MÓDULO - UL 1 ula 1 Áea de Supefícies - pate II Objetivos Defini sólidos de evolução. Detemina áeas de algumas supefícies de evolução. Intodução Considee um plano e uma linha simples L contida nesse plano. Essa linha simples podeia se um segmento de eta, uma poligonal simples, um pedaço de cículo ou qualque conjunto que, intuitivamente, pudéssemos esticá-lo e tansfomá-lo em um segmento de eta. Considee, ainda, uma eta contida nesse plano e que não cote L. Dado P L, sabemos que existe um único plano α passando po P e pependicula a. Seja O = α e chame de C o cículo contido em α, centado em O e de aio OP (veja figua 1). L C α O P Fig. 1: Rotação de um ponto em tono de um eixo. supefície S obtida pela união de todos os cículos C é chamada de supefície de evolução. Dizemos que S foi obtida pela otação de L em tono de. eta é chamada de eixo e L de geatiz da supefície de evolução (veja figua 1). S Fig. 1: Supefície de evolução. 195 CEDERJ
Se a linha L fo fechada ou se seus dois extemos petenceem ao eixo, a supefície de evolução delimita um sólido, chamado de sólido de evolução. O cilindo, o cone e a esfea são exemplos de supefície de evolução. O cilindo pode se obtido pela otação de um etângulo em tono de uma eta que contém um de seus lados; o cone pode se obtido pela otação de um tiângulo etângulo em tono de uma eta que contém um dos catetos, e a esfea pode se obtida pela otação de um semicículo em tono de uma eta que contém o diâmeto (veja figua 15). Fig. 15: Cilindo, cone e esfea como supefícies de evolução. Considee, agoa, a otação de um segmento de eta em tono de uma eta. Chame de R e R as distâncias de, espectivamente, e à eta. supefície de evolução obtida é um cone (R = 0 ou R = 0), um cilindo (R = R ) ou um tonco de cone (R R ) (veja figua 16). Fig. 16: Rotação de um segmento. CEDERJ 196
MÓDULO - UL 1 Se a supefície fo um cone ou um cilindo, já sabemos calcula sua áea. Calculaemos, agoa, a áea no caso em que a supefície é um tonco de cone. Paa isso, seja C = e sejam l = m() e c = m(c). Denote po O e O os pés das pependiculaes à eta baixadas de e, espectivamente (veja figua 17). C c O' R' l O R Fig. 17: CO CO. Obseve que a áea do tonco de cone é a difeença ente as áeas lateais de dois cones: um de aio R e geatiz l + c e outo de aio R e geatiz c. Logo, = πr(l + c) πr c Da semelhança dos tiângulos CO e CO, obtemos R c = R l + c Substituindo na equação anteio, tem-se = πrl + πr (l + c) πr c = πrl + πr l = π R + R l Note que R + R é exatamente a distância do ponto médio de à eta ou, o que é a mesma coisa, o aio do cículo obtido pela otação do ponto médio em tono de. Chamaemos esse cículo de cículo médio do tonco de cone. Então, a equação anteio nos diz que a áea lateal de um tonco de cone é o poduto do compimento do cículo médio pela geatiz. 197 CEDERJ
Paa os nossos popósitos, seá mais conveniente enconta uma outa expessão paa a áea lateal de um tonco de cone. Paa isso, sejam M o ponto médio de e s a eta pependicula a em M. Sejam D = s, a = m(md) e h a altua do tonco de cone. Façamos m = R + R (veja figua 18). R' F D a m M h s O R Fig. 18: Deteminação da áea lateal de um tonco de cone. Como os tiângulos MED e F são semelhantes (po quê?), tem-se m h = a, o que implica l (I) = πml = πah No caso em que R = R (nesse caso temos um cilindo), é clao que D = E, a = m = R e h é a medida da geatiz do cilindo. Logo, nesse caso, (I) também fonece a áea lateal de um cilindo. No caso em que R = 0 (nesse caso temos um cone), tem-se m = R lateal de um cone. e (I) também fonece a áea Confome veemos, a expessão (I) seá de gande utilidade na deteminação da áea de uma esfea. O númeo a da fómula (I), que é o compimento do segmento da mediatiz de localizado ente e, seá também chamado de apótema (a azão paa esse nome se tonaá claa na póxima seção). CEDERJ 198
