Uma discussão sobre a existência de raízes. n-ésimas. Ivo Terek Couto. 11 de julho de 2015

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1 Uma discussão sobre a existêcia de raízes -ésimas. Ivo Terek Couto de julho de 205 Neste texto daremos uma demostração elemetar da existêcia de a, com e a > 0, e também de a, com a R e ímpar. Começaremos provado a existêcia de 2, a e 3 a, com a > 0, para recohecer padrões, e etão faremos as geeralizações. Serão usados apeas o Lema de Arquimedes propriedade Arquimediaa de R), o Pricípio do Supremo completude de R) e o biômio de Newto. Ao logo da redação faremos várias observações motivado o uso do Lema de Arquimedes: algo como "escolha Z >0 tal que < a b3 " ão é imediato à 3b 2 +3b+ primeira vista. Todas as demostrações tem aproximadamete a mesma "estrutura", e tetamos deixar isto evidete. Por fim, agradeço à professora Zara Abud por revisar as aotações iiciais que deram origem ao presete texto. terek@ime.usp.br

2 Proposição Existêcia de 2). Existe b R >0, tal que b 2 = 2. Demostração: Cosidere o cojuto A = {x R x 2 < 2}. Observe que A, pois 0 A, e que A é limitado superiormete, por exemplo, por 2. Pelo Pricípio do Supremo, existe b = sup A > 0. Afirmo que deve ser b 2 = 2. Pela tricotomia da relação de ordem em R, é suficiete verificarmos que ão pode ser b 2 > 2 e em b 2 < 2. Supoha que b 2 > 2. Pelo Lema de Arquimedes, existe Z >0 tal que: Daí: < b2 2 2b, e b > 0. b ) 2 = b 2 2b 2 b > b b 2b + > 2 b2 2b = b2 + 2b ) = b b 2 = 2, ) o que cotradiz que b = sup A, pois teremos que b é cota superior de A com efeito, se x A, etão x 2 < 2 < b ) 2 e com isso x < b, usado que b > 0), mas b < b. Observação. A motivação para a escolha de é dada pelo seguite cálculo: Figura : Situação o caso b 2 > 2. b ) 2 = b 2 2b + > 2 b2 2b > 2 2b < b2 2 < b2 2 2b, ode as desigualdades idicadas em vermelho são o que queremos. Supoha que b 2 < 2. Pelo Lema de Arquimedes, existe Z >0 tal que: < 2 b2 2b +. Etão, temos: b + ) 2 = b 2 + 2b + 2 b2 + 2b + = b2 + 2b + ) ) 2 b < b b + ) = b b 2 = 2, 2b + cotradizedo que b é cota superior de A, pois temos que b+ A e b+ > b. 2

3 Observação 2. A motivação para a escolha de é dada pelo seguite cálculo: Figura 2: Situação o caso b 2 < 2. b + ) 2 = b 2 + 2b + < 2 b2 + 2b + = b2 + 2b + ) < 2 < 2 b2 2b +, ode as desigualdades idicadas em vermelho são o que queremos. Cocluímos que b 2 = 2. 3

4 Proposição 2 Existêcia de a, a > 0). Seja a > 0. Existe b R >0, tal que b 2 = a. Demostração: Cosidere o cojuto A = {x R x 2 < a}. Observe que A, pois 0 A, e que A é limitado superiormete, por exemplo, por a +. Pelo Pricípio do Supremo, existe b = sup A > 0. Afirmo que deve ser b 2 = a. Pela tricotomia da relação de ordem em R, é suficiete verificarmos que ão pode ser b 2 > a e em b 2 < a. Supoha que b 2 > a. Pelo Lema de Arquimedes, existe Z >0 tal que: Daí: < b2 a 2b, e b > 0. b ) 2 = b 2 2b a b > b b 2b + > 2 b2 2b = b2 + 2b ) = b 2 + a b 2 = a, ) o que cotradiz que b = sup A, pois teremos que b é cota superior de A com efeito, se x A, etão x 2 < a < b ) 2 e com isso x < b, usado que b > 0), mas b < b. Observação 3. A motivação para a escolha de é dada pelo seguite cálculo: Figura 3: Situação o caso b 2 > a. b ) 2 = b 2 2b + > 2 b2 2b > a 2b < b2 a ode as desigualdades idicadas em vermelho são o que queremos. < b2 a 2b, Supoha que b 2 < a. Pelo Lema de Arquimedes, existe Z >0 tal que: < a b2 2b +. Etão, temos: b + ) 2 = b 2 + 2b + 2 b2 + 2b + = b2 + 2b + ) ) a b < b b + ) = b 2 + a b 2 = a, 2b + cotradizedo que b é cota superior de A, pois temos que b+ A e b+ > b. 4

5 Observação 4. A motivação para a escolha de é dada pelo seguite cálculo: Figura 4: Situação o caso b 2 < a. b + ) 2 = b 2 + 2b + < 2 b2 + 2b + = b2 + 2b+) < a < a b2 2b +, ode as desigualdades idicadas em vermelho são o que queremos. Cocluímos que b 2 = a. Observação 5. Note que o argumeto é exatamete o mesmo feito a demostração da Proposição - ão há ada de especial o úmero 2 aqui. O úico fato relevate utilizado é que 2 > 0. 5

