UM MÉTODO HÍBRIDO ENVOLVENDO OS MÉTODOS DE PONTOS INTERIORES E BRANCH-AND-BOUND EM PROBLEMAS MULTIOBJETIVO REFERENTES AO CULTIVO DA CANA-DE-AÇÚCAR

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1 U ÉTODO HÍBRIDO ENVOLVENDO OS ÉTODOS DE PONTOS INTERIORES E BRANCH-AND-BOUND E PROBLEAS ULTIOBJETIVO REFERENTES AO CULTIVO DA CANA-DE-AÇÚCAR Camla de Lma Programa de Pós-Graduação em Egehara Elétrca, FEB, UNESP, CEP: , Bauru, SP. E-mal: cadlma@yahoo.com.br Atoo Roberto Balbo Departameto de atemátca, FC, UNESP, CEP: , Bauru, SP. E-mal: arbalbo@fc.uesp.br Helece Floreto Slva de Olvera Departameto de Boestatístca, IBB, UNESP, CEP: , Botucatu, SP. E-mal: helece@bb.uesp.br RESUO O objetvo deste trabalho é desevolver e aplcar um método híbrdo que evolve os métodos prevsor-corretor prmal-dual de potos terores e brach-ad-boud em problemas referetes à mmzação do custo de colheta da caa-de-açúcar, à mmzação do custo da coleta e trasporte da bomassa resdual e/ou à maxmzação de geração de eerga da bomassa. O método prevsor-corretor prmal-dual de potos terores é utlzado para se obter a solução ótma relaxada do modelo. A partr desta, utlza-se o método brach-ad-boud para determar a solução ótma tera 0- relacoada às restrções de tegraldade do problema, relatvas à escolha das varedades a serem platadas, cosderado as áreas mecazáves e semmecazáves. Os testes são realzados através de uma mplemetação computacoal em C++ e os resultados umércos obtdos são comparados àqueles publcados a lteratura, demostrado que o procedmeto é efcete e determa a solução ótma do problema. PALAVARAS-CHAVE: étodo Prevsor-Corretor Prmal Dual de Potos Iterores, étodo Brach-ad-Boud, Bomassa Resdual da Caa-de-Açúcar. ÁREA PRINCIPAL: P - Programação atemátca. ABSTRACT The am of ths wor s develop ad apply a hybrd method volvg the predctorcorrector prmal-dual teror pots ad the brach-ad-boud methods problems of the sugarcae harvest cost mmzato, besdes the collect ad trasportato cost mmzato ad/or the eergy geerato maxmzato from waste sugarcae bomass. The predctorcorrector prmal-dual teror pot method s used to obta the real optmal soluto of the model. The, the brach-ad-boud method s appled to determe the 0- teger optmal soluto related to tegralty costrats of the problem, to choose the sugarcae varetes must be plated, cosderg the mechazed ad sem-mechazed areas. Tests have bee realzed by computatoal mplemetato C++ programmg laguage ad the obtaed umerc results are compared wth those publshed lterature showg that the procedure s effcet ad determes the optmal soluto to the problem. KEYWORDS: Prmal-Dual Iteror Pot ethod, Brach-ad-Boud ethod, Sugarcae Bomass. AIN AREA: P - athematcal Programmg. 278

2 . Itrodução Equato Secto Há algus aos, as usas hdrelétrcas eram resposáves por cerca de 90% da produção de eerga do Brasl, vsto que o país possu um dos maores parques hdrelétrcos do mudo. De acordo com Pellegr (2002), esses dados têm sofrdo algumas mudaças. Detre estas, houve a trodução de ovas fotes de eerga, como as que exploram o gás atural, a eerga uclear, e as eergas reováves, as quas utlzam recursos que são reabastecdos aturalmete, promovedo um meor mpacto ambetal e atededo aos prcípos de sustetabldade, detre elas destacam-se a eerga solar, a eerga eólca e eerga cogerada pela bomassa resdual. A cogeração cosste em um processo de produção smultâea e seqüecada de duas ou mas formas de eerga a partr de um úco combustível, que podem ser covertdas para cosumo própro ou veda, segudo Lma (2009). Vsto a baxa produção de mcro poluetes, o uso da bomassa como fote a cogeração de eerga tem sdo avalada como uma possível solução eergétca e ambetal. A caa-de-açúcar etra esse cotexto, por ser bastate cultvada o Brasl e por gerar uma grade quatdade de resíduos o solo, como folhas, palhas, poteros e frações de colmo, o que cetva o aprovetameto desta bomassa resdual para a cogeração de eerga. De acordo com Ramos (200), a probção das quemadas, utlzadas o processo de colheta semmecazada, provocou maor exploração e utllzação do sstema de colheta mecazado, o que ocasoou um