CAPITULO 05 - EIXOS E ARVORES DE TRANSMISSÃO

CAPITULO 05 - EIXOS E ARVORES DE TRANSMISSÃO 5. - INTRODUÇÃO Eixo é um elemeto mecâico rotativo ou estacioário (codição estática) de secção usualmete circular ode são motados outros elemetos mecâicos de trasmissão tais como: egreages, polias, vetiladores, rodas cetradas, etre outros. Os eixos são suportados (apoiados) em macais, de deslizameto ou rolameto, tedo secção quase sempre mássica e variável, com rasgos de chavetas para fixação de compoetes. A figura mostra uma ilumiação de um eixo. Figura Eixo Os eixos são elemetos solicitados a esforços de flexão, tração/compressão ou torção, que atuam idividualmete de forma combiada. Para a seguraça do sistema em que o eixo está iserido, este deve ser dimesioado para cargas estáticas (parado ou com rotação muito baixa) ou diâmica (altas rotações). Este dimesioameto leva em cota a resistêcia do material de que foi cofeccioado, comparam-se as tesões que atuam o mesmo com os limites de resistêcia do material, estáticos (Sy ou Su) ou diâmicos (Se fadiga). Em certos sistemas mecâicos, o ível de deflexão do eixo pode costituir em um parâmetro crítico, devedo o eixo ser dimesioado usado a teoria de deflexão. Em outras palavras, a geometria do eixo deve ser defiida para os limites aceitáveis de deflexão, ates da aálise das tesões/resistêcias. 5. - MATERIAIS PARA EIXOS E ÁRVORES Há uma grade variedade de materiais possíveis para a fabricação de eixos e árvores. De acordo com o serviço devem ter alta resistêcia e baixa sesibilidade aos efeitos da cocetração de teção. Para se obter, em um cálculo, diâmetros meores e grades resistêcias, pode-se usar aços-liga, em geral tratados termicamete. Estes aços, porém têm a desvatagem de serem 9

caros e de maior sesibilidade às cocetrações de tesões. Além disso, o diâmetro é muitas vezes subordiado à certas deformações admissíveis, torado o aço-liga cotra idicado, já que o problema ão é mais de resistêcia. Os aços-carboo, de baixo e médio teor, são, muito usados a fabricação de eixos e árvores. Aços muito empregados são os seguites: SAE 05, 00, 05, 030, 040, 045, 340, 345, 35, 30, 335, 340, 403, 4063, 440, 4340, 465, 460 e 540. Como vemos uma grade variedade de material existe para a cofecção de eixos e árvores. A seleção depederá sempre das codições de serviço, custo, usiabilidade e características especiais por vetura exigidas. É um campo muito aberto em que o projetista deve procurar sempre maiores cohecimetos, pois praticamete qualquer material ferroso, ão-ferroso ou ão metálico, pode ser usado, por uma razão qualquer, a execução de um eixo ou uma árvore. AISI Nº Tratameto Temperatura ºC Tesão de escoameto Mpa Tesão de ruptura MPa Alogameto % 030 Q&T 05 848 648 7 Q&T 35 800 6 9 Q&T 45 73 579 3 Q&T 540 669 57 8 Q&T 650 586 44 3 Normal 95 5 345 3 Aealed 870 430 37 35 Q&T 05 779 593 9 Q&T 45 758 55 040 Q&T 650 634 434 9 Normal 900 590 374 8 Aealed 790 59 353 30 Q&T 05 0 807 9 Q&T 45 090 793 3 050 Q&T 650 77 538 8 Normal 900 748 47 0 Aealed 790 636 365 4 060 Q&T 45 080 765 4 Q&T 540 965 669 7 Q&T 650 800 54 3 Normal 900 776 4 8 Aealed 790 66 37 Tabela Características dos Materiais para eixos Redução de Área Dureza Briell % 47 495 53 40 60 30 65 55 70 07 6 49 64 37 48 6 54 4 65 9 55 70 57 49 7 54 36 444 65 35 39 7 40 87 4 3 45 77 54 9 37 9 38 79 30

AISI Nº Tratameto Temperatura ºC Tesão de escoameto Mpa Tesão de ruptura MPa Alogameto % 095 Q&T 35 60 83 0 Q&T 45 0 77 Q&T 540 090 676 5 Q&T 650 896 55 Normal 900 00 500 9 Aealed 790 658 380 3 4 Q&T 35 460 80 9 Q&T 540 896 765 8 430 Q&T 05 630 460 0 Q&T 35 500 380 Q&T 45 80 90 3 Q&T 540 030 90 7 Q&T 650 84 703 Normal 870 670 436 5 Aealed 865 560 36 8 440 Q&T 05 770 640 8 Q&T 35 550 430 9 Q&T 45 50 40 3 Q&T 540 95 834 8 Q&T 650 758 655 440 Normal 870 00 655 8 Aealed 85 655 47 6 4340 Q&T 35 70 590 0 Q&T 45 470 360 0 Q&T 540 70 080 3 Q&T 650 965 855 9 Tabela (cotiuação) Características dos Materiais para eixos Redução de Área Dureza Briell % 30 375 3 363 37 3 47 69 3 93 9 3 45 57 6 4 467 43 435 49 380 57 35 64 45 59 97 56 56 38 50 43 445 49 370 58 85 63 30 47 30 57 97 40 486 44 430 5 360 60 80 5.3 - CARREGAMENTO ESTÁTICO A determiação das dimesões de uma árvore é muito simples quado sujeito somete a carregameto estático, pricipalmete se comparado a quado se tem carregameto diâmico. E mesmo com carregameto diâmico, muitas vezes é ecessário se ter uma boa oção das dimesões das peças para se ter um bom começo dos problemas e por isto faz-se ates uma aalise como se o carregameto fosse estático. 3

