Métodos Expermentas em Cêncas Mecâncas Professor Jorge Luz A. Ferrera
Sumáro.. Dagrama de Dspersão. Coefcente de Correlação Lnear de Pearson. Flosofa assocada a medda da Estatstca. este de Hpótese 3. Exemplos. Modelos de Regressão Lnear 3. Método dos Mínmos Quadrados 4. Qualdade do Modelo de Regressão
Deseja-se realzar uma nvestgação sobre a nfluenca da dureza do aço sobre as seguntes propredades mecâncas: - Módulo de Elastcdade, - ensão Lmte de Resstênca a ração, e - Lmte de Resstênca a Fadga Para verfcar tal nfluenca pode-se levantar na lteratura resultados observados de ensaos mecâncos. Pergunta Importante: Como verfcar se essas varáves estão assocadas?
Análse Vsual Dagrama de Dspersão Representação gráfca que permte a vsualzação do comportamento conjunto das duas varáves. Cada medda ndvdual é representada por um par ordenado, sendo que a posção de cada par é determnada pelos valores observados em um ndvíduo, para as duas característcas meddas (por exemplo, dureza e Resstenca). É denomnado, também, de gráfco.
Análse Vsual Dagrama de Dspersão entre a Dureza e o Módulo de Elastcdade Análse Módulo de Elastcdade 30 0 0 00 90 80 Parece não haver uma 70 relação entre o 60 valor de Dureza e o 50 Módulo de 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 Elastcdade Dureza Brnell
Análse Vsual Dagrama de Dspersão entre a Dureza e a Resstênca a Fadga 550 Análse Resstênca a Fadga 350 50 950 750 550 350 50 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 Dureza Brnell Parece haver uma relação entre o valor de Dureza e o Resstênca a Fadga al relação parece ter um comportamento lnear, apesar de aparentemente exstr uma dspersão relatva entre as varáves
Análse Vsual Dagrama de Dspersão entre a Dureza e a Resstênca a ração Resstênca a ração 650 50 650 50 650 50 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 Dureza Brnell Análse Parece haver uma relação entre o valor de Dureza e o Resstênca a Fadga al relação parece ter um comportamento lnear, com uma dspersão relatva baxa entre as varáves
Análse Vsual Dagrama de Dspersão - Característcas Resstênca a ração 650 50 650 50 650 50 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 Dureza Brnell 750 700 650 Dureza Brnell 600 550 500 450 400 350 300 50 650 50 650 50 650 Resstênca a ração A análse não é alterada, se trocamos as varáves e, ou seja, a exstênca ou não da relação não depende de qual varável é consderada ndependente. OComomodelo Quantfca matemátco, a porém, Exstêncaserá dessa alterado Relaçãoa depender Lnear? de quem é.
Coefcente de Correlação Lnear de Pearson, r Valor numérco que mede a ntensdade da assocação lnear exstente entre as duas varáves, medda uma sére de observações. a partr de Karl Pearson (857 936)
Coefcente de Correlação Lnear de Pearson, r Como se Mede 800 d x 450 d x 700 600 500 400 300 00 00 0 d geral E d global d y [( x x ) ( y y )] 0 500 000 500 000 500 Problema: d geral é uma medda absoluta! d global 400 350 300 50 d 00 y 50 00 50 0-50 50 50 50 350 450 d v f [( ) ] v v ( E )
Coefcente de Correlação Lnear de Pearson, r Como se Mede r Onde: E [( x x ) ( y y )] ( x x ) E y E [ ] [( y) ] COV Var ( x, y) S x, y [ x] Var[ y] Sx S y s xy n ( x x ) ( y y ) covarânca n s x s y desvo-padrão de x desvo-padrão de y
Coefcente de Correlação Lnear de Pearson, r - Interpretação r - assume valores entre e +. x y r assocação lnear negatva forte; r 0 ausênca de assocação lnear; r + assocação lnear postva forte; x y
Coefcente de Correlação Lnear de Pearson, r - Interpretação 0 0 60 5 5 50 40 0 5 0 5 30 0 0 0 0 5 0 0 0 5 0 0 0 5 0 Relação perfeta r + r + 0,80 r 0
Coefcente de Correlação Lnear de Pearson, r - Interpretação 0 5 30 5 0 30 5 0 0 5 5 5 0 5 0 5 0 0 5 0 0 0 5 0 0 0 5 0 Relação perfeta r + r - 0,80 r - Relação perfeta
Coefcente de Correlação Lnear de Pearson, r este de Hpótese H 0 : r esta-se a hpótese nula: (bcaudal) A estatístca do teste é dada por: 0 t r n r e sob H 0, t tem dstrbução t-student com (n - ) graus de lberdade.