aumeto sgfcatvo a quatdade de resíduos o solo, que favoreceram o aparecmeto de pragas, a cotamação do solo, e o comprometmeto da próxma safra. Neste processo houve vestmetos das usas para o reaprovetameto desta bomassa resdual que, além de resolver este problema, possbltou a cogeração de eerga e utlzação desta o setor sucro-alcoolero. Além dsso, o período da colheta da caa-de-açúcar cocde com o período de estagem das prcpas bacas hdrográfcas do parque hdrelétrco braslero, e ada, exste a possbldade de armazeameto da bomassa por um determado período até uma maor ecessdade ou maor valor de comercalzação desta eerga. Assm, mutos estudos têm sdo propostos vsado otmzar o custo de coletar e trasferr a caa-de-açúcar e a bomassa resdual, do campo para o cetro de processameto, bem como ao uso deste resíduo para a geração de eerga, cosderado-se os dos sstemas destados ao plato: o sstema mecazável, que gera bomassa para a produção de eerga, e o sstema semmecazável, que ão gera bomassa resdual, mas flueca dretamete o custo de coleta e dretamete a produção de eerga do processo. Nos trabalhos de Floreto (2006), Toleto (2007) e Homem (200), são dscutdos modelos matemátcos para a escolha de varedades de caa-de-açúcar que buscam otmzar o custo de coleta da bomassa resdual e/ou a geração de eerga. Ramos (200) e Slva (20) apresetam modelos de mmzação de custo da colheta da caa-de-açúcar, cosderado áreas mecazáves e sem-mecazáves em sua formulação. Este trabalho tem por objetvo utlzar um procedmeto híbrdo evolvedo métodos prevsor-corretor prmal-dual de potos terores e brach-ad-boud para a resolução dos modelos relatvos à colheta da caa-de-açúcar, que cosdera as áreas sem-mecazáves e mecazáves para o plato e ao aprovetameto de resíduos de caa-de-açúcar, relatvos à mmzação do custo de coleta e trasporte da bomassa resdual e/ou maxmzação de geração de eerga da bomassa, com restrção o úmero de varedades a serem platadas os talhões. 2. étodo prevsor-corretor prmal-dual de potos terores e brach-ad-boud Equato Secto (Next) Seja o segute problema prmal defdo para varáves caalzadas: em que A x c l u m m R, b R,,,, mzar Sujeto a : R e A com posto m. T c x Ax = b l x u Tem-se etão, o segute problema equvalete ao problema orgal (2.): (2.) 279

3 T mzar c x T mzar c x Ax = b Ax = b Sujeto a : Sujeto a : x r = l e x + z = u x l e x u r 0 e z 0 Cosderado o problema de programação lear (PPL) com restrções leares de gualdade e varáves caalzadas (2.2), este é redefdo através de um PPNL Prmal-Dual rrestrto que é defdo a partr da fução Lagragaa Barrera Logarítmca L ( x, w, z, r, y, s) T T T T µ : L µ ( x, w, z, r, y, s ) = c x + w ( b Ax ) + s ( l + r x ) + y ( x + z u ) µ l( z ) µ l( r ) (2.2) = = (2.3) m Em que: w R e y, s R ; s 0, y 0, são as varáves duas do problema e µ > 0 é o parâmetro de barrera ou parâmetro de cetragem. Assm, a partr de (2.3), temos as segutes codções de otmaldade de Karush-Kuh- Tucer (KKT) para este problema: Ax = b (2.4) x r = l (2.5) x + z = u (2.6) T A w + s y = c (2.7) RSe µ e = 0 (2.8) ZYe µ e = 0 (2.9) Em que: R, Z, S e Y são matrzes dagoas, respectvamete com r, z, s e y como elemetos dagoas e e = (,, ) T. Cosderado o problema (2.2) e a restrção x r = l, otase que quado l = 0, temos que x = r, desta forma, a codção de otmaldade (2.8) pode ser reescrta como: XSe µ e = 0 (2.0) Em que: X é uma matrz dagoal tedo x como elemetos da dagoal. A partr das codções de (2.4) a (2.0) determam-se as dreções de busca, ( d ; d ; d ; d ; d P D ), o comprmeto do passo, α x z w s y, relacoado às dreções prmas, eα, relacoado às dreções duas, um crtéro de parada para a determação de uma ova solução ( x ; z ; w ; s ; y ) e defem-se os passos do algortmo a segur, de acordo com Wu et al. (994). Este algortmo é complemetado o passo 0 pelo método brach-ad-boud, que é usado para tegralzar as soluções obtdas pelo método prmal-dual, baseado-se em Bazaara e Shetty (979), Borches e tchell (992) e Homem et al.(20). 2. Algortmo prevsor-corretor prmal-dual e brach-ad-boud (PDBB) Passo : Ajustar = 0 e ecotrar uma solução cal x z w s y P D, ou ( ; ; ; ; ) seja, uma solução cal factível. Seja ε, ε, ε, ε, ε > 0 pequeas tolerâcas postvas auxlares ao passo 2 do algortmo. t b Ax Passo 2: Testar a otmaldade de solução: Se = ε, b + b + T g c A w s + y = ε c + c + c x ( b w g y ) T T T, ε, v < ε, q < ε, 0 < x < g 2 T c x +, s > 0 e y > 0 etão pare, a solução x, z, w, s, y obtda é ótma. Caso cotráro, cotue. Passo 3: Fazer os cálculos termedáros do passo prevsor: t = b Ax, T f = u x z (resíduos prmas); g = c A w s + y (resíduo dual), v = µ e X S e, e = µ (folgas complemetares); θ = ( X S + Z Y ), e p = Z ( Y f q ) + X v ; q e Y Z e 280

