Matemática Em Nível IME/ITA

Caio dos Satos Guimarães Matemática Em Nível IME/ITA Volume 1: Números Complexos e Poliômios 1ª Edição Editora Vestseller São José dos Campos SP 2008

É proibida a reprodução parcial ou total por quaisquer meios sem autorização prévia do autor. Os trasgressores serão puidos os termos da lei. Deucie o plágio, cópias ilegais, pirataria pela iteret, sites para dowload pirata, comuidades piratas a iteret aoimamete através do correio eletrôico do autor : caioguima@gmail.com Todos os direitos desta edição reservados a: 2008 Caio dos Satos Guimarães Editor resposável: Reato Brito Bastos Neto Editoração: Reato Brito Bastos Neto Capa: Cleito Maciel Esta obra pode ser adquirida diretamete a EDITORA VESTSELLER através de sua págia eletrôica www.vestseller.com.br FICHA CATALOGRÁFICA: Preparada por Ruth Helea Lihares Leite e Luiza Helea de Jesus Barbosa. B327m Guimarães, Caio dos Satos Matemática em Nível IME ITA / Caio dos Satos Guimarães - São José dos Campos: Vestseller, 2008. 324p. ; v.1. I. Matemática II. Complexos (segudo grau) III. Poliômios IV. Título CDD 531

FOTOCÓPIA É proibida a reprodução parcial ou total por quaisquer meios sem autorização prévia do autor. os trasgressores serão puidos com base o artigo 7, da lei 9.610/98. Deucie o plágio ou cópias ilegais aoimamete através do correio eletrôico do autor : Caioguima@gmail.com Todo o coteúdo dessa obra ecotra-se registrado a Biblioteca Nacioal do Rio de Jaeiro.

Sumário 01 Números Complexos : Itrodução 1.1 A história dos úmeros complexos... 07 1.2 Algumas Defiições e Propriedades... 09 1.3 Represetação Trigoométrica do Complexo... 19 1.4 Represetação Expoecial do Complexo... 22 1.5 Propriedades Importates...... 27 1.6 Raízes -ésimas da uidade... 35 1.7 Exercícios de Fixação... 37 02 Números Complexos: Geometria e os Complexos 2.1 O complexo como vetor... 45 2.2 A Geometria Plaa... 51 2.3 Represetação de Lugares Geométricos... 59 2.4 Exercícios de Fixação... 65 03 Números Complexos: Aplicação em Somatórios 3.1 Somatórios Biomiais... 69 3.2 Outras Somas... 74 3.3 Iterpretação Geométrica... 79 3.4 Produtórios... 81 3.5 Exercícios de Fixação... 82 04 Poliômios 4.1 A história dos poliômios... 86 4.2 Itrodução: Raízes de um poliômio... 88 4.3 Operações com Poliômios e Fatorações Importates... 96 4.4 Relações de Girard... 108 4.5 Teorema de Newto... 114 4.6 Teorema de Girard... 117 4.7 MDC de Poliômios e Raízes Comus... 122 4.8 Raízes Múltiplas... 128 4.9 Exercícios de Fixação... 132 05 Poliômios: Equações Algébricas 5.1 Ispeção Algébrica de Raízes... 140 5.2 Equações Recíprocas... 143 5.3 Trasformadas Poliomiais... 150 5.4 Poliômio Iterpolador de Lagrage... 161 5.5 Exercícios de Fixação... 166

06 Poliômios: Aálise Gráfica de Fuções Poliomiais 6.1 Traçado Gráficos Poliomiais... 168 6.2 Comportametos Especiais... 177 6.3 Teorema de Bolzao... 187 6.4 Exercícios de Fixação... 191 07 Resoluções Cometadas Resoluções Cometadas... 195 Apêdice Apêdice...322 Bibliografia Bibliografia...333 Projeto Rumo ao ITA Projeto Rumo ao ITA...334

Prefácio Os estudates e professores do segmeto IME ITA sempre estudaram Complexos e Poliômios por bos livros didáticos, mas aida ão dispuham do livro que cotasse todos os segredos, teoremas e artimahas poderosas para a resolução de problemas mais avaçados de ível IME ITA. O livro só agora foi publicado. Esse maual de Complexos e Poliômios do Caio Guimarães pode ser chamado de O Livro vermelho dos Complexos e Poliômios. O autor ão poupou esforços para revelar em sua obra todas as ferrametas poderosas importates relacioadas aos Complexos e Poliômios, forecedo ao leitor tato iterpretações algébricas quato geométricas sempre que possível, versatilidade essa que proporcioará ao leitor desse livro uma visão além do alcace. Mesmo os problemas mais iquietates agora terão soluções elegates e cocisas, quado se dispõe das melhores ferrametas para resolvê-los. Essas ferrametas foram todas cocetradas essa obra prima. Assim, é com muita hora que a VestSeller brida os estudates e professores de todo o Brasil com a publicação dessa obra de valor iestimável. Estamos certos de que o empeho e a dedicação ivestidos pelo autor em mais de ao ao de trabalho árduo certamete foram compesados. Gahamos todos, os estudates, os professores e a sofrida educação brasileira Parabés ao Caio Guimarães. Prof. Reato Brito Bastos eto (autor do livro Mecâica Para Vestibulados IME ITA)

Apresetação O livro Matemática em Nível IME/ITA tem como objetivo ão somete dar a base aos aluos que desejam ecarar as difíceis provas de vestibular do IME e do ITA, mas também ajudar a aumetar a barra de dificuldade das matérias de matemática lecioadas o esio médio, a fim de atigir o ível exigido essas provas. A leitura desse material também é idicada a professores de cursos preparatórios para pré-vestibular, pricipalmete aqueles com êfase os vestibulares militares. Compilamos este livro um material que cotém tato a carga teórica que o aluo pode precisar para cosulta, quato séries de exercícios (e muitos!), com resoluções, que darão a ele a cofiaça ecessária para ecarar o vestibular militar. Neste primeiro volume, abordamos dois assutos de extrema importâcia, e pricipalmete, reicidêcia as provas tato do IME quato do ITA: Números Complexos e Poliômios. O osso objetivo, este volume, é de, juto à teoria básica desses assutos, também mostrar diferetes aplicações dos mesmos, bem como diversas situações problemas que podem ser pedidas o grade dia da prova e os grades truques de como se comportar frete a ela. Caio dos Satos Guimarães São José dos Campos, SP - 2008

Dedicatória Esse livro é dedicado à miha família (as pessoas mais importates a miha vida): Ciro, Lúcia, Marcos e à miha compaheira mais do que especial de todos os mometos, Ferada. Amo vocês! Agradecimetos Gostaria de agradecer a todos colaboradores desse projeto. Em especial, os que tiveram cotato direto com o trabalho. Etre elas cito meus verdadeiros amigos aqui o ITA (meus colegas de quarto), que colaboraram, ão só com o apoio moral (e uma amizade fudametal), mas também muitas vezes com seu itelecto, ajudado a cofecção de diversas partes do livro: Hélder Suzuki, Hery Wei, Rodolpho Castro, Luiz Adolfo Schiller, Rafael Daigo Hirama, Felipe Moraes. Agradeço a Alessadra Porto pela ajuda com o material para o cotexto histórico do livro e pelo pessoal da AER-09 pela ajuda a revisão do material. Agradeço também aos colaboradores Edmilso Motta (Etapa), a SBM (Sociedade Brasileira de Matemática) e Sergio Lima Netto, que permitiram o uso de seus artigos e trabalhos para referêcia. Não poderia esquecer também os grades metores que tive durate a miha preparação para o vestibular, os professores e restate da equipe GPI (RJ) Turma IME/ITA 2003-2005 (verdadeiros mestres que uca esquecerei!). Juto a eles gostaria de agradecer aos meus compaheiros de cursiho (turma IME/ITA GPI 2004): Marcello Nues, Jorge Veloso, Viicius Assis; sem eles, eu ão teria alcaçado os objetivos dos meus sohos de passar o tão sohado vestibular. E, fialmete, gostaria de agradecer à miha família e aos meus amigos, que sempre estiveram presete em todas as mihas dificuldades e sucessos. Na hora de apoiar a escrita desse livro ão foi diferete. A eles devo tudo que teho e coquistei até hoje (e aida soho em coquistar!)

