Progressões Aritméticas Itrodução Chama-se seqüêcia ou sucessão umérica, a qualquer cojuto ordeado de úmeros reais ou complexos. Exemplo: A=(3, 5, 7, 9,,..., 35). Uma seqüêcia pode ser fiita ou ifiita. Seqüêcia P=(0,, 4, 6, 8,... ) é ifiita. Seqüêcia geérica: (a, a, a 3,..., a k,..., a,...) ode a é o primeiro termo, a é o segudo termo,..., a k é o k-ésimo termo,..., a é o -ésimo termo. (Neste caso, k < ). Exemplo: Y=(, 6, 8, 54, 6, 486,...) a 3=8, a 5=6, etc. Cosidere por exemplo a seqüêcia S cujo termo geral seja dado por a =3+5, ode é um úmero atural ão ulo. S=(8,, 4, 7, 0,...). Exemplo: a = +4+0, para * Z +. (5,, 3, 4, 55, 70,... ). a 6=70 porque a 6=6 +4.6+0=36+4+0=70. 0. Determiar os cico primeiros termos da seqüêcia defiida por: a = 4, IN*. 0. Cosideremos a seqüêcia defiida por a = 7, IN*. Determie o valor de a 5. 03. Costruir a seqüêcia defiida pelas relações: a = 7 a+ = a+ 3, IN* Coceito de Progressão Aritmética PA Chama-se Progressão Aritmética PA à toda seqüêcia umérica cujos termos a partir do segudo, são iguais ao aterior somado com um valor costate deomiado razão. : A=(, 5, 9, 3, 7,,...) r=4 B=(3,,, 30, 39, 48,...) r=9 C=(5, 5, 5, 5, 5, 5, 5,...) r=0 D=(00, 90, 80, 70, 60, 50,...) r=-0 3
Termo Geral de uma PA Seja a PA geérica (a, a, a 3,..., a,...) de razão r. a =a +.r a 3=a +r=(a +r)+r=a +r a 4=a 3+r=(a +r)+r=a +3r...... Podemos iferir (deduzir) das igualdades acima que: = + ( ) A expressão a = a + ( ) r é deomiada termo geral da PA. 04. Qual o milésimo úmero ímpar positivo? a a r 05. Qual o úmero de termos da PA: (00, 98, 96,..., )? Geeralizado: Sedo a j o termo de ordem j (j-ésimo termo) da PA e a k o termo de ordem k (k-ésimo termo) da PA, poderemos escrever a seguite fórmula geérica: aj=ak+(j-k).r 06. Se uma PA o quito termo é 30 e o vigésimo termo é 60, qual a razão? 07. Numa PA de razão 5, o vigésimo termo vale 8. Qual o terceiro termo? 08. Calcular o 50 o. termo da P.A. (-3,, 5, 9,...). 09. Determiar a P.A. que possui as seguites características: o 0 o. termo vale 48 e a soma do 5 o. com o 0 o. termo é igual a. 0. Ecotrar o primeiro termo egativo da P.A. (37, 35, 33,...).. Determiar x de modo que a seqüêcia ( x, x,4 x) + + seja uma P.A.. Iterpolar 0 meios aritméticos etre 7 e 9. 3. Quatos múltiplos de 3 existem etre 00 e 400. 3
Propriedades P. Numa PA, cada termo (a partir do segudo) é a média aritmética dos termos vizihos deste. P. Numa PA, a soma dos termos eqüidistates dos extremos é costate. P3. Soma dos primeiros termos de uma PA 4. Ecotrar três úmeros em P.A. cuja soma seja 33 e o produto, 440. 5. Costruir uma P.A. de quatro termos em que a soma dos dois primeiros é 8 e a dos dois últimos é 6. S = ( ) a +a. 6. Calcular a soma dos 50 primeiros termos da P.A. (, 3, 5,...) 