RESOLUÇÃO DO PROBLEMA DE WEBER USANDO PROGRAMAÇÃO EVOLUTIVA BASEADA EM DISTRIBUIÇÃO DE CAUCHY E ALGORITMO CULTURAL

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1 A pesquisa Operacional e os Recursos Renováveis 4 a 7 de novembro de 003, Naal-RN RESOLUÇÃO DO PROBLEMA DE WEBER USANDO PROGRAMAÇÃO EVOLUTIVA BASEADA EM DISTRIBUIÇÃO DE CAUCHY E ALGORITMO CULTURAL Leandro dos Sanos Coelho Ponifícia Universidade Caólica do Paraná, Grupo Produrônica Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção e Sisemas, Lab. Auomação e Sisemas, Rua Imaculada Conceição, 55, CEP , Curiiba, PR, Brasil lscoelho@rla0.pucpr.br Viviana Cocco Mariani Ponifícia Universidade Caólica do Paraná, Deparameno de Engenharia Mecânica Rua Imaculada Conceição, 55, CEP , Curiiba, PR, Brasil mariani@rla0.pucpr.br Resumo: O campo da compuação evoluiva em conribuído para o ressurgimeno de novas idéias, muias baseadas em novas inspirações biológicas. Nese arigo uma abordagem de aprendizado baseada em princípios de evolução culural é apresenada. A abordagem consise de um algorimo de oimização combinando programação evoluiva rápida e a eoria de algorimos culurais. Os resulados de simulação indicam que o algorimo de oimização proposo apresena melhoras ano de desempenho nas propriedades de qualidade de solução quano na precisão, para o problema de localização de facilidade conhecido como problema de Weber. Palavras chave: programação evoluiva, algorimos culurais, localização de facilidade, problema de Weber. Absrac: The field of evoluionary compuaion has seen a resurgence of new ideas, many semming from new biological inspiraions. In his paper an approach o evoluionary learning based upon principles of culural evoluion is presened. The presened approach consiss of an opimizaion algorihm ha combines fas evoluionary programming and he culural algorihms heory. Simulaion resuls indicae ha he proposed opimizaion algorihm presen performance improvemens in soluion qualiy and precision properies for he faciliy locaion problem called Weber s problem. Keywords: evoluionary programming, culural algorihms, faciliy locaion, Weber s problem.. Inrodução Os problemas de localização de facilidade são problemas clássicos de pesquisa operacional. Eses problemas envolvem a deerminação da localização de um ou mais serviços que faciliem o suprimeno óimo de um dado conjuno de desinos de demanda. Exisem diversas caegorias para o problema de localização, classificados: (i) pela força propulsora, (ii) pelo número de facilidades, (iii) pela discreização das escolhas, (iv) pelo grau de agregação de dados, e (v) pelo horizone de empo (Ballou, 999). A localização de facilidades é um problema que exise no seor privado al como a localização de planas, warehouse, fábricas, e no seor público, por exemplo hospiais, cenros de raameno de saúde, esações de polícia, cenros de disribuição de água, enre ouros. O economisa alemão Alfred Weber (909) publicou o livro Theory of locaion of indusries (versão em inglês de 99) sobre a localização de indúsrias que dependiam da ineração enre uma ou diversas funções objeivo, demandas e facilidades. Conudo, somene nos úlimos 30 anos é que esa área de pesquisa em sido explorada. O problema de Weber é um problema

2 clássico na análise de localização que visa enconrar a localização de um pono de suprimeno ou facilidade cenral que possa ser bom para diversos ponos de demanda (iso é, cidades) com o menor cuso possível de ranspore. Nese conexo, o cuso oal associado com a disribuição para diversos cenros de demanda é minimizado. O modelo maemáico enfoca que o cuso é proporcional à disância aé a facilidade. A consane de proporcionalidade pode refleir cusos de ranspore posiivo, ou seja, um cuso associado a presença de benefícios, ou negaivo quando reflee a presença de resrições ambienes. A compuação evoluiva (ou evolucionária) é uma área emergene da ciência da compuação que uiliza as idéias da evolução biológica naural e da genéica para resolução de problemas de busca, oimização e aprendizado de máquina. Muios deses problemas requerem a busca em um espaço amplo de possibilidades para as soluções. Problemas como eses requerem soluções complexas que são usualmene difíceis de serem