Como Estudar o Livro? O livro é muito voltado a resoluções de questões do ível IME/ITA. Portato, a teoria apresetada é direcioada a resultados que serão bastate úteis a resolução das questões do gêero. O livro ão é destiado àqueles que uca estudaram o assuto ates. Embora abraja todo coteúdo, para a melhor compreesão do material, é acoselhável que o aluo/professor já teha tido cotato com o assuto previamete. As questões do IME e do ITA, em geral, abragem mais de um assuto em um mesmo euciado, portato comumete as questões que aqui são propostas, será requerido que o aluo/professor saiba o básico de outros ramos da matemática (progressões aritméticas e geométricas, geometria aalítica, etc.). Quado isso for requisitado em algum segmeto da parte teórica, mecioaremos o assuto que deve ser pesquisado (por fora) para a total compreesão do segmeto. Recomedamos que o aluo/professor leia toda a parte teórica (mais de uma vez, se ecessário) para a fixação das idéias destacadas (lembre-se que todo o coteúdo aqui apresetado será importate, ão sedo acoselhável que parte alguma seja descartada). Dê uma ateção especial aos exemplos resolvidos, que servirão de base para a resolução dos Exercícios de Fixação. Feito isso, o aluo/professor deve passar etão para a parte dos Exercícios de Fixação. Nessa seção você ão ecotrará exercícios fáceis (todos têm o estilo de questões IME/ITA), porém ecotrará algus exercícios mais difíceis que os outros. Para melhor orietação criamos o seguite código: - Nível Difícil - Nível Isao Muitas das questões acompaham o ome de ode foram tiradas (algum vestibular, ou livro citado a bibliografia). Em algus casos é comum ver a palavra adaptada juto à referêcia. Isso acotece os casos em que a questão é a mesma que caiu o vestibular citado, porém com alguma alteração, torado-a mais iteressate para o osso assuto (em algus casos, a adaptação é torar uma questão múltipla-escolha em discursiva). Recomedamos que, tedo resolvido as questões propostas em cada capítulo, o leitor olhe as resoluções cometadas o Capítulo 7 para coferir suas respostas e cofirmar se ão houve algum descuido a hora de formular sua solução. Lembramos aos leitores que orgaização é fudametal a hora de resolver uma questão uma prova (a baca precisa eteder seu raciocíio), etão recomedamos que o leitor se baseie o estilo de formulação das soluções propostas o capitulo 7 para treiar sua escrita. Bos estudos!

1 Números Complexos Itrodução.13 Capítulo 1 - Números Complexos Itrodução 1.1 A História dos Complexos A etidade cohecida a Matemática por úmero complexo é um úmero da forma a + bi, ode a e b são úmeros reais e i é a uidade imagiária, possuido a propriedade de que i 2 = 1, ou aida, i = 1. Mas qual o setido e, mais importate, a utilidade, de se defiir a raiz de úmeros egativos? De ode surgiu o coceito de úmero complexo? Os matemáticos da Grécia atiga julgavam óbvia a costatação de que um úmero egativo ão possuía raiz. As equações matemáticas eram represetações de problemas cocretos ou seja, chegado-se à raiz de um egativo, cocluía-se que o problema ão tiha solução. A ecessidade de se atribuir um setido à raiz de -1 ão surgiu, como muitos crêem, a partir do estudo das equações de segudo grau, mas sim da aálise da solução de Cardao-Tartaglia para as equações de terceiro grau da forma: 3 x = ax+ b A solução dessa equação (veremos a demostração adiate) é dada por: 2 3 2 3 b b a b b a x = 3 + + 3 2 2 3 2 2 3 De acordo com o raciocíio aterior sobre raízes de egativos, uma equação dessa forma só terá solução se 2 3 b a 0 2 3 3 Mas tomemos como exemplo a equação x = 15x+ 4. É evidete que x = 4 é solução dessa equação, pois 4³ = 64 = 15.4 + 4. No etato,

1 Números Complexos Itrodução.25 1.3 Represetação Trigoométrica do Complexo Uma das formas mais comus de se ver represetado um úmero complexo é a sua forma trigoométrica. Todo complexo pode ser represetado como um vetor o plao complexo de Argad-Gauss, tedo sua parte imagiária marcada o eixo vertical e parte real marcada o eixo horizotal. Da represetação geométrica da figura 1.2.3: ( ) ( ) Re z = z.cos Im z = z.se Podemos etão escrever um complexo z qualquer, de argumeto como sedo: z = z. ( cos+ i.se ) z Fig. 1.2.3 Defiição 1.3.1 Notação: É comum deotar cos + i.se pela abreviação cis. Faremos o mesmo deste poto em diate o livro. Exemplo 1.3.a Determie a forma trigoométrica do complexo z = 1+ i Solução: Podemos represetar o afixo z o plao complexo de Argad-Gauss. Da geometria do problema a Fig. I, o módulo de z, que correspode à hipoteusa do triâgulo, é determiado pelo Teorema de Pitágoras. 2 2 2 z = 1 + 1 z = 2

26 Matemática em Nível IME/ITA Com uma ajuda de trigoometria básica, podemos achar o valor do argumeto do complexo z. z 1 π tg= = 1 4 Sabedo-se o módulo e o argumeto, podemos motar o complexo (Def. 1.3.1) Fig. I π z = 1+ i = 2.cis 4 Exemplo 1.3.b É possível mostrar duas importates relações, citadas a seguir: z = 1+ cis = 2.cos ( ).cis( 2 2) w = 1 cis= 2.i.se ( ).cis( 2 2) Solução: Vamos utilizar três idetidades trigoométricas cohecidas (ver Apêdice): se= 2.se.cos 2 2 2 1+ cos = 2.cos 2 2 1 cos = 2.se 2 Se você ão cohece as relações acima, sugerimos que pesquise a respeito de trasformações em arco-metade (trigoometria)! Aalisado primeiro z: z = 1+ cis = 1+ cos+ i.se = 2.cos² ( ) + i.2.se ( ).cos( ) = 2.cos ( ). cos( ) i.se 2 2 2 2 2 ( + 2) ( ) ( ) z = 2.cos.cis 2 2 cis( 2)

1 Números Complexos Itrodução.27 Ou seja: ( ) ( ) z = 1+ cis = 2.cos.cis 2 2 Fórmula 1.3.1 OBS: O complexo z tem argumeto igual à metade de e módulo igual a 2.cos( 2) Fazedo o mesmo com w: w = 1 cis = 1 cos i.se ( ) ( ) ( 2 2 2) ( ) ( ) ( ) = 2.se² i.2.se.cos = 2.se. se i.cos 2 2 2 Ao cotrário do caso aterior, a expressão detro dos colchetes ão é cis 2. Vamos tetar fazer com que se tore algo do tipo. exatamete ( ) Multiplicado em cima por i. i = 1, ão alteramos o valor de w: ( ) ( ) ( 2 2 2) ( 2) () ( 2) ( 2) ( ) ( ) ( ) w = 1 cis = 2.se. se i.cos.( i.i) = 2.i.se. i se i.cos = 2.i.se. cos i.se 2 + 2 2 = 2.i.se ( ). cis( ) cis 2 2 ( ) 2 Ou seja: ( ) ( ) w = 1 cis = 2.i.se.cis 2 2 Fórmula 1.3.2

28 Matemática em Nível IME/ITA Autor: Não é ecessário que o aluo decore essas duas expressões mostradas acima, mas é importate saber que é possível represetar os complexos z e w a forma trigoométrica, pois isso terá um papel importate a resolução de muitos dos exercícios que veremos aida. A dedução, uma vez etedida, poderá ser facilmete reproduzida pelo aluo ao ser requisitado que a mesma seja utilizada. 1.4 Represetação Expoecial do Complexo Eu teho uma outra idéia de represetação para os complexos que facilitará muito a ossa vida quado formos demostrar algumas relações e propriedades! Não se assuste com a demostração. Leia e releia quatas vezes for ecessário! Leoard Euler