4 Passo 4 : Calcular as dreções d, d, d, d e d do passo prevsor: x z w s y T d = θ ( A d + p g ), T d = X ( v S d ) d = d + f, d = ( Aθ A ) Aθ ( p g ) t x w s x z x w + + e d = Z ( q Y d ). Tal que y z X, Z, S e Y são matrzes dagoas, com x, z, s e y, respectvamete, como seus elemetos dagoas. Passo 5: Fazer os cálculos termedáros do passo corretor (atualzar os termos de seguda ordem das folgas complemetares): v = µ e X S e D D, e q = µ e Z Y e D D e. x s z y Em que: D = Dag( d ), D = Dag( d ), D = Dag( d ), e D = Dag( d ). x x s s z z y y Passo 6 : Atualzar as dreções d, d, d, d e d do passo corretor : x z w s y T d = θ ( A d T + p g ) d = ( Aθ A ) Aθ ( p g ) t, d d f x w w + + = + d = X ( v S d ) e z x s x d = Z ( q Y d ). y z Passo 7: Testar a lmtaredade: Se t = 0, f = 0, d, d > 0, e t c d < 0, etão o x z x problema prmal é lmtado. Se g = 0, d, d, d > 0 e t b d > 0, etão o problema dual é w s y w lmtado. Se ambos os casos acotecem, etão PARE. Se d, d, d, d, d = 0, etão também x z w s y PARE, x, z, w, s, y são soluções ótmas dos problemas prmal e dual, respectvamete. Caso cotráro r para o Passo 8. P 2 Passo 8: Calcular os comprmetos dos passos prmal e dual: α m{, α, α } { α 3 α 4 } D α = m,,, em que α x α = m / dx 0, < dx 3 α s α = m / ds 0, 4 α y < α = m / dy 0 ds < dy Passo 9: Determar uma ova solução:, em que 0 < α <. = e 2 α z α = m / dz 0, < dz x = x + α d, z = z + α d, w = w + α d, s = s + α d, e y = y + α d + P + P + D + D + D x z w s y Atualzar + e r para o Passo 2. Passo 0: étodo Brach-ad-Boud Para cada x, se x 0.95 assuma x =, o que mplca que a varedade será platada o talhão j, e faça xh = 0, h, para h =,..., em todos os h s restates e j =,...,. (em que h é úmero de varedades e j é o úmero de talhões, e ambos são formados pelo usuáro de acordo com o modelo em questão). Para as varáves restates, dferetes de 0 ou, percorra todos os ós cujas compoetes x s que ada ão atederam o crtéro de tegraldade ( 0 < x < 0,85), de tal forma que somete uma compoete assuma o valor para cada ível da árvore, verfcado a vabldade e a otmaldade. Armazee sempre o meor valor da fução objetvo ecotrado. Um fluxograma que detalha os procedmetos a serem fetos o passo 0 é vsto em Homem (200). O algortmo PDBB é defdo através de um procedmeto evolvedo os métodos prmal-dual e brach-ad-boud e é proposto para a resolução dos modelos defdos a seção 3, da segute forma: ) Os passos de a 9 resolvem o modelo relaxado para as varáves lmtadas superormete x u ; 0 ) O passo 0, que utlza o método brach-ad-boud, tegralza a varável x ( x = 0 ou x = u = ) para cada ível da árvore. A varável x = mplca que a varedade deverá ser platada em um talhão j. 28

5 Observação: o método prevsor-corretor proposto é varate daquele proposto por ehrota(992) dferecado-se deste por já utlzar o passo prevsor formações do parâmetro de barrera µ, o que melhora a efcêca do método por evtar que os potos defdos por este aproxmem-se da frotera do problema o passo prevsor, podedo, clusve, vablzá-los. Equato que, o passo corretor, este reajusta as dreções com formações dos aproxmates de seguda ordem referetes às codções de complemetardade, possbltado que, o procedmeto de cetragem do passo prevsor mas o ajuste feto o passo corretor, acelerem a covergêca do processo, para a determação da solução ótma do problema cotíuo. 