EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NOTAS DE AULA

Ministério da Educação Univrsidad Tcnológica Fdral do Paraná ampus uritiba Grência d Ensino Psquisa Dpartamnto Acadêmico d Matmática EQUAÇÕES DIFERENIAIS NOTAS DE AULA

Equaçõs Difrnciais AULA 0 EQUAÇÕES DIFERENIAIS INTRODUÇÃO: Ants d mais nada, vamos rcordar a difrnça ntr a drivada a difrncial, pois, mbora a drivada a difrncial possuam as msmas rgras opracionais, sss dois opradors têm significados bastant difrnts. As difrnças mais marcants são: a a drivada tm significado físico pod grar novas grandzas físicas, como por mplo a vlocidad a aclração; a difrncial é um oprador com propridads puramnt matmáticas; b a drivada transforma uma função m outra, mantndo uma corrspondência ntr os pontos das duas funçõs (por mplo, transforma uma função do sgundo grau m uma função do primiro grau; a difrncial é uma variação infinitsimal d uma grandza; c a drivada é uma opração ntr duas grandzas; a difrncial é uma opração qu nvolv uma grandza; d o rsultado d uma drivada não contém o infinitésimo m sua strutura; consqüntmnt, não ist a intgral d uma drivada; a intgral só pod sr aplicada a um trmo qu contnha um difrncial (infinitésimo; S for fito o quocint ntr os dois difrnciais, tm-s: m total smlhança com a dfinição d drivada. A consqüência dirta dss fato é qu a drivada não é o quocint ntr duas difrnciais, mas comporta-s como s foss ss quocint. Isto significa qu a partir da rlação: é possívl scrvr: d f(.d qu s dnomina quação difrncial. f uma das aplicaçõs mais importants nvolvndo drivadas difrnciais é a obtnção da quação difrncial, tapa fundamntal para a introdução do álculo Intgral.. - Dfinição: Equação difrncial é uma quação qu rlaciona uma função suas drivadas ou difrnciais. Quando a quação possui drivadas, stas dvm sr passadas para a forma difrncial. As quaçõs difrnciais da forma f ( são chamadas d autônomas. Emplos: d d d d 0 4 d d d d 0 "' ( " ' cos

Equaçõs Difrnciais 5 6 ( " ( ' z z 7 z z z. - lassificação: Havndo uma só variávl indpndnt, como m ( a (5, as drivadas são ordinárias a quação é dnominada quação difrncial ordinária. Havndo duas ou mais variávis indpndnts, como m (6 (7, as drivadas são parciais a quação é dnominada quação difrncial parcial... - Ordm: A ordm d uma quação difrncial é a ordm d mais alta drivada qu nla aparc. As quaçõs (, ( (7 são d primira ordm; (, (5 (6 são d sgunda ordm (4 é d trcira ordm... - Grau: O grau d uma quação difrncial, qu pod sr scrita, considrando a drivadas, como um polinômio, é o grau da drivada d mais alta ordm qu nla aparc. Todas as quaçõs dos mplos acima são do primiro grau, cto (5 qu é do sgundo grau. Emplos: As quaçõs difrnciais parciais srão vista mais adiant. d d d d d d d d a ordm o grau d d ln ln ln d d d d. d d a ordm o grau Obsrv qu nm smpr à primira vista, pod-s classificar a quação d imdiato quanto a ordm grau.. Origm das Equaçõs Difrnciais: Uma rlação ntr as variávis, ncrrando n constants arbitrárias ssnciais, como 4 ou A B, é chamada uma primitiva. As n constants, rprsntadas smpr aqui, por ltras maiúsculas, srão dnominadas ssnciais s não pudrm sr substituídas por um númro mnos d constants. Em gral uma primitiva, ncrrando n constants arbitrárias ssnciais, dará origm a uma quação difrncial, d ordm n, livr d constants arbitrárias. Esta quação aparc liminando-s as n constants ntr as (n quaçõs obtidas juntando-s à primitiva as n quaçõs provnints d n drivadas sucssivas, m rlação a variávl indpndnt, da primitiva.

Equaçõs Difrnciais Emplos: Obtr a quação difrncial associada às primitivas abaio: a 6 b sn cos c d

Equaçõs Difrnciais a cos( b ond a b são constants f - AULA 0 EXERÍIOS ( 4 cos sn 5 ( 6 - Lg 7 a 8 5 9 A B 0 A B ln A B Rspostas: d d 0 d 0 d d 4 4 0 d d d d d d 5 0 d d d d d 6 0 d d d 7 ln 0 d 8 9 d d 5 0 d d d 0 d d d d d d d d 6 d d 6 0 d d d " ' ( ' 0 0 0 4

Equaçõs Difrnciais AULA 0.4 - Rsolução: Rsolvr uma ED é dtrminar todas as funçõs qu, sob a forma finita, vrificam a quação, ou sja, é obtr uma função d variávis qu, substituída na quação, transform-a numa idntidad. A rsolução d uma quação difrncial nvolv basicamnt duas tapas: a primira, qu é a prparação da quação, qu consist m fazr com qu cada trmo da quação tnha, além d constants, um único tipo d variávl. A sgunda tapa é a rsolução da quação difrncial consist na aplicação dos métodos d intgração..5 - urvas Intgrais: Gomtricamnt, a primitiva é a quação d uma família d curvas uma solução particular é a quação d uma dssas curvas. Estas curvas são dnominadas curvas intgrais da quação difrncial. Emplo: d d.6 Tipos d Solução: Solução gral: A família d curvas qu vrifica a quação difrncial, (a primitiva d uma quação difrncial contm tantas constants arbitrárias quantas form as unidads d ordm da quação. Solução particular: solução da quação dduzida da solução gral, impondo condiçõs iniciais ou d contorno.gralmnt as condiçõs iniciais srão dadas para o instant inicial. Já as condiçõs d contorno aparcm quando nas quaçõs d ordm suprior os valors da função d suas drivadas são dadas m pontos distintos. Solução singular: hama-s d solução singular d uma quação difrncial à nvoltória da família d curvas, qu é a curva tangnt a todas as curvas da família. A solução singular não pod sr dduzida da quação gral. Algumas quaçõs difrnciais não aprsntam ssa solução. Ess tipo d solução srá visto mais adiant. As soluçõs ainda podm sr: Solução plícita: Uma solução para uma EDO qu pod sr scrita da forma f ( é chamada solução plícita. Solução Implícita: Quando uma solução pod apnas sr scrita na forma G (, 0 trata-s d uma solução implícita 5

Equaçõs Difrnciais Emplo: onsidrmos a rsolução da sguint EDO: d d d ( d c A solução gral obtida é obviamnt uma solução plicita. Por outro lado, pod-s dmonstrar qu a EDO: d tm como solução:, ou sja, uma solução implícita. d.7 - Eistência unicidad d solução para uma EDO Três prguntas importants sobr soluçõs para uma EDO.. Dada uma quação difrncial, srá qu la tm solução?. S tivr solução, srá qu sta solução é única?. Eist uma solução qu satisfaz a alguma condição spcial? Para rspondr a stas prguntas, ist o Torma d Eistência Unicidad d solução qu nos garant rsposta para algumas das qustõs dsd qu a quação tnha algumas caractrísticas. Torma: onsidr o problma d valor inicia d p( q( d ( 0 0 S p( q( são continuas m um intrvalo abrto I contndo 0, ntão o problma d valor inicial tm uma única solução nss intrvalo. Alrtamos qu dscobrir uma solução para uma Equação Difrncial é algo similar ao cálculo d uma intgral nós sabmos qu istm intgrais qu não possum primitivas, como é o caso das intgrais lípticas. Dssa forma, não é d s sprar qu todas as quaçõs difrnciais possuam soluçõs..8 - Problmas d Valor Inicial (PVI Uma quação difrncial satisfazndo algumas condiçõs adicionais é dnominada Problma d Valor Inicial (PVI. Emplo: ' arctan( (0 π S form conhcidas condiçõs adicionais, podmos obtr soluçõs particulars para a quação difrncial s não são conhcidas condiçõs adicionais podrmos obtr a solução gral. 6