1 Números Complexos Itrodução.29 Outra forma comum, e muito útil como veremos mais a frete, de se represetar um úmero complexo é usado a sua forma expoecial (forma de Euler): ( ) z = z. cosx+ i.sex = z.e Fórmula 1.4.1 Demostração: Para mostrarmos que todo complexo pode ser escrito a forma expoecial acima, devemos mostrar que, para todo x real, vale: i.x cos x + i.sex = e Para isso, vamos recorrer a um resultado cohecido do Cálculo Diferecial. O Teorema de Taylor diz que fuções deriváveis em qualquer ordem um poto de seu domíio podem ser escritas a forma de um poliômio com grau ifiito em toro desse poto (também chamados de Séries Ifiitas). cosx = A0 + A 1.x + A 2.x² + A 3.x³ +... sex = B + B.x + B.x² + B.x³ +... x 0 1 2 3 e = C + C.x + C.x² + C.x³ +... 0 1 2 3 Vamos tetar descobrir os coeficietes desses poliômios. Faremos como exemplo a série ifiita de cosx. cosx = A0 + A 1.x + A 2.x² + A 3.x³ +... A expressão deve ser válida para qualquer x. Fazedo x = 0 cos0 = A0 + A 1.0 + A 2.0² + A 3.0³ +... A0 = 1 i.x Derivado a Série de Taylor de cos x em relação a x: sex = A1 + 2.A 2.x + 3.A 3.x² + 4A 4.x³ +... Novamete a expressão deve ser válida para todo x. Fazedo x = 0 1 2 3 4 1 se0 A 2.A.0 3.A.0² 4A.0³... A 0 = + + + + = Derivado ovamete a Série de Taylor em relação a x:

1 Números Complexos Itrodução.39 Exemplo 1.5c (IME) Mostre que a seguite expressão represeta um complexo (ou mais de um), e escreva-o(s) a forma x + y.i Solução: 1 7+ 24.i Vimos que a radiciação de um complexo gera mais de um complexo (Fórmula 1.5.7), i.e., podemos ter mais de uma raiz quadrada de um dado complexo. Idetidade 4 2 ( ) 2 7 + 24.i = a + b.i 7 + 24.i = a + b.i = a² b² + 2.a.b.i a² b² = 7 a² b² = 7 2.a.b 24 b 12 = = a 2 144 a = 7 a² a 7.a 144 = 0 Como a é real, devemos ter como úica solução dessa equação do segudo grau em a² a solução positiva: 7+ 25 a² = a = ± 4 2 Como a.b = 12, temos: 4+ 3.i 7 + 24.i = 4 3.i De ode segue: 1 1 4 3.i 4 3.i = ± = ± = ± 7 + 24.i 4+ 3.i 4+ 3.i. 4 3.i 25 ( ) ( ) 1 4 3.i = ± 7 + 24.i 25 Mostraremos a seguir uma Seguda Solução para o mesmo problema.

40 Matemática em Nível IME/ITA 2ª Solução: No esio médio é comum os aluos aprederem (ao estudarem fatoração em geral) a expressão cohecida como Expressão do Radical Duplo. A + A² B A A² B A + B = ± + 2 2 A demostração dessa expressão é simples e deixamos para que o leitor a faça como exercício (Basta elevar o membro à direita ao quadrado para cocluirmos a prova). O sial egativo para o membro direito veio do fato de que estamos trabalhado com complexos, e a radiciação pode sim levar a um resultado egativo. Vamos utilizar esse resultado a solução da questão proposta. 7 + 24.i = 7 + 24 1 = 7 + 576 Utilizado a Expressão do Radical Duplo : 7 + 24.i = 7 + 7 + 49 + 576 7 49 + 576 576 = ± + 2 2 7 + 625 7 625 =± + 2 2 7+ 25 7 25 =± + 2 2 ( 16 9 ) =± + ( 4 3.i) =± + A partir daí, a solução é aáloga à Solução 1 e obtemos: 1 4 3.i = ± 7 + 24.i 25

1 Números Complexos Itrodução.43 Autor: Por equato o assuto parece ão servir para muita coisa, a meos que a questão cobre especificamete as propriedades das raízes -ésimas da uidade. Guarde a asiedade para o capítulo 2 o qual usaremos e muito as tais raízes da uidade para resolver problemas iteressatíssimos de geometria! 1.7 Exercícios de Fixação Exercício 1.1 Para que valores de atural será real o úmero: 1+ i z = i. 1 i Exercício 1.2 Determie o valor de para que o complexo i 1 tg + i esteja sobre a bissetriz do primeiro quadrate do plao de Argad-Gauss. Exercício 1.3 Mostre que se z = x + y.i pertece à circuferêcia de raio uitário cetrada a origem do plao complexo, com exceção do complexo -1 etão z pode ser escrito a forma: 1+ x + y.i z = 1 + x y.i Exercício 1.4 (IME - 1983) Prove que se P(x) = x² + ( a + b.i) x + ( c + d.i ) ode a,b,c,d são reais ão-ulos, admite uma raiz real, etão abd = d² + b²c

44 Matemática em Nível IME/ITA Exercício 1.5 Mostre que todo complexo de módulo uitário e com parte real diferete de 1 pode ser escrito a forma abaixo, sedo k é um úmero real arbitrário. k + i k i Exercício 1.6 Mostre que as raízes -ésimas da uidade estão em progressão geométrica, e determie a razão dessa P.G. Exercício 1.7 Determie os complexos que satisfazem à seguite equação: 5 z = z Exercício 1.8 Resolva ovamete o exemplo 1.4ª, desta vez usado o resultado já mostrado: 1+ cis = 2.cos.cis 2 2 Exercício 1.9 Mostre que o seguite produtório é real: Exercício 1.10 (IME - 1983) Seja S ( z + z )( z 3.z 3 )( z 5 + z 5 )( z 7.z 7 ) = a ode os a são complexos. Os módulos dos a estão em P.G. e os seus argumetos em P.A. Calcule o limite da soma S quado tede a ifiito. São dados: 27 ( i. 3 1) a 1 =.( 3 + i ) e a4 =, 2 2 Exercício 1.11 (IME - 1977) Seja o cojuto: A = { z : z = 1}. Determie a imagem de A pela fução g, complexa de variável complexa tal g(z) = 4 + 3i z + 5 i. que: ( ) Exercício 1.12 (IME, ITA) Mostre que todas as raízes da equação: ( ) 5 5 z 1 z 0 + + = pertecem a uma mesma reta paralela ao eixo imagiário o plao complexo. Exercício 1.13 (IME - 2003) Sedo a, b e c úmeros aturais em progressão aritmética e z um úmero complexo de módulo uitário, determie um cojuto de valores para a,b,c,z de forma que eles satisfaçam a igualdade: 1

1 Números Complexos Itrodução.45 1 + 1 + 1 = 1 a b c 9 z z z z Exercício 1.14 (IME - 1982 adaptada) Sabedo que x 1 + x = 2.cos, mostre que é real a seguite expressão, e a calcule, em fução de : x 2008 2008 + x Exercício 1.15 (OBM-U) Determie todos os valores iteiros positivos de m para os quais o poliômio ( ) m m x 1 x 1 2 + + + é divisível por ( x x 1) + +. Sugestão: Um poliômio P(x) é divisível por Q(x) quado todas as raízes de Q forem raízes de P. Exercício 1.16 (ITA - 2003) Seja z pertecete aos complexos. Calcule a 2 soma das raízes z³ + z² z + 2z = 0. Exercício 1.17 (ITA - 2000) O úmero complexo z a seguir possui argumeto igual a 45. Determie o valor de a. ( ) 1 cosa 1 2cosa + 2.sea z = + i. ; a 0, π sea.cosa se2a 2 z i.z Exercício 1.18 Mostre que: Re = 0 z + i.z para qualquer z complexo. Exercício 1.19 (ITA - 2002) Seja z complexo. Das seguites iformações, julgue quais são as verdadeiras. 2iz² + 5z i 2iz² + 5z + i I Se w = w = 2 2 1+ 3.z² + 2iz + 3 z + 2 z 1+ 3.z² 2iz + 3 z + 2 z 2iz + 3i + 3 2z+ 3. 2 II Se z 0 e w =, etão w 1 2i z z 5 ( ) ( + ) 1+ i z² π III Se w =, etão 2argz + é um arg w 4 3 + 4i 12 ( ) a) Todas b) apeas I e II c) apeas II e III d) apeas I e III e) apeas II

