PESADELO DE FUBINI E SISTEMAS DINÂMICOS. 2 n

PESADELO DE FUBINI E SISTEMAS DINÂMICOS ALI TAHZIBI 1. Laçameto de Moeda e Sistemas Diâmicos Seja ω (0, 1] e (d 1 (ω), d 2 (ω), ) a expasão biária de ω, i.e d (ω) ω = = 0, d 2 1 (ω)d 2 (ω). =1 Vamos combiar que 1 = 0, 0111 e ão 0, 1000. É claro que 2 ambas represetam o úmero 1/2, etretato vamos somete escolher represetações que ão termiam com ifiitos zero s. Imagie uma moeda com adesivos os lados cara e coroa. Ao laçar a moeda vamos obter uma sequêcia de zero e um s. Portato se laçarmos a moeda ifiitas vezes (se trabalharmos teremos tempo para isto!) podemos correspoder um úmero ω a este experimeto de laçametos. Recordado oções básicas de probabilidade podemos calcular a probabilidade de que os primeiros laçameto o resultado seja ω i, i = 1,, ω i {0, 1}. Se a moeda ão for viciada essa probabilidade é igual a 1. Agora vamos calcular a medida de 2 cojuto dos úmeros que correspodem a estes laçametos. Se ω represeta um laçameto mecioado acima: d i (ω) = ω i, i = 1, e portato i=1 ω i 2 < ω i=1 ω i 2 + i=+1 Etão o cojuto {ω : d i (ω) = ω i, i = 1,, } = ( i=1 1 2 i ω i, ω i 2 i=1 + 1 ] = 2 2 A. Observe que o comprimeto do itervalo A é igual a 1 2 que coicide com a probabilidade de laçar uma moeda ão viciada e obter ω i em i ésimo laçameto, i = 1, 2,. Exercício 1. Prova que a medida de cojuto {ω : i=1 d i (ω) = k} é igual ( ) 1. k 2 { 1 ω = 1, Seja ω (0, 1]. Defiimos r (ω) = 2d (ω) 1 = 1 ω = 0. Agora cosidere s (ω) = i=1 r i (ω). Obviamete s (ω) e portato 1 s (ω) 1. Vamos defiir úmeros ormais ou balaceados 1

2 ALI TAHZIBI aqueles ω tais que s (ω) lim = 0. Se iterpretarmos ω = (0, ω 1 ω 2 ) 2 como um laçameto iifiito de moeda, ω é ormal se ao logo prazo, em média úmero das vezes que obtemos cara é igual ao úmero das coroas! Exercício 2. Seja ω = (011000011111111 ), ode zero s e um s aprecem a sequêcia com multiplicidade 2 k. Mostre que ω ão é um úmero ormal. Teta apesetar mais exemplos de úmeros que ão são ormais. É iteressate apresetar exemplos de úmeros ormais. Apresetar exemplos de úmeros ormais ão é uma tarefa trivial. Para ver algus exemplos veja (Uma coleção de resultados sobre úmeros ormais, Dissertação de Mestrado J. Kras, UFRGS 1 ) Um Teorema de E. Borel que vamos provar esta seção afirma que o cojuto de úmeros ormais é muito grade o setido de teoria de medidas. Defiição 1. Um cojuto N tem medida ula se para qualquer ɛ > 0 exista uma cobertura (fiita ou eumerável ifiita) por itervalos N k I k tal que k I k ɛ. Um cojuto é dito de medida de Lebesgue total, se seu complemetar seja de medida ula. Teorema 1. (Teorema de Números ormais de Borel) O cojuto de úmeros ormais tem medida total. Precisamos provar que o cojuto 1 N := {ω : lim s (ω) = 0} tem medida total. Para isto precisamos provar que N c tem medida ula. Usado desigualdade de Chebychev para {S (.) 4 4 ɛ 4 } 2 obtemos m({ω : s (ω) ɛ}) 1 1 s 4 4 ɛ (ω)dω. (1.1) 4 0 Lema 1. 1 0 s4 (ω)dω = + 3( 1) 3 2. 1 α 1 http://www.lume.ufrgs.br/bitstream/hadle/10183/13094/000639978.pdf? 2 Chebychev : Seja f : (X, m) R + itegrável e α > 0, etão m({x : f (x) α}) 1 f dm 0