Equaçõs Difrnciais - EQUAÇÕES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU São quaçõs d a ordm o grau: d F (, Md Nd d 0 ou m qu M M(, N N(,. Estas funçõs têm qu sr contínuas no intrvalo considrado (-,. TIPOS DE EQUAÇÃO:.. - EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS. S a quação difrncial M(,.d N(,.d 0 pudr sr colocada na forma P(.d Q(.d 0, a quação é chamada quação difrncial d variávis sparávis. Rsolução: P (.d Q(.d Emplos: Rsolvr as sguints quaçõs: d d d d 0 7

Equaçõs Difrnciais 4 d d 0 4 tg. sc d tgsc d 0 5 ( d d 0 8

Equaçõs Difrnciais 6 d d ( 7 d d AULA 0 EXERÍIOS d tg. 0 d 4 d ( d 0 ( d - ( d 0 4 d ( d 0 d 5 d 4 6 ( d ( d 0 d d 7 a d d 8 sc tg d sc tg d 0 9 ( a ( b d ( a ( b d 0 0 ( d d 0 ( d d 0 d cos 0 d Rspostas: cos ln( ( ( 4 5 arctg 6 ln k ln a a 7 8 tg. tg a 9 a ln barctg a b 0 c(. K sn 9

Equaçõs Difrnciais AULA 0.. - EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS Uma função f f(, é dnominada homogêna d grau k s, para todo t R, val a rlação f(t, t t k f(,. Uma função f f(, é homogêna d grau 0 s, para todo t R, val a rlação f(t, t f(, Emplos: A função f(, é homogêna d grau. g (, h (, arctg são funçõs homogênas d grau 0 Uma forma simpls d obsrvar a homognidad d uma função polinomial é constatar qu todos os monômios da função possum o msmo grau. No caso d uma função racional (quocint d polinômios, os mmbros do numrador dvm tr um msmo grau m os mmbros do dnominador dvm também tr um msmo grau n, sndo qu o grau da prssão do dnominador pod sr mnor ou igual qu o grau da prssão do numrador. Uma quação difrncial d primira ordm na forma normal f(, é dita homogêna s f f (, é uma função homogêna d grau zro. Emplos: d d ' ' arctg Rsumindo, As quaçõs homogênas são as da forma Md Nd 0, ond M N são funçõs homogênas m do msmo grau.... Rsolução: Sja a quação homogêna Md Nd 0 Tm-s: d M d N Dividindo-s o numrador o dnominador do sgundo mmbro por lvado a potncia igual ao grau d homognidad da quação, rsultará uma função d /. d d F ( É ncssário, no ntanto, substituir a função / por uma outra qu prmita sparar as variávis. 0

Equaçõs Difrnciais Dssa forma, substitui-s por u. u. ( Drivando.u m rlação a tm-s d d du u ( d Substituindo ( ( m (, tmos: du u F( u d du F( u u d du d F( u u Qu é uma quação d variávis sparávis. Em rsumo: Pod-s rsolvr uma Equação Difrncial Homogêna, transformando-a m uma quação d variávis sparávis com a substituição.u, ond u u( é uma nova função incógnita. Assim, d du ud é uma quação da forma f(, pod sr transformada m uma quação sparávl. Emplos: ( d d 0

Equaçõs Difrnciais AULA 0 EXERÍIOS ( d ( d 0 ( d ( 4 d 0 ( d ( d 0 4 ( d ( d 0 5 ( d d 0 d d d d 6 4 4 0 7 Dtrminar a solução particular da quação ( d d 0 para. Rspostas: K 4 K k 4 ln 5 k 6 ± 7 8 arctg

Equaçõs Difrncias AULA 04.. EQUAÇÕES REDUTÍVEIS ÀS HOMOGÊNEAS E EQUAÇÕES REDUTÍVEIS ÀS DE VARIÁVEIS SEPARADAS; São as quaçõs qu mdiant dtrminada troca d variávis s transformam m quaçõs homogênas ou m quaçõs d variávis sparávis. São quaçõs da forma: a b c d d F a ond a, a, b, b, c c são constants. b c Obsrvmos qu a quação acima não é d variávis sparávis porqu tmos uma soma das variávis também não é homogêna pla istência d trmos indpndnts, portanto dvrmos liminar ou a soma ou o trmo indpndnt. O qu quival a ftuar uma translação d ios. v P u Para ss tipo d quação tm dois casos a considrar: a b... O dtrminant é difrnt d zro a b Rsolução: a b c 0 Sja o sistma ( cuja solução é dada plas raízs α β. a b c 0 A substituição a sr fita srá: u α d du v β d dv Obsrva-s qu, gomtricamnt, quivalu a uma translação dos ios coordnados para o ponto ( α, β qu é a intrsção das rtas componnts do sistma (, o qu é vrdadiro, uma vz u o dtrminant considrado é difrnt d zro. Assim sndo, a quação transformada srá:

Equaçõs Difrncias 4 c b a v b u a c b a b v u a F du dv β α β α omo α β são as raízs do sistma: v b u a b v u a F du dv qu é uma quação homogêna do tipo visto antriormnt. Emplos: Rsolvr a quação d d

Equaçõs Difrncias... O dtrminant a a b b é igual a zro. Assim, obsrv-s qu o método aplicado no o caso não fará sntido, d vz qu as rtas no sistma sriam parallas sua intrsção sria vrificada no infinito (ponto impróprio. A quação s rduzirá a uma d variávis sparávis. a b omo 0, os coficints d são proporcionais, d modo qu s pod a b scrvr: a b a b a b ( a b hamando a rlação constant ( d m, pod-s scrvr: a a b b m c c Assim: d d a b c F m( a b c a ma b mb Fazndo a b t, sndo t f(, tm-s: Drivando m rlação a : Equação transformada: b dt d d d dt d a dt a b d a t c F mt c b G( t qu é uma quação d variávis sparávis. ( t a b Emplo: Rsolvr a quação d d 6 5

Equaçõs Difrncias Aula 04 Ercícios ( d ( -d 0 ( 4d ( -5d 0 ( d ( 5 8d 0 4 ( -d ( d 0 5 d d Rspostas: 6 K ( K( ln[5( 4 4( ( 4 ( ] 5( 4 arctg K 4-9ln( 7 5 ln(- K 6

Equaçõs Difrnciais AULA 05..4 EQUAÇÕES DIFERENIAIS EXATAS: Uma quação do tipo M(,d N(,d 0 ( é dnominada difrncial ata, s ist uma função U(, tal qu du(, M(,d N(,d. A condição ncssária suficint para qu a quação ( sja uma difrncial ata é qu: M N Dada a quação difrncial ata MdNd0 ( sja uf(, sua solução, cuja difrncial dada por: du u u d d (. Então, comparando ( ( trmos: u M (, u ( N(, (4. Para obtrmos a sua solução uf(, dvrmos intgrar, por mplo,a prssão (, m rlação à variávl, da qual trmos f (, M (, d g( (5. Drivando parcialmnt (5 m rlação à trmos: Igualando (6 (4 rsulta:. M (, d g'( N(, Isolando g ( intgrando m rlação a acharmos: f M (, d g'( (6. M (, d d (7. g ( N(, Substituindo (7 m (5 trmos a solução gral da quação ata, qu é: M d f M d (,, N (, (, d (. Logo, a solução é da forma P U (, Md N d ond costuma-s dnotar P Md 7

Equaçõs Difrnciais Emplos: ( d d 0 ( d ( d 0 8

Equaçõs Difrnciais AULA 05 EXERÍIOS ( d ( cos d 0 d ( d 0 d d 0 4 snh.cos d cosh.sn d θ 5 ( rdr r dθ 0 6 d d d Rspostas: 4 4 sn K K 4 coshcos K 5 θ r K 6 K 9

Equaçõs Difrncias 0 AULA 06..4. FATOR INTEGRANTE: Nm smpr a ED é ata, ou sja, Md Nd 0 não satisfaz, isso é: N M. Quando isso ocorr vamos supor a istência d uma função F(, qu ao multiplicar toda a ED pla msma rsulta m uma ED ata, ou sja, F(,[Md Nd] 0, sta é uma ED ata. S la é ata, ist u(, ct M F d u. N F d u. FN FM N M u Tomando a condição d atidão FN d FM F N N F F M M F achar F por aqui é loucura!!!!!!! Vamos supor ntão qu F(, F( N F N F M F dividindo tudo por FN 0 organizando, tmos: N N F F M N N N M N F F N M N F F rscrvndo: d N M N df F intgrando: d R F ( ln d R F (. ( ond: N M N R ( analogamnt, supondo F(, F( qu torn ata FMd FNd 0 trmos: d R F (. ( ond: N M M R (

