Progressões Aritméticas Itrodução Chama-se sequêcia ou sucessão umérica, a qualquer cojuto ordeado de úmeros reais. Exemplo: 7; 0; 3;... ; 34 Uma seqüêcia pode ser iita ou iiita. 7; 0; 3; 6;... esta sequêcia é iiita Podemos represetar uma sequêcia geericamete, idetiicado a posição de cada termo: a ; a ; a ;... ; a ;...; a, temos uma represetação posicioal dos termos, observe a 3 k a = 4, a =, a = 3 sequêcia: - 4 ; - ; ; 5 ;... ; 3, i.e., 0 Podemos deiir uma sequêcia através de uma órmula de recorrêcia (Termo Geral), por exemplo: Seja a sequêcia real deiida por: a = + 7, IN *. a = 9, a =, a = 7. Percebam que esta recursiva gera úmeros ímpares. 0, teremos: Exemplos 0. Determiar os cico primeiros termos da seqüêcia deiida por: a 4, = IN*. 0. Cosideremos a seqüêcia deiida por a = 7, IN*. Determie o valor de 5 a. 03. Costruir a seqüêcia deiida por: a = 7 a+ = a + 3, IN* 53
Coceito de Progressão Aritmética PA Uma P.A. é uma sequêcia em que cada termo, a partir do segudo, é a soma do aterior com uma costate r dada, chamada de razão da P.A. Exemplos: = (, 5, 9, 3, 7,,...), r = 4 = (3,,, 30, 39, 48,...), r = 9 3 = (5, 5, 5, 5, 5, 5, 5,...), r = 0, P.A. costate 4 = (00, 90, 80, 70, 60, 50,...), r = 0 Termo Geral de uma PA Seja a PA geérica (a, a, a 3,..., a,...) de razão r. Temos que: a = a + r a3 = a + r a4 = a + 3r ( ) a = a + r Fórmula do Termo Geral Exemplos 04. Qual o milésimo úmero ímpar positivo? 05. Qual o úmero de termos da PA: (00, 98, 96,..., )? Geeralizado: Sedo ap e ak termos quaisquer de uma P.A. de razão r, podemos escrever: = + ( ) a a p k r p k Notações especiais Quado procuramos obter uma P.A. com 3 ou 4 ou 5 termos é muito prática a otação seguite: º) para 3 termos: ( x r; x; x + r) º) para 4 termos: ( x 3 y; x y; x y; x 3y) + + em que r y = 54
3º) para 5 termos: ( x r ; x r ; x; x + r ; x + r) Exemplos 06. Se uma PA o quito termo é 30 e o vigésimo termo é 60, qual a razão? 07. Numa PA de razão 5, o vigésimo termo vale 8. Qual o terceiro termo? 08. Calcular o 50 o. termo da P.A. (-3,, 5, 9,...). 09. Determiar a P.A. que possui as seguites características: o 0 o. termo vale 48 e a soma do 5 o. com o 0 o. termo é igual a. 0. Ecotrar o primeiro termo egativo da P.A. (37, 35, 33,...).. Determiar x de modo que a seqüêcia ( x, x, 4 x) + + seja uma P.A.. Iterpolar 0 meios aritméticos etre 7 e 9. 3. Quatos múltiplos de 3 existem etre 00 e 400. Propriedades P. Numa PA, cada termo (a partir do segudo) é a média aritmética do aterior e do posterior P. Numa PA, a soma dos termos equidistates dos extremos é costate. P3. Soma dos primeiros termos de uma PA S = ( ) a +a. Observe que esta órmula diz simplesmete que a soma dos termos de uma P.A. é a média aritmética dos extremos multiplicada pelo úmero de termos. Questões ateriores da ANPAD 0. Um médico recomedou a Marcos que camihasse todos os dias para melhorar sua saúde. No primeiro dia, ele camihou x metros; o segudo dia, camihou o dobro do que percorreu o primeiro dia; o terceiro dia, camihou o triplo do que percorreu o primeiro dia; e assim sucessivamete. Ao ial de 0 dias, percorreu um total de 63.000 m. A quatidade de metros percorrida o primeiro dia oi de: a) 50m b) 00m c) 50m d) 300m e) 350m 55
