THIAGO KURIMORI GARCIA DA SILVEIRA MODELO DE PREVISÃO COM VOLATILIDADE ESTOCÁSTICA

THIAGO KURIMORI GARCIA DA SILVEIRA MODELO DE PREVISÃO COM VOLATILIDADE ESTOCÁSTICA Trabalho de Formaura apresenado à Escola Poliécnica da Universidade de São Paulo para a obenção do Diploma de Engenheiro de Produção SÃO PAULO 8

THIAGO KURIMORI GARCIA DA SILVEIRA MODELO DE PREVISÃO COM VOLATILIDADE ESTOCÁSTICA Trabalho de Formaura apresenado à Escola Poliécnica da Universidade de São Paulo para a obenção do Diploma de Engenheiro de Produção Orienadora: Profª Drª Linda Lee Ho SÃO PAULO 8

FICHA CATALOGRÁFICA Silveira, Thiago Kurimori Garcia da Modelo de previsão com volailidade esocásica, T. K. G. Silveira São Paulo, 8. 7 p. Trabalho de formaura Escola Poliécnica da Universidade de São Paulo. Deparameno de Engenharia de Produção..Modelos Não Lineares.Inferência Bayesiana 3.Méodos MCMC I.Universidade de São Paulo. Escola Poliécnica. Deparameno de Engenharia de Produção II..

DEDICATÓRIA À minha família.

AGRADECIMENTOS Aos meus pais Albero e Lucia, meus irmãos Albero e Luciana e minha namorada Helena pelo apoio, carinho e moivação. À professora Linda Lee Ho, pelos conselhos, pela paciência e pela confiança deposiada em mim.

RESUMO A volailidade é um ema de crescene imporância no mercado financeiro, e diversos modelos êm sido criados e sugeridos para realizar a sua previsão. O presene rabalho apresena a consrução de um modelo de séries emporais para a previsão da volailidade fuura de uma série financeira. O modelo proposo incorpora componenes esocásicos ano para a equação de reornos quano para a equação das volailidades condicionais, o que aumena a complexidade do problema e impossibilia a esimação dos seus parâmeros via méodos de verossimilhança. Assim, são uilizadas écnicas de simulação MCMC, que surgem como alernaiva para a resolução dos problemas de inferência Bayesiana em que não é possível derivar a função de verossimilhança analiicamene. A capacidade prediiva do modelo foi comparada à de um modelo GARCH, que é amplamene uilizado para a previsão da volailidade, e o desempenho dos modelos foram confronados aravés de cálculos dos erros de previsão. O modelo de Volailidade Esocásica proposo apresenou melhor desempenho na capacidade de previsão da volailidade, mas ambém apresenou maior complexidade e maior demanda de capacidade de processameno compuacional para seu ajusameno. Palavras-chave: Modelos Não Lineares. Inferência Bayesiana. Méodos MCMC.

ABSTRACT Volailiy is an issue of growing imporance in he financial marke, and several models have been creaed and suggesed o realize is forecas. This paper presens he consrucion of a ime-series model o forecas he fuure volailiy of a financial series. The proposed model incorporaes sochasic componens boh o he equaion of reurns and for he equaion of condiional volailiies, which increases he complexiy of he problem and makes he esimaion of is parameers impossible via he likelihood mehods. Therefore, MCMC simulaion echniques are used, which emerge as an alernaive o solving he problems of Bayesian inference on which i is no possible o derive he likelihood funcion analyically. The predicive abiliy of he model was compared o ha of a GARCH model, which is widely used o predic he volailiy, and he performance of he models were confroned by he calculaion of forecasing errors. The proposed sochasic volailiy model showed beer performance in he predicion of volailiy, bu presened higher complexiy and greaer demand of compuer processing capaciy o realize is adjusmen. Keywords: Non-Linear Models. Bayesian inference. MCMC mehods.

LISTA DE FIGURAS Figura - - Volume global de conraos de fuuros e de opções por caegoria (Jan- Mai 8)....8 Figura - Resulado financeiro de uma opção de compra no vencimeno....3 Figura 3- - Trajeórias aleaórias de um processo esocásico...4 Figura 3- Fac de um ruído branco...45 Figura 3-3 - Diagrama represenaivo de um filro linear....46 Figura 3-4 - Série de observações de um modelo AR()...48 Figura 3-5 - Fac amosral e eórica de um processo AR()....49 Figura 3-6 - Série de observações de um modelo MA()....5 Figura 3-7 - Fac amosral e eórica de um processo MA()....5 Figura 3-8 - Inversa FPA para uma disribuição normal padrão....67 Figura 4- - Evolução das coações diárias do IBOVESPA e os log reornos da série....7 Figura 4- - Hisograma dos log reornos do IBOVESPA...73 Figura 4-3 - PPN dos log reornos do IBOVESPA....73 Figura 4-4 - Fluxograma do processo de consrução do modelo de volailidade esocásica...76 Figura 4-5 - Diagrama da simulação do Amosrador de Gibbs...84 Figura 4-6 - Amosras realizadas dos parâmeros do modelo (pare /)....86 Figura 4-7 - Amosras realizadas dos parâmeros do modelo (pare /)....87 Figura 4-8 - Funções densidade de probabilidade das disribuições a priori e a poseriori dos parâmeros...89 Figura 4-9 Funções densidade de probabilidade dos parâmeros da volailidade...9 Figura 4- - Volailidade condicional dos modelos ajusados....9 Figura 4- - Resíduos dos modelos ajusados....93 Figura 4- - Variância condicional previsa e os quadrados dos reornos observados....96 Figura 4-3 - Resíduos EQMPV....97

LISTA DE TABELAS Tabela - - Direios e obrigações de opções...3 Tabela - - Efeio do aumeno das variáveis sobre o preço das opções...33 Tabela 4- - Esaísicas descriivas da série de log reornos do IBOVESPA....74 Tabela 4- - Esimação do modelo GARCH(,) para a série de reornos do IBOVESPA...75 Tabela 4-3 - Tese de Ljung-Box paara os resíduos padronizados...9 Tabela 4-4 - Tese de Ljung-Box para os quadrados dos resíduos...9 Tabela 4-5 - Tese de muliplicadores de Lagrange...9 Tabela 4-6 - Quaris dos resíduos EMAP....97 Tabela 4-7 - Comparação dos criérios de desempenho....98

LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS AR ARIMA ARCH BOVESPA CDI EQM EQMPV EMAP Fac Facv FDP FPA GARCH i.i.d. MA MCMC MVE Auoregressivo Auoregressive Inegraed Moving Average Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy Bolsa de Valores de São Paulo Cerificado de Depósio Inerfinanceiro Erro Quadrado Médio Erro Quadrado Médio de Previsão da Volailidade Erro Médio Absoluo de Previsão Função de auocorrelação Função de auocovariância Função de Densidade de Probabilidade Função densidade de Probabilidade Acumulada Generalized Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy Independen and idenically disribued Moving Average Markov Chain Mone Carlo Modelo de Volailidade Esocásica

SUMÁRIO. INTRODUÇÃO..... O Eságio..... Moivação... 3.3. Organização do Trabalho... 4. CONCEITOS...6.. Ações... 7.. Derivaivos... 7.3. Opções... 3.4. Modelo de Black & Scholes... 33.5. Volailidade... 35.5. Volailidade fuura... 36.5. Volailidade hisórica... 36.5.3 Volailidade implícia... 37 3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA...39 3.. Modelos de Séries Temporais... 39 3..Processos esocásicos... 4 3.. Processos esacionários... 4 3..3 Ruído branco... 44 3..4 Função de auocovariância (facv)... 44 3..5 Tipos de modelos... 46 3..6 Modelos lineares... 46 3..6. Modelos AR... 48 3..6. Modelos MA... 49 3..6.3 Modelos ARMA... 5 3..6.4 Modelos ARIMA... 5 3..7 Modelos não-lineares... 5 3..7. Modelos ARCH... 53 3..7. Modelos GARCH... 54 3..7.3 Modelos de Volailidade Esocásica... 55

3..8 Diagnósicos de Modelos... 55 3..8. Tese de Ljung-Box... 55 3..8. Tese de muliplicadores de Lagrange... 56 3..8.3 Análise da fac residual... 57 3.. Inferência Bayesiana... 58 3.. Disribuições a Priori Conjugadas... 59 3.. Simulação por Cadeias de Markov... 63 3..3 Méodos baseados em simulação esocásica... 63 3..3. Amosrador de Gibbs... 64 3..3. Griddy Gibbs... 66 3.3. O Modelo de Volailidade Esocásica... 69 4. CONSTRUÇÃO DO MODELO... 7 4.. Eapas da consrução do modelo... 75 4.. O Modelo Proposo... 77 4.. Escolha das disribuições a priori dos parâmeros... 78 4..3 Esimação das poserioris condicionais... 79 4..4 Simulação via Amosrador de Gibbs... 83 4..5 Verificação da convergência do algorimo... 85 4..6 Esimaivas dos parâmeros... 88 4..7 Validação e comparação dos modelos ajusados... 9 5. CONCLUSÕES... 6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... ANEXO CÓDIGO DO PROGRAMA ESCRITO EM MATLAB... 4

INTRODUÇÃO. INTRODUÇÃO A volailidade é um ema de crescene imporância para odos os paricipanes econômicos que auam direa ou indireamene no mercado financeiro, pois é um dos principais criérios uilizados para análise de riscos, decisão de esraégias de hedge, oporunidades de especulação, oimização de porfolios de invesimeno, ec. O mercado brasileiro de opções vem crescendo subsancialmene nos úlimos anos e, cada vez mais, novos paricipanes ingressam nese mercado. Os principais players são invesidores que uilizam as opções como derivaivos para se proegerem (os chamados hedgers); os especuladores, que enam prever os movimenos de preços do mercado e lucrar com ais oscilações; e os arbiradores, que enam aproveiar imperfeições de mercado para realizarem lucros com pouco ou sem riscos. Uma das principais caracerísicas de um mercado de opções é a quanidade de faores que influem direamene no apreçameno desses derivaivos. Uma dessas variáveis é a volailidade, que represena a velocidade com que as coações de um aivo variam com o empo. O valor da volailidade não pode ser deerminado, pois ela não pode ser observada, e não há como se ober a real população dos reornos de um aivo qualquer. Assim, muios esforços são realizados para ober a melhor esimação possível do seu valor, e o sucesso financeiro de qualquer um dos players desse mercado esá oalmene arelado à eficiência na sua esimação. Aualmene, os modelos mais uilizados para a previsão da volailidade são os modelos da família ARCH/GARCH, que uiliza a eoria de séries emporais para propor equações para a média e variância da variável de ineresse, que usualmene é o reorno ou a variação de um insrumeno financeiro. Assim, os modelos de volailidade esocásica surgem como uma evolução direa aos modelos ARCH/GARCH, por permiirem maiores possibilidades de modelagem. O modelo de volailidade esocásica foi apresenado por Jaquier, Polson e Rossi (994), e não é ão popular provavelmene pela dificuldade de resolução do mesmo, que requer écnicas avançadas de simulação e demanda grande capacidade de processameno compuacional. O presene rabalho de formaura busca a resolução de um problema de previsão de uma variável de ineresse: a volailidade fuura de um insrumeno Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

INTRODUÇÃO financeiro. O objeivo é consruir um modelo para o comporameno emporal de um insrumeno financeiro, que permia inferir e prever os valores reais da volailidade do mesmo. Assim, uiliza-se a inferência Bayesiana para a esimação dos parâmeros que, dado a impossibilidade de se ober analiicamene as disribuições necessárias no problema proposo, requer méodos de simulação de Cadeias de Markov (MCMC) para a obenção de ais disribuições de probabilidade a poseriori dos parâmeros... O Eságio O desenvolvimeno dese rabalho de formaura foi realizado na empresa Capiânia S.A., na área de gesão de aivos (asse managemen) aravés de fundos de invesimenos mulimercado, operando em aivos de renda variável na Bolsa de Valores de São Paulo (BOVESPA). A Capiânia S.A. foi fundada em julho de 3 pelas equipes de rading, esruuração e vendas de produos da área de esouraria do Bank of America no Brasil. Aualmene, a Capiânia S.A. é gesora de quaro fundos de invesimeno, sendo rês da caegoria mulimercado e um fundo exclusivo de ações. Aravés deses quaro produos, a empresa procura oferecer fundos de invesimeno com perfis diferenciados, uilizando em sua essência esraégias de renda variável, com o objeivo de gerar reornos consisenes, independenemene do cenário macroeconômico. O eságio eve como principal objeivo a análise quaniaiva de insrumenos financeiros, principalmene volada a ações e opções de ações. Uma das principais esraégias de invesimeno da empresa é gerar ganhos financeiros aravés da especulação da volailidade fuura de uma ação. Assim, muias pesquisas nesse senido são realizadas, que êm em sua essência aplicações da eoria esaísica para a realização de uma série de análises quaniaivas. É nesse conexo que surge a proposa de realização do presene rabalho. Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

INTRODUÇÃO 3.. Moivação Aualmene, há diversos modelos de previsão que incluem a imporância da volailidade nos seus parâmeros. Alguns deles consideram a volailidade como consane ao longo do empo (modelos ARIMA), enquano ouros a consideram como uma variável correlacionada a seus valores passados (modelos ARCH), e ambém a valores de ouras variáveis explicaivas (modelos GARCH). Tais classes de modelos buscam explicar os valores de uma variável em um dado insane a parir dos valores passados dessa mesma variável, ou seja, admie-se que os valores são auocorrelacionados. Caso exisa essa explicação de valores fuuros aravés de seus anecedenes, pode-se dizer que os valores da série são auocorrelacionados. A idéia principal da volailidade esocásica é incremenar os modelos ARCH/GARCH para que ese possa considerar a própria volailidade como dependene não só de seus valores passados, mas ambém da dinâmica aleaória inrínseca do mercado financeiro. Há alguns esudos que mosram a influência do volume de operações do mercado na volailidade. O caóico fluxo de informações que ainge os diversos paricipanes do mercado produz um volume de operações aleaório. Tal comporameno deveria, se possível, ser incorporado a um modelo eficiene de previsão. Tauchen; Pis (983) e Gallan; Hsieh; Tauchen (99) noaram que, se os fluxos de informações são auocorrelacionados, enão um modelo que considera a variância condicional como variável no empo e correlacionada com seus valores passados pode ser apropriado para esudar as séries financeiras. Com essa visão, Jaquier; Polson e Rossi (994) propuseram uma meodologia que uiliza a análise Bayesiana para a consrução do modelo de volailidade esocásica. Tal análise busca a esimação dos reais parâmeros de um modelo a parir das informações que se dispõe para explicá-lo. Assim, dado um conjuno de informações disponíveis sobre uma série, a meodologia Bayesiana permie inferir sobre os reais valores dos parâmeros geradores dessa série analisada. Conudo, para a incorporação do caráer aleaório da volailidade, o modelo orna-se de difícil resolução pelos méodos clássicos ou seja, que uilizam funções de verossimilhança. Tais funções podem ser obidas analiicamene para os modelos Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