MÓDULO - UL 1 Áea da esfea Considee um polígono egula de n lados e seja uma eta que passa po dois vétices opostos. supefície de evolução obtida pela otação do polígono em tono de é fomada po cones e po n toncos de cone. Veja na figua 19 dois casos paticulaes em que n = e n = 5. 8 1 10 1 9 7 8 6 5 7 6 5 (a) (b) Fig. 19: Rotação de um polígono de n lados em tono de uma eta que contém vétices opostos (a) n =. (b) n = 5. No caso em que n é ímpa, como na figua 19 (b), um dos n toncos de cone é, na vedade, um cilindo. Obseve que a soma das altuas dos cones e dos n toncos de cone é igual à distância ente dois vétices opostos, como 1 e 5 na figua 19 (a) e 1 e 6 na figua 19(b). Chamaemos essa distância de diâmeto do polígono. lém disso, tanto os apótemas dos cones quanto os apótemas dos toncos de cone coincidem com o apótema do polígono egula. O seguinte esultado é conseqüência imediata de (I): Poposição 9 Seja S a supefície de evolução obtida pela otação de um polígono egula de n lados em tono de uma eta que contém dois vétices opostos. Sejam a o apótema e d o diâmeto do polígono egula. Então a áea de S é igual a πad. Nosso objetivo agoa é detemina a áea de uma esfea. O caminho que seguiemos foi inspiado nas idéias oiginais de quimedes. Seja S uma esfea de aio R, a qual pode se vista como a supefície de evolução obtida pela otação de um semicículo C de aio R em tono do diâmeto. Inscevamos em C a metade de um polígono egula 1... n de n lados 199 CEDERJ
e cicunscevamos em C a metade de um polígono egula 1... n de n lados (veja na figua 0 um caso paticula em que n = ). 1 1 o 5 5 Fig. 0: Deteminação da áea de uma esfea. Sejam S 1 e S as supefícies de evolução obtidas pela otação de, espectivamente, 1... n+1 e 1... n+1 em tono da eta que contém o diâmeto. Devemos te (II) Áea(S 1 ) < Áea(S) < Áea(S ) Obseve que o diâmeto do polígono inscito é R e que o apótema do polígono cicunscito é R. lém disso, podemos pova facilmente ((veja os ) 180 o execícios desta aula) que o apótema do polígono inscito vale Rcos n R e que o diâmeto do polígono cicunscito vale cos (180 o /n). Segue de (II) e da poposição 9 que (III) ( ) 180 πr o cos < n Áea(S) < πr cos(180 o /n) s desigualdades (III) valem paa todo inteio positivo n. cos(180 o /n) < 1, tem-se ( ) 180 πr o cos < πr < n πr cos(180 o /n) Como CEDERJ 00
MÓDULO - UL 1 s desigualdades (III) e (IV) implicam ( ) Áea(S) πr < πr 1 cos(180 o /n) cos(180o /n) paa todo inteio positivo n. Como o lado dieito da desigualdade acima é tão pequeno quanto desejamos (paa n suficientemente gande), concluímos que Áea(S) πr = 0. Potanto, Poposição 50 áea de uma esfea de aio R é πr. Enceaemos esta aula tatando do que chamamos de segmento esféico e de calota esféica. Definição 19 Calota esféica é cada uma das pates em que fica dividida uma esfea quando cotada po um plano. Definição 0 Segmento esféico é cada uma das pates em que fica dividido o sólido limitado po uma esfea quando esta é cotada po um plano. Note que calota esféica é uma supefície (possui áea) e segmento esféico é um sólido (possui volume). Definição 1 Chamamos de altua de um segmento esféico a pate do diâmeto pependicula ao plano secante contida no segmento esféico (veja figua 1). Fig. 1: m() é a altua do segmento esféico. Definição Chamamos de altua de uma calota esféica a altua do segmento esféico coespondente. 01 CEDERJ