5.3. - CARREGAMENTO ESTÁTICO SUJEITO À FLEXÃO, TORÇÃO E ESFORÇO AXIAL As tesões em um poto a superfície de uma árvore de diâmetro (d) sujeita flexão, torção e carregameto axial são: 3 M 4 F 6 T x () () d 3 d xy d 3 Ode a compoete axial (F) de σ x pode ser positiva ou egativa. Nós observamos que há três carregametos. Mometo (M), força (F), e torque (T) aparecem a seção cotedo o poto especifico a superfície. Usado o circulo de Mohr podemos mostrar que as pricipais tesões ão ulas, são: a b x x Estas tesões podem ser combiadas de forma a obter a máxima tesão de cisalhameto (τ max ) e a tesão de Vo Mises (σ ); dado em: xy (3) max a b x xy (4) ' a a b b 3 x xy (5) Substituido as equações () e () em (4) e (5) teremos: max (6) d 3 8 M F D 8 T ' 4 8 M F d d 3 48 T (7) Estas equações os permitem determiar τ max ou σ quado o diâmetro(d) é dado ou determiar o diâmetro quado tivermos posse das tesões. Se a aalise ou projeto da árvore for baseada a teoria da máxima tesão de cisalhameto, etão τ max é: all S Sy S y As equações (6) e (8) são úteis para a determiação do fator de seguraça(), se o diâmetro for cohecido, ou para determiar o diâmetro se o coeficiete de seguraça for cohecido. (8) 3

Uma aalise similar pode ser feita levado em cota a teoria da eergia de distorção para falhas, ode a tesão de Vo Mises é: ' all S y 5.3. - CARREGAMENTO ESTÁTICO SUJEITO À FLEXÃO E TORÇÃO Em varias aplicações, a compoete axial (F) das equações (6) e (7) é próxima de zero ou tão pequea em relação às outras que pode ser descosiderada. Daí teremos: (9) max 6 d 3 (M T ) (0) ' 6 3 d 4 M 3 T É mais fácil resolver estas equações para se ecotrar o diâmetro. Substituido as equações (8) e (9) os temos: () d 3 M S y T 3 () Usado a teoria de máxima tesão de cisalhameto, se o diâmetro for cohecido, calcula-se da seguite forma: 3 d 3 S y M T (3) Se usarmos como base a teoria de eergia de distorção, teremos: d 6 4 M S y 3 3 T (4) 6 d 3 S Ode: = fator de seguraça. =,5 a,0 Sy = limite de escoameto do material. M = mometo Máximo o eixo. T = torque máximo. y 4 M 3 T (5) 33

5.4 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - CARREGAMENTO ESTÁTICO SUJEITO À FLEXÃO E TORÇÃO. Qual o diâmetro de um eixo mostrado a figura, feito de um aço AISI 035 lamiado F 700N 3,73kW Motor 750rpm I) Torque: Figura Egreagem o eixo. T 30 0 3.H., ode H=> Potêcia em KW, tem-se: 30 0 T 3.3,73.750 T 0,35N.m II) Mometo: F L 700 0,3 M.. M 5,5N.m III) Material: S y Pela Tabela => IV) Seguraça: Usar =. V) Diâmetro: 46MPa 34

d 3 M.Sy T 3. d 5,5.46 0 6 d 3,54mm 3 3 0,35. Do exercício aterior visto, tem-se: M 5,5N.m T 0,35N.m S y 46MPa d 3,47mm M 5,5N.m T 0,35N.m S y S u Ka 0,78 Kb 0,85 46MPa 55,5MPa Kc 0,93(S u Kd,0 Ke,0 Kf,0 50MPa) Se Se (0,78)(0,85)(0,93)()()()(0,504. 55,5 Se 70,MPa Ka.Kb.Kc.K d.ke.kf.se ' 3. 5,5 0,35 d 70, 0 6 55,5 0 6 d 8,50mm 0 6 ) 3 5.5 - DIMENSIONANDO EIXOS PELA NORMA ASME OBSERVAÇÃO: a orma ASME para Eixo de Trasmissão: - Não cosidera fadiga - Não cosidera cocetração de tesão 35

Segudo a orma ASME as máximas tesões são cisalhates: d 0,30.S yt d 0,8.S ut (6) d = máxima tesão cisalhate admissível S yt S u tesão escoameto admissível tesão de ruptura admissível As ormas prevêem que se as cocetrações de tesões estiverem presetes devido a etalhe em chavetas, a tesão máxima admissível deve ser dimiuída de 5%. A máxima tesão cisalhate em um eixo submetido à flexão-torção é dada por: max x x logo, M.y I a xy M. d.d 4 64 T M. y. d 6.T I.d 4.d 3 64 3.M.d 3 (7) max x. 3.M 6.T 4.d 3.d 3 mi 6.d 3 M T x tesão de flexão (psi) xy M tesão de torção (psi) mometo de flexão (lbf.i) T = mometo de torção (lbf.i) d = diâmetro dp eixo (i) Segudo o critério da ASME, mometo M e T devem ser multiplicados por fatores de correção devido a choques e fadiga. d 6.T. M T.d 3 d 6.T. C.M C T m t Fórmula da ASME (9).d 3 36

