SEM004 - Aul Cnemátc e Cnétc de Corpos Rígdos Prof. Dr. Mrcelo Becker SEM - EESC - USP
Sumáro d Aul ntrodução Cnemátc de Corpos Rígdos Cnétc de Corpos Rígdos Métodos Newton-Euler Eemplos EESC-USP M. Becker 009 /67
ntrodução Conceto de corpo rígdo: é um conjunto de nfnts prtículs de mss nfntesml; Estem lgums stuções onde s dmensões de um corpo rígdo não podem ser desprezds; Aprece rotção de corpo rígdo. EESC-USP M. Becker 009 /67
ntrodução Apresentção de lgums grndezs físcs mportntes: v* e * - velocdde e celerção lner; ω e ω& ω - velocdde e celerção ngulr; J e H quntdde de movmento lner e ngulr. EESC-USP M. Becker 009 4/67
ntrodução Equções dferencs que descrevem o movmento de um corpo: Newton sstem nercl): n F d dt m v*) m& v* m * Euler sstem móvel B n soldáro o corpo): n M H ) Ω H o d dt Ω o o. ω) m o ρ * 0 o. d dt o ω) EESC-USP M. Becker 009 5/67
Sumáro d Aul ntrodução Cnemátc de Corpos Rígdos Cnétc de Corpos Rígdos Métodos Newton-Euler Eemplos EESC-USP M. Becker 009 6/67
Cnemátc de Corpos Rígdos Qundo estem forçs que não estão plcds no centro de mss de um corpo, deve-se consderá-lo corpo rígdo. No estudo dos corpos rígdos, trblh-se: D: ses eq. de equlíbro: R e T; D: três eq. de equlíbro: R e T. EESC-USP M. Becker 009 7/67
Cnemátc de Corpos Rígdos Sstem móvel B fo o corpo trnslção e rotção em torno de Z) ω { 0 0 θ & } T EESC-USP M. Becker 009 8/67
Cnemátc de Corpos Rígdos As velocddes e celerções lneres e ngulres) podem ser obtds por dferencção dret ds equções de deslocmento: d v rob ) d r ) B dt B dt OB EESC-USP M. Becker 009 9/67
Cnemátc de Corpos Rígdos Utlzndo sstems móves de referênc: Velocdde: v B v ω A r AB v Rel Acelerção: B ω& r ω ω r ω v A AB AB Rel Rel EESC-USP M. Becker 009 0/67
Cnemátc de Corpos Rígdos Corpo rígdo sgnfc, mtemtcmente, que dstânc entre dos pontos A e B pertencentes um corpo permnece constnte. Consderndo: T d vre l Tθ B rab ) dt 0 T θ d Re l T B rab ) dt 0 EESC-USP M. Becker 009 /67
Cnemátc de Corpos Rígdos EESC-USP M. Becker 009 /67
Cnemátc de Corpos Rígdos No cso de um corpo fleível, dstânc não permnece ms constnte e pss ser descrt em função d elstcdde do mterl do corpo. A velocdde reltv e celerção reltv não são nuls. EESC-USP M. Becker 009 /67
Cnemátc de Corpos Rígdos EESC-USP M. Becker 009 4/67
Cnemátc de Corpos Rígdos Então, s equções que descrevem, com uílo do sstem móvel soldáro o corpo, são: v v ω B A r AB ω& r ω ω B A AB r AB EESC-USP M. Becker 009 5/67
Sumáro d Aul ntrodução Cnemátc de Corpos Rígdos Cnétc de Corpos Rígdos Métodos Newton-Euler Eemplos EESC-USP M. Becker 009 6/67
Cnétc dos Corpos Rígdos ntrodução Já sbemos que corpo rígdo pode ser delzdo como um conjunto de prtículs; Então, fremos dedução ds equções pr forçs e momentos resultntes; Serão ntroduzdos concetos de quntdde de movmento lner e ngulr. EESC-USP M. Becker 009 7/67
Cnétc dos Corpos Rígdos Cnétc dos Corpos Rígdos Pr chr o centro de mss: Quntdde de Movmento Lner n n n n m r m r r m r m r m ) * * * ) Usndo o centro de mss pr obter o vetor de quntdde de movmento lner: ) * * ) r m dt d r m dt d r m dt d J n n n v m v m J * ) EESC-USP M. Becker 009 8/67
Cnétc dos Corpos Rígdos Quntdde de Movmento Lner Prtículs lvres Corpo rígdo EESC-USP M. Becker 009 9/67
Cnétc dos Corpos Rígdos Vrção d Quntdde de Movmento Lner Bsedo n segund Le de Newton, temos que quntdde de movmento lner de um corpo rígdo só se lter se for plcdo ele forçs eterns. s F j j d dt m v*) EESC-USP M. Becker 009 0/67