raadas por algorimo convencionais de oimização, como algumas concepções do problema de Weber com diversos múliplos locais. Nese arigo é proposa a implemenação de um algorimo de oimização da compuação evoluiva denominado programação evoluiva (Fogel, 994; Fogel, 995) baseado na eoria de algorimos culurais (Reynolds & Sverdlik, 994). A concepção de oimização proposa objeiva um aprimorameno da écnica de programação evoluiva pela ulização de uma abordagem de oimização rápida usando operador de muação com disribuição de Cauchy (Yao & Liu, 996) e um algorimo culural de auo-adapação dos mecanismos de busca local da programação evoluiva, para o problema de Weber, iso é, à deerminação da melhor localização de uma fábrica, onde os cusos de disribuição para diversos cenros de demanda são minimizados. O arigo nas próximas seções é organizado da seguine forma. Na seção, a descrição do problema de Weber é apresenada. Na seção 3, o algorimo de oimização evoluivo baseado em algorimo culural é dealhado. As simulações e os respecivos resulados de dois esudos de caso para oimização do problema de Weber são apresenados e comenados na seção 4. Na seção 5 são apresenadas as conclusões e os rabalhos fuuros a serem desenvolvidos. Descrição do problema de Weber No problema de Weber é suposo que exisem N locais de demanda com coordenadas de localização { z } i aribuídas a variável { i } onde {} { } R. As ponderações correspondenes a quanidade de demanda são w e a função objeivo é a minimização da função, [ x ( z ) ] + y ( z ) [ ] N N f ( x) = wi x zi = wi d i d i i= i=, () d = x d,y d são as variáveis de projeo do méodo de minimização. No caso de assumirse que w i > 0, um mínimo global exise. Se w i < 0 enão inf f = e não exise um N N i= i= mínimo global. Nas próximas subseções são apresenados dois esudos de caso do problema de Weber uilizados para análise de desempenho do algorimo evoluivo proposo nese arigo. Eses esudos de caso são proposos em Maranas & Floudas (994) e Kelley (999).. Esudo de caso I: Problema de Weber com um mínimo local Ese caso é o mais simples e possui rês cenros de demanda onde w = 90 (,4, 5) T e ( z, z, z3) = () 34

3 O mínimo global é f*(x) = -64,453. d * = (90,) T e o mínimo global em uma função objeivo com valor de. Esudo de caso II: Problema de Weber com diversos mínimos locais Ese segundo esudo de caso em dois mínimos locais, em ( 0,0) e ( 0,0), e o mínimo global esá em ( 5,30) com função objeivo f*(x) = 9,5607. Nese caso, exisem quaro cenros de demanda com w = -0 (, 4,,) T e ( z, z, z3, z4) = (3) 3 Algorimo evoluivo de oimização Os paradigmas da compuação evoluiva (ou compuação evolucionária) são ambém denominados algorimos evoluivos (ou algorimos evolucionários). Os algorimos evoluivos (AEs) são sisemas compuacionais para resolução de problemas baseados nos princípios da eoria evoluiva e na genéica. Uma variedade de algorimos evoluivos em sido desenvolvida e odos dividem uma base conceiual comum, aravés de procedimenos de seleção, muação e recombinação. O ineresse neses algorimos é devido ao fao de serem écnicas robusas e proverem mecanismos de busca eficienes frene a buscas globais. Os AEs são écnicas robusas e eficienes em espaços de procura irregulares, complexos e apresenando múliplas dimensões. Um AE caraceriza-se por: (i) operar em uma população de ponos; (ii) não requerer cálculos de derivadas e informação sobre o gradiene da função objeivo; (iii) rabalhar com a codificação de seu conjuno de parâmeros, não com os próprios parâmeros (represenação binária); (iv) realizar ransições probabilísicas, em vez de regras deerminísicas; (v) necessiar apenas da informação sobre o valor da função objeivo para cada indivíduo da população; (vi) apresenar simplicidade conceiual; (vii) ser pouco afeado, quano à eficiência, quando desconinuidades e ruídos esão presenes nos dados do problema. As caracerísicas (iii) a (v) não são comuns a odos os AEs, mas geralmene presenes nos algorimos genéicos. O ciclo básico dos dados num AE é baseado nos seguines passos: (i) geração aleaória da população de soluções iniciais; (ii) avaliação da função de apidão; (iii) seleção dos indivíduos mais apos de acordo com uma esraégia de seleção; (iv) aplicação dos