A função zeta de Riemann

Transcrição

1 A fução zea de Riema Maria Cecília K. Aguilera-Navarro, Valdir C. Aguilera-Navarro Deparameo de Maemáica - UNICENTRO Guarapuava, PR Deparameo de Química e Física - UNICENTRO Guarapuava, PR Ricardo C. Ferreira 3 e Neuza Teramo 3 3 Deparameo de Maemáica - UEL Lodria, PR Resumo: Faz-se um esudo exesivo da fução zea de Riema. Sua origem e relação com a eoria dos úmeros primos ambém são discuidas. Palavras chaves: Fução zea de Riema Absrac: The origi of he Riema zea fucio is preseed. A exesive sudy of his fucio is carried ou. Is relaio wih he heory of prime umber is also discussed. Key words: Riema zea fucio. Irodução A fução zea de Riema desempeha um papel muio imporae em várias áreas de pesquisa modera. Na Física Teórica aparece em problemas de regularização de deermiaes ifiios que surgem em Teoria de Campos; e, ambém, em algus rabalhos eóricos sobre o imporae feômeo da supercoduividade. Mas é ere os maemáicos que aquela fução exerce um maior fascíio devido, pricipalmee, à famosa cojecura de Riema (que discuiremos abaixo). Para se er uma idéia da imporâcia dessa cojecura, agora que foi provado o Úlimo Teorema de Ferma (um parêeses: úlimo o seido de úlimo a ser provado), levaou-se a seguie quesão: e agora, ode ecorar moivação para coiuar ispirado, provocado

2 edesafiado as próximas gerações de maemáicos? Aqui a cojecura de Riema despoa como um dos cadidaos ao lado da cojecura dos primos gêmeos e ouros problemas mais complexos. De relevae imporâcia para o esudo dos úmeros primos, a fução zea de Riema ivariavelmee ocupa amplo espaço em qualquer exo sobre a Teoria dos Números. Sua relação com ouras fuções especiais ambém lhe reserva uma posição imporae a Teoria das Fuções. Apesar de sua relevâcia, os auores ão cohecem ehuma lieraura em lígua poruguesa sobre o assuo. O presee rabalho é uma pequea coribuição para aqueles que eham ieresse, ou mesmo curiosidade a respeio da fução zea de Riema, e ão eham acesso à lieraura esrageira. O que se espera do leior são apeas coceios básicos de Aálise Maemáica e da Teoria das Fuções de Variável Complexa. Nese rabalho desevolveremos um esudo geral da fução zea de Riema. Na próxima seção mosraremos sua origem, daremos sua defiição e algumas de suas propriedades elemeares. Na seção 3, apresearemos algus resulados prelimiares visado ao esudo poserior de suas propriedades aalíicas. A fução zea de Riema permie uma represeação iegral que será esudada a seção 4. Nas seções 5 e 6, esederemos o domíio de defiição da fução zea de Riema e derivaremos a sua equação fucioal, que esabelece uma relação com a fuç ão gama de Euler. A famosa cojecura de Riema, que permaece um problema abero a Maemáica, é apreseada a seção 7. Como veremos, a fução zea de Riema origiou-se da busca de solução a um problema a eoria dos úmeros primos. Sua relação com ais úmeros é esudada a seção 8. Algus cálculos algébricos foram deslocados para o Apêdice A, para ão cogesioar o exo pricipal. No Apêdice B colecioamos algumas das propriedades da fução zea de Riema e lisamos seus valores em algus poos pariculares. Fialmee, uma bibliografia é oferecida para os ieressados em se aprofudar sobre o ema.. Defiição da fução zea de Riema Quado eava ober uma fórmula que permiisse calcular o úmero de primos meores do que um úmero dado, Georg Friedrich Berhard Riema (86-866) foi coduzido a ivesigar a série ζ (z) z (.) hoje cohecida como fução zea de Riema. Nese rabalho vamos empregar, ambém, a desigação mais simples de fução zea, sempre subeededo que se raa da fução zea de Riema. A variável z éumúmerocomplexodaforma z x + iy, ode i, e x e y são reais. Veremos que esa fução é aalíica o semi-plao x Re(z) >. Mosraremos, ambém, que a aaliicidade de (.) podeseresedidaaodoplaocomplexo,exceoopooz. Aes,porém,de 4

