Mtemátic UNICAMP QUESTÃO 1 Em 1 de outubro de 01, Felix Bumgrtner quebrou o recorde de velocidde em qued livre. O slto foi monitordo oficilmente e os vlores obtidos estão expressos de modo proximdo n tbel e no gráfico bixo. ) Supondo que velocidde continusse vrindo de cordo com os ddos d tbel, encontre o vlor d velocidde, em km/h, no 0º segundo. QUESTÃO 1 Os ldos do triângulo ABC d figur bixo têm s seguintes medids: AB 0, BC 15 e AC 10. Tempo (segundos) 0 1 Velocidde (km/h) 0 5 70 105 10 b) Com bse no gráfico, determine o vlor proximdo d velocidde máxim tingid e o tempo, em segundos, em que Felix superou velocidde do som. Considere velocidde do som igul 1.100 km/h. ) Com bse n tbel, função que represent velocidde, em km/h, em função do tempo, em segundos, deve ser liner com V(x) 5 x. Portnto, V(0) 1 050 km/h. b) O vlor d velocidde máxim, segundo o gráfico, está entre 1 00 km/h e 1 00 km/h, mis próximo de 1 00 km/h, então um bo proximção pr velocidde máxim é de 1 0 km/h. O tempo que Felix demor pr pssr velocidde do som, segundo o gráfico, está entre 0 s e 5 s, ssim um bo proximção seri 7 s. ) Sobre o ldo BC mrc-se um ponto D tl que BD e trç-se o segmento DE prlelo o ldo AC. Ache rzão entre ltur H do triângulo ABC reltiv o ldo AC e ltur h do triângulo EBD reltiv o ldo ED, sem explicitr os vlores de h e H. b) Clcule o vlor explícito d ltur do triângulo ABC em relção o ldo AC. Consideremos figur:
) Como DG // CA, pelo cso AA, temos H BF BC 15 ΔGBD ΔFBC. Logo h BG BD 5. b) Sej CF x. Como os triângulos BFC e BFA são retângulos em F, pelo Teorem de Pitágors temos: H + x 15 ( 1) H + ( 10 + x) 0 ( ) De () (1): (10 + x) x 15 175 + x. Substituindo em (1): H 15 + 15 + 1 + H 15 15. QUESTÃO 15 A superfície de um reservtório de águ pr bstecimento público tem 0.000 m de áre, formto retngulr e um dos seus ldos mede o dobro do outro. Ess superfície é representd pel região hchurd n ilustrção bixo. De cordo com o Código Florestl, é necessário mnter o redor do reservtório um fix de terr livre, denomind Áre de Proteção Permnente (APP), como ilustr figur bixo. Ess fix deve ter lrgur constnte e igul 100 m, medidos prtir d bord do reservtório. ) Clcule áre d fix de terr denomind APP nesse cso. b) Suponh que águ do reservtório diminui de cordo com expressão V(t) V 0 t, em que V 0 é o volume inicil e t é o tempo decorrido em meses. Qul é o tempo necessário pr que o volume se reduz 10% do volume inicil? Utilize, se necessário, log 10 0,0. ) Sendo x e x s dimensões do retângulo cuj superfície tem áre 0 000 m, temos: x x 0 000 + x 00 m. Assim, áre d fix de terr APP corresponde áres de setores circulres de medid ngulr 90º e rio 100 m mis dus vezes áre de um região retngulr de dimensões 00 m por 100 m mis dus vezes áre d região retngulr de dimensões 00 800 m por 100 m, ou sej, 1 100 $ $ π + $ ( 100 $ 00 + 100 $ 800 ) 10 000(π + ) m. b) Pr que o volume se reduz 10% do inicil, devemos ter V(t) 0,1 V 0 + V 0 t 0,1 V 0 + t 10 1 + log t log 10 1 + t 1 1 log 1 + t, meses log10 0, e 10 dis. QUESTÃO 1 A numerção dos clçdos obedece pdrões distintos, conforme o pís. No Brsil, ess numerção vri de um em um, e vi de 5, pr dultos. Nos Estdos Unidos numerção vri de meio em meio, e vi de,5 1 pr homens e de 5 15,5 pr mulheres. ) Considere tbel bixo. Numerção brsileir (t) Comprimento do clçdo (x) 5,8 cm 7, cm Suponh que s grndezs estão relcionds por funções fins t(x) x + b pr numerção brsileir e x(t) ct + d pr o comprimento do clçdo. Encontre os vlores dos prâmetros e b d expressão que permite obter numerção dos clçdos brsileiros em termos do comprimento, ou os vlores dos prâmetros c e d d expressão que fornece o comprimento em termos d numerção.