operadores de recombinação e muação; (v) geração de uma nova população de soluções candidaas; (vi) repeição dos passos (ii) a (v) aé que uma condição de parada seja saisfeia. Um compromisso enre convergência (exploiaion) e diversidade dos membros que consiuem a população (exploraion) é um problema consane em AEs e deve ser considerado na configuração de uma meodologia de oimização eficiene. Os AEs são especialmene úeis em arefas de oimização global, onde os méodos radicionais de oimização podem apresenar limiações, ais como: (i) er baixa velocidade de convergência, (ii) requerer alguma informação especial, como por exemplo, o gradiene da função objeivo, e (iii) se enconrar um óimo local, exisem dificuldades para escapar dese pono (Sao & Hagiwara, 997). Enreano, a configuração de abordagens composas por écnicas híbridas de oimização é uma alernaiva relevane raada na lieraura (Tsusui e al., 999; Har e al., 000; Knowles & Corne, 000; Burke & Smih, 000). 35

4 Ese arigo propõe a implemenação de um procedimeno de oimização híbrido combinado um algorimo culural e a écnica programação evoluiva rápida, eses descrios nas próximas seções de forma isolada e conjuna à concepção de uma nova abordagem de programação evoluiva rápida baseada em algorimo culural. 3. Programação evoluiva A programação evoluiva (PE) foi desenvolvida inicialmene por L. J. Fogel, na década de 960, eve enfoque na evolução de máquinas de esado finio. A ransformação de seqüências de símbolos de enrada em seqüências de símbolos de saída, pelas máquinas de esado finio, visava a previsão de séries emporais. A PE foi esendida, poseriormene, a problemas de oimização de parâmeros. A PE, de forma análoga aos ouros AEs, uiliza os conceios de evolução, para gerar progressivamene soluções apropriadas para ambienes esáicos ou que mudam dinamicamene. A PE, de forma similar as esraégias evoluivas (Bäck & Schwefel, 993), difere dos algorimos genéicos, pois são meodologias que simulam a evolução, enfaizando mais a ligação comporamenal (relação fenoípica) enre as populações geradas (ancesrais e descendenes) que a ligação genéica. Na PE, a população inicial de soluções (valores reais) é gerada aleaoriamene de acordo uma função densidade, sendo após oda população classificada em relação a um dado objeivo. As soluções-descendenes são geradas de soluções-ancesrais aravés de operações de muação. Tipicamene, cada indivíduo é composo de uma variável-objeo (veor solução) acompanhada de um desvio padrão. Nese arigo a PE em o indivíduo modificado por uma variável aleaória com disribuição de Cauchy (Yao & Liu, 996; Yao e al., 999; Chellapilla, 998). A uilização do operador de muação com disribuição de Cauchy necessia de uma função densidade de probabilidade cenrada na origem e definida por w f =, (4) π w + x onde - < x <, e w > 0 é um parâmero de escala. A função de disribuição correspondene é F ( x) = + arcan π x w. (5) A forma de f (x) parece-se com a função de densidade Gaussiana (normal), mas nas proximidades o eixo f (x) decresce mais vagarosamene. Como um resulado diso, a variância da disribuição de Cauchy é infinia. O operador de muação, com disribuição de Cauchy é úil para escapar de óimos locais. A figura apresena as funções densidade de Cauchy e Gaussiana com média zero e desvio padrão, σ. 36

5 Figura. Funções densidade das disribuições de Cauchy e Gaussiana. 3. Algorimo culural A culura pode ser definida como um sisema composo por fenômenos conceiuais codificados de forma simbólica que são ransmiidos socialmene e hisoricamene com e enre populações (Durham, 99). Segundo Reynolds & Sverdlik (994), a evolução culural habilia às sociedades a evoluir ou a se adapar ao seu ambiene em axas que excedem as da evolução biológica baseada somene na herança genéica. Na lieraura diversos modelos co-evoluivos êm sido proposos, enre os quais algorimos evoluivos adapaivos, mecanismos de efeio Baldwin, busca local, mecanismos de mea-aprendizado e auo-adapação, algorimos culurais, enre ouros (Bäck e al., 997). Os algorimos culurais (ACs) são baseados nesa premissa, de que é possível aprimorar a axa de aprendizado (velocidade de convergência) de um algorimo evoluivo adicionando-se mais um elemeno de pressão