INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DINÂMICOS

INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DINÂMICOS Ese maerial é uma revisão sobre algus coceios e resulados da eoria dos sisemas diâmicos, com o objeivo de faciliar a melhor compreesão dese ema para esudaes de ecoomia, em paricular, ieressados a Teoria do Crescimeo Ecoômico. As foes cosuladas, que recomedamos esudar, aparecem a relação bibliográfica. Prof. Albero Mariez Casaeda Prof. Sabio da Silva Poro Júior FCE-UFRGS. INTRODUÇÃO: A Esáica Comparaiva eve um papel prepoderae a ecoomia durae logo empo, mas aualmee a Diâmica esá colocada em um primeiro plao a formulação de muios modelos macroecoômicos, em paricular a área de Crescimeo Ecoômico, que é o osso ieresse. Diâmica é siôimo de movimeo e sabemos que o movimeo o empo esá presee em quase odo feômeo ecoômico. Chamaremos Sisema Diâmico a um sisema ou agee ecoômico cujos esados mudam o empo. O cojuo de odos os esados possíveis do sisema é o chamado espaço dos esados. Farmer (993) idicou dois faos decisivos que jusificam a erada da diâmica a ciêcia ecoômica: O presee depede do passado, maemaicamee resumido, = f ( ). Qualquer agee ecoômico o presee em epecaivas em relação ao fuuro, maemaicamee, = ge ( ). + A derivada d idica a aa isaâea de variação da variável em relação à d variável o caso coíuo, e o caso de omar valores discreos, a difereça eprime a variação em como coseqüêcia da variação uiária em. Por ao, é de se esperar que as ferrameas maemáicas ecessárias para esudar o comporameo dos sisemas diâmicos são essecialmee as equações e sisemas de equações difereciais e as equações e sisemas de equações de difereça, evolvedo fuções cuja variável idepedee é o empo. Porao, a modelagem de um feômeo ecoômico cocreo podemos ecorar a variável omado valores coíuos ou discreos. O fao que caraceriza o uso de equações difereciais é a variação coiua da variável empo. Na variação coiua, em como domíio de valores um iervalo de úmeros reais [, T]. Se T R dizemos que esamos raado com um horizoe fiio e se T =, com um horizoe ifiio. As equações de difereça são uilizadas quado a variável empo oma valores discreos (ou descoíuos) um subcojuo dos úmeros ieiros Z. Por eemplo =,, 2,3, L,. Em ecoomia é freqüee rabalhar com valores discreos de empo,

2 por eemplo, o PIB aual de um pais, o lucro mesal de uma firma, ec. Por iso é freqüee em muios livros de ecoomia dar maior êfase ao efoque discreo. A disição ere o caso coiuo e o discreo leva a ceras paricularidades a formulação dos modelos e os seus méodos de solução, mas a eoria básica é quase a mesma para ambas as siuações. Na eoria do Crescimeo Ecoômico ecoramos muias aplicações dos sisemas diâmicos, ao coíuos quao discreos. No esudo maemáico dos sisemas diâmicos geralmee começa-se com sisemas lieares de equações difereciais ou de difereça (ese e ouros coceios mecioados esa irodução serão colocados com maior rigor o desevolvimeo da aposila). As equações com coeficiees cosaes êm méodos de solução mais fáceis e freqüeemee possuem soluções eaas. Para equações ão-lieares é mais difícil achar soluções eplícias e pode ser coveiee recorrer ao esudo de propriedades qualiaivas das soluções, iso é, propriedades que podem ser cohecidas sem se er calculado efeivamee a solução. As propriedades qualiaivas são imporaes, pois permiem visualizar geomericamee faos úeis para a aálise de modelos eoclássicos de crescimeo. Oura causa da preferecia pelos sisema lieares é que sob deermiadas hipóeses é possível aproimar um sisema ão-liear por um liear, a vizihaça de um poo de equilíbrio. Aé empos recees, a maioria das aplicações ecoômica raava uicamee sisemas origialmee lieares ou liearizados. Mas, aualmee os sisemas diâmicos ão-lieares êm ocupado muio espaço a macroecoomia e, em paricular, a lieraura de crescimeo ecoômico. Por eemplo, podem ser visos os modelos uiseoriais de crescimeo de logo prazo de Solow, Ramsey e Diamod; o sisema de crescimeo biseorial de Uzawa, ere ouros. O ível aual de desevolvimeo dos compuadores (hardware) e do sofware maemáico propiciam um supore écico muio favorável ao esudo da diâmica ecoômica. Eisem plailhas como o Ecel, Lous-2-3, QuaroPro, ec.; sisemas como o Maple V, o Mahemaica e o Malab que servem para resolver a maioria dos sisemas. A escolha de um ou ouro depede das caracerísicas do problema e das preferêcias do usuário. Começaremos com a eposição dos coceios básicos relaivos às equações difereciais e de difereça. EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA: Defiição : Uma equação diferecial ordiária (EDO) é uma equação da forma ( m) ( m ) ( ) = F, ( ), &( ), && ( ),..., ( ); α () ode: ( ) = ( ),..., ( ) é uma fução veorial de uma variável real, ou seja, : D R R ; d () d () d () = d d d 2 &( ),,...,, 2 2 2 d () d () d () 2 && ( ) =,,...,,..., 2 2 2 d d d