Equaçõs Difrncias Em rsumo: Quando a prssão Md Nd não é difrncial ata, isto é, qu há uma infinidad d funçõs F (,, tais qu ( Md Nd A sta função F (,, dá-s o nom d fator intgrant. M N, mostra-s F é uma difrncial ata. F(: F(: M N R ( M N N R( M F( R( d F( R( d Emplos: Rsolvr as sguints quaçõs difrnciais transformando m atas através do fator intgrant. d ( d 0

Equaçõs Difrncias ( d d 0 AULA 06 EXERÍIOS (cos 4 d sn d tg d sc d 0 sn d cos d 0 Encontr a solução particular m: 4 d ( d para ( Rspostas: cos 4 tg sn. 4

Equaçõs Difrncias AULA 07..5 EQUAÇÕES LINEARES: Uma quação difrncial linar d a ordm o grau tm a forma: d P( Q( ( d S Q( 0, a quação é dita homogêna ou incomplta; nquanto, s Q( 0, a quação é dita não-homogêna ou complta. Analisarmos dois métodos d solução d quaçõs difrnciais dss tipo a sabr: o Método: Fator Intgrant: Est método consist na transformação d uma quação linar m outro do tipo difrncial ata, cuja solução já studamos antriormnt. Posto isto, vamos rtornando à quação original d nosso problma: d d P Q Vamos rscrvr sta última sob a forma ( P Q d d 0 Pd Pd Multiplicando ambos os mmbros por (fator intgrant obtmos a prssão Pd P Q d d. Aqui, idntificamos as funçõs M N : ( 0 M N Pd Pd ( P Q Drivando M com rlação a N com rlação a, obtmos: M P Pd N P Pd confirmando assim, qu a quação transformada é uma quação difrncial ata.

Equaçõs Difrncias o Método: Substituição ou d Lagrang: Ess método foi dsnvolvido por Josph Louis Lagrang (matmático francês: 76-8 criador da Mcânica Analítica dos procssos d Intgração das Equaçõs d Drivadas Parciais. O método consist na substituição d por Z.t na quação (, ond t φ ( Z ψ (, sndo Z a nova função incógnita t a função a dtrminar, assim Z.t. Drivando m rlação a, tm-s: d dz Substituindo ( m ( vamos obtr: dt dz Z t d d ( dt dz Z t PZt Q d d dt dz Z Pt t Q d d ( Para intgral a quação (, amina-s dois casos particulars da quação ( a sabr: i P 0, ntão d Q, logo, Qd (4 d d ii Q 0, ntão P 0 (quação homogêna qu rsulta m d Pd 0 qu é d d variávis sparávis. Daí, Pd 0. Intgrando ssa última, rsulta m Aplicando a dfinição d logaritmo, passamos a scrvr a solução Fazndo k, tmos ln Pd. Pd Pd. Pd k (5 qu rprsnta a solução da quação homogêna ou incomplta. Agora, vamos psquisar na quação ( valors para t Z, uma vz qu Z.t, trmos a solução da quação ( qu uma quação linar complta (não-homogêna. S igualarmos os coficints d Z a um crto fator, o valor daí obtido podrá sr lvado ao rsto da quação, possibilitando a dtrminação d Z uma vz qu t pod sr dtrminado a partir dsta condição. Assim, vamos impor m (, qu o coficint d Z sja nulo. Fito isto, dt Pt 0 d st rsultado m (6, qu é da msma forma já studada no caso ii. Assim, t k Pd. Substituindo dz dz t Q obtmos k Pd dz Pd Q. Daí, Q dz Pd Qd. d d d k k Pd Z Qd k (7. Lmbrando qu Z.t, Pd Pd k Qd k, ond rsulta, finalmnt Intgrando st último rsultado, tmos vamos obtr, substituindo t Z : m: Pd Qd. Pd. (8 qu é a solução gral da quação ( 4

Equaçõs Difrncias Emplos: d d Rsolvr a quação por: a. Fator intgrant b. Lagrang 5

Equaçõs Difrncias AULA 7 EXERÍIOS d cot g 0 d d ( arctg d d tg. cos d d 4 d d 5 d d 6 tg sn d 7 Achar a solução particular para 0 0 m Rspotas: [ ln( sn ] arctg arctg. sn sc 4 4 4 5 6 sn 6 sc 7 cos d d tg cos 6

Equaçõs Difrncias AULA 08..6 EQUAÇÕES NÃO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTÍVEIS A LINEARES: Rsolvr quaçõs difrnciais não linars é muito difícil, mas istm algumas dlas qu msmo sndo não linars, podm sr transformadas m quaçõs linars. Os principais tipos d tais quaçõs são:..6. EQUAÇÕES DE BERNOULLI: Equação da forma: d d n P( Q( ( para n n 0 Ond P( Q( são funçõs continuas. Nss caso, a idéia é ralizar uma substituição na quação acima, d modo a transformá-la m uma EDO linar. Pois, s: n 0 P( g( caso antrior n [P( g(] 0 caso antrior homogêna Solução: Transformação d variávl: Substitui por n t Driva-s m rlação a : Substituindo (, qu é: m ( tmos: n d dt ( n ( d d d d d d n P Q Q n P ( n n n ( Q P n ( n( Q P dt d dt d como n t, tmos: ( n ( Q Pt dt d dt [( n P] t ( n Q d Tornando-s assim uma quação linar a sr rsolvida plo método antrior. 7

Equaçõs Difrncias Emplos: d d 8

Equaçõs Difrncias AULA 08 EXERÍIOS d d d d ln d d d 4 d 4 d d 5 0 6 d d Rspostas:. ln(.. 4 5 6 4 ln. ln K 9

Equaçõs Difrncias AULA 09..6. EQUAÇÃO DE RIATI: A quação d Jacopo Francsco Riccati (matmático italiano 676 754 é da forma d d P( Q( R( ( ond P, Q R dsignam funçõs d. Obsrvamos qu, quando P(0 tmos a quação linar, quando R( 0 tmos a quação d Brnoulli. Liouvill (matmático francês mostrou qu a solução da quação d Riccati só é possívl quando s conhc uma solução particular 0. aso contrário, la só é intgrávl através d uma função transcndnt. Rsolução: Admitindo-s uma solução particular 0 da quação ( fazndo 0 z (, ond z é uma função a sr dtrminada. omo 0 é solução, tmos Por outro lado, drivando ( tm-s: d 0 d P0 Q0 R ( d d d0 d dz d (4 Substituindo ( (4 na quação ( : d0 d dz P( 0 z Q( 0 z R d Dsnvolvndo agrupando os trmos: d0 d dz Pz d 0 0 0 ( P Q z P Q R (5 Substituindo ( m (5 ragrupando, rsulta m: dz d ( P0 Q z Pz (6 qu é uma quação d Brnoulli na variávl z, cuja solução já foi dsnvolvida. Em rsumo: Para sua rsolução algébrica dvrmos conhcr uma solução particular 0 qualqur d (, na qual a mudança d variávis z 0, irá liminar o trmo indpndnt R( transformando a quação d Riccatti numa quação d Brnoulli. 0

Equaçõs Difrncias Emplo: Mostrar qu - é solução particular da quação ( 0 procurar a solução gral. d d

Equaçõs Difrncias AULA 09 EXERÍIOS Vrificar s é solução particular da quação. Em caso afirmativo, calcular a solução gral Mostrar qu d d é solução particular da quação d d d calcular a sua solução gral. d Sabndo qu é solução particular da quação ( calcular a sua solução gral. 4 alcular a solução da quação d d solução particular. d 5 Dar a solução gral da quação 0 particular. d sabndo qu é sabndo qu - é solução Rsposta 4 5 5 K K 4 k ( ( k k

