04: Trabalho de Coclsão de Crso do Mestrado Profissioal em Matemática - PROMAT Uiversidade ederal de São João del-rei - USJ / Camps Alto Paraopeba - CAP Sociedade Brasileira de Matemática - SBM A Razão Área e a seqêcia de iboacci Resmo Jaie Velloso do Amaral José Eloy Ottoi Este trabalho tem o objetivo de mostrar a relação etre a seqêcia de iboacci e a Razão Área. O livro Elemetos de Eclides cosiste em m tratado de geometria escrito em 300 a. C., ele aparece pela primeira vez a defiição da divisão de m segmeto em extrema e média razão qe reslta a Razão Área. Assim, tato professores qato estdates de várias áreas de cohecimeto referem-se ao Elemetos como m dos mais bem-scedidos livros da história da hmaidade. Em 0, m matemático italiao chamado Leoardo de Pisa, mais cohecido como iboacci toro-se cohecido através do livro Liber Abaci o Livro de Cálclo ode apreseta m problema sobre a reprodção de coelhos e defie a seqêcia ode, a partir do terceiro termo, cada termo é dado pela soma dos dois ateriores, ma recorrêcia de segda ordem. Essa seqêcia apreseto várias propriedades qe foram objeto de estdo de vários matemáticos ao logo do tempo. Uma das características dessa seqêcia é qe a seqêcia formada pelo qociete de m termo qalqer pelo se aterior tede a ma costate, sedo essa costate a própria Razão Área. Palavras-chave: Razão Área, iboacci, recorrêcia. Abstract The Golde Nmber ad the iboacci Seqeces This article iteds to show the relatioship betwee iboacci seqece ad the Golde Nmber Proportio. The Eclid s Elemets boo is a mathematical treatise writte by the gree mathematicia i 300 b. C. This boo has bee referred to scholars ad professors from may braches of owledge as oe of the most sccessfl textboo ever writte by hma beig. I 0, a mathematical Italia Leoardo of Pisa well-ow as iboacci pblished Liber Abaci or The Boo of Calclatio that describes the growth of a poplatio of rabbits. iboacci seqece is a serie of mbers where the ext mber is fod by addig p the two mbers before it. Throgh ay two sccessive (oe after the other) iboacci mbers, their ratio is very close to the Golde ratio. Keywords: iboacci Seqeces, Golde Nmbers, Recrrece. Liceciada em Matemática pelo Cetro Uiversitário Newto Paiva; Ala do PROMAT Uiversidade ederal de São João Del Rei Camps Alto Paraopeba (USJ-CAP). Orietador
Itrodção Pitágoras (7-497 a.c.) foi m importate filósofo e matemático grego, provavelmete discíplo de Tales de Mileto. Nasce a ilha de Samos, a costa do qe hoje é a Trqia. É possível qe teha viajado mito o iício da vida, pricipalmete pelo Egito e talvez à Babilôia, ode teria recebido pelo meos parte de sa edcação em matemática. Por fim emigro para ma peqea colôia grega em Crotoa, perto da extremidade sl da Itália, ode logo atrai m grpo de estdates. Estes segidores e discíplos são cohecidos hoje como pitagóricos. [] Os pitagóricos tiham verdadeiro fascíio pelos úmeros e cosideravam qe tdo o iverso, desde objetos materiais como a Terra até coceitos abstratos como jstiça, seria úmero, do iício ao fim. Para eles (os pitagóricos) o úmero represetava a perfeita ião do primeiro úmero femiio, com o primeiro masclio 3. Esta seria ma das possíveis explicações para a tilização do petagrama como símbolo qe os represetava. [] Não existem registros sobre a vida de Pitágoras o sobre sa Escola, e de acordo com algs estdiosos todo o esiameto ocorria de forma oral, sedo proibido qalqer tipo de registro escrito. [] Os pitagóricos formavam ma irmadade secreta e matiham o cohecimeto em comm, de forma qe é impossível fazer atribições idividais aos trabalhos. Eles se ecatavam com padrões e propriedades dos úmeros e seqêcias e acreditavam qe os úmeros estavam o coração de todas as coisas. [3] Em cerca de 300 a.c. o matemático Eclides descreve o Livro VI de sa obra Os Elemetos, a divisão de m segmeto em das partes dividido-o em razão média e extrema, motivado, possivelmete, pelas propriedades observadas o estdo do petagrama. A razão obtida a partir dessa defiição é m úmero irracioal cohecido como úmero de oro, o aida, razão área o proporção divia.