3 esudar a covergêcia da série (.), examiemos algumas caracerísicas da fução zea de Riema. A figura. mosra um gráfico da fução ζ para valores reais do seu argumeo. Noemos, e passa, algumas caracerísicas gerais dessa fução, odas elas ilusradas a figura. Todos os zeros reais esão o eixo real egaivo, localizados os poos x,,,..., iso é, ζ( ). Nocasopariculardaorigem, emos ζ() /. Sua úica sigularidade esá em x, ode seu resíduo, como veremos, é ambém. Fialmee,ζ(x) > para x> e ζ(x) quado x. Figura.. Fução ζ(x), xreal. Afigura mosra os zeros riviais em x,,, 3,... e a localização do úico pólo em x. Noemos que ζ().5 equeζ(x) quado x. As escalas são diferees as pares esquerda e direia do gráfico. Para valores ieiros, a fução ζ foi esudada por Euler, que provou a seguie fórmula oável o caso de argumeos ieiros posiivos pares ζ () (π) ()! B,,,... (.) ode B k são os úmeros de Beroulli defiidos como os coeficiees da expasão de Taylor da fução /(e ), isoé Os primeiros úmeros de Beroulli são e X k B k k! k (.3) B,B,B 6,B 3,B 4,... (.4) 3 Euler foi o primeiro a mosrar que a soma dos recíprocos dos quadrados dos ieiros posiivos, iso é ζ (), vale π /6 (esse valor pode ser verificado a parir do resulado (.)). A equação (.) mosra que o valor da fução ζ para argumeos ieiros posiivos é proporcioal à poêcia de π. Umaquesãoaidaem abero é se o mesmo é verdadeiro quado o argumeo de ζ éumieiroposiivo 5

4 ímpar. Por exemplo, será que ζ(3) éproporcioalaπ 3? Receemee, em 978, R. Apéry provou que ζ(3) é pelo meos um úmero irracioal. Nos poos ímpares egaivos o valor da fução zea ambém pode ser expresso em ermos dos úmeros de Beroulli, a saber ζ ( ) B,,,... (.5) Quado o argumeo z da fução zea é complexo, esa fução assume valores ambém complexos. Na figura. mosramos o gráfico do valor absoluo, ζ(z). O iverso de ζ(z) é mosrado a figura.3. Figura.. Valor absoluo ζ(z) da fução zea de Riema para z x + iy. Nesa figura, e a seguie, podemos observar algus zeros ão riviais da fução zea de Riema e o pólo em x. Figura.3. Iverso de ζ(z) para z x + iy. Nesafigura, e a aerior, podemos observar algus zeros ão riviais da fução zea de Riema. 6

5 Algumas ouras propriedades e valores especiais da fução zea de Riema são lisadas o Apêdice B. Após essa breve apreseação de algumas propriedades da fução zea de Riema, passemos a discuir a covergêcia da série (.). Primeiramee examiemos a covergêcia da série com Re (z) +ε. z Seja um úmero ieiro posiivo. Temos as seguies igualdades, Porao, z el( z ) ez l() e(re(z)+iim(z)) l() e Re(z)l() e iim(z)l() e Re(z)l() e l(re(z)) Re(z) z Re(z) (.6) Se Re (z) +ε, ode ε é um úmero posiivo e arbirariamee pequeo, eremos, z Re(z) (+ε) (.7) As séries são cohecidas por p-séries ou séries hiper-harmôicas. Essas p séries covergem se p> e divergem se p. Nocasodarelação(.7), p +ε >, ou seja, a série (+ε) é covergee. Usado ese resulado, juamee com o ese M de Weiersrass, podemos cocluir que a série coverge uiformemee e absoluamee se Re(z) >. Segue-se, porao, que a fução zea de Riema é aalíica se Re(z) >. Podemos eseder a aaliicidade de ζ, para < Re(z) < e fuuramee para odo C, exceoopooz, ode ocorre o úico pólo da fução ζ, como ilusrado a figura.. Com o objeivo de ampliar a aaliicidade da fução zea, precisaremos de resulados prelimiares, que serão desevolvidos com o propósio de ober a equação fucioal de Riema. Com essa equação, poderemos eseder o domíio da fução ζ, para odo o plao complexo C, com exceção do poo z. 3. Resulados prelimiares O primeiro eorema que cosideraremos ese rabalho raará da aaliicidade de uma fução defiida aravés de uma iegral. Esse resulado será de fudameal imporâcia para se eseder a aaliicidade da fução ζ, uma vez que esa admie, ambém, uma represeação iegral coforme será esudado a próxima seção. z 7

