UMA OVA METODOLOGIA PARA TREIAMETO EM REDES EURAIS MULTI CAMADAS Luz Carlos C. Pedroza Pedroza@cefet-rj.br CEFET-RJ Av. Maracaã, 229 Ro de Jaero, CEP 2027-0 Carlos E. Pedrera pedrera@ele.puc-ro.br DEE PUC-RIO CP.: 38063 Ro de Jaero, CEP 22452-970 RESUMO : este artgo apreseta-se uma metodologa de apredzado supervsoado ão usual baseada em um operador, batzado de Operador de Extesão. As redes euras multcamadas são abordadas sob a ótca deste operador, produzdo algumas vatages em comparação aos algortmos de treameto tradcoas, além de uma vsão sstematzada de algumas questões de grade mportâca como geeralzação e corporação de formação a pror. o algortmo proposto o úmero de parâmetros a ser estmado é feror ao algortmo de Retropropagação, propcado assm, etre outras vatages, uma maor probabldade de geeralzação. É apresetado um cojuto de resultados umércos. A e Methodology for Trag Multlayer eural etors Abstract: I ths paper a o-covetoal methodology for supervsed learg proposed. Multlayer eural etors are approached by usg a e operator, the exteso operator, producg some advatages. Furthermore, t troduces a systematc ve of some very mportat subjects, le geeralzato ad a pror oledge corporato. I the proposed algorthm a smaller umber of estmated parameters s eeded, creasg the probablty of geeralzato. Some umercal results are preseted. ITRODUÇÃO Os esquemas de apredzado através de exemplos, que fudametam a aqusção de cohecmeto em redes euras, podem ser eteddos como uma busca sstemátca de um mapeameto que recostrua satsfatoramete o ambete Este trabalho fo parcalmete facado pela CAPES através de bolsa de doutorado, e pelo CPq, através de bolsa de produtvdade em pesqusa, coceddas aos autores. Artgo Submetdo em 5/2/998 a. Revsão em 3/05/999; 2a. Revsão em 22/0/999 Aceto sob recomedação da Eda. Cosultora Profa. Dra.Sadra Aparecda Sadr gerador. O que se procura, do poto de vsta fucoal, é um mapeameto, detro de um cojuto de mapeametos hpótese, que mmze uma medda de dstâca etre uma fução geradora descohecda e esta hpótese. A efcêca de um esquema de apredzado pode ser assocada a três questões fudametas: a uma escolha de um cojuto de hpóteses G aproprado ao problema em questão; à dspobldade de um cojuto de exemplos que coteha formação sufcete sobre o mapeameto que se deseja recostrur; e a um esquema efcete de busca da melhor hpótese g detro de um cojuto G. Em geral, a utlzação adequada de cohecmeto prévo de algumas característcas do mapeameto que se deseja recostrur, permte obter uma solução melhor. Esta possbldade de corporar cohecmeto a pror fo orgalmete desevolvda em Abu-Mostafa (994) e Abu- Mostafa (995) através da dução de Sugestões (Hts). Através desta metodologa, é possível usar o cohecmeto a pror para amplar artfcalmete o cojuto de exemplos que compõe o cojuto de treameto e também para drecoar a busca o cojuto de hpóteses G. Por exemplo, sabedo-se de atemão que uma fução que se deseja recostrur é uma fução par, pode-se adcoar uma espéce de pealdade toda vez que a fução hpótese for ímpar, ou gerar um cojuto adcoal de exemplos artfcas (Abu-Mostafa, 994; Abu- Mostafa, 995). Em ambos os casos, se está sugestoado o drecoameto o espaço de busca. A metodologa proposta este artgo basea-se em um operador orgalmete troduzdo em Pedroza (997), o Operador de Extesão. A partr deste, pretede-se, etre outros objetvos, fometar a dscussão de algus aspectos relatvos à corporação de formação a pror em redes euras. O Operador de Extesão, peça cetral deste artgo, será formalmete defdo a seção 2. A déa fudametal é defr um operador T:[B M P] P que mapee um poto (b, I, f) em uma fução f aum, ode: SBA Cotrole & Automação Vol. o. 0 / Ja., Fev., Mar, Abrl de 2000 49