Essa forma de divisão de m segmeto em das partes há mito itriga estdiosos e criosos. Esse padrão de disposição geométrico já foi idetificado em obras de arte, costrções atigas, padrões atrais de disposição de semetes de flores, em casca de frtos e aida as proporções etre diversas partes do corpo hmao idealizado represetado simbolicamete a obra de Leoardo da Vici O Homem Vitrviao. (fig. 7) Em 0, iboacci, pblico o livro Liber Abaci o qal apreseto m problema sobre reprodção de coelhos. A resolção desse problema defie ma seqêcia de úmero iteiros de forma recorrete ode, cada termo a partir do terceiro, é dado pela soma dos dois ateriores, sedo os dois primeiros igais a. A seqêcia assim formada,,, 3,, 8, 3, e assim scessivamete leva se ome, Seqêcia de iboacci, e, assim como a Razão Área, já foi idetificada e observada em diversos elemetos de ocorrêcia atral e em obras exectadas por artistas em diferetes épocas. Objetivo A motivação para o presete estdo é a exposição da relação, ão óbvia, etre esses dois objetos: a Razão Área descrita por Eclides e a seqêcia de iboacci frto de m problema teórico qe aalisa a reprodção de coelhos.. A Razão Área Em Os Elemetos (Eclides), o livro VI, defiição III, lê-se: Uma liha se diz dividida em extrema e média razão, qado toda a liha é para o segmeto maior, como este segmeto maior é para o segmeto meor. [4] 3
Desde o séclo XIX essa razão é cohecida como Razão Área, também chamada de seção área o aida proporção divia. Seja o segmeto AB e C m poto iterior a AB qe divide AB em extrema e média razão. Cosiderado AC x e CB y. Com AC > CB temos qe x y x x xy y x y x y ± ( ) () Como e são úmeros positivos, descartamos o resltado egativo obtido em (). Obtedo dessa forma ( ) x y A razão x y x x y,6803398874989l é deomiada Razão Área e foi omeado como φ (letra grega fi). A escolha da letra φ seria ma homeagem a ídias (490-430 a.c.), famoso arqiteto e escltor grego qe vive em Ateas e foi o resposável pela orametação do Parteo costrção ode já foram verificados a ocorrêcia da Razão Área em diversos elemetos. [] O úmero é irracioal e como veremos mais a frete o petagrama, símbolo qe represetava os pitagóricos, apreseta em vários de ses elemetos a Razão Área. Esse é m fato crioso, pois é sabido qe Pitágoras ão recohecia a existêcia de úmeros irracioais. De acordo com ROONEY (0) Pitágoras ão era capaz de provar pela lógica qe os úmeros 4
irracioais ão existem, mas qado Hipaso de Metapoto (ascido em 00 a.c.) demostro qe a raiz qadrada de é irracioal e argmeto sa existêcia, diz a leda qe Pitágoras o afogo. LEMA - A icomesrabilidade etre a diagoal e o lado de m petágoo reglar. [] DEM.: Seja ABCDE m petágoo reglar de lado e diagoal. igra Petágoo reglar e sas diagoais 3 Os potos de iterseção das diagoais formam m ovo petágoo semelhate ao primeiro de lado e diagoal. igra Petágoos e petagramas semelhates 4 3 igra costrída o GeoGebra 4 igra costrída o GeoGebra