PESADELO DE FUBINI 3 1 Para demostrar o lema basta observar que r 2 i = 1, i = 1, e 0 r ir j dω = 0, i j. Agora basta observarmos a expasão de s (ω) 4 aparecem seguites termos r 4, i = 1,, i r 2 i r2, i j, i, j = 1,, j r 3r i j, i j, i, j = 1,, r 2r i jr k, distict i, j, k r i r j r k r s for disticts i, j, k, s. Somete os termos de primeiro e segudo item itegram ão ulo e 1 i=1 0 r4dω =, 1 i i j 0 r2 i r2 dω = 3( 1). Usado 1.1 e lema 1 j cocluimos que m({ω : 1 s (ω) ɛ}) 3 2 ɛ 4. (1.2) Fixa uma sequêcia ɛ tal que ɛ 4 2 <. Podemos tomar ɛ = 1/8. Seja A := {ω : s (ω) ɛ }. Usado 1.2 cocluimos que m(a ) <. Afirmamos que para qualquer m N =ma c N. Para provar afirmação observe que pela defiição, somete observe que ɛ 0. Agora basta observar que N c =ma. Dado ɛ > 0 escolhemos m tal que =m m(a ) ɛ. Cada A é uma uião fiita de itervalos e cosequetemete podemos cobrir =ma por eumerável itervalos I k tal que k m(i k ) ɛ. Pela defiição isto demostra que N c é um cojuto de medida ula. Topologia versus Teoria de Medida: Apesar de cojuto de úmeros ormais ter medida total, este cojuto é de primeira categoria, i.e magra e pode ser provada que é subcojuto de uma uião eumerável de cojutos uca desos. A m = =m{ω : s (ω) < 1/2}. Pela defiição de úmeros ormais N A m. Por outro lado podemos mostrar que A m é um cojuto cujo fecho tem iterior vazio.

4 ALI TAHZIBI Para mostrar isto observe que A m =m{ω : s (ω) 1/2} e portato =m{ω : s (ω) > 1/2} ( A m ) c Agora observe que dado qualquer α (0, 1] e uma vizihaça dele, podemos achar ω a vizihaça de α tal que S (ω) > 1/2 para algum suficietemete grade. Para isto basta que α e ω teham primeiros dígitos iguais (tal que ω perteça a vizihaça de α) e ω ter bastate dígitos um). Isto implica que =m{ω : s (ω) > 1/2} é um cojuto deso e completamos a demostração do fato de que o fecho de A m tem iterior vazio. 1.1. Moedas viciadas. Até agora estavamos supodo que a probabilidade de obter cara ou coroa um laçameto de moeda é igual a 1. Etretato, cosiderado uma moeda viciada podemos supor que 2 a probabilidade de ocorrer cara seja 0 p 1 e cosequetemete a probabilidade de obter coroa seja 1 p. Vamos deotar por 0 o lado cara e 1 o lado coroa da moeda. Assim em liguagem de prbabilidade p(0) = p, p(1) = 1 p. Dada uma sequecia (b 1, b 2,, b ) a probabilidade de (b 1,, b ) (i.e uma sequecia de laçametos) é igual a p(b i ). Emile Borel, provou (Lei de grades úmeros) que a frequecia de obter 1 asitoticamete é igual a p(1), mais precisamete: b 1 + b 2 + + b lim = p(1) (1.3) para quase toda sequêcia ifiita (b 1, b 2, ) {0, 1} N. O termo quase toda sequêcia acima deve ser compreedido com medida de Beroulli o esapço {0, 1} N. É óbvio que 1.3 ão é válida para uma sequêcia arbitrária 2. Teorema de Fubii e exemplos Imagie o quadrado uitário Q := [0, 1] 2 e supohamos que pitemos um subcojuto de medida de Lebesgue total de Q em azul. Sela L um segmeto horizotal e arbitrário L y0 := {(x, y 0 ) : 0 x 1}. Qual é a medida dos potos azuis so segmeto L? Claramete que depededo do cojuto azul e a escolha do segmeto horizotal, a medida (uidimesioal de Lebesgue) de cojuto azul iterceptado com L y0 pode ser qualquer úmero α [0, 1]. Etretato para quase todo segmeto horizotal temos que α = 1. Isto é uma aplicação