para diâmetro de eixos baseado a teoria da máxima tesão cisalhate. Fatores Cm e Ct dados a tabela. 5.6 - EIXOS E ÁRVORES SUJEITOS À FADIGA Qualquer árvore girate que sofre mometo de flexão e torção fixas estão sujeitos a uma iversão, reversão completa da tesão causada pelo giro da árvore, mais a tesão de cisalhameto permaecerá a mesma. ode: σ xa = Tesão de Amplitude Alterada xa 3 M a (0) d 3 xym τ xym = Tesão de Cisalhameto Costate 6 T m d 3 () Estas duas tesões podem ser maipuladas usado dois círculos de Mohr Se estivermos usado a teoria de máxima teção de cisalhameto, teremos: a a () m m (3) Se estivermos usado a teoria da eergia de distorção, teremos: a xa (4) m 3 xym (5) 5.6. - CRITÉRIO DE FADIGA GOODMAN Para qualquer eixo carregado com um mometo de flexão e torção fixos, estará submetido a uma flexão reversa provocado tesões alteradas e torção estacioária, provocado tesões médias. Assim tem-se: ax 3M a Usado estas expressões e a equação da liha de Goodma: d 3 mxy 6T m d 3 (6) a m S e S u (7) Pode-se obter, após desevolvimeto aalítico que: 37

3 3 M T a d m (8) S e S u 5.6. CRITÉRIO DE FADIGA - SODERBERG Utilizado o teorema da máxima tesão cisalhate: xy 6.T 3.M.d 3 x.d 3 Para qualquer plao fazedo um âgulo α com o plao horizotal tem: m 6.T.cos. valor médio.d 3 a 6.M.se. (amplitude da compoete alterativa).d 3 Por meio da geometria aalítica, tem-se que:.d 3 (9) T 6. M S sy S se 3 6. T M d. S sy S se Para o critério da máxima tesão cisalhate (usada) (30) 3 3. T M. d (3) S y S e sedo que: S sx 0,5.S x S y S e Fator de seguraça. Tesão de escoameto. Limite de resistêcia à fadiga. 38

Para casos mais gerais usar equação: 39

ode: T a d Torque (amplitude) 3 T M M M. 3. a m a am S e S S S y e y (3) T m M a M am Torque médio Mometo (amplitude) Mometo médio 5.7 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - CRITÉRIO DE FADIGA POR SODERBERG. Um eixo usiado é fabricado de um aço com Su = 550 MPa. Calcular. Dado: T = 6,0 KN R a 75.F 500 R tesão alterada 35.F 500 a max mi = max S e a a M I c 00Mpa M R.L I a S e 75.F.00 500 40KN.m.d 4 I ode: 64 c M K F. I c S e K a.k b.k c.k d.k e.s e 0,504.S u.d 3 d e c 3 40

a b K a a.s u a = 4,5 e b = -0,65 K 4,5.550 0, 65 0,847 K b 0,33 d 0,84 7,6 K c K d K e K f K f r 0,0857 K t,7 d K f q. K t ),58 q 0,80 D d, 48 logo, K e,58 0,633 logo, S e 4,4MPa S e a 4,4 99,08,5. A trasmissão represetada a figura é movida por um motor elétrico, assícroo, de idução, trifásico, com potêcia P= 3,7 kw e rotação = 40 rpm. Dimesioar o diâmetro da árvore, sabedo-se que a árvore é maciça e o material utilizado possui Su = 700 Mpa, Sy = 630 Mpa e o fator de projeto é,8, com as egreages echavetadas o eixo (adotar K f =,8). As egreages são cilídricas (ECDR) e possuem as seguites características geométricas: Z = 3; Z =49; Z 3 =8 e Z 4 = 47 m=,5 mm e âgulo de pressão 0º. 40

Calculemos o torque a árvore 3000 P Z M T.. Z Figura 3 - Exercício resolvido. A potêcia do motor - P = 3700 W Portato M T F 3000 3700 49.. 40 3 Esforços a trasmissão: Força tagecial (FT) Força tagecial (o primeiro par) Diâmetro primitivo T.M d 0 T M T 66.030N.mm d F m.z 0 T 03 3,5.49 d 0,5mm x66030 F T.078N,5 Diâmetro primitivo: d m.z,5.8 d 70mm 03 F T x66030 70 Força radial o primeiro par F R F T.tg 0º F T.887 N F R 078.tg 0º F R 39N 4

Força radial o segudo par F R F T.tg 0º F R 887.tg 0º F R 687 N Mometo fletor Plao vertical M A 0 600.R BV 687.500 39.00 R BV 638N F y R AV R AV 0 R BV 44N 39 687 Figura 4 Forças cisalhates, diagrama de mometo fletor o plao vertical M max R AV.500 39.400 M max 63.700N.mm 4

Plao Horizotal M A 0 600.R B H 078.00 887.500 R B H 393N F y R A H R A H 0 R BH 584N 087 887 M max M H M V M max 63700 39300 M max 53.74N.mm Figura 5 Forças cisalhates, diagrama de mometo fletor o plao horizotal Cálculo do diâmetro cosiderado cargas estáticas TMTC 3. d.(m.sy 3 T ) 3.,8 d.(5374 66030 ) d 6,95mm.630 TED 6. d.(4.m.sy S ' e 3 3 3.T ) d 6,99mm Cálculo do diâmetro cosiderado carregameto diâmico 0,504.S u S ' e 0,504.700 S ' e 35,8Mpa 43

a b K a a.s u a = 4,5 e b = -0,65 K 4,5.700 0, 65 0,784 K b d 7,6 0,33 K b 6,93 7,6 K c K d 0,33 0,9 K e K f K f,8 K e 0,357 S e S e K a.k b.k c.k d.k e.s ' 0,784x0,9xxx0,357x35,8 e Cálculo do diâmetro pelo critério de Goodma d 3. Ma. Tm Se Su 3 3.,8 555,3 d. 84,86 3 66030 700 d 3,5mm 5.8 CHAVETAS / PINOS Chavetas e pios são dispositivos mecâicos usados para fixar o eixo, egreages, polias e outros elemetos de tal forma que o torque possa ser trasmitido através dele. Os pios são usados com duplo propósito, o de trasmitir o torque e evitar deslocameto axial do compoete motado o eixo. A figura abaixo ilustra estes dispositivos. 44