3 () = ; d d d m m m ( m) d () d () d 2 ( ),,..., 2 2 2 (,,..., 2 p ) α = α α α Ω R é um veor de parâmeros; F é uma fução classe C. F : R p + m ( ) + p R que assumiremos como sedo, ao meos, de Observações relaivas à defiição:.- F é uma equação fucioal, ou seja, uma equação a qual a icógia é uma fução. Nese caso a icógia é a fução veorial ( ). 2.- A variável idepedee é coiua, iso é, oma valores reais, em odo R ou em um iervalo J R. 3.- Resolver a equação () sigifica achar as fuções ( ), ais que, juo com as suas ( m) derivadas & ( ),..., ( ), saisfazem a equação () para valores dados dos parâmeros. EQUAÇÃO DE DIFERENÇAS: Defiição 2 : Uma equação de difereças (EDif) é uma equação da forma = G,,,..., ; α + m + + m (2) ode: s R deoa o esado do sisema o período s e α é como a defiição (). Observações em relação à defiição:.- G, igual que F, é uma equação fucioal. 2.- A variável idepedee oma valores discreos ou descoíuos, iso é, J Z. Z deoa o cojuo dos úmeros ieiros. 3.- A icógia a equação (2) é a seqüêcia de veores. Lembremos que uma seqüêcia é uma aplicação que em como domíio um subcojuo dos úmeros ieiros. Na defiição, : J Z R. Para cada J, = ( ) R. 4.- Uma solução de (2) é uma seqüêcia % que, subsiuída a equação, rasforma-a uma ideidade. Resolver a equação (2) sigifica achar as seqüêcias soluções. que são suas

4 EQUAÇÕES LINEARES: Defiição 3: a) A EDO () é liear, se é liear em () e suas derivadas. b) A Edif (2) é liear, se é liear em,,..., Observações:. + + m.- O iem (a) da defiição acima sigifica os ermos da equação que coêm a variável ( m ) podem ser escrios a forma a() () + a() & () + L am () (). Caso corário, dizemos que a equação () é ão-liear. Observemos que para () ser liear ão eigimos a liearidade em e α. 2.- No iem (b) emos presee a mesma idéia em relação à liearidade, colocado ( m ) a () + a () +L a () o lugar de a () () + a () & () + L a () (). + m + m m ORDEM DAS EQUAÇÕES. Defiição 4: a) Chamamos ordem da equação diferecial () à ordem da derivada de maior ordem de ( ) que apareça a equação. b) Chamamos ordem da equação de difereças (2) à difereça ere o maior e o meor dos ídices s de a equação. EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS. s Defiição 5: ( m ) a) Uma equação diferecial do ipo a() () + a() &() + Lam () () = g () é dia homogêea se g ( ). b) Uma equação de difereças do ipo a () + a () + + Lam () + m = g() é dia homogêea se g ( ). Vejamos algus eemplos para cosolidar os coceios. Eemplo: Eemplos de equações difereciais. 3 i) & ( ) 8 ( ) = 2 + e ii) ( ) + 5 ( ) ( ) = 4 3 2 2 d d d d 2 iii) 2 + 4 + = 4 3 2 d d d d 3 2 iv) [ &( )] ( ) = l v) & + 2 ( ) =