4 INTRODUÇÃO ARIMA, ARCH e GARCH, porém, para os modelos de volailidade esocásica, esa obenção não é possível. Por isso, como alernaiva, são uilizadas écnicas Markov Chain Mone Carlo (MCMC) que, realizando simulações, consrói-se uma cadeia de Markov aproximadamene equivalene à disribuição conjuna a poseriori necessária. Levando esses faos em consideração, o objeivo dese rabalho é consruir um modelo quaniaivo que uilize um conjuno de informações disponíveis para a previsão da volailidade, junamene com a consideração de influências esocásicas no seu comporameno. Apesar de exigir écnicas de resolução mais rabalhosas e sofisicadas, o modelo será de grande valia caso enha um desempenho marginalmene melhor que os modelos mais populares, viso que qualquer vanagem compeiiva no mercado financeiro pode represenar enormes benefícios para a empresa. O resulado poderá ser usado como auxílio direo no apreçameno de uma opção, e conseqüenemene servirá de apoio nas decisões de invesimeno do operador de opções..3. Organização do Trabalho O rabalho é organizado em seis pares básicas. Nesa seção, apresena-se a forma como esá organizado e descreve-se sucinamene cada um dos capíulos que o compõem: Capíulo São apresenados o problema a ser resolvido e os objeivos do rabalho, assim como uma breve inrodução ao ema proposo. Apresena-se ambém a descrição do eságio e da moivação para o projeo. Capíulo Conduz a pare conceiual necessária para a melhor compreensão e conexualização do ema proposo. São apresenados conceios básicos do mercado financeiro, enre eles os insrumenos exisenes, os principais paricipanes do mercado de capiais e um panorama da eoria de apreçameno de opções de Black & Scholes. Além disso, raa da variável objeo moivadora do presene rabalho, onde é apresenado o conceio de volailidade no mercado financeiro: sua imporância, suas Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

INTRODUÇÃO 5 caracerísicas, classificações, aplicações no mercado e peculiaridades no apreçameno de opções. Capíulo 3 Apresena as fundamenações eóricas necessárias para o desenvolvimeno do projeo. A eoria pesquisada para a resolução do problema envolve modelos de séries emporais, inferência Bayesiana e méodos de simulação MCMC. Capíulo 4 Nese, dealha-se a consrução do modelo de volailidade esocásica, aplicado em uma série de dados hisóricos do IBOVESPA. O objeivo é propor um modelo que represene saisfaoriamene o comporameno dos reornos da série analisada e, principalmene, da sua volailidade condicional. Assim, são aplicados méodos MCMC para que os parâmeros do modelo possam ser esimados via inferência Bayesiana. A resolução do modelo será divida em: proposa do modelo, apresenação das disribuições a priori dos parâmeros, obenção das disribuições a poseriori condicionais dos parâmeros, descrição dos algorimos MCMC e resolução numérica do modelo. Ese capíulo ambém apresena a validação do modelo esaísico apresenado, verificando a coerência dos resulados obidos e comparando seu desempenho com um modelo GARCH. Capíulo 5 Conclui-se o rabalho, desacando os ponos mais relevanes do esudo realizado, bem como se analisa criicamene o projeo desenvolvido. Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

6 CONCEITOS. CONCEITOS A definição de invesir, segundo Bodie (), é compromeer o uso de recursos no presene com a expecaiva de benefícios fuuros. Aualmene, há inúmeros produos financeiros que servem de meios para que essa alocação de recursos ocorra. Tais insrumenos podem ser classificados quano à sua lucraividade, que pode ser fixa ou variável. Aivos de renda fixa são invesimenos que pagam, em períodos definidos, uma cera remuneração ao invesidor. A renabilidade pode ser deerminada no momeno da aplicação (íulos pré-fixados) ou no momeno do resgae (íulos pósfixados). Os íulos de renda fixa podem ser públicos ou privados, de acordo com a insiuição encarregada de honrar o pagameno do invesimeno e a remuneração. Enre os aivos de renda fixa podem ser ciados: a cadernea de poupança, o CDB (Cerificado de Depósio Bancário) e debênures. Já os aivos de renda variável são íulos de propriedade que podem apresenar componenes de remuneração periódica, deerminados conraualmene. O lucro nesse caso é apurado pela diferença enre o preço de compra mais os benefícios, e o preço de venda. Ações, coas de fundos de invesimeno, moedas e commodiies são exemplos dos aivos de renda variável mais conhecidos. Os insrumenos financeiros mais imporanes na realização e aplicação do presene rabalho são as ações, opções (uma classe de derivaivos) e o CDI (Cerificado de Depósio Inerfinanceiro). A imporância de ais aivos decorre da volailidade, que inerliga eses insrumenos. Em suma, a volailidade de um aivo pode ser especulada aravés de opções que enham ese aivo como objeo, e o CDI serve como a axa de reorno livre de risco, que corresponde ao cuso de oporunidade de um invesimeno, e que é uma das enradas no apreçameno de ais opções. Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

CONCEITOS 7.. Ações Segundo a Bolsa de Valores de São Paulo (BOVESPA), ações são íulos nominaivos negociáveis que represenam, para quem as possui, uma fração do capial social de uma empresa. Tais íulos conferem ao seu proprieário parcelas de paricipação no conrole, nos bens e nos lucros da empresa. Exisem basicamene dois ipos de ações: Ações ordinárias (ON): concedem, aos seus proprieários, poder de voo nas assembléias deliberaivas da companhia. Ações preferenciais (PN): oferecem preferência na disribuição de resulados ou no reembolso do capial em caso de liquidação da companhia, mas não concedem poder de voo aos acionisas. Uma empresa deve dividir os lucros com seus acionisas. Essa parcela direcionada aos deenores de ações é denominada de dividendo, e é disribuída na proporção da quanidade de ações que cada acionisa possui, e apurada ao fim de cada exercício social. Assim, um dos principais moivos que araem invesidores a comprar ações é a expecaiva de receber dividendos das empresas emissoras desses íulos. Em muios casos, enreano, é de ineresse do proprieário de ações a busca por ouros invesimenos que resulem, por exemplo, em uma maior proeção aos seus invesimenos, uma maior alavancagem do capial invesido, denre ouros. Nesas e ouras siuações similares, os invesidores podem uilizar os chamados derivaivos... Derivaivos Um derivaivo é um íulo cujo valor depende dos valores de ouras variáveis básicas que o referenciam. Um derivaivo sobre uma ação, por exemplo, em o seu valor arelado à coação desa ação. Os mercados de derivaivos iveram um rimo de crescimeno basane acelerado nos úlimos anos em odo o mundo. Além de insiuições financeiras como bancos e invesidores, o uso de derivaivos foi Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

8 CONCEITOS difundido para empresas de ouros segmenos da economia (agrícola, energia, enre diversos ouros). As finalidades do invesimeno em derivaivos são muias, enre elas a proeção conra oscilações de mercado (hedge), ganhos financeiros aravés da especulação, ransformação de um passivo de axa fluuane por um de axa fixa, enre ouros. Exise uma variedade muio grande de conraos negociados, e a Figura - mosra os conraos de fuuros e de opções mais negociados no período de janeiro a maio de 8, classificados pelo ipo de aivo objeo do derivaivo: Ouros,% Meais,% Moedas 3,3% Energia 3,4% Agriculura 5,% Índices de ações 3,3% Taxas de juros,3% Ações individuais 3,4% Figura - - Volume global de conraos de fuuros e de opções por caegoria (Jan-Mai 8). Fone: FIA O oal de conraos negociados nesse período foi de aproximadamene 7 bilhões, considerando o mercado de balcão (iso é, negociações que não passam pelas Bolsas) e Bolsas de Valores de odo o mundo. A caegoria ouros envolve conraos baseados em carbono, índices de commodiies, crédio, ferilizanes, consrução civil, inflação, lenha e condições climáicas. Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

CONCEITOS 9 são: Os ipos de derivaivos mais negociados no mercado brasileiro aualmene Conraos a ermo: são acordos de compra e venda de um deerminado aivo para liquidação em uma daa fuura, esabelecida por um preço enre as pares, que é denominado de preço de enrega. Sua negociação ocorre principalmene em mercado de balcão. Conraos fuuros: assim como os conraos a ermo, as pares envolvidas são obrigadas a comprar ou vender, a um preço esabelecido por elas, deerminada quanidade de um aivo, em cera daa fuura. A diferença é que os conraos são negociados em Bolsa e assim fica a cargo da Bolsa cumprir o conrao. Esses conraos são padronizados em relação à quanidade e qualidade do aivo, formas de liquidação, garanias, prazos de enrega, denre ouros. Além disso, é possível a liquidação do conrao anes do prazo de vencimeno. Swaps: são acordos privados enre duas insiuições para a roca fuura de fluxos de caixa, realizada de acordo com uma fórmula preesabelecida. Assim, os pagamenos fuuros dependem de seus respecivos indexadores, que podem ser fluuanes ou não. Como ambos os pagamenos são efeuados em uma mesma daa, a liquidação do conrao geralmene ocorre pela diferença enre os valores conrauais corrigidos pelos seus respecivos indexadores. São negociados principalmene em mercado de balcão. Opções: são conraos que dão à pare compradora o direio (e não a obrigação) de comprar ou vender o aivo objeo em cera daa a um preço preesabelecido. As opções são negociadas ano em mercado de balcão quano na Bolsa. Ese ipo de derivaivo, dada a sua relevância pra o problema proposo, será apresenado com mais dealhes na Seção.3. Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

3 CONCEITOS.3. Opções Segundo Cosa (998), opção é um direio negociável de compra ou venda de um aivo a um preço fuuro predeerminado. O iular, agene econômico que compra a opção a um deerminado preço na daa inicial, adquire a escolha de exercer ou não o seu direio de compra ou venda. A conrapare, denominado de lançador da opção, adquire o dever de aceiar a decisão do iular, e assim orna-se obrigado a comprar ou vender o aivo objeo no preço deerminado para o iular, em caso do exercício de direio. Há inúmeros ipos de conraos de opções que apresenam uma série de caracerísicas peculiares. As opções mais negociadas são as chamadas opções vanilla, que serão o único ipo de opção considerado no decorrer dese rabalho. Para maiores informações sobre os ouros ipos de opções exisenes (asiáicas, flexíveis, exóicas, ec) ver Hull (997) e Cosa (998). Há dois ipos de direios que uma opção apresena: direio de compra (call) e direio de venda (pu), cujos direios e obrigações são apresenados na Tabela -: Pare Opção de compra (Call) Opção de venda (Pu) Lançador Obrigação de compra Obrigação de venda Tiular Direio de compra Direio de venda Tabela - - Direios e obrigações de opções. Além disso, as opções podem ser classificadas de acordo com a possibilidade de exercício anes ou somene na daa de exercício preesabelecida. São dias opções americanas aquelas que podem ser exercidas a qualquer insane aé a daa de vencimeno, enquano as opções européias podem ser exercidas somene na daa de vencimeno. No Brasil, a maioria das opções negociadas é do ipo europeu. O resulado financeiro de uma operação de compra de uma opção call européia na daa de vencimeno é apresenado na Figura -: Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

CONCEITOS 3 Resulado da operação K Lucro Prêmio Preço do aivo objeo (S) Figura - Resulado financeiro de uma opção de compra no vencimeno. Na Figura -, K corresponde ao preço de exercício da opção de compra e o prêmio é o preço pago pela opção na daa negociada. Pode-se noar que se o preço do aivo objeo for maior que o preço de exercício, é compensador para o iular exercer o direio de compra, pois dese modo esaria comprando o aivo objeo por um preço menor do que o preço negociado nesa daa. O valor recebido pelo iular no vencimeno da opção é denominado payoff, e pode ser descrio como: max(, S K), para uma opção de compra max(, K S), para uma opção de venda. onde S é a coação à visa do aivo objeo (spo) e K é o preço de exercício da opção (srike). O payoff ambém é denominado de valor inrínseco da opção. As opções podem ser negociadas em odo o período desde o seu lançameno aé a daa de vencimeno, e nese período o seu valor não pode mais ser definido Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

3 CONCEITOS apenas pelo valor inrínseco. Segundo Hull (997) exisem basicamene cinco variáveis que influem no valor de uma opção: S preço à visa do aivo objeo; K preço de exercício da opção; r axa de juros livre de risco; empo aé o vencimeno; σ volailidade do aivo objeo. O preço à visa do aivo objeo e o preço de exercício podem ser analisados junos aravés do valor inrínseco da opção. No caso de uma opção de compra, esa erá valor maior quano maior for o preço do aivo e quano menor for o seu srike. Já uma opção de venda erá valor maior quano menor for o preço do aivo e maior for o seu srike. A volailidade de um aivo pode ser enendida como uma medida de incereza sobre os seus preços fuuros. Quano maior a volailidade, maior é a possibilidade de haver oscilações bruscas de preços, ano para cima quano para baixo. Assim, para uma opção, ano de compra quano de venda, a volailidade aumena a possibilidade de um resulado posiivo, dado que as perdas são limiadas. O empo aé o vencimeno de uma opção é medido em dias úeis e influi no preço de uma opção, pois quano maior o prazo aé o vencimeno, maiores as possibilidades para a rajeória de preços do aivo objeo. A axa de juros livre de risco afea o preço das opções na medida em que quano maior o seu valor, maior será a expecaiva de reorno dos preços dos aivos. Além disso, por raar de fluxos de caixas fuuros, o valor fuuro dos desembolsos e receias diminuirão. Na práica, a axa de juros livre de risco uilizada no Brasil é o CDI. A Tabela - apresena um panorama dos efeios do aumeno de cada variável sobre o preço da opção, enquano as demais se manêm consanes: Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