Equaçõs Difrncias AULA 0 EQUAÇÕES DE a ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM. Envoltórias Soluçõs Singulars:.. Envoltória d uma Família d urvas: Sja f(,,α 0 uma família d curvas dpndnts do parâmtro α. Dfin-s como nvoltória a curva qu é tangnt a toda a linha qu constitum a família d curvas. Pod-s istir uma ou mais nvoltórias para uma msma família d curvas, como também podrá não havr nnhuma. As curvas qu forma a família são chamadas nvolvidas. Gralmnt, a nvoltória é dfinida plo sistma f (,, α 0 f (,, α 0 α...(, cuja quação pod sr obtida pla liminação do parâmtro α m (. Também podmos obtr a quação da nvoltória sob a forma paramétrica, rsolvndo o sistma para. Logo: urvas intgrais: Família d curvas qu rprsnta a solução gral d uma quação difrncial. Envoltória: Tomando-s como mplo a família d curvas dpndnts d um parâmtro f(,,α 0, dfin-s como nvoltória a curva qu é tangnt a todas as linhas qu constitum a família. Envolvida: É cada uma das curvas intgrais. Rprsnta gomtricamnt uma solução particular da quação. Assim sndo, pod-s afirmar qu ist uma ou mais nvoltórias para uma msma família, como também podrá não havr nnhuma. Por mplo, uma família d circunfrências concêntricas não aprsnta nvoltória. Não há nvoltória

Equaçõs Difrncias F(,,(,0 E nvolvidas d quação f(,, α 0 E nvoltória Emplo: Obtr a nvoltória d uma família d circunfrência com cntro sobr o io raio igual a 5. 4

Equaçõs Difrncias.. Soluçõs Singulars: Uma quação difrncial não linar d a ordm pod s scrita na forma altrnativa d F,, 0 d Foi visto qu uma quação difrncial pod aprsntar três tipos d solução: - gral - particular - singular (vntualmnt A solução gral é do tipo F(,,0, qu rprsnta uma família d curvas (curvas intgrais, a cada uma das quais stá associada uma solução particular da quação dada. A nvoltória dssa família d curvas (caso ista rprsnta a solução singular da quação original. D fato, o coficint angular da rta tangnt m um ponto d coordnadas ( o, o da nvoltória da curva intgral corrspond a d o /d o. Além disso, tm-s qu os lmntos o, o d o /d o d cada ponto da nvoltória satisfazm à quação acima, pois são lmntos d uma curva intgral. Portanto, a nvoltória é uma solução da quação qu não rsulta da fiação da constant, por sta razão, é uma solução singular. Emplo: Dtrminar a solução gral a solução singular da quação d d d d 5

Equaçõs Difrncias AULA 0 EXERÍIOS Dar a nvoltória das sguint famílias d curvas: a 4α α ( α α b 0 Dtrminar a nvoltória d um sgmnto d rta cujas trmidads dscrvm rtas prpndiculars. Obtr a solução singular da quação d d 4 Achar a solução gral a solução singular da quação: Rspostas: d d d d a 7 b 4 0 l (astróid ± 4 c (solução gral 4 (solução singular 6

Equaçõs Difrncias AULA. EQUAÇÃO DE LAIRAUT: A Equação d lairaut (Aléis laud lairaut matmático francês: 7 765 tm a forma Rsolução: d d φ. d d hamando d d p a quação d lairaut fica p φ( p. ( Drivando a quação antrior m rlação a, trmos: d d dp d dp d dp d A solução gral é dada substituindo-s m ( p plo su valor p. φ'( p ( '( p 0 0 dp d φ ( p Assim, φ( é a solução gral da quação d lairaut (família d rtas D (, tm-s: φ '( p 0 ( φ '( p Eliminando-s p ntr ( ( tm-s uma rlação F(,0 qu rprsnta a solução singular. Emplos: Dtrminar a solução gral a solução singular das sguints quaçõs d lairaut: d d d 0 d 7

Equaçõs Difrncias AULA EXERÍIOS Dtrminar a solução gral a solução singular das sguints quaçõs d lairaut: Rspostas: ln (gral ln (singular d d d d ln d d d d (gral - (singular (gral 4 7 (singular d d d d 0 d d d d 4 5 4 0 4 (5 4 0 (gral ( 5 6 (singular 5 4( ± 4 (gral 5 d d d 4 d 8

Equaçõs Difrncias AULA. EQUAÇÃO DE LAGRANGE: s A quaçõs da Lagrang tm a forma d d F φ...(. d d Obsrvamos qu a quação d lairaut é um caso particular da quação d Lagrang, d d F d d. Rsolução: A solução da quação d Lagrang, gralmnt é dada sob a forma paramétrica. hamando d p a quação d Lagrang fica F p φ ( p d Drivando a quação antrior m rlação a, trmos: d Multiplicando por dividindo por [p F(p], tm-s: dp (. dp dp p F( p F'( p φ'( p d d dp dp p F( p F'( p φ'( p d d D ond s pod scrvr d P Q dp d dp F'( p p F( p φ'( p p F( p omo m gral não srá possívl isolar p na solução da quação linar antrior, a solução gral da quação d Lagrang srá dada na forma paramétrica: ( p ( p Emplo: Rsolvr a quação d d d d 9

Equaçõs Difrncias AULA - EXERÍIOS d d d d d d d d d d d d Rspostas: p [ ln( p p ] p [ ln( p p ] p p ln p K p ln p p p p 40

Equaçõs Difrncias AULA.4 Outros tipos d quação d a Ordm grau difrnt d um: a Rsolvr as sguints quaçõs: d 4 d b d sn d ln d d 4

Equaçõs Difrncias.5 Equaçõs d ordm suprior a primira: d d Rsolvr a quação: ( 0 d d 4

Equaçõs Difrncias AULA EXERÍIOS d d d d d d d. d d d ln d d d d 4 d d d d d 5 d d d d 6 cos d d d 7 4 d d d 8 k 0 d Rspostas: p p ln p arcsnp c snp ln p cos p psnp p c p ln p p c p p ln p 4 p ln p arctg c 5 ln 6 cos 4 4 ln sn( 7 [ ] 8 ( snk.cos k snk cos k k 4

Equaçõs Difrncias AULA 4 4 - EXERÍIOS GERAIS alcul as Equaçõs Difrnciais abaio: d ( d 0 d d 0 ( d d 0 4 cos snd sn cos d 0 d 5 cos( d 6 ( d ( d 0 7 d d d 8 ( d d 0 9 d ( d 0 0 ( 4 d ( 5 d 0 d d 4 ( d (9 d 0 cos( d cos( d 0 4 d d 0 4 5 ( 6 d (6 4 d 0 d 6 d 7 ( sn d ( cos d 0 8 (sc. tg d (sc. tg d 0 9 ( cos d snd 0, dtrminar a solução particular para 0. 0 d d d d d d 0 d ( ln d 0 Achar a solução particular para b d a m 0 d 4 d ( d 0 d 5 d 6 d ( d d 7 ( d 8 onhcndo-s a solução particular da quação d ( calcular sua d solução gral. alcular a solução gral a singular das sguints quaçõs: 9 0 d d d d d d d d d d d d d sn d d d Rsolvr as sguints quaçõs d Lagrang: d d d d d d 4 d d 44

Equaçõs Difrnciais Rspostas: 6 ln( ln ( 4 ln sc sc 5 cos sc( cot g( 6 7 8 ln( X 9 ln 0 ( ( ln( 4 8 5 8 4 6 ln(6 sn ( ln 4 4 5 6 ( 7 cos 8 sc sc (- 9 cos 0 ln 4 ab 5 0 7 4 6 7 8 9 a 0 ± ( Não há solução singular sn arccos ( p p ( p p 6 p p 4 p p 45