Spoha e segmetos comesráveis etre si, logo existe ma medida comm a e. Por semelhaça a razão etre e é igal a razão etre e e assim, a medida comm a e também será comm a e, esse processo pode ser repetido ifiitamete e os levará a coclir qe a medida comm etre e também será comm a todos os ifiitos petágoos idepedete de qão peqeos sejam. O qe os leva claramete a m absrdo, sigificado qe a sposição iicial de qe o lado e a diagoal do petágoo reglar tem ma medida comm é falsa, o qe completa a prova qe e são icomesráveis... A Razão Área a atreza e a arte. O fascíio de estdiosos e criosos por esse úmero especial está o fato de ser observado em diversos elemetos atrais, costrções atigas e aida em várias obras artísticas. Um dos diversos exemplos atrais é a cocha do Natils. [] O Natils (Natils pompilis) pode ser ecotrado os oceaos Ídico e Pacífico em ágas profdas (cerca de 0m abaixo da sperfície). É cosiderado por mitos m fóssil vivo e sa estrtra permaece ialterada há mais de 400 milhões de aos. igra 3 oto de corte logitdial da cocha do Natils 6 Dispoível em: http://www.seasy.org/deep-sea/chambered-atils.html acesso em: 07 ja. 04. 6
Sa cocha forma ma espiral logarítmica e a proporção de crescimeto sege a Razão Área. O mesmo padrão é observado a costrção de ma espiral a partir do retâglo áreo sas dimesões gardam etre si a Razão Área. Sege abaixo m esqema ema para costrção de m retâglo áreo de dimesões x, sedo. Com cotrimos m ovo retâglo semelhate ao primeiro de dimesões x, a razão e assim scessivamete. igra 4 Retâglo áreo 7 Otro exemplo ode ecotramos a preseça da Razão Área, é o Partheo, obra da arqitetra da Grécia atiga. A razão área ocorre em mitos de ses elemetos, com destaqe para a fachada, ode a razão etre largra e altra é aproximadamete igal a. igra oto do Partheo 8 6 Dispoível em: http://gallery.mailchimp.com/374c94fd634e49f8473600/images/natils_shell.jpg acesso em: 07 ja. 04. 7 igra costrída o GeoGebra 7
igra 6 Razão Área a fachada do Partheo 9 Além disso, os tempos da Grécia atiga, a razão área foi verificada em ma figra qe cosiste a ião das diagoais do petágoo, o Petagrama, qe o decorrer da história da hmaidade, servi de símbolo para a religiosidade cristã e posteriormete para a cltra eopagã. [] Veremos a razão área presete a geometria do petágoo e do petagrama mais adiate a seção.3.. Amates da cltra pagã, Michelagelo e Leoardo da Vici, tilizaram desta proporção em sas obras. Da Vici dissecava cadáveres e media a proporção de ses corpos para idetificar qe o corpo hmao é ma das úicas sbstâcias atrais qe obedeciam a Divia Proporção como pode ser visto em sa obra cohecida como O Homem Vitrviao. [] O Homem Vitrviao é ma obra de 490 e qe foi primeiramete baseada ma obra mais atiga sobre arqitetra do famoso Vitrúvio e qe faz meção às proporções divias perfeitas, portato este homem seria o ideal hmao; toda a obra tem proporções baseadas o úmero phi (,68) qe os gregos difdiram. 0 Na figra 7 temos a idetificação de segmetos merados qe estão em Razão Área. Dessa o forma observamos qe o segmeto 3 é igal a soma de e e está para assim como está para 3 (defiição de razão média e extrema de m segmeto descrita por Eclides). O mesmo é observados para os demais segmetos apresetados a figra 8. 8 Dispoível em http://pload.wiimedia.org/wiipedia/commos/d/da/the_partheo_i_athes.jpg acesso em 6 fev 04. 9 Dispoível em http://pld.modera.com.br/wp-cotet/ploads/0/08/matem%c3%atica- N%C3%BAmero-de-Oro-Parteo.jpg acesso em 6 fev 04 0 Dispoível em: http://academiadefilosofia.org/pblicacoes/olhar-filosofico/o-homem-vitrviao-leoardo-davici acesso em 07 ja. 04. 8