6 Teorema Seja :[a, b] C uma curva reificada e G um domíio em C. Sejam ϕ : {} G C uma fução coíua e h : G C defiida por h(z) ϕ (, z) d (3.) eão h é coíua. Se ϕ exise para cada poo (, z) em {} G eécoíua, z eão h éaalíicae h ϕ (z) (, z) d (3.) z Prova: Iicialmee provaremos que h é coíua em G, ou seja, dado ε > exise δ > al que h(z) h(z ) < ε sempre que z z < δ paraodosospoosz G. Temos h(z) h(z ) ϕ (, z) d ϕ (, z ) d [ϕ (, z) ϕ (, z )] d ϕ (, z) ϕ (, z ) d Como a fução ϕ é coíua, por hipóese, emos que sempre que ϕ (, z) ϕ,z < ε (b a) + z z < δ (3.3) para odos os poos (,z ) {} G. Emparicular,fixado um qualquer de eremos que ϕ (, z) ϕ, z < ε (b a), sempre que z z < δ paraodosospoos(, z ) {} G. Segue, assim, que h(z) h(z ε ) d ε (3.4) (b a) para qualquer poo z G. Logo, h écoíuaemg. 8

7 O osso próximo objeivo é mosrar que h é aalíica em G. Para iso, basa mosrar que h é difereciável em odos os poos z perecees a G. Pordefiição, emos que h h (z + z) h(z) (z) lim lim z z z Eão, devemos mosrar que I ϕ (, z + z) ϕ(, z) z ϕ (, z + z) ϕ(, z) dz (3.5) z ϕ(, z) z d (3.6) quado z. Cosideremos o disco ξ z ρ coido em G, e z < ρ. Como, por hipóese, ϕ exiseemodosospoosdeg,ouseja,ϕ é aalíica em G, podemos represear z ϕ por uma série em oro do poo z + z, asaber, ode ϕ (, z + z) ϕ(, z)+ϕ z (, z) z + R (, z, z) (3.7) R (, z, z) ( z) πi k ϕ(, ξ) (ξ z) dξ (3.8) (ξ z z) sobre a circuferêcia k : ξ z ρ. Como ϕ é coíua em G, em paricular ϕ é coíua em k; como k é um compaco, segue que ϕ é limiada por uma cosae posiiva M em k, ou seja, ϕ(, z) M, z k. Logo R (, z, z) z πi z πi k k ϕ(, ξ) ξ z ξ z z dξ M ρ (ρ z ) dξ M ρ (ρ z ) z (3.9) Se z, eão R (, z, z). Voladoàexpasãoemsérie(3.7),emosque µ ϕ (, z + z) ϕ(, z) z ϕ (, z) (3.) z e, coseqüeemee, I µ ϕ (, z + z) ϕ(, z) z ϕ (, z) z (3.) 9

8 quado z e, porao, h (z) ϕ (, z) d (3.) z exise para odos os poos z G, resulado que h é aalíica em G. A coiuidade de h em G é imediaa, pois uma vez que ϕ é coíua em G, segue da primeira z pare que h ambém é coíua em G. Lema (i) Sejam ε > e S {z :Re(z) a} ode a>. Eão exise um β úmero δ, ( < δ < ), al que para odo z em S, e z d < ε, ode δ > β > >. (ii) Seja S {z :Re(z) A}, ode <A<. Se ε >, eão exise um β úmero k>al que para odo z em S, e z d < ε, ode β > >k. Prova de (i): Como e, para odo, emos que para < e z S e z z a (3.3) Como < < β < e a>, eão, para odo z S, emos que β e z d β e z d β a d a a β a " µ a # β (3.4) Porao, para um ε > podemos ecorar δ, < δ <, al que (i) sejasaisfeio. Prova de (ii): Se e z S, z A, por ouro lado, a fução A e é coíua o iervalo [, ) e coverge para zero quado, eão, exise uma cosae c al que A e c para odo. Assim, e z e z e e ce e (3.5) para odo z em S e. Se β > >k>, eão β e z d c β Ã!Ã e (e ) e β e + d c l! e β + e (3.6) 3

