Matemática I 1 o semestre - 2012/13 Liceciatura em Ecoomia Eercícios Aálise Matemática 2 Números reais. Breves Noções toológicas 2.1. Demostre elo ricíio de idução matemática: a 1 + 2 + 3 +... + (+1 2, ara todo o atural 1, b Desigualdade de Beroulli: Sedo a > 1 e IN, (1 + a 1 + a. c Biómio de Newto: Recorde que. (a + b 0 a b, IN, a,b IR., e que desta igualdade se tira imediatamete que!(! + 1 1 + 2.2. Cosidere as seguites igualdades 1 1; 1 4 (1 + 2; 1 4 + 9 1 + 2 + 3; 1 4 + 9 16 (1 + 2 + 3 + 4. Tire daqui uma lei e tete demostrá-la or idução. 2.3. Iterrete geometricamete os seguites cojutos: a : < 1}, b : < 0}, c : a < ɛ}, ode ɛ > 0 d : > 0}, e : ( a( b < 0}, ode a < b
f : 3 > }, g : 1 }. 2.4. Resolva as equações seguites a + 2 4 + 13 b + 2 4 c 2 2 3 0 2.5. Sejam A e B dois subcojutos de IR tais que A B e suoha que A é ão vazio e B é majorado. Justifique que eistem os suremos de A e B e rove que se verifica su A su B. 2.6. Mostre que a + y + y, b y y. 2.7. Resolva as iequações seguites e idique o cojuto das soluções: a 3 2 < 1, k 2 3 1 b 1 + 2 1 l 3 > 2 c 1 > 2 m 3 1 < 1 d + 2 5 4 < + 2 e 5 1 < 1 o 2 5 2 f 5 < + 1 < 2 12 < 4 g 2 2 < 1 q 2 1 2 h 2 1 5 r 1+ 2 i 5 6 + 3 10 s 2 ( 1 2 j 2 1 4 + 3 t >. 2 1+ 2.8. Determie em IR o cojuto dos majorates, dos miorates, o suremo, o ífimo, o máimo e o míimo (caso eistam dos seguites cojutos: a 1, si 1, si 2} e 1 + 1 m : m, IN} b ( 1 1 : IN} f ( 1m : m, IN} c a : IN} com a IR tal que a < 2 d m + 1 : m, IN} 2.9. Determie o iterior, o eterior, a froteira, a aderêcia, o derivado, o cojuto dos miorates, o cojuto dos majorates, o suremo, o ífimo, o máimo e o míimo (caso eistam dos seguites cojutos: a A [2, 3[ [4, 10[, c C [0, 1]\IQ, b B ]5, 7[ 15}, d D [2, 3] IQ. 2.10. Determie o iterior, o eterior, a froteira, o derivado e a aderêcia dos seguites cojutos: a A IR : 2 < 49}, b B : é irracioal e 2 < 49}. Page 2
2.11. Cosidere o cojuto A } IR : 1 + ( 1, IN a Determie o iterior, o eterior, o derivado, a froteira e a aderêcia de A. b Averigue se o cojuto A é aberto ou fechado. 2.12. Determie o eterior, o iterior, a froteira e o derivado do cojuto: A IQ : + 3 < 5} : é irracioal 2 13 }. 2.13. (Eame São dados os cojutos e Determie: a it(a B, b (A B. B A IR : 2 } 2 1 ( y IR : y ( 1 2 + 1 } IN. 2.14. (Eame Dados os cojutos e A B IR : 1 1 1 + 1 < 1 } 2 y IR : y 1 + 2 } 2 IN a Determie A sob a forma de itervalos de úmeros reais. b Determie, caso eistam, o suremo e o ífimo de A B. 3 Sucessões uméricas 3.15. Calcule o limite de cada uma das seguites sucessões: a s 1 c s e s 2 + 1 4 + 1 b s 1 2 d s 2 1 3 + 2 f s ( 1 3.16. Sejam ( IR uma sucessão,, P ( a 0 +... + a 1 + a e Q( b 0 q +... + b q 1 + b q duas fuções oliomiais de coeficietes reais,, q IN, a 0 0, b 0 0. Mostre que Page 3
a lim P ( lim a 0. b lim P ( Q( lim a 0 b 0 q a 0 b 0 se q, se > q, 0 se < q. 3.17. Calcule, se eistir, o limite de cada uma das seguites sucessões: a u 1 f u 2 + 3 4 + 3 3 1 b u 2 + 2 3 + 1 c u 3 4 3 + 1 d u 3 + 2 4 3 7 e u 2 + 3 + 2 2 1 g u 2 1 4 + 3 h u 2 + 1 2 +1 1 i u 3 + 1 2 + 2 1 j u ( 1 3 + 1 2 + 2 ( 1( 2 k u ( + 1( + 2 3.18. Calcule( os limites das seguites sucessões: 1 a cos 2 ( si, ( 1( 2( 3 b ( + 1( + 2( + 3, c (cos(, IR, 1 1 d + +... + 1, + 1 2 e 1 2 + 1 + 1 2 + 2 +... + 1 2 + 2 + 1, f 1 2 + 1 ( + 1 2 +... 1 (2 2, g 4 + 1 + 4 + 2... + 4 +, h + 1 3.19. Calcule os limites de cada uma das seguites sucessões: ( + 3 2 ( + 5 ( a u b u c u 1 3 + 1 2 + 1 2. 3.20. A sucessão s s } IN defiida or s 1 1 e s s 1 + 1 é covergete. Elique orquê e calcule o seu limite. Page 4
4 Séries uméricas e de otêcias 4.21. Diga se são covergetes as séries seguites. Em caso afirmativo, determie a sua soma. a ( 1 b 3 c ( 2 +2 2 3 0 1 0 d ( 1 e 5 4 3 0 4.22. Determie ara que valores de covergem as séries e calcule a sua soma. ( ( 2 a b c (1 d ( + 1 2 + 1 e i 0 0 0 ( + 1 2+6 ( + 3! f j 0 0 + ( 2 +3 2 ( 2 +2 g 0 2 h 0 (1 4.23. Utilize a teoria das séries geométricas ara calcular os racioais corresodetes às dízimas: a 3, 666... b 1, 571428571428571428... c 1, 181818... d 0, 999... 0 4.24. Calcule o raio de covergêcia e idique o maior aberto ode as seguites séries de otêcias são absolutamete covergetes: ( + 1 2 a c ( + 1 3 1 1 (2 + 1 2+1 b d 1 1 Page 5