5 i) É uma EDO liear de primeira ordem com coeficiees cosaes. ii) É uma EDO liear homogêea de seguda ordem com coeficiees variáveis iii) É uma EDO liear ão-homogêea de seguda ordem com coeficiees cosaes. iv) È uma EDO ão-liear. v) È uma EDO liear de primeira ordem, ão-homogêea, com coeficiees cosaes. Eemplo 2: Eemplo de equações de difereça. ( i) + = 2 + 3 ( ii) + 2 2+ 3 = 5 ( iii) + = ( ) k ( iv) + = r l () v + 2 = ( vi) + 2 = 5 ( vii) K = ( δ ) K + I i) É uma Edif liear de primeira ordem com coeficiees cosaes. ii) É uma Edif liear de seguda ordem com coeficiees ão-cosaes. iii) É uma Edif ão-liear. iv) É uma Edif ão-liear. v) É uma Edif liear ão-homogêea de primeira ordem. vi) É uma Edif liear ão-homogêea de primeira ordem. vii) É a equação que descreve a acumulação do esoque de capial K o empo. No período, o esoque aual é igual ao esoque do período aerior, descoada a depreciação, mais os ovos ivesimeos I o período. Nos esudaremos uicamee sisemas de equações de difereças de primeira ordem. Esa ão é uma limiação séria, já que podemos rasformar um sisema de ordem superior um sisema de primeira ordem, iroduzido equações e variáveis adicioais. Por eemplo, a equação (, ) = f (3), 2 podemos defiir a ova variável y por y = (4a), e rescrever (4) como = f(, y ) (4b). A equação de seguda ordem (3) é equivalee ao sisema formado pelas equações (4a) e (4b). Por ao, sem perda de geeralidade podemos os cocerar as equações de difereça de primeira ordem do ipo ode = G(, ; α) (5) + é um veor um Espaço Euclidiao R.

6 Para uma equação diferecial podemos fazer algo muio parecido. Por eemplo, se emos && = f( &,,, α) (6), iroduzimos y = & (7); obedo o sisema de equações formado por (7) e y& = g( y,,, α) (8), que resula equivalee à equação (6). INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA: Para compreeder melhor algus coceios e siuações em relação as equações difereciais e de difereça, é coveiee laçar mão de uma ierpreação geomérica com raízes a física. Imagiemos que a equação de difereças = g (, ; α) modela o movimeo de uma parícula um espaço R. A posição da parícula o empo é dada pelo veor. No período imediao seguie, +, a posição da parícula correspoderá ao veor. O veor difereça = em sua origem a posição associada ao empo e + + sua eremidade a posição associada ao empo +. Cosiderado os valores cosecuivos =,,2,3,...,m e os correspodees veores, obemos uma seqüêcia de veores que mosram, passo a passo o movimeo da parícula. Assim, podemos visualizar a mudaça o empo dos esados do sisema. Cada veor mosra o pulo do esado do sisema em um período para o período imediaamee cosecuivo. Ieraivamee podemos cosruir a seqüêcia de veores { ;,,2,... } = Observemos que + = = g (, ; α). + Se especificamos um valor iicial, = % R, s ieiro, o camiho idicado s pelas flechas (veores ) mosra a rajeória ou órbia do sisema e a seqüêcia, s. Evideemee, se mudamos a codição iicial ou os parâmeros, oberemos uma rajeória diferee o espaço dos esados do sisema. solução { } Na figura () mosramos uma rajeória solução de um sisema diâmico 2 discreo. O espaço dos esados é X R. 2 4 3 X Fig. : Trajeória de uma solução de um sisema diâmico.