9 Logo, dado ε > exise um úmero k>, al que Ã!Ã c l e β e +! e β + e < ε (3.7) para β > >k,o que prova a pare (ii). Observemos que, pelo Teorema, as iegrais β β e z d, < < β < e e z d, < < β são coíuas e aalíicas o iervalo [, β]. (3.8) Teorema (i) Se S {z : a Re(z) A}, ode <a<a<, eão a iegral e z d coverge uiformemee e é aalíica em S. (ii) Se S {z :Re(z) A} ode <A< eãoaiegral coverge uiformemee e é aalíica em S. Prova de (i): Sejam ϕ (, z) e z e f (z) ϕ (, z) d sobre o seg- meo de rea,. Pelo Teorema, exise ϕ z porao, f é aalíica sobre S. Cosideremos <<m. Eão, / sobre odos os poos de e z d, S, f m (z) f (z) m ϕ (, z) d ϕ (, z) d /m / / m ϕ (, z) d + /m / m ϕ (, z) d + /m / m ϕ (, z) d + /m ϕ (, z) d + ϕ (, z) d + ϕ (, z) d m m m ϕ (, z) d ϕ (, z) d ϕ (, z) d + ϕ (, z) d m (3.9) 3

10 PeloLemaemosque / m ϕ (, z) d < Assim, /m f m (z) f (z) / /m ϕ (, z) d < ε m ϕ (, z) d + e m ϕ (, z) d < ε (3.) ϕ (, z) d < ε + ε ε (3.) logo, a seqüêcia {f } é uma seqüêcia de Cauchy sobre o cojuo das fuções aalíicas que é compleo, pois, ese é um subcojuo do cojuo das fuções coíuas que ambém é compleo. Dese modo, a seqüêcia {f } coverge para uma fução f que é aalíica, ou seja, para emos f(z) e z d (3.) A covergêcia uiforme segue do fao de que uma seqüêcia de Cauchy coverge uiformemee. Porao, f(z) e z d (3.3) é aalíica e uiformemee covergee em S. Prova de (ii): Sejam ϕ(, z) e z e f (z) ϕ (, z) d sobre o iervalo [,]. Pelo Teorema, ϕ écoíuae ϕ exise sobre [,] S. Assim, pelo z resulado aerior, f é aalíica em S. Cosideremos <<m.eão m f m (z) f (z) ϕ (, z) d ϕ (, z) d Pelo Lema emos que ϕ (, z) d + m m ϕ (, z) d m ϕ (, z) d (3.4) ϕ (, z) d < ε (3.5) 3

11 Segue que m f m (z) f (z) ϕ (, z) d < ε (3.6) ou seja, a seqüêcia {f } é de Cauchy sobre o espaço das fuções aalíicas. Com os mesmos argumeos usados a demosração da pare (i), podemos cocluir que a fução f(z) ϕ (, z) d (3.7) é aalíica e coverge uiformemee em S. 4. Represeação iegral A fução zea de Riema, defiida em (.), admie a seguie represeação iegral(queseráprovadaoteorema3abaixo): ζ(z) Γ (z) ode Γ (z) é a fução gama de Euler, defiida por Γ (z) z (e d, Re(z) > (4.) ) e z d (4.) para Re(z) >. Como prelimiares para o Teorema 3, façamos a mudaça de variável u a iegral (4.), obedo Γ (z) e u (u) z du z e u u z du (4.3) dode z Γ (z) e u u z du (4.4) Somado sobre odos os ieiros posiivos em ambos os lados da igualdade acima, e cosiderado Re(z) >, emos z Γ (z) e u u z du (4.5) 33

12 dode segue que ζ(z)γ (z) ode usamos a defiição (.). e u u z du (4.6) Teorema 3 Para Re(z) >, ζ(z)γ (z) e z d (4.7) Prova: De acordo com o Teorema, a iegral e z d é uiformemee covergee e aalíica a região ode Re(z) >. Assim, é suficiee mosrar que ζ(z)γ (z) é igual à iegral e z d para z x>. Pelo Lema, exisem úmeros e β, < < β <, ais que e x d < ε 4 e e x d < ε 4 (4.8) β Por ouro lado, X e k e k (e ) (4.9) k k para odo e. Coseqüeemee, e x d ε 4 e e x d ε 4 (4.) β 34

