TÉCNICAS DE CODIFICAÇÃO DE SINAIS CÓDIGOS CÍCICOS Eelio M. G. Ferádez - Códios Cíclicos: Defiição Um códio de bloco lier é um códio cíclico se cd deslocmeto cíclico ds plrs-códio é tmbém um plr-códio. Vtes: Descrição lébric elete c m poliômio erdor ch mod h poliômio de erificção de pridde cβ... cβ t ode β i GFp m Codificção e cálculo de sídromes utilizdo reistrdores de deslocmeto Correção de surtos de erros Correção de erros letórios trés d solução de equções de poliômios C: C: SubEsp V Se C K : códio cíclico etão deslocmetos cíclicos de tmbém pertecem C isto é: C K K M M K K Represetção Poliomil: K ode: riáel uilir i GFq; q primo. Deslocmetos Cíclicos de -upls e Poliômios : deslocmeto cíclico o tempo ou rotção à direit sujeit à codição ou { C multiplicção módulo { Cíclico :Códio C { } C mod K Isto é pr i o poliômio C i mod. Deslocmetos Cíclicos de -upls e Poliômios
Corpos Fiitos Um corpo fiito com q elemetos é chmdo de GFq Glois Field GFp iteiros com ritmétic módulo um úmero primo p GFp m poliômios sobre GFp com ritmétic módulo um poliômio primo de ru m etesio field Todo corpo fiito é o espço etoril de m-upls sobre o corpo GFp de iteiros com ritmétic módulo um úmero primo p. Portto GFq GFp m Corpos Fiitos Teorem: A crcterístic λ de um corpo fiito é um úmero primo Teorem: Sej um elemeto diferete de zero em GFq. Etão q Teorem: Sej um elemeto diferete de zero em GFq. Sej ordem de. Etão diide q Resultdo: Se ordem de for q etão é um elemeto primitio de GFq Aritmétic de Corpos Fiitos Poliômios com um riáel X e coeficietes em um corpo F deotdos por F[] são epressões d form f X f f X f X f X O ru de fx é mior potêci de X com coeficiete de X Poliômio môico: O coeficiete d mior potêci de X é Todos os poliômios diferetes de zero sobre GF são môicos Pr qulquer diidedo fx F[] e diisor diferete de zero X F[] eistirão um pr de poliômios úicos qx cociete e rx resto tl que f X q X X r X ode de r X < de X Defiição: Sej px um poliômio de ru m sobre GF. Se px ão for diisíel por ehum poliômio sobre GF de ru m ou meos etão px é irredutíel sobre GF. Resultdo: Qulquer poliômio irredutíel sobre GF de ru m diide X m Aritmétic de Corpos Fiitos
Aritmétic de Corpos Fiitos Som Módulo-8 Produto Módulo-8 Defiição: Sej px um poliômio irredutíel de ru m sobre GF; etão px diide X pr m. Se este lor de for o meor iteiro positio pr o qul px diide etão px é um poliômio primitio de ru m sobre GF Som Módulo- Bit--Bit Operção de Multiplicção ds -upls
Represetção α α α α α α α α Defiição: Um elemeto de GF m de ordem m éum elemeto primitio. se α é um elemeto primitio em GF m etão s potêcis distits de α erm todos os elemetos diferetes de zero de GF m. Defiição: Costrução de GF m Um poliômio irredutíel p de ru m sobre GF é um poliômio primitio se tier como riz um elemeto primitio de GF m Proprieddes de GF m Proprieddes de GF m Teorem: Sej fx um poliômio com coeficietes em GF. Sej β um elemeto de GF m. Se β é um riz de fx etão pr qulquer l l β é tmbém um riz de fx l O elemeto β é chmdo de cojudo de β. Teorem: Os m elemetos diferetes de zero de GF m compõem m tods s rízes de X O elemeto de GF m é riz de X. Portto Corolário: Os elemetos de GF m compõem tods s rízes de X m X β pode ser um riz de um poliômio sobre GF de ru meor que m
Defiição: Sej β um elemeto de GF m. O poliômio miiml φx de β é o poliômio de meor ru com coeficietes em GF tl que φβ. Teorem: Sejm φx o poliômio miiml de um elemeto β em GF m e e o meor iteiro tl que. Etão: β β e e i i X X β φ Proprieddes de GF m Poliômio Gerdor Sej C um códio cíclico sobre GFq Eiste um poliômio môico chmdo de poliômio erdor tl que um -upl c é um plr-códio se e somete se for um diisor de c. O poliômio erdor é úico. O ru do poliômio erdor é. é o poliômio códio de meor ru etre todos os poliômios códio. O poliômio erdor é um diisor de. : mod C c ode: Gru [c]. Gru []. Gru []. : poliômio em ssocido à mesem ser codificd em c. Sej { C C C Portto: combição lier de plrs códio que result em um outr plr códio de C. Poliômio Gerdor Mtriz Gerdor ão Sistemátic Códio cíclico C: erdo por de ru r r r r r G M O O O O M M M