Figura 6 Chavetas e Pios. 5.9 - UNIÃO DE EIXOS COM CUBOS O cubo é a parte cetra do elemeto (polia, egreagem, etc.) ode é realizado um rasgo para a fixação da chaveta. Figura 7 Uião de eixos com chavetas cúbicas. A chaveta é uma peça que vai ocupar o rasgo o eixo e o cubo, simultaeamete, fazedo a uião dos mesmos. Os pricipais tipos de chavetas, as mais usadas são defiidas por ormas (padrões). Estas chavetas são do tipo: Chaveta meia-lua (woodruff) Chaveta plaa. Chaveta icliada. A figura 8 mostra estas chavetas e a geometria, bem como a forma de usiagem do rasgo. Observar que os rasgos das chavetas meia-lua são usiados com fresa circular as chavetas plaas e icliadas com fresa circular e de topo. 45

Para exemplificar os padrões de chavetas tem-se: Uiões por adaptação de forma. Uiões por adaptação de forma com pretesão. Uiões por atrito. Chaveta meia-lua. Chavetas plaas e icliadas. Figura 8 Tipos de Chavetas 5.0 - DIMENSIONAMENTO DE CHAVETAS Como já foi visto ateriormete, as chavetas são tabeladas quato a sua secção.o dimesioameto da chaveta cosiste em determiar o seu comprimeto míimo (L), como é o caso das chavetas plaas e icliadas (as mais usadas). 46

Figura 9 Dimesioameto das chavetas. As tesões que atuam as chavetas são determiadas da seguite forma: Figura 0 Tesões atuates as chavetas. Quado a chaveta acopla (ue) um eixo e uma polia, a trasmissão de potecia do eixo para a polia, força a chaveta de forma icliada. Esta força (F) tede a cisalhar (rasgar) a seção AA da chaveta. Logo: F A F t.l Modelo Matemático (33) Comparado com o limite de resistêcia cisalhate ao escoameto (Ssy) e para um fator de seguraça, tem-se: S sy F t.l S sy (34) 5. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS CHAVETAS. Um eixo de aço AISI 08 (ABNT) trefilado a frio tem Ssy = 85MPa. Uma chaveta quadrada deve ser usada para acoplar um eixo de d = 40mm e uma egreagem, que trasmitirão,38kw a uma rotação de 00rpm. Usar fator de seguraça = 3,0. 47

F R T d => Força a chaveta d 40 R 0mm Como: T 30 0 3.H., ode H=> Potêcia em KW, tem-se Figura aplicação de chaveta. T Logo: 30 0 3.,38 T.00 94, F F 0 0 3 Para a chaveta, temos: F t.l L S sy F. t. S sy 973 3 L. 0,008 85 0 6 L 9,7mm 973 N 94, N.m Observar que, o comprimeto míimo é L = 9,7mm como a geometria do cubo é maior do que o diâmetro do eixo, e como as chavetas têm o comprimeto do cubo, pode-se dizer que o comprimeto da chaveta a ser usada é: L 40mm 48

5. - VIBRAÇÃO DE EIXOS A figura mostra um rotor cosistido de um grade disco de massa M motado em um eixo, a metade da distâcia etre os macais. A massa do eixo será cosiderada desprezível comparada com M. Mesmo com um balaceameto de alto grau de precisão, há cotudo uma pequea excetricidade e do cetro de massa g do disco, em relação ao eixo de rotação. Por causa da excetricidade, a força cetrífuga ocasioada pela rotação do eixo faz com que este sofra uma deflexão r. Visto pela extremidade do eixo como a figura, o cetro O do disco parece estar girado em toro do eixo de rotação sobre uma circuferêcia de raio r. A força de iércia causada por este movimeto forçado é F o = M(r + e) w. Devido à deflexão do eixo, cosiderado como uma mola, a resistêcia à força de iércia é kr, sedo k a costate de mola do eixo a flexão. O setido da aceleração do cetro de gravidade g é cohecido este caso, de modo que se pode mostrar o vetor MA como uma força de iércia F o (como a figura ). Pode-se etão escrever a equação do equilíbrio estático: F 0 M ( r e ) w k r 0 (35) Figura - Rotor com disco 49