Equaçõs Difrnciais AULA 5 5 - EQUAÇÕES DIFERENIAIS OM MODELOS MATEMÁTIOS 5. - MODELO MATEMÁTIO: É frqüntmnt dsjávl dscrvr o comportamnto d algum sistma ou fnômno da vida ral m trmos matmáticos, qur sjam ls físicos, sociológicos ou msmo conômicos. A dscrição matmática d um sistma ou fnômno, chamada d modlos matmáticos é construída lvando-s m considração dtrminadas mtas. Por mplo, talvz quiramos comprndr os mcanismos d um dtrminado cossistma por mio do studo do crscimnto d populaçõs animais nss sistma ou datar fóssis por mio da anális do dcaimnto radioativo d uma substância qu stja no fóssil ou no trato no qual foi dscobrta. A construção d um modlo matmático d um sistma comça com: i. a idntificação das variávis rsponsávis pla variação do sistma. Podmos a principio optar por não incorporar todas ssas variávis no modlo. Nsta tapa, stamos spcificando o nívl d rsolução do modlo. A sguir, ii. laboramos um conjunto d hipótss razoávis ou prssuposiçõs sobr o sistma qu stamos tntando dscrvr. Essas hipótss dvrão incluir também quaisqur lis mpíricas aplicávis ao sistma. Para alguns propósitos, pod sr prfitamnt razoávl nos contntarmos com um modlo d baia rsolução. Por mplo, você provavlmnt já sab qu, nos cursos básicos d Física, a força rtardadora do atrito com o ar é às vzs ignorada, na modlagm do movimnto d um corpo m quda nas proimidads da suprfíci da Trra, mas você for um cintista cujo trabalho é prdizr prcisamnt o prcurso d um projétil d longo alcanc, trá d lvar m conta a rsistência do ar outros fators como a curvatura da Trra. omo as hipótss sobr um sistma nvolvm frqüntmnt uma taa d variação d uma ou mais variávis, a dscrição matmática d todas ssas hipótss pod sr uma ou mais quaçõs nvolvndo drivadas. Em outras palavras, o modlo matmático pod sr uma quação difrncial ou um sistma d quaçõs difrnciais. Dpois d formular um modlo matmático, qu é uma quação difrncial ou um sistma d quaçõs difrnciais, starmos d frnt para o problma nada insignificant d tntar rsolvê-lo. S pudrmos rsolvê-lo, julgarmos o modlo razoávl s suas soluçõs form consistnts com dados primntais ou fatos conhcidos sobr o comportamnto do sistma. Porém, s as prdiçõs obtidas pla solução form pobrs, podrmos lvar o nívl d rsolução do modlo ou lvantar hipótss altrnativas sobr o mcanismo d mudança no sistma. As tapas do procsso d modlagm são ntão rptidas, conform disposto no sguint diagrama: 46

Equaçõs Difrnciais Naturalmnt, aumntando a rsolução aumntarmos a complidad do modlo matmático, assim, a probabilidad d não consguirmos obtr uma solução plícita. Um modlo matmático d um sistma físico frqüntmnt nvolv a variávl tmpo t. Uma solução do modlo ofrc ntão o stado do sistma; m outras palavras, os valors da variávl (ou variávis para valors apropriados d t dscrvm o sistma no passado, prsnt futuro. 5. DINÂMIA POPULAIONAL: Uma das primiras tntativas d modlagm do crscimnto populacional humano por mio d matmática foi fito plo conomista inglês Thomas Malthus, m 798. Basicamnt, a idéia por trás do modlo malthusiano é a hipóts d qu a taa sgundo a qual a população d um pais crsc m um dtrminado instant é proporcional a população total do pais naqul instant. Em outras palavras, quanto mais pssoas houvr m um instant t, mais pssoas istirão no futuro. Em trmos matmáticos, s P(t for a população total no instant t, ntão ssa hipóts pod sr prssa por: d k, ( t0 dt 0. kt 0 ( ond k é uma constant d proporcionalidad, srv como modlo para divrsos fnômnos nvolvndo crscimnto ou dcaimnto. onhcndo a população m algum instant inicial arbitrário t 0, podmos usar a solução d ( para prdizr a população no futuro, isto é, m instants t > t 0. O modlo ( para o crscimnto também pod sr visto como a quação ds dt rs, a qual dscrv o crscimnto do capital S quando uma taa anual d juros r é composta continuamnt. Emplo: Em uma cultura, há inicialmnt 0 bactérias. Uma hora dpois, t, o númro d bactérias passa a sr / 0. S a taa d crscimnto é proporcional ao númro d bactérias prsnts, dtrmin o tmpo ncssário para qu o númro d bactérias tripliqu. Rsolução: (t o 0 (t o d k dt d kdt ln kt c ln ln c kt ln c kt kt c c. kt para t 0 (0 0 0 c 0 0 c 0. kt 47

Equaçõs Difrnciais Para t ( 0 0. 0,4055.t. 0 0. k 0 0. 0,4055.t k ln ln 0,4055.t k,5 0,4055t,0986 ln,5 k t,7 horas k 0,4055 5. - MEIA VIDA: Em física, mia-vida é uma mdida d stabilidad d uma substância radioativa. A miavida é simplsmnt o tmpo gasto para mtad dos átomos d uma quantidad A 0 s dsintgrar ou s transmutar m átomos d outro lmnto. Quanto maior a mia-vida d uma substância, mais stávl la é. Por mplo, a mia do ultra-radioativo rádio, Ra-6, é crca d 700 anos. Em 700 anos, mtad d uma dada quantidad d Ra-6 é transmutada m Radônio, Rn-. O isótopo d urânio mais comum, U-8, tm uma mia-vida d aproimadamnt 4.500.000.000 d anos. Nss tmpo, mtad d uma quantidad d U-8 é transmutada m chumbo, Pb-06. da K.A ( dt A(0 A 0 A ( t A 0 A A. 0 kt Emplo: Um rator convrt urânio 8 m isótopo d plutônio 9. Após 5 anos foi dtctado qu 0,04% da quantidad inicial A 0 d plutônio s dsintgrou. Encontr a mia vida dss isótopo s a taa d dsintgração é proporcional à quantidad rmanscnt. Rsolução: t 0 A 0 t 5 A 0 0,04%A 0 99,957%A 0 0,99957A 0 da ka dt da kdt A ln A kt c A ln kt c A c kt A c. kt s t 0 A(0 A 0 A 0 c. 0 A 0 48

Equaçõs Difrnciais A(t A 0. kt A A(5 A 0. 5k 0 A(t 0,99957 A 0 A 0. 5k,8867.0 A( t A0. t 5t Ln0,99957 ln A0 0, 0000867 A0. 0,0000867t -0,0004 5 k K -,8667.0-5 -0,69-0,0000867t t 4,80 t 4,80 anos 5 5.4 DEAIMENTO RADIOATIVO: O núclo d um átomo consist m combinaçõs d prótons nêutrons. Muitas dssas combinaçõs são instávis, isto é, os átomos dcam ou transmutam m átomos d outra substância. Esss núclos são chamados d radioativos. Por mplo, ao longo do tmpo, o altamnt radioativo lmnto rádio, Ra-6, transmuta-s no gás radônio radioativo, Rn-. Para modlar o fnômno d dcaimnto radioativo, supõ-s qu a taa d da/dt sgundo a qual o núclo d uma substância dcai é proporcional a quantidad (mais prcisamnt, ao númro d núclos A(t d substâncias rmanscnt no instant t: da K.A ( dt Naturalmnt as quaçõs ( ( são iguais, a difrnça rsid apnas na intrprtação dos símbolos nas constants d proporcionalidad. Para o crscimnto, conform spramos m (, k>0, para o dcaimnto, como m (, k<0. O modlo ( para o dcaimnto também ocorr com aplicaçõs biológicas, como a dtrminação d mia vida d uma droga o tmpo ncssário para qu 50% d uma droga sja liminada d um corpo por crção ou mtabolismo. Em química, o modlo d dacaimnto ( aparc na dscrição matmática d uma ração química d primira ordm, isto é, uma ração cuja taa ou vlocidad d/dt é dirtamnt proporcional à quantidad d uma substância não transformada ou rmanscnt no instant t. A qustão é qu: Uma única quação difrncial pod srvir como um modlo matmático para vários fnômnos difrnts. 5.5 - RONOLOGIA DO ARBONO: Por volta d 950, o químico Willard Libb invntou um método para dtrminar a idad d fóssis usando o carbono radioativo. A toria da cronologia do carbono s basia no fato d qu o isótopo do carbono 4 é produzido na atmosfra pla ação d radiaçõs cósmicas no nitrogênio. A razão ntr a quantidad d -4 para carbono ordinário na atmosfra para sr uma constant, como consqüência, a proporção da quantidad d isótopo prsnt m todos os organismos é a msma proporção da quantidad na atmosfra. Quando um organismo morr, a absorção d -4, através da rspiração ou alimntação, cssa. Logo, comparando a quantidad proporcional d -4 prsnt, digamos, m um fóssil com a razão constant na atmosfra, é possívl obtr uma razoávl stimativa da idad do fóssil. O método s basia no conhcimnto da mia-vida do carbono radioativo -4, crca d 5.600 anos. 49