3. odelagem atemátcaequato Secto (Next) 3. odelo I mzação do custo de colheta da caa-de-açúcar O problema cosste em determar quas das varedades devem ser platadas os talhões j de medda L j (ha) e dstâca D j (Km) do cetro de produção (j=,2,...,) e, que ofereça o meor custo possível para o processo de colheta e de trasporte da caa-de-açúcar do campo para a usa. Para formulação do modelo, a área para plato fo dvdda em duas partes, uma parte para plato da caa que será colhda crua (l talhões) e outra para caa que deverá ser quemada a pré-colheta ((-l) talhões), devdo aos dferetes custos para cada tpo de colheta. Para a formulação da fução objetvo do modelo são fetos os cálculos dos custos evolvdos o processo, baseado-se em Ramos (200) e Slva (20). Na colheta de caa quemada têm-se os custos de acero, quema, corte maual, carregameto da caa para o camhão e trasporte da caa do campo para a usa. Na colheta mecazada têm-se os custos de corte e trasporte da caa do campo para a usa. Estes dados estão apresetados as tabelas 2, 3 e 4 da seção 4. O custo de trasporte da varedade platada o talhão j (Ct ) a uma dstâca (D j ) do talhão j para a usa: Ct = c. D (3.) med j Em que: =, 2,..., são os ídces que represetam as varedades; j =, 2,..., são os ídces que represetam os talhões; é o custo médo do trasporte da caa por m; e D j é a cmed dstâca do talhão j do cetro de processameto, em talhões. O custo de colheta e trasporte da caa-de-açúcar de varedade platada o talhão C j o sstema sem-mecazado é calculado da segute forma: C = ( Ca + Cq + Cco + Cca + Ct ). L (3.2) j Em que: Ca é o custo de acero da varedade (R$.ha - ); Cq é o custo da quema da varedade (R$.ha - ); Cco é o custo de corte da varedade (R$.ha - ); Cca é o custo de carregameto da varedade (R$.ha - ); Ct é o custo de trasporte da varedade platada o talhão j (R$.ha - ), calculado em (2.); e L j é área do talhão j, em hectare. No sstema mecazado o custo, C, de colheta e trasporte da caa de varedade platada o talhão j, é calculado da segute forma: C = ( Cco + Ct ). L (3.3) j Em que: Cco é o custo de corte da varedade (R$.ha - ); Ct é o custo de trasporte da varedade platada o talhão j (R$.ha - ), calculado em (2.); e L j é área do talhão j, em hectare. A partr dos cálculos (3.2) e (3.3), é proposta a fução objetvo do modelo que vsa o meor custo possível o processo de colheta. Para a efcêca do modelo, deve-se satsfazer as restrções de sacarose e de fbra da caa (recomedações da empresa para mater a qualdade da caa e a demada de açúcar e álcool) e usar toda a área destada para o plato da caa (mecazada e sem-mecazada). Este modelo é defdo a segur: l mzar CCT = C X + C X = j= = j= l+ (3.4) 282

6 Sujeto a : A X PT ; = j= F T F X F T; I S = j= = = ; X = 0 ou, =, 2,..., e j =, 2,..., X Em que: CCT é o custo do processo de colheta e trasporte da caa de açúcar; =, 2,..., são os ídces que represetam as varedades, j =, 2,..., são os ídces que represetam os talhões; l é úmero de talhões em que se cosdera o sstema mecazado; l é o úmero de talhões em que se cosdera o sstema sem-mecazado; C (3.5) é o custo da colheta e do trasporte da caa de varedade platada o talhão j ( j =,..., l ), o sstema mecazado; C é o custo da colheta e do trasporte da caa de varedade platada o talhão j ( j = l+,..., ), o sstema sem-mecazado; X são as varáves de decsão, tas que, X = mplca que a caa de varedade deve ser platada o talhão j e em caso cotráro X = 0; A é a estmatva de produção de sacarose da varedade (t/ha); P é a quatdade míma estabelecda para a POL da caa; T é o úmero total de talhões; F é a estmatva do teor de fbra da varedade ; FI e FS são as quatdades mímas e máxmas estabelecdas para a fbra da caa. Com o tuto de utlzar mas varedades, seru-se ao modelo uma restrção que lmta a quatdade que cada tpo de varedade pode ser platada. X (3.6) Em que: é o úmero máxmo que cada varedade pode ser platada. j= 3.2 odelo II mzação do custo de coleta da bomassa resdual de caa-de-açúcar resultate da colheta em áreas mecazáves Para a costrução do modelo de mmzação do custo da coleta da bomassa resdual é ecessáro que se calcule o custo do aprovetameto do palhço. Segudo Floreto (2006) e Homem (200) têm-se os estágos realzados para o recolhmeto: