ALGORITMO GENÉTICO MULTI- OBJETIVO PARA O SEQUENCIAMENTO INTEGRADO DE ATIVIDADES DE PRODUÇÃO E MANUTENÇÃO

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1 ALGORITMO GENÉTICO MULTI- OBJETIVO PARA O SEQUENCIAMENTO INTEGRADO DE ATIVIDADES DE PRODUÇÃO E MANUTENÇÃO Rodrgo Jose Pres Ferrera (UFPE ) rodjpf@gmal.com Joao Marco Soares de Souza Lma Flho (UFPE ) joaomarco2408@hotmal.com Eduarda Asfora Frej (UFPE ) eduarda.asfora@ufpe.br Modelos de plaejameto da produção (ou producto schedulg) podem auxlar a tomada de decsão sobre a sequêca de atvdades a ser realzada em um sstema de produção, otmzado determados objetvos. Etretato, apesar de haver umaa relação terdepedete etre este processo e o plaejameto de mauteção prevetva, estes são frequetemete tratados de modo cofltate. O presete artgo propõe um modelo mult-objetvo para o problema tegrado de plaejameto de produção e mauteção prevetva para sstemas de uma úca máqua (sgle mache), cosderado duas fuções objetvo: mmzar o atraso esperado poderado e o custo de mauteção. Como o espaço de soluções deste problema é elevado, um algortmo geétco mult-objetvo é proposto para ecotrar soluções da frotera de Pareto. Um cojuto de smulações para 7 atvdades é lustrada e demostra que o algortmo fo capaz de ecotrar soluções com uma dstâca méda feror a 1% das soluções ótmas obtdas por meo de um método exaustvo. Palavras-chaves: Programação da produção; plaejameto da mauteção, algortmo geétco, multcrtéro

2 1. Itrodução Segudo Pedo (2012), problemas de schedulg se relacoam com a alocação de recursos lmtados, ao logo do tempo, para realzar tarefas, de modo que satsfaça objetvos estabelecdos. Vale ressaltar o amplo sgfcado de recursos, que podem ser ferrametas, materas, máquas, eerga, e outros. Além dsso, há város objetvos, como mmzar o tempo de coclusão da últma atvdade, ou o atraso ou o úmero de atvdades atrasadas. Etretato, as máquas estão sujetas a falhas, o que pode afetar o sstema de produção cosderavelmete. Segudo Aghezzaf e Najd (2008), estas falhas resultam em altos custos e comprometem a qualdade dos produtos. Portato, percebe-se a mportâca do plaejameto da mauteção para obteção de meor custo e maor qualdade. Geralmete, a programação da produção e o plaejameto de mauteção são tratados separadamete, o que ão traz resultados satsfatóros a prátca. Uma hpótese muto comum utlzada esse cotexto cosdera que as máquas estão sempre dspoíves, ou seja, ão estão sujetas a falhas (ALLAOUI et al. 2008). Porém, uma programação da produção adequada que está mmamete sujeto a replaejametos e terrupções devdo a falhas, é capaz de atgr seus objetvos estratégcos. Portato, percebe-se que a tegração etre a produção e a mauteção se faz ecessára (ÁNGEL-BELLO et al. 2011). Ecotra-se a lteratura estudos que propõem a tegração do problema tegrado. Graves e Lee (1999) apresetaram um problema tegrado para um sstema sgle mache com a possbldade de uma úca atvdade de mauteção e objetvo de mmzar o tempo total poderado de coclusão das atvdades. Lee e Che (2000) estederam esta pesqusa para máquas paralelas. Q et al. (1999) apresetaram o problema em um sstema sgle mache, cosderado a possbldade de múltplas terveções de mauteção prevetva, mas sem clur explctamete o rsco de ão realzá-las. Cassady e Kutaoglu (2003) apresetaram um problema em um sstema sgle mache, cosderado possíves múltplas terveções de mauteção prevetva e o rsco de ão realzá-las. Eles apresetaram um modelo capaz de obter uma redução de 30% o atraso total 2