Equaçõs Difrnciais O método d Libb tm sido usado para datar móvis d madira m túmulos gípcios, o tcido d linho qu nvolvia os prgaminhos do Mar Morto o tcido do nigmático sudário d Turim. Emplo: Um osso fossilizado contém um milésimo da quantidad original do -4. Dtrmin a idad do fóssil. Rsolução: A(t A 0. kt A 0 k.5600 A0. ln ln 5600k 5600k - 0,69 K - 0,000776 A(t A 0. - 0,000776t 0,000776t A0 A0. 00 0,000776t ln ln 00-0,000776 t - 6,9077 t 55.808 anos 5.6 - RESFRIAMENTO: D acordo com a Li mpírica d Nwton do sfriamnto/rsfriamnto, a taa sgundo a qual a tmpratura d um corpo varia é proporcional a difrnça ntr a tmpratura d um corpo varia proporcionalmnt a difrnça ntr a tmpratura do corpo a tmpratura do mio qu o rodia, dnominada tmpratura ambint. S T(t rprsntar a tmpratura d um corpo no instant t, T m a tmpratura do mio qu o rodia dt/dt a taa sgundo a qual a tmpratura do corpo varia, a li d Nwton do sfriamnto/rsfriamnto é convrtida na sntnça matmática dt dt K( T Tm, ( T. kt T m ond k é uma constant d proporcionalidad. Em ambos os casos, sfriamnto ou aqucimnto, s T m for uma constant, é lógico qu k<0. Emplo: Um bolo é rtirado do forno, sua tmpratura é d 00ºF. Três minutos dpois, sua tmpratura passa para 00ºF. Quanto tmpo lvará para sua tmpratura chgar a 75 graus, s a tmpratura do mio ambint m qu l foi colocado for d atamnt 70ºF? 50

Equaçõs Difrnciais Rsolução: dt T(0 00 0 F k( T Tm dt dt T( 00 0 F k( T 70 dt dt T(? 75 0 kdt ( T 70 T m 70 0 ln( T 70 kt c ( T 70 ln kt c T 70 kt c kt T c. 70 T(0 00 0 00. k.0 70 0 0 T 0. kt 70 T( 00 00 0. k 70 0 k 0 k 0 0 0 ln k 0,908t ln T 0. 70 0 0 0,908t k ln 75 0. 70 0 0,908t 75 70 K - 0,908 0 5-0,908t ln 0 T 0, minutos 5.7 MISTURAS: A mistura d dois fluidos algumas vzs dá origm a uma quação difrncial d primira ordm para a quantidad d sal contida na mistura. Vamos supor um grand tanqu d mistura contnha 00 galõs d salmoura (isto é, água na qual foi dissolvida uma dtrminada quantidad d libras d sal. Uma outra salmoura é bombada para dntro do tanqu a uma taa d três galõs por minuto; a concntração d sal nssa sgunda salmoura é d libras por galão.quando a solução no tanqu stivr bm misturada, la srá bombada para fora a msma taa m qu a sgunda salmoura ntrar. S A(t dnotar a quantidad d sal (mdida m libras no tanqu no instant t, a taa sgundo a qual A(t varia srá uma taa liquida: da dt Taa d ntrada d sal Taa d saída R R s d sal (4 A taa d ntrada R d sal (m libras por minuto é: 5

Equaçõs Difrnciais Taa d ntrada oncntração d sal d salmoura no fluo d ntrada R (gal / min. (kb / gal taa d ntrada d sal 6lb / min Uma vz qu a solução stá sndo bombada para fora para dntro do tanqu a msma taa, o númro d galõs d salmoura no tanqu no instant t é constant igual a 00 galõs. Assim sndo, a concntração d sal no tanqu no fluo d saída é d A(t/00 lb/gal, a taa d saída d sal R s é: Taa d saída oncntração d sal d salmoura no fluo d saída R s (gal / min. A lb / gal 00 taa d saida d sal A lb / min 00 A quação (4 torna-s ntão: da A 6 (5 dt 00 Emplo: Dos dados do tanqu acima considrado da quação (4, obtmos a quação (5. Vamos colocar agora a sguint qustão: s 50 libras d sal fossm dissolvidas nos 00 galõs iniciais, quanto sal havria no tanqu após um longo príodo? Rsolução: da A 6 dt 00 da A 6 dt 00 Pdt Pdt A. Qdt A A t t 00 00 t t 00 00 600 A 600. t 00.6dt para A(0 50 50 600. 550 Logo: 0 t 00 A 600 550 (6 A solução acima (6 foi usada para construir a sguint tabla: t(min A(lb 50 66,4 00 97,67 50 477,7 00 55,57 00 57,6 400 589,9 5

Equaçõs Difrnciais Além disso podmos obsrvar qu A 600 quando t. Naturalmnt, isso é o qu spraríamos nss caso; durant um longo príodo, o númro d libras d sal na solução dv sr (00 gal.(lb/gal 600 lb. Nst mplo supusmos qu a taa sgundo a qual a solução ra bombada para dntro ra igual à taa sgundo a qual la ra bombada para fora. Porém isso não prcisa sr assim; a mistura salina podria sr bombada para fora a uma taa maior ou mnor do qu aqula sgundo a qual é bombada para dntro. Por mplo, s a solução bm misturada do mplo acima for bombada para fora a uma taa mnor, digamos d gal/min, o liquido acumulará no tanqu a uma taa d ( gal/min gal/min. Após t minutos, o tanqu contrá 00 t galõs d salmoura. A taa sgundo a qual o sal sai do tanqu é ntão: A R gal lb t gal s ( / min. / 00 Logo, a Equação (4 torna-s: da A 6 dt 00 t da ou A 6 dt 00 t Você dv vrificar qu a solução da última quação, sujita a A(050, é: 7 A ( t 600 t (4,95 0 (00 t 5.8 DRENANDO UM TANQUE: Em hidrodinâmica, a Li d Toriclli stablc qu a vlocidad v do fluo d água m um buraco com bordas na bas d um tanqu chio até a uma altura h é igual a vlocidad com qu um corpo (no caso, uma gota d agua adquiriria m quda livr d uma altura h, isto é, v gh, ond g é a aclração dvida a gravidad. Essa última prssão origina-s d igualar a nrgia cinética mv com a nrgia potncial mgh rsolvr para v. Suponha qu um tanqu chio com água sja drnado por mio d um buraco sob a influência da gravidad. Gostaríamos d ncontrar a altura h d água rmanscnt no tanqu no instant t. onsidr o tanqu ao lado: S a ára do buraco for A h (m pés quadrados a vlocidad d saída da água do tanqu for v gh (m pés/s, o volum d saída d água do tanqu por sgundo é A h gh (m pés cúbicos/s. Assim, s V(t dnotar o volum d água no tanqu no instant t, dv dt A gh (6 ond o sinal d subtração indica qu V stá dcrscndo. Obsrv aqui qu stamos ignorando a possibilidad d atrito do buraco qu possa causar uma rdução na taa d fluo. Agora, s o tanqu for tal qu o volum d água m qualqur instant t possa sr scrito como V ( t Awh, dv dh ond A w (m pés quadrados é a ára constant da suprfíci d água, ntão Aw. dt dt Substituindo ssa última prssão m (6, obtmos a quação difrncial dsjada para a altura d água no instant t: h 5