prmeramete, o palhço é elerado, em seguda é passado em uma máqua para compactação, depos é carregado o camhão e falmete trasportado para o cetro de processameto. Assm, o custo de coleta do palhço da caa-de-açúcar da varedade platada o talhão j (CC ) é calculado pela soma do custo evolvdo o processo de elerar, compactar e carregar o camhão com o palhço da varedade (C ) e o custo de trasporte (CT ), multplcada à área do talhão j (L j ), calculados através das tabelas, 4 e 5, apresetadas a seção 4. Abaxo segue a expressão do custo: CC = C + CT L (3.7) ( ) j Desta forma, o modelo cosste em determar quas das varedades devem ser platadas os talhões j de medda L j (ha) e dstâca D j (Km) do cetro de produção e, que ofereça o meor custo possível para o processo de trasferêca do palhço do campo para o cetro de processameto, atededo as restrções de demada de sacarose e fbra, área de plato, e o plato de apeas uma varedade de caa-de-açúcar por talhão. Este modelo é defdo a segur: mzar CC X (3.8) Sujeto a: Restrções (3.5) Cosdera-se CC é o custo de coleta do palhço da caa de varedade platada o talhão j, calculada em (3.7); e as restrções (3.5) são defdas a seção 3.. = j= 283

7 3.3 odelo III axmzação do balaço de eerga para o aprovetameto do palhço resultate da colheta em áreas mecazáves Aalogamete, para a costrução do modelo de maxmzação, calcula-se ates, o balaço de eerga. De acordo com Floreto (2006) e Floreto (20), o balaço de eerga para o aprovetameto do palhço é obtdo pela dfereça etre a eerga proveete do palhço da varedade platada o talhão j (EB ) e a eerga gasta a trasferêca palhço da varedade platada o talhão j (ET B ) que é a soma das eergas gastas para elerar e compactar (E EC ), carregar (E C ) e trasportar esta bomassa (E T ), calculadas através dos dados das tabelas, 4 e 5 apresetados a seção 4. A fórmula do balaço de eerga é apresetada a segur: BE = EB ET (3.9) B Assm, o modelo cosste em determar quas das varedades de caa-de-açúcar devem ser platadas os talhões de área L j (ha) e dstâca D j (Km)da usa, que o produza o máxmo balaço de eerga o seu aprovetameto. Assm como o modelo ateror, este problema cosdera as restrções de demada de sacarose e fbra de caa, uso total da área destada ao plato, e o plato de apeas uma varedade de caa-de-açúcar por talhão. A segur, o modelo é defdo. axmzar BE X (3.0) Sujeto a: Restrções (3.5) Em que BE é o cálculo do balaço de eerga o aprovetameto do palhço de caa produzdo da varedade o talhão j, calculados em (3.9), e as restrções (3.5) são defdas a seção odelo IV Problema ult-objetvo Este modelo cosste em determar quas das varedades de caa-de-açúcar devem ser platadas os talhões de área L j (ha) e dstâca D j (Km) da usa, que vestgue, smultaeamete, o mímo custo total de colheta da caa-de-açúcar e coleta de resíduos e o máxmo balaço de eerga o aprovetameto de resíduos resultates da colheta em áreas mecazáves, os quas têm objetvos cofltates, levado em cosderação restrções como quatdade de produção de sacarose e fbra de caa-de-açúcar, uso total da área destada ao plato e o plato de apeas uma varedade de caa-de-açúcar por talhão. O modelo matemátco é defdo por: = j= ( ;( ) ) mzar CT BET (3.) Sujeto a: Restrções (3.5) Em que CT é o custo total gasto pela usa a colheta da caa-de-açúcar e a coleta de seus resíduos, cosderado as áreas mecazáves e sem-mecazáves, que é expresso por l CT = ( C + CC ) X + ( C + CC ) + X ; tal que = j= = j= l+ C está defdo em (3.3); defda em (3.7), porém cosdera apeas as áreas mecazáves, aalogamete somete as áreas sem-mecazáves; C CC CC está cosdera está defdo em (3.2); BET é o balaço de eerga total o aprovetameto de resíduos da caa-de-açúcar, que é expresso por BET BE X BE X ; tal que BE = l + = j= = j= l+ as áreas mecazáves, aalogamete BE está defda em (3.9), porém cosdera apeas cosdera somete as áreas sem-mecazáves; e as restrções (3.5) são defdas o modelo de mmzação do custo de coleta da bomassa resdual da caa-de-açúcar, a seção 3.. Neste trabalho, os cálculos de custo de coleta e do balaço de eerga a partr do aprovetameto de resíduos das áreas sem-mecazáves ( CC e BE ) serão cosderados ulos, vsto que a colheta esta área ão gera resíduos. Futuramete, pretede-se serr o modelo, dados para a cogeração de eerga referetes ao bagaço da caa, e estes serão cosderados tato em áreas mecazáves quato em áreas sem-mecazáves. 284

