6. Otiização -- Notas de Aula -- EMC4086 Siulação e Otiização de Sisteas Téricos Prof. Christian Heres Inverno de 08 Definição: processo de procurta das condições geoétricas, operacionais que fornece o valor áxio ou íunio de ua função objetiva (variável resposta) Parâetros livres para variar: siulação n eqs = n vars otiização eqs < n vars Forulação: ( n) y = y x,,x função objetiva x,,xn = 0 restrições de igualdade x,,x = 0 n n l n l x,,x L x,,x L Note que: l restrições de desigualdade (i) y = a + Y( x,,xn) co a constante, in a + Y( x,,xn ) = a + in Y( x,,xn ) (ii) ax y( x,,x ) = in y( x,,x ) n n Otiização se restrições ótio ocorre onde as derivadas são nulas. Para y = y( x,,x ) n y y y ˆ y = 0,, = 0 y = i ˆ + in = 0 x xn x xn y vetor gradiente Sobre o vetor gradiente - Vetor unitário qualquer, Considere dx ˆi + dx ˆi ( dx ) + ( dx ) y y y = y x, x dy = dx + dx x x y x Ao longo de ua isolinha: y = cte dy = 0 dx = dx y x - -
Vetor tangente unitário y x ˆ ˆ y ˆ y i + i i ˆ + i y x x x ˆt = = y x y y + + y x x x Vetor gradiente unitário y ˆ y i + ˆi y x x ĝ = = y y y + x x y y ˆ ˆ y y i i ˆ ˆ + i i ˆ x x x x ˆ t g = = 0 tˆ gˆ vetor gradiente é ortogonal às isolinhas de y=cte! y y + x x Multiplicadores de Lagrange = x,x d = dx + dx Adita x x x Ao longo de ua restrição, = cte d = 0 dx = dx x Mas, y y y x y y = y( x, x ) dy = dx + dx = + dx x x x x x No ótio, y x y y x y x dy = 0 + = 0 = = ultiplicador de Lagrange x x x x x Assi, y = 0 e y = 0 co ( x,x) = 0 3 eqs x 3 vars ( x,x, ) x x x x y = 0 co ( x,x ) = 0 Método dos Multiplicadores de Lagrange (D c/ restrição) Generalizando, n eqs i i i= y = 0 x,,xn = 0 restrições x,,x = 0 n n + eqs x ( x,,xn) + (,, ) vars! - -
Para resolver por Newton-Raphson, y f = + = 0 x x x y f = + = 0 n x x x f = x,,x n+ n f = x,,x n+ n f f f f x xn x f fn fn fn fn x xn x n f = fn+ fn+ fn+ fn+ f x xn f n fn+ fn+ fn+ f n+ x xn n n+ + Exeplo: trocador casco-e-tubos 5 C = 900 + 00D L + 30DL in (o tero= tubos, o tero casco, 3o tero espaço ocupado) restrição: copriento total = 00 co densidade de 00 tubos por D 00 tubos L = 00 = 50D L 00 4 C ˆ C 3 5 C = i + ˆi = ( 750D L + 30L) ˆi + ( 00D + 30D) ˆi D L D L D L ˆ = i + ˆi = ( 00 DL) ˆi + ( 50D ) ˆi D L D L D L + = 5 00D + 30D ( 50 D ) = 0 50D L 00 = 0 3 750D L 30L 00 DL 0 D = 0,7 Resolvendo por NR L =,3 = 8,78 Qual seria a variação do ínio se 0 de tubo fosse epregados no lugar de 00? 5 * * H = 00 L = 0,03H C = 900 + 00 0,7 0,03H + 30 0,7 0,03H * * C C = 900 + 8,78H = 8,78 = ultiplicador: sensibilidade do ótio e relação à restrição H Considere, y( x,x) opt co ( x,x ) = b, logo y = 0 y = 0 x x x x x,x b = 0-3 -