Para se determiar o raio r, pode-se apresetar a equação (35) da seguite forma: r e w k w M (36) Quado a velocidade ω do eixo for igual a e (w / w ) (37) k / M, o deomiador da equação (36) se aulará e r atigirá valores itoleravelmete grades. A rotação do eixo assim defletido parece com uma viga em vibração quado visto do lado ode somete pode-se observar a projeção do movimeto. Portato, pode-se cosiderar k / M do eixo rotativo como a freqüêcia circular atural ω da viga quado levada a vibrar aturalmete o seu primeiro modo de vibração. Pode-se escrever a equação (36), a forma adimesioal: r (w / w ) A represetação gráfica da equação (37) e idica a codição crítica de rotação, quado ω for igual a ω = k / M, devido às amplitudes muito grades da vibração do eixo. Na codição crítica, chama-se ω de ω c e a velocidade de rotação do eixo em rotações por miuto será 60 60 c w c w (38) ode ω = c k / M ormalmete é expresso em rad/s. Assim, 60 60 k k kg k k w 9, 55 9, 55 9, 9 30 M M P P P (39) a qual c è a velocidade crítica em rotação por miuto, k está em Newtos por metro e M. em quilogramas. Pode-se calcular a costate k da mola através da deflexão estática δ est do eixo devido ao peso do rotor. Assim, k = Mg/δ est e quado substituído a equação (39), a velocidade crítica será expressa pela seguite equação: c 30 est (40) Segudo os livros-texto de resistêcia dos materiais, pode-se calcular a deflexão estática de uma carga P atuado o cetro de uma viga uiforme bi-apoiada, como δ est = Pl 3 /48 EI A. Assim, a velocidade crítica de um eixo com uma massa M situado o meio da viga, pode ser calculada em termos das dimesões do eixo (l é o comprimeto do eixo, etre apoios, I A é o 50

mometo de iércia da área da seção reta do eixo, igual a πd 4 /64, d é o diâmetro do eixo) e do módulo de elasticidade E do material do eixo. c 46 Ed 4 Pl 3 (4) Assim, de acordo com a equação (4), pode-se alterar o material e as dimesões do eixo, assim como o peso da massa Af, de modo que a velocidade crítica c seja superior ou iferior à velocidade de projeto a qual deseja-se operar. Caso / c for meor do que 0,707 ou maior do que,44, r será meor do que o dobro da excetricidade e. Por exemplo, se a excetricidade e for 0,05 mm, r será 0,050 mm quado / c =. É iteressate observar que em velocidades muito acima da crítica (ω/ω >>,0), o valor de r/e = - e r = - e, idicado que o cetro de massa de M estará o eixo de rotação. Neste caso a massa ão estará oscilado, porém o eixo oscilará em toro do cetro de massa de M. Até agora, cosiderou-se desprezível a massa do eixo. No caso da massa do eixo ser grade bastate para ão ser desprezada, e o eixo ter diâmetro uiforme, deve-se somar à massa M 50 por ceto da massa m do eixo, para se determiar à freqüêcia circular atural. w k (M 0, 5m) (4) Coforme mostra a figura, supõe-se que os macais do eixo sejam rígidos. Em certos casos, pode-se cosiderar os macais como elasticamete apoiados, e este caso o δ est da equação (40) deve icluir a deflexão estática dos apoios assim como a deflexão do eixo. Etretato, aplica-se a equação (40) somete quado a flexibilidade dos apoios for a mesma para todas as posições agulares do rotor. 5.3 - FREQÜÊNCIA NATURAL E VELOCIDADE CRÍTICA Pode-se ter uma variedade muito grade de cofigurações de rotores desde que sejam usadas diversas massas e diversos apoios, assim como eixos de diâmetros variáveis. Embora as curvas do fator de amplificação sejam difíceis de serem obtidas matematicamete, as velocidades críticas dos eixos são determiadas com relativa facilidade através de cálculos de freqüêcia atural. No próximo item, serão apresetados diversos casos de determiação da velocidade crítica a partir da freqüêcia atural. 5

5.4 - FREQÜÊNCIA NATURAL DE EIXOS COM DIVERSAS MASSAS Em um eixo rotativo com diversas massas coforme mostra a figura 3a, pode-se determiar a freqüêcia circular atural ω do eixo que, sem girar, vibra livremete, sem amortecimeto, após uma deflexão iicial o primeiro modo de vibração. Pode-se aplicar o método de Rayleigh este caso. Cosiderado que o sistema vibratório é coservativo, a soma da eergia potecial e da ciética é costate em qualquer fase da vibração. Duas destas fases aalisam-se facilmete. Na fase em que todas as massas estão simultaeamete os máximos deslocametos Y, a eergia armazeada elasticamete o eixo é igual è eergia potecial FY/. Nesta fase a eergia ciética é zero porque todos os potos do sistema estão mometaeamete com velocidade zero. Assim, a eergia potecial é EP F Y F Y... F Y (43) As forcas F são as ecessárias para a deflexão do eixo, como se fosse uma mola, ate ficar com a coformação mostrada esta fase. O produto forca-deslocameto determia eergia potecial. Etretato, como a forca e diretamete proporcioal ao deslocameto, a forca media que atua durate o deslocameto Y e F/. Durate a vibração, o eixo passa pela fase de repouso (ão deformada) a qual a eergia potecial e zero, mas a eergia ciética e máxima porque as velocidades das massas são máximas. Cosiderado que as massas tem movimeto harmôico simples, as velocidades são V = Yω e as eergias ciéticas são MV / = M(Yω ) /. sistema é Assim, a eergia ciética do EC w M Y M Y w M Y PY P Y...... g P Y (44) (a) Flexão diâmica 5

