Modelage Mateátia de Sisteas Meânios Translaionais pela Meânia Newtoniana 5 Modelage Mateátia de Sisteas Meânios Translaionais pela Meânia Newtoniana INTRODUÇÃO Nesta apostila aprendereos oo obter o odelo ateátio de sisteas eânios translaionais, a partir da apliação da a Lei de Newton Iniialente, apresentareos as equações onstitutivas de ada u dos eleentos que opõe o sistea eânio e, após, ostrareos oo tais equações são inseridas na EDOL que desreve o odelo ateátio do sistea RELAÇÕES ENTRE EXCITAÇÃO E RESPOSTA PARA OS ELEMENTOS DO SISTEMA MECÂNICO EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS Confore já vios, as equações onstitutivas entre eitação e resposta para os vários eleentos (onsiderados lineares de u sistea eânio são dadas por ( f (assa f ( ( (aorteedor (3 ( (ola f A eq ( nada ais é do que a a Lei de Newton, onde f, que é a resultante de todas as forças eternas apliadas à assa, é proporional à aeleração absoluta da assa A onstante de proporionalidade é a assa A eq ( diz respeito à força que atua sobre u aorteedor visoso, a qual é proporional à veloidade relativa entre as etreidades do aorteedor A onstante de proporionalidade é o oefiiente de aorteiento visoso Já a eq (3 ostra a proporionalidade entre a força da ola e o desloaento relativo das etreidades da ola A onstante de proporionalidade é a rigidez Observeos que a aeleração é absoluta, ao passo que o desloaento e a veloidade são relativos
Modelage Mateátia de Sisteas Meânios Translaionais pela Meânia Newtoniana 3 MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS MECÂNICOS TRANSLACIONAIS Vaos ilustrar a ténia da odelage através de eeplos Eeplo : sistea ola-aorteedor e paralelo (fig Fig A fig (b ostra o diagraa de orpo livre do sistea, onde é onsiderada se assa a barra sobre a qual atua as forças eternas apliadas, ou seja, a eitação f(t, a força da ola (t e a força do aorteedor visoso ẋ (t Trata-se de u sistea o apenas u grau de liberdade (GDL, pois a oordenada (t é sufiiente para desrever o oviento do sistea Apliando a a Lei de Newton, eq (, obteos F f(t (t (t de onde hegaos na EDOL de a orde (daí o noe de sistea de a orde: (4 (t (t f(t a qual onstitui o odelo ateátio para o sistea eânio da fig (a Eeplo : sistea ola-aorteedor e série (fig Fig Teos, agora, u sistea o dois GDL, pois são neessárias duas oordenadas para desrever o oviento do sistea: para o ponto situado entre o aorteedor e a ola e para o ponto de apliação da força f(t A fig 3 ilustra os diagraas de orpo livre das forças que atua nesses pontos, onde foi onsiderado que > : Fig 3
Modelage Mateátia de Sisteas Meânios Translaionais pela Meânia Newtoniana 3 Apliando a a Lei de Newton ao ponto : Apliando a a Lei de Newton ao ponto : F ( F f(t ( pois pois Logo, o odelo ateátio fia oposto pelo onjunto de EDOL s (5 (6 f(t Matriialente: (7 f(t Eeplo 3: sistea assa-ola-aorteedor o u grau de liberdade Vaos onsiderar, agora, o sistea eânio assa-ola-aorteedor (ou sistea -- da fig 4(a, o qual onstitui o sistea o u grau de liberdade ais siples: Fig 4 O diagraa de orpo livre orrespondente está ostrado na fig 4(b Chaando (t o desloaento vertial da assa a partir da posição e que a ola não está deforada, ou seja, antes da ontage da assa no sistea, teos, a partir da apliação da a Lei de Newton: Levando e onta as eqs (, ( e (3, hegaos a F f(t f (t f (t g (t (8 (t (t (t g f(t Essa equação pode ser siplifiada eliinando o efeito do peso g Para isso, vaos edir o desloaento a partir da posição de equilíbrio estátio, (t, obtida a partir da posição anterior, (t, poré deiando que a ola sofra ua defleão estátia δ est, onfore ostra a fig 5:
Modelage Mateátia de Sisteas Meânios Translaionais pela Meânia Newtoniana 4 Fig 5 Tendo e vista que a defleão da ola equilibra o peso: (9 g δ est Por outro lado, onfore ostra a fig 5, podeos fazer a transforação de oordenadas ( t (t - δ est Levando as eqs (9 e ( na eq (8, hegaos à EDOL de a orde (daí o noe sistea eânio de a orde que onstitui o odelo ateátio do sistea da fig 4(a: ( (t (t (t f(t Assi, se adotaros a oordenada (t a partir da posição de equilíbrio estátio, podeos oitir o peso g, o que é vantajoso, pois podeos usar a eq ( oo odelo ateátio para sisteas eânios de a orde que translade tanto na vertial oo na horizontal Eeplo 4: suspensão de u veíulo Podeos onstruir o odelo translaional bastante siplifiado da suspensão independente de u arro onsiderando apenas o oviento de ua roda do veíulo, onfore ilustra a fig 6: Fig 6 A rigidez do pneu é odelada pela ola As assas do pneu, roda, eio e deais peças não suspensas, são odeladas pela assa O oefiiente de aorteiento do aorteedor visoso e a rigidez da ola da suspensão são odelados, respetivaente, por e Já a assa suspensa distribuída àquele ¼ de suspensão é odelada pela assa Fora adotadas as oordenadas e, edidas a partir da posição de equilíbrio estátio do sistea, para desrevere os ovientos das assas e, respetivaente A oordenada servirá para desrever o oviento do solo, devido às irregularidades do terreno
Modelage Mateátia de Sisteas Meânios Translaionais pela Meânia Newtoniana 5 O diagraa de orpo livre do sistea é ostrado na fig 7, onde foi onsiderado que > > Apliando a a Lei de Newton à assa : ( ( ( F Apliando a a Lei de Newton à assa : ( ( F Logo, o odelo ateátio fia oposto pelo onjunto de EDOL s ( ( (3 Matriialente: (4 Na eq (4 podeos identifiar os seguintes vetores e atrizes: As atrizes são todas (n o de graus de liberdade e os vetores são todos Fig 7 Vetor eitação (entrada Vetor desloaento (saída Matriz rigidez Vetor veloidade Matriz aorteiento Vetor aeleração Matriz assa (ou inéria
Modelage Mateátia de Sisteas Meânios Translaionais pela Meânia Newtoniana 6 EXERCÍCIOS Deduzir o odelo ateátio para o sistea assa-aorteedor da figura Resp: f(t (t (t Representar o odelo ateátio do sistea do eeríio anterior no Espaço de Estados 3 Representar o odelo ateátio do sistea do eeríio anterior na fora de Função de Transferênia Resp: s s G(s 4 Considere o eeplo 4 do teto Considerando (t oo entrada e (t oo saída, representar o odelo ateátio do sistea no Espaço de Estados Resp: Equação de Estado: (t 4 3 4 3 onde as variáveis de estado fora definidas oo 4 3 5 Considere o eeplo 4 do teto Considerando (t oo entrada e (t oo saída, representar o odelo ateátio por Função de Transferênia
Modelage Mateátia de Sisteas Meânios Translaionais pela Meânia Newtoniana 7 6 Representar o odelo ateátio do sistea da figura pela função de transferênia Z(s G (s Y(s Dados nuérios: g K 8 N/ 6 Ns/ Resp: Z(s G(s Y(s s 3 8,5s 4s s