Cnétc dos Corpos Rígdos Vrção d Quntdde de Movmento Lner Epndndo-se equção nteror, tem-se: s d d F j m ) v * m v *) m & v * m * j dt dt Qundo não se tem vrção de mss o longo do tempo, equção se resume : s F j j m * EESC-USP M. Becker 009 /67
Cnétc dos Corpos Rígdos Quntdde de Movmento Angulr A quntdde de movmento ngulr de um prtícul, em relção um ponto A qulquer, é o produto vetorl entre o vetor ρ e o vetor de quntdde de movmento lner J: H ρ J ) ρ m v A ) EESC-USP M. Becker 009 /67
Cnétc dos Corpos Rígdos Quntdde de Movmento Angulr Um únc prtícul Sstem de prtículs EESC-USP M. Becker 009 /67
Cnétc dos Corpos Rígdos Quntdde de Movmento Angulr Qundo se tem um sstem com n prtículs, equção fc: H n [ ρ m v )] A Cuj equção de velocdde lner de cd prtícul é dd por: v va ω ρ vrel EESC-USP M. Becker 009 4/67 0
Cnétc dos Corpos Rígdos Quntdde de Movmento Angulr A quntdde de movmento ngulr pr o cso de rotção e trnslção smultâne fc: H A n Epndndo: H A n [ ρ m v ω A n ρ )] [ ρ m ] va [ ρ m ω ρ )] 4 4 centro de mss EESC-USP M. Becker 009 5/67
Cnétc dos Corpos Rígdos Quntdde de Movmento Angulr Re-escrevendo equção: H A m ρ * v A n [ ρ m ω ρ )] Colocndo o sstem móvel de referênc sobre o centro de mss do sstem: H A * m ρ va 44 0 n [ ρ m ω ρ )] EESC-USP M. Becker 009 6/67
Cnétc dos Corpos Rígdos Quntdde de Movmento Angulr Então, equção fc: H A n ρ ω ρ ) m Representndo no sstem móvel: H A n ρ ω ρ ) m EESC-USP M. Becker 009 7/67
Cnétc dos Corpos Rígdos Cnétc dos Corpos Rígdos Descrevendo o vetor ρ nos sstems nercl e móvel: Quntdde de Movmento Angulr ) ) ) t z t y t r ρ z y r ρ EESC-USP M. Becker 009 8/67
Descrevendo o vetor velocdde ngulr ω nos sstems nercl e móvel: Quntdde de Movmento Angulr Cnétc dos Corpos Rígdos Cnétc dos Corpos Rígdos z y ω ω ω ω z y ω ω ω ω EESC-USP M. Becker 009 9/67
Cnétc dos Corpos Rígdos Quntdde de Movmento Angulr Pr um corpo rígdo, trocm-se os símbolos de somtóro pr ntegrl e de m por dm. Então, s equções nos sstems nercl e móvel fcm: H r ω r) dm A H A r ω r) dm dm µ dv µ d dy dz EESC-USP M. Becker 009 0/67
Cnétc dos Corpos Rígdos Quntdde de Movmento Angulr Substtundo os vlores de r, ω e dm n equção d quntdde de movmento ngulr, tem-se: H n jn kn y ω ω y ω z d dy dz z y z A µ EESC-USP M. Becker 009 /67
Efetundo-se o produto vetorl, temse: Quntdde de Movmento Angulr Cnétc dos Corpos Rígdos Cnétc dos Corpos Rígdos k j dz ddy y z y z z y k j H y z z y n n n A µ ω ω ω ω ω ω ) ) ) EESC-USP M. Becker 009 /67
Que tmbém pode ser descrto como: Quntdde de Movmento Angulr Cnétc dos Corpos Rígdos Cnétc dos Corpos Rígdos z z y y ω ω ω ω ) dz d dy y zy z yz z y z z y y H z y z z y y z y A µ ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ) ) ) EESC-USP M. Becker 009 /67
Cnétc dos Corpos Rígdos Quntdde de Movmento Angulr Re-ordenndo os termos do vetor de quntdde de movmento ngulr: y z ) y z ω H A y y ) yz ω y µ d dy dz z zy y ) ω z EESC-USP M. Becker 009 4/67
Cnétc dos Corpos Rígdos Quntdde de Movmento Angulr Ms s velocddes ngulres ω, ω y e ω z ndependem de, y e z. Colocndo ntegrl pr dentro d mtrz, temse: H A y z ) µ ddy dz y µ d dy dz z µ ddy dz y µ d dy dz z ) µ d dy dz zy µ d dy dz z µ d dy dz ω yz µ ddy dz ω y z ) µ d dy dz ω z EESC-USP M. Becker 009 5/67