3 poderado quado comparado com modelos de cada fução objetvo soladamete. Yula et al. (2008) utlzou um algortmo geétco para solucoar um problema tegrado em um ambete sgle mache com cco fuções objetvo. Morad (2011) estedeu os cohecmetos de problema tegrado, aalsado em um sstema jobshop flexível. Wag e Lu (2013) desevolveram um algortmo brach-ad-boud para um problema sgle mache de mmzação do tempo total poderado de coclusão das atvdades, e obteve resultados satsfatóros para ceáros com até 18 atvdades. Este artgo propõe um modelo matemátco que trata o coflto das fuções mauteção e produção levado em cosderação dos objetvos a serem otmzados smultaeamete, mmzar o custo da mauteção e o atraso esperado poderado. É proposto também um algortmo geétco mult-objetvo para auxlar o processo de busca de soluções da frotera de pareto. 2. Modelagem matemátca Supõe-se que exste um certo úmero de atvdades a serem programadas em uma úca máqua em um sstema de produção. Cada atvdade tem um tempo de processameto, prazo, e uma mportaca relatva que é medda por um peso. Além da programação de produção, supõe-se que este equpameto pode ão estar dspoível devdo a mauteção prevetva ou reparos devdo a falhas. Estas característcas mplcam coflto etre os objetvos de produção e mauteção. Cosderado que o objetvo da fução produção pode estar relacoado a mmzar o atraso das atvdades cocludas, o objetvo da fução mauteção pode estar relacoado a mmzar as perdas de tempo por ações de mauteção desecessáras caracterzadas prcpalmete pelo custo esperado de mauteção. Para estmar o custo esperado de mauteção, presume-se que o tempo até a falha desta máqua é goverada por uma dstrbução de probabldade Webull como sugerdo por Sortrakul & Cassady (2007). As substtuções devem ser recomedadas quado o custo esperado de substtução é feror à espera de outra oportudade para evtar o rsco de possíves falhas futuras, com base a probabldade estmada de falha durate as atvdades. Coforme defdo por Sortrakul & Cassady (2007) atvdades ão podem ser terrompdas por atvdades de mauteção prevetva. 3

4 As varáves de decsão báscas a serem otmzadas são: a seqüêca das atvdades a serem realzadas, e os mometos de ações de mauteção prevetva com o objetvo de mmzar o atraso esperado poderado total e custo de mauteção prevsta. As hpoteses assumdas pelo modelo são que apeas uma falha pode ocorrer durate o processameto de uma atvdade. A probabldade de mas do que uma falha ocorrer durate uma atvdade é assumda como sedo gual a zero. Se ocorrer uma falha, em seguda, a reparação é feta medatamete. A reparação míma é feta para restaurar a máqua de volta à sua codção operacoal sem alterar sua dade efetva e exste um tempo fxo para reparar quado ocorre uma falha. Assume-se também que a taxa de falha da máqua aumeta ao logo do tempo, o que justfca a mauteção prevetva. As atvdades podem ser terrompdas por falhas e podem ser retomadas após a reparação, sem qualquer pealzação adcoal o seu tempo de processameto. A mauteção prevetva restaura a máqua para um estado "tão bom quato ovo". Exste um tempo fxo para realzar a mauteção prevetva. E recursos, tas como a equpe de reparos e peças sobressaletes, estão protamete dspoíves. Quato à estrutura de custos, exste um custo de mauteção prevetva quado a máqua for reparada prevetvamete e exste um custo de reparos após falhas quado um tem é reparado corretvamete. Este custo clu coseqüêcas devdo a falhas. Assume-se que o custo da mauteção corretva é maor do que o custo de mauteção prevetva. A otação utlzada este artgo é apresetada a Tabela 1. Tabela 1 - Notação das varáves do modelo Quatdade de atvdades a serem programadas p j Tempo de processameto da atvdade j (j = 1,, ). d j Prazo da atvdade j (j = 1,, ). w j Importâca relatva (peso) da atvdade j (j = 1,, ). x j Varável de decsão bára quado a -ésma atvdade processada é a atvdade j ( = 1, 2,..., ; j = 1, 2,... ). p [] Tempo de processameto da -ésma atvdade processada ( = 1,, ). d [] Prazo da -ésma atvdade processada ( = 1,, ). w [] Peso da -ésma atvdade processada ( = 1,, ). c [] Tempo de coclusão da ésma atvdade processada ( = 1,, ). C [] Varável aleatóra tempo de coclusão da -ésma atvdade realzada ( = 1,, ). [] Atraso da -ésma atvdade realzada ( = 1,, ). [] Varável aleatóra de atraso da -ésma atvdade realzada ( = 1,, ). Parâmetro de forma da dstrbução de Webull. Parâmetro de escala da dstrbução de Webull. 4