8 Geralmete, os modelos multobjetvo são de dfícl resolução e a maora das vezes exgem a terveção do usuáro para a determação de soluções satsfatóras (efcetes). Assm, para a resolução deste modelo multobjetvo, será utlzada a estratéga de otmzação cohecda por Otmaldade de Pareto, apresetada em Deb (2004), que utlza o método da soma poderada (α-parametrzado), como estratéga de resolução. Desta forma, o modelo multobjetvo é redefdo, utlzado esta estratéga, através do segute modelo moo-objetvo: mzar αct ( α) BET (3.2) ( ) Sujeto a: Restrções (3.5) 4 Resultados Para a aplcação do método aos modelos vestgados foram utlzados dados ecessáros das tabelas de a 5, apresetadas por Floreto (2006), Lma (2009), Homem (200), Ramos (200) e Slva (20). A tabela apreseta os custos, cosumos, e recomedações referetes às 0 varedades e 6 talhões, em que Ce cc represeta o custo para elerar, compactar e carregar o palhço; Co, o cosumo de combustível do camhão usado o trasporte do palhço; P, o preço de um ltro de combustível; V c, a capacdade de carga do camhão a ser usado o trasporte do palhço; Ec EC, a eerga cosumda pelas máquas para elerar e compactar uma toelada de resíduo; Ec c, a eerga cosumda pela máqua para carregar o camhão com uma toelada do resíduo; Ec T, a eerga cosumda pelo camhão para o trasporte do resíduo; P, a quatdade míma recomedada de POL ; e FI e F S a produção míma e máxma de fbra. A tabela 2 apreseta as estmatvas por tpo de varedades, em que V represeta a estmatva do volume do palhço em toeladas da varedade ; P B, a produtvdade de palhço da varedade ; E CB, o poder calorífco útl do palhço produzdo pela varedade ; A, a produtvdade de açúcar fermetescível (POL) da varedade ; Q, a estmatva do volume do palhço por udade de área platada da varedade ; F, a produtvdade de fbra da varedade ; e P c é a produtvdade da caa-de-açúcar da varedade. A tabela 3 apreseta os custos referetes ao processo de trasporte. A tabela 4 apreseta os custos referetes ao processo de colheta. E por fm, a tabela 5 apreseta a área e a dstâca dos talhões à usa. As tabelas de a 5 são vstas a segur: Tabela : Custos e cosumos de combustível e eerga dos maquáros utlzados para a coleta do palhço e recomedações de teores de Pol e fbra da caa-de-açúcar Tabela 2: Estmatvas de valores por varedade Tabela 3: Custos evolvdos o processo de trasporte 285

9 Tabela 4: Custos evolvdos o processo de colheta Tabela 5: Área e dstâca dos talhões até a usa E ada, para a aplcação do método PDBB aos modelos apresetado as seções de 3. a 3.4, foram defdos os talhões 3 e para áreas sem-mecazáves, e os demas para as áreas mecazáves. Através da mplemetação do algortmo PDBB, vsto a seção 2., o software Borlad C++ Bulder 6.0, pode-se obter as soluções ótmas do modelos apresetado as seções de 3. a 3.4, e estes resultados foram comparados com aqueles obtdos pelo aplcatvo Solver do software Excel. Desta forma, os resultados obtdos por cada modelo são apresetados as seções de 4. a 4.4, a segur. As tabelas apresetadas represetam os valores reas obtdos pelos passos de a 9 do algortmo PDBB, e dcam quas ídces devem ser ramfcados. Na colua Passo 0 étodo PDBB estão dcadas as varedades para plato, ecotrada pelo passo 0 do método. 4. odelo I mzação do custo de colheta da caa-de-açúcar A tabela 6 apreseta os resultados reas e teros obtdos a partr da aplcação do algortmo PDBB, proposto a seção 2., para o modelo de mmzação do custo de colheta de caa-de-açúcar, vsto a seção 3., baseado-se em Slva (20), mas acrescetado à sua formulação, a ova restrção (3.6), apresetada a seção 3.. O valor da fução objetvo ecotrada pelo método PDBB obtdos pelos passos de a 9, em 2 terações, é de aproxmadamete R$43.395, Após a tegralzação das varáves, através do passo 0 do método, obteve-se uma melhora o custo da mmzação da colheta, que passou a ser: R$ R$ , Tabela 6: Resultados obtdos a partr da mplemetação do método PDBB 286