evoluiva, o denominado belief space, ese um mecanismo culural (Franklin & Bergerman, 999). Os ACs são sisemas de herança dual que consisem de uma população social e um belief space. A experiência na resolução de problemas de um indivíduo é selecionada do espaço de população por uma função de aceiação que é uilizada para gerar o conhecimeno de resolução do problema que reside no belief space. Ese conhecimeno pode ser viso como um conjuno de direcionamenos ( faróis ) que podem conrolar a evolução do componene da população pelo significado adoado para a função de influência. Nese conexo, a função de influência pode uilizar o conhecimeno presene no belief space para modificar algum aspeco do componene população (Reynolds & Chung, 997). Para melhor expliciar esas definições, os componenes de um algorimo culural são represenados com os respecivos fluxos de dados na figura. belief space ajuse função de aceiação função de influência seleção e modificação espaço de população herança função de desempenho Figura. Esruura e componenes de um algorimo culural. 37

6 Os ACS possuem uma esruura para o supore do processo de auo-adapação como especificado por Angeline (995) e Eiben e al. (999). O desempenho da PE comparado com o de ouros algorimos evoluivos depende da configuração adequada dos seus parâmeros inernos de conrole. As abordagens usuais de PE apresenam facilidades no ajuse de ais parâmeros aravés da uilização de procedimeno de auo-adapação (Beyer, 995). O princípio da auo-adapação é faciliar o conrole implício dos parâmeros da PE pela incorporação dese princípio na represenação do indivíduo com a evolução usual das variáveisobjeo (possíveis soluções do problema). O ermo denominado parâmeros da esraégia (ou parâmeros de conrole) referem-se aos parâmeros que conrolam o procedimeno de busca evoluiva, ais como: axa de muação, variância da muação e axa de recombinação de um algorimo evoluivo (Bäck e al., 997). Muias das pesquisas relacionadas aos princípios de auo-adapação em algorimos evoluivos raam de parâmeros relacionados com operador de muação. A écnica de auo-adapação é geralmene empregada com sucesso nos ajuses de variâncias e de covariâncias em relação a uma disribuição normal n-dimensional. Angeline (995) afirma que é possível adapar dinamicamene os aspecos de processameno de um AE anecipando as regularidades do ambiene, aprimorando o procedimeno de oimização e enfaizando a rapidez na busca dos parâmeros. Os algorimos evoluivos que apresenam mecanismos adapaivos (AEMAs) disinguem-se pela configuração dinâmica dos parâmeros selecionados ou mesmo operadores durane o ciclo evoluivo de oimização. Os AEMAs êm uma vanagem sobre os algorimos evoluivos básicos, pois são mais reaivos em anecipar as paricularidades do problema, ou mesmo em algumas formulações podem dinamicamene adquirir informação sobre as regularidades no problema e explorá-las. Segundo Angeline (995), os AEMAs podem ser separados em rês níveis onde os parâmeros adapaivos esão presenes, que são: (i) nível populacional: os méodos adapaivos ajusam dinamicamene os parâmeros, que são globais à população ineira; (ii) nível individual: os méodos adapaivos modificam a maneira que um indivíduo da população é afeado pelos operadores de muação; (iii) nível de componene: os méodos adapaivos aleram a forma pela qual os componenes de cada indivíduo são manipulados independenemene dos ouros indivíduos da população. Os mecanismos de auo-adapação, no âmbio de componene dos parâmeros da PE, providenciam uma das caracerísicas principais do sucesso desa écnica. O operador de muação é o operador principal da PE e sem a mudança na disribuição do operador de muação durane a seqüência de gerações do ciclo evoluivo, exise uma diminuição na probabilidade da solução evoluir para uma solução adequada. Eiben e al. (999) definem duas formas de configurar os valores dos parâmeros de um algorimo evoluivo: (i) sinonia de parâmeros: parâmeros configurados anes de execuar o algorimo evoluivo; e (ii) conrole de parâmeros: modificação dos valores dos parâmeros durane a execução do algorimo evoluivo. As écnicas de conrole de parâmeros levam em cona diversos quesionamenos, ais como: (i) que algorimo é modificado? (exemplo: represenação, operadores, procedimeno de seleção, muação,...); (ii) qual o escopo da modificação do algorimo? (exemplo: nível populacional, nível individual,...); (iii) de que forma a modificação é realizada? (exemplo: heurísica deerminísica, heurísica baseada em realimenação ou auo-adapaiva); 38