13 Segue que (x) e ζ(x)γ x d e x d e x d β e x d + e x d + e x d β e β x d e x d e x d β β β ε + e x d (e ) x d ε pois e coverge uiformemee para e o iervalo [, β], ou seja, Porao, ζ(z)γ(z) β β e x d (e ) x d. e z d, para Re(z) >. 5. Exesão do domíio da fução ζ Vimos, a seção, que a fução zea de Riema é aalíica o semi-plao Re(z) >. Vamos usar o eorema 3 da seção aerior para eseder o domíio de defiição de ζ para a faixa < Re(z) <. Na próxima Seção, esederemos o domíio de defiição da fução ζ para odo plao complexo C. Cosideremos a expasão de Laure de (e z ), a saber, e z z + X a z (5.) para ceras cosaes a,a,a 3,... que ião precisamos cohecer expliciamee ese momeo. Assim h(e z ) z permaece limiada em uma vizihaça 35

14 de z. Masisoimplicaqueaiegral µ e z d coverge uiformemee sobre subcojuos compacos o semi-plao complexo direio Re(z) > represeado, porao, uma fução aalíica essa região. Por ourolado,peloeorema3daseçãoaerior,emos ζ(z)γ(z) e z d e z d + e z d e z d (z ) +(z ) + e z d z d +(z ) + h e i z d +(z ) + Usado o eorema, podemos afirmar que as iegrais e z d e z d e z d (5.) h e i z d e e z d (5.3) queaparecemem(5.)sãoaalíicassere(z) >. A fução (z ) éaalíica se Re(z) >, exceo o poo z. Assim, ζ (z) h e i z d +(z ) + e z d Γ (z) (5.4) é aalíica para Re(z) >, exceo o poo z, ou seja, ζ é meromorfa o semiplao {z :Re(z) > }, com um pólo simples em z. Observemos que quado z, éasérieharmôicaquesabemosserdivergee. 36

15 Para < Re(z) <, emos (z ) z d. Subsiuido ese resulado a equação obida para ζ(z)γ(z), (5.), obemos ζ(z)γ(z) µ e z d, < Re(z) < (5.5) Cosiderado, ovamee, a expasão de Laure de (e z ), (5.), podemos afirmar que (e z ) z + cz, para alguma cosae c eparaodoz o iervalo [, ]. Assim a iegral µ e + z d c z d c z + (5.6) é uiformemee covergee sobre subcojuos compacos ode Re(z) >. Como exise uma cosae c al que µ lim e, (5.7) µ e c (5.8) para. Logo, µ e z d c z d c z (5.9) desde que Re(z) <, ou seja, a iegral (5.9) é uiformemee covergee sobre subcojuos compacos ode Re(z) <. Usado a equação (5.5) e os resulados das úlimas sub-seções, vamos eseder odomíiodadefiição da fução ζ para a faixa < Re(z) <. Da equação (5.5), emos para < Re(z) < 37

16 ζ(z)γ(z) µ e z d µ e z d + µ e z d µ e z d + z z + µ e z d µ e z d + z d z + µ e z d µ e + z d z + µ e z d (5.) Mas, como ambas as iegrais covergem a faixa < Re(z) <, podemos usar ese resulado para defiir ζ a faixa < Re(z) <, com exceção do poo z, que será aalisado em seguida. Reescrevedo (5.) a forma ζ (z) Γ (z) µ e + z d z + µ e z d (5.) oamos um aparee problema o poo z, quepodeserresolvidodaseguie forma. O ermo zγ (z) o deomiador é igual a Γ (z +), porao, o poo z, emoszγ (z) Γ () que elimia o aparee problema. Porao, a fução ζ esá defiida e é aalíica a faixa ode < Re(z) <, simples em z. 6. Equação fucioal de Riema comumpólo Nesa seção vamos derivar uma relação de fudameal imporâcia a eoria da fução zea de Riema, a equação fucioal de Riema. Vamos examiar mais dealhadamee a equação (5.). Para < Re(z) <, z 38 z d (6.)