() O cojuto de fuções (o Espaço Produto Itero(aylor e Sell, 982) P) b B é batzada como Base de Extesão do Cojuto de Bases B. () Qualquer combação lear das fuções de uma Base de Extesão b pertece ao espaço de produto tero P. () O tervalo I, do cojuto de tervalos(bartle, 966) M, é o cojuto de potos ode a fução f é prevamete cohecda. Como ver-se-a a seqüêca, quado o cojuto de exemplos (f,i) cotém uma quatdade sufcete de formação e o cojuto de fuções b B é adequadamete escolhdo, a fução f aum gerada pelo Operador de Extesão mostra-se uma boa recostrução da fução f orgal. O problema que se apreseta este poto, é o de como fazer uma escolha adequada da base de extesão b. Este problema é abordado a seção 3. Verfcar-se-a que a partr de um cohecmeto a pror do cojuto de hpóteses G, é possível efetuar uma escolha aproprada do cojuto de bases B. Será mostrado que se pode buscar a Base de Extesão b que faça uma recostrução otmzada da fução f. a seção 4, apreseta-se uma abordagem para redes euras multcamadas (Rumelhart et al, 986; Hay S., 999) sob a ótca do Operador de Extesão. A déa cetral parte da verfcação de que uma rede eural em camadas pode ser vsta como uma represetação em grafo de fuções o cojuto magem de um operador. Este operador, dervado do Operador de Extesão e ttulado Operador de Extesão Projeção, será defdo a próxma seção. Esta aaloga etre Operador de Extesão Projeção e redes euras permtrá que se escolha cojutos de hpóteses G aproprados. Embora redes euras teham alcaçado bastate sucesso em aplcações as mas dversas áreas do cohecmeto, relatvamete pouco se pode ecotrar a lteratura com respeto a desevolvmetos teórcos. Este artgo pretede apresetar resultados com algum grau de rgor com a teção de cotrbur este aspecto. a seção 5, apreseta-se algus resultados umércos e a seção 6 é reservada às coclusões e observações fas. 2 O OPERADOR DE EXTESÃO Seja f uma fução defda sobre o domío M, D(f) = M. Seja h uma fução defda sobre o subcojuto I M, D(h) = I. Se h(x) = f(x) para todo x I, etão h é dta uma restrção de f em I; deomada f I. Por outro lado, seja f I uma fução defda sobre o domío I. Uma fução g tal que I D(g) e g(x) = f(x) para todo x I é dta uma extesão de f I ; g = f aum (aylor e Sell, 982). ote-se que ão ecessaramete f aum = f. A partr destas defções, é possível estabelecer um operador, o Operador de Extesão, que realzará a extesão de uma restrção f I em uma fução f aum, baseado-se para sto em algumas sugestões que, se forem sufcetemete cosstetes, farão que a f aum seja uma recostrução satsfatóra da fução f orgal. Seja P um Espaço Produto Itero de fuções defdas sobre o suporte M. Seja M uma álgebra de tervalos (Bartle, 966) gerada por subtervalos de M. Seja B = { b: W} um b = e ( ; : A ode cojuto de bases de extesão { } cada base é um cojuto de fuções em P. Sejam W e A cojutos de ídces aproprados para dexar os elemetos de B e as fuções das bases de extesão. Defe-se uma matrz G e um vetor H tal que seus elemetos são dados por: e ( ; ), e ( ; respectvamete. e Defção D-: Se o sstema j I f, e ( ; Gb ( ) θ ( b) = Hb ( ), (2.) tver solução úca, o Operador de Extesão T:[B M P] P pode ser defdo o poto (b, I, f) como: f ( x) se x I T( b, I, f )( x) θ ( ) e ( ; x) se A Defção D-2: I x M I Sob as mesmas hpóteses pode-se defr, o poto em questão, o Operador de Extesão Projeção T*:[B M P] P como: T *( b, I, f ) θ ( ) e ( ;. (2.2) A Observe-se que os operadores da defção D- e D-2 operam a restrção de f defda sobre o tervalo I (deomada f I ), já que o produto tero ; I é calculado cosderado as fuções com valor ulo fora deste tervalo. ote-se também, que sugestões de como proceder à extesão são passadas para os operadores através