7 (iv) qual a evidência de que a modificação foi realizada? (exemplo: moniorameno do desempenho dos operadores, diversidade da população,...). Apesar de inensas pesquisas na área, não exise uma regra única para a deerminação de uma configuração de PE eficiene, robusa e flexível para resolução de problemas de oimização. Nese conexo deseja-se uilizar um algorimo culural para a melhora da convergência da PE rápida mencionada na seção anerior dese arigo. A seguir é mencionado o procedimeno de oimização da PE rápida baseada em ACs. 3.3 Programação evoluiva baseada em um algorimo culural A concepção de AC, adoada nese arigo, leva em consideração duas caegorias básicas de conhecimeno: normaive e siuaional. O conhecimeno normaive proporciona padrões para o comporameno individual e providencia direrizes com o qual os ajuses nos indivíduos podem ser realizados. Sob ouro pono de visa, o conhecimeno siuaional proporciona um conjuno de exemplos que são úeis para a inerpreação de uma experiência individual explícia. O procedimeno de oimização aravés de PE rápida baseada em ACs (CAFEP) é implemenado conforme os seguines passos: Passo : A criação da população inicial de parâmeros compreendendo N ind soluções. Cada um dos indivíduos ( xi, σ i ), onde x i R n são veores de soluções, e σ i R n são desvios padrões, j=,...,n ind, com as dimensões correspondendo ao número de parâmeros i a serem oimizados. Os componenes de cada x i e σ i são gerados aleaoriamene de acordo com uma disribuição uniforme em um inervalo especificado a priori pelo projeisa. Passo : Cada solução x i é classificada com relação a sua função de apidão (finess). Passo 3: O belief space é gerado com o domínio do problema e as soluções candidaas. A esruura do belief space possui o par de veores {S, N}, onde S é o conjuno de exemplares ou os melhores indivíduos. Eses indivíduos consiuem o conhecimeno siuaional conido no belief space. O componene de conhecimeno normaive, N, é o conjuno de informações de inervalos para cada variável do domínio e é represenado como N = { X,..., X n }, onde n é o número de dimensões da função que esá sendo oimizada. Cada X i é represenado como um veor do R 3, {I, L, U}. A variável I denoa um inervalo fechado, que é um conjuno conínuo de números reais x represenados como: [ l u] = { l x } I =, j u j (6) onde l é o limie inferior (lower bound) e u é o limie superior (upper bound), eses configurados para definir o domínio do problema. O L j represena o finess para o limie inferior l da variável j. O U j represena o finess para o limie superior u da variável j. O L j e o U j são iniciados com valor + (problemas de maximização) ou com valor - (problemas de minimização). Passo 4: Cada veor de solução ancesral (x i, σ i ) gera somene um veor solução descendene ( x ' i, σ ' i ), de acordo com as seguines equações (adoou-se uma PE que aualiza a equação do σ anes do x i ): 39

8 ' i { τ ' N(0,) + N (0,) } σ ( ) = σ ( ) *exp τ (7) i A muação do desvio padrão σ i,j (variável i do indivíduo j da população) é baseada em um faor de busca global τ' N( 0, ) e um faor de busca local τ N i (0,). No caso do faor de busca global é gerado apenas um valor N( 0, ), a ser uilizado por odos os σ i, j dos indivíduos na geração (ieração) correne. Enreano, no caso do faor de busca local, N i ( 0,), é gerado um valor para cada indivíduo da população, com disribuição normal, média zero e variância σ i. Eses faores são regidos pelas seguines equações: i τ =, (8) n τ '=. (9) n A função de influência é uilizada para deerminar o ipo de muação, baseada no conhecimeno do belief space, a ser realizada pela PE rápida com disribuição de Cauchy. Os ipos de funções de influência adoadas são as seguines: (i) normaive: CAFEP(N s ) x ' i, j ( ) = xi, j ( ) + amanho( ) * Ci (0,), (0) onde amanho(i i ) é o amanho do inervalo do belief space para a variável i, e o ermo C i (0,) é uma disribuição aleaória de