igra 7 O Homem Vitrviao Leoardo da Vici igra 8 A Razão Área em O homem vitrviao.. Propriedades de O úmero φ tem mitas características iteressates, vejamos algmas delas. Propriedade - φ φ. DEM.: Seja φ, etão φ 6 3 φ 4 4 Além disso, perceba qe se φ φ podemos escrever φ φ φ( φ ) φ o φ. φ φ Partido dessa última igaldade o úmero pode ser defiido como ma fração ifiita a forma φ L Dispoível em: http://derosealtodaxv.org.br/blog/wp-cotet/ploads/03/07/imagem-ilosofia-homem- Vitrviao-Leoardo-Da-Vici.jpg acesso em 07 ja. 04. Dispoível em http://image.slidesharecd.com/ageometriasagrada-0400908-phpapp0/9/slide-48-78.jpg?cb333303 acesso em 6 fev. 04 9
Voltado à igaldade φ a partir de otra fórmla ifiita φ podemos escrever φ φ e com isso pode ser defiido φ L O úmero apreseta aida otras propriedades iteressates: Propriedade - A soma de das potêcias iteiras cosectivas de reslta a próxima potêcia, o seja, φ φ DEM.: Partido da igaldade φ Z (válido também para R). φ, para todo Z. φ e mltiplicado ambos os lados por φ, com φ φ ( φ ) φ φ φ φ Propriedade 3 - A soma de todas as potêcias de expoete egativo e base reslta o próprio, o seja, φ φ. DEM.: φ φ φ φ 3 φ 4 L Os termos dessa soma formam ma progressão geométrica ifiita de razão q <, φ com primeiro termo a. Sabemos qe a soma ( ) dessa seqêcia pode ser φ expressa por a φ S q φ φ mltiplicado merador e deomiador por φ, temos φ φ S φ φ φ 0
Mas φ φ etão φ φ S φ φ φ.3. Costrção geométrica da razão área A divisão de m segmeto em razão média e extrema pode ser costrída geometricamete da segite forma. [6] Costrção Costrção geométrica da razão área. sobre ma reta sporte, determie o segmeto. marqe o poto médio de trace ma reta perpediclar a passado por. marqe sobre o poto tal qe traçar marcar o poto sobre tal qe. marqe sobre tal qe é o poto qe determia a divisão de em razão média e extrema. igra 9 Costrção geométrica da divisão de m segmeto pelo poto C em razão média e extrema. 3 3 igra costrída o GeoGebra
Jstificativa da costrção: e, o triâglo ABD é retâglo em B por costrção logo é a hipotesa Δ, pelo Teorema de Pitágoras: ( AD ) ( AB) ( BD ) x x x x x 0 x 4 4 Etão a razão etre e é AB AC x φ.3.. A Razão Área o petágoo e o petagrama A divisão de m segmeto em razão média e extrema (qe defie a Razão Área) aparece pela primeira vez a obra Os Elemetos. Mas por qe Eclides se daria ao trabalho de defiir essa determiada divisão de liha, ma vez qe o segmeto pode ser dividido em das partes de otras formas qe ão foram mecioadas? Uma das explicações está relacioada com o estdo do petagrama (fig. 8), heraça mística cltral dos pitagóricos e de Platão. Os pitagóricos eram obcecados pelos úmeros e tiham ma afiidade especial pelo úmero, razão pela qal tilizavam o petagrama como símbolo de sa frateridade. Se tomarmos m petagrama reglar, a razão do lado de qalqer m dos triâglos com a base implícita é exatamete igal à Razão Área (fig. 9). Assim como a razão de qalqer diagoal de m petágoo reglar com se lado coforme mostraremos mais a frete. [] Vejamos agora a demostração dessas propriedades. Primeiramete façamos a costrção de m petágoo reglar:
Costrção Petágoo reglar iscrito ma circferêcia. Começamos com ma circferêcia de cetro. Traçamos dois diâmetros perpediclares e. Determiar,, o poto médio de. Determiar,, m poto sobre tal qe. A medida de é o lado do petágoo reglar iscrito a circferêcia. Com a medida de, determiamos os potos H, I, J e K qe jtamete com E formam o petágoo. igra 0 - Costrção geométrica de m petágoo reglar iscrito ma circferêcia. 4 Jstificativa da costrção: L igra Petágoo iscrito ma circferêcia 4 igra costrída o GeoGebra. igra costrída o GeoGebra. 3
Pelo triâglo retâglo em O, seja, tilizamos o Teorema de Pitágoras: r r a r a por costrção, e r, etão r r r( ) O. No triâglo retâglo em O, cosiderado, pelo Teorema de Pitágoras temos: l r Qeremos mostra qe 7. ( ) ( ) r r O l r l 0 por costrção. Observemos o triâglo isósceles de base e lado. Seja Q o poto médio de, é a altra do triâglo e também bissetriz do âglo qe chamaremos de. Note qe é retâglo em, assim tilizado as razões trigoométricas o triâglo retâglo, temos: l l 0 0 seα α arcse 36 r r 4 4 Dessa forma, temos 36 e o âglo 7 As diagoais do petágoo reglar formam o petagrama reglar, também cohecido como estrela de cico potas. 4
igra - Costrção geométrica de m petagrama iscrito ma circferêcia. LEMA - 6 A razão etre e o lado e a base implícita do triâglo determiado etermiado por três vértices cosectivos de m petagrama é igal a Razão Área. 7 igra 3 Triâglos isósceles o petagrama. assim como está para DEM.:Qeremos Qeremos mostrar qe 3 está para '3 3'3 3, defiição da divisão de m segmeto em média e extrema. e 3 de base 3. Cosidere Sejam os triâglos isósceles '3 de base '3 C 3 ' e '3 e o triâglo ' de base. Sege qe 3 ' e 3 6 7 igra costrída o GeoGebra igra costrída o GeoGebra
âglo. Logo os lados homólogos são proporcioais e. Os triâglos e são semelhates pelo caso âglo- x x b x, resolvedo para b x b temos x x EN NH φ. Com isso mostramos qe b x b LN EN b x b x x b φ coforme a defiição de Eclides (divisão de m segmeto em média e extrema razão). LEMA 3 - A razão etre o lado e a diagoal do petágoo é igal a Razão Área. igra 4 Triâglos isósceles o petagrama 8 DEM.: Observe os dois triâglos isósceles e semelhates pelo caso âglo- EJ EH âglo. Com isso os lados homólogos são proporcioais, o seja,. EH EL Cosidere EH HJ l e perceba qe o triâglo é também isósceles (c.f. demostração aterior) etão EH HJ l JL logo a diagoal, fazedo temos EJ l x. 8 igra costrída o GeoGebra 6
Qeremos mostrar qe EJ EH φ. l x EH EL EJ EH l x l l x l l x l x l x l x φ.3.. Trigoometria o petágoo e o petagrama O petágoo reglar iscrito ma circferêcia e o petagrama obtido pela ião de sas diagoais os permitem determiar as razões trigoométricas para os âglos de 8, 36 e 7..3... Seo e cosseo do arco de 7 h b igra Razões trigoométricas dos arcos de 8 e 7 9 Tomemos o triâglo AMC retâglo em M. Coforme demostrações ateriores a razão etre o segmeto e é igal a. Observe qe é o poto médio de. Vamos determiar a medida do segmeto deomiado.. Pelo Teorema de Pitágoras 9 igra costrída o Geogebra. 7
b l mas m e φ l bφ. Sabedo qe φ φ, temos: b h 3 b φ h 3 4 se 7 4 φ 0,9066 l bφ φ cos 7 l m h b ( bφ ) h b φ m l 3 4 b 0,30906994 bφ φ.3... Seo e cosseo do arco de 8 Como os arcos de 8 e 7 são complemetares, temos cos 8 se 7 0,9066 se 8 cos 7 0,30906994.3..3. Seo e cosseo do arco de 36 igra 6 Razões trigoométricas para os arcos de 36 e 4 0 Observado o triâglo ABC retâglo em B, temos coforme demostrações ateriores x y φ x yφ 0 igra costrída o Geogebra 8