de um cojuto de fuções, as Bases de Extesão. Caso a Base de Extesão seja bem escolhda a fução f aum será uma boa recostrução da fução f. O Operador de Extesão e o Operador de Extesão Projeção foram desevolvdos (Pedroza, 997; Pedroza e Pedrera, 998) de forma que caso as fuções que compõem a Base de Extesão b sejam ortogoas etre s sobre um tervalo M, etão, para qualquer cojuto de escalares α, Tb (, I, f) T*( b, I, f) M Tb (, I, f) α e( ; A M (2.3) A partr de 2.3, é possível verfcar que T*(b,I, f) é a projeção ortogoal de T(b,I,f) o espaço expaddo pelas fuções da Base de Extesão b. Esta propredade justfca a deomação do Operador de Extesão Projeção. o caso das fuções da Base de Extesão ão serem ortogoas etre s só é possível garatr que f θ ( ) e ( ; ode, de acordo com 2.2, f α e ( ; α C (2.4) 50 SBA Cotrole & Automação Vol. o. 0 / Ja., Fev., Mar, Abrl de 2000
A θ. ( ) e ( ; T * ( b, I, f ) = A equação 2.4 mplca que a solução do sstema 2. forece a combação lear das fuções que compõem a base de extesão b que melhor aproxma a fução f o tervalo I, ode ela é prevamete cohecda. Pode-se etão coclur que, dferete ao uso de uma Base de Extesão b ou de uma Base de Extesão composta da ormalzação das fuções da base b, a fução mapeada pelo Operador de Extesão é a mesma. De um poto de vsta formal, correspodera a afrmar que os operadores realzam uma ormalzação préva das fuções que compõem a base de extesão. Para lustrar a capacdade de recostrução do Operador de Extesão e a relevâca da escolha aproprada da Base de Extesão, supoha-se um exemplo de uma fução f = α e, que se sabe ser defda sobre o suporte M. Cohece-se apeas sua restrção sobre o tervalo I. Ao escolher-se uma Base de Extesão b que coteha todas as fuções e que compõem o somatóro descrtvo de f, se esta base garatr a ucdade de solução do sstema 2., etão, pela equação 2.3, f aum (b)=f. Por este exemplo, percebe-se que a capacdade de recostrução do Operador de Extesão está tmamete relacoada com a escolha aproprada da Base de Extesão. Para fazer-se uma escolha aproprada da base de extesão, fo ecessára uma boa sugestão sobre a fução f; o caso o cohecmeto prévo da fução. Cotudo, geralmete a sugestão que se dspõe costtu-se o cohecmeto prévo do cojuto G ao qual a fução f pertece. Baseado-se este cohecmeto, em algus casos, é possível fazer a escolha de um cojuto de Base de Extesão B que faça com que o cojuto magem de T(B,I, guale-se a G; R(T(B,I,) = G. Ao fazer-se esta escolha certamete uma das bases de extesão de B recostrurá a fução f satsfatoramete. Etretato, devdo à exstêca de um compromsso etre a cardaldade das Base de Extesão de B e o tervalo I, a fm de satsfazer ucdade de solução do sstema 2., geralmete só é permtdo escolher-se um B tal que R(T(B,I,) G. Com a faldade de lustrar este coceto, supoha que se saba de atemão que a fução f, que se deseja recostrur, é um sal com espectro de freqüêca lmtado em max. Escolhedo-se um cojuto B de todas as Bases de Extesão possíves compostas por cojutos de Z fuções seodas com freqüêca máxma max, ada ão se pode garatr que f R(T(B,I,). Etretato, pode-se perceber que algumas Base de Extesão rão realzar uma boa recostrução de f, pelo meos detro de um tervalo Q ode I está cotdo. Aumetado-se Z, aumeta-se a probabldade de f pertecer a magem do operador, cotudo, aumeta-se também a probabldade do sstema 2. ão ter solução úca. É esperado que uma Base de Extesão produza uma boa recostrução da fução f detro do tervalo I, e também para os potos exteros a este tervalo, stuados próxmos a sua frotera. As smulações apresetadas ao fal deste artgo apresetam este comportameto. O tamaho dos tervalos exteros ao tervalo I, para os quas é possível obter-se um bom resultado, está dretamete lgado a escolha de B. É mportate ressaltar que esta escolha reflete a exstêca e qualdade de corporação de cohecmeto a pror. Como era esperado, a adção adequada de cohecmeto a pror propca uma melhora a capacdade de geeralzação. 