PESADELO DE FUBINI 5 simples do Teorema de Fubii, Leb(A) = 1 A (x)dleb(x) = 1 0 L y 1 A (x, y)dxdy = 1. Ou seja para quase todo y [0, 1] temos que para quase todo x [0, 1] temos que (x, y) A. Podemos fazer a mesma perguta para segmetos oblíquos em vez de segmetos horizotais. Teta provar que temos um resultado similar este caso, usado mudaça de variáveis. 3. Exemplo de Partição e Folheações Seja f : [0, 1] [0, 1] uma fução bijetora com f (0) = 0, f (1) = 1. Usado essa fução podemos costruir uma folheação (ada mais de que uma partição do quadrado por segmetos) de Q := [0, 1] 2 ode as folhas são segmetos F x := {(t, (1 t)x + t f (x)) : 0 t 1}. x fox fx t1 t2 Figura 1 Lema 2. Sejam L ti, i = 1, 2 dois segmetos trasversais t i 0. Etão H t1,t 2 é uma fução absolutamete cotíua, ode H t1,t 2 (z) = F z L t2, z L t1. Demostração. Seja A L t1, m(a) = 0. Deotamos por Z := H 1 0,t 1 (A).É simples ver que e m(a) = (1 t 1 )m(z) + t 1 m( f (Z)) m(h t1,t 2 (A)) = (1 t 2 )m(z) + t 2 m( f (Z)). Já que m(a) = 0 e t 1, t 2 0 temos que m(z) = 0 e m( f (Z)) = 0. Dai cocluimos que m(h t1,t 2 (A)) = 0 ou seja H t1,t 2 é absolutamete cotíua.

6 ALI TAHZIBI Equato as aplicações H t1,t 2 são absolutamete cotíua para t i 0 é simples selecioar f tal que H 0,1 ão seja absolutamete cotíua. Basta escolher f tal que f (K 1 ) = K 2 ode K 1, K 2 são dois cojutos de Cator e m(k 1 ) = 0, m(k 2 ) > 0. Podemos mostrar que se A é um cojuto de medida de Lebesgue ulo, etão A F x tem medida (uidimesioal) zero para quase todo x [0, 1]. 4. Costrução de Exemplo e Sistemas Diâmicos Vamos iterpretar a lei de grades úmeros usado úmeros reais e uma fução do itervalo (0, 1]. Para cada p (0, 1) defiimos a fução liear por pedaço f p como seguite: { x x I p 0 := (0, p] f p (x) = x p 1 p x I 1 := (p, 1] 4.1. Codificação. Dado um úmero real x [0, 1) a órbita (positiva) de x é o cojuto { f p (x), = 0, 1, }. Podemos correspoder a cada x um código, que é uma sequêcia (que depede de f p ) de 0 e 1 s de seguite forma: O código correspodete é (b 0, b 1, b 2, ) se somete se f (x) I b. Por exemplo o código de x = 1 é (1, 1,, 1, ) e o código correspodete a x = p é igual a (0, 1, 1, 1,, 1, ). Observe que por f p ser crescete o itervalo (0, p] sequêcias que termiam com ifiitos 0 s ão podem correspoder a ehum x (0, 1]. Exercício 3. Mostre que qualquer sequêcia que tem ifiitos 1 s é código correspodete algum x [0, 1). Agora vamos aalisar a ação da fução f p estes códigos. Seja x := (b 0, b 1,, b, ) etão pela defiição o código de f (x) é (b 1, b 2,, ). Isto defie uma trasformação deotada por Shift o espaço {0, 1} N. 4.2. Medida de Beroulli e cilidros. Com esses códigos podemos defiir a medida de Beroulli o espaço {0, 1} N. Por exemplo a medida do cojuto C b0,b 1,,b 1 := {(x i ) i N : x i = b i, i = 0, 1, 2,, 1} é igual a p(b 0 )p(b 2 ) p(b 1 ). É fácil ver que o cojuto dos x cujos códigos pertecem ao cojuto (cilidro) C b0,b 1,,b 1 é um itervalo com medida de Lebesgue p(b 0 )p(b 1 ) p(b 1 ). Exercício 4. Pode imagiar porque estes cojutos são chamados de cilidros?