b) A numerção dos clçdos femininos nos Estdos Unidos pode ser estbelecid de mneir proximd pel função rel f definid por f(x) 5(x 0)/, em que x é o comprimento do clçdo em cm. Sbendo que numerção dos clçdos n k form um progressão ritmétic de rzão 0,5 e primeiro termo n 1 5, em que n k f(c k ), com k nturl, clcule o comprimento c 5. ) Como se dmite um relção fim entre t e x, equção que relcion x e t pode ser dd por: 7,, 8 x,8 (t 5) + 5 1 + x,8 (t 5) + x 0,5t +, Logo os vlores dos prâmetros c e d são 0,5 e,, respectivmente. Tmbém x 0,5t +, + t x 1, e os vlores de e b são, respectivmente, e 1,. b) Como n 1 5 e sequênci (n k ) é um progressão ritmétic de rzão 1, temos n 5 5 + (5 1) 1 7. Logo, f(c5 ) 7 + + 5 $ ( c5 0) QUESTÃO 17 7 + c 5, cm. N formulção de fertilizntes, os teores percentuis dos mcronutrientes N, P e K, ssocidos respectivmente nitrogênio, fósforo e potássio, são representdos por x, y e z. ) Os teores de certo fertiliznte stisfzem o seguinte sistem de equções lineres: x+ y z 0, 0 [ y+ z 0, 55 z 05, Clcule x e y nesse cso. b) Suponh que pr outro fertiliznte vlem s relções % x + y + z 5%, x 10%, y 0% e z 10%. Indique no plno crtesino seguir região de teores (x, y) dmissíveis pr tl fertiliznte. x+ y z 0, 0 x+ y 0, 5 ) [ y+ z 0, 55 + [ y 0, 0 + z 05, z 05, x 010, + [ y 015,, em prticulr, x 0,10 e y 0,15. z 05, b) Repre que, como x 10% e y 0%, x + y + z 0%. Assim, s restrições são: x+ y # % [ x $ 10% y $ 0% que, no gráfico, formm o conjunto de pontos cim de y 0%, à direit de x 10% e bixo d ret y x + %.
QUESTÃO 18 O digrm bixo indic distribuição dos lunos mtriculdos em três cursos de um escol. O vlor d menslidde de cd curso é de R$ 00,00, ms escol oferece descontos os lunos que fzem mis de um curso. Os descontos, plicdos sobre o vlor totl d menslidde, são de 0% pr quem fz dois cursos e de 0% pr os mtriculdos em três cursos. ) Por estrtégi de mrketing, suponh que escol decid divulgr os percentuis de desconto, clculdos sobre menslidde dos cursos dicionis e não sobre o totl d menslidde. Clcule o percentul de desconto que incide sobre menslidde do segundo curso pr queles que fzem dois cursos e o percentul de desconto sobre o terceiro curso pr queles que fzem três cursos. b) Com bse ns informções do digrm, encontre o número de lunos mtriculdos em pelo menos dois cursos. Qul probbilidde de um luno, escolhido o cso, estr mtriculdo em pens um curso? ) Um estudnte que fz dois cursos gnh um desconto de 0% de 00 0,0 0 00 0 reis, que corresponde 00 100% 0% em relção o curso dicionl, e um estudnte que fz três cursos gnh um desconto de 0% de 00 0,0 50 00 50 reis, que corresponde 00 100% 90% em relção o curso dicionl. b) Supondo que os cursos estão representdos por um triângulo, um qudrdo e um circunferênci, entre os 9 + 7 + + + + + 8 9 mtriculdos, 7 + + + 1 estão mtriculdos em pelo menos dois cursos e os 9 1 restntes estão mtriculdos em pens um curso, de modo que probbilidde pedid é. 9 QUESTÃO 19 Considere fmíli de rets no plno crtesino descrit pel equção ( p)x + (p + + 1)y + 8p + 0, ns vriáveis x e y, em que p é um prâmetro rel. ) Determine o vlor do prâmetro p pr que ret correspondente intercepte perpendiculrmente o eixo y. Encontre o ponto de interseção neste cso. b) Considere ret x + y + 1 0 dess fmíli pr p 1. Denote por A o seu ponto de interseção com o eixo x e por O origem do plno crtesino. Exib equção d circunferênci em que o segmento OA é um diâmetro. ) Pr que ret intercepte perpendiculrmente o eixo y, o coeficiente em x d equção ( p)x + (p + 1)y + 8p + 0 deve ser nulo, ou sej, p 0 + p. Um equção dess ret é ( + 1)y + 8 + 0 + y, ou sej, el intercept o eixo y no ponto (0; ). b) O ponto A tem bsciss x tl que x + 0 + 1 0 + x 1, e, como OA é um diâmetro, M ( ; 0), ponto médio de OA, é o centro dess circunferênci cujo rio mede. Assim, um equção dess circunferênci é (x + ) + y + + x + y + 1x 0. QUESTÃO 0 Num piscin em formto de prlelepípedo, s medids ds rests estão em progressão geométric de rzão q > 1.