17 Subsiuido ese resulado a equação (5.), ela pode ser reescria como ζ (z) µ Γ (z) e + z d (6.) Porém, e + De fao, sabemos que cos(z) eiz + e iz µ e + e i µ i cog cog(z) cos(z) se(z) dode µ i i cog No Apêdice A, mosramos que πcog (πa) a + X ese(z) eiz e iz eiz + e iz i (eiz e iz ) e + e i (6.3).Desaforma, (6.4) (6.5) a a, a / (6.6) Tomado a i/π a expressão (6.6), emos µ i cog i 4i X +4, 6 (6.7) π Combiado as equações (6.7) e (6.3), obemos µ e + X +4π Subsiuido ese resulado a equação (6.), segue que Ã! X µ ζ (z) Γ (z) +4 π z d +4 π Efeuado a mudaça de variável πg θ, dπ (sec θ) dθ, vem Ã! [π g θ] z π (sec θ) ζ (z) Γ (z) [π g θ] dθ +4 π (π) z Ã! (g θ) z (sec θ) (g θ) dθ + z d (6.8) (π) z (g θ) z dθ (6.9) 39

18 Fazedo uma ova mudaça com (6.9) como u g θ, du(secθ) dθ, podemos reescrever ζ (z) Γ (z) (π) z (π) z X z ³ u z u + ³ u z sec (θ) du (π) z du (π) z ζ ( z) ³ ³ u z u + u z (g θ) + du du (6.) para < Re (z) <. Por ouro lado u z u + du π sec(π z) (6.) edaeoriadafuçãogamadeeuler,emos Γ (z) Γ ( z) Γ ( z) se (πz) π π h se ³ πz cos ³ πz i (6.) Subsiuido (6.) e (6.) em (6.), obemos fialmee que ³ ζ (z) (π) z πz ζ ( z) Γ ( z) se (6.3) para < Re (z) <. O resulado expresso em (6.3) é a equação fucioal de Riema. O eorema abaixo esede o domíio da fução zea de Riema e de sua equação fucioalparaodoplaocomplexo,exceoopooz. Teorema 4 A fução zea de Riema pode ser defiida de modo que ela seja meromorfa o plao complexo edo um pólo simples em z e Res [ζ, ]. Para z 6, ζ saisfaz a equação fucioal de Riema ( 6.3). Como Γ ( z) em pólos em z,,... e como ζ é aalíica em z, 3,... sabemos, da equação fucioal de Riema que, ³ πz ζ ( z) se (6.4) para z, 3,.... Ereao, ³ como os pólos de Γ ( z) em z, 3,... são πz ³ πz simples, cada zero de ζ ( z)se deve ser simples. Como se, quado z é um ieiro par, eão ζ ( z) para z 3, 5,... Iso é, ζ (z) para z, 4,... Um raciocíio similar os leva a cocluir que ζ ão em zeros fora da faixa {z : Re(z) }. Desa forma, cocluímos que a fução ζ saisfaz a equação fucioal de Riema ³ ζ (z) (π) z πz ζ ( z) Γ ( z) se (6.5) para odo z 6. 4