Cauchy. (ii) siuaional: CAFEP(S d ) xi, j + σ i, j C(0,), x' i, j = xi, j σ i, j C(0,), x + (0,), i, j σ i, j C se xi, j < si se xi, j > si ouros casos onde s i é o valor do melhor indivíduo para a variável i no belief space. (iii) normaive + siuaional: CAFEP(N s +S d ) () xi, j + amanho( ) C(0,), se xi, j < si x' i, j = xi, j amanho( ) C(0,), se xi, j > si () xi, j + amanho( ) C(0,), ouros casos (iv) normaive + normaive: CAFEP(N s +N d ) xi, j + amanho( ) C(0,), se xi, j < li x' i, j = xi, j amanho( ) C(0,), se xi, j > ui xi, j + β amanho( ) C(0,), ouros casos Passo 5: Cada solução x i,j é classificada com relação a sua função de apidão (finess). (3) Passo 6: Diversas comparações são conduzidas sobre odas as x i e x i soluções. Para cada solução, k oponenes são selecionados, aleaoriamene, e após são escolhidos dos veores solução ancesrais e descendenes, com igual probabilidade. A seleção realizada, nese caso, é 40

9 aravés de compeição por meio da seleção por orneio. Na seleção por orneio, em cada comparação, se a solução considerada oferece pelo menos um desempenho ão adequado quano o oponene selecionado aleaoriamene, ela recebe uma viória. Passo 7: Os veores soluções, x i e x i que apresenam mais viórias são selecionados para serem ancesrais na próxima geração, sendo que os veores σ i ' e σ i a elas associados são ambém incluídos. Passo 8: Aualização do belief space a cada g normaive gerações e baseado nos melhores z% indivíduos da população. A regra de aualização do belief space é realizada pelo ajuse dos componenes normaive e siuaional. O conjuno de indivíduos (exemplares) do componene siuaional, S={s }, consise somene de %z melhores indivíduos da população enconrados aé esa geração do CAFEP e possui aualização pela equação (para problemas de minimização de f(x)), ( x ) f ( s ) + x, se f s =,, < i melhor i melhor s, ouros casos, (4) onde x i, melhor denoa o melhor indivíduo (veor solução) na população na geração. O componene de conhecimeno normaive no belief space, N, é aualizado conforme segue. Os valores dos parâmeros para os indivíduos selecionados pela função de aceiação são uilizados para calcular o inervalo de aceiação correne para cada parâmero no belief space. A idéia é ser conservaivo quando o inervalo I i é esreio e ser progressisa quando o inervalo é amplo. Nese caso, pode-se formular a regra de aualização do inervalo como: ( x ) + x,, se x l ou f < L l i j i, j = i j i i, (5) l i, ouros casos ( x ) + f ( x ), se x l ou f = < L L i i, j i j i i, (6) L i, ouros casos ( x ) + x,, se x u ou f = < U u i k i,k i k i i, (7) u i, ouros casos ( x ) + f ( x ), se x u ou f = < U U k i,k i k i i, (8) U i, ouros casos onde o j-ésimo indivíduo afea o limie inferior para a variável i e o k-ésimo indivíduo afea o limie superior para a variável i. O valor de l i represena o limie inferior para a variável i na geração. L i represena o finess para l i. O valor de u i represena o limie superior para a variável i na geração. U i represena o finess para u i. Passo 9: Repeir os passos 4 a 9 aé que a condição de parada (criério de convergência) seja saisfeia. 4

10 4 Resulados de simulação O CAFEP proposo foi analisado para os dois esudos de caso do problema de Weber descrios na seção. Um esudo comparaivo de convergência influenciado pelos parâmeros de configuração do AEL foi realizado para 3000 avaliações da função objeivo (ierações), como criério de parada. O hreshold para o criério de parada dos esudos de caso e são f (x) = - 64,35 e f (x) = 9,60, respecivamene. Eses valores de hreshold represenam 99,960% e 99,4% da solução global dos esudos de caso analisados, respecivamene. Nas abelas e são apresenados os resulados obidos com as concepções de CAFEP(N s ), CAFEP(S d ), CAFEP(N s + S d ) e CAFEP(N s + N d ). Os parâmeros de configuração dos algorimos de CAFEP analisados são: inervalo das soluções iniciais x i para os esudos de caso e são escolhidos para serem iguais a [-0,0] n e [-00,00] n, respecivamene, onde n é a dimensão do problema (n=); desvios padrão σ i de 50% do inervalo das soluções iniciais x i ; orneio de 0 indivíduos; população de 40 indivíduos; z% = 0%; β = 0,0; e g normaive = 5. Tabela : Resulados de simulação usando CAFEP para o