7. Em relação à seqüêcia dos úmeros aturais ímpares, calcule: a) a soma dos trita primeiros termos; b) a soma dos primeiros termos. Questões ateriores da ANPAD 0. Um médico recomedou a Marcos que camihasse todos os dias para melhorar sua saúde. No primeiro dia, ele camihou x metros; o segudo dia, camihou o dobro do que percorreu o primeiro dia; o terceiro dia, camihou o triplo do que percorreu o primeiro dia; e assim sucessivamete. Ao fial de 0 dias, percorreu um total de 63.000 m. A quatidade de metros percorrida o primeiro dia foi de: a) 50m b) 00m c) 50m d) 300m e) 350m 0. Um carteiro etregou 00 telegramas em 5 dias. A cada dia, a partir do primeiro, etregou 7 telegramas a mais que o dia aterior. A expressão que represeta essa situação é: a) 4x+8=00 b) 5(x+7)=00 c) 5x+70=00 d) x=00/5 e) x=8/5 33
03. A soma dos primeiros úmeros pares positivos é: a) (+) b) (+) c) d) e) + 04. Dadas as seqüêcias: I. (, 6, 8, 54,...) II. (, 0, 50, 50,...) III. (,, 4, 64, 64 4,...) Suas fórmulas de recorrêcia são respectivamete: a) a = e a +=3a ; a = e a +=5; a = e a +=a, sedo. b) a = e a +=3; a = e a +=5; a = e a +=, sedo. c) a = e a +=3a ; a = e a +=5a ; a = e a +=a, sedo. d) a = e a +=3a ; a = e a +=5a ; a = e a +=(a ), sedo. e) a = e a +=3; a = e a +=0a ; a = e a +=a, sedo. 05. Cosidere a seguite fórmula recursiva: f(0)=500 f(+)=f()-, 0, iteiro. Etão o valor de f(500) é: a) b) 0 c) d) 499 e) 500 06. Sejam iteiro e a soma a: S = + + +...+.3 3.4 (+). Se = - (+) +, etão S é igual a) b) c) d) e) ( +) + + ( +) + ( +) 34
07. Roberval platou 65 mudas de árvores frutíferas em cateiros, de modo que, o segudo cateiro, platou o dobro de mudas do primeiro; o terceiro, platou tatas mudas quatas os dois ateriores jutos; o quarto cateiro, platou um úmero de mudas igual à soma do primeiro cateiro com o cateiro aterior; o quito cateiro, platou um úmero de mudas igual à soma do primeiro cateiro com o cateiro aterior e assim por diate, até platar todas as mudas. Sabedo-se que ele usou o maior úmero de cateiros possível e o úmero de cateiros é meor que, em quatos cateiros ele platou as mudas? a). b) 0. c) 9. d) 8. e) 7. 08. Um fazedeiro cotratou uma empresa para a costrução de uma estrada de 5 km de extesão. Como o terreo em que seria costruída a estrada ão era regular e o grau de dificuldade de costruçao da mesma era crescete, os pagametos deveriam ser realizados as seguites codiçoes: R$.000,00 pelos primeiros 500m, R$.000,00 pelos 500m seguites, e assim por diate, aumetado-se sempre de R$.000,00 o valor do serviço a cada 500m. Cosiderado-se esses dados, o valor total que a empresa recebeu foi de a) R$ 0.000,00. b) R$.000,00. c) R$ 40.000,00. d) R$ 55.000,00. e) R$ 0.000,00. x x x x 09. Se 3 + (3 + 4) + (3 + 8) +... + (3 + 5) = 37, o valor de 3 x pode ser a) /7. b) /4. c) /. d). e) 7. 0. Um estacioameto cobra R$,50 pela primeira hora. A partir da seguda, cujo valor é R$,00 até a décima seguda, cujo valor é R$ 0.40, os preços caem em progressão aritmética. Se um automóvel ficar estacioado 5 horas esse local, quato gastará seu proprietário? a) R$ 4,58 b) R$ 5,4 c) R$ 5,4 d) R$ 4,85 e) R$ 5,34 35