( ) ( ) 3 Pelo Teorema de Pitágoras: ( x y z x y z y 4φ. Etão z 4φ 3 se 36 0,8778 x y φ cos 36 y φ φ φ φ φ y φ ( φ ) φ x x φ 0,80906994.3..4. Seo e cosseo do arco de 4 Como os arcos de 36 e 4 são complemetares temos: se 4 cos 36 0,80906994 cos 4 se 36 0,8778.3... Seo e cosseo do arco de 08 No petágoo reglar os âglos iteros são igais a 08. igra 7 Âglo itero do petágoo reglar. Na determiação das razões trigoométricas para o arco de 08 tilizaremos as fórmlas de mltiplicação de arcos. cos a se φ φ cos 08 cos ( 4 ) se 4 0, 30906994 se a se a cos a a igra costrída o Geogebra 9
φ 4φ 3 φ se 08 se 4 se 4 cos 4 0,9066 φ. A seqêcia de iboacci Leoardo de Pisa (70-0) asce o cetro comercial italiao de Pisa. Se pai, Gilelmo, era fcioário da alfâdega em Bgia, atal Argélia, e foi qem esio a se filho os símbolos méricos ivetados pelos hids e pelos árabes. Somete o séclo XIX o ome iboacci (filho de Boaccio) lhe foi atribído e assim é cohecido até hoje. [7] Mais tarde Leoardo toro-se comerciate e escreve: Gostei tato das istrções qe cotiei a estdar matemática drate viages de egócios ao Egito, Síria, Grécia, Sicília e Proveça, e gostei de debater com os estdiosos desses lgares. [7] Sa pricipal obra foi Liber Abaci (livro de ábaco), pblicado em 0, mas ao cotrário do qe o títlo sgere, ão se trata de m livro sobre ábaco e sim m texto aritmético escrito tilizado os símbolos e métodos hids e arábicos. [7] iboacci foi o primeiro matemático erope a tilizar a barra para represetação de frações da mesma forma como é sado hoje. [3] Um dos problemas apresetados o Liber Abaci, trata de m modelo idealizado de reprodção de coelhos, apresetado a segda parte do capítlo. Problema 8 qatos pares de coelhos são criados por m par m ao Um certo homem tem m par de coelhos m determiado local cercado, e qer-se saber qato são criados por esse par m ao, qado é atral qe eles gerem m mês otro par, e o segdo mês, os qe asceram, geram também (a partir da tradção de Sigler) Dispoível em http://pt.slideshare.et/giseppevitale/liber-abaci-esp acesso em 6 fev 04. 0
A resolção desse problema os leva a seqêcia,,, 3,, 8,, qe correspode ao úmero de pares de coelhos ao fim de cada mês. Observe qe a partir do terceiro termo, cada m deles é dado pela soma dos dois ateriores. Cohecida como seqêcia de iboacci, ela é a razão da fama de Leoardo de Pisa, ão pela aplicação prática do modelo de reprodção desses aimais, mas por ses otáveis padrões matemáticos e se papel chave a teoria dos úmeros irracioais. [7] Os úmeros da seqêcia de iboacci apresetam algmas propriedades iteressates, vamos demostrar algmas delas... Propriedades da seqêcia de iboacci Utilizaremos a represetação modera dessa seqêcia, defiida por, N com. LEMA 4 - A soma S para >, dos primeiros úmero de iboacci é dada por S. DEM.: Utilizaremos o pricípio de idção fiita. i) Para a propriedade é válida. S S 4 3 ii) Spoha a propriedade válida para. S iii) Qeremos mostrar qe a propriedade é válida para, o seja, S Como S, acrescetado em ambos os lados, temos S S 3 3