Dstrbução t-student A dstrbução t de Student, fo desenvolvda por Wllam Sealy Gosset (*876 937). A dstrbução t é smétrca, campanforme, e semelhante à curva normal padrão porém com caudas mas largas, ou seja, uma smulação da t de Student pode gerar valores mas extremos que uma smulação da normal. Aparecendo naturalmente no problema de se determnar a méda de uma população (que segue a dstrbução normal) a partr de uma amostra. Neste problema, não se sabe qual é a méda ou o desvo padrão da população, mas ela deve ser normal.
Coefcente de Correlação Lnear de Pearson, r este de Hpótese α/ O teste é construído da segunte forma: Para um coefcente específco r, um número de observações amostras, n, e um nível de sgnfcânca α temos: t n r t ( ) Crtco f α, n r Se t > t crtco rejeta-se H 0 r 0 Se t < t crtco aceta H 0 r 0 -t Crítco Crítco (H ser verdadera) 0
Coefcente de Correlação Lnear de Pearson, r este de Hpótese Exemplo : Calcular o coefcente de Pearson entre as varáves Dureza e Resstênca a ração. HBn Srt 55,84 898,397 73,568 875,859 333,87 65,709 33,5 30,544 79,494 057,36 77,075 06,568 96,969 984,034 Cov(HBn,Srt) 4844,990 33,944 93,34 Desvo(HBn) 34,659 35,409 40,309 Desvo(Srt) 48,94 3,773 03,3 38,58 86,943 r 0,939 3,97 736,569 60,0 85,87 34,4 48,706 58,33 97,58 75,95 05,33 Resstenca a ração - MPa 400 00 000 800 600 400 00 0 0 50 00 50 00 50 300 350 400 Dureza - HBn
Coefcente de Correlação Lnear de Pearson, r este de Hpótese Exemplo : Consderando os dados do exemplo anteror, avalar se a um nível de sgnfcânca, α, gual a,5%, o coefcente de correlação de Pearson, r, pode ser admtdo gual a 0,88. am Amostra 6 Graus de Lberdade 4 Nvel de Sgnfcanca (%),5 Coef. de Pearson, r 0,88 t 6,93 t crtco,4 Se t > t crtco rejeta-se H 0 r 0 Se t < t crtco aceta H 0 r 0 Há correlação entre Dureza e Resstênca a ração
Coefcente de Correlação Lnear de Pearson, r este de Hpótese Exemplo 3: Calcular o coefcente de Pearson entre as varáves Dureza e Módulo de Elastcdade. HBn E 55,84 00,67 73,568,74 333,87,379 33,5 07,83 79,494 97,454 77,075 99,53 96,969 03,40 Cov(HBn,Srt) -54,935 33,944 87,888 Desvo(HBn) 34,659 35,409 9,48 Desvo(Srt) 9,594 3,773 96,647 38,58 88,570 r -0,65 3,97,839 60,0 95,459 34,4 03,80 58,33,686 75,95 87,360 Módulo de Elastcdade - GPa 5 0 5 0 05 00 95 90 85 00 0 40 60 80 300 30 340 360 Dureza - HBn
Coefcente de Correlação Lnear de Pearson, r este de Hpótese Exemplo 4: Consderando os dados do exemplo anteror, avalar se a um nível de sgnfcânca, α, gual a,5%, o coefcente de correlação de Pearson, r, pode ser admtdo gual a 0,. am Amostra 6 Graus de Lberdade 4 Nvel de Sgnfcanca (%),5 Coef. de Pearson, r 0, t 0,376 t crtco,448 Se t > t crtco rejeta-se H 0 r 0 Se t < t crtco aceta H 0 r 0 Não há correlação entre Dureza e Resstênca a ração
Regressão Lnear Regressão lnear é um método para se estmar a condconal (valor esperado) de uma varável v, dados os valores de algumas outras varáves v.