7 Se emos uma equação diferecial & = f(, ; α) o lugar de uma equação de difereças, o movimeo da parícula o empo descreve uma curva coíua suave, o lugar da seqüêcia de pulos mosrada o casso discreo. Em cada poo dessa curva podemos omar o veor agee & ( ) = f( ( )), deermiado pelo campo veorial f. O veor & ( ), o problema físico do movimeo da parícula, é a velocidade isaâea em. Resolver a equação diferecial & = f(, ; α) correspodee ao problema diâmico coíuo é achar o cojuo de odas as fuções φ ( ) que descrevem as rajeórias das soluções pariculares o espaço dos esados. Cada φ ( ) se ecaia perfeiamee o campo veorial (dos veores agees) defiido por f ( α, ; ). Como o casso discreo, eisem em geral ifiias soluções pariculares, depedees de cada rajeória, do valor iicial o empo e dos parâmeros α. Na figura (2) mosramos o gráfico de uma seqüêcia solução o casso coíuo. & ( ) = f( ( )) Fig.2: Casso coíuo. Formalizemos o coceio de sisema diâmico: Defiição 6: SISTEMAS DINÂMICOS EM R. Um sisema diâmico paramerizado em R é um par ( X, g ), ode X R, chamado espaço dos esados, é o cojuo de odos os esados possíveis do sisema, e a p aplicação g : X R R X é uma regra que descreve o esado aual do sisema em fução do empo, do esado iicial e dos parâmeros α ( α, α,..., α 2 p ) = R. Observações a defiição: Cada esado possível do sisema é modelado por um veor de R. No caso mais simples = e X= R. Para ese caso podemos, com muia simplicidade, represear graficamee o cojuo dos esados e ierprear iuiivamee idéias que,para dimesões superiores, ficam mascaradas pelo formalismo da defiição. Como os esados mudam segudo o empo varia, precisamos iroduzir a variável idepedee empo,. Cada cojuo de valores dos parâmeros, represeados pelo veor α, modela faores de diversa ídole que, embora ão sejam variáveis edógeas do sisema, p

8 refleem caraerísicas esruurais imporaes do mesmo, ou valores eógeos, ais como políicas ecoômicas vigees que ifluem sigificaivamee a forma como mudam os esados do sisema o empo. Por ao, devem aparecer o modelo. A variação dos esados do sisema o empo vem dada pela aplicação g. Esa aplicação diz qual é o esado do sisema um dado empo, cohecidos o esado do sisema cosiderado iicial e os valores vigees dos parâmeros α. A diâmica do sisema é modelada por g, chamada de fução de rasição dos esados ou fluo. Por ao, auralmee resula, que o domíio de g deve coer um icho para os cojuos de odos os esados possíveis, para poder selecioar, dere eles, o iicial. Precisa, ambém, de ouro icho para dar o empo o qual desejamos cohecer o esado aual do sisema. Por úlimo, reservaremos ouro icho para selecioar os valores vigees dos parâmeros. Em fim, o domíio de g será um rio formado pelo cojuo dos esados possíveis do sisema, os valores do empo e o cojuo dos valores possíveis dos parâmeros α. Maemaicamee formalizamos esse domíio p pelo produo caresiao X R R. Para cohecer o sisema diâmico e seu comporameo o empo os elemeos imprescidíveis são: i) o cojuo X dos esados do sisema, ii) A aplicação g de rasição dos esados. Por ao, maemaicamee dizemos que o sisema é o par (X,g) para idicar essa uidade. Graficamee podemos dar uma idéia da aplicação g, como mosrado a figura 3. X α X Esados empo Parâmeros g Esados do sisema do sisema para escolher o esado iicial Diz como muda o sisema para escolher o empo para escolher os parâmeros vigees para cohecer o esado aual, depedee do esado iicial, do empo e dos parâmeros. Figura 3: Represeação esquemáica de um sisema diâmico paramerizado. A seguir raaremos do coceio de solução de uma equação de difereças de primeira ordem do ipo = + f (, ; α ) (6), ode é um veor de um espaço euclidiao. Primeiramee colocaremos as idéias e depois a formalização.

