Lista 2 de CF368 - Eletromagnetismo I

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1 List 2 e F368 - Eletromgnetismo Fbio reke <[email protected]> 8 e ezembro e 23. Um cbo cilínrico infinitmente longo e rio R conuz um corrente uniformemente istribuí o longo e su seção ret. Usno Lei ircuitl e Ampère encontre inução mgnétic um istânci r quno: ) r > R; b) < r < R. olução: onsierno o cbo linho com o eixo z ensie superficil e corrente que trvess seção ret é J J J = πr ˆkˆkˆk 2 D lei ircuitl e Ampère B B B l = µ = µ J J J ˆnˆṋn one B B B = B ˆθˆθˆθ, l l l = r θ ˆθˆθˆθ, ˆnˆṋn = ˆkˆkˆk, = r r θ, ssim ) r > R b) < r < R 2π 2π B B B l l l = µ B ˆθˆθˆθ ˆθˆθˆθ r θ = µ Br 2π θ = µ Br 2π = µ B B B = µ 2πr ˆθˆθˆθ B B B l l l = µ B ˆθˆθˆθ ˆθˆθˆθ r θ = µ r Br 2π θ = µ πr 2 J J J ˆnˆṋn 2π r B r 2π = µ πr 2 r 2 2 2π B B B = µ r 2πR 2 ˆθˆθˆθ r r πr ˆkˆkˆk ˆkˆkˆk r r θ 2 2π θ

2 2. ão s um csc ielétric esféric rio interno, rio externo b, constnte ielétric K) e um crg puntul q, seprs por um istânci infinit. A crg puntul é, gor, coloc no centro csc ielétric. Determine vrição energi o sistem. olução: Lei e Gus sej energi inicil no infinito U i =. Assim U = U f U i = U U = 2 D D D = ρ e, pelo teorem o ivergente, temos D D D E E E ) D D D = D D D ˆnˆṋn = q ρ = q One é superfície gussin esféric < r < b, ssim ˆnˆṋn = ˆrˆrˆr = r 2 sin θ θ φ. omo D D D = Dˆrˆrˆr: Então, Pel relção constitutiv =2π = {}}{{}}{ 2π {}}{ π D ˆrˆrˆr ˆrˆrˆr r 2 sin θ θ φ = q Dr 2 φ sin θ θ = q Dr 2 4π = q D = q 4πr 2 D D D = =2 q ˆrˆrˆr 2) 4π D D D = ɛe E D = ɛ ssim, E E E = q ˆrˆrˆr 3) 4πɛ 2) e 3) em ), = r 2 sin θ r θ φ: U = 2 = 2π π b q 2 32π 2 ɛ = q2 8πɛ 2π r φ ) b q 4πr 2 ˆrˆrˆr π = q2 8πɛ q 4πɛ r 2 ˆrˆrˆr sin θ r θ φ b sin θ θ b + r r 2 = ) q2 32π 2 ɛ =4π {}}{ Ω b r r 2 seno que, ɛ = Kɛ q2 U = 8πKɛ ) b 3. Dus longs cscs cilínrics e rios r e r 2 > r estão isposts coxilmente. As plcs são mntis um iferenç e potencil. ) A região entre s plcs é preenchi com um meio e conutivie elétric g. Use lei e Ohm pr clculr corrente elétric entre comprimentos unitários s cscs. 2

3 olução: D lei e Ohm one = e = R = R R = g corrente flui entre s cscs, ou sej, ˆρˆρˆρ ρ = ρ θ z. Assim, sej áre seção trnsversl, pr um comprimento rbitrário Z o conutor, por A = Z 2π então, resitênci R reltiv um será R = g L A ρ θ z = 2πρZ 2πρZ integrno R = r g R = g 2πZ R = R = 2πρZ r ρ ln ρ) r 2πgZ ) 2πgZ ln r logo, = 2πgZ ln r Z = 2πg ) ln ) = 2πgZ ) ln r r b) e região entre s cscs for preenchi com um meio não-conutor e permissivie ɛ, mostre que o prouto resistênci por unie e comprimento pel cpcitânci por unie e comprimento é igul ɛ/g. 4. Um cpcitor e plcs prlels tem região entre sus plcs preenchi por um chp ielétric e constnte ielétric K. As imensões s plcs são: lrgur w, comprimento l e seprção entre s plcs. rreg-se o cpcitor enqunto está conecto um iferenç e potencil ), pós o que é esconecto. A chp ielétric é gor prcilmente retir n imensão l té que pens o comprimento x permneç entre s plcs. ) Qul iferenç e potencil no cpcitor? b) Qul forç que tene recolocr chp ielétric e volt à su posição originl? olução: ) ) plcs ligs à bteri com p inicil ), quirino crgs ±Q. 3

4 Pel lei e Guss D D D = ρ = Q σ = Q A Q = σa e, pelo teorem o ivergente D D D ˆnˆṋn = Q D A = σ A D = σ seno que, A = lw, ssim e, pel relção constitutiv logo, onsierno s plcs infinits: l, w então, D = Q lw Q = lwd D D D = ɛ E E E D = ɛe Q = lwɛe E = ) Q = lwɛ ) 4) ) Após remoção prcil chp, crg Q quiri será compost e us crgs istints: Q = Q + Q 2 5) one Q é crg n região com o restnte chp, A = xw e Q 2 é crg n região sem chp, A = l x)w, ɛ = ɛ. Assim, por 4): logo, com 4), 6) e 7) em 5), ɛ = Kɛ : Q = xwɛ 6) Q 2 = ɛ l x)w 7) ɛl w ) = ɛx w + ɛ l x) w K ɛ l) = K ɛ x + ɛ l ɛ x Kl) = Kx + l x) = Kl l + K )x ) 8) 4

5 b) omo o sistem está isolo com 8): seno que, por 4) ssim, então, F x = ) U x Q U = 2 Q U = 2 Q Kl l + K )x ) ) = lwɛ Q = Q lwkɛ U = 2 Q Kl Q l + K )x lwkɛ Ux) = Q 2 2ɛ w l + K )x K )Q 2 F x = + 2ɛ w[l + K )x] 2 F x > pois K >. Referêncis [] K. D. Mcho, Eletromgnetismo, ol. e 2, Eitor UEPG, Pont Gross, 22. 5