46 Matemática em Nível IME/ITA Exercício 1.20 (ITA - 2002) Das seguites iformações a respeito da 2 3 4 equação 1+ z + z + z + z = 0, julgue quais são as verdadeiras. I. A equação possui pelo meos um par de raízes reais. II. A equação possui duas raízes de módulo 1, uma raiz de módulo meor que 1 e uma raiz de módulo maior que 1. III. Se é um atural ão ulo, e r é uma raiz dessa equação, etão: k= 1 k r 1 < 3 2 a) Nehuma b) apeas I c) apeas II d) apeas III e) apeas I e III Exercício 1.21 (ITA - 1994 adaptada) Seja z um complexo satisfazedo z é Re(z) > 0 e ( z + i ) ² + z + i ² = 6. Determie o meor atural para que um imagiário puro. Exercício 1.22 Sedo w uma raiz -ésima da uidade diferete de 1, 1 mostre que: 1+ 2w + 3w² + 4w³ +... +.w = w 1 Exercício 1.23 Mostre que se um poliômio de coeficietes reais de grau possui uma raiz complexa, etão o cojugado dessa raiz também será raiz do poliômio. Exercício 1.24 Determie o lugar geométrico do cojuto das images o plao complexo do cojuto de complexos z tais que: it z(t) = 2 + 4.e, t 0,2π [ ] Determie também o módulo do complexo de módulo máximo detro do cojuto imagem dos complexos defiidos acima. Exercício 1.25 Mostre como poderíamos obter um valor umérico para o i umero complexo: i i.z Exercício 1.26 (Spiegel) Sedo z = cis, determie o valor de arg( e ) Exercício 1.27 (ITA 1991 adaptada) Sedo 2.cis ( ) quítupla de w. Determie as raízes da equação: π uma raiz 20

48 Matemática em Nível IME/ITA Capítulo 2 Números Complexos Geometria e os Complexos Neste capítulo apresetaremos a importate relação etre o estudo dos úmeros complexos e questões de geometria. Obviamete, mesmo domiado o coteúdo desse capítulo e resolvedo todos os respectivos exercícios ão sigificará que todos os seus problemas acabaram. A geometria é, ão só um dos ramos mais boitos da matemática, como também um dos mais difíceis. Por essa razão devemos ter em mete que as questões que serão resolvidas com o auxílio dos úmeros complexos são bastate específicas, e cabe ao aluo saber quado usar essa ferrameta a resolução de um exercício. Para que essa capacidade de distiguir quado ou ão usar essa ferrameta se tore mais acetuada, propomos que o leitor dedique sua ateção à leitura desse capítulo. Vamos começar o capítulo exemplificado que os complexos e a geometria camiham lado a lado. Exemplo: Vamos mostrar, usado um argumeto geométrico, a relação já provada aaliticamete o capítulo 1 (Exemplo 1.3b). 1+ cis = 2.cos.cis 2 2 Represetação do circulo uitário o plao complexo: cis α 1+ cis Fig. 1

52 Matemática em Nível IME/ITA Fig. 2.1.3 Autor: A represetação vetorial de complexos os permite resolver problemas de vetores com a ferrameta dos úmeros complexos e vice-versa! Vejamos como essa ova ferrameta poderá os ajudar a resolver aquelas questões trabalhosas de rotação de vetores! Exemplo 2.1.a Cosidere o quadro ABCD defiido pela diagoal AC com A = 1,1 ; B = (3, 4 ). Determie os demais vértices do extremidades ( ) polígoo. Solução:

2 Geometria e os Números Complexos 53 Vamos imagiar o problema o plao complexo. Note que o vetor BC é dado pela rotação do vetor AB de 90 graus os setido trigoométrico. Podemos escrever: Fig. I BC = i.ab C B = i. B A + = + + + = + 2+ 5i 2+ 5i 1 i B = =. 1+ i 1+ i 1 i 7+ 3i 7 3 = =, 2 2 2 7 3 B =, 2 2 ( ) ( 3 4i) B i.b i. ( 1 i) ( 3 4i) ( i 1) ( 1 i ).B Para achar o poto D poderíamos proceder da mesma forma. Outra forma seria perceber que os vetores são AB e DC equivaletes (vetores eqüipoletes). = = = + = 1 7 AB DC B A C D D C B A, 2 2 1 7 D =, 2 2 Rotação de Eixos Um famoso problema da Geometria Aalítica cosiste em determiar as coordeadas de um poto de uma figura geométrica em relação a um ovo sistema de coordeadas rotacioado de certo âgulo em relação ao sistema de eixos origial. Tal problema os permite determiar, por rotação, equações simplificadas de figuras geométricas (por exemplo, as seções côicas).

2 Geometria e os Números Complexos 57 z 4 Im z 2 z 3 z1 z 5 z 6 z 7 z0 Re Exemplo: 8 z 1 = 0 A soma das raízes da equação, pela relação de Girard, é ula (já estudamos isso!), o que está coerete com o fato do polígoo formado acima ser regular (uma vez que, esse caso, todos os vetores represetates dos afixos se aulam). Fig. 2.2.1 Coclusão: Os afixos das raízes -ésimas da uidade formam o plao complexo um polígoo regular de lados. Codições para um triâgulo ser eqüilátero Teorema: Os afixos dos complexos z,z 1 2,z3formam um triâgulo eqüilátero, se e somete se z 1 + w.z 2 + w².z 3 = 0, ode w é uma raiz cúbica da uidade, diferete de 1. Resultado 2.2.1 Fig. 2.2.2

58 Matemática em Nível IME/ITA Demostração: z,z 1 2,z 3 formam um triâgulo eqüilátero z 2z1 e z 2z3 formam um âgulo de ± 60 π ( z3 z 2).cis ± = z1 z2 3 z1 + z 2. π π cis ± 1 z 3.cis 3 ± 3 = 0 1 i 3 2π = ± = cis ± = w 2 2 3 2π 4π z1 + z 2.cis ± z 3.cis 0 3 ± = 3 = w² z + z.w + z.w² = 0 1 2 3 Exemplo 2.2.a (Putam 67) Seja ABCDEF um hexágoo iscrito em uma circuferêcia de raio r. Mostre que se AB = CD = EF = r, etão os potos médios de BC,DE,FA são os vértices de um triâgulo eqüilátero. B A C M 1 60º 60º 60º M 2 F D M 3 Fig. I E Solução: Cosideremos a origem do plao complexo o cetro da circuferêcia. Sabedo que os afixos B, D, F correspodem, respectivamete, às extremidades dos vetores rotacioados de 60 represetates dos afixos A, C, E, podemos escrever:

62 Matemática em Nível IME/ITA Teorema: Dois triâgulos são semelhates ( Δzz 1 2z 3 ~ Δ ww 1 2w3) se e somete se: z w 1 1 1 z w 1 = 0 2 2 z w 1 3 3 Resultado 2.2.4 Demostração: z w 1 1 1 z w 1 = 0 z.w + z.w + z.w z.w z.w z w 2 2 1 2 3 1 2 3 3 2 2 1 1 2 z w 1 3 3 z z w w = z z w w 2 1 2 1 3 1 3 1 Note que a codição para que um triâgulo seja eqüilátero está coerete com esse resultado. w Im Se o triâgulo Δ zz 1 2z3 for semelhate ao triâgulo Δ 1w w² ode w é uma raiz cúbica da uidade diferete de 1, deveremos ter que o triâgulo Δ zz 1 2z3 é eqüilátero. w² De fato, usado o teorema que acabamos de mostrar: Fig. 2.2.4 z1 1 1 z2 w 1 = 0 z1w + z2w² + z3 z 3.w z 1.w² z2 = 0 z3 w² 1 z. 1 ( w w² ) + z 2. ( w² 1) + z 3.1 ( w) = 0 Se w² + w + 1 = 0 z.w 1 ( 1 w) + z 2. ( w² 1) + z 3.1 ( w) = 0 z.w1 1 ( w) z.1 2 ( w)( 1+ w) + z.1 3 ( w) = 0 z.w 1 z 2.1 ( + w) + z3 = 0 w² z.w 1 + z 2.w² + z3 = 0 1 Re