Cnétc dos Corpos Rígdos Quntdde de Movmento Angulr Efetundo-se ntegrl de cd termo d mtrz, cheg-se: y z ω H A y yy yz ω y H A z zy zz ω z A ω EESC-USP M. Becker 009 6/67
Cnétc dos Corpos Rígdos Quntdde de Movmento Angulr Onde precem: Os momentos de nérc de mss:, yy e zz Os produtos de nérc de mss: y, z e yz EESC-USP M. Becker 009 7/67
Cnétc dos Corpos Rígdos Quntdde de Movmento Angulr Em que: y z ) µ ddy dz y y µ d dy dz z z µ ddy dz zz zy z y ) µ ddy dz zy µ ddy dz z µ ddy dz z ) µ ddy dz yy y y µ ddy dz yz yz µ d dy dz EESC-USP M. Becker 009 8/67
Cnétc dos Corpos Rígdos Teorem dos Eos Prlelos Qundo desej-se obter nformções sobre os momentos e produtos de nérc em relção um determndo ponto D, dstnte do centro de mss de D, D y e D z. Utlz-se o Teorem dos Eos Prlelos ou Teorem de Stener. EESC-USP M. Becker 009 9/67
Cnétc dos Corpos Rígdos Cnétc dos Corpos Rígdos Equções dos momentos e produtos de nérc fcm: Teorem dos Eos Prlelos ) ) ) ' ' ' ' ' ' y zz z z z yy y y z y D D m D D m D D m z y yz z y z z z y y y D m D D m D D m D ' ' ' ' ' ' EESC-USP M. Becker 009 40/67
Cnétc dos Corpos Rígdos Cnétc dos Corpos Rígdos Assm, o novo tensor de nérc clculdo em relção o ponto D fc: Teorem dos Eos Prlelos ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' z z y z z z y y y y z y D EESC-USP M. Becker 009 4/67
Cnétc dos Corpos Rígdos Dreções Prncps de nérc Qundo o corpo tver smetr em relção à dstrbução de mss, temse segunte equção de nércs dgons: 0 0 O 0 yy 0 0 0 zz EESC-USP M. Becker 009 4/67
Cnétc dos Corpos Rígdos Dreções Prncps de nérc Dz-se que o sstem móvel escolhdo concde com os três eos prncps de nérc do corpo. Usndo teor dos Auto-vlores e Autovetores, tem-se segunte equção: λ) y z yy y λ) yz z yz λ) zz 0 EESC-USP M. Becker 009 4/67
Cnétc dos Corpos Rígdos Cnétc dos Corpos Rígdos Cheg-se um equção polnoml de tercer ordem em λ: Dreções Prncps de nérc 0 C C C C λ λ λ Resolvendo equção: 0 0 C C C C λ λ λ 0 0 0 0 0 0 λ λ λ o EESC-USP M. Becker 009 44/67
Cnétc dos Corpos Rígdos Cnétc dos Corpos Rígdos Pr o cálculo d dreção s usndo o mor momento de nérc de mss λ ), resolve-se equção: Dreções Prncps de nérc 0 0 0 ) ) ) c b zz yz z yz yy y z y λ λ λ EESC-USP M. Becker 009 45/67
Cnétc dos Corpos Rígdos Cnétc dos Corpos Rígdos Obtém-se vlores, b e c dferentes d solução trvl. Então, o vetor s fc: Dreções Prncps de nérc c b c c b b c b s EESC-USP M. Becker 009 46/67
Cnétc dos Corpos Rígdos Dreções Prncps de nérc Pr o cálculo d dreção s usndo o momento de nérc de mss ntermedáro λ ), resolve-se equção: λ ) y z yy λ ) y yz zz z yz b λ ) c 0 0 0 EESC-USP M. Becker 009 47/67
Cnétc dos Corpos Rígdos Cnétc dos Corpos Rígdos Obtém-se vlores, b e c dferentes d solução trvl. Então, o vetor s fc: Dreções Prncps de nérc c b c c b b c b s EESC-USP M. Becker 009 48/67
Cnétc dos Corpos Rígdos Cnétc dos Corpos Rígdos Pr o cálculo d dreção s usndo o menor momento de nérc de mss λ ), resolve-se equção: Dreções Prncps de nérc 0 0 0 ) ) ) c b zz yz z yz yy y z y λ λ λ EESC-USP M. Becker 009 49/67
Cnétc dos Corpos Rígdos Cnétc dos Corpos Rígdos Obtém-se vlores, b e c dferentes d solução trvl. Então, o vetor s fc: Dreções Prncps de nérc c b c c b b c b s EESC-USP M. Becker 009 50/67
Cnétc dos Corpos Rígdos Cnétc dos Corpos Rígdos Então, mtrz de trnsformção de coordends T entre s bses móves e onde se tem s dreções prncps) pode ser dd por: Dreções Prncps de nérc prncps) pode ser dd por: S T S c b c c b b c b c b c c b b c b c b c c b b c b T EESC-USP M. Becker 009 5/67
