P2 Questão 1 Físic - 4320203 Escol Politécnic - 2010 GABATO DA P2 13 de mio de 2010 Considere um cpcitor esférico formdo por um condutor interno de rio e um condutor externo de rio b, conforme figur. O espço entre os condutores é preenchido com mteril de constnte dielétric κ. κ _ Q +Q b Crreg-se o condutor interno com crg +Q e o externo com crg Q (crgs livres). O cmpo elétrico devido pens esss crgs livres é E 0 = Q 4πǫ 0 r 2 r, onde r é distânci o centro do cpcitor esférico. () (0,5 ponto) Escrev expressão do vetor cmpo elétrico dentro do dielétrico ( < r < b). (b) (1,0 ponto) Clcule energi U 0 rmzend no cpcitor n usênci de dielétrico (em função de, b, Q e ǫ 0 ), e energi U n presenç do dielétrico (em função de, b, Q, ǫ 0 e κ). (c) (1,0 ponto) Clcule o vetor cmpo elétrico E i devido somente às crgs induzids (ligds) no dielétrico. 1
Solução d questão 1 () O cmpo elétrico n região com dielétrico é E = E 0 κ = Q 4πǫ 0 κr 2 r (b) A energi rmzend no cpcitor sem o dielétrico é U 0 = Q V 0 2 b, onde V 0 = E0 d l = Q dr 4πǫ 0 r = Q ( 1 2 4πǫ 0 b ) 1. ( = U 0 = Q2 1 8πǫ 0 1 b) Qundo colocmos o dielétrico, ddp é reduzid de um ftor κ. Como crg não se lter, U = QV 2 = QV 0 2κ = U 0 κ. (c) O cmpo E i devido às crgs de polrizção stisfz E = E 0 + E i = E i = E E 0 = E i = Q ( 1 1 ) r. 4πǫ 0 r 2 κ O cmpo E i = 0 for d região entre os condutores.. 2
Questão 2 Um resistor com resistividde ρ, tem form de um cilindro oco de comprimento L e rios e b. Clcule resistênci e o módulo do vetor densidde de corrente J no interior do resistor nos csos em que um diferenç de potencil V é plicd: b L () (1,0 ponto) entre s bses do cilindro; (b) (1,5 ponto) entre s superfície intern de rio e extern de rio b. 3
Solução d questão 2 () Usndo expressão = ρl/a, obtemos pr resistênci entre s bses do cilindro expressão A densidde de corrente J é = J = A = V ρl π(b 2 2 ). 1 π(b 2 2 ) = V ρl. (b) Primeirmente dividimos o resistor em cscs cilíndrics coxiis de espessur dr. A resistênci de um csc de rio r é d = ρ dr A(r) = ρ dr 2πrL. A resistênci totl n direção rdil é som (integrl) ds resistêncis de cd um dests cscs: = ρ b dr 2πrL = ρ 2πL ln A densidde de corrente neste cso depende de r J(r) = A(r) = V A(r) = ( ) b V ρrln(b/).. 4
Questão 3 Um condutor formdo por dois segmentos condutores retilíneos ortogonis de comprimentos L x e L y é percorrido por um corrente constnte (vej figur). y L y B = B k O L x x Um cmpo mgnético constnte B uniforme é plicdo perpendiculrmente o plno xy pr dentro d figur. () (1,0 ponto) Clcule o vetor forç exercid por B sobre o trecho L x? (b) (1,0 ponto) Clcule o vetor forç exercid por B sobre o trecho L y? 5
Solução d questão 3 A forç sobre um segmento infinitesiml de fio d l num cmpo mgnético B é dd por d F = d l B. () Forç F x sobre o segmento L x eixo x d l = dxî B = B k = d F x = dxb(î k) = Bdxĵ = F x = B Lx 0 dxĵ = BL x ĵ. (b) Forç F y sobre o segmento L y eixo y d l = dyĵ B = B k = d F y = dyb(ĵ k) = Bdyî = F y = B Ly 0 dyî = BL y î. 6
Questão 4 Um fio condutor n figur bixo conduz um corrente no sentido indicdo. Pr x e y os trechos são retilíneos e estão o longo de x e y, respectivmente (fios semiinfinitos). Pr x e y menores do que, o condutor form um qurto de círculo com rio, conforme figur 1. y y C O FG. 1 x O FG. 2 x () (1,0 ponto) Quis são os cmpos B no ponto O devido o segmentos retilíneos do fio? (b) (1,0 ponto) Qul é o cmpo B no ponto O devido o segmento circulr? (c) (1,0 ponto) Determine o vlor d integrl de linh do vetor B o longo do percurso circulr fechdo C não coplnr com os fios e centrdo no eixo x, conforme figur 2. 7
Solução d questão 4 O cmpo produzido por segmento d l do fio num ponto P é ddo por dl P r db d B = µ 0 4π d l r r 2. () Cmpos devidos os trechos retilíneos do fio. Trecho no eixo x Trecho no eixo y { d l = dxî e r = î = Bx = 0. { d l = dyĵ e r = ĵ = By = 0. (b) Cmpo devido os trecho circulr do fio (1/4 de circulo). y Como d l r e r 2 = 2, podemos escrever O r dl = dl θ^ x d l r r 2 B = µ 0 4π 2 = dl 2 k. dl k = µ 0 8 k. (c) A integrl de linh do vetor B pode ser clculd trvés d lei de Ampère: C B d l = µ 0. 8
Formulário F = qq ( r r ) 4πǫ 0 r r 3, F = q E, E = q( r r ) 4πǫ 0 r r 3, E = 1 p = qd, τ = p E, U = p E, Φ E = V = q B 4πǫ 0 r r, V B V A = V = 1 4πǫ 0 i q i, U = 1 r i 4πǫ 0 i<j 1 = 1 + 1 +..., U = Q2 C eq C 1 C 2 2C = CV 2 2 E = σ ǫ, u = ǫ 2 E2, A 4πǫ 0 dq r 2ˆr, E d A, E d A = q int ǫ 0, E d l, V = 1 dq 4πǫ 0 r, E = V, q i q j r ij, C = Q/V, C eq = C 1 +C 2 +..., = QV 2, ǫ ǫ 0 = κ, u = ǫ 0 2 E2, E = E 0 κ, ǫ 0 κ E d A = q int liv, = dq dt = n q v da, J = n q vd, ρ(t) = ρ 0 [1+α(T T 0 )], d = ρ dl A, V =, V = E r, P = V = 2 = V 2, F = qe +q v B, Φ B = B da, B da = 0, df = d l B, µ = A, τ = µ B, U = µ B, d B = µ 0 4π d l ˆr r 2, F l = µ 0 1 2 2πr, B d l = µ0 int, 9