problema de Weber (esudo de caso ). melhor valor de f(x) para as populações de soluções convergência obida nos experimenos avaliações da função objeivo necessárias para obenção da solução óima melhor média desvio pior padrão CAFEP pior desvio padrão média sim / não experimenos (N s ) -64,3508 0,090-64,3939 sim (S d ) -64,353 0,073-63,3933 sim (N s +S d ) -64,3504 0,086-64,39 sim (N s +N d ) -64,350 0,085-64,394 sim Tabela : Resulados de simulação usando CAFEP para o problema de Weber (esudo de caso ). melhor valor de f(x) para as populações de soluções convergência obida nos experimenos avaliações da função objeivo necessárias para obenção da solução óima melhor média desvio pior padrão CAFEP pior desvio padrão média sim / não experimenos (N s ) 9,5998 0,0089 9,583 sim (S d ) 9,5996 0,0098 9,585 sim (N s +S d ) 9,567 0,009 9,585 sim (N s +N d ) 9,5999 0,0008 9,580 sim

11 Os resulados apresenados nas abelas e são baseados em 00 experimenos usando CAFEP para os esudos de caso e. A análise esaísica foi realizada com 00 diferenes experimenos, sendo que as populações iniciais do CAFEP foram geradas com diferenes semenes, esas para a geração de números aleaórios com disribuição uniforme. Em relação ao esudo de caso, em ermos de oimalidade e convergência, odas as concepções apresenaram convergência para a solução óima global em menos de 3000 avaliações da função objeivo a ser minimizada. Ouros eses preliminares (00 experimenos) ambém foram realizados com concepções de projeo usando somene PE ou PE rápida sem o méodo de busca local de Hooke-Jeeves e em cerca de 85% das vezes não foi obido o óimo global em 3000 gerações. Os melhores resulados, eses preliminares, em ermos do número oal de avaliações da função objeivo, precisão e convergência foram com o CAFEP(N s +S d ) e CAFEP(N s +N d ). No enano, são necessários esudos de obenção de projeos com um compromisso apropriado dos parâmeros de configuração para melhora da habilidade de busca global e local para obenção do sucesso em um procedimeno de oimização usando CAFEP. 5. Conclusão e rabalhos fuuros Nese arigo é proposa a implemenação de um algorimo de oimização esocásico combinando as eorias de PE rápida e ACs. A concepção de oimização apresenada é um aprimorameno da PE pela uilização do operador de muação com disribuição de Cauchy e um algorimo culural. Os dois esudos de caso abordados são vinculados ao problema de Weber visando a deerminação da melhor localização (oimização das coordenadas (x,y)) de uma fábrica, onde os cusos de disribuição para diversos cenros de demanda devem ser minimizados. Noou-se pelos resulados obidos que a CAFEP é uma abordagem promissora para minimizar o problema de convergência premaura e aprimorar as buscas locais baseando-se na eoria de ACs. A moivação para a adoção da abordagem de ACs raada nese arigo foi à superação das limiações de busca local presenes na PE quando esa é usada isoladamene. Nese caso, os resulados obidos foram promissores e mosraram que a meodologia proposa apresenou desempenho apropriado e eficiência quano à precisão, flexibilidade e convergência na resolução do problema de Weber. Os fuuros rabalhos vinculados a ese arigo objeivarão um esudo de novas concepções de algorimos evoluivos e análise de criérios de desempenho ligados a: (i) convergência, (ii) sensibilidade, (iii) cuso compuacional, (iv) esabilidade, (v) adapação de parâmeros de conrole e operadores, e (v) precisão das soluções obidas. Referências Angeline, P. J. (995). Adapive and self-adapive evoluionary compuaions, Compuaional Inelligence: A Dynamic Sysems Perspecive, Palniswami, M.; Aikiouzel, Y.; Marks, R.; D. Fogel & T. Fukuda (eds.), Piscaaway, NJ: IEEE Press, p Bäck, T. & Schwefel, H. -P. (993). An overview of evoluionary algorihms for parameer opimizaion, Evoluionary Compuaion, vol., no., p. -3. Bäck, T.; Fogel, D. B. & Michalewicz, Z. (eds.) (997). Handbook of Evoluionary Compuaion, Brisol, Philadelphia: Insiue of Physics Publishing, NY, Oxford: Oxford Universiy Press. Ballou, R. H. (999). Business logisics managemen: planning, organizing, and conrolling he supply chain, 4h ediion, Upper Saddle River, NJ, Prenice Hall. 43

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