poposição a segui dá as fómulas paa o cálculo da áea de uma calota esféica e do volume de um segmento esféico. Poposição 51 áea de uma calota esféica de altua h é dada po = πrh e o volume ( de um segmento esféico de altua h é dado po V = πh R h ), sendo R o aio da esfea que contém a calota esféica. fómula paa o volume de um segmento esféico pode se deteminada atavés do Pincípio de Cavaliei, da mesma maneia que obtivemos a fómula paa o volume de uma esfea. fómula paa a áea de uma calota esféica pode se obtida de (I), usando um pocedimento análogo ao utilizado na deteminação da áea de uma esfea. Deixamos a pova da poposição 51 a cago do aluno (veja execícios e desta aula). Resumo Nesta aula você apendeu... calcula a áea da supefície de evolução obtida pela otação de um polígono egula em tono de um diâmeto. calcula a áea da esfea. calcula a áea de uma calota esféica e o volume de um segmento esféico. Execícios 1. Pove que o apótema de um polígono ( egula ) de n lados, inscito em 180 o um cículo de aio R é igual a Rcos. n. Pove que o diâmeto de um polígono egula de n lados, cicunscito R a um cículo de aio R, é igual a cos (180 o /n).. Pove que o( volume de um segmento esféico de altua h e aio R é igual a πh R h ).. Pove que a áea de uma calota esféica de altua h e aio R é igual a πrh. CEDERJ 0
MÓDULO - UL 1 5. Um cilindo equiláteo e uma esfea têm o mesmo volume. Detemine a azão ente suas áeas. 6. Uma esfea de 6 cm de aio é seccionada po um plano que dista cm do seu cento. Detemine as áeas das calotas obtidas. 7. Uma esfea de aio 8 cm é seccionada po dois planos paalelos α e β, distantes, espectivamente, cm e 5 cm do seu cento. Se o cento da esfea está ente α e β, detemine o volume do sólido compeendido ente α e β. 8. (CESGRNRIO, 1977) Uma laanja pode se consideada uma esfea de aio R, composta po 1 gomos exatamente iguais. total de cada gomo tem áea igual a: (a) πr (b) πr (c) π R (d) πr (e) πr supefície 9. (PUC-SP, 1971) medida dos lados de um tiângulo equiláteo C é a. O tiângulo C gia em tono de uma eta do plano do tiângulo, paalela ao lado C e passando po. O volume do sólido de evolução obtido é: (a) πa (b) πa (c) πa (d) πa (e) πa 5 10. figua mosta uma esfea de aio R e um cone eto de altua R cuja base é um cículo de aio R tangente à esfea. V D Fig. : Execício 10. Sabendo que o segmento V D, que liga o vétice do cone ao cento da base do cone, é um diâmeto da esfea, detemine o volume do sólido limitado pela esfea e pelo cone. 0 CEDERJ
11. (IT, 1975) s medidas dos catetos de um tiângulo etângulo são (sen x) cm e (cos x) cm. Um estudante calculou o volume do sólido geado pela otação desse tiângulo em tono da hipotenusa, e obteve como esultado π cm. Consideando esse esultado como ceto, podemos afima que x é, em ad, igual a: (a) π 6 (b) π (c) π (d) π 5 (e) N.R.. 1. (V.UNIF. RS, 1980) O volume do sólido geado pela otação de um tiângulo equiláteo de lado a em tono de um de seus lados é: (a) πa (b) πa (c) πa (d) πa (e) πa 1. (U. MCK, 1981) Na figua, o etângulo CD faz uma otação completa em tono de. D C Fig. : Execício 1. azão ente os volumes geados pelos tiângulos D e CD é: (a) 1 (b) 1 (c) (d) 1 (e) 1 1. (UFMG, 198) Consideem-se um etângulo CD e dois cilindos: um obtido giando-se CD em tono de e, o outo, giando-se o etângulo em tono de C. azão ente a soma dos volumes dos dois cilindos e a áea do etângulo, nessa odem, é 10π. O peímeto do etângulo é: (a) 10 (b) 0 (c) 0 (d) 0 (e) 50 15. figua mosta um seto cicula de aio 1 e ângulo igual a 0 o. 1 O 0 o Fig. : Execício 15. Detemine a áea total do sólido obtido pela otação do seto em tono de O. CEDERJ 0
MÓDULO - UL 1 16. figua 5 mosta duas linhas (L 1 e L ) e tês etas, s e t contidas em um plano, com s e t. s u L 1 L t Fig. 5: Execício 16. Suponha que cada eta u pependicula a e ente s e t cote L 1 e L em um único ponto e que a distância de L 1 u a seja meno que a distância de L u a. Podemos afima que a áea da supefície de evolução obtida pela otação de L 1 em tono de é meno que a áea da supefície de evolução obtida pela otação de L em tono de? Justifique sua esposta. 17. (UFF,1999) figua 17 epesenta um paalelogamo MNP Q. N P h M Q l Fig. 6: Execício 17. O volume do sólido obtido pela otação do paalelogamo em tono da eta supote do lado MQ é igual a: (a) π h (l + h) (b) π h l (c)πh (l + h) (d) πh(l + h) (e) πh l 05 CEDERJ