CONCEITOS 33 Variável Opção de compra (Call) Opção de venda (Pu) Preço do aivo + - Preço de exercício - + Prazo aé o vencimeno + + Volailidade + + Taxa livre de risco + - Tabela - - Efeio do aumeno das variáveis sobre o preço das opções. Fone: Adapado de Hull (997) A eoria de apreçameno de opções é exensa e basane desenvolvida, no enano o esudo publicado mais imporane sobre o assuno é a derivação da equação de Black & Scholes (973)..4. Modelo de Black & Scholes A difusão e popularidade das opções no mercado financeiro devem-se, em grande pare, ao modelo proposo por Black e Scholes (973) para o apreçameno de opções. Tal méodo foi apresenado na década de 7 e é amplamene uilizado no mercado financeiro, devido a sua fácil implemenação, ao seu rigor eórico e à vasa aplicação práica no mercado de capiais. O modelo proposo por Black e Scholes apresena uma fórmula cujo resulado é o valor juso de uma opção, respeiando deerminadas hipóeses. Dada a relevância práica ao presene rabalho, o modelo de Black e Scholes será apresenado sucinamene para que fique clara a principal implemenação práica dese rabalho. Para maiores dealhes sobre o modelo de Black e Scholes, ver Hull (997). Considerando: C : Preço da opção de compra Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

34 CONCEITOS P : Preço da opção de venda S : Preço do aivo objeo no insane K : Preço de exercício r : Taxa de juros livre de risco, composa coninuamene T : Daa de vencimeno T : Número de dias úeis aé o vencimeno σ : Volailidade do aivo objeo Φ (d) : Função de disribuição de probabilidade normal padrão acumulada Black e Scholes (973) desenvolveram um modelo que deermina o preço de uma opção de compra do ipo européia, por meio da expressão: r( T ) C = SΦ( d) Ke Φ( d ) (Eq..) Para uma opção de venda, a expressão orna-se: P = Ke r( T ) Φ( d ) SΦ( d) (Eq..) onde: d ln( S / K) + ( r + σ / ) T = (Eq..3) σ T d ln( S / K) + ( r σ / ) T = = d σ σ T T. (Eq..4) É imporane noar que, denre odas as variáveis uilizadas no apreçameno de uma opção, a única que não é conhecida é a volailidade do aivo objeo. Assim, ese parâmero se orna o mais relevane na negociação de opções, e muios esforços são realizados a fim de esimá-lo do modo mais eficaz possível. Na práica, há muios invesidores que realizam as chamadas operações de volailidade, que Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

CONCEITOS 35 consise na especulação e arbiragem não do preço fuuro de um aivo, mas da sua volailidade fuura. Desse modo, o invesidor que conseguir esimar melhor o valor juso da volailidade poderá operá-la de modo a ober lucros financeiros acima do seu cuso de oporunidade. Junamene com a derivação do preço de uma opção, Black e Scholes (973) apresenaram uma série de variáveis que permiem a realização de uma análise de sensibilidade do preço da opção em função de suas variáveis, que no jargão do mercado financeiro recebem o nome de gregas. Elas são exremamene úeis para analisar uma careira de invesimenos que conenha posições em opções. Cada uma mede uma dimensão do risco da posição em opção. Por não serem cruciais para o desenvolvimeno dese rabalho, esas não serão dealhadas. Como referência, ver Hull (997) e Cosa (998)..5. Volailidade O mercado financeiro é caracerizado pelo dinamismo dos preços dos aivos negociados nas Bolsas de Valores. Tais mudanças podem ser mais ou menos drásicas. A coação da ação de uma empresa de ecnologia, por exemplo, exibe um comporameno muio mais dinâmico do que a axa de juros livre de risco. Nesse senido, a volailidade surge como uma medida da velocidade, da incereza das movimenações de preços. Mercados que se movem lenamene são dios mercados de baixa volailidade. Em conraparida, mercados alamene dinâmicos são dios mercados de ala volailidade. Mais especificamene, a volailidade pode ser enendida como uma medida de dispersão do preço ao redor de seu valor esperado em um deerminado período de empo. Assim sendo, é de exrema imporância que os paricipanes do mercado consigam esimar a volailidade para diferenes prazos sejam eles diários, semanais, anuais, ou ouros para que o apreçameno de uma opção possa ser realizado de maneira acurada. A volailidade, por não poder ser observada, deve ser devidamene medida e esimada para que o invesidor possa omar posições coerenes. Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

36 CONCEITOS A volailidade pode ser apresenada de diversas maneiras, e é imporane saber disinguir qual é a abordagem em quesão quando se raa dese ema. A seguir, serão descrios os diferenes raamenos exisenes em relação à volailidade..5. Volailidade fuura A volailidade fuura é o que qualquer invesidor gosaria de saber, pois corresponde à volailidade que melhor descreve a disribuição fuura dos preços de um deerminado insrumeno. Caso pudesse ser deerminada, o invesidor conheceria a real função de disribuição de probabilidade dos preços..5. Volailidade hisórica Uma das maneiras de se esimar a volailidade real de um aivo é analisar a volailidade hisórica do mesmo. A volailidade hisórica, ambém chamada de volailidade realizada, pode ser esimada para quaisquer inervalos de empo, desde que se consiga ober os respecivos dados necessários. Usualmene, calcula-se a volailidade hisórica considerando observações diárias do preço de fechameno do aivo, calculando-se os reornos como a variação de ais observações. (997). Sejam: A seguir, apresena-se a definição da volailidade hisórica segundo Hull n +: Número de observações; S i : Preço do aivo ao final do i -ésimo inervalo ( i =,, K, n) ; u i : Reorno coninuamene capializado (não-anualizado), no i -ésimo inervalo; τ : Inervalo de empo em anos. Pela definição de reorno coninuamene capializado, emos: u S i i = Si e (Eq..5) Si u = ln i (Eq..6) Si Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

CONCEITOS 37 A esimaiva usual, s, do desvio padrão dos valores de u i é dada por: ou s = n n ( u i u) i= (Eq..7) n n s = ui ( ) ui (Eq..8) n i= n n i= onde u é a média dos reornos u i. Desa maneira, uilizando a esimaiva para o desvio padrão aravés da Equação.8, é possível esimar a volailidade hisória para o período τ, designado por σˆ : s ˆ σ = (Eq..9) τ Deve-se frisar que a esimaiva da volailidade para o período considerado refere-se a dados passados, e que usar al esimaiva para apreçar opções equivale a presumir que o passado irá se repeir no fuuro. Tal suposição requer cauela, pois o mercado financeiro é alamene complexo e dinâmico. Todavia, a volailidade hisórica é uma ferramena basane úil para que o comporameno do preço do aivo seja esudado, principalmene em horizones de longo prazo..5.3 Volailidade implícia O único parâmero da equação de Black & Scholes que não pode ser direamene observado é a volailidade do preço do aivo. Por isso, a volailidade é o principal faor de incereza no preço de uma opção. Na práica, os operadores usualmene rabalham com a chamada volailidade implícia, ou seja, a volailidade associada ao preço da opção negociada no mercado. A volailidade implícia é usada para moniorar a opinião do mercado acerca da volailidade fuura de deerminado aivo. Na práica é comum observar valores diferenes da volailidade implícia de opções de um mesmo aivo objeo. Tal fao decorre de diversos aspecos, enre eles o prazo de vencimeno e o preço de exercício da opção. Assim, não é usual negociar opções pelo seu preço, mas sim em ermos de Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

38 CONCEITOS sua volailidade implícia. Um invesidor em opções geralmene realiza suas decisões em relação ao valor da volailidade implícia que ese esá disposo a receber ou pagar por uma opção, pois seu preço, por si só, não carrega as informações mais relevanes para as decisões de invesimeno. Nese senido, o invesidor especula a volailidade implícia da opção. Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 39 3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA O modelo proposo para a resolução do problema requer conhecimenos eóricos sobre esaísica, mais especificamene a inferência Bayesiana, que não são abordados no curso de Engenharia de Produção. Porém, os conceios de esaísica desenvolvidos no curso apresenam uma base necessária para que o aluno enha a compeência necessária para se aprofundar em áreas de maior ineresse. Assim, inensivas pesquisas foram realizadas sobre o conceio de séries emporais, volailidade esocásica, eoria de Bayes e simulações MCMC. A argumenação eórica uilizada na resolução do problema é rabalhada nesa seção, e um resumo dos ópicos que serão abordados é apresenado a seguir: Modelos de séries emporais: conempla a eoria de séries emporais, apresenando os conceios de processos esacionários, ruído branco, função de auocovariância, além de apresenar alguns dos principais modelos exisenes e eses esaísicos de validação dos mesmos. Inferência Bayesiana: apresena a eoria de inferência Bayesiana, junamene com conceios de disribuições conjugadas, simulações MCMC e os principais algorimos desa caegoria. 3.. Modelos de Séries Temporais Segundo Morein; Toloi (6), uma série emporal é qualquer conjuno de observações ordenadas no empo. O objeivo da análise de séries emporais é consruir modelos para as séries, com propósios deerminados, como: Invesigar o mecanismo gerador da série emporal; Fazer previsões de valores fuuros da série; Descrever apenas o comporameno da série, a parir da consrução de gráfico, verificação da exisência de endências, ciclos, variações sazonais; Procurar periodicidades relevanes nos dados. Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

4 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Em odos os casos, modelos probabilísicos são consruídos. Caso seja possível, os modelos devem ser simples e parcimoniosos, ou seja, com um número enxuo de parâmeros envolvidos. Os modelos uilizados para descrever séries emporais são processos esocásicos, iso é, processos descrios por leis probabilísicas. Para descrever o comporameno de uma série, é possível considerar um número muio grande de modelos. A consrução de um modelo adequado depende de vários faores, ais como o comporameno do fenômeno ou o conhecimeno prévio que emos de sua naureza e do objeivo da análise. Na práica, ouras quesões são relevanes, como a exisência de méodos apropriados de esimação, disponibilidade de sofwares adequados e capacidade de processameno de dados. 3.. Processos esocásicos Seja T um conjuno arbirário represenane da dimensão emporal. Um processo esocásico é uma família Z = { Z ), T} uma variável aleaória. (, al que, para cada T, Z() é Nesas condições, um processo esocásico é a família de variáveis aleaórias, que se supõe definidas num mesmo espaço de probabilidades. O conjuno T é normalmene represenado pelo empo, e omado como o conjuno dos ineiros {, ±, ±,K} Z = ou o conjuno dos reais R. Também, para cada T, Z() será uma variável aleaória real, definida sobre Ω, que é a dimensão dos parâmeros geradores do processo. Logo, na realidade Z() é uma função de dois argumenos, Z (, ω), T, ω Ω. A Figura 3- ilusra esa inerpreação de um processo esocásico: Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 4 Z(,ω) 4 3 Z () () x() Z (3) () Z () () - n Figura 3- - Trajeórias aleaórias de um processo esocásico. Para cada ω Ω fixado, obém-se uma função de, ou seja, uma realização ou rajeória do processo, ou ainda, uma série emporal. No exemplo ilusrado, as rajeórias de Z () foram geradas a parir de uma disribuição de probabilidade normal com parâmero ω = ( µ, σ ), para valores µ = e σ =. Porano, nesse caso o parâmero ω consise em um veor com os valores para a média e desvio padrão da série. A rajeória de x () denoa a média amosral para as rajeórias de Z () em cada insane, iso é: () () (3) Z ( ) + Z ( ) + Z ( ) x( ) =. (Eq. 3.) 3 O objeivo da inferência esaísica raa-se de, a parir das observações disponíveis das rajeórias de uma variável, inferir os valores dos parâmeros geradores do processo. No exemplo descrio, o objeivo seria enconrar os valores de ω = ( µ, σ ), iso é, a média e o desvio-padrão incondicional da disribuição normal geradora da série emporal. Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

4 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA A eoria de inferência será mais bem dealhada poseriormene, na Seção 3., mas a diferença fundamenal enre a inferência esaísica e a Bayesiana é que a úlima uiliza as chamadas disribuições de probabilidade a priori. Em suma, ais disribuições buscam implemenar informações subjeivas sobre o processo em quesão, aravés de funções de probabilidades. A inferência Bayesiana uiliza as disribuições a priori, e pondera ais informações com os dados observados amosralmene, na busca dos valores jusos dos parâmeros. Oura consideração imporane é que na práica não se conhece, na maioria dos casos, a verdadeira função de densidade de probabilidade (fdp) da variável de ineresse. Assim, primeiramene um modelo adequado deve ser proposo para que as séries sejam geradas a parir de equações especificadas. Há vários modelos de séries emporais exisenes, e os principais serão apresenados na Seção 3..4. 3.. Processos esacionários A uilização de modelos de séries emporais frequenemene requer a inrodução de suposições simplificadoras. Assim, algumas classes de processos esocásicos com podem ser definidas de acordo com suas caracerísicas, segundo Morein; Toloi (6): a) Processos esacionários ou não-esacionários, de acordo com a independência ou não relaivamene à origem dos empos; b) Processos normais (Gaussianos) ou não-normais, de acordo com as funções de densidade de probabilidade que os caracerizam; c) Processos Markovianos ou não-markovianos, de acordo com a independência dos valores do processo, em dado insane, de seus valores em insanes precedenes, ou seja, um processo Markoviano represena um processo no qual a série emporal não é auocorrelacionada. O conceio de auocorrelação será apresenado poseriormene. Inuiivamene, um processo Z é esacionário se ele se desenvolve no empo de modo que a escolha de uma origem dos empos não é imporane. Em ouras palavras, as caracerísicas de Z ( + τ ), para odo τ, são as mesmas de Z (). As Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 43 medidas das vibrações de um avião em regime esável de vôo horizonal, durane seu cruzeiro, consiuem um exemplo de um processo esacionário (MORETTIN; TOLOI, 6, p.3). Mais especificamene, uma série esacionária é aquela que se desenvolve no empo aleaoriamene ao redor de uma média consane, refleindo uma espécie de equilíbrio esável. Na práica, a maioria das séries apresena algum ipo de nãoesacionariedade. As séries econômicas e financeiras, por exemplo, em geral apresenam endências. Ouros casos, como o crescimeno populacional, apresenem uma forma de não-esacionariedade explosiva, e são mais difíceis de modelar. Como a maioria dos procedimenos de análise esaísica supõe a condição de esacionariedade, muias vezes é necessário realizar algum ipo de ransformação dos dados originais da série. O méodo mais comum consise em omar diferenças sucessivas da série original, aé se ober uma série esacionária. Em muios casos práicos, a omada de diferenças de primeira e segunda ordem são basane eficazes em ornar a série esacionária, o que facilia a uilização de modelos. A primeira diferença de Z () é definida por: Z( ) = Z( ) Z( ). (Eq. 3.) De modo geral, a n-ésima diferença de Z () é n n Z ( ) = [ Z( )]. (Eq. 3.3) Um processo esacionário pode ser esriamene ou fracamene esacionário. As definições de ais processos são apresenadas a seguir: Um processo esocásico Z = { Z ), T} ( diz-se esriamene esacionário se odas as disribuições finio-dimensionais permanecem as mesmas sob ranslações no empo, ou seja, F z, L, z ; + τ, L, + τ ) = F( z, L, z ;, L, ), (Eq. 3.4) ( n n n n para quaisquer, L,, τ de T. n Iso significa, em paricular, que odas as disribuições unidimensionais são invarianes ao longo do empo, logo a média e a variância da série são consanes, iso é: µ () = µ, V ( ) = σ (Eq. 3.5) Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