Cnétc dos Corpos Rígdos Vrção d Quntdde de Movmento Angulr Bsedo n Le de Euler, temos que quntdde de movmento ngulr de um corpo rígdo só se lter se for plcdo ele momentos eterns. s d M A H A) Ω H A dt EESC-USP M. Becker 009 5/67
Cnétc dos Corpos Rígdos Vrção d Quntdde de Movmento Angulr Eplctndo melhor equção nteror, cheg-se: d dt A ω m ρ * A v A ) Ω A ω m d d d * d * A) ω A ω) m) ρ A va m ρ A) 44 dt dt dt 44 dt 0 m ρ * A d dt v A ) 0 Ω A ω m ρ * A ρ 0 * A v A ) v A v ) A EESC-USP M. Becker 009 5/67
Cnétc dos Corpos Rígdos Vrção d Quntdde de Movmento Angulr Cujo resultdo pode ser vsto bo: A d dt ω) Ω A ω) m ρ * A d va) Ω va 4 dt 444 4 444 Smplfcndo: A s d * M A A ω) Ω A ω) m ρ A dt A EESC-USP M. Becker 009 54/67
Sumáro d Aul ntrodução Cnemátc de Corpos Rígdos Cnétc de Corpos Rígdos Métodos Newton-Euler Eemplos EESC-USP M. Becker 009 55/67
Métodos Newton-Euler Os produtos fns do método são s equções dferencs de movmento e s reções dnâmcs; Estem lgums etps báscs serem seguds: EESC-USP M. Becker 009 56/67
Métodos Newton-Euler Cnemátc:. Defnção de sstems de referênc e B n );. Defnção ds mtrzes de trnsformção dos sstems móves pr o nercl e vcevers;. Cálculo ds grndezs físcs: velocdde e ngulr e celerção bsolut dos sstems móves): & Ω e Ω EESC-USP M. Becker 009 57/67
Métodos Newton-Euler Cnemátc: 4. Determnção ds equções de vínculo com bse em equções vetors fechds; 5. Cálculos ds grndezs físcs: ω e ω velocdde e celerção ngulr bsolut dos corpos) & EESC-USP M. Becker 009 58/67
Métodos Newton-Euler Cnemátc: 6. Cálculo ds grndezs físcs velocdde e celerção lner bsolut do centro de mss dos corpos, n bse nercl e n bse móvel) v e B v e B EESC-USP M. Becker 009 59/67
Métodos Newton-Euler Cnétc ou Dnâmc: 7. Determnção ds propreddes geométrcs dos város corpos mss totl m e o tensor nérc O ); 8. Cálculo dos vetores de quntdde de movmento lner J função de m e v ); 9. Cálculo dos vetores de quntdde de movmento ngulr H função B ω e ); EESC-USP M. Becker 009 60/67
Métodos Newton-Euler Cnétc ou Dnâmc: 0. Determnção de tods s forçs eercds tuntes;. Newton no sstem ou no ): p j F j d dt J ) d dt m v ) m& v m m. Euler necessrmente no sstem B): d M ω) Ω ω) m r B j O O dt B B O B B O B O EESC-USP M. Becker 009 6/67
Métodos Newton-Euler Cnétc ou Dnâmc:. Cálculo ds equções dferencs de movmento e ds reções dnâmcs pelo método Newton-Euler; 4. Resolução numérc ds equções de movmento e nálse dos movmentos com grnde mpltudes; EESC-USP M. Becker 009 6/67
Métodos Newton-Euler Cnétc ou Dnâmc: 5. Lnerzção ds equções dferencs de movmento e obtenção ds mtrzes de mss, rgdez e mortecmento. Análse dos movmentos com pequens mpltudes: nálse de vbrção, estbldde, nálse modl, etc. EESC-USP M. Becker 009 6/67
Sumáro d Aul ntrodução Cnemátc de Corpos Rígdos Cnétc de Corpos Rígdos Métodos Newton-Euler Eemplos EESC-USP M. Becker 009 64/67
Eemplos Geometr smples Momento de nérc: y z ) dm y z ) ρ dv dv Onde: o r π d r dv π ro r ) d EESC-USP M. Becker 009 65/67
Eemplos Eemplos Geometr smples Equção d esfer: Resolvendo ntegrl: r z y z y r Resolvendo ntegrl: r r d r ρ π ) r d r 0 ) ρ π r d r r 0 4 4 ) ρπ 5 0 5 4 5 8 5 r r r r ρπ ρπ EESC-USP M. Becker 009 66/67
Eemplos Geometr smples Substtundo-se ρ: ρ m 4 π r Então, o momento de nérc fc: yy mr 5 EESC-USP M. Becker 009 67/67