PESADELO DE FUBINI 7 4.3. Frequêcia asitótica de um símbolo. Dada uma sequêcia (b i ) i N {0, 1} N a frequêcia asitótica de 1 s é igual ao b 0 + b 1 + b 2 + b 1 lim = lim Card{0 i < b i = 1} quado tal limite existe. Agora vamos iterpretar a lei de grades úmeros utilizado os códigos apresetados. Seja p um parâmetro fixo. Etão para Lebesgue quase todo x (0, 1] asitoticamete, a frequêcia de 1 s o código associado a f p é igual a 1 p. Mais precisamete b 0 + b 1 + b 2 + b 1 lim = 1 p. Agora cosidere E (0, 1) (0, 1] cojuto de todos pares (p, x) tais que a frequêcia de 1 o código correspodete a x pela diâmica f p seja igual a 1 p. Seja V p := {(p)} (0, 1]. Observe que o cojuto V p é um segmeto vertical e pode ser idetificado com itervalo (0, 1]. Pelo teorema de grades úmeros iterpretado diamicamete cocluimos que dado p fixo etão o cojuto E V p tem medida total, m 1 (E V p ) = 1. A medida cosiderada é a medida de Lebesgue uidimesioal. Usado Teorema de Fubii para coleção de segmetos verticais cocluimos que E tem medida de Lebesgue bi-dimesioal igual a um, m 2 (E) = 1 0 m 1 (E V p )dp = 1. Até agora temos um subcojuto de medida total detro de quadrado (0, 1) (0, 1]. Em seguida vamos costruir uma família de curvas que cada uma delas itersecta este cojuto o máximo um poto!! 4.4. Curvas patológicas. Vamos defiir uma família de curvas aalíticas idexadas por β (0, 1]. Dado β cosidere a expasão biária de β = (b 0, b 1, b 2,, b, ), i.e β = =0 b 2 +1. Etão defiimos Γ β como sedo cojuto de todos os potos (p, x) tais que o código correspodete a x pela diâmica de f p seja exatamete igual a (b 0, b 1, b 2,, b, ). Claro que Γ β s são disjutas e a uião delas é (0, 1) (0, 1]. Vamos mostrar que cada Γ β é uma curva aalítica.

8 ALI TAHZIBI Proposição 1. Dado β (0, 1] existe uma fução aalítica x(., β) : (0, 1) Γ β : (0, 1) (0, 1) tal que Γ β = Graf(x(., β)). Primeiramete vamos aalisar algus Γ β s. Para β = 1 = (1, 1, ) é fácil ver que Γ 1 = {(p, 1), p (0, 1)}. Cosidere β = 1 = (0, 1, 1,, 1 ). Agora para cada p, x = p é o úico 2 poto tal que x I 0 e fp (x) I 1, 1. Portato Γ 1 2 é igual ao diagoal do quadrado. 4.5. Átomos. Vamos verificar que dado qualquer β, a curva Γ β itersecta o cojuto E o máximo em um úico poto (p, x(p, β)). Desevolvedo β a base biária obtemos sequêcia (b i ) e pela defiição (p, x) Γ β se o código correspodete a x pela diâmica f p seja igual a (b i ). Se (b i ) ão possuir limite de frequêcia de 1 s etão o poto (p, x) E. Observe que E := p (0,1) V p E ode (p, x) V p E se somete se o limite de frequêcia do código de x pela diâmica f p seja igual a 1 p. Portato se o limite de frequêcia de (b i ) existir, ele é igual a 1 p para um úico p e assim Γ β itersecta E um poto que deotamos por (p, x(p, β)). Agora vamos provar a proposição 1. Fixamos β (0, 1), β = (b i ) i 0. Seja (p, x) Γ β e x = x 0, x 1, x 2, sua órbita i.e, x = f (x). Etão pela defiição de f p e o fato x I b cocluimos que x = b p(0) + x +1 p(b ), ode p(0) = p, p(1) = 1 p. Usado idução podemos ver que x = x(p, β) = p(0)(b 0 + p(b 0 )(b 1 + p(b 1 )(b 2 + ) ) ) = p(0)(b 0 + b 1 =1 j=0 p(b j )) Colocado p(0) = p = 1+t e p(1) = 1 p = 1 t. Se t c < 1, etão 2 2 o -ésimo termo da série acima tem valor absoluto meor ou igual a [ 1+c 2 ]. Já que 1+c < 1, pelo critério de covergêcia uiforme de 2 Wierstrass temos que para cada β fixo x é uma fução aalítica de t o itervalo 1 < t < 1 ou equivaletemete aalítica em termos de p ode 0 < p < 1.