44 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA para odo T. 3..3 Ruído branco Ruído branco raa-se de uma sequência de valores aleaórios { ε } que é amplamene uilizada nos modelos de séries emporais. Tais elemenos são caracerizados por erem média zero e variância E( ε ) = E ε = ( ) σ σ, (Eq. 3.6), (Eq. 3.7) e erem odos os valores não-correlacionados no empo: ε ε τ E ( ) = para τ. (Eq. 3.8) Assim, um processo que saisfaz ais condições é chamado de ruído branco. Se além dessas caracerísicas o processo seguir uma disribuição, ε ~ N (, σ ), (Eq. 3.9) enão o processo é dio um ruído branco gaussiano. 3..4 Função de auocovariância (facv) Uma imporane análise na modelagem de séries emporais é observar a covariância enre os seus valores em diferenes insanes de empo. Segundo Morein; Toloi (6), para um processo X esacionário de segunda ordem discreo qualquer, sua função de auocovariância (facv) é definida por: { X ( ) X ( )} E{ X ( )} E{ X ( )} γ (, ) = E. (Eq. 3.) =, Em paricular, se = { X ( ) } = E{ X ( ) } E { X ( ) } γ (, ) = Var, (Eq. 3.) que é a (função) variância do processo X. A facv ambém pode ser represenada na forma τ γ τ = + τ γ, onde { X X } E. Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 45 Além da facv, oura função que é basane uilizada na análise de séries emporais é a função de auocorrelação, definida por: γ ρτ =, τ Z. (Eq. 3.) τ γ O valor de ρ é definido no inervalo [, ] τ, onde indica perfeia correlação, - indica perfeia correlação negaiva e zero indica correlação nula. Para processos puramene aleaórios, como um ruído branco, os seus valores são independenes no empo, ou seja, são não-correlacionados. Tal comporameno pode ser visualizado aravés da função de auocorrelação (fac) do processo: Considere um processo puramene aleaório al que: ε ~ i. i. d.(, σ ε ). A fac desse ruído branco é ilusrada na Figura 3-: ρ τ -4-4 τ Figura 3- Fac de um ruído branco. Fone: Morein; Toloi (6). Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

46 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 3..5 Tipos de modelos Os modelos de séries emporais exisenes podem ser classificados em duas classes:. Modelos lineares, que podem ser esacionários ou não-esacionários;. Modelos não-lineares, nos quais a série explicada apresena uma combinação não-linear de parâmeros. Os ipos de modelo que serão apresenados nesa seção são os modelos lineares esacionários (AR, MA e ARMA), modelos lineares não-esacionários (ARIMA) e modelos não-lineares (ARCH, GARCH e Volailidade Esocásica). Como referência aos ouros ipos de modelos exisenes, ver Morein; Toloi (6). A eoria de séries emporais apresena alguns operadores para faciliar a manipulação dos modelos esudados. Os operadores que serão uilizados são: a) Operador ranslação para o passado: BZ = Z, Z ; (Eq. 3.3) m B Z = m b) Operador diferença, já definido aneriormene: Z = Z Z B) Z. (Eq. 3.4) = ( 3..6 Modelos lineares Os modelos lineares esacionários podem ser represenados como filros lineares, como na Figura 3-3: Ψ (B) a Filro Linear Z Figura 3-3 - Diagrama represenaivo de um filro linear. Ese filro pode ser represenado na forma: = µ + a + ψ a + ψ a + K = µ + ψ ( B a, (Eq. 3.5) Z ) em que ψ ( B) = + ψ B + ψ B +K, (Eq. 3.6) Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 47 é denominada função de ransferência do filro, µ é um parâmero deerminando o nível da série e B é o operador ranslação para o passado. Chamando Z ~ = Z µ, emos que ~ Z = ψ ( B). (Eq. 3.7) a Se a seqüência de pesos {, j } ψ for finia ou infinia e convergene, o j filro é dio esável (somável) e processo. Z é esacionária. Nese caso, µ é a média do passados Uma forma alernaiva de represenar o processo ~ ~ Z, Z, K mais um ruído branco a : ~ = Z ~ + Z ~ + + a = j Z ~ π π j j= Z ~ é ponderando os valores Z π K + a. (Eq. 3.8) Segue-se que π j= ~ j j B Z j = a ou ~ π ( B ) Z = a, (Eq. 3.9) onde π (B) é o operador π ( B) = π B π B que é equivalene à de modo que vice-versa. π ( B ) ψ ( B) a = a, K π ( B) =ψ ( B). (Eq. 3.) Esa relação pode ser usada para ober os pesos π em função dos pesos ψ e j j Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

48 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 3..6. Modelos AR Considerando o filro linear apresenado com π j =, j > p, obém-se um modelo auo-regressivo de ordem p, denoado por AR(p): ~ ~ Z π + a. (Eq. 3.) p = j = j Z j Assim, um modelo AR ena prever o valor do insane considerando uma combinação linear de seus valores aneriores. O caso mais simples é o modelo AR(): ~ ~ Z π Z + a, (Eq. 3.) = de maneira que Z ~ depende apenas de ~ Z e do ruído branco no insane. A Figura 3-4 apresena um exemplo de uma série de 5 observações geradas a parir de um processo AR(): =,8Z Z + a, onde a ~ N(, ). 5 4 3 AR() - - -3-4 3 4 5 Figura 3-4 - Série de observações de um modelo AR(). Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 49 No processo apresenado, emos que π =, 8, assim a função de auocorrelação do processo decai exponencialmene. A Figura 3-5 apresena a fac eórica e amosral para o processo descrio, calculada com as observações do mesmo. Deve-se ressalar que os parâmeros de um modelo devem saisfazer algumas resrições para a modelagem adequada. No caso de um processo AR() qualquer, o parâmero π da equação de auo-regressão deve saisfazer π <= para que o processo seja esacionário e não exploda com a evolução do empo, já que, caso conrário, o processo apresenaria um crescimeno exponencial..9.8 Função de auocorrelação (fac) fac amosral fac eórica.7.6 fac.5.4.3.. 3 4 5 6 7 8 9 Lag Figura 3-5 - Fac amosral e eórica de um processo AR(). 3..6. Modelos MA Considerando o filro linear = µ + a + ψ a + ψ a + K = µ + ψ ( B a, Z ) e supondo que ψ =, j q, obém-se um processo de médias móveis de ordem q, denoado por MA(p): j > Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

5 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ~ Z ψ + a, (Eq. 3.3) p = j = ja j de maneira que Z ~ depende apenas dos valores dos ( p) ruídos brancos passados e do ruído branco no insane. A Figura 3-6 apresena um exemplo de uma série de 5 observações para um processo MA(): ~ Z a,8a. =.5.5.5 MA() -.5 - -.5 - -.5 3 4 5 Figura 3-6 - Série de observações de um modelo MA(). E as funções de auocorrelação eóricas e amosrais do processo são apresenadas na Figura 3-7: Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 5 Função de auocorrelação (fac).5.4 fac amosral fac eórica.3.. fac -. -. -.3 -.4 -.5 3 4 5 6 7 8 9 Lag Figura 3-7 - Fac amosral e eórica de um processo MA(). Nese caso, pode-se noar que a fac eórica de um processo MA(q) é igual a zero para defasagens ( lags ) maiores do que q, ao conrário do que aconece para um processo AR, onde há um decaimeno exponencial. Iso equivale dizer que um processo MA(q) possui memória apenas aé o elemeno q. 3..6.3 Modelos ARMA Os modelos auo-regressivos e de médias móveis podem ser úeis para a descrição parcimoniosa de uma série, iso é, a consrução de um modelo com um número de parâmeros não muio grande. Um modelo genérico ARMA(p,q) é consruído a parir de uma parcela auo-regressiva e uma parcela de médias móveis: ~ ~ Z = π + a. (Eq. 3.4) p p j j Z j + j ja = ψ = j Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

5 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 3..6.4 Modelos ARIMA Os modelos auo-regressivos inegrados de médias móveis (ARIMA) são freqüenemene uilizados para descrever o comporameno de séries econômicas e sociais, onde os erros (resíduos) observados são auocorrelacionados, e porano influenciam a evolução do processo. Os modelos ARIMA são basane uilizados para descrever séries Z ais que, omando-se um número finio de diferenças, d, ornam-se esacionárias (séries nãoesacionárias homogêneas). Se W d = Z for esacionária, podemos represenar W por um modelo ARMA(p,q). Nese caso, raa-se de um processo ARIMA(p,d,q), que supõe que a d- ésima diferença da série série W é gerada a parir de diferenças de Z pode ser represenada por um modelo ARMA. Como a Z, enão Z é uma inegral de provém o nome de modelo auo-regressivo, inegrado, de médias móveis. W, e daí 3..7 Modelos não-lineares Os modelos abordados aé agora são freqüenemene uilizados para descrever séries esacionárias ou não-esacionárias homogêneas que apresenam variância consane. Para descrever o comporameno de séries que apresenam variância condicional que evolui com o empo, os modelos do ipo ARIMA não são adequados. Há uma variedade muio grande de modelos não-lineares que raam a variância como uma variável no empo. Exemplos mais conhecidos são os modelos ARCH (auoregressive condiional heerocedasiciy), os modelos GARCH (generalized auoregressive heerocedasiciy), e os modelos de volailidade esocásica (sochasic volailiy). O objeivo comum dessas classes é modelar a variância condicional dos reornos, ou seja, a sua volailidade. Embora não possa ser medida direamene, a volailidade em um comporameno com algumas caracerísicas observáveis (Peña e. al., ): a) A volailidade aparece em grupos, de maior ou menor variabilidade; Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 53 b) A volailidade evolui coninuamene no empo, e pode ser considerada esacionária; c) Ela reage de modo diferene a valores posiivos ou negaivos da série. 3..7. Modelos ARCH Os modelos ARCH (auo-regressivos com heeroscedasicidade condicional), apresenados por Engle (98), surgiram com o objeivo de esimar a variância da inflação. Neses modelos, o reorno X é considerado não-correlacionado serialmene, mas a volailidade depende dos reornos passados, por meio de uma função quadráica. Um modelo ARCH(r) é definido por: X = h a, (Eq. 3.5) h = α α K α, (Eq. 3.6) + X + + r X r onde a i.i.d. (, ), α >, α i, i. > Os coeficienes α i devem saisfazer ceras condições, dependendo do ipo de imposição que o processo volailidade h seja esacionária e posiiva). X deve seguir (uma imposição necessária é que a Ese modelo é caracerizado por apresenar caudas longas, iso é, caso siga um modelo ARCH, as caudas serão mais pesadas do que as da normal (iso é, curose de X é maior do que a de um processo normal). Dado que os reornos das séries financeiras apresenam ese ipo de caracerísica, os modelos ARCH apresenam uma propriedade vanajosa. Oura vanagem do modelo é que a esimação dos seus parâmeros pode ser realizada facilmene pelo méodo de máxima verossimilhança condicional (que será apresenado poseriormene). Uma desvanagem do modelo é que ese não assume que reornos posiivos ou negaivos impacam de forma diferene na volailidade, o que é observado na práica. X Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

54 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 3..7. Modelos GARCH Como o próprio nome diz, o modelo GARCH é uma generalização dos modelos ARCH ( generalized ARCH ), sugerida por Bollerslev (986). Do mesmo modo que um modelo ARMA pode ser mais parcimonioso do que um modelo AR ou MA puro, um modelo GARCH pode ser usado para descrever a volailidade com menos parâmeros do que um modelo ARCH. Um modelo GARCH(r,s) é definido por: X = h a, (Eq. 3.7) h r s + α i X i + β j i= j= = α h, (Eq. 3.8) j onde a i.i.d. (,), α, α, > i β, ( + β ) < j q i = α, q = max( r, s). i i Como no caso de um modelo ARCH, usualmene supõe-se que os a são normais ou seguem uma disribuição de Suden com ν graus de liberdade. expressa por: É possível derivar uma equação para a variância não-condicional do modelo, E( X ) = q α = + i ( α β ) i i. (Eq. 3.9) Assim como os modelos ARCH, o modelo GARCH apresena algumas caracerísicas vanajosas, como: a possibilidade pela esimação dos parâmeros via o méodo de máxima verossimilhança, apresena caudas pesadas, volailidades alas são precedidas de reornos ou volailidades grandes. Em geral, exise uma ala persisência na volailidade das séries de reornos, o que implica num alo valor de r para um modelo ARCH(r) e, porano, a necessidade de esimação de um grande número de parâmeros. Assim, o modelo GARCH surge como uma enaiva de expressar de forma mais parcimoniosa a dependência emporal dos reornos da variância condicional. Dese modo, além de depender do quadrado dos reornos passados, como no modelo ARCH, a volailidade ambém depende das próprias variâncias condicionais passadas. Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 55 Há uma lieraura muio grande sobre exensões dos modelos ARCH- GARCH, como os modelos IGARCH, EGARCH, TARCH, QGARCH, enre ouros. Como referência a eses e ouros ipos de modelos não-lineares, ver Morein; Toloi (6), Nelson (99) e Zakoian (994). 3..7.3 Modelos de Volailidade Esocásica O modelo que será desenvolvido no presene rabalho raa-se de um problema univariado de volailidade esocásica. Para a resolução do modelo e esimação dos seus parâmeros na sua aplicação, é necessária a uilização da eoria de inferência Bayesiana e de algorimos de simulação via MCMC, que serão apresenados na Seção 3.. Assim, a apresenação dos modelos de volailidade esocásica será realizada poseriormene, na Seção 3.3. 3..8 Diagnósicos de Modelos Após a eapa de esimação dos parâmeros de um modelo, é necessário verificar se ele represena adequadamene a série objeo de esudo. Esa eapa de validação do modelo pode ajudar ambém a sugerir modelos alernaivos em caso de inadequação. Há diversos eses de adequação de um modelo de séries emporais, sendo que a maioria baseia-se nas auocorrelações esimadas dos resíduos (iso é, a auocorrelação dos erros enre a série real e a série ajusada). Os eses que serão apresenados são os eses comumene usados para a verificação de adequação dos modelos ARCH-GARCH. 3..8. Tese de Ljung-Box O ese da esaísica Q, proposo por Box e Pierce (97), é uilizado para a verificação da aleaoriedade em um conjuno de dados. Assim, a parir das Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