6 Proposição 3. Seja a > 0. Existe b R >0, tal que b 3 = a. Demostração: Cosidere o cojuto A = {x R x 3 < a}. Observe que A, pois 0 A, e que A é limitado superiormete, por exemplo, por a +. Pelo Pricípio do Supremo, existe b = sup A > 0. Afirmo que deve ser b 3 = a. Pela tricotomia da relação de ordem em R, é suficiete verificarmos que ão pode ser b 3 > a e em b 3 < a. Supoha que b 3 > a. Pelo Lema de Arquimedes, existe Z >0 tal que: < b3 a 3b 2 +, e b > 0. Daí: b ) 3 = b 3 3b2 + 3b 2 3 b3 3b2 = b 3 + 3b 2 + ) ) ) a b > b 3 + 3b ) = b 3 + a b 3 = a, 3b 2 + o que cotradiz que b = sup A, pois teremos que b é cota superior de A com efeito, se x A, etão x 3 < a < b ) 3 e com isso x < b, usado que b > 0), mas b < b. Observação 6. A motivação para a escolha de é dada pelo seguite cálculo: Figura 5: Situação o caso b 3 > a. b ) 3 = b 3 3b2 +3b 2 > 3 b3 3b2 = b3 3b2 +) > a ode as desigualdades idicadas em vermelho são o que queremos. < b3 a 3b 2 +, Supoha que b 3 < a. Pelo Lema de Arquimedes, existe Z >0 tal que: < a b 3 3b 2 + 3b +. Etão, temos: b + ) 3 = b 3 + 3b2 + 3b b3 + 3b2 + 3b + = b3 + 3b2 + 3b + ) ) a b < b b 2 + 3b + ) = b 3 + a b 3 = a, 3b 2 + 3b + cotradizedo que b é cota superior de A, pois temos que b+ A e b+ > b. 6

7 Observação 7. A motivação para a escolha de é dada pelo seguite cálculo: Figura 6: Situação o caso b 3 < a. b + ) 3 = b 3 + 3b2 + 3b b3 + 3b2 + 3b + = b 3 + 3b2 + 3b + ) < a < a b 3 3b 2 + 3b +, ode as desigualdades idicadas em vermelho são o que queremos. Cocluímos que b 3 = a. 7

8 Algumas desigualdades: Para = 2: b ) 2 = b 2 2b + > 2 b2 2b). Para = 3: b ) 3 = b 3 3b2 + 3b 2 > 3 b3 3b2 3 b 3 3b2 = b3 3b2 + ) Para = 4: b ) 4 = b 4 4b3 + 6b2 4b > 4 b4 4b3 4b 3 b 4 4b3 4b = b4 4b3 + 4b) Para = 5: b ) 5 = b 5 5b4 b 5 5b4 + 0b3 2 0b b 4 > 5 b5 5b4 0b b2 = b5 5b4 + 0b 2 + ) A ideia para verificarmos as desigualdades acima se resumiu a elimiar os termos positivos, e usar que: > = m > = m < = m >, m Z >0. Por fim, agrupado termos pares e ímpares temos: ) b i = b + i ode é a fução piso. ) b i = b + i /2 ) b 2i + 2i +)/2 ) b 2i ), 2i 8

9 Proposição 4 Existêcia de a, a > 0, Z >0 ). Sejam a > 0 e Z >0. Existe b R >0 tal que b = a. Demostração: Cosidere o cojuto A = {x R x < a}. Observe que A, pois 0 A, e que A é limitado superiormete, por exemplo, por a +. Pelo Pricípio do Supremo, existe b = sup A > 0. Afirmo que b = a. Pela tricotomia da relação de ordem em R, é suficiete verificarmos que ão pode ser b > a e em b < a. Supoha que b > a. Pelo Lema de Arquimedes, existe k Z >0 tal que: k < b a C, e b k > 0, ode C = +)/2 2i ) b 2i ). Assim, temos: b k) = = b + > b i )i )b i k i /2 +)/2 ) b 2i 2i k 2i +)/2 ) b 2i ) 2i k 2i b +)/2 ) k 2i = b ) a b k C > b C C = b b + a = a, b 2i ) ) b 2i ) 2i k 2i o que cotradiz que b = sup A, pois b é cota superior de A com efeito, se k x A, etão x < a <, b k) e daí x < b k, usado que b > 0), mas k b > k b. Observação 8. A motivação para a escolha de k é dada pelo seguite cálculo: Figura 7: Situação o caso b > a. 9

10 b k) = = b + > b i )i )b i k i /2 +)/2 ) b 2i 2i k 2i +)/2 ) b 2i ) 2i k 2i ) b 2i ) 2i k 2i b k > a k < b a ), b 2i ) +)/2 2i +)/2 ode as desigualdades idicadas em vermelho são as que queremos. Supoha que b < a. Pelo Lema de Arquimedes, existe k Z >0 tal que: k < a b C, ode C = i) b i. Com isto, temos: b + k) = i b + ) b i k i = b + = b + k C < b + = b + a b = a, ) b i i k = b + k a b C ) b i i k i ) C ) b i i ) b 2i ) 2i e portato b + k A, cotradizedo que b é cota superior de A, pois b + k > b. Observação 9. A motivação para a escolha de k é dada pelo seguite cálculo: Figura 8: Situação o caso b < a. b + k) = ) b i i k i b + k )b i < a k i < a b ) b i i Cocluímos que b = a. 0

11 Proposição 5 Existêcia de a, a R, Z >0, ímpar). Sejam a R e Z >0, ímpar. Existe b R tal que b = a. Demostração: Se a = 0, o resultado é trivial e basta tomar b = 0. Se a > 0, o resultado já foi provado. Se a < 0, etão a > 0, e pela Proposição 4 existe b R >0 tal que b ) = a. Como é ímpar, temos que ) =. Assim: b ) = a = a = b ) = ) b ) = b ), de modo que b := b verifica b = a.