PESADELO DE FUBINI 9 5. Holoomia e cojugação Na seção aterior explicamos como costruir exemplo de uma partição (folheação) por curvas aalíticas de (0, 1) [0, 1) e um cojuto de medida (bi-dimesioal) um que itersecta cada curva o máximo em um poto. Na verdade é fácil ver (ou, é fácil dizer...) que a holoomia é uma aplicação que ão é absolutamete cotíua. Vamos detalhar um pouco mais essa frase: Dado dois segmetos verticais V p, V q (0, 1) [0, 1) podemos defiir a holoomia H p,q : V p V q usado a caroa da folheação. Isto é. H p,q (z) é igual a Γ β V q ode Γ β é a úica curva que passa pelo poto z. Vamos cosiderar a imagem de V p E pela holoomia H p,q. Proposição 2. Para 0 < p q < 1 temos m 1 (V p E) = 1 equato m 1 (H p,q )(V p E) = 0. Portato achamos um cojuto de medida total em V p cuja imagem tem medida ula em V q. Demostração. A demostração é um corolário das defiições. De fato lembramos que pelo teorema de grades úmeros m 1 (E V t ) = 1 para todo 0 < t < 1. Por outro lado pela defiição das curvas Γ β e H p,q o códigos correspodetes aos potos z e H p,q (z) pelas diâmicas de f p e f q (respectivamete) coicidem. Portato a frequêcia de 1 o código de H p,q (z) é igual a 1 p que é exatamete a frequêcia de 1 o código correspodete a z pela diâmica de f p. Por outro lado sabemos que existe um cojuto de medida um E V q tal que todo poto deste cojuto tem frequêcia de 1 igual a 1 q pela diâmica de f q. Cosiderado dois parágrafos acima cocluimos que m 1 (H p,q (V p E)) = 0. A proposição acima mostra quão irregular as curvas Γ β estão empilhadas uma em cima da outra. Agora vamos iterpretar a aplicação de holoomia H p,q de uma forma mais diâmica.

10 ALI TAHZIBI 5.1. Cojugação Topológica. Chamamos duas aplicações f p e f q cojugadas, se existir um homeomorfismos H p,q : [0, 1] [0, 1] tal que H p,q f p = f q H p,q. isto quer dizer que mudado as coordeadas (utilizado H p,q ) as duas diâmicas f p e f q são idêticas ou o seguite diagrama é comutativa: [0, 1] f p [0, 1] H p,q H p,q [0, 1] f q [0, 1] Teorema 2. Para quaisquer 0 < p, q < 1 as aplicações f p e f q são cojugadas pelo homeomorfismo H p,q. Dividimos a prova em dois passos: Passo 1: Mostramos que H p,q de fato deixa o diagrama acima mecioado comutativo. Passo 2: H p,q é um homeomorfismo. Para isto, costruimos um homeomorfismo que deixa o diagrama comutativo e pela uicidade de cojugação provamos que H p,q é um homeomorfismo. A demostração do primeiro item é baseada a uicidade de poto com um código dado pelas trasformação f p. De fato dado z [0, 1] com código (b 1, b 2,, b, ), etão H p,q (z) é um poto que tem o mesmo código pela f q e portato o código de f q (H p,q (z)) pela f q é exatamete (b 2, b 3, ) que por sua vez coicide com o código de f p (z) pela trasformação f p. Agora pela uicidade de potos com código dado, cocluimos que f q (H p,q (z)) = H p,q ( f p (z)). 5.2. Valores especiais. Vamos aalisar agora algus valores de H p,q usado a fórmula de cojugação. Pela cojugação temos H( f p (0)) = f q (H(0)) e portato H(0) = f q (H(0)) e portato H(0) = 0. Logo cocluímos que 0 = H( f p (p)) = f q (H(p)) e portato H(p) = q. Similarmete podemos ver que H(1) = 1. É bom (e ão é difícil) verificar que as pré images de p pela f p são trasformados (por H)

PESADELO DE FUBINI 11 em pré images de q pela f q. Por exemplo as duas pré images de p são p 2 e p + p(1 p) = 2p p 2 e H(p 2 ) = q 2, H(2p p 2 ) = 2q q 2. Exercício 5. Ache uma fórmula para todas os potos que formam ésima pré imagem de p pela f p. Para mostrar que H p,q é um homemomorfismo, basta observar que ela é ijetiva e sobrejetora (H p,q (0) = 0, H p,q (1) = 1.) e estritamete crescete. 6. Sobre Curvas Γ β Mostramos que se b < b? etão a curva Γ β esta abaixo da curva Γ β? ou seja dado p (0, 1) etão x(p, b) < x(p, b? ). Como variam átomos (desitegração de medida de Lebesgue ao logo de curvas Γ β ) quado variamos β. Referêcias [1] Joh Milor, Fubii foiled: Katok s paradoxical example i measure theory, Math. Itelligecer,19, 1997, pg 30-32