56 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA auocorrelações dos resíduos de um modelo, o ese verifica a hipóese nula da ausência de correlação serial dos dados. Assim, se o modelo for adequado, a esaísica rˆ Q( K) = n( n + ) (Eq. 3.3) j) K j j= ( n erá aproximadamene uma disribuição χ com K p q graus de liberdade, onde n é o amanho da amosra, K é o número de lags auocorrelacionados incluídos no ese, e r ˆj é o quadrado da auocorrelação amosral no lag j. As hipóeses do ese para um conjuno de dados são: H : os dados são aleaórios. H : os dados não são aleaórios. Para um nível de significância α, a hipóese nula é rejeiada se: Q K ( ) > χ α, K onde χ represena o α -ésimo quanil de uma disribuição chi-quadrada com K α, K graus de liberdade. 3..8. Tese de muliplicadores de Lagrange O ese de muliplicadores de Lagrange (ML), proposo por Engle (98), consise em esar: H : não há heerocedasicidade condicional dos resíduos. H : há heerocedasicidade condicional dos resíduos. Em ermos maemáicos, o ML consise em esar: Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 57 H : α =, para odo i = K,, r, na regressão: i = + αx + + α r X r X α K + u, (Eq. 3.3) para = r +K,, n, onde esaísica do ese é: X é o quadrado do resíduo do modelo no insane. A T = NR ~ χ ( r) em que R é o coeficiene de deerminação da regressão. O ese rejeia a hipóese nula de ausência de heerocedasicidade condicional dos resíduos do modelo caso o valor de T seja maior que a sua esaísica no nível de significância escolhido. 3..8.3 Análise da fac residual A análise da auocorrelação dos resíduos do modelo enaivo pode ser feia aravés da consrução da função de auocorrelação. Aravés dela, pode-se verificar se há persisência de auocorrelação nos resíduos, o que indicaria uma inadequação do modelo em explicar esa correlação ainda exisene. É recomendável realizar esa análise ambém para os quadrados dos resíduos padronizados, para a verificação de heerocedasicidade residual, o que pode ser realizado aravés do Tese de muliplicadores de Lagrange. Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

58 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 3.. Inferência Bayesiana Inferência é o processeo de uilização da eoria esaísica para analisar e descrever alguma população a parir de uma amosra. O objeivo principal é realizar afirmações sobre quanidades desconhecidas, buscando exrair informações do odo a parir de um pedaço. Aualmene, há duas correnes de inferência esaísica: a freqüenisa e a Bayesiana. A principal diferença enre elas é que na inferência Bayesiana, informações prévias sobre a variável de ineresse podem ser incorporadas às análises. As informações a priori, para serem devidamene incorporadas na análise, devem ser raduzidas em uma disribuição de probabilidade. Tal disribuição do parâmero populacional é chamada de disribuição a priori. Caso seja ineressane considerar informações subjeivas, esas devem ser devidamene raduzidas em funções de disribuição de probabilidade, para que possam ser incorporadas na análise. A disribuição de densidade a priori, porano, denoa o grau de conhecimeno acumulado sobre o processo, anes da observação dos dados amosrais. O objeivo da inferência esaísica é usar informações para realizar inferências sobre parâmeros desconhecidos. A inferência Bayesiana é uma pare da esaísica que além de uilizar as informações disponíveis (dados) para fazer afirmações, agrega as informações a priori. Assim, a inferência Bayesiana busca aribuir funções de probabilidades para uma variável de maneira condicional aos dados da amosra e às informações a priori. As informações a priori devem ser explicadas aravés de uma disribuição de probabilidade adequada para que, em conjuno com os dados observados, se consiga ober uma disribuição de probabilidade a poseriori, que é a disribuição de probabilidade de parâmeros dado as informações a priori, os dados observados e os valores de ouros parâmeros. Seja θ o veor de parâmeros desconhecidos de um modelo definido, e X o veor de dados observados. As informações a priori dos parâmeros são especificadas aráves de uma função f (θ). Seja f ( X θ) a função de verossimilhança. Assim, usando a eoria de probabilidade condicional: Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 59 f ( θ, X ) f ( X θ) f ( θ) f ( θ X ) = = (Eq. 3.3) f ( X ) f ( X ) onde f (X ), disribuição marginal dos dados, pode ser obida por: f ( X ) = f ( X, θ) dθ = f ( X θ) f ( θ) dθ. (Eq. 3.33) A disribuição f ( θ X ) na Eq. 3.3 é chamada de disribuição a poseriori de θ. Em geral, podemos escrever: f ( θ X ) f ( X θ) f ( θ). (Eq. 3.34) Tal equação ambém pode ser expressa usando a função de verossimilhança. Dado X, qualquer função proporcional a f ( X θ) é chamada de função de verossimilhança, l (θ). A forma da curva poseriori é ineiramene deerminada por l (θ) e pela priori no numerador, o que pode ser escrio como: f ( θ X ) l( θ) f ( θ). (Eq. 3.35) Caso l ( θ) = f ( X θ), enão a consane de proporcionalidade é a disribuição marginal dos dados, X ) f ( X, θ) dθ = f ( = f ( X θ) f ( θ) dθ. Na maioria das aplicações, é de ineresse ober a disribuição marginal de cada um dos elemenos do veor de parâmeros, iso é, a parir da disribuição poseriori conjuna, ober as disribuições poserioris marginais dos parâmeros. Assim, considerando um problema de inferência com um veor de parâmeros θ = ( θ, θ, θ 3), por exemplo, a disribuição poseriori marginal do parâmero θ pode ser obida a parir da poseriori conjuna f θ X ) = f ( θ, θ, θ ) por: ) = f (,, 3 ) d d 3 ( 3 X f ( θ X θ θ θ X θ θ. (Eq. 3.36) 3.. Disribuições a Priori Conjugadas Ober a disribuição a poseriori nem sempre é rivial, mas há alguns casos em que a priori e a poseriori perencem a uma mesma família de disribuições. Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

6 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Nesse caso, a priori é chamada de disribuição conjugada. A exisência de al disribuição implica a possibilidade de se ober uma expressão analíica para a poseriori, o que facilia muio a condução da análise Bayesiana. Em modelos que apresenam uma disribuição a priori não-conjugada, ouros méodos devem ser uilizados para o cálculo das disribuições a poseriori. O méodo mais uilizado para ais siuações é o Markov Chain Mone Carlo (MCMC), que a uilização de procedimenos númericos para o cálculo das inegrais necessárias. Enre os algorimos MCMC mais aplicados esão o Amosrador de Gibbs, Meropolis- Hasings e o Griddy Gibbs, que serão apresenados poseriormene. É comum a uilização de disribuições conjugadas na inferência Bayesiana, principalmene quando não há muia cereza nas informações sobre os parâmeros do modelo. Além disso, em casos de incereza, as prioris são caracerizadas por possuírem valores pouco informaivos de seus hiperparâmeros, que são os parâmeros das disribuições a priori. Nesse senido, os hiperparâmeros raam-se de parâmeros de parâmeros. É imporane observar nos resulados da inferência Bayesiana a dependência dos resulados obidos em relação às suas prioris. De modo geral, a obenção de disribuições poserioris bem definidas e diferenes das suas respecivas prioris são um bom indicador da coerência e convergência do algorimo. A seguir, são apresenadas algumas disribuições conjugadas basane uilizadas na inferência Bayesiana aravés de resulados disponíveis na lieraura, apresenados por Tsay (). Serão abordadas as disribuições que serão uilizadas poseriormene na resolução do problema proposo, Para mais informações sobre ouras disribuições conjugadas, ver DeGroo (97). Resulado : Suponha que x, K, x formem uma amosra aleaória de uma n disribuição normal com média µ, que é desconhecida, e variância σ, conhecida. Suponha que a disribuição priori de µ é uma normal com média µ e variância σ. Enão a disribuição poseriori de µ dado os valores observados e a priori é uma normal com média µ e variância σ segue uma disribuição normal com: Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 6 µ σ µ + nσ x = e σ =, σ + nσ σ + nσ σ σ onde x = = n x i i n / é a média amosral. Na análise Bayesiana, geralmene é conveniene usar o parâmero de precisão η = / σ. Sendo η = σ o parâmero de precisão da disribuição priori, e / η = / σ, o resulado apresenado pode ser reescrio na forma η nη = η + n η e µ = µ + x. η η η Ainda em relação ao resulado apresenado, as informações observáveis (iso é, o conjuno de dados) sobre µ esão conidas na média amosral x, que é a esaísica suficiene de µ. A precisão de x é n / σ = nη. Conseqüenemene, a expressão dos parâmeros da poseriori mosra que (a) a precisão da disribuição poseriori é a soma das precisões da priori e da amosra, e (b) a média da poseriori é uma média ponderada da média da priori e da média amosral, com peso proporcional à precisão. Além disso, o resulado mosra que a conribuição da disribuição priori para a análise diminui com o aumeno do número de observações n. O resulado obido pode ser esendido para a disribuição normal mulivariada. Nese caso, dada uma disribuição com um veor de média µ e mariz de covariância conhecida Σ com uma priori normal mulivariada com veor de média µ e mariz de covariância Σ, enão a disribuição poseriori de µ ambém é mulivariada normal com veor de média µ e mariz de covariância Σ, onde Σ = Σ + n Σ e µ = Σ ( Σ µ nσ x). + n onde x = i = xi / n é o veor das médias amosrais, que é disribuída sendo uma normal mulivariada com média µ e mariz de covariância Σ / n. Pode noar-se que Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

6 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA n Σ é a mariz de precisão de x e priori. Σ é a mariz de precisão da disribuição a Resulado : Suponha que x, K, x formem uma amosra aleaória de uma n disribuição normal com média zero e variância disribuição priori de é σ. Suponha ambém que a σ é uma inversa chi-quadrada com ν graus de liberdade, iso ( νλ) σ ~ χ ν, onde λ >. Nessas condições, a disribuição poseriori de chi-quadrada com ν + n graus de liberdade σ ambém será uma inversa ( νλ n + i = σ xi ) ~ χ ν + n. A disribuição inversa qui-quadrada é basane uilizada em modelos que apresenam variáveis aleaórias com variância condicional. Uma variável Y em uma disribuição inversa qui-quadrada com ν graus de liberdade se / Y segue uma disribuição qui-quadrada com os mesmos graus de liberdade. A função densidade de probabilidade de Y é ν / ( ν / + ) /( y) f ( y ν ) = y e, y >. (Eq. 3.37) Γ( ν / ) Para essa disribuição em-se que E ( Y ) = /( ν ) se ν > e Var ( Y ) = /[( ν ) ( ν 4)] se ν > 4. Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 63 3.. Simulação por Cadeias de Markov Para conornar os casos em que uma forma analíica da disribuição a poseriori não pode ser obida (ou for exremamene difícil de ober), recenemene foram usados méodos baseados em simulação chamados Markov Chain Mone Carlo. Os méodos de inferência Baysiana baseados em simulação esocásica (MCMC) uilizam a eoria de cadeias de Markov e écnicas de simulação. O conceio de cadeia de Markov é aribuído ao maemáico russo Andrei Andreivich Markov, que desenvolveu um modelo probabilísico onde sucessivos resulados dependiam somene dos resulados imediaamene predecessores. Em relação à inferência Bayesiana, os algorimos exisenes uilizam a eoria de Markov, e suas convergências são provadas usando as propriedades desa eoria. Enreano, para fins práicos, ou seja, de implemenação dos algorimos, o conhecimeno sobre a eoria de Markov não é crucial. Assim, a eoria de cadeias de Markov não será apresenada nese presene rabalho, mas para maiores dealhes ver Feller (968), Meyn e Tweedie (993), Nummelin (984) e Ross (996). Em suma, o principal objeivo dos algorimos MCMC presenes pode ser apresenado como a seguir: Dado um veor de parâmeros θ e um conjuno de dados X, a simulação de Markov Chain busca uma disribuição de ransição esácionária para os parâmeros, que será a disribuição desejada f(θ X). A idéia principal no MCMC é criar um processo de Markov cuja disribuição de ransição esacionária seja f(θ X) e rodar uma simulação suficienemene grande para ober sua disribuição esacionária. 3..3 Méodos baseados em simulação esocásica Recenemene vários algorímos foram desenvolvidos a fim de conornar as dificuldades exisenes em modelos não-conjugados e, aliados ao avanço da Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