Modelos de Regressão Lnear Problema Fundamental: Uma vez verfcada a exstênca de uma relação entre duas varáves, v e v, deseja-se desenvolver um modelo para estmar o valor da medda da varável v a partr do conhecmento do valor meddo para a varável v v Questão Importante: v Qual a reta que melhor se ajusta a estes dados?
Modelos de Regressão Lnear Hpóteses Báscas A varânca de y é gual para cada valor de x; Os valores de y são ndependentes; A varânca dos erros é gual para cada valor de x; Os valores dos erros são ndependentes; A reta não pode ser estendda além dos pontos meddos; Modelo bem ajustado não garante presvbldade; Sensível aos valores aberrantes (outlers).
Modelos de Regressão Lnear Equação da Reta Intercepto y b 0 v 5 0 5 0 b v b0 + b v b0 e b parâmetros da reta 5 0 Inclnação da reta 0 4 6 v
Modelos de Regressão Lnear Método dos Mínmos Quadrados y 0 8 6 4 0 erro ( y $ y ) 0 4 x 6 8 0 O objetvo é mnmzar a soma do quadrado dos erros: n $ y ( y ) Obtendo as estmatvas de b 0 e b que mnmzam a equação acma.
Modelos de Regressão Lnear Método dos Mínmos Quadrados Sejam B 0 e B os estmadores de MQ dos parâmetros 0 e, respectvamente. As estmatvas e são os valores resultantes de B 0 e B. 0 Assm, se, o mn S( 0, ) é expresso como:
Modelos de Regressão Lnear Método dos Mínmos Quadrados Resultando nos seguntes estmadores: n x x n y x y x B n n n n n / / x b y B 0
Regressão Lnear Qualdade do Modelo de Regressão Realzada por meo de uma medda chamada de coefcente de correlação, R : Sgnfcado de R : Procura medr a proporção da varabldade de y que é explcada pelo modelo (reta de regressão) 0 R Se R 0,90 sgnfca que 90% da varação em y pode ser explcada pela equação obtda.
Qualdade do Modelo de Regressão Modelagem de R Quando fazemos uma regressão lnear, os valores observados (x,y ) estão espalhados ao redor da reta de regressão. Quanto menor for este espalhamento, melhor a reta de regressão representa o conjunto de valores observados. A varânca amostral total, como estmador do espalhamento, pode ser decomposta da segunte forma:
Qualdade do Modelo de Regressão Modelagem de R n n n ( ) ( $ ) ( ) $ y y y y + y y y ( y y) ( y ) y ( y y) y y Valores observados y $ y Valor médo Valores estmados x
Qualdade do Modelo de Regressão Modelagem de R onde: $ ( ) $ ( ) ( ) n n n y y y y + y y SQ total SQR --- Regressão SQE --- Erro y ( y y) ( y ) y ( y y) y y y $ y Valores observados Valor médo Valores estmados x
Qualdade do Modelo de Regressão Modelagem de R R SQR SQ r onde r é o coefcente de correlação de Pearson.
Qualdade do Modelo de Regressão Modelagem de R Forma Alternatva ( y y) d y s y n Desvo Padrão da v.a. y d y, y s yx ( y y ) n Erro Padrão da Estmatva y d y, y d y, y d y d y r s y s s y yx s yx s y Coefcente de Explcação
Propredades dos estmadores de mínmos quadrados Se as pressuposções do modelo de regressão lnear forem atenddas, os estmadores de mínmos quadrados b 0 e b são não tendencosos (unbsed) e com varânca mínma, entre todos os estmadores lneares não tendencosos (eorema de Gauss-Markov). Isto quer dzer: E(b 0 ) 0 e E(b ).