3 ALGORITMO DE ESCOLHA DA BASE DE EXTESÃO ÓTIMA O problema da escolha da Base de Extesão em B que possblta uma melhor recostrução da fução f pode ser formulado do segute modo: Problema m f T *( b, I, f ) b B. I ode B é o cojuto de Bases de Extesão pertecetes à mesma famíla e obtdas pela varação de em W. É possível solucoar este problema recursvamete, varadose em W, de forma a buscar-se uma ova Base de Extesão b (+) em B, tal que f θ ( ( )) e ( ( + ); f θ ( ( )) e ( ( ); (3.) Se as fuções que compõem as Bases de Extesão forem dferecáves o argumeto, pode-se utlzar o algortmo do gradete descedete para realzar esta busca em B. este caso, o cálculo do ovo (+) é efetuado da segute forma: ( + ) = ( ) f θ( ( )) e( ( ), η ( ) ode 0 < η <. (3.2) De posse da ova base b (+), utlza-se o sstema 2. para calcular o ovo espectro θ(b (+) ). A partr da equação 2.3 pode-se garatr (Pedroza, 997) que: f θ ( ( + )) e ( ( + ); f θ ( ( )) e ( ( + ); (3.3) Percebe-se que, em cada teração, prmeramete busca-se, varado-se apropradamete em W, um ovo cojuto de fuções o qual a combação lear, dada pelo cojuto de pesos θ(b () ), reduz a fução de custo. Em seguda calcula-se, através do sstema 2., uma ova combação lear para estas fuções que reduza ada mas a fução de custo. Este algortmo é descrto a segur de forma esquemátca. Algortmo proposto ) Faça =0 e calze o vetor de parâmetros (). b resolvedo o sstema 2.. 2) Calcule o espectro θ ( ) ( ) SBA Cotrole & Automação Vol. o. 0 / Ja., Fev., Mar, Abrl de 2000 5
3) Calcule as dervadas f θ e ( ( )) ( ( ), ) δ = ( ) cosderado o espectro θ ( b ( )) costate. 4) Calcule o ovo vetor de parâmetros (+) pela fórmula recursva η ( + ) = ( ) δ b + a partr do sstema 2.. 5) Calcule o ovo espectro θ ( ) ( ) 6) Calcule f θ ( ( + )) e( ( + ),. 7) Se f θ ( ( + )) e( ( + ), f θ ( ( )) e ( ( ), etão pare; caso cotráro faça =+, e vá para 3. A covergêca do algortmo está provada, quado η é sufcetemete pequeo, em Pola (97). Vale otar que o algortmo gradete decrescete, e cosequetemete o algortmo proposto, está sujeto a covergr para mímos locas. Também, porque o cojuto B ão é um espaço métrco completo, a fução de custo a ser mmzada pode possur mas de um mímo global. Estas stuações podem ser cotoradas escolhedo-se um tervalo I sufcetemete grade. Com o propósto de vablzar a aplcação do algortmo proposto em casos reas, ode o tervalo I costtu-se de um cojuto de potos e as Bases de Extesão tem cardaldade Z, rescreve-se o problema como : Problema 2 m f ( x) θ ( ) e( ; x) ode θ ( ) θ 2 ( ) = θ z ( ) A 2 = 2 = e (, x ) e (, x) e (, x ) e (, x) ez (, x) ez (, x) f ( x) e(, x) f ( x) e2( 2, x). f ( x) ez( z, x) 2 (3.4) (3.5) 4 REDE EURAIS E O OPERADOR DE EXTESÃO Cosdere-se a rede eural represetada a Fgura, ode o eurôo a camada de saída tem fução de atvação lear. ão há perda de geeraldade pela utlzação desta arqutetura smplfcada, a extesão para arrajos mas complexos é medata. x Os eurôos da camada escodda tem uma fução de atvação h( que ecessta apeas ser dferecável o argumeto e ão mootoamete crescete, como os casos clásscos do algortmo de Retropropagação. Com a estrutura proposta, um poto x a etrada da rede mapea um poto g(x) a sua saída, descrto como : g( x) = α h ( x) (4.) 