Códio Cíclico Sistemático Procedimeto pr Codificção Sistemátic b K K b b m m m bits decheque bits demesem de pridde Sej m: poliômio-mesem m m m m : poliômio códio de códio sistemático. b b b m m m Se m b b m. m? m. Resto d diisão b?. b m EXEMPO: m códio cíclico C:. Plr códio correspodete à m? tl que? Poliômio de Verificção de Pridde Codificdor de um Códio Cíclico h ou: h mod : poliômio erdor de C: h: poliômio de erificção de pridde de C: Gru [] Gru [h] Teorem. i & Costelo pá. 9: b b b b -- b -- Sej C: um códio cíclico q-ário com poliômio erdor em GFq. O códio dul de C é tmbém cíclico e é erdo pelo poliômio h h ode h é o poliômio recíproco do poliômio de erificção de pridde do códio C. m
Codificdor do Códio Cíclico Circuito de Cálculo ds Sídromes r s s s -- Cálculo de Sídromes Códio Cpcidde de Detecção de Erros Um códio cíclico é cpz de detectr qulquer surto de erros de comprimeto ou meor icluido surtos do tipo ed-roud. A frção de surtos ão detectáeis de comprimeto é Pr l > frção de surtos ão detectáeis de comprimeto l é
Decodificção de Códios Cíclicos Decodificção de Códios Cíclicos Psso : Clculr sídrome de r e rmzer r o reistrdor Psso : Determir pdrão de erro. A síd do detector é se e somete se sídrome o reistrdor correspode um pdrão de erro corriíel cotedo um erro posição Psso : O buffer e o reistrdor de sídrome são deslocdos um posição à direit. A síd do detector fz correção do primeiro símbolo se e e tmbém é relimetd o reistrdor de sídrome. No sídrome correspode à r deslocdo Psso : Detectr se or últim posição é um símbolo errdo. Repetir pssos e. O seudo símbolo é corriido d mesm form que o terior. Psso : Decodificr o etor recebido símbolo símbolo d form descrit teriormete Decodificdor de Meitt pr o Códio Cíclico Processo de Correção de Erros 8
Códios Cíclicos Biários istos prtir de GF m BCH boud Teorem: Sej o poliômio erdor de um códio cíclico biário de comprimeto m com zeros β... β r em GF m. O poliômio c sobre GF é um poliômio códio se e somete se cβ cβ cβ r ode cβ i é lido em GF m Se um códio cíclico lier é costruído de form que: Cd plr-códio tem bits; β é um elemeto de ordem em GF m ; O poliômio erdor do códio iclui etre sus rízes δ - potêcis cosecutis de β. Etão É rtido que o códio tem distâci míim iul δ ou mior. Costrução de Códios BCH Pr cd riz β r icluíd em eiste um poliômio miiml f r que tem β r como riz [i.e. f r β r ] e com coeficietes em GF. O poliômio erdor com coeficietes biários que cotém tods s rízes ecessáris pode ser obtido como sedo o míimo comum múltiplo CM de todos os poliômios miimis correspodetes às rízes utilizds: CM{f b f b... f bδ- } Tipos de Códios BCH Se β é um elemeto primitio de GF m o códio BCH resultte é chmdo de códio BCH primitio e s sus plrs-códio têm comprimeto m bits. Se β ão é um elemeto primitio de GF m o códio BCH resultte é chmdo de códio BCH ão primitio e s sus plrs-códio têm comprimeto iul à ordem de β. Se b primeir ds δ - potêcis de β será β β códio BCH o setido estrito. Se b códio BCH o setido mplo. 9
Códios BCH Biários Primitios Elemetos de GF Pr qulquer m e t m eiste um códio BCH com os seuite prâmetros: m mt d mi t O poliômio erdor do códio é o poliômio de meor ru sobre GF cotedo t α α α α como rízes ode α é um elemeto primitio de GF m Decodificção de Códios BCH Códios BCH Primitios sobre GFq. Computr s sídromes S S S... S t prtir de r. Determir σ prtir de S S... S t. Determir s loclizções dos erros β β... β υ ecotrdo s rízes de σ e corriir os erros em r Sej α um elemeto primitio em GFq m. O poliômio erdor de um códio BCH q- ário primitio corretor de t erros é o poliômio de t meor ru sobre GFq cotedo α α α α como rízes. Sej φ i o poliômio miiml de α i i t. Etão CM{φ φ... φ t }
Códios de Reed-Solomo Um códio de Reed-Solomo ou códio RS é um códio BCH primitio ão biário de comprimeto q sobre GFq. O poliômio erdor desse códio tem form t α α α t t t Desempeho de Códios RS sobre GF com cosiderdo modulção -FSK ode α é um elemeto primitio de GFq d é distâci míim do códio e i GFq Desempeho de Códios RS sobre GF com cosiderdo modulção -FSK Desempeho de Códios RS com R /8
Desempeho de Códios RS com Desempeho de Códios RS com e Modulção BPSK Decodificdor de Códios BCH q-ários Desempeho de Códios de Reed-Solomo