Adita que, y y x y x SC = = + b x b x b x x x x Mas, = + = 0 + = 0 b x b x b x b x b Co, y = x x e y = x x y x y x = + = SC x b x b Prograação Geoétrica obté o valor da função no ponto ótio Aplicável à funções cujos teros são soas de polinôios das variáveis: T N T atn t n t t= n= t= y = c x = u função objetiva Especialente útil quando o grau de dificuldade, DoD=TT-(N+), é zero, onde TT é o No. total de teros polinoiais na função objetiva e nas restrições e N é o No. de variáveis. y = x + x + 7x x DoD = 3 + = 0 3 3 Exeplo: Neste caso, pode-se fabricar ua função g, g w T t u t = t= w t tal que y w T t c t = g = t= w t, T wt = e t= T atnw t = no ponto ótio. t= Ainda, u u w i = = y i T ut t= i i=,t y = 50x + 500 x DoD = + = 0 5 Exeplo: y u u c x c x a a = + = + c = 50; c = 500; a = ; a = 5 w w w w a a u u c x c x g = = w w w w w w * c c g = w w co w + w = e a w a w 0w 5w = 0 w 5 w = 0 w = 5 6 w = 5 6 = 6 + = 5 6 6 * 50 500 * * 5 * y = = $70 u = wy 50x = 70 x = 4 5 6 6 6 dy 6 * * Através do cálculo, 50 5 500 x 0 y $70; x 4" dx = = = = - 4 -
Por que PG funciona? Considere o problea de otiização, lng = w lnu ln w + w lnu ln w = w + w = 0 Aplicando Lagrange, ( lng) = 0 lnu ln w = 0 lnu ln w = 0 w u = w + w = 0 u + u e u w = u u + Voltando e g, u u + u u u + u u u g = = u+ u = y u ( u + u ) u ( u + u ) Note que qualquer outra cobinação de w e w resultaria e g u + u = y! No ótio, g = y, as fora do ótio, g y. Assi, w w u u + w w y g u u Se Y = u w e Y u w Cauchy) w Y + w Y Y Y co w + w = (desigualdade de w w = Co g = y no ótio, fazendo dg 0 dx = a a acx + acx = 0 a a Multiplicando por x a c x + a c x = a u + a u = 0 u = u a a Logo, u u a a a w = = = u u u a a u + + a a e w u a = = u a a + u a a Voltando e g, a a a a a a a cx c x g = a a a a a a a w w * c c g = w w Note ainda que o ótio sepre ocorre quando os teros w,w estão a ua certa fração do total. - 5 -
Quando houver restrições, co DoD=0. Adita o seguinte exeplo: y u u u u4 + u5 = = + + 3 DoD=5-(N+)=0 4 variáveis y w w w 3 u u u 3 = g= w w w3 w 4 w 5 u 4 u 5 e, u4 + u5 = = w4 w5 co w + w + w3 = (*) co w4 + w5 = onde w4 = u4 = u4 e w5 = u5 = u5 (**) Elevando (**) a u expoente M arbitrário, u Mw 4 Mw 5 u 4 5 = w4 w5 Multiplicando e (*), o que equivale a ultiplicar por, y w w w3 Mw4 Mw5 u u u 3 u 4 u 5 = g= w w w3 w4 w5 Resolvendo por Lagrange, após algua anipulação algébrica, obté-se: aw + aw + a3w3 + Ma4w 4 + Ma5w5 = 0 a4w + a4w + a34w3 + Ma44w 4 + Ma54w5 = 0 w + w + w3 = Mw 4 + Mw5 = M resolver para w,w,w 3,M,w 4,w 5 40 Exeplo: y = + 40xx3 in co xx3 + xx = 4 DoD=4-(3+)=0! xxx 3 w w w w4 3 xx 3 xx 40 40 4 Re-escrever a restrição tal que: + = y = 4 w w w3 w4 w + 0 w + Mw + Mw = 0 x: x: x3: 3 4 w + w + Mw = 0 4 w + w + Mw = 0 w + w = Mw + Mw = M 3 4 3 Resolvendo: w =/3, w =/3, M=/3, w 3 =/, w 4 =/ y * =60. Logo, - 6 -