10 A partr da tabela 6, é possível otar que ão é feta ehuma ramfcação os talhões 3, 0 e 6, valores destacados a prmera colua em destaque, vsto que, são valores acma de 0,8. Pelo passo 0 do método PDBB, estes são tegralzados, e assumem o valor, determado o plato dessa varedade. Para a determação do plato os demas talhões, fo ecessára a ramfcação através do passo 0 do método PDBB para a tegralzação dos resultados. A partr da solução relaxada, realzou-se o passo 0 do método PDBB, que após 9 terações, tegralzou os resultados e determou o plato da varedade -SP80-86 para os talhões 3, 0 e 6, da varedade 3 SP os talhões 2, 4 e 2, da varedade 6 RB8553 os talhões 9, 3 e 4, da varedade 7 SP79-0 o talhão 8, da varedade 8 RB os talhões 5, 6 e 5, e da varedade 0 SP70-43 os talhões, 7, e, que são apresetados a colua Passo 0 étodo PDBB. 4.2 odelo II mzação do custo de coleta da bomassa resdual de caa-de-açúcar resultate da colheta em áreas mecazáves A tabela 7 apreseta os resultados obtdos a partr da aplcação do algortmo PDBB, proposto a seção 2., para o modelo de mmzação do custo de coleta da bomassa resdual de caa-de-açúcar, vsto a seção 3.2. O valor da fução objetvo ecotrada pelo método PDBB obtdos pelos passos de a 9, em 9 terações, é de aproxmadamete R$3625, Após a tegralzação, em uma úca teração, pelo passo 0 do método, o valor ótmo ecotrado fo de R$3688, Tabela 7: Resultados obtdos a partr da mplemetação do método PDBB Na tabela 7, é possível otar que ão é ecessára ehuma ramfcação, vsto que, os valores apresetados a prmera colua em destaque, são valores acma de 0,8. Pelo passo 0 do método PDBB, estes são tegralzados, e assumem valor, determado o plato da varedade 8 RB os talhões, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 2, 3, 4 e 5, e o plato da varedade 0 SP70-43 os talhões 7, 0 e 6, dcado pela colua Passo 0 étodo PDBB. 4.3 odelo III axmzação do balaço de eerga para o aprovetameto do palhço resultate da colheta em áreas mecazáves Os resultados, apresetados pela tabela 8, são obtdos a partr da aplcação do algortmo PDBB, proposto a seção 2., o modelo de maxmzação do balaço de eerga para o aprovetameto do palhço resultate da colheta mecazável, vsto a seção 3.3. O valor da fução objetvo ecotrada pelo método PDBB obtdo pelos passos de a 9, em terações, é 287

11 de aproxmadamete R$29608, Após a tegralzação, em uma úca teração, pelo passo 0 do método, o valor ótmo ecotrado fo de R$29665,6737. Tabela 8: Resultados obtdos a partr da mplemetação do método PDBB Através dos valores apresetados pela tabela 8, é possível otar que ão é ecessára ehuma ramfcação, vsto que, os valores apresetados a prmera colua em destaque, são valores acma de 0,8. Pelo passo 0 do método PDBB, estes são tegralzados, e assumem valor, determado somete o plato da varedade 2 RB odelo IV Problema ult-objetvo Os resultados represetados pelo gráfco da fgura mostram a relação etre os valores de custo e balaço total, a partr da varação de α [0,], utlzado a estratéga de resolução da soma poderada das fuções objetvo, apresetada a seção 3.4. Fgura : Gráfco que represeta as soluções efcetes do problema Como os objetvos cocomtates de mmzar o custo total e maxmzar o balaço de eerga total são cofltates, melhorar um dos objetvos mplca em porar o outro, como é vsto a curva de soluções efcetes apresetada a fgura. As soluções obtdas através da poderação realzada sobre as fuções objetvos, chamadas soluções efcetes, são de teresse, pos formam ao produtor a determação das varedades a serem platadas, de modo a ateder o mometo ecoômco de sua empresa. Todos os resultados obtdos pelo método PDBB e apresetados as seções de 4. a 4.4 foram comparados com aqueles apresetados pelo aplcatvo Solver do software Excel. A partr desta comparação, pode-se coclur que ambos determam as mesmas varedades a serem platadas os talhões, e em relação aos valores das fuções objetvos, obtêm os mesmos resultados, se dferecado apeas a partr da quta ou sexta casa decmal. 288