0. Um carteiro etregou 00 telegramas em 5 dias. A cada dia, a partir do primeiro, etregou 7 telegramas a mais que o dia aterior. A expressão que represeta essa situação é: a) 4x+8=00 b) 5(x+7)=00 c) 5x+70=00 d) x=00/5 e) x=8/5 03. A soma dos primeiros úmeros pares positivos é: a) (+) b) (+) c) d) e) + 04. Dada a sequêcia a ; a ; a3 ;....; a em que a = 5, a = 9, a3 = 3, etão um possível valor para a 4 é: a) 04 b) 89 c) 65 d) 95 e) 79 05. Cosidere a seguite órmula recursiva: ( 0) = 500 ( ) ( ) + =, 0 iteiro. Etão o valor de ( 500) ) é: a) b) 0 c) d) 499 e) 500 56
06. Sejam iteiro e a soma é igual a: a) b) c) d) e) ( +) + + (+) + ( +) S= + + +...+.3 3.4 (+). Se = - (+) +, etão S 07. Roberval platou 65 mudas de árvores rutíeras em cateiros, de modo que, o segudo cateiro, platou o dobro de mudas do primeiro; o terceiro, platou tatas mudas quatas os dois ateriores jutos; o quarto cateiro, platou um úmero de mudas igual à soma do primeiro cateiro com o cateiro aterior; o quito cateiro, platou um úmero de mudas igual à soma do primeiro cateiro com o cateiro aterior e assim por diate, até platar todas as mudas. Sabedo-se que ele usou o maior úmero de cateiros possível e o úmero de cateiros é meor que, em quatos cateiros ele platou as mudas? a). b) 0. c) 9. d) 8. e) 7. 08. Um azedeiro cotratou uma empresa para a costrução de uma estrada de 5 km de extesão. Como o terreo em que seria costruída a estrada ão era regular e o grau de diiculdade de costrução da mesma era crescete, os pagametos deveriam ser realizados as seguites codições: R$.000,00 pelos primeiros 500m, R$.000,00 pelos 500m seguites, e assim por diate, aumetado-se sempre de R$.000,00 o valor do serviço a cada 500m. Cosiderado-se esses dados, o valor total que a empresa recebeu oi de a) R$ 0.000,00. b) R$.000,00. c) R$ 40.000,00. d) R$ 55.000,00. e) R$ 0.000,00. x x x x 09. Se 3 + (3 + 4) + (3 + 8) +... + (3 + 5) = 37, o valor de 3 x a) /7. b) /4. c) /. d). e) 7. pode ser 57
0. Um estacioameto cobra R$,50 pela primeira hora. A partir da seguda, cujo valor é R$,00 até a décima seguda, cujo valor é R$ 0.40, os preços caem em progressão aritmética. Se um automóvel icar estacioado 5 horas esse local, quato gastará seu proprietário? a) R$ 4,58 b) R$ 5,4 c) R$ 5,4 d) R$ 4,85 e) R$ 5,34. Na esta de ecerrameto das Olimpíadas Uiversitárias de 007 os atletas serão dispostos em 60 ilas, de modo a ormar a igura de um triâgulo, tal que a primeira ila haja apeas um atleta, a seguda, dois atletas, a terceira, três atletas e assim sucessivamete. Cosiderado-se que todos estejam presetes essa estividade, o úmero de atletas que participarão dessas Olimpíadas é a) 770. b) 800. c) 830. d) 860. e) 900. Respostas dos exemplos: a =, a = 4, a = 34, a = 6, a = 98, 0. a 5 = 3 0. 3 4 5 03. 7; 0; 3; 6;..., 04. a 000 = 999, 05. = 40 06. r =, 07. a 3 = 77, 08. a 50 = 93 09. r = 5, 0. a 0 =,. x = ou x = 3. r = 4 3. 67 Gabarito das questões do Teste ANPAD. 0 0 03 04 05 06 07 08 09 0 D C A C B B B D D C C 58