Uma solução da equação (6) é uma seqüêcia ou camiho o empo { } do veor de esado que saisfaz (6) para odos os valores ieiros de, ou para algum subcojuo, por eemplo, =,,2,...,. A seqüêcia { } é chamada órbia ou rajeória. Iuiivamee, uma equação como a (6) diz-os como evolui de período em período, equao a seqüêcia solução { } descreveria a rajeória de o empo como uma fução das variáveis eógeas do modelo, mais do que como uma fução dos próprios valores prévios de.. Se é dado o valor iicial do veor de esados, é fácil cosruir a seqüêcia solução, e, por ieração, ober a fução de rasição dos esados ou fluo do sisema. Assim: 9 = f(,, α) g(,, α) = f(,, α) = f[, f(,, α); α] g(, ; α) 2 = f(2,, α) = f[2, f(,, α); α] g(2, ; α) M 3 2 + = f (,, α) = fg [, (,, α); α] g (, ; α) Algumas propriedades básicas da fução de rasição se derivam imediaamee da observação que g é defiida pela composição ieraiva de f com ela própria. Se f esá é uma fução bem defiida, eise solução úica para cada dado. Mais aida, se f é coiua, g ambém é coiua; se f é difereciável, a solução depederá suavemee de α e. Observado a cosrução da seqüêcia solução vemos que a solução de um sisema dado de equações de difereça ão é úico, pois depede do valor iicial do veor de esado. Por eemplo, a equação vii do eemplo 2, se omamos I = para cada, cada valor iicial do esoque de capial K gerará uma rajeória de esoques de capial diferees, embora paralelas. Esa siuação coduz ao coceio de problema de valores de cooro (boudary-value problem) que esabelece a procura da solução da equação (6) al que = (6), ou seja, especifica que a variável de esado deve s omar o valor para =s. A codição = assumida correspode a um ipo paricular de problema de s valor de cooro, chamado problema de valor iicial, que especifica o valor da variável de esado em algum poo cosiderado iicial. A escolha do dio poo iicial depede mais de cosiderações ecoômicas que maemáicas. Embora uma equação de difereça pode eveualmee er ifiias soluções, o problema de valores de cooro deermia que, sedo f uiavaliada a equação (6), a solução é úica. O problema de valor iicial oma a rajeória que passa pelo poo o empo s. Por ieração a eq. (6) calcularíamos s+ s+ 2,,... a parir de =s.

Devemos disiguir a solução geral da equação (6) das diferees soluções pariculares. A solução geral de (6) descreve a família de odas as seqüêcias que saisfazem a equação, iso é, o cojuo {{ } + } g = ( ; c; α) = = f(, ; α) D( c, α) ode D é algum subcojuo de Z, cojuo dos úmeros ieiros; e c é um veor cosae e arbirário que idea a família de seqüêcias { } que são soluções da equação (6). Pode-se ser achada uma forma eplícia da solução geral e é dada uma codição iicial apropriada, eremos uma descrição complea do comporameo do sisema o empo. Eão será fácil ver como o sisema respode a variações dos valores dos parâmeros. Tais soluções eplícias esão dispoíveis somee para ceras classes de sisemas lieares. Para sisemas ão-lieares, em geral, ão esão dispoíveis soluções eplícias e eremos que acudir ao esudo de aspecos qualiaivos do comporameo das soluções das equações. Formalizaremos eses coceios e euciaremos os eoremas que proporcioam as pricipais propriedades. Defiição7: Seja a equação em difereça + = f(, ; α) (6), ode + + p f : I X Ω R X ; sedo X R ; I um cojuo de ieiros p cosecuivos (para abreviar chamaremos I de iervalo ) e Ω R. Uma solução paricular da equação (6) é uma seqüêcia : J X defiida em algum J I, chamado seu cojuo ou iervalo de defiição, al que + = f(, ; α) J. A solução geral da equação (6) é o cojuo de odas as soluções pariculares, ou seja, { φ(): (, ; α) ; I} g = J X = f J J Cada solução paricular de (6) esa associada a um problema de calor iicial. Defiição 8: Dada uma solução da equação (6) defiida o iervalo I Z, chamamos de órbia do problema diâmico discreo iduzida por ao cojuo γ ( ) = ( J ) = { X; = ( ) para algum J } Observemos que as órbias são cojuos discreos. Teorema de eisêcia e uicidade de soluções para o problema de valores de cooro de sisemas diâmicos discreos paramerizados: + + p Teorema : Seja f : I X Ω R R uma fução bem defiida e I um cojuo de ieiros cosecuivos. Eão, o problema de valores de cooro