LEMA - A soma dos qadrados do primeiros úmeros é S DEM.: Utilizaremos o pricípio de idção fiita. i) Para a propriedade é válida S ii) Spoha a propriedade válida para. S iii) Qeremos mostrar qe a propriedade é válida para. Como S acrescetado ( ) em ambos os lados. Temos ( ) ( ) ( ) ( ) S S LEMA 6 - A idetidade de Cassii (680): ( ) para N. DEM.: Seja a matriz 0 e ( ) com 0 0 e a seqêcia de iboacci. Observe qe esse caso estamos cosiderado o primeiro termo como zero, mas isso ão afeta a seqêcia e sas propriedades. 0 0 0 3 0 3 3 3 0 3 4
3 Mostraremos qe tilizado o Pricípio da Idção iita. i) é válida para pois 0 0 ii) Spoha válida para algm. Etão iii) Qeremos mostrar qe é válida para. Partimos de e mltiplicamos ambos os lados por. 0 Portato. Na idetidade de Cassii temos ( ), para N. Como ( ) det, devemos mostra qe ( ) ( ) det. Pelas propriedades dos determiates, temos ( ) ( ) det det. Como ( ) det ( ) ( ) ( ) det det Além das propriedades demostradas, a seqêcia de iboacci apreseta mitas otras. Ela aparece, por exemplo, a soma dos úmeros em diagoal o triâglo de Pascal 3 (de demostração elaborada e por isso ão a apresetamos). 3 Blaise Pascal (63-66) foi m físico, matemático, filósofo e teólogo fracês. Dispoível em http://www.ebiografias.et/blaise_pascal/ acesso em 09 fev 04.
3 3 4 6 4 0 0 igra 8 Triâglo de Pascal igra 9 Soma em diagoal dos úmeros do triâglo de Pascal 3. Recorrêcias Recorrêcias são seqêcias do tipo x,, L em qe cada termo é determiado em fção x dos termos ateriores. A seqêcia de iboacci é ma recorrêcia liear homogêea de segda ordem, o seja, cada termo é dado em fção dos dois termos ateriores com expoete igal a m para cada m dos termos. [8] Seja ( ),,, 3,, 8, L, a seqêcia de iboacci, qe pode ser escrita da segite forma Teorema [9] Se as raízes de r pr q 0 são r e r, etão a C C r r é solção da recorrêcia x px qx 0, qaisqer qe sejam os valores das costates C e C. 4
DEM.: Sejam r e r raízes da eqação r pr q 0. Vamos mostrar qe a C C r r é solção da recorrêcia x px qx 0 qaisqer qe sejam os valores das costates C e C. Seja a a C C r r etão pa qa C r C r Cr p( Cr Cr ) q( Cr Cr ) ( r pr q) C r ( r pr q) Mas r e r são raízes da eqação r pr q 0 logo ( r pr q) ( r pr q) 0 C e, com isso idepedete dos valores das costates C teremos C r ( r pr q) C r ( r pr q) 0. Para a seqêcia de iboacci com, podemos escrever 0, qe leva ao poliômio característico r r 0 com r φ e r ( φ ), etão pelo Teorema a solção da recorrêcia é C C. Observe qe as raízes r e r são as mesmas obtidas o cálclo da proporção área. Para determiar as costates C e C, fazemos, temos o segite sistema: C C C C
Escrevedo φ e φ ( φ ) Cφ C Cφ Cφ () () Sbstitido φ azedo φ () () C ( φ φ ) C ( φ ) φ φ ( φ φ ) C ( φ ) φ C C ( φ ) φ C φ C 3 φ Para determiar C fazemos ( φ ) () () C ( φ ) φ Cφ φ C Etão os termos da seqêcia de iboacci podem ser escritos a partir da fórmla o ( ) φ φ cohecida como órmla de Biet. Jacqes Philippe Marie Biet desevolve essa fórmla em 843. Apesar de levar se ome, ela já era cohecida cerca de m séclo ates por Eler, Daiel Berolli e de Moivre. 4 4. Relação etre a Razão Área e a seqêcia de iboacci A seqêcia de iboacci e a Razão Área estão matematicamete relacioadas. Nessa seção mostraremos das importates relações etre elas, além da fórmla de Biet apresetada a seção 3. Para tato cosidere a seqêcia de iboacci: com. 4 Dispoível em: http://mathworld.wolfram.com/bietsiboaccinmberormla.html acesso em 08 ja. 04. 6