64 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA capacidade compuacional de processameno de dados, apresenam exrema imporância práica para a inferência Bayesiana. Os principais algorimos MCMC são: Amosrador de Gibbs (Gibbs sampling); Meropolis-Hasings; Griddy Gibbs. Os algorimos que serão uilizados na resolução dese rabalho são o Amosrador de Gibbs e o Griddy Gibbs. Para maiores dealhes sobre os algorimos Meropolis-Hasings, enre ouros, ver Gamerman (6). 3..3. Amosrador de Gibbs Apresenado por Geman and Geman (984) e Gelfand e Smih (99) é um dos méodos mais populares de MCMC. O Amosrador de Gibbs é usado em siuações em que a função de verossimilhança é díficil de se ober, mas as disribuições condicionais de seus parâmeros, dados os ouros parâmeros, são disponíveis. O Amosrador de Gibbs baseia-se no conceio de daa augmenaion, que consise na adição de variáveis auxiliares para a resolução de um problema. Assim, o problema é decomposo em diversos problemas menores, menos complexos, e mais fáceis de serem resolvidos. O algorimo de Gibbs diminui a complexidade do problema, pois decompõe um problema de esimação de muias dimensões em vários problemas de dimensões menores, via as disribuições condicionais dos parâmeros. Assim, no exremo, um problema de dimensão N poderia ser decomposo em N problemas univariados de disribuição condicional. Cabe-se ressalar que nem sempre al decomposição é eficiene. Se os parâmeros forem alamene correlacionados, é difícil irar amosras da disribuição a poseriori conjuna dos parâmeros. Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 65 Dado o conjuno de parâmeros θ de um modelo M proposo. Considere X como o conjuno de odas as variáveis explicaivas do modelo. O objeivo é esimar os parâmeros do modelo para que ese possa ser usado para realizar inferências. Suponha que a função de verossimilhança seja difícil de ober, ou que sua resolução seja infacível. Assim, se as disribuições condicionais de um único parâmero, dados os ouros parâmeros, forem fáceis de ober, o Amosrador de Gibbs pode ser usado para a consrução de uma cadeia de Markov que, ao ornar-se esacionária, corresponderá a disribuição conjuna dos parâmeros do modelo. A seguir, um exemplo genérico do algorimo é apresenado: Considere um modelo com rês parâmeros θ, θ e θ 3. Denoe a coleção de dados disponíveis por X, e o modelo proposo por M. O Amosrador de Gibbs pode ser uilizado para calcular a função de verossimilhança caso as seguines disribuições condicionais sejam conhecidas: f θ θ, θ, X, ); f θ θ, θ, X, ); f θ θ, θ, X, ), ( 3 M ( 3 M 3 ( 3 M onde f i ( θ i θi j, X, M ) denoa a disribuição condicional do parâmero θ i dados o conjuno de observações, o modelo e os ouros parâmeros θ, j i. j Considere θ, e θ 3, como dois valores arbirários de θ e θ 3. O amosrador de Gibbs procede da seguine maneira:. Tire uma amosra de f θ θ, θ, X, ). Denoe a amosra calculada (, 3, M por θ,.. Tire uma amosra de f θ θ, θ, X, ). Denoe a amosra calculada ( 3,, M por θ,. 3. Tire uma amosra de f θ θ, θ, X, ),. Denoe a amosra calculada 3( 3,, M por θ 3,. A ieração é repeida aualizando-se os valores iniciais para θ,, θ, e θ 3,. Assim, o ciclo repee-se por um número m de vezes aé que se obenha a seqüência de amosras aleaórias: θ θ, θ, K,( θ, θ, θ ).,,, 3,, m, m 3, m Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

66 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Se algumas condições forem respeiadas, pode-se mosrar que, para um número suficienemene grande de m, θ, θ, θ ) é aproximadamene (, m, m 3, m equivalene à uma amosra aleaória reirada da disribuição conjuna f θ, θ, θ X, ) dos rês parâmeros. As condições necessárias para a ( 3 M convergência do algorimo essencialmene requerem que os valores paraméricos iniciais θ, θ, ) podem visiar odo o espaço paramérico Θ. (,, θ 3, Na práica, usa-se um número suficienemene grande n e descaram-se as primeiras m amosras aleaórias reiradas do Amosrador de Gibbs. 3..3. Griddy Gibbs Em alguns problemas de inferência, a forma da disribuição condicional de odos os parâmeros (a chamada disribuição condicional cheia ) não é conhecida, o que impossibilia a amosragem via os algorimos radicionais. Iso ocorre na maioria das aplicações financeiras onde há disribuições a poseriori não-lineares dos parâmeros (usual em modelos de volailidade). Rier e Tanner (99) propuseram um esquema de amosragem para casos que apresenam condicionais cheias difíceis. O méodo baseia-se em avaliar a condicional cheia em alguns ponos selecionados, como apresenado por Gamerman (6), a seguir: f Considere θ i um parâmero escalar com disribuição condicional poseriori ( X,θ ) θ i i, onde i θ é o veor de parâmeros após remover θ i. Por exemplo, se θ = ( θ θ, )', enão θ = ( θ )'. Assim, o Griddy Gibbs consise em:, θ 3, θ 3. Selecionar um conjuno de ponos de um inervalo adequadamene escolhido de θ i, como θ θ θ i i L im. Avaliar a função densidade da condicional poseriori para ober w = f ( X, θ ) j θ para j = L,, m. ij i Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 67. Usar w, L, wm para ober uma aproximação da função inversa de θ. disribuição de probabilidade acumulada (FPA) de f ( X,θ ) ij i 3. Tirar uma amosra de uma variável uniformemene disribuída em (,) e ransformar a observação da disribuição uniforme aravés da função inversa FPA aproximada, para ober uma amosra aleaória de θ i. Uma aproximação simples para a função inversa FPA é uma disribuição m discrea para { p θ = w / w. } m ij j= θ com probabilidade ( ) ij j v = v A amosragem de um θ i genérico é ilusrada na Figura 3-8 da função inversa FPA para uma disribuição normal:.5.5 θ i -.5 - -.5 -...3.4.5.6.7.8.9 FPA Figura 3-8 - Inversa FPA para uma disribuição normal padrão. A Figura 3-8 ilusra uma inversa FPA para uma disribuição normal com média e desvio-padrão. A amosragem de θ i foi realizada com um valor da Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

68 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA variável uniforme de,6, que resulou em um valor de,533 para θ i. O cálculo de θ i foi realizado usando a inversa FPA da curva normal: onde { x : F( x µ, σ p} x = F ( p µ, σ ) = ) = (Eq. 3.38) p = F ( µ ) x σ ( x, σ ) = e µ d (Eq. 3.39) σ π e, para o exemplo apresenado, p =,6, µ = e σ =. A curva apresenada é conínua, porém na práica a obenção do valor de θ i pode ser realizada aravés de uma inerpolação simples enre os ponos da FPA discrea aproximada. Em aplicações práicas, a escolha do inervalo [ θ, ] i θ im deve ser feia cuidadosamene. Um procedimeno simples para a validação do inervalo é observar o hisograma das amosras de θ i. Caso esas esejam muio concenradas nos exremos do inervalo, o inervalo deve ser expandido. Em conraparida, caso os valores esejam muio disanes dos exremos, o inervalo deve ser diminuído, pois caso conrário o Griddy Gibbs orna-se ineficiene viso que a maioria dos zero. w j seriam Oura consideração relevane é que o Griddy Gibbs pode ser uilizado junamene com o Amosrador de Gibbs para ober amosras de vários parâmeros de ineresse. Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 69 3.3. O Modelo de Volailidade Esocásica O modelo que será desenvolvido no presene rabalho foi proposo por Jacquier e. al. (994), e as equações para a média e para a volailidade ( h ) de uma série de reornos r são: r = β + βx + L+ β p x p + a, a = h ε (Eq. 3.4) ln h α α + ν = + ln h onde { x i i L,, p} (Eq. 3.4) = são variáveis explicaivas conhecidas no empo, β j são parâmeros, { ε } são variáveis independenes e de idênicas disribuições de probabilidade (iid) com média e variância, { v } ambém é um ruído branco com média e variância σ, e { ε } e { } υ v são independenes A ransformação logarímica é uilizada para assegurar que h seja posiivo para qualquer. Além disso, assume-se que α < para que ln h um modelo AR de maior ordem pode ser uilizado para uilizar diferenças ln Sejam: h p seja esacionário. Caso seja de ineresse,, onde p refere-se à ordem do modelo AR. β = β, β, K, β )' o veor de coeficienes da equação da média; ( p ω = ( α, α, σ )' o veor de parâmeros da equação da volailidade; v R = r, K, r )' a coleção dos reornos observáveis; ( n X a coleção das variáveis explicaivas do modelo; H = h, K, h )' o veor de volailidades não-observáveis. ( n ln h, o que equivale a Os parâmeros β e ω são radicionais, enquano H é um veor de variáveis auxiliares. A esimação do modelo via o méodo de máxima verossimilhança seria complicada, pois a função de verossimilhança é uma misura sobre a disribuição n- dimensional H, dada por: f ( R X, β, ω) = f ( R X, β, H ) f ( H ω) dh. Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

7 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Conudo, sobre a óica Bayesiana, o veor de volailidade H consise em parâmeros segmenados. Condicionando em H, pode-se focar nas funções de disribuição de probabilidades f ( R H, β), f ( H ω), e a disribuição priori p ( β, ω). Assume-se que a disribuição a priori pode ser paricionada em p ( β, ω) = p( β) p( ω), ou seja, que as disribuições a priori das equações da média e da volailidade são independenes. Assim, uma abordagem pelo Amosrador de Gibbs para esimar a volailidade esocásica nas equações envolve irar amosras das seguines disribuições condicionais a poseriori: f ( β R, X, H, ω), f ( H R, X, β, ω), f ( ω R, X, β, H ), sendo que, na convergência do algorímo, a cadeia esacionária resulane será equivalene a amosrar direamene da disribuição conjuna a poseriori f ( β, H, ω X ). Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

CONSTRUÇÃO DO MODELO 7 4. CONSTRUÇÃO DO MODELO O objeivo desa seção é desenvolver um modelo de séries emporais para o índice IBOVESPA que considere a volailidade como uma variável que evolui no decorrer do empo. Para al, dois modelos serão realizados: GARCH e MVE (Modelo de Volailidade Esocásica). O inuio é verificar se o modelo de volailidade esocásica apresena um desempenho melhor que o modelo GARCH em ermos de descrição e previsão da série de reornos do IBOVESPA. Há vários ipos de modelos de volailidade esocásica, e o que será desenvolvido nesa seção é a formulação proposa por Jacquier e. al. (994). A proposa por um modelo MVE surge como um aprimorameno dos modelos ARCH-GARCH, por considerar ermos esocásicos ano para a equação da média quano da volailidade dos reornos. Considerando um MVE simples genérico: r = β + a, a = h ε, (Eq. 4.) ln h α α + ν, (Eq. 4.) = + ln h onde ε e ν são ruídos brancos independenes, ais que ε ~ N(,) e ν ~ N(, σ ν ),,, ν, r é o reorno do insane, β α α σ são os parâmeros do modelo. h é a volailidade do insane e Nese caso, pode-se noar que a volailidade possui um ermo esocásico ν, que não esá presene nos modelos ARCH-GARCH. O fao de os modelos MVE apresenarem ermos de erro ano para a equação da média quano da volailidade surge como uma consideração naural de que ambas variáveis são processos aleaórios, ou seja, apesar de serem dependenes de ouras variáveis (inclusive de seus próprios valores passados), sempre haverá uma componene de incereza, proveniene da sua caracerísica esocásica. A série de reornos que será modelada é uma série de valores diários do IBOVESPA de -jan- a 8-dez-7, num oal de 484 observações. Na Figura 4- são ilusradas as coações e os log reornos da série: Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

7 CONSTRUÇÃO DO MODELO 8, 7, 6, 5, 4, 3,,, IBOVESPA diário 3 4 5 6 7 8 Log reornos diários % 8% 6% 4% % % -% -4% -6% -8% -% 3 4 5 6 7 8 Figura 4- - Evolução das coações diárias do IBOVESPA e os log reornos da série. É ineressane observar o hisograma e o gráfico PPN (Normal Probabiliy Plo) para visualizar algumas caracerísicas da série em esudo na Figura 4- e Figura 4-3, respecivamene: Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

CONSTRUÇÃO DO MODELO 73 35 Hisograma dos log reornos diários 3 5 5 5-8% -6% -4% -% % % 4% 6% 8% Figura 4- - Hisograma dos log reornos do IBOVESPA. Normal Probabiliy Plo.999.997.99.98.95.9 Probabiliy.75.5.5..5...3. -6% -4% -% % % 4% 6% Daa Figura 4-3 - PPN dos log reornos do IBOVESPA. Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

74 CONSTRUÇÃO DO MODELO Os gráficos mosram a caracerísica de caudas pesadas nos reornos, o que é chamado de excesso de curose. Ese fao pode ser claramene observado no gráfico PPN, onde há diversos ponos (principalmene em reornos negaivos) fora da rea, indicaivo da não-normalidade dos dados. As principais esaísicas da série são apresenadas na Tabela 4-: Esaísica Média Mediana Desvio padrão Mínimo Máximo Assimeria Curose Valor,8,6,756-6,8565 6,53 -,9 3,679 Tabela 4- - Esaísicas descriivas da série de log reornos do IBOVESPA. O primeiro passo para a resolução do problema é a proposição de um modelo GARCH para a série de reornos do IBOVESPA. O modelo que será uilizado é o GARCH(,) dado por: r = µ + a, a = h ε, (Eq. 4.3) h α α β. (Eq. 4.4) = + a + h Como viso aneriormene, os modelos GARCH podem ser esimados via o méodo de máxima verossimilhança condicional. Supondo normalidade dos pode-se derivar a função de log-verossimilhança, condicionada às m primeiras observações, dada por: n n x l( α, β x, x, K, xm ) ln( h ). (Eq. 4.5) h Bollerslev (986) uiliza = m+ = m+ h j ˆ, n = σ j =, K, s, onde ˆ σ = = X / n ε,, e n é o número de observações. Assim, as esimaivas dos parâmeros são obidas aravés de méodos de maximização da função l α, β x, K, x ), ais como Newon-Raphson, ( m Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

CONSTRUÇÃO DO MODELO 75 Scoring, Gauss-Newon, ec. Para a maximização da função e esimação dos parâmeros, uilizou-se o sofware maemáico MATLAB. A saída da esimação do modelo GARCH(,) e a maximização da função de verossimilhança condicional é apresenada na Tabela 4-: Parâmero Valor Erro Padrão -sa µ,434,4387 3,6 α,83756,385,6334 α,9357,5 45,938 β,4779,6 4,3 Valor da log-verossimilhança: -868,7 Tabela 4- - Esimação do modelo GARCH(,) para a série de reornos do IBOVESPA. Assim, o modelo orna-se: r =,434 + a, a = h ε, =,83756 +,9357 + a, 47795h h. Para verificar a adequação ou não do modelo GARCH ajusado, os resíduos do modelo devem ser analisados e eses esaísicos devem ser feios. A verificação do modelo ajusado será realizada junamene com a verificação do modelo de volailidade esocásica. 4.. Eapas da consrução do modelo A proposa de um modelo de volailidade esocásica para a série de reornos do IBOVESPA não foi feia ao acaso. Para a escolha de um modelo a ser ajusado, os principais faores que foram considerados são:. Necessidade de considerar a variância da série como condicional e que evolui com o empo; Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