2 z h h 2 h z Fgura y = g (x) Observado-se a equação 2.2, percebe-se que o somatóro descrtvo do Operador de Extesão Projeção, defdo a seção 2, pode ser realzado pela rede eutral represetada a Fgura desde que se escolha θ () = α e h ( x) = e ( ; x). * Coclu-se etão que, para toda fução f aum pertecete à magem Operador de Extesão Projeção, exste uma represetação em grafo dada por uma rede eural como a da Fgura. Como por hpótese a defção 2. todas as Bases de Extesão de B pertecem à mesma famíla de fuções, tem-se que a varação dos pesos aterores a camada oculta correspode, sob a ótca do Operador de Extesão, à busca uma ova Base de Extesão em B. Durate a fase de treameto vara-se os pesos da rede de forma a buscar uma ova fução g que mmze a orma f g I. Sob a ótca do Operador de Extesão, sto correspode a solucoar o problema troduzdo a seção 3. ote-se que a fução de custo (3.4) correspode à fução de eerga do algortmo de Retropropagação. Deste modo, podese afrmar que a dfereça cetral etre o algortmo de Retropropagação e o algortmo proposto resde que, o prmero, o gradete decrescete é utlzado para alterar tato os pesos das coexões aterores à camada oculta, quato os pesos lgados à saída α. o esquema proposto, o algortmo de gradete decrescete é utlzado apeas para otmzar os pesos das coexões aterores à camada oculta equato os pesos coectados à saída são calculados de forma fechada resolvedo-se o sstema 3.5. Como coseqüêca, além da dmução do esforço computacoal, obtém-se uma redução da quatdade de varáves lvres o espaço de estado da fução de eerga. Com um meor úmero de parâmetros a estmar, α α 2 α z + 52 SBA Cotrole & Automação Vol. o. 0 / Ja., Fev., Mar, Abrl de 2000
dmu-se os rscos de super treameto e, portato, melhorase a capacdade de geeralzação. Também como coseqüêca da dmução do úmero de parâmetros a estmar reduz-se o volume de dados ecessáro a um bom desempeho. 5 RESULTADOS UMÉRICOS esta seção lustra-se a metodologa proposta através da apresetação de exemplos umércos. O propósto destas lustrações ão é o de proporcoar comparações sstemátcas com téccas tradcoas. o prmero exemplo procura-se demostrar como a preseça de uma sugestão pode auxlar a escolha de um cojuto de hpóteses G aproprado para o algortmo operar. Exemplo 5. este exemplo é abordado um problema de extrapolação e apresetada uma comparação com algortmo clássco de Retropropagação. O problema de extrapolação é aquele o qual se deseja estmar valores para uma fução, fora do tervalo aode são colhdos os potos usados para treameto. O que se procura é, a partr de um treameto com potos amostrados em um tervalo [a b], obter uma estmatva para a fução f em x, f ˆ ( x ), x > b. Em um problema de terpolação, a solução sera, em geral, mas fácl, buscar-se-a uma estmatva para a fução f em x, ˆ. f ( x ), x [ a b] Supohamos que a fução f(x)=0.7+se(2πx).+ 0.5cos(πx) seja cohecda a pror os potos que vão de 0 até 3 com um passo de 0.0; I={0, 0.0, 0.02,..., 2.99,3}. Supoha-se que se saba, de atemão, que este sal é obtdo a saída de um fltro passabaxa deal com freqüêca de corte em 2,5π rad/s. A partr desta sugestão e da lmtação mposta pela cardaldade de I, escolhe-se cojuto de base de extesão B= {b W = [, se( x), cos( 2 x), se( 3 x ), cos( 4 x)] : R e 2,5π rad/s}. A partr da aaloga dscutda a seção 4, esta escolha de B correspode a escolher uma rede eural, como a da Fgura, com cco eurôos a camada escodda; um com fução de atvação lear e peso utáro, dos com fuções de atvação seodal e pesos e 3, e dos com fuções de atvação coseodas e pesos 2 e 4. Icalzado com a Base de Extesão b =[, se(2x), cos(3x), se(4x), cos(5x)] e a costate de apredzado η=0.2, em 000 terações o algortmo proposto coverge para a fução -2 g(x) = 0.7 +.00se(6.283x) - 0.6 *0 cos(0.25x) -0-0.83*0 se (6.536x) + 0.4986cos(3.45x). obtedo-se um erro médo quadrátco, o tervalo de treameto, de 0-3. Como pode-se observar, através da fgura 2, a recostrução da fução é bastate satsfatóra a vzhaça dos potos do tervalo I, e permaece com boa performace mesmo para potos bastate afastados do horzote de treameto. 