64 Matemática em Nível IME/ITA 2.3 Represetações de Lugares Geométricos Vimos o capítulo I que podemos iterpretar o módulo da difereça etre dois complexos como sedo a distâcia etre os afixos dos mesmos o plao complexo. Muitos lugares geométricos dos mais estudados a geometria aalítica são defiidos pelo coceito de distâcia. Não os preocuparemos com propriedades específicas desses L.G., mas sim, como trabalharmos com eles o ramo dos complexos. Sugerimos que para a total compreesão do que discutiremos a seguir, o aluo teha uma oção das defiições dos L.G. citados, cosultado um livro de geometria aalítica. Vamos agora justamete aalisar como descrever esses lugares geométricos a forma de represetação o plao complexo. Circuferêcia é o lugar geométrico dos potos que eqüidistam de um mesmo poto fixo o plao. A expressão que os dá a oção de distâcia é o módulo da difereça etre dois complexos. z k = R Circuferêcia de cetro em k e raio R k, R Algus casos particulares: z k < R z R

2 Geometria e os Números Complexos 65 Elipse é o lugar geométrico dos potos tais que a soma das distâcias desses potos a dois potos fixos (os focos da elipse) é costate e maior que a distâcia etre os mesmos dois potos fixos. Com essa defiição fica evidete que podemos represetar o cojuto de elipses o plao complexo como sedo: z F 1 + z F 2 = 2a Elipse de focos F 1 e F 2, e eixo maior 2a. F,F, a 1 2 Algus casos particulares: Fig. 2.3.4 z F 1 + z F 2 2a z F 1 + z F 2 2a Fig. 2.3.5 Fig. 2.3.6

68 Matemática em Nível IME/ITA Vejamos outro exemplo de degeeração: { z : z 1+ z+ 1 = 1} Não é difícil verificar que ão existe z complexo que ateda à codição dada o cojuto (deixamos como exercício pro leitor que verifique isso). Quado isso acotece dizemos que a imagem do cojuto dado é o cojuto vazio. Exemplo 2.3.a (ITA) Cosidere o cojuto dos complexos tais que: z i.a k ode a e k são costates reais positivas tais que a > k. Determie o complexo z pertecete à imagem desse cojuto com o meor argumeto. Solução: A represetação geométrica do cojuto o plao complexo é a mostrada a Fig. I Note que as images de z percorrem a circuferêcia ilustrada, ou o iterior dela, e para que z teha argumeto míimo z deve ser tal que seu vetor represetate seja tagete à circuferêcia. Do triâgulo retâgulo OAT formado segue: a² = z ² + k² z = a² k² a A O Im k z T Z arg. Mí. Re Fig. I Da geometria do problema, é fácil ver que: k z a² k² cos= se= = a a a Logo o complexo de argumeto míimo será: 2 2 2 2 k a k z = z.cis = a k. + i. a a k a² k² z = k. 1 + i. a a 2

70 Matemática em Nível IME/ITA 2.4 Exercícios de Fixação Exercício 2.1 Dados dois vértices (0,0) e (4,3), qual é a coordeada do terceiro vértice que faz desse polígoo um triâgulo eqüilátero? Exercício 2.2 Dados dois vértices (0,0) e (4,3), quais são as coordeadas dos outros dois vértices que fazem desse polígoo um quadrado cujos vértices dados são de um mesmo lado? Exercício 2.3 Determie uma codição etre z,w,u,v,z,w,u,v para que zw e uv sejam vetores paralelos o plao complexo. Exercício 2.4 Determie uma codição etre z,w,u,v,z,w,u,v para que zw e uv sejam vetores ortogoais o plao complexo. Exercício 2.5 Cosidere o poto (1,3) o sistema de coordeadas ortogoal. Determie as coordeadas do mesmo poto um sistema rotacioado de 30 o setido trigoométrico em relação ao sistema origial. Exercício 2.6 Cosidere u = 3 + 11i; v = 2 4i; w = 1+ 5i; z = 1+ i. Sobre os afixos desses complexos citados, podemos afirmar: (a) u,v,w são colieares (b) u,v,w formam um triâgulo eqüilátero (c) uv é paralelo a wz (d) uv é perpedicular a wz Exercício 2.7 (SBM; Colômbia) Dados um poto P sobre uma circuferêcia uitária e os vértices A 1,A 2,...A de um -ágoo regular 2 2 2 iscrito, prove quepa + PA +... + PA é costate. 1 2 Exercício 2.8 Se A 1,A 2,...A são vértices de um polígoo regular covexo iscrito em uma circuferêcia de raio uitário, prove que: ( A1A 2).AA ( 1 3).AA ( 1 4)...AA ( 1 ) = Exercício 2.9 (Putam 55) A 1,A 2,...A é um polígoo regular iscrito em uma circuferêcia de raio r e cetro O. P é um poto sobre OA1. Mostre que: k = k= 1 PA OP r.

2 Geometria e os Números Complexos 71 Exercício 2.10 Utilize o resultado do desafio (Exercício 1.34) para mostrar que os âgulos agudos do triâgulo retâgulo 3, 4, 5 são irracioais quado expressos em graus. Exercício 2.11 (Teorema de Napoleão) Seja ABC um triâgulo qualquer. Sejam BCD, ACE e ABF triâgulos eqüiláteros exteros do triâgulo ABC. Prove que os baricetros dos triâgulos BCD, ACE e ABF são vértices de um triâgulo eqüilátero. Exercício 2.12 Seja ABCD...PQ um polígoo regular de lados iscrito em um circulo de raio uitário. Calcule o produto das medidas das diagoais AC, AD,...,AP. Exercício 2.13 (ITA 03) Determie o cojuto dos úmeros complexos z para os quais o úmero w pertece ao cojuto dos Reais. Iterprete o cojuto geometricamete. z+ z+ 2 w = z 1+ z+ 1 3 Exercício 2.14 (ITA 06) Determie o cojuto A dos complexos z tais que: z 2z + = 3 e 0 < z 2i 1 z 2i z+ 2i

74 Matemática em Nível IME/ITA Capítulo 3 Números Complexos Aplicação em Somatórios Neste capítulo apresetaremos mais uma aplicação de úmeros complexos em possíveis situações de questão tato do IME quato do ITA. A dificuldade do assuto está em saber exatamete quado utilizar a ferrameta apresetada para resolver problemas de somatórios, que ão são resolvidos covecioalmete usado úmeros complexos. 3.1 Somatórios Biomiais Algo iteressate que podemos retirar das propriedades de úmeros complexos é a propriedade cíclica de suas potêcias. Em ciclos de quatro potêcias o umero complexo i se repete. 0 4 8 12 i = i = i = i =... = 1 1 5 9 13 i = i = i = i =... = i 2 6 10 14 i = i = i = i =... = 1 3 7 11 15 i = i = i = i =... = i Vejamos como podemos tirar proveito disso. Vamos aalisar o desevolvimeto biomial cohecido como Biômio de Newto: 0 1 2 ( 1+ x) = C.( x) + C.( x) + C.( x ) +... + C.( x) 0 1 2 Dessa expressão do Biômio de Newto, podemos tirar algumas importates propriedades, também cohecidas como os teoremas do triâgulo de Pascal. Fazedo x = 1 a expressão do biômio: 0 1 2 1+ 1 = C. 1 + C. 1 + C. 1 +... + C. 1 ( ) () () () () 0 1 2 De ode segue o importate resultado, cohecido, como Teorema das Lihas do triâgulo de Pascal. 0 1 2 + + + + = C C C... C 2 Resultado 3.1.1 Aalogamete, fazedo x = 1 a expressão do biômio:

3 Complexos Aplicações em Somatórios 75 0 1 2 ( 1 1) = C.( 1) + C.( 1) + C.( 1 ) +... + C.( 1) 0 1 2 De ode segue mais um importate resultado: ( ) 0 1 2 3 C C + C C +... + 1 C = 0 Resultado 3.1.2 Somado os dois últimos resultados 3.1.1 e 3.1.2, e dividido por 2 os dois membros da soma, temos aida: 0 2 4 1 + + + = C C C... 2 Resultado 3.1.3 Da mesma forma, subtraido os mesmos resultados 3.1.1 e 3.1.2, e dividido por 2 os dois membros da soma, temos também: 1 3 5 1 + + + = C C C... 2 Resultado 3.1.4 OBS: Usamos as reticêcias (...) para represetar os demais biomiais da mesma seqüêcia (cuidado para ão achar que existem ifiitos termos essa sequêcia). Cotiuaremos a usar essa otação os próximos exemplos.