40 u = = w y = 60 = 40 x x x = 3 xxx3 3 u = 40xx3 = wy = 60 = 0 xx3 = 3 x = ; x = ; x3 = xx 3 u3 = = w3 = xx3 = xx u4 = = w4 = xx = 4 Cálculo Variacional consiste e achar ua função y( x ) para a qual F x dx ax ou in usado na deterinação de trajetórias, cálculo de processos ótios b Dada ( ) I = F x,y,y dx co y a dy dx =, a função deve satisfazer a seguinte equação diferencial: y x para a qual tal integral atinge u extreo F d F = 0 y dx y equação de Euler-Lagrange onde F( x,y,y) conhecida Note que a equação E-L pode ser reescrita da seguinte fora: F F dx F dy F dy F F F F = 0 y y = 0 y x y dx y y dx y y dx y xy yy y Note que, F F = F y y = 0 y (i) Se ( ) F 0 y = 0 y x = ax + b y. Para (ii) Se F não conté y explicitaente, então F d F F = 0 = 0 = cte y dx y y (iii) Se F não conté x explicitaente, então df F dy F dy F F F = F y,y = + = y + y dx y dx y dx y y Mas, F d F df d F F d F F y y y = = + = F = y + cte y dx y dx dx y y dx y y - 7 -
Exeplo: Ua câara frigorífica deve ser resfriada de 5 a 0C e 000 segundos de tal odo que o trabalho consuido pelo sistea de refrigeração seja ínio, ou seja, 000 co = ( + ) = I = Wdt in 0 W 0,0 50 0,0t COP Q teperatura do ar na entrada do evaporador T teperatura do ar na câara Do balanço de energia na câara, dt C Q dt = co Q = UA( T ) onde C=400000 kj/k e UA=0kW/K. 0 T = 400000T = T + 0000T Substituindo, ( )( ) ( ) W = 0,0 50 + 0,0t T 0000T 400000T = 4000 50T + 0,0tT TT 0000T T Da eq. E-L, F = T T F d F F = 0 = 50 + 0,0t T 40000T T dt T T d F = 0.0 T 40000T dt T dt 7 Substituindo, T ( 0.0 T 40000T ) = 0 T = = 3 0 dt dt Integrando, 3 0 7 t c 7 T ( t ),5 0 = + = t + c t + c dt,6 5 Das CC s: T( 0) = 5 c = 5 e T( 000) = 0 c = = 0,003883 000 T t = 5 0,003883 t +,50 t curva ótia de pull-down 7 Note que, se houver restrições, b = ( ) co I F x,y,y dx a b a G x,y,y dx = J Tal que a eq. E-L passa a ser dada por: ( F G) d ( F G) = 0 y dx y - 8 -
Prograação Dinâica Meso princípio do CoV Processos discretos (GPS) Exeplo: 4 trocadores e série, cada qual alientado por ua corrente de vapor - 9 -
HX Tin Tout C 50 00 0,8* 50 58,0 HX Tin Tout C 00 50 0,8+6,=56,9* 00 0,8+93,6=4,4 50 50 58,0+6,8=0,8 HX3 Tin Tout C 50 00 56,9+5,=08, 50 56,9+03,0=59,9* 00 50 4,4+57,6=7,0 HX4 Tin Tout C 00 300 08,+73,3=8,8 50 300 59,9+94,4=54,3* Custo = $54300 Teps: 50 00 50 50 300C Métodos de Busca categorias: eliinação / escalada ponto ótio aproxiado intervalo de incerteza I (sub-ótio) funções uniodais u pico ou vale e I 0 observações Busca Exaustiva enos iaginativo, ais epregado avalia y para valores de x igualente espaçados e I 0 I I = 0 n = No. observações n + Busca Dicotôica observações próxias do centro I intervalo reanescente I 0 + = I0 I= + k k k = n No. testes (, 4 pares) Busca de Fibonacci série de Fibonacci:,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89... I0 F0 = F = 0; Fi = Fi + F i i I = + Fn. Escolher n. º observação e 0,68 I0 (golden ratio: Fi F i =0,68 i 8 ) 3. próxia observação siétrica à anterior, co eliinação 4. processo continua até n- neste ponto, deve haver observação no centro do intervalo 5. últio ponto próxio do centro do intervalo - 0 -