5 a [] Idade da máqua medatamete após coclur a -ésma atvdade. a Idade da máqua medatamete ates de processar a -ésma atvdade. y [] [ 1] [] t p t r Cm [] c b c a Varável bára de decsão quado a mauteção prevetve é realzada ates da -ésma atvdade ( = 1,, ). Probabldade de falha da máqua durate o processameto da -ésma atvdade ( = 1,, ). Duração da ação da mauteção prevetva. Duração do reparo das máquas após falha. Varável aleatóra do custo total de mauteção da -ésma atvdade processada ( = 1,, ). Custo da ação da mauteção prevetva. Custo do reparo (em caso de falha) de máquas. Fote: Os autores Como defdo por Cassady e Kutaoglu (2003), a dade da máqua medatamete após processar a -ésma atvdade, a [], e medatamete ates do processameto da -ésma atvdade, a [ 1], podem ser calculadas pelas equações (1) e (2): a[ 1] a[ 1] ( 1 y[ ] ) 1,2,..., (1) a[ ] a[ 1] p[ ] 1,2,..., (2) A probabldade de falha a máqua durate a -ésma atvdade, [], é determada, usado a dstrbução de probabldade de Webull, pelas equações (3) e (4). A probabldade complemetar de [] é [], defda pela equação (5): [ ] ( [ 1] [ 1] [ 1] [ 1] F p[ ] a a ) Pr{ T p[ ] a T a } (3) [ ] p[ ] a 1 exp [ 1] a[ 1] (4) [ ] 1 [ ] 1,2,..., (5) Seja C [] a varável aleatóra do tempo de coclusão da -ésma atvdade processada, etão: C[ ] t p y[ p[ M[ ] 1,2,..., l1 l1 (6) Em que M [] é uma varável aleatóra dscreta que pode assumr +1 valores múltplos de t r, a partr do produto de k e t r (k=0, 1,..., ). Seja N = {1, 2,..., } e N,k um subcojuto de N cotedo k elemetos. Obtém-se a fução desdade de probabldade por: [, k ] Pr{ M[ ] ktr} [ [ k 0,1,..., (7) N, k ln, k ln, k 5

6 Seja c [,k] o tempo de coclusão e [,k] o atraso da -ésma atvdade processada com k falhas até a coclusão da -ésma atvdade, temos: c[, k ] t p y[ p[ ktr k 0,1,..., ; 1,..., l1 l1 (8) [, k] max( 0, c[, k] d[ ] ) k 0,1,..., ; 1,..., (9) O modelo matemátco fo desevolvdo a fm de mmzar duas fuções objetvo. Seja F 1 o atraso esperado poderado, e F 2 o custo total esperado de mauteção, temos: Mmzar Mmzar subjeto a j1 1 x x F ( x, y ) F ( x, y ) x, y {0,1} 1,2,...,, j j j ,2,..., 1 j 1,2,..., j j 1 1 w [ ] E( E( Cm [ ] [ ] ) ) (10) j 1,2,..., O valor da prmera fução objetvo para uma dada solução pode ser calculada utlzado a equação (11), tal como sugerdo por Cassady & Kutaoglu (2003): E( [ ] ) [, k] [, k ] k 0,1,..., ; 1,..., (11) k 0 O valor da seguda fução objetvo pode ser calculada usado as equações (12) e (13): cm[, k] cb y[ ca k k 0,1,..., ; 1,..., l1 (12) E( Cm[ ] ) cm[, k ] [, k ] k 0,1,..., ; 1,..., (13) k 0 3. Algortmo geétco mult-objetvo 6

7 De acordo com a Deb (2001), a aplcação de otmzação evolucoára mult-objetvo em problemas de schedulg mult-objetvo tem recebdo muto meos ateção em comparação com algortmos evolucoáros para os problemas de schedulg com um úco objetvo. Algortmos geétcos, quado aplcados a problemas de schedulg, as possíves programações da produção são vstas como dvíduos ou membros de uma população. Cada dvíduo é caracterzado por seu ftess. O ftess de um dvíduo é meddo pelo valor assocado da fução objetvo. O algortmo fucoa de forma teratva, e cada teração é referda como geração. A população de uma geração é composta por sobrevvetes da geração ateror, mas os ovos dvduos, ou seja, os descedetes (flhos) da geração ateror. O tamaho da população geralmete permaece costate de uma geração para a segute. Os flhos são gerados pela reprodução e mutação de dvíduos que fazam parte da geração ateror (os pas). Os dvíduos são, por vezes, também cohecdos como cromossomos (PINEDO, 2012). As característcas do algortmo geétco mult-objetvo mplemetado são descrtos em seguda A represetação dos cromossomos Neste trabalho, um cromossomo é composto por dos sub-cromossomos. O prmero cotém as formações sobre a seqüêca de atvdades em uma úca máqua, e o segudo cotém a decsão de realzar a mauteção prevetva esta máqua ates que a -ésma atvdade a seqüêca. Esta otação é também usada por Sortrakul & Cassady (2007). Por exemplo, para o problema de três atvdades, o cromossomo da sequêca de atvdades podera ser {3 1 2} e o cromossomo de mauteção prevetva {1 0 1} Estratéga de reprodução, crossover e mutação Em um problema com dos objetvos, exstem dos valores a serem otmzados smultaeamete. Váras estratégas podem ser defdas, a fm de escolher os dos pas para um processo de reprodução. Neste artgo, a defção de város íves de soluções ãodomadas é apresetada. Com este cálculo, uma solução do cojuto de prmero ível de soluções ão-domadas é escolhda para combar com outra solução selecoada 7