3 Complexos Aplicações em Somatórios 79 Procuramos um úmero que se repita em potêcias de 3. Ou seja, procuramos um úmero z, tal que 0 3 6 z = z = z =... Ou aida: 3 z 1 = Ora, ós cohecemos os complexos que possuem essa propriedade, e, iclusive, já os estudamos! Basta tomar z como sedo uma das raízes triplas da uidade. 2.k. π z = cis, k = 0,1,2 3 Ou seja, é acoselhável que aalisemos o comportameto do desevolvimeto de Newto, para o biômio, por exemplo: 2π 1+ cis 3 A soma acima foi pedida justamete em uma prova do IME do ao de 2005, e ecotra-se a lista de exercícios a seção 3.3 (Exercício 3.4). Sua resolução pode ser ecotrada o capítulo 7. 3.2 Outras Somas Vimos a seção aterior que somatórios muitas vezes estão ligados aos úmeros complexos. As resoluções de questões evolvedo esses somatórios se baseiam a forma trigoométrica da represetação de um complexo e se utilizam das suas propriedades (Lei de De Moivre, por exemplo). É comum vermos também progressões geométricas como sedo a saída de problemas do mesmo gêero. Vejamos um exemplo a seguir: Exemplo 3.2.a (Spiegel) Determie o valor da soma, para atural, tal que > 1: ( ) 2π 4π 6π 2 1 π S = se se se... se + + + +

80 Matemática em Nível IME/ITA Solução: Os termos do somatório são fuções seo com o argumeto crescedo em progressão aritmética. A experiêcia adquirida a seção aterior os sugere aalisar a seguite soma: 2π 2π 2π 2π A = cis cis 2. cis 3.... cis ( 1 ). + + + + Ora, pela Lei de De Moivre a soma A tora-se: 2π 2π 2π 2π A = cis cis cis... cis + + + + 2π Sedo: z = cis 1 Temos: A = z + z² + z³ +... + z 2 3 1 Note que a soma A é exatamete uma soma de termos em progressão geométrica de razão z. 1 z 1 z z A = z. = z 1 z 1 Da Lei de De Moivre: 2π z = cis z = 1 1 z Portato A = = 1 z 1 para > 1 Ora, pela costrução da resolução, sabemos que a soma pedida S é justamete a parte imagiária de A, que é ula ( ) 2π 4π 6π 2 1π S = se se se... se 0 + + + + = Exemplo 3.2.b (SBM) Determie o valor da soma, ligeiramete diferete da aterior para atural: π 2π 3π π S = se se se... se + + + +

3 Complexos Aplicações em Somatórios 87 ( ) ( ) 2π 2π 2. 1 π 2 1 π 1 cis 1 cis... 1 cis 1 cis ² = Percebedo que, a cada 2 termos do produto, temos algo do tipo: 1 cis 1 cis = 2 cis+ cis = 2 2.cos ( )( ( )) ( ( )) Aplicado isso o produto: 2π 4π 2. ( 1) π 2 2.cos 2 2cos... 2 2cos ² = ( ) 1 2π 4π 2 1π 2. 1 cos. 1 cos... 1 cos ² = Portato: ( ) 2π 4π 2 1π ² 1 cos. 1 cos... 1 cos = 2 1 3.5 Exercícios de Fixação Exercício 3.1 Cosidere o seguite desevolvimeto: ( ) 2 2 1+ x + x² = A + A.x + A.x +... + A.x 0 1 2 2 Determie expressões matemáticas simplificadas para as seguites somas: a) A + A + A +... + A b) A + A + A +... + A 0 1 2 2 0 2 4 2 c) A + A + A +... + A d) A A + A A +... 1 3 5 2 1 0 2 4 6 e) A A + A A +... f) A + A + A +... 1 3 5 7 0 4 8 Exercício 3.2 Calcule uma expressão matemática para a soma: 2 6 10 14 C + C + C + C... =? Exercício 3.3 Faça o mesmo para a soma: 3 7 11 15 C + C + C + C... =?

88 Matemática em Nível IME/ITA Exercício 3.4 (IME-05) Sejam as somas S 0 e S 1 defiidas por: 0 3 6 9 3 /3 S = C + C + C + C +... + C 0 1 4 7 10 3(1)/3 + 1 1 = + + + + + S C C C C... C Calcule o valor de S 0 e S 1 em fução de, sabedo que r represeta o maior iteiro meor ou igual a r. Sugestão: utilize o desevolvimeto do biômio de Newto para 2π 1+ cis 3 Exercício 3.5 (ITA 95 adaptada) Para cada pertecete aos aturais, quato vale a seguite soma? 2 4 4 2 1 C + C... C + 1 4 4 4 Exercício 3.6 Determie uma expressão matemática simples, em fução de x para a seguite soma: ( ) + ( ) + ( ) + + ( ) 1 2 3 C.se x C.se 2x C.se 3x... C.se.x Exercício 3.7 Mostre (sem ecessariamete utilizar úmeros complexos) : k= 0 ( ) k 1 2 = + k².c.2. 1.2 Exercício 3.8 Faça o mesmo para a soma, com k sedo tomado em grupos de 4: k= 0,4,8,... k².c Exercício 3.9 Mostre (sem ecessariamete utilizar úmeros complexos): k= 0 ( ) k k 1 k + 1.C =.2 + 2 Exercício 3.10 Faça o mesmo para a soma, com k sedo tomado em grupos de 4: k= 1,5,9,... k ( k + 1 ).C Exercício 3.11 Mostre (sem ecessariamete utilizar úmeros complexos): k + 1 C 2 1 = k + 1 + 1 k= 0

3 Complexos Aplicações em Somatórios 89 Exercício 3.12 Faça o mesmo para a soma, com k sedo tomado em grupos de 4: k C k 1 k= 0,4,8,... + Exercício 3.13 (Spiegel) Mostre que: 2π 4π 6π 2 ( 1) π cos cos cos... cos 1 + + + + = Exercício 3.14 Determie uma expressão simples para as somas: ( ) + ( ) + ( ) + + ( ) a) cos x cos 2x cos 3x... cos x b) se(x) + se(2x) + se(3x) +... + se(x) 1 Exercício 3.15 (ITA 04) Sedo z =.( 1+ i), calcule: 2 60 k= 1 k 2 3 60 z = z + z + z +... + z Exercício 3.16 Iterprete geometricamete o resultado da soma da questão aterior. 2003 Exercício 3.17 Calcule: Im ( 1+ 2i + 3.i² + 4.i³ +... + 2004.i ) Exercício 3.18 (Spiegel) Calcule: ( 1) π 2π 3π π se se se... se Exercício 3.19 (ITA adaptada) Sejam x e y úmeros reais tais que: x³ 3xy² = 1 3x²y y³ = 1 Etão o úmero complexo x+ i.y é tal que z³ e z valem? Exercício 3.20 A partir dos resultados do Exercício 2.8, usado um argumeto geométrico, determie ovamete o valor do produto: ( 1) π 2π 3π π se se se... se

90 Matemática em Nível IME/ITA Capítulo 4 Poliômios 4.1 A História dos Poliômios Ao logo da história da humaidade, um dos problemas mais fasciates etre os matemáticos atigos era o de resolver equações poliomiais. Para que valores de x, por exemplo, seria satisfeita a equação: x² 5x + 6 = 0? A solução de equações do 2º grau creditadas ao hidu Báskara é a verdade, de autoria de Sridahara, do século XI, também hidu. Os hidus participaram com um grade papel a matemática, juto aos árabes, uma vez que uma das grades potêcias da matemática, a Grécia atiga, estagou-se em suas pesquisas durate à ivasão de seu território pelo Império Romao. Uma das grades discussões matemáticas registradas a história é a ocorrida etre os matemáticos italiaos Girolamo Cardao e Nicoló Fotaa, mais cohecido como Tartaglia (Tartaglia traduzido a português sigifica gago, apelido dado ao matemático devido aos seus distúrbios de fala) em meados do século XVI. Naquela época eram comus publicações auais de matemática, os quais as metes brilhates da Europa propuham desafios a outros matemáticos. Publicações essas que faziam crescer o ome de muitos matemáticos que cohecemos historicamete hoje, como Newto, irmãos Berouilli, Leibiz, etre outros. A história diz que o iício do século XVI o matemático Scipioe del Ferro descobriu uma solução para a equações do tipo x³ + px + q = 0, porém faleceu ates de publicá-la. Seu discípulo, Atoio Fior, cohecia o método e resolveu publicar em uma dessas edições auais o desafio, afim de egradecer seu ome perate os matemáticos cotemporâeos. O desafio costava em dar as soluções uméricas de equações do tipo que del Ferro havia estudado. O matemático Tartaglia, um humilde matemático de origem pobre, aceitou o desafio e respodia todos com respostas diretas e precisas a respeito das raízes, porém ão revelava seu método de obteção das mesmas. Por mais que Fior ousava desafiar Tartaglia, a resposta viha sempre com precisão por parte do matemático com distúrbio de fala. Para fializar a humilhação para cima de Fior, Tartaglia propôs um desafio ao mesmo que era de resolver equações do tipo: x³.x² px q 0 + + + =. Ao matemático Fior, que ão tiha méritos o suficiete para respoder ao