Modelos de Regressão Dca Importante A análse de r deve vr acompanhada do dagrama de dspersão, pos a assocação pode não ser lnear. 40 60 r 0 r 0,90 0 0 0 0 0 4 Correlação não mplca relação de Causa & Efeto!!!!!!!
Exemplo: O nível de desgaste de rolamentos está ntmamente lgado à sua temperatura de operação. Em uma aplcação específca, é necessáro garantr que para as condções de carregamento e velocdade do rolamento, a temperatura de trabalha nduza um desgaste máxmo de 8 mg de materal por 00 horas de operação do componente (8 mg/00hr). A fm de encontrar a temperatura de operação lmte fo realzado uma sére de ensaos sob condções de temperatura de operação, o que resultou na tabela abaxo apresentada. Assm, com base nos resultados obtdos determnar qual deve ser a temperatura lmte de funconamento do rolamento? emperatura de Operação, ( o C ) 93,3, 48,9 04,4 3, 60,0 87,8 35,6 343,3 37, Quantdade de Desgaste, mg/00hr 3 4 5 5,5 6 7,5 8,8 0,
Resolução Análse Gráfca Desgaste (mm/00hr) 4 0 8 6 4 0 0,0 50,0 00,0 50,0 00,0 50,0 300,0 350,0 400,0 em peratura (Graus Celsus) Aparentemente Exste Relação de Dependênca entre o Desgaste e a emperatura de Operação. Coef. de Correlação de Pearson, r r E [( x x ) ( y y )] ( x x ) E y E [ ] [( y ) ] Cov [,W] 59,5 Var[ ] 9053 Var[ W ] 9,53 r 0,884 OK!!!!!
Desgaste (mm/00hr) Unversdade de Brasíla Resolução Análse Numérca 4 0 8 6 4 0 W B + B 0 0,0 50,0 00,0 50,0 00,0 50,0 300,0 350,0 400,0 em peratura (Graus Celsus) Σ B B n 0 x n y x n x n x n n y b W *W 93,3 3,0 87, 80,0, 4,0 4667,9 484,4 48,9 5,0 67,9 744,4 04,4 5,5 4797,5 4,4 3, 6,0 5397, 393,3 60,0 7,5 67600,0 950,0 87,8 8,8 886,0 53,4 35,6 0,0 99575,3 355,6 343,3, 7877,8 38,0 37,,0 3773,5 4453,3 377,8 7,9 646864, 999,0 n 0 E[] 37,8 E[W ] 7,3 n B 0,03 B 0-0,83 y x
Resolução Qualdade de Modelo Estmado Desgaste (mm/00hr) Coefcente de Explcação 4 0 8 6 4 r s y y 0,038x - 0,87 R 0,964 s s y 0 0,0 50,0 00,0 50,0 00,0 50,0 300,0 350,0 400,0 yx em peratura (Graus Celsus) s s yx y s yx ( y y ) n W s y W ( y y) n B 0,03 B 0-0,83 93,3 3,0,69 0,0, 4,0 3,57 0,8 48,9 5,0 4,46 0,9 04,4 5,5 6,3 0,53 3, 6,0 7,,4 60,0 7,5 8,00 0,5 87,8 8,8 8,88 0,0 35,6 0,0 9,77 0,05 343,3, 0,65 0,0 37,,0,54 0, y 7,3 Σ 3,06 s y 3,09 s x.y 0,6 ( W W ) r 0,96
Modelos de Regressão Causaldade Com muta freqüênca somos tentados a nferr uma relação de causa e efeto entre e quando eles ajustam um modelo de regressão ou resultam em uma forte correlação. Uma assocação sgnfcatva entre e em ambas as stuações não necessaramente mplca numa relação de causa e efeto. Exemplo: (Box, Hunter & Hunter, Statstcs for Expermenters, p.8) O gráfco mostra a população de Oldemberg, Alemanha, no fm de cada um dos 7 anos () contra o número de cegonhas (pássaros) naquele ano ().