+ = (,, α), s = [PD((,, ) f s α ] em uma seqüêcia solução s,, α I X Ω. Esa solução esá defiida um cojuo maimal Jm (, s, α) I que coem s e depede do esado iicial e dos parâmeros do problema. Aida, a solução é úica para odo s, o seido que se y é uma solução do [PD(( s,, α ) ] defiida em algum cojuo J y, eão J (,, ) y Jm s α e = y para odo Jy com s. para cada ( ) Formulemos os coceios e resulados semelhaes para equações difereciais. Cosideremos o sisema coiuo o empo & = f(, α, ) (7), ode f rasforma + p algum subcojuo de X Ω I de R o cojuo X R, e I é um iervalo da rea real. Defiição 9: Uma solução paricular de (7) é uma fução difereciável φ : Jφ X, defiida em algum iervalo Jφ I, que saisfaz a equação (9) em J φ, iso é, al que φ () = f [ φ(), α, ] J φ Defiição : A órbia do sisema diâmico coiuo (7), iduzida pela solução paricular φ(), é o cojuo γφ ( ) = φ( J ) = X; = φ( ) para algum J φ { φ} Observação: A órbia é a rajeória deermiada o espaço dos esados X, pela solução paricular φ. Ou seja, é o cojuo imagem da aplicação φ sobre o domíio J φ. A órbia os permie visualizar o movimeo do sisema o empo. Chamaremos problema de valore iicial ao problema da deermiação da uma solução paricular φ da equação (9) al que, para J φ e X, fios, em-se φ( )=. O seguie eorema esabelece a eisêcia e uicidade da solução do problema de valor iicial para um sisema diâmico coiuo: + p+ Teorema 2: Seja f : X I Ω R R de classe C o cojuo X I Ω, ode X e Ω são cojuos aberos e I é um iervalo abero de R. Eão o problema de valor iicial & = f(, α, ), ( ) = em uma úica solução φ( ) = φ(,,, α) para cada (,,, α) X I Ω defiido um iervalo abero maimal Jm(,, α) I coedo, que depede dos dados iiciais e dos parâmeros do sisema. Iso é, se Ψ( ) é uma solução do problema de valor iicial, defiida em algum iervalo J Ψ, eão JΨ Jm (,, α ) e Ψ ( ) = φ( ) para odo. Aida, o fluo do sisema, φ(,,, α ) é de classe C. J Ψ