4 P o l i ô m i o s 91 desafio, restou aceitar a humilhação perate todos os matemáticos cotemporâeos. Nesta mesma época, Girolamo Cardao, também italiao, estava escrevedo um trabalho de Álgebra, e solicitou a Tartaglia que revelasse o método de resolução das equações do 3º grau para que fosse publicado, com os devidos créditos, o seu livro. Tartaglia recusou, alegado que iria publicar ele mesmo o método. Cardao era cohecido por sua falsidade, mas mesmo assim coseguiu covecer (sob juras de que seria devidamete creditado) o matemático Tartaglia a revelar a solução. Quebrado sua promessa, em meados do século, surgiu a publicação Ars Maga cotedo a solução das equações do 3º Nicolo Fotaa Tartaglia grau sem meção alguma ao seu coterrâeo. Com a solução de equações cúbicas cohecida, um grade problema a matemática surgiu (refira-se à itrodução histórica dada aos Números Complexos o capítulo 1 deste livro) quado os matemáticos pararam para aalisar melhor a solução de Cardao-Tartaglia para equações do 3º grau: x³ = a.x + b. A solução vida do matemático italiao dizia que: 2 3 2 3 b b a b b a x = 3 + + 3 2 2 3 2 2 3 Até o mometo ão era tido como algo matematicamete verdadeiro a raiz quadrada de úmeros egativos, de modo que equações como x³ = 15.x + 4, ão apresetassem soluções de iterpretação matemática cocreta, uma vez que de acordo com a solução de Tartaglia: 3 3 x = 2 + 121 + 2 121 Desta forma criou-se em paralelo ao estudo das equações algébricas poliomiais, o estudo dos Números Complexos.

96 Matemática em Nível IME/ITA II) Poliômios do 3º Grau sem o termo do 2º grau (Regra de Cardao) A partir do grau 3, fica mais difícil determiar algebricamete (sem o auxílio de outras codições do problema) as raízes para o poliômio, em geral. Veremos mais a frete (pedimos que por equato o leitor apeas acredite) que todo poliômio do 3º grau com coeficietes reais, admite pelo meos uma raiz real. A Regra de Cardao mostra que é possível determiar um algoritmo para achar essa raiz para um poliômio de 3º grau do tipo: Ex: P(x) = x³ + b.x + c, b,c * P(x) = x³ + b.x + c, b,c Vamos supor uma raiz real do tipo: α = u+ v com u e v a serem determiados. ( ) ³ ( ) ³ ³ ³ ³ P( α ) = 0 u+ v + b. u+ v + c= 0 ( ) ( ) ( ) ( ) u + 3.u.v.(u+ v) + v + b.(u+ v) + c = 0 u + v + u+ v. 3.u.v + b + c = 0 Queremos achar u e v para que a igualdade acima seja satisfeita. Vamos tomar, por exemplo, u e v tais que: ³ ³ u + v = c 3.u.v = b Para u e v acima, teremos α = u + v sedo raiz do poliômio. Podemos, aida, escrever: u³ + v³ = c b³ u.v ³ ³ = 27 Vamos deotar: u³ = p, v³ = q p + q = c b³ 1 b³ b³ p +. = c p² + c.p = 0 p.q = 27 p 27 27 Usado a Regra de Báskara para resolver a equação do 2º grau acima: Voltado às variáveis u e v: ² ³ ² ³ c c b c c b p = + ; q = + + 2 4 27 2 4 27 *

106 Matemática em Nível IME/ITA Exemplo 4.3.b (IME 1994) Mostre que P(x) é divisível por Q(x) ode P e Q são os dados: 999 888 777 666 555 444 333 222 111 P(x) = x + x + x + x + x + x + x + x + x + 1 9 8 7 6 5 4 3 2 Q(x) = x + x + x + x + x + x + x + x + x + 1 Solução: Vamos determiar todas as raízes de Q(x): 9 8 7 6 5 4 3 2 Q(x) = x + x + x + x + x + x + x + x + x + 1 10 x 1 O desevolvimeto de Q(x) é uma soma de P.G. de razão x: Q(x) = x 1 Portato, as raízes de Q(x) serão do tipo α, tais que: 10 10 α 1 α 1= 0 Q( α ) = 0 = 0 α 1 α 1 Utilizado a fórmula 1.6.1 da seção de Números Complexos, temos que as raízes de Q(x) são: 2kπ α= cis, k = 1,2,3,...,9 10 Verifiquemos se todas essas raízes são raízes de P(x): ( 111 9 ) ( 111 8 ) ( 111 7 ) ( 111 6 5 ) ( 111 ) ( 111 ) P( α ) = α + α + α + α + α +... + α + 1 = 10 2kπ 2k 10 111 111 10 cis 1 π cis ( α ) 1 ( α ) 1 10.10 10 = = = = 111 111 111 111 α 1 α 1 α 1 α 1 111 ( cis( 2kπ) ) 1 1 1 = = = 0 111 111 α 1 α 1 Portato, todas as raízes de Q(x) são raízes de P(x). Do Resultado 4.3.3, temos que P(x) é divisível por Q(x). 111 111 1 Exemplo 4.3.c (ITA adaptada) Supohamos que os poliômios P(x), Q(x), p(x) e q(x) satisfaçam as seguites codições: P(x).p(x) + Q(x).q(x) = 1 x P( p(1) ) = 0, Q(0) = 0 Mostre que p(x) ão é divisível por (x 1).

4 P o l i ô m i o s 113 Como as raízes estão em progressão aritmética, podemos dizer que são do tipo: α r, α, α+ r Das relações de Girard para o poliômio, obtemos: 1 SG = ( α r) + ( α ) + ( α+ r) = 15 3α = 15 α = 5 3 SG = ( α r ).( α).( α+ r) = 80 α. ( α² r² ) = 80 r = ± 3 De ode segue que as 3 raízes são: 2, 5, 8 4 3 2 Exemplo 4.4.b Para o poliômio P(x) = x 5.x + 9x 8 determie a soma dos quadrados das suas raízes. Solução: Não sabemos o método prático de determiar as raízes do poliômio do 4º grau dado. Porém, para calcular a soma dos quadrados delas ão é preciso que as coheçamos idividualmete. Sejam a, b, c, d essas raízes: Das relações de Girard para o poliômio, obtemos: 1 S G = (a+ b+ c+ d) = 0 2 SG = ( a.b + b.c + a.c + a.d + b.d + c.d) = 5 Levado em cosideração que: ( a+ b+ c+ d ) ² = a² + b² + c² + d² + 2. ( a.b+ a.c+ a.d+ b.c+ b.d+ c.d) Teremos: a² + b² + c² + d² = ( a + b + c + d ) ² 2. ( a.b + a.c + a.d + b.c + b.d + c.d) S 1 = 0 S 2 = 5 G a² + b² + c² + d² = 10 G OBS: Note que, o exercício aterior, calculamos a soma dos quadrados das raízes do poliômio, sem cohecermos as mesmas, ou sequer sabermos se as raízes eram reais puras ou ão. De fato, o resultado de Girard é geral, e ão faz essa distição, os permitido aplicá-lo para qualquer poliômio de coeficietes complexos.