19 7. A cojecura de Riema A famosa cojecura ou hipóese de Riema esá relacioada com os zeros da fução ζ. Os zeros da fução zea localizados em z,,,... são chamados zeros riviais. Aquelegrademaemáicoafirmou que a fução ζ em ifiios zeros a faixa Re(z), cohecida por faixa críica. J. Hadamard foi oprimeiroaprovaresaafirmação, em 893. UmadasmaisfamosasquesõesemaberodaMaemáicaéahipóese de Riema sobre os zeros ão riviais da fução zea. A hipóese de Riema esabelece que odos os ifiios zeros da fução ζ, perecees à faixa críica Re(z), esãosobreareare(z), que é chamada de rea críica. Desa forma, os zeros ãoriviaisdafuçãoζ, deacordocomacojecuraderiema,sãoifiios e da forma z + iσ, comσ real. Aé o momeo, ehuma prova foi apreseada para esa cojecura. Ese problema ão é um ipo de problema que pode ser abordado por méodos elemeares. Já deu origem a uma exesa e complicada bibliografia. Riema euciou, ambém sem provar, a seguie fórmula assióica para o úmero N(T ) de zeros da faixa críica, Re(z), <Im(z) T, N(T ) +logπ T log T T + O(log T ) (7.) π π Uma prova rigorosa desa fórmula foi dada, pela primeira vez, por H. V. Magold em 95. Nove aos mais arde, G. H. Hardy provou que exise uma ifiidade de zeros sobre a rea Re(z). Mas, uma ifiidade ão sigifica que são odos. E. C. Tichmarsh mosrou, em 935/936, que há 4 zeros a região Re(z) e <Im(z) < 468. Todos eses zeros esão sobre a rea críica Re(z). Com o oável auxílio dos compuadores, já se sabe que o primeiro bilhão e meio de zeros ão riviais ecoram-se sobre a rea críica. 8. Relação ere a fução zea e os úmeros primos A fução zea de Riema desempeha um papel imporae a Teoria dos Números, em paricular, a eoria dos úmeros primos. O eorema abaixo, devido a Euler, mosra uma relação oável ere a fução ζ e os úmeros primos. Teorema de Euler Se Re(z) > eão ζ(z) Y (p) p z (8.) ode (p) é o cojuo ifiio de úmeros primos. Prova: Noemos que a série é covergee para qualquer úmero primo p, pjz j 4

20 pois al série é geomérica, ode o primeiro ermo é igual a e a razão é q p z, logo q <. Segue que p jz p z. Deoemos por p k o k-ésimo úmero primo, j my assim p, p 3,p 3 5,, e cosideremos o seguie produo p z. k k Para m, usado a fórmula do produo de Cauchy, emos µ µ p z p z ³ z (8.) k,k p k pk ode k,k são ieiros ão egaivos. Por idução, obemos o seguie produo my k p z k ³ k,k k m p k pk z (8.3) pkm com k,k,,k m ieiros ão egaivos. Da eoria dos úmeros ieiros, sabemos que odo ieiro posiivo, maior ou igual a, pode ser decomposo em produo de faores primos, de maeira úica, a meos de um rearrajo de seus ermos. Logo podemos reescrever (8.3) como segue my k p z k k X z (8.4) ode assume qualquer valor ieiro posiivo que ão possui faor primo maior que p m em sua decomposição em produo de faores primos. De (.), vemos que o produo em (8.4) é meor do que ζ (z), pois ão possui odos os ermos da série que represea ζ (z). Por ouro lado, a somaória que aparece em (8.4) coém os ermos, z, 3 z,, p z, permiido-os escrever m p m X m z < Y p z k k para odo m. Quado m,p m ambém, e assim Porao ζ (z) Y (p) < ζ (z) (8.5) p m X z ζ (z). p z (8.6) 4

21 Apêdice A Nese Apêdice, vamos provar a seguie expasão πcog (πa) a + X a a (A) ode a/. cos (πz) A fução cog (πz) em período, ou seja, cog (π (z +))cog (πz), se (πz) e em sigularidades isoladas os poos z s (s, ±, ±,...). Usaremosoeorema dos resíduos X f(z)dz Res [f, k] πi k para ober a expasão de cog (πa) em série. Seja f (z) cog(πz), z a ode a 6 s (s, ±, ±,...) (A) Pelo eorema dos resíduos emos πi cog(πz) z a dz X k cog(πz) Res z a,k (A3) ode é a circuferêcia de raio ρ + > a, cerada a origem. No ierior da região limiada por, a fução f (z) cog(πz) em sigularidades isoladas os poos z a e z s (s, ±, ±,...,± ). Podemos, eão, z a separar a soma em (A3) em duas pares, a saber, πi cog(πz) X z a dz k Res cog(πz) Res z a,k cog(πz) z a,a + X s cog(πz) Res z a,s (A4) Calculemos, agora, o resíduo de f em cada poo sigular z k de f o ierior de, idicados em (A4). Escrevedo f sob a forma f (z) g (z) oamos que g(z) cog(πz) éaalíica h (z) as sigularidades de f e esas sigularidades são os zeros da fução h(z) z a, e são isoladas e simples. Podemos reescrever f (z) g (z), ode g(z) cos(πz), que h (z) 43