2 Da uicidade ese eorema pode-se iferir que as soluções pariculares de uma equação diferecial ão se cruzam, o seido que duas rajeórias ão podem passar pelo mesmo poo ao mesmo empo. Agora abordaremos os chamados sisemas auôomos. Sisemas Auôomos: Um sisema diâmico é dio auôomo se a variável empo,, ão aparece como argumeo separado em f, ou seja, se a equação (6) oma a forma + = f(, α) (8) Iuiivamee, um sisema auôomo modela a siuação em que o comporameo do sisema muda o empo, mas as caracerísicas esruurais permaecem as mesmas, com idepedêcia do empo. A uicidade da solução o problema de valores de cooro implica que as rajeórias de duas soluções diferees ão podem passar pelo mesmo poo ao mesmo empo. Mas é possível que as rajeórias de duas soluções diferees passem pelo mesmo poo em empos diferees. A causa é que a equação (6), = f(, ; α), o campo veorial f depede, além do esado aual, do empo. + Vejamos uma ierpreação geomérica da equação auôoma (8). Defiamos o coceio de difereça: Defiição : Seja uma fução de, =,,2,3,... a) A primeira difereça de, deoada, é a variação em, quado varia de a +, ou seja, =. Aalogamee são defiidas as difereças + de ordem superior. b) A seguda difereça de é: 2 = ( ) = = 2 + + + 2 + c) A k-ésima difereça de é k k k k! i = ( ) = ( ) ( k i)! i! + k i i= Para ver a ierpreação geomérica de (6) basa a primeira difereça. Subraido de ambos os lados de (6) resula = f (, ; α) + d (, ; α) f, ; α. Eão (6) ficaria rescria como Seja ( ) (, ; ) = d α (9) Uma forma de resumir a iformação dada pela equação (6) é associar a cada poo do espaço dos esados X o veor (, ; ) d α com origem em. A fução d é chamada

3 campo veorial (uma aplicação cujo domíio e coradomíio são cojuos de veores é deomiada campo veorial) Podemos dar à equação (6) uma ierpreação física aural, pesado que (6) descreve o movimeo de uma parícula que pula em cada período de empo de um poo para ouro um espaço -dimesioal. Num dado poo o empo, o valor do veor de esado descreve a posição da parícula e = d(, ; α ) descreve o próimo pulo. Dada uma posição do sisema em um cero empo, os emos uicamee que seguir as flechas para deermiar a rajeória fuura. A figura 4 ilusra iso. 2 +5 + +4 +2 +3 Figura 4: Uma rajeória paricular. Nas figuras (5) e (6) comparamos o que pode acoecer com as rajeórias em um sisema auôomo e em um ão-auôomo. Fig. 5: Sisema ão-auôomo Fig. 6: Sisema auôomo Em empos diferees, varias rajeórias Uma úica rajeória solução Podem passar pelo mesmo poo pode passar por cada poo de X. Dada uma codição de valor iicial (iiial codiio) em =, por ieração em (8) podemos calcular a seqüêcia solução: 2 + 2 ( ) = f( ; α) = f[ f( ); α] f ; α M = f( ; α) ( ) + = f( ; α) = f[ f ( ); α] f ; α ode f deoa a -ésima ieração de aplicação f. A fução de rasição

4 ( α ) (; ; α) = f ; () é, as vezes, chamada de fluo do sisema (flow of he sysem). Lembremos que ambém é chamada de fução de rasição dos esados. Esa fução os da o valor do veor de esado em fução dos parâmeros do sisema, a posição iicial e o empo. + Defiamos alguma ermiologia adicioal: A órbia posiiva de (8) aravés de é o cojuo: { ( ) } ( ) ( ) { } 2 γ ( ; α) = X = f ; α, =,,2,... =, f ; α, f ; α,... Se a aplicação f é iversível podemos escrever = f ( ) e, rerocededo + ieraivamee desde o poo iicial, cosruir a órbia egaiva { ( ) } ( ) ( ) { } 2 γ ( ; α) = X = f ; α, =,,2,... =, f ; α, f ; α,... Fialmee, defiimos a órbia de (8) aravés de γ eseja bem defiida: ( ) + ( ) U ( ) ( ) + como a uião γ γ, supodo que { } γ ; α = γ ; α γ ; α = X = f ; α, =, ±, ± 2,... Muias quesões ecoômicas podem ser colocadas em ermos das propriedades das seqüêcias soluções, os fluos e as órbias. Dado um sisema auôomo = f( ; α), os gosaríamos de deermiar primeiramee como o sisema se compora o empo para um dado valor do parâmero α. Já sabemos que ese problema ão em uma solução geral. Para sisemas com pequeas dimesões, as propriedades qualiaivas podem ser esudadas graficamee os diagrama de face. De paricular imporâcia resula o comporameo asióico ( asympoic or log-ru behavior) das soluções do sisema. Em muios casos ao meos uma solução { } do sisema dado em um comporameo simples quado. Veremos os coceios de seady sae e equilíbrio periódico e iroduziremos o coceio de esabilidade. Ouro assuo de ieresse é a deermiação das variações do comporameo do sisema perae mudaças os valores de ceros parâmeros que descrevem políicas vigees ou raços básicos da ecologia ou das preferêcias, que ficam subjacees a aplicação f. Seady Sae, equilíbrio periódico e esabilidade. Cosideremos um sisema auôomo coíua, e seja { } segue que + = f( ) (.4) ode f é uma fução uma seqüêcia solução al que * = lim. Da coiuidade de f * é uma solução de (.4),