W W W3 d d d3 (b) Flexão estática Figura 3 Flexão Igualado-se os membros da direita das equações (43) e (44), pode-se deter-miar a freqüêcia circular atural ω. Etretato, as forças F e os deslocametos Y ão são cohecidos, mas podem ser determiados cosiderado-se a forma do eixo defletido estaticamete sob a ação dos pesos coforme idica a figura 3b. Cosiderado que os deslocametos Y da vibração são proporcioais as deflexões δ da deformação estática, etão Y Y... Y (45) Como as formas para defletirem uma mola são proporcioais as deflexões etão F Y, F Y, F Y P P P (46) Igualado as expressões da eergia potecial e da ciética dadas pelas equações (43) e (44) e usado as equações (45) e (46) para a elimiação de F e Y, a equação resultate que da a freqüêcia circular atural é P w P... P g P P... P P g P (47) w e a velocidade critica pode-se determiar de c = 60 ω /π. A equação de Rayleigh equação (47) e uma expressão simples e altamete útil para determiar a freqüêcia atural fudametal de muitos tipos de rotores. A determiação da deflexão estática costitui a maior parte do esforço ecessário a execução dos cálculos coforme está ilustrado os exemplos seguites. As fórmulas de deflexão de vigas, para iúmeros casos, estão dispoíveis em livros texto de resistêcia dos materiais e em mauais. Pode-se aplicar o método da área do diagrama de mometo fletor e outros em casos gerais. Dispõe também de métodos gráficos, coforme ilustrado o item seguite, para a determiação das deflexões estáticas de rotores com eixos de diâmetros variáveis. 53

Para iclusão da massa do eixo os cálculos, deve-se dividi-lo em diversos comprimetos, cada um tratado como se fosse uma massa adicioal. A equação (47) ão e estritamete uma avaliação exata da freqüêcia atural porque a curva das deflexões estáticas ão e proporcioal exatamete a curva deflexões diâmicas, como foi cosiderado. Etretato, o resultado obtido equação e somete um ou dois por ceto superior a freqüêcia atural fuda verdadeira. Cosiderado que outros fatores tais como efeitos giroscópicos durate a oscilação, ajustages forçadas de discos o eixo, e chavetas alteram raramete a velocidade critica, a equação (47) produz uma resposta aceitável. A deflexão dos apoios pode ter uma ifluecia maior sobre as velocidades críticas e devem ser acrescidas as deflexões do eixo, a equação (47). A freqüêcia atural dada pela equação (47) é a fudametal, ou a mais baixa freqüêcia do sistema de massas. É desejável, portato, se possível projetarem-se as dimesões de um, eixo de tal modo que a velocidade crítica mais baixa seja superior à velocidade de projeto. Etretato, em sempre isso é possível. Em turbias de alta rotação, a velocidade de operação pode estar etre duas velocidades críticas de modo que o eixo ão ecessita torar-se excessivamete pesado. Neste caso, é ecessária a passagem pela velocidade crítica mais baixa, o que pode ser perigoso. Etretato, se o rotor estiver cuidadosamete balaceado e a primeira velocidade crítica for baixa, as forças perturbadoras serão pequeas as regiões perto da crítica. Também, a amplitude de vibração à velocidade crítica aumeta a íveis perigosos somete se for permitido um tempo para a amplitude crescer; portato, acelerado-se a passagem pela velocidade crítica, pode-se mater as amplitudes em itesidades aceitáveis. O amortecimeto atural do material do eixo, embora pequeo, também tede a reduzir as amplitudes. Muitas máquias bem sucedidas foram projetadas para fucioar etre velocidades críticas. Quado o eixo se estede para fora dos macais como a figura a, deve-se iverter os setidos dos pesos como idica a figura b a determiação das deflexões estáticas para emprego a equação (47). Deve-se otar que se simula dessa maeira a curva da deflexão diâmica de meia-oda, para obteção da freqüêcia atural mais baixa. 54

(a) (b) Figura 4 Freqüêcia atural da estrutura 5.5 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS VIBRAÇÕES EM EIXOS. Um rotor de compressor de 5 kg e um rotor de turbia, de 5 kg, são motadas em um eixo de aço coforme mostra a figura 3a. O eixo deve operar à velocidade prevista de 0.000 rpm. Empregado a equação de Rayleigh (47) determie o diâmetro do eixo mais leve que possa ser usado para que teha uma velocidade critica fudametal de.000 rpm, com uma margem de seguraça de.000 rpm. 55

(a) (b) (c) (d) Figura 5 Aplicação de vibrações em um eixo Coforme a figura 5b mostra, iverte-se a carga P a fim de se obter uma curva de deflexão com o formato do uma meia-oda simples. As figuras 5c e 5d mostram a forma da viga deformada sob a ação de cada carga atuado idepedetemete, coduzido assim a dois casos cujas fórmulas deflexão estática mostradas a seguir ecotra-se em livros-texto de resistêcia dos materiais. Pelo método da superposição, pode-se determiar as deflexões δ e δ : Pl 3 P l a 48EI A 6EI A 5 0, 50 3 5 0, 50 0, 5 0,369 EI A 48 6 EI A Pl a P a (l a) 0, 3 6EI A 3EI A EI A Usado-se a equação (47), 56

P g P 5 0,369 5 0, 33 gei P A P 5 0,369 5 0, 33 w Para g= 9,8m/s² e E=, x 0 0 kg/m² w 8, 678 0 0 I A I 0, 043 0 0 w A Para c =.000 rpm w A c 60 rad/s 60 A Portato, o mometo de iércia ecessário do eixo é: I 0, 043 0 0 60 Como I A = πd 4 /64, d 4 64 I 395973, 476 0-0 d 0, 0793 m 79, 9 mm Deve-se usar um diâmetro de 80mm.. Os apoios do rotor do exemplo, figura 5a, foram cosiderados como rígidos. Determie a velocidade crítica do rotor do exemplo se cada um dos apoios sofrer uma deflexão de 0,4/EI A sob um carregameto estático. Use I A =,84 x 0-6 m 4 e E =, x 0 0 kg/m. Devido à flexibilidade dos apoios, as cargas P l e P terão uma deflexão adicioal. Coforme idica a figura 6, sob o carregameto, o apoio da esquerda desloca-se para baixo e o da esquerda para cima. Como se pode ver, ão há ifluêcia obre a deflexão da carga P, porém o deslocameto de P l aumeta de 0,8/EI A. Portato as deflexões estáticas totais são 0,369 0, 33 0, 8 0, 6 EI A EI A EI A EI A. Substituido estes valores a equação (47), 57