76 CONSTRUÇÃO DO MODELO. Consaação (aravés da análise das esaísicas amosrais e hisograma dos dados) da não-normalidade dos dados de reornos, evidenciado pela presença de caudas pesadas no hisograma e pelo comporameno do PPN; 3. Observação, no gráfico dos reornos, que as variações da série aparecem em grupos de maior ou menor volailidade (como é de senso comum na análise de séries financeiras); 4. Tenaiva de consruir um modelo que obenha um desempenho melhor que os modelos ARCH-GARCH. O desempenho pode ser medido principalmene pela análise dos resíduos do modelo ajusado. Para um melhor enendimeno das eapas que devem ser realizadas, e da ordem em que ocorrerão, é apresenado um fluxograma do processo de consrução do modelo, conforme a Figura 4-4: Méodos de verossimilhança Sim Observação dos dados Esabelecimeno do modelo Definição dos parâmeros Definição das prioris e hiperparâmeros Poseriori conjuna pode ser calculada? Não Algorimos de amosragem aproximada (M-H, G.G) Não Todas as poserioris podem ser calculadas? Definição das poserioris condicionais Sim Aribuição de valores iniciais Rodar simulação via Amosrador de Gibbs Verificação de convergência dos parâmeros Validação do modelo Cálculo de esaísicas dos parâmeros (média, variância, hisograma) Figura 4-4 - Fluxograma do processo de consrução do modelo de volailidade esocásica. Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

CONSTRUÇÃO DO MODELO 77 4.. O Modelo Proposo O modelo proposo raa um conjuno de dados, R, como um veor gerado aravés de um modelo p ( R h), onde h é um veor de volailidades. Cada pono r em uma variância h, que é dependene do empo. As volailidades h não são observáveis, e assume-se que são geradas a parir de uma função de probabilidade p ( h ω). As equações para a média e volailidade foram apresenadas aneriormene (Eq. 4. e Eq. 4.). Assim, assume-se que o logarimo da variância condicional da série R segue um processo AR(). Especificamene, o modelo de volailidade esocásica que será ajusado para a série de reornos diários do IBOVESPA é similar ao proposo por Jacquier e. al. (994), que uilizou a inferência Bayesiana para esimar os parâmeros do modelo aravés da simulação via o Amosrador de Gibbs das seguines disribuições de probabilidades condicionais: f ( β R, X, H, ω) f ( H R, X, β, ω) f ( ω R, X, β, H ) onde β é o veor de parâmeros da equação da média, ω é o veor de parâmeros da equação da volailidade e H é um veor de volailidades que foi incorporado ao modelo como uma variável auxiliar, baseado no conceio de segmenação ( daa augmenaion ). Cabe ressalar que a simulação via méodos MCMC é necessária, pois a função de verossimilhança para o processo é definida como uma inegral de dimensão n para a disribuição de H : f ( R X, β, ω) = f ( R X, β, H ) f ( H ω) dh, onde n é o número de dados da série. Devido à complexidade da função de verossimilhança, não é possível derivar analiicamene a mesma e, porano, méodos de máxima verossimilhança não podem ser aplicados. Assim, uma alernaiva para realizar a esimação dos parâmeros do modelo é simular uma cadeia que, na sua convergência, será aproximada à função poseriori conjuna dos parâmeros β, H e ω. Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

78 CONSTRUÇÃO DO MODELO 4.. Escolha das disribuições a priori dos parâmeros Como viso aneriormene, a inferência Bayesiana permie a consideração de informações prévias de um processo, aravés das disribuições a priori dos parâmeros. Mais imporane do que aribuir valores prováveis a um parâmero, a disribuição a priori é responsável por, em muios casos, moldar o comporameno da disribuição a poseriori (o que aconece nas disribuições a priori conjugadas, visas aneriormene). Assim, é necessário escolher as disribuições a priori com bom senso, e sempre que possível considerar informações de pessoas mais experienes sobre o processo em quesão. Por não haver muio ineresse em incluir conhecimenos específicos sobre os reornos do IBOVESPA e pelo desejo de minimizar os impacos das informações a priori na análise de modo a raduzir adequadamene a incereza exisene, foram escolhidas disribuições prioris não muio informaivas, com grandes valores para as variâncias das disribuições, e com base nas disribuições comumene uilizadas na lieraura. É imporane observar ao final do ajusameno do modelo a influência dos valores dos hiperparâmeros (iso é, os parâmeros dos parâmeros do modelo) sobre os resulados obidos. Em geral, um simples confrono da função de disribuição de probabilidades a poseriori com a sua respeciva priori pode mosrar a grande ou pequena influência das informações prévias acrescenadas na análise. As disribuições a priori que serão uilizadas no modelo de volailidade esocásica proposo são: β ~ N( β, A ), α ~ N ( α, C ), m λ ~ χ 5 σ ν onde β segue uma disribuição normal com hiperparâmeros β = e A = 9 ; α segue uma disribuição normal mulivariada com veor de média,4,9 α = e mariz de covariância C =,8 ;,4 Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

CONSTRUÇÃO DO MODELO 79 σ segue uma disribuição inversa chi-quadrada com m = 5 graus de ν liberdade e λ =,. 4..3 Esimação das poserioris condicionais. Esimação da poseriori de β Dado H, a equação para a média é uma regressão linear não-homogênea. Dividindo a equação por h, a equação pode ser reescria por r = x β + ε, =, n (Eq. 4.6),, K, onde, = r h e, x / h r / x =, com x = ()', que é o veor de variáveis explicaivas da equação da média, que no modelo proposo represena apenas uma consane. Supondo que a disribuição priori de β seja uma normal mulivariada com veor de média β e mariz de covariância A, enão a disribuição poseriori de β ambém será mulivariada normal com média de modo que (Resulado ): β e mariz de covariância A A = n x, + A, β = A x,, + A β r, (Eq. 4.7) = n x, = onde enende-se que a soma começa com p + se r p for o maior lag de reorno uilizado como variável explicaiva da equação da média. No modelo proposo, não há ermos auo-regressivos para a equação da média, apenas uma consane, de modo a simplificar o problema, e considerando que a volailidade como a principal variável de ineresse.. Esimação da poseriori de h O veor de volailidades H é amosrado elemeno por elemeno. A disribuição poseriori condicional necessária é f ( R, X, H, β, ω), sendo proporcional ao produo da disribuição normal de a e da disribuição log-normal da volailidade h : h Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

8 CONSTRUÇÃO DO MODELO ( R, X, H, β, ω) f h f ( a h, r, x, β ) f ( h h, ω) f ( h + h, ω) h,5 exp [ ( r x β) /( h )] h exp[ ( ln h µ ) /(σ )] [ ( r ) /( h ) ( ln h ) /(σ )],5 h exp x β, (Eq. 4.8) onde α ( α ) + α ( ln + ln h ) [ h ]/( α ) e σ σν /( + α ) µ + = + derivação da condicional poseriori de µ =. Para a h, as seguines propriedades foram uilizadas, assim como descrio por Jacquier e. al. (994) e Tsay ():. a h ~ N(, h ) ;. 3. ln h ln h ~ N( α α ln h, σ ) ; + ν ln h ln h ~ N( α + α ln h, σ ) + ν ; d ln h 4. = h dh, onde d denoa diferenciação; 5. A igualdade ( x a) A + ( x b) C = ( x c) ( A + C) + ( a b) AC /( A + C) onde c = ( Aa + Cb) /( A + C) com A + C. Esa igualdade é uma versão escalar do Lema de Box e Tiao (973, pág. 48). Na presene aplicação, emos: A =, a = α + ln h C = α, b = (ln h +, α ) / α. O ermo ( a b) AC /( A + C) é independene da variável h e, porano, é inegrado para fora da derivação da disribuição poseriori condicional. Para a amosragem de h, Jacquier e. al. (994) uilizou o algorimo Meropolis-Hasings. O algorimo que será uilizado nese rabalho será o Griddy Gibbs, assim como foi uilizado em Tsay (). Para irar uma amosra de h via Griddy Gibbs, primeiramene devem ser escolhidos os parâmeros do algorimo: o inervalo de valores e o número de ponos de graduação ( grid poins ). Assim, o algorimo será realizado da seguine maneira: Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

CONSTRUÇÃO DO MODELO 8 Inervalo de dados: ];,5 s ], onde dos reornos; Número de ponos de graduação: m = 5. O Griddy Gibbs procede da seguine forma: s é a variância amosral incondicional. Avaliar a função de densidade de probabilidade da disribuição derivada, proporcional à f ( R, X, H, β, ω), para cada um dos ponos do h grid, obendo-se w = f ( R, X, H, β, ω) para cada j =, Km. j h j w j. Normalizar cada w j, iso é, calcular, e uilizar eses pesos para m = w ober uma aproximação da inversa da função de probabilidade acumulada (FPA) de f ( R, X, H, β, ω). h 3. Tirar uma amosra de uma variável uniforme no inervalo ],], e ransformar a observação via a inversa FPA, para ober uma amosra aleaória de h. Iso é feio inerpolando linearmene a variável aleaória uniforme amosrada na inversa FPA. i i Como apresenado aneriormene, é necessário checar a adequação do inervalo escolhido para h. Iso será realizado aravés da análise de hisogramas para os valores amosrados para alguns elemenos h quaisquer. Uma observação imporane é que a expressão da disribuição poseriori condicional de h é valida para dois ponos exremos, h e < < n, onde n é o amanho da amosra. Para os h n, algumas modificações são necessárias. Uma alernaiva plausível é empregar uma previsão de h n+ e uma previsão rerógrada de h, para poder coninuar aplicando a fórmula normalmene. Como h n é a variável de ineresse, pode-se fazer uma precisão de ln h n+ parindo de n de passos: ( α α h ) ˆ φ α α, (Eq. 4.9) n () = + + ln n ˆ onde φ n é a previsão de ln h n. A previsão rerógrada de h é baseado na reversibilidade emporal do modelo Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

8 CONSTRUÇÃO DO MODELO ( η) ν (ln h η ) = α ln h +, = e α. O modelo da série reversa é onde η α /( α ) < (ln h η α η) ν ) = (ln h + +, (Eq. 4.) onde { ν } ambém é um ruído branco gaussiano com média zero e variância Conseqüenemene, a previsão rerógrada de passos de ln h em = é ˆ φ ( ) = α (ln h ). (Eq. 4.) η σ ν. Oura observação imporane é que os valores iniciais de h para a simulação via Amosrador de Gibbs podem ser obidos aravés de um ajusameno de um modelo ARCH-GARCH. Assim, os valores obidos no modelo GARCH(,) ajusado serão uilizados no modelo de volailidade esocásica como valores iniciais da simulação. 3. Esimação da poseriori de ω e α,α Para realizar a amosragem de ω, ese veor é paricionado em ( ) α = σ ν. Assim a priori de ω ambém deve ser paricionada adequadamene. Assumindo que as prioris dos parâmeros paricionados são independenes é possível escrever p( ω ) = p( α) p( ). Assim, as disribuições poserioris condicionais podem ser obidas: σ ν f ( α R, X, H, β, σν ) = f ( α H, σ ν ) : Dado H, ln h segue um modelo AR(). Assim, se a disribuição priori de α é mulivariada normal com média α e mariz de covariância C, enão f ( α H, σ ν ) é mulivariada normal com média α e mariz de covariância C, onde n n z z = + = z ln = = h C C, α C + C α σ ν σ ν z h. onde ( ) =,ln, (Eq. 4.) Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

CONSTRUÇÃO DO MODELO 83 f ( σ R, X, H, β, α) = f ( σ H, α) : Dado H e α, é possível calcular ν ν ν = ln h α α ln h para =, K, n. Porano, se a disribuição priori de σ ν for λ σν χ, enão a disribuição poseriori condicional de ( m ) / ~ m é uma inversa chi-quadrada com m + n graus de liberdade, iso é σ ν mλ n + = ν σ ν ~ χ m+ n. (Eq. 4.3) 4..4 Simulação via Amosrador de Gibbs Com as disribuições poserioris condicionais definidas, o próximo passo é a implemenação de uma simulação via o Amosrador de Gibbs. O objeivo do algorimo é, a parir das disribuições condicionais dos parâmeros, simular uma cadeia que, ao chegar na esacionariedade, será equivalene à disribuição poseriori conjuna dos parâmeros do modelo f ( β, H, ω R, X ). Com a disribuição poseriori conjuna, é possível esimar os valores dos parâmeros que melhor explicam a série de reornos. Assim, ao érmino da simulação via o Amosrador de Gibbs, serão calculadas esaísicas descriivas dos parâmeros, bem como serão consruídos gráficos auxiliares para uma série de análises, denre elas a verificação da convergência do algorimo e a influência das informações a priori nos resulados finais. A Figura 4-5 represena a simulação do algorimo de Gibbs para o problema proposo, apresenando os parâmeros a serem amosrados: Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

84 CONSTRUÇÃO DO MODELO Rodar algorimo k vezes h α β H. ω σ ν h n Figura 4-5 - Diagrama da simulação do Amosrador de Gibbs. A Figura 4-5 mosra as eapas do algorimo na amosragem dos parâmeros β, H (que é segmenado em n elemenos h, represenanes da volailidade no insane ) e ω (que ambém é paricionado em dois parâmeros auxiliares α e σ ν ). O objeivo do algorimo é rodar a cadeia um número k de vezes suficienemene grande para que os valores amosrados, na convergência, sejam equivalenes à uma amosragem direamene da disribuição poseriori conjuna dos parâmeros. Para que a simulação se inicie é necessária a definição de valores iniciais para os parâmeros. Em geral, ais valores não influenciam nos resulados do algorimo viso que, na convergência do mesmo, a dependência dos valores dos parâmeros em relação aos seus valores iniciais será desprezível. Os valores iniciais que serão uilizados para a simulação são: σ ν =,5 e β =, 3 (média amosral dos reornos), e os valores iniciais para { h } são os valores resulanes do modelo GARCH(,) ajusado aneriormene. Para a simulação do problema de inferência o auor escreveu um programa compuacional no sofware MATLAB (Anexo A). Os resulados obidos na simulação serão analisados poseriormene, pois é necessário verificar se o número de ierações k é suficiene para que a cadeia simulada ainja a esacionariedade. Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