22 é uma fução ieira, e h(z) (z a)se(πz), que se aula as sigularidades de f. Assim, o resíduo da fução f o poo sigular a será dado por Res [f,a] g(a) h (a) cos(πa) se(πa) cog(πa) (A5) e os poos sigulares z s (s, ±, ±,...,± ), serão dados por Res[f, s] g(s) h (s) De acordo com (A4), emos πi cos(πs) se(πs)+π (s a) cos (πs), para s, ±, ±,...,±. (A6) π (s a) cog(πz) (z a) dz cog(πa)+ X cog(πa)+ π cog(πa) π cog(πa)+ π cog(πa) π O osso próximo passo é mosrar que s X s s s s π (s a) (s a) πa + π X (s + a) + X π s X (s + a) + (s a) X a a s πa X s (s a) (s a) πa πa (A7) cog(πz) dz, quado e z a como coseqüêcia, πcog(πa) a + X a a. Para ao, dividiremos em duas curvas, e,demodoque,, ode é a semicircuferêcia superior de, e a semicircuferêcia iferior de. Assim, cog(πz) z a dz cog(πz) z a dz + cog(πz) dz (A8) z a Na iegral ao logo de fazemos a subsiuição z. Se z percorre a curva o seido posiivo, descreverá a curva o seido posiivo. Usado o fao de que cog(z) éumafuçãoímparedz d, emos cog(πz) z a dz cog( π) a d 44 cog(π) + a d

23 Subsiuido ese resulado a equação (A8), vem cog(πz) z a dz cog(πz) z a dz cog(πz) z + a dz cog(πz) a z a dz a cog(πz) cog(πz) z a dz z a dz z + a Para complear ossa arefa, usaremos majorações. Uma primeira majoração équez a z a ρ a. Para majorar a fução cog(πz), devemos rabalhar sobre uma região ode cog(πz) ão eha sigularidades. Por esa razão, omemos iicialmee o disco D s z :< z s <r< ª, ode a fução cog(πz) ão em sigularidades e além disso D s esá coido a faixa de periodicidade da cog(πz). Por ouro lado, cog(πz) cos(πz) µ e zi se(πz) i + e zi (A) ede a ±i quado Im(z). Desa forma, podemos afirmar que cog(πz) é limiado por uma cosae M a faixa periódica, fora do disco D s. Fazedo o mesmo para odas as ouras sigularidades da cog(πz) e por sua periodicidade, podemos afirmar que cog(πz) <M o disco z ρ, excluido as suas sigularidades. Com esas majorações eremos que cog(πz) z a dz a cog(πz) z a dz a cog(πz) z a quado, ρ + e, eão, dz a πρ ρ a cog(πz) dz. Porao z a (A9) (A) πcogπz z + X z z (A) que se reduz a (A) quado z a, a /. 45

24 Apêdice B Nese Apêdice, apreseamos um resumo das propriedades da fução zea de Riema. Defiição Represeação iegral ζ (z) ζ(z) Γ (z) Equação fucioal de Riema Algus valores especiais z, Re(z) > e z d, Re(z) > ζ (z) (π) z ζ ( z) Γ ( z) se ³ πz,z6 ζ () ζ () ζ ( ),,,... ζ ( ) ζ () ζ () ζ (4) B,,,... (π) ()! B,,,... π 6 π4 9 46

25 Bibliografia ABRAMOWIT, M. e STEGUN, I. Hadbook of mahemaical fucios. New York: Dover, 97. AHLFORS,L.V.Complex aalysis. New York: McGraw-Hill, 979. BELL, E. T. Los grades maemáicos. Bueos Aires: Losada, 948. CHURCHILL, R. V. Variáveis complexas e suas aplicações. São Paulo: McGraw-Hill, 975. GUELFOND, A. Los residuos. Moscou: Mir, 968. HAUSER, A. A. Variáveis complexas. Rio de Jaeiro: LTC, 97. KNOPP, K. Theory of fucios. New York: Dover, 945. KNOPP, K. Ifiie sequeces ad series. New York: Dover, 956. MARKUSHEVICH, A. Teoría de las fucioes aalíicas. Moscou: Mir, 97, v. e. TITCHMARSH, E. C. The heory of he Riema zea fucio. Oxford: Claredo, 967. WAGON, S. Mahemaica i acio. New York: Freema,