Modelos de Regressão Causaldade. Exstênca de assocação;. Intensdade de assocação (estatístca); 3. Consstênca (reprodutbldade); 4. Especfcdade (máxmo: um fator produz um únco efeto); 5. emporaldade (causa antecede o efeto); 6. Gradente Fenomenológco (relação Indução-resposta); 7. Plausbldade (concordânca com outros conhecmentos); 8. Coerênca (concordânca com conhecmento específco); 9. Evdênca expermental; 0. Evdêncas por analoga (efetos smlares)
Modelos de Regressão Regressão Lnear Múltpla Exemplos: Em um estudo com 67 escrtóros de uma rede fnancera, a varável resposta fo o custo operaconal no ano que se fndou. Havam 4 varáves predtoras: ) o valor médo emprestado aos clentes durante o ano, ) o número médo de empréstmos, ) o número total de novos empréstmos processados, e v) o índce de saláros dos escrtóros. Num estudo sobre a produtvdade de trabalhadores ( em aeronave, navos) o pesqusador deseja controlar o número desses trabalhadores e o bônus pago (remuneração). Num estudo sobre a resposta à uma droga, o pesqusador deseja controlar as doses da droga e o método de aplcação. No estudo do desgaste do rolamento, além da temperatura, exstam as seguntes varáves também nfluencavam no desgasto: ) carga de operação:.a) carga méda,.b) carga dnâmca, ) velocdade de operação, ) vscosdade do lubrfcante, etc
Modelos de Regressão Regressão Lnear Múltpla Exemplos:» Em todos os exemplos a utlzação de todas as varáves predtoras no modelo pode oferecer um modelo matemátco que permta explcar de forma mas completa o fenômeno estudado.» Ou seja, um modelo contendo váras varáves predtoras resulta numa estmação mas precsa.
Modelos de Regressão Regressão Lnear Múltpla Modelo de regressão de prmera ordem com duas varáves predtoras De forma dêntca a construção anterormente utlzada o modelo de ( ;, ) regressão lnear é dado por: + ε 0 + + Onde é a resposta no -ésmo ensao, e são os valores das duas varáves ( ;, ) ( 3 ; 3, 3 ) predtoras no -ésmo ensao. Os parâmetros do modelo são 0,, e o termo do erro é ε. A função de regressão na regressão múltpla é chamada de superfíce de resposta.
Modelos de Regressão Regressão Lnear Múltpla Modelo de regressão de prmera ordem com duas varáves predtoras Plano de resposta E( ) 0,00 ε Intercepto (,33;,67) 0
Modelos de Regressão Regressão Lnear Múltpla Utlzando o Método dos Mínmos Quadrados O método consste na determnação do estmador que mnmza a soma do quadrado das dferenças entre valores observados e valores predtos pelo modelo. Assm, consderando o sstema de n equações lneares (número de observações) e p ncógntas (número de varáves predtoras) : pn p n n n n p p p p B B B B B B B B B B B B B B B + + + + + + + + + + + + + + + L M L M M M L L 3 3 0 3 3 0 3 3 0 [ ] n L [ ] n L pn n n n p p L M M M M M M L L 3 3 3 Valores predtos pelo Modelo de Regressão
Modelos de Regressão Regressão Lnear Múltpla Utlzando o Método dos Mínmos Quadrados Assm, o problema a ser resolvdo consste em se ajustar um modelo de regressão que mnmze o erro entre as respostas observadas ao longo dos ensaos,, e os seus valores predtos,, ou seja: ε ^ p pn n n p p n n e e e,,, 0 L L L L L L L L L L L ε
Modelos de Regressão Regressão Lnear Múltpla Utlzando o Método dos Mínmos Quadrados Assm, tomando o somatóro ao quadrado das dferenças dos erros pode ser representado na forma matrcal por: ( ) ( ) Z ( ) + Z
Modelos de Regressão Regressão Lnear Múltpla Utlzando o Método dos Mínmos Quadrados Analsando + Z + Z São transpostas entre s e são de dmensão x, então as matrzes são guas, logo: Verfca-se que
Modelos de Regressão Regressão Lnear Múltpla Utlzando o Método dos Mínmos Quadrados Dervando Z em relação a dz + d d ( ) + d + As matrzes (d ) e (d) são transpostas entre s e também são de dmensão x, então as matrzes são guas.