CONSTRUÇÃO DO MODELO 85 Assim, além das esimaivas dos parâmeros, a programação gerou uma série de gráficos que serão uilizados para a verificação da convergência do algorimo e para o diagnósico e validação do modelo ajusado. 4..5 Verificação da convergência do algorimo A seguir, é analisada a condição de convergência, iso é, se o número k de vezes que a simulação foi ierada é suficiene para aingir a condição de esacionariedade da cadeia. Iso pode ser observado aravés de um gráfico que mosre os valores amosrados para os parâmeros do modelo ao longo das simulações. A condição de convergência pode ser aceia caso a curva apresene uma caracerísica esacionária (iso é, sem inclinações e endências). A Figura 4-6 e a Figura 4-7 apresenam os gráficos das amosras iradas dos parâmeros para cada ciclo simulado (devido ao grande número de parâmeros da volailidade, viso que cada elemeno h é amosrado individualmene, a convergência de apenas alguns deles será verificada): Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

86 CONSTRUÇÃO DO MODELO.4 Amosras de bea. Amosras de α.3.5 β. α...5 4 6 Ieração 4 6 Ieração Amosras de α. Amosras de σ ν.95.8 α.9 σ ν.6.4.85..8 4 6 Ieração 4 6 Ieração Figura 4-6 - Amosras realizadas dos parâmeros do modelo (pare /). Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

CONSTRUÇÃO DO MODELO 87 Amosras de h 35 Amosras de h 7 6 4 4 3 h 35 h 7 4 6 Ieração 4 6 Ieração Amosras de h 5 Amosras de h 4 6 5 4 4 h 5 h 4 3 4 6 Ieração 4 6 Ieração Figura 4-7 - Amosras realizadas dos parâmeros do modelo (pare /). Os gráficos mosram que, nas primeiras simulações, os valores dos parâmeros mudam drasicamene, o que evidencia a inacurácia dos valores iniciais uilizados. Ese padrão de mudança brusca somene não se verifica na amosragem das volailidades { h }, viso que os seus valores iniciais foram provenienes do modelo GARCH(,) ajusado aneriormene. Nos elemenos de h escolhidos, observa-se que os valores iniciais são próximos aos valores obidos na convergência do algorimo. A convergência da cadeia ambém é evidenciada nos gráficos apresenados, viso que as curvas da amosragem ao longo das ierações não apresenam endências de inclinação ou sazonalidades. Assim, pode-se considerar válidos os resulados obidos pela simulação via o Amosrador de Gibbs. O que deve ser analisado, agora, é se o modelo ajusado é eficiene na explicação da série emporal dos reornos e das suas volailidades. Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

88 CONSTRUÇÃO DO MODELO 4..6 Esimaivas dos parâmeros A programação da inferência Bayesiana para a esimação dos parâmeros do modelo gerou os seguines resulados: Parâmero bea alpha alpha sigma_v Média.86689.58.95755.9743 Desv. Pad..33364.7943.685.438 Número de simulações: 5 Burn-in sample: Número de dados: 483 Tempo decorrido para realizar GARCH: 5.56 seg. Tempo decorrido para realizar simulação: 35 min. Assim, é possível reescrever o modelo ajusado da seguine forma: r =,86689 + a, a = h ε, ln h =,58+,95755ln + σ ν η, h onde η ~ N(,) é um ruído branco. As esimaivas dos parâmeros foram calculadas com base nas k b úlimas amosras simuladas, onde b é o burn-in sample. Iso é realizado pois as primeiras amosras iradas são foremene dependenes dos valores iniciais, o que poderia afear os valores das esimaivas. Anes de realizar o diagnósico do modelo (iso é, verificar se a série de reornos pode ser efeivamene explicada) é sugerido analisar o grau de relevância das informações a priori adicionadas ao modelo. Uma grande influência das informações a priori pode ser indicaivo de que os resulados são foremene influenciados pelas informações aneriores à observação amosral, o que não é desejável no problema proposo pois, como dio aneriormene, não há informações precisas sobre o processo em quesão. Em suma, é de ineresse que os dados falem por si só, e que os resulados não enham grande dependência das informações a priori. Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

CONSTRUÇÃO DO MODELO 89 Para analisar o grau de informação a priori nos resulados do modelo ajusado, é possível analisar as funções de densidade de probabilidade a priori e a poseriori dos parâmeros, que são apresenadas na Figura 4-8: β 6 α 8 Densidade 6 4 Densidade 4-5 5 -.5.5 α σ v 4 3 8 Densidade Densidade 6 4.5.5...3.4 priori poseriori Figura 4-8 - Funções densidade de probabilidade das disribuições a priori e a poseriori dos parâmeros. Os gráficos das funções densidade de probabilidade dos parâmeros mosram que as disribuições a priori não são informaivas para o modelo ajusado. Iso pode ser observado pelo deslocameno das médias enre as curvas, além da noável diferença da ampliude das mesmas (iso é, as curvas apresenam valores de desvio padrão diferenes). Como dio, esa caracerísica já era desejável, pois não há informações precisas em relação à série emporal de reornos do IBOVESPA. Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

9 CONSTRUÇÃO DO MODELO A Figura 4-9 apresena as funções densidade de probabilidade a poseriori dos parâmeros da volailidade h, segundo à Eq. 4.8, para visualização. Do mesmo modo que a Figura 4-7, apenas alguns elemenos são ilusrados:.5 Fdp da a poseriori de h.45.4.35 h 35 h 7 h 5 h 4 Densidade.3.5..5..5.5.5.5 3 3.5 4 4.5 Figura 4-9 Funções densidade de probabilidade dos parâmeros da volailidade. Cada curva apresenada na Figura 4-9 corresponde a uma disribuição de probabilidade da previsão da volailidade, para cada insane. Assim, a previsão da volailidade no modelo MVE gera disribuições de valores, e não apenas valores ponuais de previsão. 4..7 Validação e comparação dos modelos ajusados Os resulados dos modelos ajusados apresenam um comporameno similar, o que pode ser viso na Figura 4-, que apresena a volailidade condicional dos modelos ajusados: Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

CONSTRUÇÃO DO MODELO 9 GARCH 8 6 4 Condiional variance of monhly S&P5 log prices 5 5 MVE 8 6 4 5 5 Figura 4- - Volailidade condicional dos modelos ajusados. Os dois modelos apresenam comporamenos similares, com os mesmos picos e vales de volailidades. A diferença mais noável é que no MVE a curva apresena maior ampliude e apresena previsões maiores do que o GARCH. Para a validação dos modelos ajusados e verificação de qual deles apresena um melhor desempenho, dois eses esaísicos serão realizados: o ese de Ljung- Box e o ese de muliplicadores de Lagrange (ML). O primeiro ese esaísico que será realizado é o ese de Ljung-Box, que esa a hipóese de ruído branco para os resíduos padronizados e para os quadrados dos resíduos padronizados, aravés de uma medição do grau de correlação dos resíduos para alguns lags. Os valores obidos, com um valor de 5% de significância, são apresenados na Tabela 4-3 e Tabela 4-4: Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

9 CONSTRUÇÃO DO MODELO Tese de Ljung-Box resíduos padronizados GARCH(,) MVE Lag Rejeição p- Lag Rejeição p- Q (K) Q (K) (K) de H valor (K) de H valor FALSO.593 8.385 FALSO.6554 7.775 FALSO.7473 5.497 FALSO.34.38 Tabela 4-3 - Tese de Ljung-Box paara os resíduos padronizados. Tese de Ljung-Box quadrados dos resíduos padronizados GARCH(,) MVE Lag Rejeição p- Lag Rejeição Q (K) (K) de H valor (K) de H p-valor Q (K) FALSO.3883.649 FALSO.8998 3.366 FALSO.395.959 FALSO.635 3.499 Tabela 4-4 - Tese de Ljung-Box para os quadrados dos resíduos. Pode-se observar que odos os eses não rejeiaram a hipóese nula de resíduos padronizados aleaórios e, porano, confirmam o poder explicaivo de ambos os modelos. O segundo ese esaísico que será realizado é o ese ML, que verifica se há persisência de heerocedasicidade condicional na série ajusada. Usualmene, a esaísica é realizada para alguns valores de lag. Os resulados dos eses são apresenados a seguir: Tese de muliplicadores de Lagrange GARCH(,) MVE Lag Rejeição de p- Lag Rejeição de p- (K) H valor T (K) H valor T FALSO.97.697 FALSO.44.63 3 VERDADEIRO 3.473 3 VERDADEIRO 3.4 Tabela 4-5 - Tese de muliplicadores de Lagrange. O ese mosra que não há efeios ARCH remanescenes para o valor de lag, iso é, a hipóese de homocedasicidade nos elemenos correspondenes de lag não pode ser rejeiada. Assim, a heerocedasicidade dos resíduos para lag foi explicada adequadamene em ambos os modelos. Em conraparida, para um valor de lag 3, os eses ML mosram que ainda há resquícios de heerocedasicidade condicional nos Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

CONSTRUÇÃO DO MODELO 93 resíduos de ambos os modelos ajusados. Desse modo, o ese sugere que modelos de maior ordem podem ser esados para uma maior explicação dos resíduos. Ouro aspeco imporane a ser considerado é que, como pode ser observado em Jacquier e. al. (994), Morein; Toloi (6) e Tsay (), em geral, quano maior a complexidade de um modelo, menor a capacidade de previsão do mesmo. Iso se jusifica pois modelos com um grande número de parâmeros endem a se ajusar melhor nos dados hisóricos, mas esse ajuse não conribui com uma melhor capacidade de previsão (o que é chamado de super-ajusameno). Os resíduos dos modelos são apresenados na Figura 4-: Figura 4- - Resíduos dos modelos ajusados. A Figura 4- indica a similaridade enre os resíduos dos modelos, e não é possível disinguir visualmene diferenças enre eles. Iso se jusifica pois ambos os modelos êm equações idênicas para as médias dos reornos (Eq. 4. e Eq. 4.3), e as diferenças decorrem somene dos pequenos desvios na esimação do parâmero da equação da média ( β no modelo SV e µ no modelo GARCH). Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

94 CONSTRUÇÃO DO MODELO Assim, além dos eses qualiaivos realizados para a validação dos modelos, é fundamenal avaliar quaniaivamene a capacidade de previsão dos mesmos, e medir qual em o melhor desempenho nese aspeco. Os eses de desempenho que serão realizados são:. Erro quadráico médio (EQM) da previsão dos reornos: O primeiro ese de desempenho que será realizado é o erro quadráico médio (EQM), que é definido por: EQM n ( r rˆ ) = =. (Eq. 4.4) n O erro quadráico médio é uma medida que verifica o erro médio de previsão do modelo ajusado, em comparação com os valores reais observados. Assim, o EQM serve como uma função penalizadora, e o quadrado do resíduo é uilizado para penalizar mais os maiores erros. Deve-se desacar que o EQM não deve ser diferene enre os modelos, viso que ambos possuem as mesmas equações para a média dos reornos. Assim, quaisquer previsões dos reornos são equivalenes (viso que a esperança de cada reorno seria a mesma, ou seja, µ no modelo GARCH e β no modelo MVE). Esa caracerísica já era de ineresse no problema proposo, viso que o objeivo é comparar o desempenho de previsão da volailidade enre os modelos. Assim, ao igualar as equações para a média dos reornos, é possível concenrar as divergências enre os modelos apenas nas suas capacidades de explicação da volailidade da série. Porano, o EQM será calculado apenas para fins de verificação da condição de igualdade dos parâmeros da média. Além disso, a verificação de erros quadráicos médios semelhanes aua como evidência de que o algorimo MCMC simulado foi capaz de esimar o parâmero β saisfaoriamene. Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

CONSTRUÇÃO DO MODELO 95. Comparação do Erro Quadrado Médio de Previsão da Volailidade condicional com o quadrado do reorno observado (EQMPV): Conforme proposo por Andersen e Bollerslev (998), a comparação de desempenho de previsão da volailidade enre dois modelos pode ser realizada pelo cálculo de uma função penalizadora da diferença enre as volailidades previsas e os reornos quadrados observados (que é represenane da volailidade realizada e funciona como benchmark para comparação). Assim, o principal indicador de desempenho que será uilizado para a comparação enre os modelos consise em calcular o erro quadráico médio de previsão da volailidade (EQMPV), ou seja: EQMPV n = = ( r h ) n (Eq. 4.5) 3. Comparação do Erro Médio Absoluo Padronizado da variância condicional previsa com o quadrado do reorno observado (EMAP): A comparação de desempenho da volailidade previsa pode ser realizada considerando os erros absoluos padronizados, que consideram os desvios do modelo relaivos à grandeza dos reornos ao quadrado, aravés da expressão: EMAP n ( r r n = = h ) (Eq. 4.6) A Figura 4- apresena as volailidades previsas nos dois modelos e os quadrados dos reornos, que são represenanes da volailidade diária realizada no período: Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

96 CONSTRUÇÃO DO MODELO 5 45 4 Variância condicional r GARCH MVE 35 3 5 5 5 5 5 Figura 4- - Variância condicional previsa e os quadrados dos reornos observados. A Figura 4-3 apresena os resíduos EQMPV, referenes aos erros quadráicos da Figura 4-: Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica

CONSTRUÇÃO DO MODELO 97 Figura 4-3 - Resíduos EQMPV. A Figura 4-3 mosra que os resíduos de ambos os criérios apresenam alguns valores exremos. Os resíduos EQMPV apresenam valores elevados coincidenes com os picos de volailidade, que podem ser observados na Figura 4- (os maiores picos ocorrem em = 47, 76, = 45, 59 e = 4, 4 ). 35 55 A Tabela 4-6 apresena os quaris dos resíduos EMAP: Erro Médio Absoluo de Previsão (EMAP) Quaril (k) GARCH MVE 5%.599.4765 5%.359.88 75%.9845 6.7466 % 599.58 35.37 Tabela 4-6 - Quaris dos resíduos EMAP. Modelo de Previsão com Volailidade Esocásica