8 aleatoramete a partr da população. Recomeda-se que os ovos flhos devem substtur os dvíduos a partr dos últmos íves de soluções ão-domadas. O crossover C1, como explcado em Reeves (1995) é mplemetado o cromossomo da sequêca de atvdades e o crossover de um poto é aplcado ao cromossomo báro que codfca as decsões de mauteção prevetva. As operações de crossover são executadas em ambos os cromossomos em cada geração. Embora, uma mutação shft é proposta para mutar a sequêca das soluções de programação da produção, uma mutação de um poto é proposta para soluções de mauteção prevetva. Uma elevada probabldade fxa de mutação é recomedada como sugerdo por Reeves (1995) e Sortrakul & Cassady (2007) Tamaho da população, população cal e crtéro de parada Reeves (1993) relatarou que mutos autores sugerem que o tamaho da população tão pequea como 30 membros é sufcete para produzr resultados satsfatóros. Portato, uma população de 30 cromossomos é usada este artgo. Neste estudo, a população cal é escolhda aleatoramete e as heurístcas termam quado ml gerações são avaladas. 4. Aplcação umérca Um exemplo umérco fo desevolvdo a fm de avalar a compatbldade do modelo e a efcêca do algortmo geétco mult-objetvo proposto. Foram desevolvdos 10 ceáros com 7 atvdades, que se dferecam a partr dos valores do tempo de processameto, p j, o prazo, d j, e a mportâca relatva, w j. Os valores dos dados de smulação e os parâmetros são apresetados a Tabela 2 e Tabela 3. Tabela 2 - Dados da smulação e os parâmetros do modelo t p t r c b c a 7 atvdades das 82 das 5 das 15 das US$ US$ Fote: Os autores Tabela 3 - Dados da smulação para 10 ceáros Ceáro 1 Ceáro 2 Ceáro 3 Ceáro 4 Ceáro 5 j p j d j w j p j d j w j p j d j w j p j d j w j p j d j w j 8

9 Ceáro 6 Ceáro 7 Ceáro 8 Ceáro 9 Ceáro 10 j p j d j w j p j d j w j p j d j w j p j d j w j p j d j w j Fote: Os autores O espaço de soluções em um dos ceáros possu 5040 (7!) soluções para a programação da produção e 128 (2 7 ) possíves decsões de mauteção prevetva. Logo, exstem possíves soluções para o problema tegrado com 7 atvdades como lustrado a Fgura 1. Fgura 1 - Espaço objetvo de soluções para o ceáro 10 Fote: Os autores A efcêca do algortmo geétco fo avalada a partr da comparação etre os resultados obtdos por este e as sequêcas que se ecotram a frotera de Pareto (soluções ão 9

10 domadas) obtdas por meo de forma extesva, ode todas as possíves soluções foram avaladas. Embora o algortmo geétco teha cosegudo ecotrar apeas 18 soluções de pareto das 271 do modelo exaustvo dos 10 ceáros avalados, a dstâca méda dos potos da frotera de pareto do algortmo geétco fo de apeas 0,97% em relação aos potos da frotera de pareto do método exaustvo, o que demostra um desempeho satsfatóro. A dstâca etre as soluções obtdas pelo algortmo geétco e as soluções ão domadas pode ser aalsada a Fgura 2, a Fgura 3 e a Fgura 4. O tempo computacoal para 1000 terações do algortmo geétco mult-objetvo durou em méda 50 segudos em comparação com 480 segudos (8 mutos), utlzado o método exaustvo. Verfcou-se que os dvíduos gerados aleatoramete evoluíram para soluções ão-domadas quase 10 vezes mas rápdo do que pelo método exaustvo para um problema com 7 atvdades. O computador utlzado para as smulações realzadas tha um processador: Itel(R) Core(TM) CPU, 3.30GHz, memóra stalada (RAM): 4,00 GB, e sstema operacoal Wdows 7 de 64 Bts. Fgura 2 - Gráfco das soluções obtdas pelo algortmo geétco e método exaustvo Fote: Os autores 10