5 * * = = = = + lim lim f ( ) f (lim ) f ( ) Daqui, soluções cosaes êm um papel especial a aálise do comporameo dos sisemas diâmicos auôomos. Elas merecem um ome especial. Defiição : (Seady Sae ou poo fio) Um poo X é um seady sae do sisema da aplicação f, ou seja, se = f( ). + = f( ) se é um poo fio Os esados esacioários ou poos fios de sisemas diâmicos auôomos ãolieares são valores da variável de esado que serão preservados perpeuamee se forem aigidos. Eses poos de repouso correspodem auralmee à oção ecoômica de equilíbrio o logo prazo, iso é, posições assióicas que a ecoomia pode alcaçar em resposa ao equilíbrio, resulae da soma de odas as forças eeras auaes sobre ela. Eisem codições suficiees para a esabilidade que serão esudadas poseriormee. Há duas formas de defiir o coceio de esabilidade para um poo fio de um sisema diâmico: Defiição : O esado é um poo fio esável ( ou esável segudo Liapuov) da aplicação f se: ε > δ ], ε[ al que < δ < ε para odo ieiro s. s O seido desa defiição é mosrado a figura.3(a). Cosiderado a bola de radio δ cerada em ; é esável se qualquer órbia { } que ere a δ-bola em algum empo s permaece sempre dero da bola de radio ε cerada em. Defiição 2: (Esabilidade assióica). O esado é assioicamee esável se ele é esável e se a cosae δ a úlima defiição pode ser escolhida de forma al que, se < δ para algum s, s eão quado. Em ouras palavras, rajeórias que em algum poo alcaçam a vizihaça de além de permaecer pero se aproimam assioicamee do seady sae, como ilusra a figura.3(b). A maior vizihaça a parir da qual qualquer órbia que ere coverge assioicamee ao seady sae é chamada região de esabilidade assioica de ( basi of aracio ou regio of asympoic sabiliy de ). Se esa região coicida com o espaço X, de modo que oda rajeória possível coverge a, dizemos que o seady sae é globalmee assioicamee esável. Nem oda órbia esável é assioicamee esável; rajeórias periódicas, como as dos plaeas em vola do sol. As órbias periódicas são o ipo mais simples de solução dos sisemas periódicos, depois dos seady saes.

6 Vejamos a figura 7. Figura 7: (a) é esável. (b) é assioicamee esável. (c) é isável. (d) é esável, mas ão é assioicamee esável. Referêcias Bibliográficas: [] Fuee de la, Agel. Mahemaical Mehods ad Models for ecoomiss. Cambridge Uiversiy Press. 2. [2] Azariadis Cosas. Ieremporal Macroecoomics. [3] Shoe, Roald. 997. Ecoomic Diamics. Cambridge. Uiversiy Press. [4] Chiag, Alpha C. 999. Elemes of Dyamic Opimizaio. Wavelad Press.