Equaçõs Difrnciais dh dt Ah gh (7 A w É intrssant notar qu (7 prmanc válida msmo quando A w não for constant. Nss caso, dvmos prssar a suprfíci suprior da água como uma função d h, isto é, A w A(h. 5.9 DISSEMINAÇÃO DE UMA DOENÇA: Uma donça contagiosa, por mplo, um vírus d grip, spalha-s m uma comunidad por mio do contato ntr as pssoas. Sja (t o númro d pssoas qu contraíram a donça (t o númro d pssoas qu ainda não foram postas. É razoávl supor qu a taa d/dt sgundo a qual a donça s spalha sja proporcional ao númro d ncontros ou intraçõs ntr sss dois grupos d pssoas. S supusrmos qu o númro d intraçõs é conjuntamnt proporcional a (t a (t, isto é, proporcional ao produto, ntão: d k (8 dt ond k é a constant d proporcionalidad usual. Suponha qu uma pquna comunidad tnha uma população fia d n pssoas. S uma pssoa infctada for introduzida na comunidad, pods argumntar qu (t (t são rlacionadas por n. Usando ssa última quação para liminar m (8, obtmos o modlo d k( n (9 dt Uma condição óbvia qu acompanha a quação (9 é (0. 5.0 ORPOS EM QUEDA: Para construir um modlo matmático do movimnto d um corpo m um campo d força, m gral iniciamos com a sgunda li do movimnto d Nwton. Lmbr-s da física lmntar qu a primira li do movimnto d Nwton stablc qu o corpo prmancrá m rpouso ou continuará movndo-s a uma vlocidad constant, a não sr qu stja agindo sobr l uma força trna. Em cada caso, isso quival a dizr qu, quando a soma das forças F Fk isto é, a força liquida ou rsultant, qu ag sobr o corpo for difrnt d zro, ssa força líquida srá proporcional a sua aclração a ou, mais prcisamnt, F m.a, ond m é a massa do corpo. Suponha agora qu uma pdra sja jogada par acima do topo d um prédio, conform ilustrado na figura abaio: Qual a posição s(t da pdra m rlação ao chão no instant t? A aclração da pdra é a drivada sgunda d s dt. S assumirmos como positiva a dirção para cima qu nnhuma outra força além da gravidad ag sobr a pdra, obtrmos a sgunda li d Nwton d s m dt mg ou d s dt g (0 Em outras palavras, a força liquida é simplsmnt o pso F F - W da pdra próimo á suprfíci da Trra. Lmbr-s d qu a magnitud do pso é W mg, ond m é a massa g é a aclração dvida a gravidad. O sinal d subtração foi usado m (0, pois o pso da pdra é uma força dirigida para baio, oposta a dirção positiva. S a altura do prédio é s 0 a vlocidad inicial 54

Equaçõs Difrnciais da pdra é v 0, ntão s é dtrminada, com bas no problma d valor incial d sgunda ordm d s g, s ( 0 s 0, s '(0 v0 ( dt Embora não stjamos nfatizando a rsolução das quaçõs obtidas, obsrv qu ( pod sr rsolvida intgrando-s a constant g duas vzs m rlação a t. As condiçõs iniciais dtrminam as duas constants d intgração. Você podrá rconhcr a solução d (, da física lmntar, como a fórmula s ( t gt v0t s0. 5. ORPOS EM QUEDA E A RESISTÊNIA DO AR: Ants dos famosos primntos d Galilu na torr inclinada d Pisa, acrditava-s qu os objtos mais psados m quda livr, como uma bala d canhão, caíam com uma aclração maior do qu a d objtos mais lvs, como uma pna. Obviamnt, uma bala d canhão uma pna, quando largadas simultanamnt da msma altura, cam a taas difrnts, mas isso não s dv ao fato d a bala d canhão sr mais psada. A difrnça nas taas é dvida a rsistência do ar. A força d rsistência do ar foi ignorada no modlo dado m (. Sob algumas circunstâncias, um corpo m quda com massa m, como uma pna com baia dnsidad formato irrgular, ncontra uma rsistência do ar proporcional a sua vlocidad instantâna v. S nssas circunstancias, tomarmos a dirção positiva como orintada para baio, a força liquida qu ag sobr a massa srá dada por F F F mg kv, ond o pso F mg do corpo é a força qu ag na dirção positiva a rsistência do ar F - kv é uma força chamada amortcimnto viscoso qu ag na dirção oposta ou para cima. Vja a figura abaio: Agora, como v sta rlacionado com a aclração a através d a dv/dt, a sgunda li d Nwton torna-s F m.a m. dv/dt. Substituindo a força liquida nssa forma da sgunda li d Nwton, obtmos a quação difrncial d primira ordm para a vlocidad v(t do corpo no instant t. dv m dt mg kv ( Aqui k é uma constant d proporcionalidad positiva. S s(t for a distancia do corpo m quda no instant t a partir do ponto inicial, ntão v ds/dt a dv/dt d s/dt. Em trmos d s, ( é uma quação difrncial d sgunda ordm: d s m dt mg k ds dt ou d s ds m k mg dt dt ( 5. ORRENTE DESLIZANTE: Suponha qu uma corrnt uniform d comprimnto L m pés sja pndurada m um pino d mtal prso a uma pard bm acima do nívl do chão. Vamos supor qu não haja atrito ntr o pino a corrnt qu a corrnt ps ρ libras/pés. A figura abaio (a ilustra a posição da corrnt quando m quilíbrio; s foss dslocada um pouco para a dirita ou para a squrda, a corrnt dslizaria plo pino. Suponha qu a dirção positiva sja tomada como sndo para baio qu (t dnot a distancia qu a trmidad dirita da corrnt tria caído no tmpo t. A posição d quilíbrio corrspond a 0. Na figura (b, a corrnt é dslocada m 0 pés é mantida no pino até sr solta m um tmpo inicial qu dsignarmos por t0. Para a corrnt m movimnto, conform mostra a figura (c, tmos as sguints quantidads: 55

Equaçõs Difrnciais Pso da corrnt: W (L pés. ( ρ lb/pés L ρ Massa da corrnt: m W/g L ρ / Força rsultant: L L F ρ ρ p Uma vz qu a d /dt, ma F torna-s Lρ d d 64 ρ ou 0 dt dt L (4 5. - IRUITOS EM SÉRIE: onsidr o circuito m séri d malha simpls mostrado ao lado, contndo um indutor, rsistor capacitor. A corrnt no circuito dpois qu a chav é fchada é dnotada por i(t; a carga m um capacitor no instant t é dnotada por q(t. As ltras L, R são conhcidas como indutância, capacitância rsistência, rspctivamnt, m gral são constants. Agora, d acordo com a sgunda Li d Kirchhoff, a voltagm aplicada E(t m uma malha fchada dv sr igual à soma das qudas d voltagm na malha. A figura abaio mostra os símbolos as fórmulas para a rspctiva quda d voltagm m um indutor, um capacitor um rsistor. Uma vz qu a corrnt i(t stá rlacionada com a carga q(t no capacitor por i dq/dt, adicionando-s as três qudas d voltagm. indutor di L dt d q L, dt rsistor capacitor dq ir R q dt c quacionando-s a soma das voltagns aplicadas, obtém-s uma quação difrncial d sgunda ordm d q dq L R q E( t dt dt c 56

Equaçõs Difrnciais Para um circuito m séri contndo apnas um rsistor um indutor, a sgunda li d Dirchhoff stablc qu a soma das qudas d voltagm no indutor (L(di/dt no rsistor (ir é igual a voltagm aplicada no circuito (E(t. Vja a figura abaio Obtmos, assim, a quação difrncial linar para a corrnt i(t. di L Ri E(t dt ond L R são constants conhcidas como a indutância a rsistência, rspctivamnt. A corrnt i(t é também chamada d rsposta do sistma. A quda d voltagm m um capacitor com capacitância é dada por q(t/i, ond q é a carga no capacitor. Assim sndo, para o circuito m séri mostrado na figura (a, a sgunda li d Kirchhoff nos dá Ri q E( t mas a corrnt i a carga q stão rlacionadas por i dq/dt, dssa forma, a quação acima transforma-s na quação difrncial linar R dq q E( t dt Emplo: Uma batria d volts é conctada a um circuito m séri no qual a indutância é ½ Hnr a rsistência é 0 ohms. Dtrmin a corrnt i s a corrnt inicial for 0. Rsolução: L indutância ½ di L Ri E dt Para i(0 0 R rsistência 0 di 6 0i 0 0 c dt 5 i corrnt di 6 0 i 4 c dt 5 E voltagm aplicada P 0 Q 4 Logo: 0 dt Pdt 0t 0t [ 4d ] 0t i c 0t 4 0t i c 0 6 0 i t c 5 6 6 0t i 5 5 57