12 5 Coclusões Neste trabalho, desevolveu-se um procedmeto híbrdo que evolve os métodos prevsor-corretor prmal-dual de potos terores e brach-ad-boud (algortmo PDBB), para serem aplcados em problemas de programação lear tera 0-. Este fo utlzado para a resolução dos segutes modelos: mmzação do custo da colheta da caa-de-açúcar, que cosdera áreas mecazáves e sem-mecazáves, apresetado por Slva (20); mmzação da coleta da bomassa resdual, e maxmzação do balaço de eerga, cosderado apeas áreas mecazáves, apresetados por Floreto (2006), Floreto (20) e Homem (200); e o problema multobjetvo, assocado ao cultvo da caa-de-açúcar, com os objetvos cofltates de, mmzar o custo total de cultvo e maxmzar o balaço de eerga relatvo à bomassa resdual do processo. O algortmo PDBB fo mplemetado através do software Borlad C++ Bulder 6.0, aplcado aos problemas destacados, obtedo soluções ótmas para os quatro casos cosderados. Estas foram comparadas com aquelas determadas pelo aplcatvo Solver, do software Excel, e os resultados obtdos para um caso específco de dezesses talhões e dez varedades, revelaram o bom desempeho do método híbrdo proposto. Portato, o trabalho atgu os seus objetvos, relacoados ao uso do método PDBB à resolução dos modelos de cultvo e de aprovetameto da bomassa resdual da caa-de-açúcar, mostrado a vabldade de se utlzar esta técca de otmzação para auxlar as usas a seleção de varedades a serem platadas, de tal forma a otmzar o processo, respetado-se as restrções de produção caracterzadas os modelos. Referêcas Bazaraa,. S.; Shetty, C., Nolear Programmg: Theory ad Algorthms. Joh-Wlley & Sos, Ic., 979. Borches, B.; tchell, J. E., Usg a teror pot method a brach ad boud algorthm for teger programmg. Techcal Report 95, athematcal Sceces, Resselaer Polytechc Isttute, Troy, NY 280, arch 99, Revsed July 7, 992. Deb, K., ult-objectve optmzato usg evolutoary algorthms. Joh-Wlley & Sos Ltd., Floreto, H. O., Programação lear tera em problemas de aprovetameto da bomassa resdual de colheta da caa-de-açúcar. 64f. Tese (Lvre Docêca) Isttuto de Bocêcas de Botucatu, Uversdade Estadual Paulsta, Botucatu, SP, Floreto, H. O.; Lma, A. D; Balbo, A. R.; Carvalho L.; Homem, T. P. D., ultobjectve 0- teger programmg for the use of sugarcae resdual bomass eergy cogeerato. Iteratoal Trasactos Operatoal Research, v.8, p , 20. Homem, T. P. D., Procedmeto híbrdo evolvedo os métodos Prmal-Dual de Potos Iterores e Brachad-Boud em problemas multobjetvo de aprovetameto de resíduos de caa-de-açúcar. Dssertação (estrado em Egehara Elétrca), Faculdade de Egehara, Uversdade Estadual Paulsta. Bauru, 200. Homem, T.P.D.; Balbo, A. R.; Slva, H. O. F., Optmal eergy geerato wth bomass of sugarcae harvest. Revsta IEEE Amérca Lata, v., p , 20. Lma, A. D., Otmzação do aprovetameto do palhço de caa-de-açúcar. Tese (Doutorado em Eerga a Agrcultura), Faculdade de Cêcas Agroômcas, Uversdade Estadual Paulsta, Botucatu, SP, ehrota, S. O the mplemetato of a prmal dual teror pot method. SIA Joural o Optmzato, v.2, p , 992. Pellegr,. C., Iserção de cetras cogeradoras a bagaço de caa o parque eergétco do Estado de São Paulo: exemplo de aplcação de metodologa para aálse dos aspectos locacoas e de tegração eergétca. Dssertação (estrado em Eerga), Uversdade de São Paulo, São Paulo, SP, Ramos, R. P., odelo matemátco para custo e eerga a produção de açúcar e álcool. Dssertação (estrado em Agrooma/Eerga a Agrcultura), Faculdade de Cêcas Agroômcas, Uversdade Estadual Paulsta. Botucatu, 200. Slva, L.., Algortmo Geétco a Otmzação do Custo de Colheta e de Trasporte da Caa-de-Açúcar. Dssertação (estrado em Bometra), Faculdade de Cêcas Agroômcas, Uversdade Estadual Paulsta. Botucatu, 20. Toleto, G., Programação Lear Itera Aplcada ao Aprovetameto do Palhço da Caa-de-Açúcar. Dssertação (estrado em Agrooma/Eerga a Agrcultura), Faculdade de Cêcas Agroômcas, Uversdade Estadual Paulsta, Botucatu, SP, Wu, Y. C., Debs, A. S. e arste, R. E., A Drect Nolear Predctor-Corrector Prmal-Dual Iteror Pot Algorthm for Optmal Power Flows. IEEE Trasactos o Power Systems, 9, No.2, ,