LEMA 7 - φ φ, N. DEM.: Utilizaremos o Pricípio de Idção iita. i) Para 0 a relação é válida. φ φ 0 ii) Spoha válida para. Etão φ φ iii) Qeremos mostrar qe a igaldade é válida para. Partido de temos azedo φ φ, mltiplicamos ambos os lados da igaldade por, ( φ ) φ φ φ φ φ φ φ φ, temos φ ( φ) φ φ φ Mostraremos agora otra relação etre a Razão Área e a seqêcia de iboacci: o limite da razão etre m termo qalqer da seqêcia pelo se aterior. LEMA 8 - lim φ, N DEM.: Tomemos a fórmla fechada qe represeta os termos da seqêcia de iboacci Podemos escrevê-la em fção de (fi) como ( ) φ φ Seja ma ova seqêcia ( x ), vamos mostrar qe se tede a ifiito, ( ) φ. x tede a 7
φ lim ( x ) lim lim φ ( φ) ( φ) Primeiramete vamos mostrar o comportameto de ( φ ) qado tede a ifiito. Qeremos provar qe lim ( ) 0 φ. DEM.: Vamos mostrar qe para todo ε > 0 x < ε : tomemos 0 lε >, etão l φ, existe 0 N tal qe para todo > 0 temos lε > lφ < lε lφ < lε φ < ε lφ Observe qe se lim ( ) 0 lim φ etão [ ] lim ( φ ) lim ( φ ) 0 ( φ ) 0 ( φ ) lim ( φ ) ( φ ). Com isso lim ( x ) lim φ lim φ ( φ) ( φ) φ lim φ lim φ φ. Cosiderações iais O úmero, chamado de Razão Área, é m úmero irracioal e sa preseça foi idetificada os elemetos do petagrama estrela de cico potas qe srgi a história como símbolo qe represetava os segidores o discíplos de Pitágoras. Mas Pitágoras egava a existêcia de tais úmeros os irracioais portato essa característica só foi demostrada e apreciada aos mais tarde. 8
Eclides em sa obra Os Elemetos defii a divisão de m segmeto em média e extrema razão, e descreve geometricamete sa costrção. A razão ecotrada etre o todo e a maior parte, e também etre a maior parte e a meor era igal a ma costate qe foi chamada de Razão Área e foi deomiada pela letra grega (fi). A costrção geométrica da divisão de m segmeto em média e extrema razão é semelhate à tilizada a costrção do petágoo reglar por isso a razão etre algs elemetos desse polígoo é igal a. Além disso, o petagrama também apreseta o como razão etre algs de ses elemetos. Em 0 iboacci apreseto em sa obra Liber Abaci, m problema teórico sobre reprodção de coelhos, o qal temos a formação de ma recorrêcia de segda ordem. A relação etre a seqêcia de iboacci e a Razão Área aparece o qociete etre m termo qalqer daqela seqêcia pelo se aterior. Tal processo os levo a ma ova seqêcia, qe como apresetado, coverge para.,, 3, 3,8, 8, Como a Razão Área foi idetificada em vários elemetos atrais, cosiderados belos, e qe de acordo com o cristiaismo, criados por Des, algs estdiosos a desigaram como a proporção divia, atribido sa beleza estética e a preseça de tal simetria ao Criador. Por fim podemos perceber a preseça da seqêcia de iboacci em vários elemetos atrais assim como a preseça da Razão Área. Tal descoberta fez com qe artistas reascetistas a tilizassem em sas obras a fim de reprodzir a perfeição, ispirada a realidade. Otras seqêcias também apresetam características semelhates à seqêcia de iboacci tais como a Seqêcia de Triboacci e a Seqêcia de Lcas e também podem ser tratadas a partir de técicas semelhates às aqi apresetadas. 9
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