taxa de redução: I I 0 n R = = dicot oica n n + exaustiva Fn Finonacci ln x sin x 5 Exeplo: y = ax x c/,5<x<0 e I=0,3 R=(0-,5)/0,3=8,3 Fibonacci F 7 =<R<F8=34 8 observações o ponto:,5 + (0-,5) * 0,68 = 6,75 x y eliinar anter x ax 6,75 0,740 4,75 0,575 < 4,75 4,75 0 6,75 8,0 0,48 > 8,0 4,75 8,0 6,75 6,0 0,96075 > 6,75 4,75 6,75 6,0 5,5 0,9 < 5,5 5,5 6,75 6,0 6,5 0,93 > 6,5 5,5 6,5 6,0 5,75 0,96073 < 5,75 5,75 6,6 6,0 6,00 0,96073 > 6,0 5,75 6,0 6,0 I = 0,5<0,3! Busca Univariável variável por vez Co x fixo, dy/dx =0 x * Co x fixo, dy/dx=0 x * Continua até o ótio global Método do Gradiente y Move o ponton a direção e que a F.O. experienta a aior variação: ˆ y y = i ˆ + i x x. Escolher ponto inicial. Avaliar derivadas y xi e y 3. Decidir e qual sentido se over na direção do gradiente y y ax: 0 xi 0; 0 xi 0 xi xi y y in: 0 xi 0; 0 xi 0 x x i 4. Decidir taanho do passo i - -
x x étodo : para x arbitrado, usar x calculado por: = y x y x étodo : calcular x e x que produza u y desejado y y y y y x ( y x ) y y = x + x y = x + x x = x x x x y x y x + y x étodo 3: cainhar na direção do gradiente até u ótio local; corrigir a direção e prosseguir até u novo ótio local Para ua distância x + x, y sofrerá a aior (ax) variação possível Escalas deve ser escolhidas para que o contorno seja o ais esférico possível Métodos apresenta probleas quando: - -
Siplex seleciona vertices de u sixplex onde y é avaliada D: siplex = triângulo; 3D siplex=tetraedro direção escolhida co base no vértice co enor ( ax) ou aior ( in) valor Algorito (y ax). inicia co siplex --3: y<y,y3: 4. novo siplex -3-4: y3<y, y4: 3 5 3. novo siplex -4-5: y<y4, y5: 6 4. continua até o ótio Superfície de Resposta Ligada ao projeto factorial Busca sequencial do ótio Varredura (longe do ótio) y = 0 + x + x étodo do gradiente c/ x = x Perto do ótio (alta orde) y = + x + x + x + x x + x 0 Busca co Restrição Função Penalidade y( x,,xn) in ax x,,x = 0 i =,, i n = + = + + + Y y P P ax Y y P P in busca na direção do gradiente P,,P funções penalidade: valores elevados penaliza Y quando há violação das restrições uso dos quadrados evita cancelaento de teros inicia-se co P pequenos, que cresce gradualente à edida que os s diinue valores de P escolhidos tal que y P i i Exeplo: y = 3x + x x + x in co ˆ y = 6x + x i + x + x ˆi e,5 xx 6 Y = 3x + x x + x + P x x 6,5 = ( 3,5 ) ( 3,5 ) ˆ ( 0,5 ) = x x 3x x + 56 = x x 3x i + 3x x 48x x iˆ Ponto inicial: ( x,x ) = ( 4,4) y( 4,4) = 3i ˆ + 6i ˆ e P y P 56 + 384 3 + 6 P 0,0775 4,4 = 56i ˆ + 384i ˆ - 3 -
Otiização Multi-objetivo ais de ua função objetiva se solução única conjunto de soluções que fornece o elhor trade-off entre objetivos Exeplo: Qual o eio de transporte ais adequado tal que energia in e distäncia ax? Forulação ( ) y = F f f ax in f x x j = F.O.'s j n x x = 0 k = l restricoes k n Frente de Pareto Método da Soa Ponderada F = w jf co j j j= w 0 e j= w = j (convexo) - 4 - (não convexo)