere as unções e as inormações dadas a seguir, e então, veriique a continuidade em. g h Resolução: g h A unção h é contínua no ponto em que, enquanto as unções e g são descontínuas em. Nota: Observe que os ites das unções, g e h quando são iguais, entretanto g h. Eemplo : A unção 4 g é contínua no ponto em que 8 Resolução: Vamos aplicar a deinição de continuidade em um ponto. i g 8.8 4 [Eiste!] ii g 4 8 8 iii g g8 8? [Eiste!] [OK! O resultado obtido em i é igual ao resultado obtido em ii] Logo, como as três condições da deinição oram veriicadas, a unção 4 g é contínua em 8. Observação: A unção 4 é contínua para qualquer valor real de. Eemplo 4: A unção 4 é contínua no ponto em que? Resolução: Vamos aplicar a deinição de continuidade em um ponto. i 4 [NÃO eiste, pois não resulta em um número real!] Logo, como a condição i da deinição NÃO oi veriicada, a unção 4 NÃO é contínua em. Pense a respeito! As unções polinomiais, eponenciais e logarítmicas são CONTÍNUAS para todos os valores dos seus respectivos domínios. Você é capaz de identiicar outros tipos de unções que também são contínuas para todos os valores de seus domínios? Página 7 de 4

Deinição Continuidade em Etremidades: Uma unção é contínua à direita de um ponto a etremo, se: i a eiste ii a eiste iii a a Uma unção é contínua à esquerda de um ponto b etremo, se: i b eiste ii b eiste iii b b Fonte: THOMAS, George B. Cálculo. v.. Pearson, 9. Continuidade em Intervalos: Deinição : Uma unção é contínua num intervalo aberto a, b, se é contínua em todo do intervalo, b a. Deinição : a, se é contínua em todo do intervalo a, b e se Uma unção é contínua num intervalo echado [, b] ela é contínua a direita de a e a esquerda de b. Propriedades de Funções Contínuas: Se as unções e g são contínuas em c g g / g uma vez que g c k para k R, então as unções: também são contínuas em c. Página 8 de 4

Tipos de Descontinuidade: Podemos classiicar as descontinuidades em quatro tipos. São elas: Removível De salto Ininita Oscilante gráico b e c gráico d gráico e gráico Nota: A unção do gráico a abaio é continua em, e [obviamente] as demais não são. Para conhecer e reletir! A unção y ou y int está representada graicamente ao lado e é conhecida como unção maior inteiro [contido]. Ela é contínua em todo ponto em que não é inteiro, entretanto note que essa unção é contínua à direita, mas não à esquerda de cada ponto em que é inteiro. Assim, trata-se de uma unção com descontinuidades em todos os pontos em que é inteiro, pois não eiste ite para qualquer valor inteiro n na unção. Veja: [int ] n n e [int ] n n Página 9 de 4

Eercícios Continuidade de Funções Veriique se as unções a seguir, são contínuas no ponto indicado. e ; a ; b, se ;, se c, se ;, se ; g ; d ; Nos gráicos a seguir [de. até 4.], diga se a unção apresentada é contínua em [, ]. Se não, onde ela deia de ser continua e por quê? Abaio, a unção e sua representação gráica. Então responda:,,, 4,, se se se se se a Eiste? b Eiste? c Eiste? d Eiste? e Em quais valores de, a unção é contínua? Página de 4

RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS a É contínua em b NÃO é contínua em c É contínua em d É contínua em e NÃO é contínua em É contínua em g NÃO é contínua em [.] Não é contínua em [, ]. É descontínua em, pois não é deinida nesse ponto:. [.] Não é contínua em [, ]. É descontínua no etremo, pois ocorre que: g g. [.] A unção h é contínua em todo o intervalo [, ]. [4.] Não é contínua em [, ]. É descontínua em, pois ocorre que: k. a Sim, pois b Sim, pois c Sim, pois d Sim, pois e A unção é contínua para { R / e,, } EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES [Alguns Resolvidos] Limites, Continuidade de Funções e Aplicações: 6 [FUVEST SP / Adaptada] A altura de uma árvore, em metros, é deinida eperimentalmente pela órmula: h 7 t onde t é a idade deste tipo de árvore, em anos. Qual a altura máima que essa espécie de árvore pode atingir? Resposta: Apro. 8,7 m. [THOMAS] De acordo com a teoria da relatividade, o comprimento de um objeto, POR EXEMPLO, de um oguete, parece a um observador depender da velocidade com que o objeto se desloca em relação ao próprio observador. Se ele medir o comprimento L do oguete em repouso e depois com a velocidade v, o comprimento aparentará ser: L L v c Essa é a equação da Contração de Lorentz, onde c é a velocidade da luz no vácuo, cerca de 8 m/s. O que acontece com L à medida que v aumenta. Veriique isso azendo: [ L] vc Resposta: L tende a zero. Por que oi necessário empregar o ite lateral à esquerda? Justiique isso com uma análise matemática. Resposta: Por que a unção L NÃO está deinida para v c. Note que em L v L temos que c v c tem valor máimo igual a. Página de 4

Determine algebricamente [através da aplicação das propriedades estudadas] os ites pedidos a seguir. a 4 4 5 4 Resposta: zero b 4 4 5 4 Resposta: se se c d 44 4 4 5 7 6 4 Resposta: Resposta: / 4 Através da aplicação de Limites, veriique se a unção caso airmativo, escreva as equaçãoções dessas assíntotas. 4, apresenta alguma assíntota horizontal. Em Resposta: Fazendo [ ] 5 eiste assíntota de equação: y 5. 5 Escreva a equação da assíntota vertical de ite. 4, caso ela eista. Veriique isso através da aplicação de um Resposta: Fazendo [ ] eiste assíntota de equação:. 6 Na análise do crescimento de populações, um tipo de relação conhecida como unção logística oerece um modelo mais realista que o crescimento eponencial tradicional. Por eemplo, alguns cientistas modelam a população mundial usando a unção logística: 7, 6, 5,9 e onde é o número de anos após e P é a população mundial em bilhões de P, 6 habitantes aproimadamente. Aplicando convenientemente o conceito de ite, qual a tendência [numérica] da população mundial em longo prazo? Faça um esboço do gráico da unção dada, apresentando o valor inicial da população [valor da bolinha no gráico abaio] e o valor da tendência dessa população [assíntota] em longo prazo. P [anos] Página de 4

R7 Resolução: R8 Qual é o comportamento em longo prazo? Resolução: Página de 4

R9 Observação: u.m. unidades monetárias Resolução: e Graicamente: Página 4 de 4