2.5 O mesmo expermeto fomplemetado utlzado-se uma rede, com uma camada oculta de 0 eurôos e fuções de atvação sgmodas, treada através do algortmo tradcoal de Retropropagação. A fgura 3 mostra a recostrução operada pela rede. Pode-se observar que, apesar de uma boa recostrução detro do tervalo [0 3], a performace deterora-se rapdamete fora desta regão. 2 0-0.5 2.5 0.5 0-0.5 2.5.5 0.5 O exemplo a segur trata a smulação de um problema smples de detfcação paramétrca a partr do uso do Operador de extesão. Exemplo 5.2-0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Fgura 2 - Fuções verdadera e estmada pela metodologa proposta para horzote de treameto etre 0 e 3 e de geeralzação (a partr de 3) - 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Fgura 3 - Fuções verdadera e estmada por Retropropagação para horzote de treameto etre 0 e 3 e de geeralzação (a partr de 3) Supoha-se que um sstema real é descrto pela equação: y( = 0.7x( + 0.5u( + 0. 2 + ε Este sstema lear está sujeto a uma perturbação ε que correspode a um ruído Gaussao com méda ula e varâca 0.. O sstema será modelado através de : y ˆ( xˆ( uˆ( t. = a + b ) + c x ˆ( = x( +, ˆ( = u( + ν ˆ( = y( + π ode µ u e y represetam as observação de x, u, y um state t adcoadas a ruídos com dstrbução ormal de méda ula e varâca 0.0. Escolhedo-se I ={0,h,2h,...,(-)h}, ode h é o tervalo de amostragem e a Base de Extesão b = [ xˆ, uˆ, ] pode-se resolver o sstema 2. com SBA Cotrole & Automação Vol. o. 0 / Ja., Fev., Mar, Abrl de 2000 53
xx!,! xu!,! x!, Gb ( ) = ux!,! uu!,! u!,, x!, u!, yx!,! I Hb ( ) = yu!,!, I y!, I I I I I I I I I I para se calcular o vetor θ(b ) cujos elemetos correspodem as estmatvas de a, b e c que mmzam a orma y yˆ. I A fgura 4, a segur mostra a evolução das estmatvas o tempo. Abu-Mostafa. Y. S., 995, Hts, eural Computato, Vol7, PP 639-67. Bartle, R.G., 966, The elemets of tegrato. e Yor, Joh Wley & Sos Ic. Hay S., 999, eural etors:, A Comprehesve Foudato, secod edto, Pretce Hall. aylor, A.W., Sell, G.R., 982, Lear Operator Theory egeerg ad scece. 2 d ed. e Yor, Sprger- Verlag. Pedroza, L.C.C. e Pedrera C.E., 998, O Operador de extesão e Redes euras, Aas do 5o Smpóso Braslero de Redes euras, PP 55-60, Belo Horzote. Pedroza, L.C.C.,997, O Operador de extesão e Redes euras, Tese de Doutorado, Potfíca Uversdade Católca, Ro de Jaero, RJ. Pola, E., 97, Computatoal Methods Optmzato: A ufed approch. e Yor ad Lodo, Academc Press. Fgura 4.a - estmatva de a Rumelhart, D.E., Mcclellad, J.L. ad PDP Resersh Group, 986, Parallel Dstrbuted Processg : Explorato the mcrostruture of cogto, The MIT Press, Volume :Foudato. Fgura 4.b - estmatva de b Fgura 4.c - estmatva de c 6 OBSERVAÇÕES FIAIS este artgo apresetou-se uma abordagem para treameto de redes euras em camadas dferecada da metodologa clássca baseada em Retropropagação do Erro. O algortmo proposto apreseta característcas teressates: permte o uso de outras fuções de atvação sem a restrção de mootocdade crescete; reduz a probabldade de atgr-se mímos locas; e acelera o processo de covergêca. Estas são algumas coseqüêcas de tratar-se as redes euras como represetações em grafo de potos a magem do Operador de Extesão. Uma lha teressate de cotuação sera a corporação da metodologa de sugestão proposta em Abu-Mostafa (994) e Abu-Mostafa (995) com a faldade de buscar-se uma Base de Extesão otmzada. 7 REFERÊCIAS BIBLIOGRÁFICAS Abu-Mostafa. Y. S., 994, Learg from Hts, Joral of Complexty, V.0, PP.65-78. 54 SBA Cotrole & Automação Vol. o. 0 / Ja., Fev., Mar, Abrl de 2000