w 77460 w 880, rad/s c 60 60 w (880) 8404 rpm 5.6 - EIXOS ESCALONADOS A equação (47) para velocidade crítica se aplica a eixos de rotores do tipo mostrado a figura 0a, o qual o diâmetro varia em degraus. Etretato, como I A é variável em tais casos, ão se derivam com facilidade para as deflexões estáticas. Pode-se usar um dos diversos métodos gráficos, tal como o seguite. 0, 8 0,4 EI 0,4 EI A EI A Figura 6 Eixos Escaloados Deve-se recordar da resistêcia dos materiais que para se determiar à deflexão estática deve-se resolver a equação diferecial básica: d y M dx EI A (48) Na qual y é a deflexão, M é o mometo fletor como fução de x, e I A é O mometo de iércia da seção reta do eixo, como fução de x. Itegrado-se duas vezes a equação (48) obtém-se a deflexão da viga. A primeira itegração coduz a dy/dx, icliação da curva elástica da viga deformada. Além disso, iiciado-se com as cargas da viga, ecessitam-se de duas itegrações para a obteção do diagrama do mometo fletor. Assim, ecessita-se de quatro itegrações para se obterem as deflexões a partir do carregameto cohecido. Como o processo de itegração é o somatório de áreas sob as curvas, pode-se empregar um método gráfico para um somatório para vigas complexas que têm fuções com umerosas descotiuidades. O método gráfico exige que as curvas sejam traçadas em escala 58

a fim de que as áreas sob as curvas possam ser avaliadas através da medição de quadrados ou usado-se um plaímetro. A figura 7a mostra um rotor de aço com uma egreagem de 89,0 N e um eixo de três diâmetros diferetes. Divide-se a viga em cico partes, mostrado-se os pesos de cada parte o respectivo cetro de gravidade. Uma delas iclui o peso da egreagem. A figura 7a é um diagrama de carregameto a partir do qual pode-se determiar o diagrama de esforço cortate mostrado a figura 7b através de métodos covecioais (a primeira itegração). Obtém-se o diagrama de mometo fletor da figura 7c através das áreas do diagrama de esforço cortate (a seguda itegração). Por exemplo, a ordeada M é obtida a partir da área A l, a ordeada M, A é a soma das áreas A +A e a ordeada M é. Deve-se levar em cota o sial de cada área. Devem-se multiplicar as áreas em milímetros quadrados pelo fator de coversão apropriado obtido das escalas do diagrama de esforço cortate, afim de que as ordeadas do diagrama de mometo fletor sejam em N/mm. 59

Figura 7 Deflexões em um eixo de carregameto cohecido Depois de realizadas as itegrações, deve-se trasformar o diagrama de mometo fletor o diagrama M/EI A coforme exigido pela equação (48). Divide-se cada ordeada do diagrama de mometo fletor pelo valor adequado de EI A (E = 07x x 0 3 N/mm para o aço e I A = πd 4 /64) para obteção das ordeadas M/EI A da figura 7d. Obtém-se as ordeadas da figura 7 e represetado a icliação dy/dx da elástica (terceira itegração), através das áreas do diagrama M/EI A. As ordeadas traçadas a partir do eixo x' são todas positivas. Etretato, sabese do formato esperado da elástica que as icliações são egativas perto da extremidade da esquerda da viga, positivas a extremidade da direita e as proximidades do meio da viga há uma icliação ula. Assim, traça-se o eixo x escolhido arbitrariamete de tal modo que as 60

áreas egativas sejam aproximadamete iguais às positivas, a figura 7e. Faz-se a quarta itegração usado-se as áreas da figura 7e para obteção das ordeadas da deflexão estática y a figura 7f. Observa-se que as ordeadas da deflexão estática são egativas porque as áreas da curva dy/dx são egativas a extremidade da esquerda ode se iicia a itegração. Embora estas ordeadas sejam levatadas a partir do eixo x\ traça-se o eixo x coforme idicado porque se sabe que são ulas as deflexões da viga os apoios. Como o eixo x, traçado arbitrariamete o diagrama da icliação da elástica figura 5e, havia dividido igualmete as áreas egativas e positivas, etão o eixo x' e o x da figura 5f deveriam coicidir. Dos dados das curvas a e f, calculam-se os seguites valores: Py, 94 N mm Py w g Py 0, 794 0 6 Py w c 865 rad/s 60(865) 860 rpm 0, 0385 mm 5.7 - VELOCIDADES CRÍTICAS DE ORDEM SUPERIOR Para rotores que tem eixos de diâmetros variáveis como o item precedete, a determiação da seguda velocidade critica e as velocidades de ordem superior quato à flexão, e relativamete mais complexa do que o cálculo da velocidade crítica fudametal da equação (47). Os livros-texto de Timosheko, De Hartog e Thomso apresetam métodos para rotores com tais eixos e para um úmero de rotores com eixos uiformes com e sem massas cocetradas. No casos de vigas uiformes simplesmete apoiadas e vigas uiformes em balaço para as quais a formula seguite calcula as diversas freqüêcias aturais: w C EI A g Pl 3 E o coeficiete que idica a -ésima freqüêcia atural, P e o peso total da viga em kg, e / e o comprimeto da viga em metros. O eixo de trasmissão do automóvel e eixo de bobia são exemplos de vigas uiformes simplesmete apoiadas, e as palhetas de compressores e de (49) turbias são exemplos aproximados de vigas uiformes em balaço. 6