118 Matemática em Nível IME/ITA k k 1 k 2 k 3 α + α + α + α = a. b. c. d. 0 k k 1 k 2 k 3 a. β + b. β + c. β + d. β = 0 γ k + γ k 1 + γ k 2 + γ k 3 = a. b. c. d. 0 Se somarmos membro a membro as 3 equações teremos: k k k k 1 k 1 k 1 ( ) ( ) a. α +β + γ + b. α +β + γ + S * * k Sk 1 k 2 k 2 k 2 k 3 k 3 k 3 ( ) ( ) + c. α +β +γ + d. α +β +γ = 0 S * * k 2 Sk 3 Exemplo 4.5.a Sedo a, b, c, d as raízes do poliômio x 4 5.x 2 + 2x + 1= 0, 4 4 4 4 determie a soma a + b + c + d. Solução: A soma pedida é justamete S * 4 (leia-se S quatro de Newto ). Pelo teorema de Newto (4.6.1), temos: * * * * * 4 3 2 1 0 (S ) + 0.(S ) 5.(S ) + 2.(S ) + 1.(S ) = 0. Calculado as demais somas de Newto ecessárias: * S2 = a² + b² + c² + d² 2 = a + b + c + d 2. ab + ac + ad + bc + bd + cd 2 = ( S 1 ) ( 2 G 2. SG) = ( 0 ) ² 2. ( 5) = 10 * 1 (S 1) = a + b + c + d = (S G) = 0 * 0 0 0 0 (S 0) = a + b + c + d = 4 ( ) ( ) Substituido a expressão de Newto: * * 4 3 (S ) + 0.(S ) 5 10 + 2 0 + 1 4 = 0 * 4 4 4 4 4 S = a + b + c + d = 46

136 Matemática em Nível IME/ITA 4.9 Exercícios de Fixação Exercício 4.1 (ITA 2005 adaptada) O úmero complexo 2 + i é raiz do poliômio x 4 + x 3 + p.x 2 + x + q com p, q sedo reais. Determie todas as raízes do poliômio. Exercício 4.2 (IME/ITA) Mostre que é racioal: 3 3 2+ 5 + 2 5 Exercício 4.3 (ITA 2003) Sejam a, b, c, d costates reais. Sabedo que a divisão de x 4 + a.x 2 + b por x 2 + 2x+ 4 é exata, e que a divisão de x³ + c.x² + dx 3 por x² x+ 2 tem resto igual a 5. Determie o valor de a + b + c + d. Exercício 4.4 (IME) O poliômio P(x) de grau 2 + 1 tem todos os seus coeficietes iguais a 1. Ao dividirmos P(x) por D(x) do 3º grau ecotramos o resto R(x). Sabedo que as raízes de D(x) são distitas e são raízes de 4 x 1 e D(1) é ão ulo, determie R(x). Exercício 4.5 (IME-1979) Resolva as equações abaixo sabedo-se que a primeira tem uma raiz cujo valor é o triplo do valor de uma raiz da seguda. ³ ² x 7.x 204x + 1260 = 0 x³ 15.x² 394x + 840 = 0 Exercício 4.6 (IME-1983) Determie os valores de m para os quais as raízes da equação biquadrada abaixo sejam reais e estejam em progressão aritmética. 4 2 x 3m+ 5.x + m+ 1 = 0 ( ) ( ) ² Exercício 4.7 Demostre as relações de Girard (Resultado 4.4.1) pelo processo de Idução Fiita. Exercício 4.8 (IME - 2006) Cosidere o poliômio: x 5 3.x 4 3.x 3 + 27.x 2 44.x + 30 Sabedo que o produto de duas de suas raízes complexas é igual a 3 i e que as partes reais e imagiárias de todas as suas raízes são iteiras e ãoulas, calcule todas as raízes do poliômio.

4 P o l i ô m i o s 137 Exercício 4.9 (IME) Sem resolver a equação, calcule o valor do somatório dos iversos dos cubos das raízes (para m iteiro maior que zero): 4 3 2 m.x + 8.x 139.x 18.x + 9 = 0 Exercício 4.10 Determie as soluções da equação abaixo dados que uma das raízes é igual à soma das outras duas. 36.x³ 12.x² 5x + 1 = 0 Exercício 4.11 (IME - 1995) Determie o valor de b para que o poliômio, 4 3 2 de coeficietes reais, x + a.x + b.x + c.x + d teha quatro raízes ão-reais, duas somado 3 + 4.i e as outras duas com produto 13 + i. Exercício 4.12 (IME 2006 adaptada) Seja p(x) um poliômio do 5º grau com coeficietes iteiros (sedo o coeficiete do termo de maior grau uitário). Sabe-se que as cico raízes de p(x) são úmeros iteiros positivos, sedo quatro deles pares e um ímpar. O úmero de coeficietes pares de p(x) é? Exercício 4.13 Mostre que a fatoração a seguir é válida. ( ) 2 2 3 4 5 6 1+ x + x² + x³ 1+ 2x + 3x + 4x + 3x + 2x + x Exercício 4.14 (IME - 2003) As raízes distitas do poliômio a seguir são 2 3 23 24 25 47 z 1,...,z. P(x) = x + 2.x + 3.x +... + 23.x + 24.x + 23.x +... + x Seja bk a parte real de z k ². Determie o valor da soma: b1 + b 2 +... + b Exercício 4.15 (IME - 2000) Determie todos os úmeros iteiros m e para m 3 m 3 m os quais o poliômio 2.x + a.x a é divisível por x + a, ode a é ão-ulo. Exercício 4.16 O valor da soma das raízes comus às equações é 4 3 2 x 7.x + 16.x 15.x + 3 = 0 4 3 2 x 3.x x 7.x+ 2 = 0 Exercício 4.17 (IME 2004 adaptada) Determie o valor das raízes comus das equações: 4 x 2x³ 11.x² + 18.x + 18 = 0 4 x 12x³ + 44.x² 32.x 52 = 0 Exercício 4.18 Determie o poliômio do 3º grau que satisfaça P( x 1) = P( x) + ( 2x) 2 e utilize o resultado para determiar a soma:

138 Matemática em Nível IME/ITA 2² + 4² + 6² +... + ( 2 ) ² Exercício 4.19 (ITA 1994) A idetidade abaixo é valida para todo x real, diferete de -1. Determie o valor de a + b + c. x³ + 4 a b.x+ c 1+ + x³ + 1 x+ 1 x² x+ 1 Exercício 4.20 (ITA) Se x³ + px + q é divisível por x² + ax + b e x² + rx + s, demostrar que b = r. ( a+ r). Exercício 4.21 (ITA 1999) Seja P(x) um poliômio de grau m, A(x) e B(x) poliômios de grau maior que um e admita que existam poliômios C(x) e D(x) tais que a igualdade A(x).C(x) + B(x).D(x) = 1 se verifique para todo x real. Prove que A(x) ão é divisível por B(x). Exercício 4.22 Determie o maior valor de k iteiro para o qual ( x 1) k x 2+ 1 2+ 1.x + 1 + 2+ 1.x 1. divide ( ) ( ) Exercício 4.23 (ITA) Verifique a veracidade da afirmação: Seja P(x) um poliômio de grau m. Mostre que, se P(x) admite raiz iteira, etão P( 1).P(0).P(1) é divisível por 3. Exercício 4.24 (IME - 2001) Determie a codição que os coeficietes de P(x) do quarto grau devem satisfazer para que P(x) = P(1-x) para todo x real. Resolva este exercício utilizado a codição de idetidade etre dois poliômios. Exercício 4.25 (ITA adaptada) Seja um poliômio P(x) do 6º grau, com P(0) = 1 e tal que: P(1) = P( 1) = P(2) = P( 2) = P( 3) = P(3) = 2. Determie o valor de P(4). Exercício 4.26 (IME) Seja um poliômio P(x) do 5º grau tal que a divisão de P(x) por ( x+ 1) 3 os dá resto 1 e a divisão por ( x 1) 3 os dá resto 1. Determie P(x). Sugestão: Mote as equações de divisão euclidiaa do euciado e derive-as com relação à variável x. Exercício 4.27 (ITA 1994) As raízes da equação de coeficietes reais x³ + a.x² + b.x+ c = 0 são iteiros positivos cosecutivos. A soma dos quadrados dessas raízes é igual a 14. Etão, quato vale a² + b² + c²?