5 ) Determine o quociente entre o perímetro d fce de mior áre e o perímetro d fce de menor áre. b) Clcule o volume dess piscin, considerndo q e áre totl do prlelepípedo igul 5 m. Sejm q, e q s dimensões d piscin. Note que, como q > 1, q < < q. ) A fce de mior áre tem dimensões e q e fce de menor áre tem dimensões ( + q) e. Logo rzão pedid é q d + n q ( 1 + q) 1 + 1 q. d n q b) A áre totl do prlelepípedo é d $ + $ + $ n 7 5 + m, de modo que o volume d piscin é 1 m. QUESTÃO 1 Considere o polinômio p(x) x 11x + k +, em que x é vriável rel e k um prâmetro fixo, tmbém rel. ) Pr qul vlor do prâmetro k o resto do quociente de p(x) por x 1 é igul? b) Supondo, gor, k, e sbendo que e b são rízes de p(x), clcule o vlor de π π send + n. b ) Pelo teorem do resto, devemos ter p(1) + 1 11 1 + k + + k 11. b) Pr k, temos p(x) x 11x +. 11 Se e b são rízes de p, + b 1 π π 11 e b. Assim, sen d + n 1 b π ( + b) 11π π send n sen sendπ n b π 1 sen. QUESTÃO R V S 1 α Considere mtriz Aα S 1 que depende do prâmetro rel α > S 1 α T X 0. ) Clcule mtriz (A α + A α ). b) Um ponto no plno crtesino com s coordends >H x y é trnsformdo pel mtriz A α em um novo ponto d seguinte form: x A x x+ αy > H α > H > 1. y y x yh α Clcule o vlor de α, sbendo que o sistem A x α > H < F dmite solução. y R V R S 1 α 1 ) Temos A α + A α 1 1 1 + S S S S α S α R V T X T S α S, logo (A α + A α ) S α R T X V R V S α S α S $ S S α S α T X T X V α 1 X R V S $ + α $ d n $ α+ α $ ( ) S α S $ $ d n $ α $ ( ) S α α α T X R V S 1 0 S S 1. 0 S T X b) Temos A x x αy + + 1 α < F < F > < + y x yh F α x+ αy x+ αy + x y + α x+ αy α α que tem solução se, e somente se, α + α.
QUESTÃO Um recipiente cúbico de rest e sem tmp, poido em um plno horizontl, contém águ té ltur. Inclin-se lentmente o cubo, girndo-o em um ângulo θ em torno de um ds rests d bse, como está representdo n figur bixo. Assim $ AE 1 + AE. Por ângulos lternos internos, temos que m (EDC t ) 90o θ & m (ADE t ) θ &tgθ AE 1. 1 π b) Se tgθ e 0 < θ <, existe ΔFGH, retângulo, como seguir: ) Supondo que o giro é interrompido extmente ntes de águ começr derrmr, determine tngente do ângulo θ. b) Considerndo, gor, inclinção tl que tn(θ) 1/, com 0 < θ < π/, clcule o vlor numérico d expressão cos(θ) sen(θ). Considere figur: 1 senθ Por Pitágors FH 17 e 17 [. cosθ 17 Logo, cos(θ) sen(θ) cos θ sen θ 1 1 1 senθ cosθ 17 17 7 17 17. 17 QUESTÃO Um stélite orbit.00 km d superfície d Terr. A figur bixo represent um seção pln que inclui o stélite, o centro d Terr e o rco de circunferênci AB. Nos pontos desse rco o sinl do stélite pode ser cptdo. Respond às questões bixo, considerndo que o rio d Terr tmbém mede.00 km. ) Do enuncido, temos que o volume de águ é e, dí, o volume vzio é 1. E, n figur, ele é representdo pelo prism de bse ΔAED.
7 ) Qul o comprimento do rco AB indicdo n figur? b) Suponh que o ponto C d figur sej tl que cos(θ) /. Determine distânci d entre o ponto C e o stélite. ) Sej O o centro d Terr e S o ponto que represent o stélite. O triângulo OBS é retângulo em B e tem hipotenus OS 00 + + 00 1 800 km e cteto OB 00 km. OB 00 1 Assim, temos cos SÔB + OS 1 800 + m (SÔB) 0º. Logo medid ngulr do rco AB é m (AÔB) m (SÔB) 0º 10º e o comprimento do rco AB é o 10 1 800π $ π $ 00 km. o 0 b) Aplicndo lei dos cossenos o triângulo OCS, temos SC OC + OS OC OS cos CÔS + d 00 + 1 800 00 1 800 + d 00 km.