Modelos de Regressão Regressão Lnear Múltpla Utlzando o Método dos Mínmos Quadrados Assm: [ ] + d d d dz Assumndo dz 0, teremos então que: [ ] 0 d
Modelos de Regressão Regressão Lnear Múltpla Utlzando o Método dos Mínmos Quadrados Analsando: [ ] Logo: 0 d [ ] 0 d 0 Solução rval!!!!!!
Modelos de Regressão Regressão Lnear Múltpla Utlzando o Método dos Mínmos Quadrados Desenvolvendo: [ ] 0 Vetor Estmador dos Parâmetros de Beta. O vetor beta chapéu é determnado resolvendo-se o sstema de equações normas:
Modelos de Regressão Regressão Lnear Múltpla Utlzando o Método dos Mínmos Quadrados Assm: ( ) ( ) ( ) I Modelo Lnear de Gauss-Markov-Normal. Andre Andreyevch Markov (856 9) ( ), ~, σ µ N ε ε +
Exemplo: A umdade e a pressão atmosférca podem afetar o nível de oxdo de ntrogêno (NO) exaurdo pelo cano de descarga de um motor de combustão nterna. Projetou-se um expermento para determnar o quanto a pressão atmosférca e a umdade afetam o nível de emssão de NO. Neste expermento foram meddos os níves de NO para algumas combnações de umdade e pressão atmosférca, obtendo-se os seguntes resultados: 00 50 300 400 450 500 550 600 650 700 Umdade (gr/lb ar seco) 0.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0 90.0 00.0 0.0 Pressão Atmosférca (nhg) 9.30 9.50 9.40 9.35 9.70 9.60 9.55 9.80 9.78 9.80 Nível de Emssão de NO (ppm) 500 40 430 70 00 00 0 05 040 999
Exemplo: A umdade e a pressão atmosférca podem afetar o nível de oxdo de ntrogêno (NO) exaurdo pelo cano de descarga de um motor de combustão nterna. Projetou-se um expermento para determnar o quanto a pressão atmosférca e a umdade afetam o nível de emssão de NO. Neste expermento foram meddos os níves de NO para algumas combnações de umdade e pressão atmosférca, obtendo-se os seguntes resultados: Umdade (gr/lb ar seco) 0.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0 90.0 00.0 0.0 Pressão Atmosférca (nhg) 9.30 9.50 9.40 9.35 9.70 9.60 9.55 9.80 9.78 9.80 0 30 40 50 60 9.70 : : 70 9.60 80 90 00 0 9.30 9.50 9.40 9.35 9.55 9.80 9.78 9.8 500 40 430 70 00 00 0 05 040 999 Nível de Emssão de NO (ppm) 500 40 430 70 00 00 0 05 040 999 ( ) : 5.84 9.95 NO 500.8 5.84 Hum 9. 95 Patm 500.86
Outras Análses: Umdade (gr/lb ar seco) 0.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0 90.0 00.0 0.0 Pressão Atmosférca (nhg) 9.30 9.50 9.40 9.35 9.70 9.60 9.55 9.80 9.78 9.80 Nível de Emssão de NO (ppm) 500 40 430 70 00 00 0 05 040 999 Dagramas de Dspersão Dagramas de Dspersão 3D
Outras Análses: Umdade (gr/lb ar seco) 0.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0 90.0 00.0 0.0 Pressão Atmosférca (nhg) 9.30 9.50 9.40 9.35 9.70 9.60 9.55 9.80 9.78 9.80 Nível de Emssão de NO (ppm) 500 40 430 70 00 00 0 05 040 999