Cosideremos o caso da palheta do rotor mostrada a figura 8. Mostra-se a palheta como uma viga em balaço a qual sofre um ciclo de perturbação de flexão cada vez que passa por uma palheta do estator e provoca uma mudaça a força aerodiâmica. Se N e o úmero de palhetas do estator, etão a freqüêcia da perturbação em ciclos por miuto será o produto de N pela rotação do rotor em rpm. Quado essa freqüêcia coicidir com a freqüêcia atural f da palheta devida à flexão, existira uma situação crítica. Para a palheta de aço mostrada a figura 6, os cálculos seguites ilustram a determiação das diversas velocidades criticas do rotor para o caso de um estator de 30 palhetas. E 07 x0 3 N / mm g 980mm / s I 76,mm I A 3 bh 5,4 x3,8 3 68,mm 4 p 76,5x0 6 N / mm 3 P volume p (5, 4 76, 3,8)(76, 5 0 6 ) 0, 47 N w c EI Ag Pl 3 3, 5 (07 0 3 ) 68, 980 0, 47 76, 3 870 rad/s 60 w 60 f 870 7, 400 ciclos/mi Figura 8 Ecaixe palheta e rotor 6

f A velocidade crítica do rotor ocorre gerado N c. c f 7400 N 30 c 93 rpm A seguda e a terceira velocidades críticas são c c c, 4 3, 5 93 580 rpm c3 c 3 c c 6, 7 3, 5 93 6000 rpm Em geral as palhetas de rotores devem ser delgadas e leves para maquias de alta rotação e freqüetemete ultrapassam a primeira e a seguda velocidades criticas. A seleção do material e importate. Algus materiais possuem propriedades de amortecimeto melhores do que outros, e isto pode sigificar a difereça etre o êxito e o fracasso em ultrapassar as velocidades criticas. As palhetas geralmete são curvas e sua espessura dimiui gradualmete, sedo maior a base do que a extremidade: isto tora a palheta mais rígida e aumeta um pouco a velocidade critica. Observação: ão deve ser utilizado em vigas ão uiformes. 5.8 - EIXOS ESCALONADOS Quado o eixo tem os diâmetros escaloados como o do rotor de dois discos mostrados a figura, a costate da mola torcioal é variável. Pode-se determiar uma costate equivalete k t em fução das costates idividuais k l, k, k 3...K. Para molas em série, o torque istatâeo T em cada seção do eixo é o mesmo. Etretato, os âgulos de torção diferetes. O âgulo total de torção Φ t é a soma de todos os âgulos idividuais de torção. 3... T T T T T... k t k k k 3 k... k t k k k 3 k k k t Para o rotor com dois discos e com eixos de diâmetro variável, pode-se substituir k t, determiado pela equação (50). (50) 63

Figura 9 - Eixo e macais 5.9 EXERCÍCIOS PROPOSTOS - DIMENSIONAMENTO DE EIXOS. O eixo da figura suporta uma egreagem cilídrica de detes retos para uma rotação de 35 rpm. O diâmetro primitivo da egreagem é de 364 mm, t=30mm, t=0 mm, t=90 mm. Dimesioe este eixo, calculado o valor de d. A egreagem é echavetada o eixo. A carga total atuado o eixo é de 5 KN. Figura - Exercício proposto.. Um eixo é fabricado com aço AISI 37, lamiado a frio, e é usado em um cortador de grama. A potêcia é suprida ao eixo por uma correia plaa à polia A. Em B, uma correte de rolos exerce uma força vertical e em C uma correia trapezoidal também exerce uma força vertical. Nas codições de operação a correia trasmite 35 HP a 45 rpm das quais 5 HP é trasmitida ao cortador e 0 HP para o vetilador. As duas seções do eixo são 64

uidas por um acoplameto flexível em D e as polias são todas echavetadas o eixo. Decida qual serão os diâmetros dos eixos, utilizado a teoria de falhas de Vo Mises e o critério de Goodma. Figura - Exercício proposto. 65

3. Um eixo S de aço AISI 37, lamiado a frio, trasmite potecia que recebe de um eixo W, que gira a 000 rpm através de uma egreagem E de 5 mm de diâmetro à egreagem A de 375 mm de diâmetro. A potêcia é trasmitida de uma egreagem C para a egreagem G, que varia de 0 HP a 00 HP, retorado a 0 HP, durate uma rotação de do eixo S. O projeto leva em cota as tesões variáveis e a teoria da máxima tesão cisalhate TMT C e o critério de Goodma. Para um fator de projeto =,8, calcule o diâmetro do eixo, utilizado somete as cargas tageciais motoras. Figura 3 - Exercício proposto 3. 66

4. Idêtico ao aterior, exceto que as compoetes radiais das egreages devem também ser cosideradas, todas as egreages com âgulo de pressão 0 o. 5. Idêtico ao exercício 4, exceto que a egreagem G se posicioa em cima da egreagem C. 6. Um pequeo eixo é fabricado com aço SAE035, lamiado a quete, recebe potêcia de 30 HP a 300 rpm, através de uma egreagem de 300 mm de diâmetro, sedo esta potêcia trasmitida a outro eixo através de um acoplameto flexível. A egreagem é echavetada o meio do eixo etre dois macais, com âgulo de pressão 0 o, fator de seguraça =,5. (a) Desprezado a compoete radial R da carga total W, determie o diâmetro do eixo. (b) Cosiderado ambas compoetes radiais e tagecial, determie o diâmetro do eixo. Figura 4 - Exercício proposto 6. 67