11 Fgura 3 - Gráfco das soluções obtdas pelo algortmo geétco e método exaustvo Fote: Os autores Fgura 4 - Gráfco das soluções obtdas pelo algortmo geétco e método exaustvo 11

12 Fote: Os autores 5. Coclusões O modelo tegrado proposto este artgo pode muto bem ser de teresse para a dústra, a fm de tratar as ecessdades de produção e mauteção que levam em cota dos objetvos cofltates relacoados a atraso de atvdades e custo de mauteção da programação. Um cojuto de dez smulações para 7 atvdades demostrou que o algortmo fo capaz de ecotrar soluções com uma dstâca méda feror a 1% das soluções ótmas obtdas por meo de um método exaustvo. Embora o algortmo geétco mult-objetvo precse ser avalado e testado com um maor úmero de smulações, os resultados dcam que o algortmo tem potecal para uso, coforme lustrado a aplcação umérca. 12

13 A escolha de um método mult-objetvo aproprado, a fm de recomedar apeas uma das soluções do cojuto de Pareto, é uma tarefa desafadora para futuras pesqusas. REFERÊNCIAS AGHEZZAF, E; NAJID, N. M.. Itegrated Producto Plag ad Prevetve Mateace Deteroratg Producto Systems. Iformato Sceces : (2008). ALLAOUI, H. et al. Smultaeously Schedulg Jobs ad the Prevetve Mateace o the Two-mache Flow Shop to Mmze the Makespa. Iteratoal Joural of Producto Ecoomcs 112: (2008). ÁNGEL-BELLO, F. et al. A Heurstc Approach for a Schedulg Problem wth Perodc Mateace ad Sequece-depedet Setup Tmes. Computers & Mathematcs wth Applcatos 61: (2011). CASSADY, C R.;KUTANOGLU, E.. Mmzg Job Tardess Usg Itegrated Prevetve Mateace Plag ad Producto Schedulg. IIE Trasactos 35: (2003). DEB, K. Mult-objectve Optmzato Usg Evolutoary Algorthms. Chchester, U.K.: Wley (2001) GRAVES, G. H.; LEE, C.. Schedulg Mateace ad Semresumable Jobs o a Sgle Mache. Naval Research Logstcs 46.7: (1999). LEE, C.Y; CHEN, Z.L. Schedulg Jobs ad Mateace Actvtes o Parallel Maches. Naval Research Logstcs 47: (2000). MORADI, E.; GHOMI, S.M.T.F.; ZANDIEH, M. B-objectve optmzato research o tegrated fxed tme terval prevetve mateace ad producto for schedulg flexble job-shop problem. Expert Systems wth Applcatos, 38(6), (2011). PINEDO, M. L. Schedulg: Theory, Algorthms, ad Systems. New York: Sprger. (2012). QI, X.; CHEN, T; TU, F. Schedulg the Mateace o a Sgle Mache. Joural of the Operatoal Research Socety 50.10: (1999). REEVES, C.R., Geetc algorthms, Reeves, C.R. (Ed.), Moder Heurstc Techques for Combatoral Problems, Joh Wley & Sos, New York, NY, pp (1993) REEVES, C.R., A geetc algorthm for flowshop sequecg, Computers & Operatos Research, Vol. 22 No. 1, pp (1995) SORTRAKUL, N.; CASSADY, C. R. Geetc Algorthms for Total Weghted Expected Tardess Itegrated Prevetve Mateace Plag ad Producto Schedulg for a Sgle Mache. Joural of Qualty Mateace Egeerg 13.1: (2007). WANG, S.; LIU, M. A Brach ad Boud Algorthm for Sgle-mache Producto Schedulg Itegrated wth Prevetve Mateace Plag. Iteratoal Joural of Producto Research 51.3: (2013). YULAN, J.; ZUHUA, J.; WENRUI, H. Mult-objectve Itegrated Optmzato Research o Prevetve Mateace Plag ad Producto Schedulg for a Sgle Mache. The Iteratoal Joural of Advaced Maufacturg Techology : (2008). 13