Equaçõs Difrnciais AULA 5 EXERÍIOS Encontr uma prssão para a corrnt m um circuito ond a rsistência é Ω, a indutância é 4 H, a pilha fornc uma voltagm constant d 60 V o intrruptor é ligado quanto t 0. Qual o valor da corrnt? Uma força ltromotriz é aplicada a um circuito m séri LR no qual a indutância é d 0, hnr a rsistência é d 50 ohms. Ach a curva i(t s i(0 0. Dtrmin a corrnt quanto t. Us E 0 V. Uma força ltromotriz d 00 V é aplicada a um circuito m séri R no qual a rsistência é d 00 Ω a capacitância é d 0-4 farads. Ach a carga q(t no capacitor s q(0 0. Ach a corrnt i(t. 4 Uma força ltromotriz d 00 V é aplicada a um circuito m séri R no qual a rsistência é d 000 Ω a capacitância é 5 0-6 farads. Ach a carga q(t no capacitor s i(0 0,4. Dtrmin a carga da corrnt m t 0,005s. Dtrmin a carga quando t. 5 Sab-s qu a população d uma crta comunidad crsc a uma taa proporcional ao númro d pssoas prsnts m qualqur instant. S a população duplicou m 5 anos, quando la triplicará? 6 Suponha qu a população da comunidad do problma antrior sja 0000 após anos. Qual ra a população inicial? Qual srá a população m 0 anos? 7 A população d uma cidad crsc a uma taa proporcional à população m qualqur tmpo. Sua população inicial d 500 habitants aumnta 5% m 0 anos. Qual srá a população m 0 anos? 8 O isótopo radioativo d chumbo, Ph 09, dcrsc a uma taa proporcional à quantidad prsnt m qualqur tmpo. Sua mia vida é d, horas. S grama d chumbo stá prsnt inicialmnt, quanto tmpo lvará para 90% d chumbo dsaparcr? 9 Inicialmnt havia 00 miligramas d uma substância radioativa prsnt. Após 6 horas a massa diminui %. S a taa d dcrscimnto é proporcional à quantidad d substância prsnt m qualqur tmpo, dtrminar a mia vida dsta substância. 0 om rlação ao problma antrior, ncontr a quantidad rmanscnt após 4 horas. Em um pdaço d madira quimada, ou carvão, vrificou-s qu 85,5% do -4 tinha s dsintgrado. Qual a idad da madira? Um trmômtro é rtirado d uma sala, m qu a tmpratura é 70 º F, colocado no lado fora ond a tmpratura é 0 º F. Após 0,5 minuto o trmômtro marcava 50 º F. Qual srá a tmpratura marcada plo trmômtro no instant t minuto? Quanto lvará para marcar 5 º F? Sgundo a Li d Nwton, a vlocidad d rsfriamnto d um corpo no ar é proporcional à difrnça ntr a tmpratura do corpo a tmpratura do ar. S a tmpratura do ar é 0 o o corpo s rsfria m 0 minutos d 00 o para 60 o, dntro d quanto tmpo sua tmpratura dscrá para 0 o? 4 Um indivíduo é ncontrado morto m su scritório pla scrtária qu liga imdiatamnt para a polícia. Quando a polícia chga, horas dpois da chamada, amina o cadávr o ambint, tirando os sguints dados: A tmpratura do scritório ra d 0 o, o cadávr inicialmnt tinha uma tmpratura d 5 o. Uma hora dpois mdindo novamnt a tmpratura do corpo obtv 4. o. O invstigador, supondo qu a tmpratura d uma pssoa viva é d 6.5 o, prnd a scrtária. Por qu? No dia sguint o advogado da scrtária a librta, algando o qu? 5 Sob as msmas hipótss subjacnts ao modlo m (, dtrmin a quação difrncial qu govrna o crscimnto populacional P(t d um país quando os indivíduos tm autorização para imigrar a uma taa constant r. 6 Usando o concito d taa liquida, qu é a difrnça ntr a taa d natalidad a taa d mortalidad na comunidad, dtrmin uma quação difrncial qu govrn a volução da população P(t, s a taa d natalidad for proporcional a população prsnt no instant t, mas a d mortalidad for proporcional ao quadrado da população prsnt no instant t. 7 Suponha qu um studant portador d um vírus da grip rtorn para um campus univrsitário fchado com mil studants. Dtrmin a quação difrncial qu dscrv o númro d pssoas (t qu contrairão a grip, s a taa sgundo a qual a donça for spalhada for proporcional ao numro d intraçõs ntr os studants gripados os studants qu ainda não foram postos ao vírus. 8 Suponha um grand tanqu para misturas contnha inicialmnt 00 galõs d água,no qual foram dissolvidas 50 libras d sal. Água pura é bombada pra dntro do tanqu uma taa d gal/min, ntão, quando a solução sta bm misturada, la é bombada para fora sgundo a msma taa. Dtrmin uma quação difrncial para a quantidad d sal A(t no tanqu no instant t. 9 Suponha qu a água sta saindo d um tanqu por um buraco circular m sua Bs d ára A h. Quando a água vaza plo buraco, o atrito a concntração da corrnt d água nas proimidads do buraco rduzm o volum d água qu sta vazando do tanqu por sgundo para ca h gh, ond c (0<c< é uma constant mpírica no instant t para um tanqu cúbico, como na figura abaio, O raio do buraco é pol g pés/s. 58

Equaçõs Difrnciais 0 Para um movimnto m alta vlocidad no ar tal como o paraqudista mostrado na figura abaio, caindo ants d abrir o paraqudas a rsistência do ara sta próima d uma potncia da vlocidad instantâna. Dtrmin a quação difrncial para a vlocidad v(t d um corpo m quda com massa m, s a rsistência do ar for proporcional ao quadrado d sua vlocidad instantâna. Uma pquna barra d mtal, cuja tmpratura inicial é d 0 0, é colocada m um rcipint com água frvndo. Quanto tmpo lvará para a barra atingir 90 0 s sua tmpratura aumntar 0 m sgundo? Quanto tmpo lvará para a barra atingir 98 0? Um tanqu contém 00 litros d fluido no qual foram dissolvidos 0 gramas d sal. Uma salmoura contndo grama d sal por litro é ntão bombada para dntro do tanqu a uma taa d 4 L/min; a solução bm misturada é bombada para fora à msma taa. Ach o númro A(t d gramas d sal no tanqu no instant t. Um grand tanqu contém 500 galõs d água pura. Uma salmoura contndo libras por galão é bombada para dntro do tanqu a uma taa d 5 gal/min. A solução bm misturada é bombada para fora à msma taa. Ach a quantidad A(t d libras d sal no tanqu no instant t. Qual é a concntração da solução no tanqu no instant t 5 min? 4 Um grand tanqu sta parcialmnt chio com 00 galõs d um fluido no qual foram dissolvidas 0 libras d sal. Uma salmoura contndo ½ libra d sal por galão é bombada para dntro do tanqu a uma taa d 6 gal/min. A solução bm misturada é ntão bombada para fora a uma taa d 4 gal/min. Ach a quantidad d libras d sal no tanqu após 0 minutos. Rspostas: 4 I( t 5 5 i q t 500t c 5 50t c 00 lim i( t t 5 ond -/00 50t i 00t q c 000 t i 00c 00 500 q( 0,005 0, 000coulombs i( 0,005 0, 47amp q 000 5 7,9 anos. 6 0 6600,66 N (0 6.96,04 7 N (0 760 8 t horas 9 t 6,7 horas 0 88,5 gramas. 5600 anos T ( 6,66ºF t,06 min t 60 min 4 justificativa pssoal. dp dp, kp r dt dt dp kp kp dt d k( 000 dt da A dt 00 dh cπ dt 450 dv m mg kv dt 5 kp r 6 7 8 9 h 0 Aproimadamnt 8, s Aproimadamnt 45,7 s A(t 00 70 -t/50 A(t 000 000 -t/00 0,0975 lb/gal 4 64,8 lb 59